Що називається розв'язком рівняння. Загальні відомості про рівняння

Зміст статті

РІВНЯННЯ.Рівнянням називається математичне співвідношення, що виражає рівність двох виразів алгебри. Якщо рівність справедлива для будь-яких допустимих значеньвходять до нього невідомих, воно називається тотожністю; наприклад, співвідношення виду ( x – 1) 2 = (x – 1)(x– 1) виконується при всіх значеннях змінної x. Для позначення тотожності часто замість звичайного знака рівності = пишуть знак є, який читається «тотожно одно». Тотожності використовуються в алгебрі при записі розкладання багаточленів на множники (як у наведеному вище прикладі). Зустрічаються вони і в тригонометрії у таких співвідношеннях, як sin 2 x+ cos 2 x= 1, а в загальному випадкувиражають формальне відношення між двома на перший погляд різними математичними виразами.

Якщо рівняння, що містить змінну x, виконується лише за певних, а чи не за всіх значеннях x, як у разі тотожності, то може виявитися корисним визначити ті значення x, За яких це рівняння справедливе. Такі значення xназиваються корінням чи рішеннями рівняння. Наприклад, число 5 є коренем рівняння 2 x + 7= 17.

Рівняння є потужним засобом вирішення практичних завдань. Точна мова математики дозволяє просто висловити факти та співвідношення, які, будучи викладеними звичайною мовою, можуть здатися заплутаними та складними. Не відомі величини, що позначаються в задачі символами, наприклад x, можна знайти, сформулювавши завдання на математичною мовоюу вигляді рівнянь. Методи розв'язання рівнянь становлять переважно предмет того розділу математики, який називається теорією рівнянь.

ТИПИ РІВНЯНЬ

Алгебраїчні рівняння.

Рівняння виду f n= 0, де f n- багаточлен від однієї або декількох змінних, називаються рівняннями алгебри. Багаточленом називається вираз виду

f n = a 0 x i y j ... v k + a 1 x l y m ... v n +ј + a s x p y q ... v r,

де x, y,..., v- Змінні, а i, j,..., r- Показники ступенів (цілі невід'ємні числа). Багаточлен від однієї змінної записується так:

f(x) = a 0 x n + a 1 x n – 1 +... + a n – 1x + a n

або, в окремому випадку, 3 x 4 – x 3 + 2x 2 + 4x- 1. Алгебраїчним рівнянням з одним невідомим називається будь-яке рівняння виду f(x) = 0. Якщо a 0 № 0, то nназивається ступенем рівняння. Наприклад, 2 x+ 3 = 0 – рівняння першого ступеня; рівняння першого ступеня називаються лінійними, оскільки графік функції y = ax + bмає вигляд прямий. Рівняння другого ступеня називають квадратними, а рівняння третього ступеня – кубічними. Аналогічні назви мають і рівняння вищих ступенів.

Трансцендентні рівняння.

Рівняння, що містять трансцендентні функції, такі як логарифмічна, показова або тригонометрична функція, називаються трансцендентними. Прикладом можуть бути такі рівняння:

де lg - логарифм на підставі 10.

Диференційне рівняння.

Так називаються рівняння, що містять одну або кілька функцій та їх похідні чи диференціали. Диференційне рівняннявиявились виключно цінним засобом точного формулювання законів природи.

Інтегральні рівняння.

Рівняння, що містять невідому функцію під знаком інтеграла, наприклад, f (s) = т K (s, t) f(t) dt, де f(s) та K(s,t) задані, а f(t) Потрібно знайти.

Діофантові рівняння.

Діофантовим рівнянням називається рівняння алгебри з двома або більше невідомими з цілими коефіцієнтами, рішення якого шукається в цілих або раціональних числах. Наприклад, рівняння 3 x – 5y= 1 має рішення x = 7, y= 4; взагалі ж його рішеннями служать цілі числа виду x = 7 + 5n, y = 4 + 3n.

РІШЕННЯ АЛГЕБРАЇЧНИХ РІВНЯНЬ

Для всіх перерахованих вище типів рівнянь загальних методіврішення немає. І все ж у багатьох випадках, особливо для алгебраїчних рівняньпевного типу, є достатньо повна теоріяїх вирішення.

