При русі горизонтальною. Рух по колу (кінематика, динаміка)

При русі тіла по горизонтальній поверхніна нього діє сила, що перешкоджає руху - сила тертя, тобто сила опору, спрямована у протилежний бік переміщенню.

Розрізняють тертя внутрішнє (рідке або в'язке) та зовнішнє.

Внутрішнім тертям називається тертя, що виникає між частинами того самого тіла, наприклад, між шарами рідини або газу, швидкості яких змінюються від шару до шару. Нехай між площинами I та II в'язке середовище. Якщо площина I рухається щодо площини ІІ зі швидкістю u (Мал. 2.1), то

де F тр- тангенціальна (дотична) сила, що викликає зсув шарів в'язкого середовища один щодо одного,

S- Площа площини I,

h- Коефіцієнт динамічної в'язкості або в'язкість,

– градієнт швидкості – швидкість зміни швидкості від шару до шару, тобто. у напрямку, перпендикулярному до руху, інакше – швидкість зсуву.

Пас (2.11)

Зовнішнє тертя виникає у площині дотику двох тіл ( Мал. 2.2).

Якщо тіла, що стикаються, нерухомі, то в момент початку руху тертя, що виникає між тілами, називається тертям спокою. Сила тертя спокою – це максимальна сила, необхідна, щоб надати руху одне тіло щодо іншого.

Мал. 2.1

F тр = μ 0 N (2.12)

де μ 0 - Коефіцієнт тертя спокою, N- Сила нормального тиску.

При русі одного тіла поверхнею іншого виникає тертя ковзання.

F тр = μ N (2.13)

μ - Коефіцієнт тертя ковзання

μ < μ 0 тобто сила тертя спокою більше сили тертя ковзання.

Для визначення коефіцієнта тертя використовується похила площина ( Мал. 2.3). Кут похилій площинізбільшують доти, доки тіло не почне скочуватися по площині. У цьому випадку сила тертя дорівнюватиме силі, що виразить:

Мал. 2.2.

Мал. 2.3

Одним із видів зовнішнього тертя є тертя кочення, що проявляється, коли тіло котиться по опорі ( рис.2.4). Воно значно менше тертя ковзання m k << m.

Мал. 2.4

де P- Вага котка, r- Радіус, μ k- Коефіцієнт тертя кочення.

З (2.15) видно, що сила тертя кочення назад пропорційна радіусу тіла, що котиться.

Тертя відіграє велику роль у природі та техніці. У деяких випадках тертя відіграє позитивну роль і його прагнуть збільшити (наприклад, виготовлення автомобільних шин зі спеціальним малюнком протектора, що збільшує тертя між колесами та поверхнею дорожнього покриття, посипання піском доріг під час ожеледиці). Але іноді доводиться боротися з негативними проявами, що викликаються тертям за допомогою мастил. В даному випадку використовується той факт, що внутрішнє тертя, що виникає між шарами рідини, значно менше зовнішнього тертя, що виникає між частинами твердих тіл. Інший спосіб зменшити зовнішнє тертя – замінити тертя ковзання тертям кочення, застосовуючи кулькові та роликові підшипники тощо.

Сторінка 1

Повна кінетична енергія Т диска, що котиться горизонтальною поверхнею, дорівнює 24 Дж.

Повну кінетичну енергію всього механізму можна визначити як суму кінетичних енергій ланок.

Повна кінетична енергія, отже, дорівнює енергії руху, помноженої на деякий множник. Таким чином, енергія, повідомлена газу його нагріванням, розподіляється у відомій пропорції між енергією поступального руху і енергією внутрішнього руху кожної молекули.

Повна кінетична енергія диска, що котиться горизонтальною поверхнею, дорівнює 24 Дж.

Повна кінетична енергія уламків повинна дорівнювати кінетичної енергіїснаряда плюс робота (енергія, що перетворилася на кінетичну енергію уламків), досконала під час вибуху, і, таким чином, вона більша, ніж початкова кінетична енергія снаряда до вибуху.

Повна кінетична енергія молекул кімнатного повітря пропорційна добутку числа молекул на температуру. Якщо повітря вважати ідеальним газом, то ця енергія молекул пропорційна також тиску повітря на об'єм кімнати. При нагріванні повітря в кімнаті обсяг останньої, звичайно, не змінюється. Менш очевидно, що не змінюється тиск. Однак, оскільки кімната не ізольована і завжди повідомляється з навколишнім простором, тиск повітря в ній дорівнює зовнішньому атмосферному тиску. Таким чином, коли ви зігріваєте кімнату, тиск і об'єм повітря всередині неї зберігаються колишніми, відповідно не змінюється і повна енергія молекул повітря, що знаходяться в кімнаті. Це, звичайно, можливе лише тому, що в міру зростання температури частина молекул повітря йде з приміщення.

Повна кінетична енергія плоского руху твердого тіла дорівнює сумі кінетичної енергії поступального руху та кінетичної енергії обертання навколо осі, що проходить через центр тяжіння.

Якщо повна кінетична енергія частинок до і після зіткнення одна і та ж точно зазначено, на скільки вона змінюється в результаті зіткнення, то поставлене завдання вирішується однозначно. Невідомими є шість величин – шість складових імпульсу обох частинок. Закони збереження дають чотири рівності: одна, що відповідає збереженню скалярної величини енергії (з урахуванням можливої ​​втрати її, якщо зіткнення непружне) і три, що виражають збереження векторної величини повного імпульсу.

Діаграма повної кінетичної енергії, якою володіє механізм під час руху.

Визначити повну кінетичну енергію позитрону та електрона в момент їх виникнення.

Отже, повна кінетична енергія молекули газу пропорційна його абсолютній температурі залежить тільки від цієї температури.

Отже, повна кінетична енергія молекули газу пропорційна його абсолютній температурі залежить тільки від неї.

Для підрахунку повної кінетичної енергії необхідно знати, по-перше, положення миттєвої осі (від неї залежить У) і, по-друге, кутову швидкість обертання з. Визначення цих величин у випадку важко, оскільки положення осі в тілі може змінюватися. Однак у окремому випадку плоского руху це завдання спрощується, бо вісь обертання зберігає постійний напрямок у тілі.

Сторінка 1 з 3

129. Виведіть формулу для моменту інерції тонкого кільця радіусом Rта масою m щодо осі симетрії.

131. Виведіть формулу для моменту інерції суцільної кулі радіусом R та масою m щодо осі, що проходить через центр мас кулі.

132. Виведіть формулу для моменту інерції порожньої кулі щодо осі, що проходить через її центр. Маса кулі дорівнює m, внутрішній радіус r зовнішній R.

133. Вивести формулу для моменту інерції циліндричної муфти щодо осі, що збігається з її віссю симетрії. Маса муфти дорівнює m, внутрішній радіус r зовнішній R.

134. Визначте момент інерції суцільного однорідного диска радіусом R= 40 см і масою m = 1 кг щодо осі, що проходить через середину одного з радіусів перпендикулярно до площини диска.

135. Визначити момент інерції J тонкого однорідного стрижня довжиною l = 50 см і масою m = 360 г щодо осі, перпендикулярної до стрижня і проходить через: 1) кінець стрижня; 2) точку, що віддалена від кінця стрижня на 1/6 його довжини.

136. Куля та суцільний циліндр, виготовлені з одного і того ж матеріалу, однаковою маса котяться без ковзання з однаковою швидкістю. Визначити, у скільки разів кінетична енергія кулі менша за кінетичну енергію суцільного циліндра.

