Критерії згоди тести бувають. Статистичні гіпотези

МЕТА РОБОТИ

Метою даної лабораторної роботи є:

· Побудова за результатами експерименту законів розподілу випадкової величинирозкидання параметрів дротяних резисторів;

· Перевірка гіпотези про нормальному законірозподілу відхилень параметрів елементів;

· експериментальне дослідженнязміни параметрів дротяних резисторів при впливі температури.

ПРОДОВЖНІСТЬ РОБОТИ

Лабораторна робота виконується протягом 4-годинного заняття, включаючи 1 годину на колоквіум для оцінки знань студентів з теоретичної частини.

ТЕОРЕТИЧНА ЧАСТИНА

Радіоелектронні засоби постійно перебувають під впливом зовнішніх і внутрішніх випадкових факторів, що обурюють, під впливом яких змінюються параметри елементів пристрою. Зміна параметрів елементів (резисторів, конденсаторів, напівпровідникових приладів, інтегральних схем та ін.) пов'язана з різними фізичними процесами, що відбуваються в матеріалах за рахунок зовнішніх впливівта старіння. Крім того, параметри елементів РЕМ мають виробничий розкид, який є результатом впливу випадкових факторів під час їх виготовлення. Спроектована з таких елементів апаратура реагує всі розкиди зміною своїх вихідних параметрів. Для прогнозування надійності РЕМ виникає необхідність встановлення законів розподілу випадкової величини розкиду параметрів елементів, зумовлених їх виробництвом та зовнішніми умовами, що обурюють, (зокрема, температурою навколишнього середовища).

У лабораторної роботиз допомогою критеріїв згоди (Пірсона чи Колмогорова) перевіряється гіпотеза про нормальний закон розподілу випадкової величини Х – розкиду параметрів елементів.

КРИТЕРІЇ УГОДИ, ЗАСТОСУВАННІ ДЛЯ ПЕРЕВІРКИ СТАТИСТИЧНИХ ГІПОТЕЗ

Критерії згоди дозволяють оцінити ймовірність припущення про те, що отримана з експерименту вибірка не суперечить апріорно обраному закону розподілу випадкової величини, що розглядається. Вирішення цього завдання засноване на використанні фундаментального положення математичної статистики, згідно якому емпірична (статистична) функція розподілу сходиться по ймовірності до апріорної (порівнюваної теоретичної) функції розподілу, коли розмір вибірки необмежено зростає, якщо тільки вибірка належить розглянутому апріорному розподілу. При кінцевому значенні вибірки емпірична та апріорна функції розподілу, взагалі кажучи, відрізнятимуться один від одного. Тому для вибірки х 1 , х 2 ,… х nвипадкової величини Хвводиться певний числовий захід розбіжності (критерій згоди) () емпіричної функціїрозподілу

, l =1, 2, …, n , (1)

де

= х 1 , х 2 ,… х n- Вибірка експериментальних даних

та апріорної – функції розподілу.

Правило перевірки гіпотези про згоду апріорного та емпіричного розподілуформулюється так: якщо

то гіпотеза про те, що апріорний розподіл, якому належить вибірка х 1 , х 2 ,…,х nдорівнює F(х) повинна бути відкинута. Для визначення порогового значення величини Звстановлюється деяка припустима ймовірність a відхилення гіпотези у тому, що вибірка належить розподілу F. Імовірність a називають рівнем значущості критерію згоди. Тоді

тобто. З- Порогове значення критерію дорівнює a-відсотковій точці функції розподілу міри розбіжності.

Подія може статися і при справедливості висунутої гіпотези про закон розподілу. Проте якщо досить мало, то можливістю появи таких ситуацій практично можна знехтувати. Частими значеннями a є a = 0.05 і a = 0.01.

Якщо закон розподілу міри розбіжності () не залежить від F, то правило відхилення гіпотези про згоду та F

(4)

не залежить від апріорного розподілу. Такі критерії називаються непараметричними (див. 3.1.2).

Перевірку гіпотези про характер розподілу за допомогою критерію згоди можна вести і в іншій послідовності: за набутим значенням необхідно визначити ймовірність a n= Р{ n). Якщо отримане значення a n < a , то отклонения значимые; если an³ a, то відхилення не значущі. Значення a n, дуже близькі до 1 (дуже хороша згода), можуть вказувати на недоброякісність вибірки (наприклад, з початкової вибірки без підстав викинуті елементи, що дають великі відхилення від середнього).

