Як вирішувати багаточлени - wikiHow. Дії над одночленами та багаточленами

- багаточленами. У цій статті ми викладемо всі початкові та необхідні відомостіпро багаточлени. До них, по-перше, відноситься визначення багаточлена з супутніми визначеннями членів багаточлена, зокрема вільного члена та подібних членів. По-друге, зупинимося на багаточленах стандартного вигляду, дамо відповідне визначення та наведемо їх приклади. Нарешті, введемо визначення ступеня многочлена, розберемося, як його визначити, і скажемо про коефіцієнти членів многочлена.

Навігація на сторінці.

Багаточлен та його члени – визначення та приклади

У 7 класі багаточлени вивчаються відразу після одночленів, це і зрозуміло, оскільки визначення багаточленадається через одночлени. Дамо це визначення, що пояснює, що таке багаточлен.

Визначення.

Багаточлен- Це сума одночленів; одночлен вважається окремим випадком многочлена.

Записане визначення дозволяє навести скільки завгодно прикладів багаточленів. Будь-який з одночленів 5 , 0 , −1 , x , 5·a·b 3 , x 2 ·0,6·x·(−2)·y 12 , і т.п. є багаточлен. Також за визначенням 1+x , a 2 +b 2 і це багаточлени.

Для зручності опису многочленів запроваджується визначення члена многочлена.

Визначення.

Члени багаточлену– це складові багаточленів одночлени.

Наприклад, многочлен 3·x 4 −2·x·y+3−y 3 складається з чотирьох членів: 3·x 4 , −2·x·y , 3 та −y 3 . Одночлен вважається багаточленом, що складається з одного члена.

Визначення.

Багаточлени, які складаються з двох та трьох членів, мають спеціальні назви – двочлені тричленвідповідно.

Так x + y - це двочлен, а 2 · x 3 · q-q · x · x +7 · b - тричлен.

У школі найчастіше доводиться працювати з лінійним двочленом a x + b , де a і b – деякі числа, а x – змінна, а також з квадратним тричленом a x 2 + b x x c , де a , b і c - деякі числа, а x - змінна. Ось приклади лінійних двочленів: x+1 , x·7,2−4 , а приклади квадратних тричленів: x 2 +3·x−5 та .

Багаточлени у своєму записі можуть мати подібні доданки. Наприклад, в многочлені 1+5·x−3+y+2·x подібними доданками є 1 та −3 , а також 5x і 2x. Вони мають свою особливу назву – такі члени багаточлена.

Визначення.

Подібними членами багаточленуназиваються подібні доданкиу багаточлені.

У попередньому прикладі 1 і -3, як і пара 5 x і 2 x, є подібними членами многочлена. У багаточленах, які мають подібні члени, можна спрощення їх виду виконувати приведення подібних членів .

Багаточлен стандартного вигляду

Для многочленів, як й у одночленів, існує так званий стандартний вид. Озвучимо відповідне визначення.

Виходячи з даного визначення, можна навести приклади багаточленів стандартного вигляду. Так багаточлени 3·x 2 −x·y+1 та записані у стандартному вигляді. А вирази 5+3·x 2 −x 2 +2·x·z та x+x·y 3 ·x·z 2 +3·z не є багаточленами стандартного виду, так як у першому з них містяться подібні члени 3· x 2 і −x 2 , а у другому – одночлен x y 3 x z 2 , вид якого відмінний від стандартного.

Зауважимо, що за потреби завжди можна привести багаточлен до стандартного вигляду.

До многочленів стандартного виду належить ще одне поняття – поняття вільного члена многочлена.

Визначення.

Вільним членом багаточленаназивають членом багаточлена стандартного вигляду без буквеної частини.

Інакше кажучи, якщо запису многочлена стандартного виду є число, його називають вільним членом. Наприклад, 5 – це вільний член многочлена x 2 ·z+5 , а многочлен 7·a+4·a·b+b 3 немає вільного члена.

Ступінь багаточлена - як її знайти?

Ще одним важливим супутнім визначеннямє визначення ступеня багаточлена. Спочатку визначимо ступінь багаточлена стандартного виду, це визначення базується на ступенях одночленів, що у його складі.

Визначення.