137. Повна кінетична енергія T диска, що котиться горизонтальною поверхнею, дорівнює 24 Дж. Визначте кінетичну енергію T 1 поступального та T 2 обертальний рух диска.

138. Порожнистий тонкостінний циліндр масою m = 0,5 кг, що котиться без ковзання, ударяється об стіну і відкочується від неї. Швидкість циліндра до удару в стіну v 1 = 1,4 м/с, після удару v` 1 = 1 м/с. Визначити кількість теплоти, що виділилася при ударі.

Приклади розв'язання задач

Завдання 1. Матеріальна точка рухалася протягом t1 =15c зі швидкістю V1 =15м/с, t2 =10c зі швидкістю V2 =8м/с та t3 =6с зі швидкістю V3 =20м/с. Чому дорівнює середня швидкість за весь час руху?

Дано: t1 = 15c; V1 = 15м/с; t2 = 10c; V2 = 8м/с; t3 = 6с; V3 = 20м/с.

Знайти: V порівн.

Рішення. Середня швидкість Vср = S t , де S = S1 + S2 + S3 = V1 t1 + V2 t2 + V3 t3, а t = t1 + t2 + t3.

V ср = V 1 t 1 + V 2 t 2 + V 3 t 3 . t 1+ t 2+ t 3

Відповідь: Vср = 8,9 м/с.

Задача 2. Першу половину шляху тіло пройшло під час t1 =2c, другу – під час t2 =8c. Чому дорівнює середня швидкість на довжині колії 20м?

Дано: t1 = 2c; t2 = 8c; S1 = S2 = S/2; S = 20м.

Знайти: V порівн.

Рішення. Середня швидкість V ср = St = t1 + St2.

Відповідь: Vср = 2,0 м/с.

Завдання 3. Дві матеріальні точки рухаються відповідно до рівнянь x1 =A1 t+B1 t2 +C1 t3 і x2 =A2 t+B2 t2 +C2 t3 де A1 =4м/с, B1 =8м/с2 , C1 =-16м/с3 , A2 = 2м/с, B2 = -4м/с2, C2 = 1м/с3. У який час прискорення цих тіл

будуть однаковими?

Дано: x1 = A1 t + B1 t2 + C1 t3; x2 = A2 t + B2 t2 + C2 t3; A1 = 4м/с; B1 = 8м/с2; C1 =-16м/с3; A2 = 2м/с; B2 =-4м/с2; C2 = 1м/с3.

Рішення. Знайдемо прискорення матеріальних точок як похідні другого порядку від рівнянь x(t):

a1 (t) = x1 "(t) = 2B1 +6C1 t a2 (t) = x2 "(t) = 2B2 +6C2 t.

Прирівнюючи праві частини знаходимо t:

2B1 +6C1 t=2B2 +6C2 t

Відповідь: t=0,24c.

Завдання 4. Шайба, пущена поверхнею льоду з початковою швидкістю V0 =20м/с, зупинилася через t=40с. Чому дорівнює значення коефіцієнта тертя шайби про лід?

Дано: V0 = 20м/с; t = 40с.

m 1 V 1 =m 2 V 2 V 1 =

Рішення. Прискорення, із яким рухається шайба a=kg. З іншого боку V0 = at.

Звідси a = Vt0 або kg = Vt0k = Vgt0.

Відповідь: k = 0,05.

Завдання 5. Ковзаняр масою m2 =60кг, стоячи на льоду, кинув вперед гирю масою m1 =5кг і внаслідок віддачі покотився назад зі швидкістю V2 =1м/с. Чому дорівнює робота, здійснена ковзанярем під час кидання гирі?

Дано: m2 = 60кг; m1 = 5кг; V2 = 1м/с.

Рішення. Використовуючи закон збереження імпульсу, знайдемо швидкість гирі V1:

m 2 V 2 . V 1 = 60*1 = 12м/с. Робота, здійснена ковзаняром, m 1 5

дорівнює сумі кінетичних енергій, придбаних ковзаняром і гирей:

Відповідь: А = 390Дж.

Завдання 6. Лінійна швидкість V1 точки, що знаходиться на обіді диска, що обертається, втричі більше, ніж лінійна швидкість V2 точки, що знаходиться на 6 см ближче до його осі. Знайдіть радіус диска.

Дано: V1 = 3V2.

Рішення. Лінійні швидкості точки на обід диска і точки, що знаходиться на 6см ближче до осі диска, рівні відповідно

Відповідь: R = 0,9 м.

Завдання 7. Колесо обертається з постійним кутовим прискоренням ε=3рад/с2. Через t=1с після початку руху повне прискорення колеса a=7,5м/с2.

радіус колеса.

Дано: ε=3рад/с2; t=1с; a = 7,5 м / с2.

Завдання 8. Тіло масою m=2кг рухається згідно із законом S=A-Bt+Ct2 -Dt3 (C=2м/с2, D=0,4м/с3). Знайдіть силу, що діє на тіло наприкінці першої секунди.

Дано: m=2кг; S=A-Bt+Ct2-Dt3; C=2м/с2; D = 0,4 м / с3.

Рішення. За другим законом Ньютона

F = ma = mdV dt. Швидкість V = dV dt = -B + 2Ct-3Dt2.

Прискорення a = dV dt = 2C - 6Dt.

Сила, що діє тіло F=m(2C-6Dt).

Відповідь: F = 3,2Н.

Завдання 9. Нитка з підвішеним вантажем масою m=500г піднімають із прискоренням 2м/с2. Чому дорівнює сила натягу нитки?

Дано: m = 0,5 кг; a = 2м/с2.

Рішення. Згідно з другим законом Ньютона r = T + mg r . У проекції на вертикальну восьма = T − mg. Звідси T = ma + mg = m (a + g).

Відповідь: T = 6Н.

Завдання 10. Снаряд масою m=5кг, що вилетів із зброї, у верхній точці траєкторії має швидкість V=300м/с. У цій точці він розірвався на два уламки, причому великий уламок масою m1 =3кг полетів у зворотному напрямку зі швидкістю V1 =100м/с. Чому дорівнює швидкість другого уламка?

Дано: m=5кг; V=300м/с; m1 = 3кг; V1 = 100м/с.

горизонтальну вісь mV = − m 1 V 1 + m 2 V 2 . Маса другого осколка m2 = m-m1.

mV = − m 1 V 1 + (m − m 2)V 2 . Звідси отримуємо V 2 = mV + m 1 V 1 .m − m 1

Відповідь: V2 = 900м/с.

Завдання 11. Повна кінетична енергія Т диска, що котиться горизонтальною поверхнею, дорівнює 24Дж. Чому рівні кінетичні енергії поступального та обертального руху диска?

Дано: Т = 24Дж. Знайти: Т1; Т2.

T1 = 322 = 16Дж, T2 = 324 = 8Дж.

Відповідь: Т1 = 16Дж, Т2 = 8Дж.

Задача 12. Куля радіусом R=10см і масою m=5кг обертається навколо осі симетрії згідно з рівнянням φ=A+Bt2 +Ct3 (B=2рад/с2, С=-0,5рад/с3). Чому дорівнює момент сил моменту часу t=3c?

Дано: R = 0,1 м; m=5кг; φ = A + Bt2 + Ct3; B=2рад/с2; С=-0,5рад/с3; t=3c.

Відповідь: M = -0,1 Н · м.

Завдання 13. Горизонтальна платформа (диск) масою m=25кг і радіусом R=0,8м обертається із частотою n1 =18мин-1 . Людина, що стоїть у центрі, опустивши руки, зменшує свій момент інерції від I1 = 3,5 кгм2 до I2 = 1 кгм2. Яке значення набуває при цьому частота обертання платформи?