Лінійні рівняння.

Ці прості рівняння вирішуються шляхом їхнього зведення до еквівалентного рівняння, з якого безпосередньо видно значення невідомого. Наприклад, рівняння x+ 2 = 7 можна звести до еквівалентного рівняння x= 5 відніманням числа 2 з правої та лівої частин. Кроки, що здійснюються при зведенні простого рівняння, наприклад, x+ 2 = 7, до еквівалентного, засновані на використанні чотирьох аксіом.

1. Якщо рівні величинизбільшити на те саме число, то результати будуть рівні.

2. Якщо з рівних величин відняти одне й те число, то результати дорівнюватимуть.

3. Якщо рівні величини помножити на те саме число, то результати будуть рівні.

4. Якщо рівні величини поділити на те саме число, то результати будуть рівні.

Наприклад, щоб вирішити рівняння 2 x+ 5 = 15, ми скористаємося аксіомою 2 і віднімемо число 5 з правої та лівої частин, в результаті чого отримаємо еквівалентне рівняння 2 x= 10. Потім ми скористаємося аксіомою 4 і розділимо обидві частини отриманого рівняння на 2, у результаті вихідне рівняння зведеться до виду x= 5, що є шуканим рішенням.

Квадратні рівняння.

Розв'язання загального квадратного рівняння ax 2 + bx + c= 0 можна отримати за допомогою формули

Таким чином, існують два рішення, які в окремому випадку можуть збігатися.

Інші рівняння алгебри.

Явні формули, аналогічні формулі для розв'язання квадратного рівняння, можна виписати тільки для рівнянь третього та четвертого ступенів. Але ці формули складні і які завжди допомагають легко знаходить коріння. Що ж до рівнянь п'ятого ступеня чи вище, то їм, як довів М.Абель в 1824, не можна вказати загальну формулу, яка б коріння рівняння через його коефіцієнти з допомогою радикалів. В окремих окремих випадках рівняння вищих ступеніввдається легко вирішити, факторизуючи їхню ліву частину, тобто. розкладаючи її на множники.

Наприклад, рівняння x 3 + 1 = 0 можна записати у факторизованому вигляді ( x + 1)(x 2 – x+ 1) = 0. Рішення ми знаходимо, вважаючи кожен із множників рівним нулю:

Таким чином, коріння дорівнює x= -1, тобто. всього 3 корені.

Якщо рівняння не факторизується, слід скористатися наближеними рішеннями. Основні методи знаходження наближених рішень розробили Горнером, Ньютоном і Греффе. Однак у всіх випадках існує тверда впевненість у тому, що рішення існує: рівняння алгебри n-й ступеня має рівно nкоріння.

Системи лінійних рівнянь.

Два лінійні рівняння з двома невідомими можна записати у вигляді

Вирішення рівняння

Ілюстрація графічного методузнаходження коренів рівняння

Рішення рівняння - завдання знаходження таких значень аргументів, у яких ця рівність досягається. На можливі значення аргументів можуть бути накладені додаткові умови(цілочисленності, речовинності тощо. буд.).

При підстановці іншого кореня виходить неправильне твердження:

Таким чином, друге коріння потрібно відкинути, як сторонній.

Види рівнянь

Розрізняють алгебраїчні, параметричні, трансцендентні, функціональні, диференціальні та інші види рівнянь.

Деякі класи рівнянь мають аналітичні рішення, які зручні тим, що не лише дають точне значеннякореня, а дозволяють записати рішення у вигляді формули, до якої можуть входити параметри. Аналітичні висловлювання дозволяють не тільки обчислити коріння, а провести аналіз їх існування та їх кількості в залежності від значень параметрів, що часто буває навіть важливішим для практичного застосуваннячим конкретні значеннякоріння.

До рівнянь, для яких відомі аналітичні рішення, відносяться рівняння алгебри, не вище четвертого ступеня: лінійне рівняння , квадратне рівняння , кубічне рівняння і рівняння четвертого ступеня . Алгебраїчні рівняння вищих ступенів у загальному випадку аналітичного рішенняне мають, хоча деякі з них можна звести до рівнянь нижчих ступенів.