Ступінь багаточлена стандартного вигляду– це найбільший із ступенів одночленів, що входять до його запису.

Наведемо приклади. Ступінь многочлена 5·x 3 −4 дорівнює 3 , оскільки одночлени 5·x 3 і −4, що входять до його складу, мають ступеня 3 і 0 відповідно, найбільше з цих чисел є 3 , воно і є ступенем многочлена за визначенням. А ступінь багаточлена 4·x 2 ·y 3 −5·x 4 ·y+6·xдорівнює найбільшому з чисел 2+3=5 , 4+1=5 та 1 , тобто 5 .

Тепер з'ясуємо, як знайти рівень багаточлена довільного вигляду.

Визначення.

Ступенем багаточлена довільного виглядуназивають ступінь відповідного йому багаточлен стандартного виду.

Отже, якщо багаточлен записаний над стандартному вигляді, і потрібно знайти його ступінь, потрібно привести вихідний многочлен до стандартного вигляду, і знайти ступінь отриманого многочлена – вона й буде шуканою. Розглянемо рішення прикладу.

приклад.

Знайдіть ступінь багаточлена 3·a 12 −2·a·b·c·a·c·b+y 2 ·z 2 −2·a 12 −a 12.

Рішення.

Спочатку потрібно подати багаточлен у стандартному вигляді:
3·a 12 −2·a·b·c·a·c·b+y 2 ·z 2 −2·a 12 −a 12 = =(3·a 12 −2·a 12 −a 12)− 2·(a·a)·(b·b)·(c·c)+y 2 ·z 2 = =−2·a 2 ·b 2 ·c 2 +y 2 ·z 2.

В отриманий многочлен стандартного виду входять два одночлени −2·a 2 ·b 2 ·c 2 та y 2 ·z 2 . Знайдемо їх ступеня: 2+2+2=6 та 2+2=4 . Очевидно, найбільша з цих ступенів дорівнює 6 вона за визначенням є ступенем багаточлена стандартного виду −2·a 2 ·b 2 ·c 2 +y 2 ·z 2, Отже, і ступенем вихідного многочлена., 3 x і 7 многочлена 2 x -0,5 x x y +3 x +7 .

Список літератури.

• Алгебра:навч. для 7 кл. загальноосвіт. установ/[Ю. Н. Макарічев, Н. Г. Міндюк, К. І. Нешков, С. Б. Суворова]; за ред. С. А. Теляковського. - 17-те вид. – М.: Просвітництво, 2008. – 240 с. : іл. - ISBN 978-5-09-019315-3.
• Мордковіч А. Г.Алгебра. 7 клас. У 2 год. Ч. 1. Підручник для учнів загальноосвітніх установ/ А. Г. Мордкович. - 17-те вид., Дод. – К.: Мнемозіна, 2013. – 175 с.: іл. ISBN 978-5-346-02432-3.
• Алгебраі почала математичного аналізу. 10 клас: навч. для загальноосвіт. установ: базовий та профіл. рівні/[Ю. М. Колягін, М. В. Ткачова, Н. Є. Федорова, М. І. Шабунін]; за ред. А. Б. Жижченко. - 3-тє вид. – К.: Просвітництво, 2010. – 368 с. : іл. - ISBN 978-5-09-022771-1.
• Гусєв В. А., Мордкович А. Г.Математика (посібник для вступників до технікумів): Навч. посібник.- М.; Вищ. шк., 1984.-351 с., іл.

Або, суворо, – кінцева формальна сума виду

Зокрема, багаточлен від однієї змінної є кінцевою формальною сумою виду

За допомогою багаточлена виводяться поняття алгебраїчне рівняння та алгебраїчна функція.

Енциклопедичний YouTube

• 1 / 5

  Вивчення поліноміальних рівнянь та його рішень становило чи не головний об'єкт «класичної алгебри».

  З вивчення багаточленів пов'язаний цілий рядперетворень в математиці: введення в розгляд нуля, негативних, а потім і комплексних чисел, а також поява теорії груп як розділу математики та виділення класів спеціальних функцій в аналізі.