Дано: m=25кг; R=0,8м; n1 = 18хв-1; I1 = 3,5кг · м2; I2 = 1кг·м2.

Знайти: n 2 .

Рішення. Платформа з людиною становить замкнуту систему, тому йому L=const. L=Iω=const, тобто. (I1 +I)ω1 =(I2 +I)ω2.

Тут момент інерції платформи I = mR 2 2, ω1 = 2πn1, ω2 = 2πn2. Підставляючи в

рівність отримуємо (I 1 + mR 2 2)n 1 = (I 2 + mR 2 2)n 2 . Звідси n 2 = 2 I 1 + mR 2 n 1 . 2I 2 + mR 2

Відповідь: n2 = 23хв-1.

Завдання 14. На якій висоті від Землі період звернення штучного супутника Землі по круговій орбіті становить 3ч?

Дано: Т = 3ч. Знайти:Н.

Рішення. При русі штучного супутника Землі по круговій орбіті доцентрова сила дорівнює гравітаційній силі тяжіння:

mV r 2 = GmM r 2 . Тут r = Rз + H, V = ωr = 2 T π r. Тоді r = 3 GMT 4 π 2 2 або H = 3 GMT 4 π 2 2 − Rз.

Відповідь: H = 4,2 · 106 м.

Дано: g = 0,25g.

Рішення. Усередині Землі прискорення вільного падіння прямо пропорційно

відстані від центру Землі. Тому g | = R З − h .g R з

Звідси h = R з (1−g|)=(1−0,25g) Rз=0,75Rз.gg

Відповідь: h = 0,75 Rз.

Завдання 16. Штучний супутник Землі рухається круговою орбітою. Чому рівне ставлення його гравітаційної потенційної енергії до кінетичної енергії?

Дано: r = R з.

Рішення. Потенційна гравітаційна енергія супутника за модулем дорівнює

Задача 17. Штучний супутник Землі рухається круговою орбітою на висоті h=500км. Чому дорівнює швидкість його руху?

Дано: h = 5 · 105 м.

S . Звідси знаходимо градієнт швидкості

Рішення. Відцентрова сила, що утримує супутник на круговій орбіті, дорівнює гравітаційній силі тяжіння:

вертикальну петлю Нестерова радіусом R = 360м. Чому рівна сила, що притискає льотчика до сидіння в нижній точці цієї петлі?

Дано: V = 100м/с; R = 360м.

Рішення. У нижній точці петлі сила, що притискає льотчика до сидіння, дорівнює

F = mV 2 + mg = m (V 2 + g) . R R

Відповідь: F = 3 · 103 Н.

Завдання 19. Чому дорівнює робота, що витрачається на подолання тертя при переміщенні води об'ємом V = 1,5 м3 у горизонтальній трубі від перерізу з тиском P1 = 40кПа до перерізу з тиском P2 = 20кПа?

Дано: V = 1,5 м3; P1 = 40кПа = 40 · 103 Па; P2 = 20кПа = 20 · 103 Па.

Рішення. При переміщенні води вздовж труби на неї діє сила

F=(P1-P2)S. Робота цієї сили A=F·l=(P1-P2)S·l=(P1-P2)V. Відповідь: A = 30 · 103 Дж.

Задача 20. У поточній рідині з динамічною в'язкістю η=10-3 Па·с між шарами площею дотику S=10см2 виникає сила тертя

F=0,1мН. Чому дорівнює градієнт швидкості?

Дано: η=10-3 Па·с; S = 10-3 м2; F=10-4 н.

Знайти: dV dx.

Рішення. Відповідно до закону Ньютона для в'язких рідин сила тертя між шарами рідини дорівнює F = η dV dx

Відповідь: dV dx = 100с -1.

Завдання 21. Чому дорівнює збільшення часу життя нестабільної частки 0

(по годинах нерухомого спостерігача) під час руху зі швидкістю 0,9с?

Дано: V = 0,9 с.

Знайти: t. t 0

Рішення. Збільшення часу у релятивістській механіці визначається

Завдання 22. Чому дорівнює відносна швидкість руху, за якої релятивістське скорочення лінійних розмірів становить 10%?

Дано: ∆ l l = 0,1.

Рішення. Релятивістське скорочення лінійних розмірів визначається

Відповідь: V = 1,31 · 108 м / с.

Завдання 23. Дві ракети рухаються назустріч одна одній щодо нерухомого спостерігача з однаковою швидкістю 0,5с. Чому дорівнює швидкість зближення ракет?

Дано: V1 = V2 = 0,5 с.

Рішення. Складання швидкостей у релятивістській механіці визначається формулою

U = V1 + V2. 1 + V c 1 V 2 2

Відповідь: U = 0,8с.

Завдання 24. Чому дорівнює відношення повної енергії частки, що рухається зі швидкістю V=0,8с, до її спокою?

Дано: V = 0,8 с.

Рішення. Повна кінетична енергія частки визначається формулою

Відповідь: E = 1,67.

Завдання 25. Чому дорівнює релятивістський імпульс протону за його швидкості

V = 0,8? Дано: V = 0,8 с.

Завдання 26. Чому дорівнює робота, необхідна збільшення швидкості частки від 0,5с до 0,7с?

Дано: V1 = 0,5с; V2 = 0,7c.

Рішення. Робота дорівнює збільшенню кінетичної енергії частки: A = T2 -T1;

Відповідь: A = 0,245 m0 c2.

Завдання 27. Знайдіть момент інерції матеріальної точки масою m=0,3кг щодо осі, що віддаляється від точки на відстані r=20см.

Дано: m = 0,3 кг; r=0,2м.

Рішення. Момент інерції матеріальної точки визначається формулою I = mr2.

Відповідь: I = 0,012кг · м2.

Завдання 28. Чому дорівнює робота, що здійснюється при рівноприскореному підйомі вантажу m=100кг на висоту h=4м за час t=2с?

Дано: m=100кг; h = 4м, t = 2с.

Рішення. При рівноприскореному підйомі вантажу сила, прикладена до вантажу, дорівнює

F = ma + mg . Прискорення знайдемо з рівняння h = at 2 2 a = 2 t h 2 .

Знайти лінійну швидкість Землі vпри її орбітальному русі. Середній радіус земної орбіти R= 1,5 · 10 8 км.

Відповідь та рішення

v≈ 30 км/с.

v = 2πR/ (365 · 24 · 60 · 60).

Пропелер літака радіусом 1,5 м обертається при посадці з частотою 2000 хв -1, посадкова швидкість літака щодо Землі дорівнює 162 км/год. Визначити швидкість точки на кінці пропелера. Яка траєкторія руху цієї точки?

Відповідь та рішення

v≈ 317 м/с. Крапка на кінці пропелера описує гвинтову лінію з кроком h≈ 1,35 м.

Пропелер літака обертається із частотою:

λ = 2000/60 с -1 = 33,33 с -1.

Лінійна швидкість точки на кінці пропелера:

vлін = 2 πRλ≈ 314 м/с.

Швидкість літака під час посадки v= 45 м/с.

Результуюча швидкість точки на кінці пропелера дорівнює сумі векторів лінійної швидкості при обертанні пропелера та швидкості літака при посадці:

vріз = ≈ 317 м/с.

Крок гвинтової траєкторії дорівнює:

h = v/λ ≈ 1,35 м.

Диск радіусом Rкотиться без ковзання з постійною швидкістю v. Знайти геометричне місце точок на диску, які в Наразімають швидкість v.

Відповідь

Геометричним місцем точок на диску, що мають швидкість vв даний момент, є дуга радіусу R, Центр якої лежить у точці торкання диска з площиною, тобто. у миттєвому центрі обертання.