Критерії згоди, що використовуються в статистиці, відрізняються один від одного різними заходами розбіжності статистичного і теоретичного законів розподілу (). Деякі їх розглянуті нижче.

3.1.1. Критерій згоди з 2

При використанні критерію згоди з 2 (критерій Пірсона) міру розбіжності між емпіричним та апріорним розподілами визначають наступним чином.

Область можливих значень, на якій визначено F(x) - апріорна функція розподілу розбивається на кінцеве числоінтервалів, що не перетинаються – , i = 1, 2,…, L.

Введемо позначення: – апріорна ймовірність влучення вибіркового значення в інтервал.

Очевидно, що . Нехай елементів спостережуваної вибірки х 1 , х 2 ,…, х nналежать інтервалу.

Зрозуміло, що .

Вживемо як міру розбіжності емпіричного та апріорного розподілів величину

, (5)

де - експериментальне число влучення значень випадкової величини xв інтервал,

L- Число інтервалів, на які розбиті всі дослідні значення величини x,

n- Обсяг вибірки,

p i- Імовірність потрапляння випадкової величини xв -й інтервал, обчислена для теоретичного законурозподілу (твір визначає кількість попадань у - інтервал для теоретичного закону).

Як довів Пірсон, при n® ¥ закон розподілу величини (5) прагне до - розподілу з S = L- 1 ступенями свободи, якщо тільки вірна гіпотеза про розподіл.

Якщо перевіряється складна гіпотеза у тому, що вибірка належить розподілу , де невідомий параметр (скалярний чи векторний) розподілу , те з експерименту (одержаної вибірці) визначається оцінка невідомого параметра – . При цьому S - число ступенів свободи c 2 - розподілу дорівнює L – r – 1, де r– кількість оцінюваних параметрів розподілу. .

Правило перевірки гіпотези про належність вибірки розподілу може бути сформульовано наступним чином: за досить великого n(n > 50) для заданого рівня значимості a гіпотеза відхиляється, якщо

де – a – процентна точка – розподіли зі ступенями свободи.

Критерій Колмогорова

Вживемо як міру розбіжності апріорного та емпіричного розподілу статистику

().= , (7)

де – верхня межамодуля різниці для всіх отриманих значень х.

Розподіл цієї статистики (випадкової величини) за будь-якого nне залежить від

Якщо тільки вибірка х 1 , х 2 ,… х nза якою побудована належить і ця остання – безперервна функція. Однак точне вираження функції розподілу при кінцевому значенні nдуже громіздко . О.М. Колмогоров знайшов досить простий асимптотичний вираз (при) для функцій:

, z> 0. (8) Отже, для великих розміріввибірки (при n> 50), використовуючи (8) , отримуємо

ОпрКритерій перевірки гіпотези про передбачуваний закон невідомого розподілу називається критерієм згоди.

Є кілька критеріїв згоди: $ \ chi ^ 2 $ (хі-квадрат) К. Пірсона, Колмогорова, Смирнова та ін.

Зазвичай теоретичні та емпіричні частоти різняться. Випадок розбіжності то, можливо випадковим, отже пояснюється лише тим, що правильно обрана гіпотеза. Критерій Пірсона відповідає на поставлене питання, але як і будь-який критерій він нічого не доводить, а лише встановлює на прийнятому рівні значущості її згоду або незгоду з даними спостережень.

ОпрДосить малу ймовірність, коли він подію вважатимуться практично неможливим називають рівнем значимості.

Насправді зазвичай приймають рівні значимості, укладені між 0,01 і 0,05, $\alpha =0,05$ - це $5 ( \% ) $ рівень значимості.

Як критерій перевірки гіпотези приймемо величину \begin(equation) \label ( eq1 ) \chi ^2=\sum ( \frac ( (( n_i -n_i" ))^2 ) ( n_i" ) ) \qquad (1) \ end(equation)

тут $n_i -$ емпіричні частоти, одержані з вибірки, $n_i" -$ теоретичні частоти, знайдені теоретичним шляхом.

Доведено, що при $n\to \infty $ закон розподілу випадкової величини ( 1 ) незалежно від того, за яким законом розподілено Генеральна сукупність, прагне закону $\chi ^2$ ( хі-квадрат ) з $k$ ступенями свободи.

ОпрЧисло ступенів свободи знаходять рівності $k=S-1-r$ де $S-$ число груп інтервалів, $r-$ число параметрів.

1) рівномірний розподіл: $r=2, k=S-3 $

2) нормальний розподіл: $r=2, k=S-3 $

3) показовий розподіл: $ r = 1, k = S-2 $.