  Технічна простота обчислень, пов'язаних з багаточленами, порівняно з більш складними класамифункцій, а також той факт, що безліч багаточленів щільно в просторі безперервних функцій на компактних підмножинах евклідова простору (див. апроксимаційна теорема Вейерштрасса), сприяли розвитку методів розкладання в ряди і поліноміальної інтерпо.

  Багаточлени також відіграють ключову роль в алгебраїчної геометрії, об'єктом якої є множини, визначені як рішення систем багаточленів.

  Особливі властивості перетворення коефіцієнтів при множенні многочленів використовуються в алгебраїчній геометрії, алгебрі, теорії вузлів та інших розділах математики для кодування або вираження багаточленами властивостей різних об'єктів.

  Пов'язані визначення

  • Багаточлен виду c x 1 i 1 x 2 i 2 ⋯ x n i n (\displaystyle cx_(1)^(i_(1))x_(2)^(i_(2))\cdots x_(n)^(i_(n)))називається одночленомабо мономоммультиіндексу I = (i 1 , … , i n) (\displaystyle I=(i_(1),\dots ,\,i_(n))).
  • Одночлен, що відповідає мультиіндексу I = (0 , … , 0) (\displaystyle I=(0,\dots ,\,0))називається вільним членом.
  • Повним ступенем(ненульового) одночлена c I x 1 i 1 x 2 i 2 ⋯ x n i n (\displaystyle c_(I)x_(1)^(i_(1))x_(2)^(i_(2))\cdots x_(n)^(i_ (n)))називається ціле число | I | = i 1 + i 2 + ⋯ + i n (\displaystyle |I|=i_(1)+i_(2)+\dots +i_(n)).
  • Безліч мультиіндексів I, для яких коефіцієнти c I (\displaystyle c_(I))ненульові, називається носієм багаточлена, а його опукла - оболонка - багатогранником Ньютона.
  • ступенем багаточленаназивається максимальна зі ступенів його одночленів. Ступінь тотожного нуля визначається значенням − ∞ (\displaystyle -\infty ).
  • Багаточлен, який є сумою двох мономів, називається двочленомабо біномом,
  • Багаточлен, який є сумою трьох мономів, називається тричленом.
  • Коефіцієнти многочлена зазвичай беруться з певного комутативного кільця R (\displaystyle R)(найчастіше поля, наприклад, поля речових або комплексних чисел). У цьому випадку, щодо операцій складання та множення багаточлени утворюють кільце (більше асоціативно-комутативну алгебру-над-кільцем) R (\displaystyle R)без дільників нуля) яке позначається R [x1, x2, …, xn]. (\displaystyle R.)

  Поліноміальні функції

  Нехай A (\displaystyle A)є алгебра над кільцем R (\displaystyle R). Довільний багаточлен p (x) ∈ R [ x 1 , x 2 , … , x n ] (\displaystyle p(x)\in R)визначає поліноміальну функцію

  p R: A → A (\displaystyle p_(R):A\to A).

  Найчастіше розглядають випадок A = R (\displaystyle A = R).

  У разі якщо R (\displaystyle R)є поле речових або комплексних чисел (а також будь-яке інше поле з нескінченним числомелементів), функція f p: R n → R (\displaystyle f_(p):R^(n)\to R)повністю визначає многочлен p. Однак у загальному випадкуце неправильно, наприклад: багаточлени p 1 (x) ≡ x (\displaystyle p_(1)(x)\equiv x)і p 2 (x) ≡ x 2 (\displaystyle p_(2)(x)\equiv x^(2))з Z 2 [x] (\displaystyle \mathbb (Z) _(2)[x])визначають тотожно рівні функції Z 2 → Z 2 (\displaystyle \mathbb (Z) _(2)\to \mathbb (Z) _(2)).

  Види багаточленів

  Властивості

  • Кільце многочленів над довільною областю цілісності само є областю цілісності.
  • Кільце багаточленів від будь-якого кінцевого числазмінних над будь-яким. Наприклад, вірна теорема: якщо твір багаточленів p q (\displaystyle pq)ділиться на неприведений багаточлен, то pабо qділиться на λ (\displaystyle \lambda). Кожен багаточлен, ступеня більший за нуль, Розкладається в даному полі до твір ненаведених множників єдиним чином (з точністю до множників нульового ступеня).