Циліндричний каток радіусом Rвміщений між двома паралельними рейками. Рейки рухаються в одну сторону зі швидкостями v1 і v2.

Визначити кутову швидкість обертання катка та швидкість його центру, якщо прослизання відсутнє. Вирішити завдання для випадку, коли швидкості рейок спрямовані в різні сторони.

Відповідь

; .

По горизонтальній площині котиться без ковзання із постійною швидкістю vз обруч радіусом R. Які швидкості та прискорення різних точок обруча щодо Землі? Виразити швидкість як функцію кута між вертикаллю та прямою, проведеною між точкою дотику обруча з площиною та даною точкою обруча.

Відповідь

v A = 2 v C cos α . Прискорення точок обода містить лише доцентрову складову, рівну aц = v 2 /R.

Автомобіль рухається зі швидкістю v= 60 км/год. З якою частотою nобертаються його колеса, якщо вони котяться по шосе без ковзання, а зовнішній діаметр покришок коліс дорівнює d= 60 см? Знайти відцентрове прискорення ацс зовнішнього шару гуми на шинах його коліс.

Відповідь

n≈ 8,84 -1 ; aц ≈ 926 м/с 2 .

На горизонтальну площину кладуть тонкостінний циліндр, що обертається зі швидкістю v 0 довкола своєї осі. Якою буде швидкість руху осі циліндра, коли припиниться прослизання циліндра щодо площини?

Відповідь

v = v 0 /2.

Чи виконує роботу, що рівнодіє всіх сил, прикладених до тіла, що рівномірно рухається по колу?

Відповідь

Вантаж масою mможе ковзати без тертя по горизонтальному стрижню, що обертається навколо вертикальної осі, що проходить через один з його кінців. Вантаж з'єднують із цим кінцем стрижня пружиною, коефіцієнт пружності якої k. За якої кутової швидкості ω пружина розтягнеться на 50% первісної довжини?

Відповідь

Дві точкові маси m 1 і m 2 прикріплені до нитки та знаходяться на абсолютно гладкому столі. Відстань від них до закріпленого кінця нитки рівні l 1 і l 2 відповідно.

Система обертається в горизонтальній площині навколо осі, що проходить через закріплений кінець, кутовий швидкістю ω . Знайти сили натягу ділянок нитки Т 1 і Т 2 .

Відповідь

T 1 = (m 1 l 1 +m 2 l 2)ω 2 ; T 2 = m 2 ω 2 l 2 .

Людина сидить на краю круглої горизонтальної платформи радіусом. R=4 м. З якою частотою nповинна обертатися платформа навколо вертикальної осі, щоб людина не могла втриматися на ній при коефіцієнті тертя k=0,27?

Відповідь

n= 6,75 хв -1.

Тіло масою mзнаходиться на горизонтальному дискуна відстані rвід осі. Диск починає розкручуватися із малим прискоренням. Побудувати графік залежності складової сили тертя у радіальному напрямку, що діє на тіло, від кутової швидкості обертання диска. При якому значенні кутової швидкості диска почнеться зісковзування тіла?

Відповідь

Камінь масою m=0,5 кг, прив'язаний до мотузки завдовжки l= 50 см, обертається у вертикальній площині. Сила натягу мотузки, коли камінь проходить нижчу точку кола, Т=44 Н. На яку висоту hнад нижньою точкою кола підніметься камінь, якщо мотузку перерізати у той момент, коли його швидкість спрямована вертикально вгору?

Відповідь

h≈ 2 м.

Спортсмен посилає молот (ядро на тросі) на відстань l=70 м траєкторії, що забезпечує максимальну дальність кидка. Яка сила Тчи діє на руки спортсмена в момент кидка? Маса молота m= 5 кг. Вважати, що спортсмен розганяє молот, обертаючи його у вертикальній площині по колу радіусом. R=1,5 м. Опір повітря не враховувати.

Відповідь

T≈ 2205 Н.

Автомобіль масою М=3*10 3 кг рухається із постійною швидкістю v=36 км/год: а) горизонтальним мостом; б) по опуклому мосту; в) по увігнутому мосту. Радіус кривизни мосту в останніх двох випадках R=60 м. З якою силою тисне автомобіль на міст (в останніх двох випадках) у той момент, коли лінія, що з'єднує центр кривизни моста з автомобілем, становить кут α = 10 ° з вертикаллю?

Відповідь

а) F 1 ≈ 29 400 Н; б) F 2 ≈ 24 000 Н; в) F 3 ≈ 34 000 Н.

По опуклому мосту, радіус кривизни якого R= 90 м, зі швидкістю v= 54 км/год рухається автомобіль масою m= 2 т. У точці моста, напрям на яку з центру кривизни мосту складає з напрямком на вершину моста кут α , автомобіль тисне з силою F= 14400 Н. Визначити кут α .

Відповідь

α ≈ 8,5º.

Кулька масою m= 100 г підвішений на нитки довжиною l=1 м. Кульку розкрутили так, що вона почала рухатися по колу в горизонтальній площині. При цьому кут, що складається ниткою з вертикаллю, α = 60 °. Визначити повну роботу, що здійснюється під час розкручування кульки.

Відповідь

A≈ 1,23 Дж.

З якою найбільшою швидкістю може рухатися автомобіль на повороті з закругленням радіусом R= 150 м, щоб його не «занесло», якщо коефіцієнт тертя ковзання шин дорогу k = 0,42?

Відповідь

v≈ 89 км/год.

1. Яким має бути максимальний коефіцієнт тертя ковзання kміж шинами автомобіля та асфальтом, щоб автомобіль міг пройти закруглення радіусом R= 200 м за швидкості v= 100 км/год?

2. Автомобіль з усіма провідними колесами, рушаючи з місця, рівномірно набирає швидкість, рухаючись горизонтальною ділянкою дороги, що є дугою кола α = 30 ° радіусом R= 100 м. З якою максимальною швидкістю автомобіль може виїхати на пряму ділянку колії? Коефіцієнт тертя коліс об землю k = 0,3.

Відповідь

1. k ≈ 0,4.

2. v≈ 14,5 м/с.

Поїзд рухається по заокругленню радіусом R= 800 м зі швидкістю v= 12 км/год. Визначити, наскільки зовнішня рейка має бути вищою за внутрішню, щоб на колесах не виникало бічного зусилля. Відстань між рейками по горизонталі прийняти рівним d= 1,5 м-коду.

Відповідь

Δh≈ 7,65 см.

Мотоцикліст їде горизонтальною дорогою зі швидкістю 72 км/год, роблячи поворот радіусом кривизни 100 м. На скільки він повинен нахилитися, щоб не впасти на повороті?

Відповідь

1. З якою максимальною швидкістю vможе їхати горизонтальною площиною мотоцикліст, описуючи дугу радіусом R= 90 м, якщо коефіцієнт тертя ковзання k = 0,4?

2. На який кут φ від вертикального напряму він має при цьому відхилитися?

3. Чому дорівнюватиме максимальна швидкість мотоцикліста, якщо він їхатиме похилим треком з кутом нахилу α = 30° при тому ж радіусі заокруглення та коефіцієнті тертя?

4. Яким має бути кут нахилу треку α 0 для того, щоб швидкість мотоцикліста могла бути як завгодно великою?

Відповідь

1. v≈ 18,8 м/с. 2. φ ≈ 21,8°. 3. vмакс ≈ 33,5 м/с. 4. α 0 = arctg(1/ k).