Рівняння, до яких входять трансцендентні функції, називаються трансцендентними. Серед них аналітичні рішення відомі для деяких тригонометричних рівняньоскільки нулі тригонометричних функцій добре відомі.

У випадку, коли аналітичного рішення знайти не вдається, застосовують чисельні методи . Чисельні методине дають точного рішення, лише дозволяють звузити інтервал , у якому лежить корінь, до певного заздалегідь заданого значення.

Приклади рівнянь

Див. також

Література

Бекаревич, А. Б. Рівняння в шкільному курсіматематики/А. Б. Бекаревич. – М., 1968.
Маркушевич, Л. А. Рівняння та нерівності у заключному повторенні курсу алгебри середньої школи/ Л. А. Маркушевич, Р. С. Черкасов. / Математика у школі. – 2004. – № 1.
Каплан Я. В. Рівняння. – Київ: Радянська школа, 1968.
Рівняння- стаття з Великої радянської енциклопедії
Рівняння// Енциклопедія Кольєра. - Відкрите суспільство. 2000.
Рівняння// Енциклопедія Навколишній світ
Рівняння// Математична енциклопедія. - М: Радянська енциклопедія. І. М. Виноградов. 1977-1985.

Посилання

EqWorld - Світ математичних рівнянь - містить велику інформацію про математичних рівнянняхта системах рівнянь.

Wikimedia Foundation. 2010 .

Синоніми:

Антоніми:

Хаджимба, Рауль Джумковіч
ЄС ЕОМ

Дивитись що таке "Рівняння" в інших словниках:

РІВНЯННЯ - (1) математичний записзавдання про розшук таких значень аргументів (див. (2)), при яких значення двох даних (див.) рівні. Аргументи, від яких залежить ці функції, називають невідомими, а значення невідомих, у яких значення… … Велика політехнічна енциклопедія

РІВНЯННЯ- РІВНЯННЯ, рівняння, порівн. 1. Дія за гол. зрівняти зрівнювати та стан за гол. зрівнятися зрівнюватися. Рівняння у правах. Рівняння часу (переведення справжнього сонячного часу в середнє сонячний час, прийняте в гуртожитку та в науці; Тлумачний словникУшакова

РІВНЯННЯ- (equation) Вимога того, щоб математичний вираз приймав певне значення. Наприклад, квадратне рівняннязаписується як: ах2+bх+с=0. Рішенням є такі значення х, при якому дане рівняннястає тотожністю. У… … Економічний словник

РІВНЯННЯ- Математичний запис завдання про розшук значень аргументів, при яких значення двох даних функцій рівні. Аргументи, від яких ці функції, називаються невідомими, а значення невідомих, у яких значення функцій рівні,… Великий Енциклопедичний словник

РІВНЯННЯ- РІВНЯННЯ, два вирази, з'єднані знаком рівності; в ці вирази входять одна або кілька змінних, які називаються невідомими. Вирішити рівняння означає знайти всі значення невідомих, при яких воно перетворюється на тотожність, або встановити … Сучасна енциклопедія

Рівняння – це два вирази, поєднані знаком рівності; в ці вирази входять одна або кілька змінних, які називаються невідомими. Вирішити рівняння - значить знайти всі значення невідомих, при яких воно звертається до правильної рівності, або встановити, що таких значень немає.

У шкільному курсі, зазвичай, розглядають рівняння, у яких невідомі набувають числові значення. Числове значення невідомого, що задовольняє рівняння з одним невідомим, називається коренем чи розв'язанням цього рівняння. Набір чисел, що задовольняють рівняння кількома невідомими, називається його рішенням.

У математиці розглядають також рівняння, у яких невідомими є цілі числа (діофантові рівняння), вектори ( векторні рівняння), функції (диференціальні, інтегральні, функціональні рівняння) та об'єкти іншої природи. Разом із рівнянням вказують його область визначення (безліч допустимих значень невідомих); якщо це не зроблено, то передбачається, що це – природна загальна областьвизначення виразів, що стоять у лівій та правій частинахрівняння.