    Наприклад, багаточлен x 4 − 2 (\displaystyle x^(4)-2), неприведений у полі раціональних чисел, розкладається на три множники у полі дійсних чиселі на чотири множники в полі комплексних чисел.

    Взагалі, кожен багаточлен від одного змінного x (\displaystyle x)розкладається в полі дійсних чисел на множники першого та другого ступеня, у полі комплексних чисел - на множники першого ступеня (основна теорема алгебри).

    Для двох та більшого числазмінних цього не можна стверджувати. Над будь-яким полем для будь-кого n > 2 (\displaystyle n>2)існують багаточлени від n (\displaystyle n)змінних, що не наводяться в будь-якому розширенні цього поля. Такі багаточлени називаються абсолютно непривідними.

    Варіації та узагальнення

    • Якщо у визначенні допустити також негативні ступені, то отриманий об'єкт називається багаточленом Лорана(Див.

  Поняття багаточлена

  Визначення багаточлена: багаточлен – це сума одночленів. Приклад багаточлена:

  тут бачимо суму двох одночленів, але й є многочлен, тобто. сума одночленів.

  Доданки, у тому числі складається многочлен, називаються членами многочлена.

  Чи є різницю одночленів багаточленом? Так, є, адже різниця легко наводиться до суми, приклад: 5a – 2b = 5a + (-2b).

  Одночлени також вважають багаточленами. Але в одночлені немає суми, тоді чому його вважають багаточленом? А до нього можна додати нуль та отримати його суму з нульовим одночленом. Отже, одночлен – це окремий випадокбагаточлена, він складається з одного члена.

  Число нуль - це нульовий багаточлен.

  Стандартний вид багаточлену

  Що таке багаточлен стандартного вигляду? Багаточлен є сума одночленів і якщо всі ці одночлени, що становлять багаточлен, записані у стандартному вигляді, крім того серед них не повинно бути подібних, тоді багаточлен записаний у стандартному вигляді.

  Приклад багаточлена у стандартному вигляді:

  тут багаточлен складається з 2 одночленів, кожен з яких має стандартний вигляд, серед одночленів немає подібних.

  Тепер приклад багаточлена, який не має стандартного вигляду:

  тут два одночлени: 2a і 4a є подібними. Потрібно їх скласти, тоді багаточлен набуде стандартного вигляду:

  Ще приклад:

  Цей багаточлен наведено до стандартного вигляду? Ні, у нього другий член не записаний у стандартному вигляді. Записавши його у стандартному вигляді, отримуємо багаточлен стандартного вигляду:

  Ступінь багаточлена

  Що таке ступінь багаточлену?

  Ступінь багаточлена визначення:

  Ступінь багаточлена - найбільший ступінь, який мають одночлени, що становлять даний багаточлен стандартного виду.

  приклад. Який ступінь багаточлена 5h? Ступінь многочлена 5h дорівнює одному, адже цей многочлен входить лише один одночлен і ступінь його дорівнює одному.

  Інший приклад. Який ступінь багаточлена 5a 2 h 3 s 4+1? Ступінь багаточлена 5a 2 h 3 s 4 + 1 дорівнює дев'яти, адже до цього багаточлена входять два одночлени, найбільший ступіньмає перший одночлен 5a 2 h 3 s 4 а його ступінь дорівнює 9-ти.

  Ще приклад. Який ступінь багаточлена 5? Ступінь многочлена 5 дорівнює нулю. Отже, ступінь многочлена, що складається лише у складі, тобто. без літер, що дорівнює нулю.

  Останній приклад. Який ступінь нульового многочлена, тобто. нуля? Ступінь нульового багаточлена не визначено.

  Визначення 3.3. Одночленом називають вираз, що є добутком чисел, змінних і ступенів з натуральним показником.

  Наприклад, кожен із виразів ,
  ,
  є одночленом.

  Кажуть, що одночлен має стандартний вигляд якщо він містить тільки один числовий множник, що стоїть на першому місці, а кожен добуток однакових змінних у ньому представлений ступенем. Числовий множник одночлена, записного у стандартному вигляді, називають коефіцієнтом одночлена . ступенем одночлена називають суму показників ступенів усіх його змінних.