Літак здійснює поворот, рухаючись дугою кола з постійною швидкістю v= 360 км/год. Визначити радіус Rцього кола, якщо корпус літака повернутий навколо напрямку польоту на кут α = 10 °.

Відповідь

R≈ 5780 м.

На повороті дороги радіусом R= 100 м поступово рухається автомобіль. Центр тяжіння автомобіля знаходиться на висоті h= 1 м, ширина колії автомобіля а= 1,5 м. Визначити швидкість v, коли автомобіль може перекинутися. У поперечному напрямку автомобіль не ковзає.

Відповідь

v≈ 26,1 м/с.

Шофер, що їде автомобілем, раптово помітив перед собою паркан, перпендикулярний напрямку його руху. Що вигідніше зробити, щоб запобігти аварії: загальмувати чи повернути убік?

Відповідь

Загальмувати.

У вагоні поїзда, що йде рівномірно криволінійним шляхом зі швидкістю v= 12 км/год, зважується вантажу на пружинних вагах. Маса вантажу m= 5 кг, а радіус закруглення колії R= 200 м. Визначити показання пружинних ваг (силу натягу пружини) Т).

Відповідь

T≈ 51 Н.

Знайти силу Fод.про. , що відокремлює вершки (щільність ρ з = 0,93 г/см 3) від знятого молока ( ρ м = 1,03 г/см 3) у розрахунку на одиницю об'єму, якщо відділення відбувається: а) у нерухомій посудині; б) у відцентровому сепараторі, що обертається з частотою 6000 хв -1 якщо рідина знаходиться на відстані r= 10 див від осі обертання.

Відповідь

а) Fод.про. ≈ 980 Н/м 3 ;

б) Fод.про. ≈ 3,94·10 5 Н/м 3 ;

Літак робить "мертву петлю" з радіусом R= 100 м і рухається нею зі швидкістю v= 280 км/год. З якою силою Fтіло льотчика масою М= 80 кг буде тиснути на сидіння літака у верхній та нижній точках петлі?

Відповідь

F≈ 4030 Н, Fн ≈ 5630 Н.

Визначити силу натягу Тканата гігантських кроків, якщо маса людини М= 70 кг та канат при обертанні утворює зі стовпом кут α = 45°. З якою кутовою швидкістю зі обертатимуться гігантські кроки, якщо довжина підвісу l= 5 м?

Відповідь

T≈ 990 Н; ω ≈ 1,68 рад/с.

Знайти період Тобертання маятника, що здійснює кругові рухи в горизонтальній площині. Довжина нитки l. Кут, утворений ниткою з вертикаллю, α .

Відповідь

.

Грузик, підвішений на нитці, обертається в горизонтальній площині так, що відстань від точки підвісу до площини, в якій відбувається обертання, дорівнює h. Знайти частоту та обертання вантажу, вважаючи її незмінною.

Відповідь

Результат не залежить від довжини підвісу.

Люстра масою m= 100 кг підвішена до стелі на металевому ланцюгу, довжина якого l= 5 м. Визначити висоту h, на яку можна відхилити люстру, щоб при наступних коченнях ланцюг не обірвався? Відомо, що розрив ланцюга настає при силі натягу Т> 1960 р.

Відповідь

h≈ 2,5 м.

Кулька масою mпідвішений на нерозтяжній нитці. На який мінімальний кут α мін треба відхилити кульку, щоб при подальшому русінитка обірвалася, якщо максимально можлива сила натягу нитки 1,5 mg?

Відповідь

α хв ≈ 41,4°.

Маятник відхиляють у горизонтальне положення та відпускають. При якому вугіллі α з вертикаллю сила натягу нитки дорівнюватиме за величиною тяжкості, що діє на маятник? Маятник вважати математичним.

Відповідь

α = arccos(⅓).

Вантаж масою m, прив'язаний до нерозтяжної нитки, обертається у вертикальній площині. Знайти максимальну різницю сил натягу нитки.

Відповідь

Гімнаст «крутить сонце» на перекладині. Маса гімнасту m. Вважаючи, що його маса зосереджена у центрі тяжкості, а швидкість у верхній точці дорівнює нулю, визначити силу, що діє руки гімнасту в нижній точці.

Відповідь

Один вантаж підвішений на нерозтяжній нитці завдовжки l, а інший - на жорсткому невагомому стрижні такої ж довжини. Які мінімальні швидкості потрібно повідомити ці грузики, щоб вони оберталися у вертикальній площині?

Відповідь

Для нитки vхв =; для стрижня vхв = .

Кулька масою Мпідвішений на нитки. У натягнутому стані нитку розташували горизонтально і відпустили кульку. Вивести залежність сили натягу нитки Твід кута α , який утворює нитку з горизонтальним напрямком. Перевірити виведену формулу, вирішивши завдання для випадку проходження кульки через положення рівноваги, при α = 90 °.

Відповідь

T = 3Mg sin α ; T = 3Mg.

Математичний маятник завдовжки lта масою Мвідвели на кут φ 0 від положення рівноваги та повідомили йому початкову швидкість v 0 спрямовану перпендикулярно до нитки вгору. Знайти силу натягу нитки маятника Тзалежно від кута φ нитки з вертикаллю.

Відповідь

.

Вантажівка, підвішена на нитки, відводять убік так, що нитка приймає горизонтальне положення, і відпускають. Який кут з вертикаллю утворює пити в той момент, коли вертикальна складова швидкості вантажу найбільша?

Відповідь

Однакові пружні кульки масою m, підвішені на нитках рівної довжинидо одного гачка, відхиляють у різні боки від вертикалі на кут α та відпускають. Кульки вдаряються і відскакують одна від одної. Яка сила F, що діє на гачок: а) при крайніх положеннях ниток; б) у початковий та кінцевий моменти удару кульок; в) у момент найбільшої деформації кульок?

Відповідь

а) F = 2mg cos 2 α ;

б) F = 2mg(3 - 2cos α );

в) F = 2mg.

Математичного маятниказ гнучкою нерозтяжною ниткою завдовжки lповідомляють із положення рівноваги горизонтальну швидкість v 0 . Визначити максимальну висотуйого підйому hпри русі по колу, якщо v 0 2 = 3gl. По якій траєкторії рухатиметься кулька маятника після того, як вона досягла максимальної висоти підйому hна колі? Визначити максимальну висоту H, що досягається при цьому русі маятника.

Відповідь

; по параболі; .

Маленька кулька підвішена в точці Ана нитки завдовжки l. У точці Прона відстані l/2 нижче точки Ау стіну вбито цвях. Кулю відводять так, що нитка займає горизонтальне положення, і відпускають. У якій точці траєкторії зникає сила натягу нитки? Як далі рухатиметься кулька? До якої найвищої точкипідніметься кулька?

Відповідь

на l/6 нижче точки підвісу; по параболі; на 2 l/27 нижче точки підвісу.

Посудина, що має форму усіченого конуса, що розширюється, з діаметром дна D= 20 см та кутом нахилу стінок α = 60 °, обертається навколо вертикальної осі 00 1 . За якої кутової швидкості обертання судини ω маленька кулька, що лежить на його дні, буде викинута з судини? Тертя не враховувати.

Відповідь

ω > ≈13 рад/с.

Сфера радіусом R= 2 м рівномірно обертається навколо осі симетрії з частотою 30 хв -1. Усередині сфери знаходиться кулька масою m= 0,2 кг. Знайти висоту h, відповідну положенню рівноваги кульки щодо сфери, та реакцію сфери N.

Відповідь

h≈ 1 м; N≈ 0,4 Н.

Усередині конічної поверхні, що рухається з прискоренням a, обертається кулька по колу радіусом R. Визначити період Труху кульки по колу. Кут при вершині конуса 2 α .