Рівняння - одне з найважливіших понятьматематики. У більшості практичних і наукових завдань, Де якусь величину не можна безпосередньо виміряти або обчислити за готовою формулою, вдається скласти співвідношення (або кілька співвідношень), яким воно задовольняє. Так одержують рівняння (чи систему рівнянь) визначення невідомої величини.

Розвиток методів розв'язання рівнянь, починаючи з зародження математики як науки, довгий часбуло основним предметом вивчення алгебри. Звична нам літерна запис рівнянь остаточно склалася XVI в.; традиція позначати невідомі останніми літерами латинського алфавіту$x,y,z,…,$ а відомі величини (параметри) - першими $a,b,c,…$ йде від французького вченого Р. Декарта.

Звичайний шлях алгебраїчного (частіше кажуть, аналітичного) рішення рівняння у тому, що з допомогою перетворень його зводять до більш простим рівнянням. Якщо рішення одного рівняння є рішеннями іншого, то друге рівняння називається наслідком першого. Якщо кожне з двох рівнянь - наслідок іншого (тобто безлічі їх рішень збігаються), такі рівняння називаються рівносильними. Застосовуючи до обох частин рівняння одне й те перетворення, ми приходимо до слідства цього рівняння. Якщо це перетворення оборотне, то виходить рівняння, рівносильне даному. (Наприклад, помножуючи обидві частини рівняння на те саме число, ми отримуємо наслідок даного рівняння. Якщо це число відмінно від нуля, то виконане перетворення оборотне, так що отримане рівняння рівносильне вихідному).

Вирішуючи рівняння з одним невідомим, ми намагаємося дійти найпростіших рівнянь, на вирішення яких є готові формули. Це лінійні рівняння, квадратні рівняння, рівняння виду $φ(x)=c$, де $c$ – число, а $φ$ – одна з основних елементарних функцій: статечна $\varphi (x)=((x)^(n))$, показова $\varphi (x)=((a)^(x))$, логарифмічна $\varphi (x)=((\ log )_(a))x$, тригонометричні $\varphi (x)=\sin x$, $\varphi (x)=\cos x$, $\varphi (x)=\mathrm(tg)\, x $.

Зауважимо, що запис загального рішеннярівняння $φ(x)=c$ вимагає введення функції $ψ$, зворотної до функції $φ$. Якщо $ \ varphi (x) = ((x) ^ (n)) $, то $ \ psi (c) = \ sqrt [n] (c) $; якщо $\varphi(x)=((a)^(x))$, то $\psi(c)=((\log )_(a))c$; якщо $\varphi (x)=\sin x$ і $−π/2≤x≤π/2$, то $\psi(c)=\arcsin x$.

Які ж зводяться рівняння до найпростіших? Для конкретного типурівнянь (алгебраїчних, тригонометричних, ірраціональних, показових, логарифмічних тощо) розроблено приватні прийоми розв'язання. Із загальних методів розв'язання рівнянь зупинимося на трьох, що зустрічаються найчастіше.

Якщо ліву частину рівняння $f(x)=0$ вдається розкласти на множники: $f(x)=((f)_(1))(x)\cdot \ldots \cdot ((f)_(m)) (x),$ то воно розпадається на рівняння $((f)_(1))(x)=0,$ $((f)_(2))(x)=0 …,$ $((f) _(1))(x)=0,$ об'єднання множин їх рішень дає безліч рішень даного рівняння. Наприклад, рівняння $((x)^(3))-7x+6=0$ можна вирішити так: $(((x)^(3))-x)-(6x-6)=0,$ $x (x-1)(x+1)-6(x-1)=0,$ $(x-1)(((x)^(2))+x-6)=0.$ Вирішуючи рівняння $x −1=0$ і $((x)^(2))+x-6=0,$ знаходимо всі коріння цього рівняння: $1, 2$ і $−3.$ Цей метод прийнято називати методом розкладання на множники.