Правило . Перевірка гіпотези за критерієм Пірсона.

1. Для перевірки гіпотези обчислюють теоретичні частоти і знаходять $\chi _ (набл)
2. За таблицею критичних точокрозподілу $\chi ^2$ за заданим рівнем значущості $\alpha $ і числу ступенів свободи $k$ знаходять $\chi _ (кр) ^2 (( \alpha ,k ))$.
3. Якщо $ \ chi _ ( Набл ) ^ 2<\chi _ { кр } ^2 $ то нет оснований отвергать гипотезу, если не выполняется данное условие - то отвергают.

ЗауваженняДля контролю обчислень застосовують формулу $\chi ^2$ як $\chi _ ( набл ) ^2 =\sum ( \frac ( n_i^2 ) ( n_i" ) -n ) $

Перевірка гіпотези про рівномірний розподіл

Функція щільності рівномірного розподілу величини $ X $ має вигляд $ f (x) = \ frac (1) (b-a) x \ in \ left [(a, b) \ right] $.

Для того, щоб при рівні значущості $ перевірити гіпотезу про те, що безперервна випадкова величина розподілена за рівномірним законом, потрібно:

1) Знайти по заданому емпіричному розподілу вибіркове середнє $ \ overline ( x_b ) $ і $ sigma _b = \ sqrt ( D_b ) $. Прийняти як оцінку параметрів $a$ і $b$ величини

$a = \overline x _b -\sqrt 3 \sigma _b $, $b = \overline x _b +\sqrt 3 \sigma _b $

2) Знайти ймовірність потрапляння випадкової величини $X$ у часткові інтервали $(( x_i ,x_ ( i+1 ) ))$ за формулою $ P_i =P(( x_i

3) Знайти теоретичні (що вирівнюють) частоти за формулою $ n_i" = np_i $.

4) Прийнявши число ступенів свободи $k=S-3$ і рівень значущості $\alpha =0,05$ за таблицями $\chi ^2$ знайдемо $\chi _ (кр) ^2 $ за заданими $\alpha $ і $k$, $\chi _ (кр) ^2 ((\alpha, k))$.

5) За формулою $\chi _ ( набл ) ^2 =\sum ( \frac ( (( n_i -n_i" ))^2 ) ( n_i" ) ) $ де $n_i -$ емпіричні частоти, знаходимо спостерігається значення $ \ chi _ (Набл) ^ 2 $.

6) Якщо $ \ chi _ ( Набл ) ^ 2<\chi _ { кр } ^2 -$ нет оснований, отвергать гипотезу.

Перевіримо гіпотезу на прикладі.

1) $ \ overline x _b = 13,00 \, \, \ sigma _b = \ sqrt (D_b) = 6,51 $

2) $a = 13,00-sqrt 3 \ cdot 6,51 = 13,00-1,732 \ cdot 6,51 = 1,72468 $

$ b = 13,00 +1,732 \ cdot 6,51 = 24,27532 $

$ b-a = 24,27532-1,72468 = 22,55064 $

3) $ P_i = P (( x_i

$ P_2 = ((3

$ P_3 = ((7

$ P_4 = ((11

$ P_5 = ((15

$ P_6 = ((19

У рівномірному розподілі якщо однакова довжина інтервалу, $P_i -$ однакові.

4) Знайдемо $n_i" = np_i$.

5) Знайдемо $\sum ( \frac ((( n_i -n_i" ))^2 ) ( n_i" ) ) $ і знайдемо $\chi _ ( набл ) ^2 $.

Занесемо всі отримані значення таблицю

\begin(array) (|l|l|l|l|l|l|l|) (( n_i -n_i" ))^2 ) ( n_i" ) & Контроль~ \frac ( n_i^2 ) ( n_i" ) \\ \hline 1& 1& 4,43438& -3.43438& 11,7950& 2,659895& \\ \hline 2& 6& 4,43438& 1,56562& 2,45117& 0,552765& 8,11838 \\ \hline 3& 3& 4,43438& -1,43438& 2,05744& 0,471463& 2,0296 \\ \hline 4& 3& 4 ,43438& -1,43438& 2,05744& 0,471463& 2,0296 \\ \hline 5& 6& 4,43438& 1,56562& 2,45117& 0,552765& 8,148 562& 2, 45117& 0,552765& 8,11838 \\ \hline & & & & & \sum = \chi _ ( набл ) ^2 =3,261119& \chi _ ( набл ) ^2 =\sum ( \frac ( n_i^2 ) ( n_i " ) -n ) = 3,63985 \ \ \ hline \ end (array)

$ \ chi _ (кр) ^ 2 ((0,05,3)) = 7,8 $

$ \ chi _ ( Набл ) ^ 2<\chi _ { кр } ^2 =3,26<7,8$

Висновоквідкидати гіпотезу немає підстав.