Відповідь

.

Невелике тіло масою mзісковзує вниз по похилому скату, що переходить у мертву петлю радіусом R.

Тертя мізерно мало. Визначити: а) яка має бути найменша висота hската, щоб тіло зробило повну петлю, не випадаючи; б) який тиск Fпри цьому виробляє тіло на поміст у точці, радіус-вектор якої складає кут α з вертикаллю.

Відповідь

а) h = 2,5R; б) F = 3mg(1 - cos α ).

Стрічка конвеєра нахилена до горизонту під кутом α . Визначити мінімальну швидкість стрічки vхв, при якій частка руди, що лежить на ній, відокремлюється від поверхні стрічки в місці набігання її на барабан, якщо радіус барабана дорівнює R.

Відповідь

vхв = .

Невелике тіло ковзає з вершини сфери вниз. На якій висоті hвід вершини тіло відірветься від поверхні сфери радіусом R? Тертям знехтувати.

Відповідь

h = R/3.

Знайти кінетичну енергію обруча масою m, що котиться зі швидкістю v. Прослизання немає.

Відповідь

K = mv 2 .

Тонкий обруч без ковзання скочується в яму, що має форму півсфери. На якій глибині hсила нормального тиску обруча на стінку ями дорівнює його силі тяжіння? Радіус ями R, радіус обруча r.

Відповідь

h = (R - r)/2.

Маленький обруч котиться без ковзання по внутрішньої поверхнівеликий півсфери. У початковий моменту неї верхнього краюобруч спочивав. Визначити: а) кінетичну енергію обруча у нижній точці півсфери; б) яка частка кінетичної енергії припадає на обертальний рухобруча навколо його осі; в) нормальну силу, що притискає обід до нижньої точки півсфери. Маса обруча дорівнює m, радіус півсфери R.

Відповідь

а) K = mgR; б) 50%; в 2 mg.

Вода тече по трубі, яка розташована в горизонтальній площині і має закруглення радіусом. R= 2 м. Знайти бічне тиск води. Діаметр труби d= 20 см. Через поперечний перерізтруби протягом однієї години протікає М= 300 т води.

Відповідь

p= 1,2 · 10 5 Па.

Тіло зісковзує з точки Ав точку Упо двох викривлених похилих поверхнях, що проходять через крапки Aі Уодин раз по опуклій дузі, другий - по увігнутій. Обидві дуги мають однакову кривизну і коефіцієнт тертя в обох випадках той самий.

У якому разі швидкість тіла у точці Bбільше?

Відповідь

У разі руху опуклою дугою.

Стрижень нікчемної маси завдовжки lз двома маленькими кульками m 1 і m 2 (m 1 > m 2) на кінцях може обертатись біля осі, що проходить через середину стрижня перпендикулярно до нього. Стрижень приводять у горизонтальне положення та відпускають. Визначити кутову швидкість ω та силу тиску Fна вісь у момент проходження стрижнем з кульками положення рівноваги.

Відповідь

; .

На виток циліндричної спіралі, вісь якої вертикальна, надягають маленьке колечко масою m. Кільце без тертя починає ковзати по спіралі. З якою силою Fбуде колечко тиснути на спіраль після того, як воно пройде nповних витків? Радіус витка R, відстань між сусідніми витками h(Крок витка). Вважати h ≪ R.

Відповідь

.

Замкнений металевий ланцюжок лежить на гладхому горизонтальному диску, будучи вільно насаджений на кільце, що центрує, співвісне з диском. Диск приведений у обертання. Приймаючи форму ланцюжка за горизонтальне коло, визначити силу натягу Твздовж ланцюжка, якщо його маса m= 150 г, довжина l= 20 см і ланцюжок обертається із частотою n= 20 з -1.

Відповідь

T≈ 12 Н.

Реактивний літак m= 30 т летить уздовж екватора із заходу Схід зі швидкістю v= 1800 км/год. На скільки зміниться підйомна сила, що діє на літак, якщо він летітиме з тією ж швидкістю зі сходу на захід?

Відповідь

ΔFпід ≈ 1,74 · 10 3 Н.