Часто вдається спростити рівняння, приймаючи як нову невідому деяку функцію від старої невідомої. Наприклад, рівняння $\sin x+\cos x=\sin 2x$ можна звести до квадратного рівняння, поклавши $y=\sin x+\cos x.$ Тоді $\sin 2x=((y)^(2))-1 ,$ і ми приходимо до рівняння $((y)^(2))-y-1=0.$

Іноді вдається вирішити рівняння, аналізуючи функціональні властивостійого лівої та правої частин.

Наприклад, оскільки ліва частинарівняння $((2)^(x))+((3)^(x))=5$ зростає, а права - постійна, це рівняння неспроможна мати більше кореня. Єдиний корінь $x=1$ легко вгадується.

Вирішуючи рівняння $((\sin )^(3))x+((\cos )^(5))x=\sqrt(2),$ зауважимо, що з усіх $x$ виконуються нерівності $((\sin )^ (3))x\le ((\sin )^(2))x,$ $co((s)^(5))x\le ((\cos )^(2))x,$ звідки $si ((n)^(3))x+((\cos )^(5))x\le$ $((\sin )^(2))x+((\cos )^(2))x=1, $ а оскільки $ sqrt (2)> 1, $ то дане рівняння не має коренів.

Рівняння. Рис. 1.

Рівняння. Рис. 2.

Досі ми розбирали прийоми розв'язування рівнянь, що дозволяють знайти корінь рівняння як число чи комбінацію відомих функційвід параметрів. Однак далеко не всі рівняння, що виникають на практиці, можна вирішити так. Наприклад, в початку XIXв. було доведено, що немає загальної формулидля вирішення рівнянь алгебри починаючи з п'ятого ступеня. Та й у тих випадках, коли рівняння вдається вирішити, формула для коріння може бути надто громіздкою. Тому в математиці розроблено різні методинаближеного розв'язання рівнянь. Найпростіший з них заснований на тому, що якщо функція $f(x)$ безперервна у всіх точках відрізка $$ і на його кінцях приймає значення різних знаків, то рівняння $f(x)=0$ має на цьому відрізку корінь.

Наближене розв'язання рівнянь тісно пов'язане із побудовою графіків функцій.

Наприклад, побудувавши графік функції $y=((x)^(3))+x,$ ми можемо зробити висновок, що рівняння $((x)^(3))+x=1$ має один корінь і цей корінь лежить на відрізку $$, точніше - на відрізку $$, ще точніше - на відрізку $$ (рис. 1). Ця інформація практично корисніша, ніж точна формулаКардано, що виражає цей корінь:

$\sqrt(\frac(1)(2)+\sqrt(\frac(1)(4)+\frac(1)(27)))+sqrt(\frac(1)(2)-\sqrt (\frac(1)(4)+\frac(1)(27)))$

(Все одно витягувати радикали можна лише приблизно). Для пошуку коренів з будь-яким ступенем точності» існують «швидкі» алгоритми, засновані на методі послідовних наближень (див. Наближені обчислення).

За допомогою графіка особливо зручно проводити дослідження рівнянь; наприклад, за графіком $y=((x)^(3))-x$ (рис. 2) ми відразу бачимо, що рівняння $((x)^(3))-x=c$ має три корені при $ \left| з \right| 2/\sqrt(3).$

Вирішення рівняння

Ілюстрація графічного методу знаходження коренів рівняння

Рішення рівняння - завдання знаходження таких значень аргументів, у яких ця рівність досягається. На можливі значення аргументів може бути накладено додаткові умови (цілочисленності, речовинності тощо. буд.).

При підстановці іншого кореня виходить неправильне твердження:

Таким чином, друге коріння потрібно відкинути, як сторонній.

Види рівнянь

Розрізняють алгебраїчні, параметричні, трансцендентні, функціональні, диференціальні та інші види рівнянь.

Деякі класи рівнянь мають аналітичні рішення, які зручні тим, що не лише дають точне значення кореня, а дають змогу записати рішення у вигляді формули, до якої можуть входити параметри. Аналітичні вирази дозволяють не тільки обчислити коріння, а провести аналіз їх існування та їх кількості залежно від значень параметрів, що часто буває навіть важливішим для практичного застосування, ніж конкретні значення коренів.