  Визначення 3.4. Багаточленом називають суму одночленів. Одночлени, з яких складено багаточлен, називаютьчленами багаточлена .

  Подібні доданки – одночлени у багаточлені – називають подібними членами багаточлена .

  Визначення 3.5. Багаточлен стандартного виду називають багаточлен, у якому всі доданки записані у стандартному вигляді та наведені подібні члени.Ступенем багаточлена стандартного вигляду називають найбільшу зі ступенів одночленів, що входять до нього.

  Наприклад, багаточлен стандартного виду четвертого ступеня.

  Дії над одночленами та багаточленами

  Суму і різницю багаточленів можна перетворити на багаточлен стандартного вигляду. При складанні двох многочленів записуються всі члени і наводяться подібні члени. При відніманні знаки всіх членів багаточлена, що віднімається, змінюються на протилежні.

  Наприклад:

  Члени багаточлена можна розбивати на групи та укладати у дужки. Оскільки це тотожне перетворення, зворотне розкриття дужок, то встановлюється таке правило укладання в дужки: якщо перед дужками ставиться знак «плюс», то всі члени, що укладаються в дужки, записують зі своїми знаками; якщо перед дужками ставиться знак «мінус», всі члени, укладені в дужки, записують із протилежними знаками.

  Наприклад,

  Правило множення багаточлену на багаточлен: щоб помножити багаточлен на багаточлен, достатньо кожен член одного багаточлена помножити на кожен член іншого багаточлена та отримані твори скласти.

  Наприклад,

  Визначення 3.6. Багаточленом від однієї змінної ступеня називають вираз виду

  де
  – будь-які числа, які називають коефіцієнтами багаточлена , причому
  ,- ціле невід'ємне число.

  Якщо
  , то коефіцієнт називають старшим коефіцієнтом багаточлена
  , одночлен
  - Його старшим членом , коефіцієнт – вільним членом .

  Якщо замість змінної в багаточлен
  підставити дійсне число , то в результаті вийде дійсне число
  , яке називають значенням багаточлена
  при
  .

  Визначення 3.7. Число називаютькорінням багаточлена
  , якщо
  .

  Розглянемо поділ багаточлена на багаточлен, де
  і - натуральні числа. Поділ можливий, якщо ступінь багаточлена-ділимого
  не менше ступенябагаточлена-ділителя
  , тобто
  .

  Розділити багаточлен
  на багаточлен
  ,
  , - значить знайти два таких багаточлени
  і
  , щоб

  При цьому багаточлен
  ступеня
  називають багаточленом-приватним ,
  – залишком ,
  .

  Зауваження 3.2. Якщо дільник
  –не нуль-багаточлен, то поділ
  на
  ,
  , завжди можна здійснити, а приватне і залишок визначаються однозначно.

  Зауваження 3.3. У випадку, коли
  при всіх , тобто

  кажуть, що багаточлен
  націло ділиться(або ділиться)на багаточлен
  .

  Поділ багаточленів виконується аналогічно поділу багатозначних чисел: спочатку старший член багаточлена-ділимого ділять на старший член багаточлена-ділителя, потім приватне від поділу цих членів, яке буде старшим членом багаточлена-приватного, множать на багаточлен-ділитель і отриманий твір віднімають з багаточлена-ділимого . В результаті одержують багаточлен – перший залишок, який ділять на багаточлен-ділитель аналогічним чином та знаходять другий член багаточлена-приватного. Цей процес продовжують доти, поки вийде нульовий залишок або ступінь багаточлена залишку буде меншим від ступеня багаточлена-ділителя.

  При поділі багаточлена на двочлен можна скористатися схемою Горнера.

  Схема Горнера

  Нехай потрібно розділити багаточлен

  на двочлен
  . Позначимо приватне від поділу як багаточлен

  а залишок – . Значення , коефіцієнти багаточленів
  ,
  та залишок запишемо в наступній формі:

  У цій схемі кожен із коефіцієнтів
  ,
  ,
  , …,виходить із попереднього числа нижнього рядка множенням на число та додаванням до отриманого результату відповідного числа верхнього рядка, що стоїть над шуканим коефіцієнтом. Якщо якийсь ступінь у багаточлені відсутня, то відповідний коефіцієнт дорівнює нулю. Визначивши коефіцієнти за наведеною схемою, записуємо приватне

  і результат поділу, якщо
  ,

  або ,

  якщо
  ,

  Теорема 3.1. Для того щоб нескоротний дріб (
  
  ,
  
  )була коренем багаточлена
  з цілими коефіцієнтами, необхідно, щоб число було дільником вільного члена , а число - дільником старшого коефіцієнта .