Досі ми розглядали рух дзиги з однією нерухомою точкою, наявністю якої по суті справи, і викликалися прецесійні та нутаційні рухи. Як же поведеться дзига, якщо такої точки не буде і він зможе вільно рухатися горизонтальною поверхнею? Таке завдання розглянуто в книгах, де дається напівякісне пояснення характеру руху дзиги. Ми дамо своє пояснення, хоч теж наближене.
Розберемо випадок, розглянутий у роботі , коли дзига знаходиться на абсолютно гладкої поверхні, тобто тертя між поверхнею і дзиґою відсутня. Якщо дзига, що обертається, обережно без поштовху поставити на поверхню під кутом до вертикалі, то його кінець, що стикається з поверхнею, буде описувати фігури, характерні для сукупності нутаційного і прецесійного рухів (рис. 1). Такий характер руху дзиги можна пояснити такими причинами.
1. На дзига діє активний момент сил G і N, рівних за величиною один одному. Під дією цього моменту, як і в попередніх прикладах, дзига почне здійснювати прецесійний і нутаційний рух з опорою на вістря. Закон цього руху можна приблизно розрахувати, якщо вершину дзиги вважати нерухомою.
2. Оскільки між вістрям дзиги і поверхнею тертя відсутнє, рух центру мас дзиґа призведе до руху його вершини по відношенню до поверхні, причому незначні переміщення центру мас по вертикалі, призведуть до істотної зміни кута a(Див. рис. 1, б). Зробимо елементарні розрахунки визначення відносини Dx/Dz. Спочатку знайдемо кути a1і a2. З малюнка 1,б випливає:
; (1)
, (2)
де ls- Відстань від точки дотику до центру мас дзиги, звідки отримаємо:
(3)
(4)
Тепер знайдемо взаємозалежні зміни координат Dxі Dz:
(5)
(6)
Тоді ставлення прирощень DX/ DZвизначиться виразом:
(7)
При вугіллі a1= 100 відношення Dx/ Dzзмінюється в межах від 5 до 3.5 за зміни Dz/z1 від 0,01 до 0,05. Крім цього величина радіусу ОК1становить приблизно 0.18 від довжини координати Z1. В підсумку незначні коливанняцентри мас щодо його початкового положення ніби посиляться і будуть добре помітні на поверхні. У роботі стверджується, що центр мас буде нерухомим, але цього бути не може, тому що кінець дзиги повинен тоді відриватися від поверхні.
3. Нутаційні коливання дзиги створюють стійкість його руху і не дають йому впасти на поверхню.
Картина руху дзиги буде ще складнішою, якщо він рухатиметься по поверхні за наявності тертя. Якщо вовчку, що обертається, повідомити горизонтальну швидкість шляхом поштовху, він почне рухатися по спіралі (див. рис. 2). Так рухатимуться легкі дзиги по полірованій поверхні. Через кілька обертів по цій спіралі дзига зупиниться в точці Проі продовжуватиме обертатися навколо своєї осі, перебуваючи на одному місці.
То яка ж причина змушує дзига рухатися по спіралі, а не по прямій лінії?
Розглянемо це питання у загальних рисахоскільки фізична картина буде досить складною. Основною причиною такої поведінки дзиги є сила тертя Fтрміж вовчком і поверхнею. Сила тертя гальмуватиме рух, внаслідок чого з'явиться сила інерції, прикладена в центрі мас дзиги і спрямована у бік руху. Під дією сили інерції, що створює перекидальний момент My, вісь обертання дзиги нахилиться вперед на деякий кут aі займе становище Z’, а центр мас S- становище S’(Див. рис. 3, а, б). При повороті дзиги, що обертається, в дію вступає гіроскопічний ефект, розглянутий нами в §5, в результаті чого виникає момент Mx, що обертає дзигу навколо осі X. Для визначення напряму моменту Mxрозглянемо картину швидкостей, що виникає при складанні швидкостей вовчка, що обертається Vrу будь-якій його точці та рівних добутку wна радіус rта швидкості DVrвід повороту дзиги навколо осі Y(Див. рис. 3, в). В результаті складання швидкостей у довільному перерізі дзиги миттєвий центр швидкостей Pvз осі дзиґа зміщується в іншу точку. Внаслідок цього виникне реактивна сила інерції F, яка змусить дзига рухатися до нового положення точки Pv, тому дзига почне повертатися навколо осі Xпроти годинникової стрілки, якщо дивитися з кінця цієї осі. Величина крутного моменту відповідно до формули (5.16) визначиться виразом:
, (8)
де Jx- момент інерції дзиги щодо осі X, що проходить через центр мас дзиги.
В результаті повороту навколо осі X центр мас дзиги займе положення S’’, а вісь Z’- становище Z’’, повернувшись на кут b(див. рис. 3, а,б).Результуюче переміщення центру мас вовчка визначиться відрізком DZ, рівним геометричній суміпереміщень DXі DY. Таким чином, центр мас вовчка зміститься щодо системи координат X,Y,Z, початок якої знаходиться в точці А, і лежатиме на прямий I-I, розташованої під кутом gдо осі X.
Під дією моментів Myі Mxдзига мав би впасти, але тут знову проявляє себе гіроскопічний ефект, зумовлений вагою дзиги G. Цей ефект ми докладно розглядали в §§ 4-7, тому просто вкажемо напрямок періодичних сил інерції, що виникають. Для цього покажемо перетин I-Iвовчка вертикальною площиною, що проходить через вісь Z (див. рис. 3,г), а потім переріз II-IIплощиною, перпендикулярною до осі Z’’і проходить через центр мас дзиги (див. рис. 3, д). Величина цих сил визначиться виразами:
; (9)
, (10)
де y- Кут між осями Z’’та Z.
Ці сили вплинуть на рух дзиги, змусивши його здійснювати додаткові переміщення по поверхні. Ці переміщення визначаться проекціями сил і горизонтальне напрям (див. рис. 3,г):
; (11)
(12)
Слід зазначити, що після закінчення одного обороту дзиги навколо його осі результуюче переміщення від дії сили дорівнюватиме нулю, а результуюче переміщення вздовж осі Yвід сили визначиться її проекцією на вісь Yі буде одно:
(13)
тобто. на таку величину переміститься дзига по поверхні в напрямку осі Yза свій оборот під впливом інерційних сил.
В результаті дії всіх факторів: початкового поштовху і інерційних сил, що з'явилися, вовчок буде рухатися по криволінійної траєкторії, яку наближено вважатимемо дугою кола. На малюнку 4 показано переміщення дзиги з початкового нульового в перше положення після першого оберту навколо своєї осі. Величина переміщення визначається за формулою (13), довжина дуги S0S1може бути знайдена шляхом рішення диференціального рівнянняруху дзиги:
, (14)
де V - лінійна швидкість руху дзиги по траєкторії.
Маючи на увазі, що початкова швидкістьруху дзиги по траєкторії V0, А переміщення S вздовж осі X дорівнює нулю, отримаємо такі вирази:
; (15)
, (16)
де m - маса дзиги.
Силу тертя на підставі закону Кулона подаємо у вигляді:
, (17)
де G- вага дзиги, f- Коефіцієнт тертя ковзання для пари матеріалів дзига-опора.
Тоді вирази (15) і (16) перетворюються на вигляд:
; (18)
(19)
Так як час одного обороту дзиги дорівнює:
, (20)
то швидкість і переміщення в першому положенні відповідно дорівнюватимуть:
; (21)
(22)
Знайдемо радіус кривизни траєкторії дзиги, замінивши дугу S0S1хордий. Тоді отримаємо:
(23)
Оскільки з малюнка 4 випливає, що:
, (24)
вираз (23) набуде вигляду:
(25)
Після визначення першого положення дзиги можна переходити до визначення його другого положення, прийнявши перше положення за початкове і ввівши нову системукоординат. Так послідовно крок за кроком можна знайти всю траєкторію руху дзиги.
Для покрокового розрахунку траєкторії можна вивести зручніші формули. Візьмемо на траєкторії два сусідніх становищадзиги, розділених часом його одного обороту навколо осі: положення i та i +1 (див. рис. 5). Значення швидкостей та переміщень у цих точках можна знайти за допомогою виразів (18) та (19):
; (26)
; (27)
; (28)
(29)
Переміщення дзиги по його траєкторії між цими двома положеннями визначиться різницею переміщень Si+1і Si:
(30)
Тут: Dti- час одного обороту дзиги в i-му положенні, що дорівнює:
, (31)
де wi- Кутова швидкість обертання дзиги в i-му положенні.
Кутова швидкість обертання дзиги при його русі по траєкторії безперервно зменшується через тертя об поверхню і втрат енергії на інерційний рух за рахунок дії сил Fxі Fy.
Для визначення кутової швидкості дзиги в будь-якому його положенні запишемо рівняння енергетичного балансу:
, (32)
де J -момент інерції дзиги щодо його осі обертання, DAi- сумарні втрати енергії за час руху до i-го становища.
З виразу (32) випливає:
(33)
Тоді радіус кривизни траєкторії визначиться виразом:
(34)
а кут miза допомогою формули:
(35)
Оскільки траєкторія руху дзиги є криволінійною на дзига буде діяти ще одна сила, яка також буде впливати на характер руху дзиги - це відцентрова силаінерції (рис. 6):
, (36)
де wi- кутова швидкість обертання центру мас дзиги навколо осі Оi(миттєвого центру швидкостей):
(37)
Під дією всіх сил дзига рухатиметься траєкторією з нахиленою по відношенню до вертикалі віссю власного обертання. А це призводить до того, що за наявності тертя дзига буде перекочуватися по поверхні як тіло конічної форми в бік, протилежний обертанню навколо крапки. Проз кутовою швидкістю w. Разом у цьому рухом переміщатиметься і точка А, що лежить на осі дзиги, внаслідок чого траєкторія буде відхилятися від кола радіусу r(Див. рис. 7). Це пояснюється тим, що вістря дзиги затуплене і його можна розглядати як частину сферичної поверхні радіусу rсф. В результаті перекочування дзига буде віддалятися від центру кривизни траєкторії, і її радіус rвідповідно буде збільшуватись. Ця обставина теж вплине на характер руху дзиги. На малюнку 7 rдоб- це збільшення радіуса кривизни траєкторії за рахунок нахилу осі дзиги. Експерименти показують, що при певному початковому нахилі осі дзиги від вертикалі після поштовху дзига може рухатися прямою і навіть по спіралі закрученою в інший бік.
Розрахуємо величину переміщення Skза рахунок перекочування дзиги щодо точки О1за один його оберт навколо своєї осі (див. рис. 8).
Лінійна швидкість переміщення точки торкання Akпри перекочуванні дзиги за рахунок його обертання навколо своєї осі по поверхні, а також швидкість і точки А (швидкості цих точок будуть однакові, оскільки вони знаходяться на одній відстані від вертикальної осі Z1, навколо якої відбувається перекочування) дорівнюватиме:
, (38)
де rk- радіус конічної частини, який може бути знайдений за радіусом сфери (див. рис. 8):
(39)
Величина лінійного переміщеннякрапки Akвизначиться її швидкістю:
, (40)
де t -час руху. За один оборот дзиги ( tоб = 2p/w), переміщення Sk, буде одно:
(41)
Через це перекочування траєкторія дзиги дещо зміниться і точка Akзамість положення потрапить у положення (див. рис. 9), що змінить радіус кривизни траєкторії. Відповідно до рисунка 9 маємо:
(42)
звідки:
; (43)
Кут j’’можна виразити через кут j’, прирівнявши з деяким припущенням хорди і :
; (44)
де:
, (45)
звідки отримаємо:
(46)
Тут S- переміщення дзиги по траєкторії за один його оборот.
Таким чином, ми розглянули в загальних рисах характер руху дзиги при його русі горизонтальною поверхнею з урахуванням впливу сил тертя. Цікаво відзначити наступний експериментальний факт: після припинення руху по траєкторії вісь обертання дзиги приймає вертикальне положення. Це можна пояснити тим, що зникає сила інерції, обумовлена ​​опором із боку сил тертя.
З розглянутого завдання можна зробити такі висновки:
1. Рух дзиги після поштовху відбувається без впливу активних зовнішніх сил, за винятком його ваги. Сила тертя є пасивною силою, що гальмує рух.
2. Спостерігається рух дзиги по траєкторії може бути пояснено тільки спільною дієюсили тертя і сил інерції після повідомлення дзиги лінійної горизонтальної швидкості V0. Це ще один приклад, що підтверджує реальність сил інерції.