До рівнянь, для яких відомі аналітичні рішення, відносяться рівняння алгебри, не вище четвертого ступеня: лінійне рівняння , квадратне рівняння , кубічне рівняння і рівняння четвертого ступеня . Алгебраїчні рівняння вищих ступенів у загальному випадку аналітичного рішення не мають, хоча деякі з них можна звести до рівнянь нижчих ступенів.

Рівняння, до яких входять трансцендентні функції, називаються трансцендентними. У тому числі аналітичні рішення відомі деяких тригонометричних рівнянь, оскільки нулі тригонометричних функцій добре відомі.

У випадку, коли аналітичного рішення знайти не вдається, застосовують чисельні методи . Чисельні методи не дають точного рішення, а лише дозволяють звузити інтервал , в якому лежить корінь, до заздалегідь заданого значення.

Приклади рівнянь

Див. також

Література

Бекаревич, А. Б. Рівняння у шкільному курсі математики / А. Б. Бекаревич. – М., 1968.
Маркушевич, Л. А. Рівняння та нерівності у заключному повторенні курсу алгебри середньої школи / Л. А. Маркушевич, Р. С. Черкасов. / Математика у школі. – 2004. – № 1.
Каплан Я. В. Рівняння. – Київ: Радянська школа, 1968.
Рівняння- стаття з Великої радянської енциклопедії
Рівняння// Енциклопедія Кольєра. - Відкрите суспільство. 2000.
Рівняння// Енциклопедія Навколишній світ
Рівняння// Математична енциклопедія. - М: Радянська енциклопедія. І. М. Виноградов. 1977-1985.

Посилання

EqWorld - Світ математичних рівнянь - містить велику інформацію про математичні рівняння та системи рівнянь.

Wikimedia Foundation. 2010 .

Синоніми:

Антоніми:

Хаджимба, Рауль Джумковіч
ЄС ЕОМ

Дивитись що таке "Рівняння" в інших словниках:

РІВНЯННЯ- (1) математичний запис завдання про розшук таких значень аргументів (див. (2)), за яких значення двох даних (див.) рівні. Аргументи, від яких залежить ці функції, називають невідомими, а значення невідомих, у яких значення… … Велика політехнічна енциклопедія

РІВНЯННЯ- РІВНЯННЯ, рівняння, порівн. 1. Дія за гол. зрівняти зрівнювати та стан за гол. зрівнятися зрівнюватися. Рівняння у правах. Рівняння часу (переведення справжнього сонячного часу в середній сонячний час, прийнятий у гуртожитку та в науці; Тлумачний словник Ушакова

РІВНЯННЯ- (equation) Вимога того, щоб математичний вираз набував певного значення. Наприклад, квадратне рівняння записується як: ах2+bх+с=0. Рішенням є такі значення х, у якому дане рівняння стає тотожністю. У… … Економічний словник

Що таке рівняння?

Тим, хто робить перші кроки в алгебрі, звичайно, потрібно максимально впорядковане подання матеріалу. Тому в нашій статті про те, що таке рівняння, ми не лише дамо визначення, а й наведемо різні класифікаціїрівнянь із прикладами.

Що таке рівняння: загальні поняття

Отже, рівняння - це вид рівності з невідомим, що позначається латинською літерою. При цьому числове значенняданої літери, що дозволяє отримати правильну рівність, називається коренем рівняння. Більш детально про це ви можете прочитати в нашій статті, ми ж продовжимо розмову про самі рівняння. Аргументами рівняння (чи змінними) називаються невідомі, а рішенням рівняння називається перебування всіх його коренів чи відсутності коренів.

Види рівнянь

Рівняння поділяються на дві великі групи: алгебраїчні та трансцендентні.

Алгебраїчним називається таке рівняння, в якому для знаходження кореня рівняння використовуються тільки алгебраїчні дії- 4 арифметичні, а також зведення в ступінь та вилучення натурального кореня.
Трансцендентним називається рівняння, у якому знаходження кореня використовуються неалгебраїчні функції: наприклад, тригонометричні, логарифмічні та інші.