  Теорема 3.2. (Теорема Безу ) Залишок від поділу багаточлена
  на двочлен
  дорівнює значенню многочлена
  при
  , тобто
  .

  При розподілі багаточлена
  на двочлен
  маємо рівність

  Воно справедливе, зокрема, при
  , тобто
  .

  Приклад 3.2.Розділити на
  .

  Рішення.Застосуємо схему Горнера:

  Отже,

  приклад 3.3.Розділити на
  .

  Рішення.Застосуємо схему Горнера:

  Отже,

  ,

  Приклад 3.4.Розділити на
  .

  Рішення.

  

  

  

  

  У результаті отримуємо

  Приклад 3.5.Розділити
  на
  .

  Рішення.Проведемо поділ багаточленів стовпчиком:

  Тоді отримуємо

  .

  Іноді буває корисним уявлення многочлена як рівного йому твори двох чи кількох многочленов. Таке тотожне перетворення називають розкладанням багаточлена на множники . Розглянемо основні методи такого розкладання.

  Винесення загального множника за дужки. Для того, щоб розкласти багаточлен на множники способом винесення загального множника за дужки, необхідно:

  1) знайти загальний множник. Для цього, якщо всі коефіцієнти багаточлена – цілі числа, як коефіцієнт загального множника розглядають найбільший за модулем загальний дільник усіх коефіцієнтів багаточлена, а кожну змінну, що входить у всі члени багаточлена, беруть з найбільшим показником, який вона має в даному багаточлені;

  2) знайти приватне від розподілу даного многочлена на загальний множник;

  3) записати твір загального множника та отриманого приватного.

  Угруповання членів. При розкладанні многочлена на множники способом угруповання його члени розбиваються на дві або більше груп з таким розрахунком, щоб кожну з них можна було перетворити на твір, і отримані твори мали б загальний множник. Після цього застосовується спосіб винесення за дужки загального множника новостворених членів.

  Застосування формул скороченого множення. У тих випадках, коли багаточлен, що підлягає розкладанню на множники має вигляд правої частини будь-якої формули скороченого множення, його розкладання на множники досягається застосуванням відповідної формули, записаної в іншому порядку.

  Нехай
  
  тоді справедливі наступні формули скороченого множення:

  Для :
  Якщо непарне ( ):
  Біном Ньютона: де - Число поєднань з по .

  Запровадження нових допоміжних членів. Даний спосіб полягає в тому, що багаточлен замінюється іншим багаточленом, тотожно рівним йому, але містить інше число членів, шляхом введення двох протилежних членів або заміни якогось члена тотожно рівною йому сумою подібних одночленів. Заміна проводиться з таким розрахунком, щоб до отриманого багаточлена можна було застосувати спосіб угруповання членів.

  Приклад 3.6..

  Рішення.Усі члени многочлена містять спільний множник
  . Отже.

  Відповідь: .

  Приклад 3.7.

  Рішення.Групуємо окремо члени, що містять коефіцієнт , та члени, що містять . Виносячи за дужки спільні множникигруп, отримуємо:

  .

  Відповідь:
  .

  Приклад 3.8.Розкласти на множники багаточлен
  .

  Рішення.Використовуючи відповідну формулу скороченого множення, отримуємо:

  Відповідь: .

  Приклад 3.9.Розкласти на множники багаточлен
  .

  Рішення.Використовуючи спосіб угруповання та відповідну формулу скороченого множення, отримуємо:

  .

  Відповідь: .

  Приклад 3.10.Розкласти на множники багаточлен
  .

  Рішення.Замінимо на
  , згрупуємо члени, застосуємо формули скороченого множення:

  .

  Відповідь:
  .

  Приклад 3.11.Розкласти на множники багаточлен

  Рішення.Так як ,
  ,
  , то