Хлопчик масою 50 кг, скатившись на санках з гірки, проїхав горизонтальною дорогою до зупинки шлях 20 м за 10 с. Знайти силу тертя та коефіцієнт тертя.

На горизонтальній дошці лежить вантаж. Коефіцієнт тертя між дошкою та вантажем  =0,1. Яке прискорення в горизонтальному напрямку слід повідомити дошці, щоб вантаж міг з неї зісковзнути?

Два вантажі m 1 і m 2 пов'язані ниткою та лежать на гладкій горизонтальній поверхні столу. З яким прискоренням рухатимуться вантажі, якщо до вантажу m 1 докласти чинності F= 1 Н, спрямовану паралельно до площини столу? Який натяг відчуватиме при цьому нитка, яка зв'язує тіла? Маса вантажів m 1 = 200 г, m 2 = 300 р. Визначити, за якого значення сили Fнитка обірветься, якщо ця сила буде додана: а) до вантажу m 1 ; б) до вантажу m 2 ? Нитка може витримувати найбільше навантаження Т= 1 кг. Тертям між тілами і столом знехтувати. При розрахунках прийняти g= 10 м/с2.

Два вантажі масами m=0,2 кг та М= 4 кг пов'язані ниткою та лежать на гладкому столі. До першого вантажу додана сила F 1 = 0,2 Н, до другого у протилежному напрямку – сила F 2 = 0,5 Н. З яким прискоренням рухатимуться вантажі і яка сила натягу нитки, що з'єднує їх?

Чотири однакові бруси, масою mкожен, пов'язані нитками та лежать на гладкому столі. До першого бруску прикладена сила F. Визначити сили натягу всіх ниток. Силою тертя між брусками і столом знехтувати.

Три вантажі масою по 1 кг з'єднані нерозтяжною ниткою, що рухаються під дією сили 10 Н, прикладеної до одного з крайніх вантажів і спрямованої під кутом 30 0 до горизонту. Визначити прискорення системи та сили натягу нитки між вантажами. Коефіцієнт тертя між вантажами та поверхнею 0,1.

Брусок маси Млежить на гладкій горизонтальній поверхні, якою він може рухатися без тертя. На бруску лежить кубик масою m. Мінімальне значеннясили, прикладеної до бруска, коли кубик починає ковзати по бруску, дорівнює F. Яку швидкість матиме брусок у момент, коли кубик впаде з бруска, якщо сила тяги буде 2 F? Довжина бруска L.

Вантаж масою m 1 лежить на платформі масою m 2 . Найбільше значеннякоефіцієнта тертя між вантажем та платформою  . Між платформою та поверхнею землі тертя немає. Знайти мінімальну силу Fпри дії якої на платформу відбувається зсув вантажу щодо платформи.

На дошці масою 4 кг лежить брусок масою 1 кг. Коефіцієнт тертя між бруском та дошкою  1 = 0,2, між дошкою та столом  2 = 0,1. Визначити з якою максимальною силою F max можна тягнути дошку, щоб брусок не зісковзнув із неї.

Т ележка масою в 20 кг може котитися без тертя горизонтальним шляхом. На візку лежить брусок масою 2 кг. Коефіцієнт тертя між бруском та візком 0,25. До бруску прикладена сила один раз F 1 = 2 Н, в інший раз F 2 = 20 Н. Визначити, якою буде сила тертя між бруском і візком і з якими прискореннями будуть рухатися брусок і візок в обох випадках.

На дошці масою m 2 лежить тіло масою m 1 до якого прив'язана нитка, перекинута через блок (маса блоку дорівнює нулю). До другого кінця нитки прив'язаний вантаж М. Коефіцієнт тертя між дошкою та тілом -  1 , а між дошкою та столом -  2 . За якої максимальної маси вантажу тіло не зісковзне з дошки?

На гладкому горизонтальному столі лежить брусок маси М= 2 кг, на до отором знаходиться брусок маси m= 1 кг. Обидва бруски з'єднані легкою ниткою, перекинутою через невагомий блок. Яку силу Fпотрібно докласти до нижнього бруска, щоб він почав рухатися від блоку з постійним прискоренням а=g/2 ? Коефіцієнт тертя між брусками k= 0,5. Тертям між нижнім бруском і столом знехтувати.

Т їло масою m, що рухається з прискоренням а, прикріплено до двох послідовно з'єднаних пружин, жорсткості яких k 1 і k 2 , причому пружини розташовані між тілом і точкою застосування зовнішньої сили. Яке сумарне подовження пружин? Вагань немає. Масами пружин знехтувати. Коефіцієнт тертя  .

Візок маси М=0,5 кг скріплена ниткою з вантажем маси m=0,2 кг, перекинутим через блок. У початковий момент візок мав швидкість 7 м/с і рухався вліво горизонтальною площиною. Визначити величину та напрямок швидкості візка через 5 с.

Посудина з ртуттю поставлена ​​на легкий візок. Збоку судини на відстані 20 см від рівня рідини зроблено отвір, площа якого 16 мм2. Знайти силу, яка рухатиме судину при витіканні ртуті з отвору. Щільність ртуті 13,6 г/см3.

Поїзд рухається горизонтально прямій ділянцішляхи. При гальмуванні розвивається сила опору, що дорівнює 0,2 ваги поїзда. Через якийсь час поїзд зупиниться, якщо його початкова швидкість 20 м/с.

До тіла, що лежить на горизонтальній шорсткій поверхні, прикладена рівномірно зростаюча сила, спрямована під кутом.  = 300 до горизонту. Визначити модуль прискорення тіла під час відриву від поверхні.

Б руски А та В масами m 1 і m 2 знаходяться на столі. До бруска В прикладена сила F, спрямована під кутом  до горизонту. Знайти прискорення руху брусків, якщо коефіцієнт тертя брусків один про одного та бруска А про стіл  1 і  2 відповідно. Сила тертя між поверхнями брусків більша.

Матеріальна точка масою 4 кг рухається горизонтальною прямою. Через скільки секунд швидкість точки зменшиться в 10 разів, якщо сила опору рухомого Fспр =0,8 v?