Серед рівнянь алгебри виділяють також:

цілі - з обома частинами, що складаються з цілих виразів алгебри по відношенню до невідомих;
дробові - містять цілі алгебраїчні виразиу чисельнику та знаменнику;
ірраціональні - алгебраїчні вирази тут перебувають під знаком кореня.

Зауважимо також, що дробові та ірраціональні рівнянняможна звести до розв'язання цілих рівнянь.

Трансцендентні рівняння поділяються на:

показові - це такі рівняння, які містять змінну в показнику ступеня. Вони вирішуються шляхом переходу до єдиної основи чи показника ступеня, винесенням спільного множниказа дужку, розкладанням на множники та деякими іншими способами;
логарифмічні – рівняння з логарифмами, тобто такі рівняння, де невідомі знаходяться усередині самих логарифмів. Вирішувати такі рівняння дуже непросто (на відміну від, припустимо, більшості алгебраїчних), оскільки для цього потрібна солідна математична підготовка. Найважливіше тут перейти від рівняння з логарифмами до рівняння без них, тобто спростити рівняння (такий спосіб видалення логарифмів називається потенціюванням). Зрозуміло, потенціювати логарифмічне рівнянняможна тільки у тому випадку, якщо вони мають тотожні числові підстави та не мають коефіцієнтів;
тригонометричні - це рівняння зі змінних під знаками тригонометричних функцій. Їхнє рішення вимагає початкового освоєння тригонометричних функцій;
змішані – це диференційовані рівняння з частинами, що належать до різних типів (наприклад, з параболічною та еліптичною частинами або еліптичною та гіперболічною тощо).

Що стосується класифікації за кількістю невідомих, то тут все просто: розрізняють рівняння з одним, двома, трьома тощо невідомими. Існує також і ще одна класифікація, яка ґрунтується на ступені, що є у лівій частині многочлена. Тому розрізняють лінійні, квадратні і кубічні рівняння. Лінійні рівняннятакож можуть називатися рівняннями 1-го ступеня, квадратні - 2-го, а кубічні, відповідно, 3-го. Ну а тепер наведемо приклади рівнянь тієї чи іншої групи.

Приклади різних типів рівнянь

Приклади рівнянь алгебри:

ax + b = 0
ax 3 + bx 2 + cx + d = 0
ax 4 + bx 3 + cx 2 + bx + a = 0
(a не дорівнює 0)

Приклади трансцендентних рівнянь:

cos x = x lg x = x−5 2 x = lgx+x 5 +40

Приклади цілих рівнянь:

(2+x)2 = (2+x)(55x-4) (x2-12x+10)4 = (3x+10)4 (4x2+3x-10)2=9x4

Приклад дробових рівнянь:

15 x + - = 5x - 17 x

Приклад ірраціональних рівнянь:

√2kf(x)=g(x)

Приклади лінійних рівнянь:

2х +7 = 0х - 3 = 2 - 4х 2х +3 = 5х +5 - 3х - 2

Приклади квадратних рівнянь:

x 2 +5x−7= 0 3x 2 +5x−7= 0 11x 2 −7x+3 = 0

Приклади кубічних рівнянь:

x 3 -9x 2 -46x+120=0 x 3 - 4x 2 + x + 6 = 0

Приклади показових рівнянь:

5 х +2 = 125 3 х · 2 х = 8 х +3 3 2х +4 · 3 х -5 = 0

Приклади логарифмічних рівнянь:

log 2 x = 3 log 3 x = -1

Приклади тригонометричних рівнянь:

3sin 2 x + 4sin x cosx + cos 2 x = 2 sin(5x+π/4) = ctg(2x-π/3) sinx + cos 2 x + tg 3 x = ctg 4 x

Приклади змішаних рівнянь:

log х (log 9 (4⋅3 х −3))=1 |5x−8|+|2⋅5x+3|=13

Залишилось додати, що для вирішення рівнянь різних типівзастосовуються самі різні методи. Ну а щоб вирішувати практично будь-які рівняння, знадобляться знання не тільки алгебри, але також і тригонометрії, причому нерідко знання дуже глибокі.