Критерієм згоди називається критерій значущості, що застосовується для перевірки гіпотези про закон розподілу генеральної сукупності, з якої взято вибірку.

Найчастіше дослідника цікавить, чи розподіл експериментальних даних відповідає нормальному закону. Тому приклади будуть пов'язані з перевіркою експериментального розподілу на нормальність.

• Критерій Шапіро-Вилки
• Критерій хі-квадрат
• Критерій лямбда Колмогорова-Смирнова

КРИТЕРІЙ ШАПІРО-ВИЛКИ

Умови застосування: вибірка невеликого обсягу

Н 0 - розподіл генеральної сукупності з якої отримана вибірка сукупності відповідає нормальному закону.

Н 1 - розподіл генеральної сукупності з якої отримана вибірка сукупності відповідає нормальному закону.

Таблиця 1 - Алгоритм розрахунку критерію Шапіро-Вілка.

Порядок розрахунку критерію Шапіро-Вилки

1. Формулюємо гіпотезу Н 0 про відповідність розподілу генеральної сукупності, з якої отримано дані нормального закону. Призначаємо рівень значущості =0,05.
2. Отримуємо вибірку експериментальних даних (стовпець 1 табл.1). У разі n=10.
3. Розраховуємо значення вибіркової дисперсії. Наприклад S 2 =0,37.
4. Ранжуємо вибірку у зростаючому та спадному порядку (стовпці 2 та 3)
5. Вважаємо різниці Δk (стовпець 5)
6. З таблиці 6 Додатки(див. В.С.Іванов, 1990) знаходимо значення коефіцієнтів ank (стовпець 6)
7. Знаходимо твір ankΔk
8. Обчислюємо b = сума ankΔk = 1,7966
9. Розраховуємо значення критерію Wф за формулою:

1. З табл. 7 Додатки (див. В.С.Іванов, 1990) знаходимо критичне значення критерію Шапіро-Вилки для α = 0,05 W крит = 0,842.
2. Висновок. Оскільки Wф>Wкрит, можна говорити, що експериментальні дані відповідають нормальному закону лише на рівні значимості 0,05.

КРИТЕРІЙ ХІ-КВАДРАТ

Розроблено Карлом Пірсоном. Заснований на побудові інтервального варіаційного ряду та порівнянні емпіричних (n ем) та теоретичних (n т) частот (Рис.1).

Рис.1. Гістограма, що характеризує емпіричний розподіл та функція щільності ймовірностей нормального розподілу.

Статистична гіпотеза: щільність розподілу генеральної сукупності, з якої взято вибірку, відповідає теоретичній моделі нормального розподілу.

Значення фактичного критерію хі-квадрату обчислюється за формулою:

Якщо фактичне значення критерію хі-квадрат більше або рівне ніж критичне значення критерію хі-квадрат, можна зробити висновок, що емпіричний розподіл не відповідає нормальному закону на рівні значущості α.

КРИТЕРІЙ ЛЯМБДА КОЛМОГОРОВА-СМИРНОВА

Розроблений Андрієм Миколайовичем Колмогоровимта Миколою Васильовичем Смирновим.

Статистична гіпотеза: функція розподілу генеральної сукупності (рис. 2), з якої взято вибірку, відповідає функції розподілу нормального закону.

Рис.2. Червоні точки – кумулята, побудована на основі експериментальних даних, синя крива – теоретична функція розподілу (нормальний розподіл).

Значення критерію λ ф обчислюється за такою формулою:

Висновок: якщо λ ф > λ крит – емпіричний розподіл не відповідає нормальномулише на рівні значущості α.

ЛІТЕРАТУРА

1. Вища математика та математична статистика: навчальний посібник для вузів/За заг. ред. Г. І. Попова. - М. Фізична культура, 2007. - 368 с.
2. Основи математичної статистики: Навчальний посібник для ін-тов фіз. культ / За ред. В.С. Іванова. - М.: Фізкультура та спорт, 1990. 176 с.

Вступ

Актуальність цієї теми у цьому, що з вивчення основ биостатистики ми припускали, що закон розподілу генеральної сукупності відомий. Але якщо закон розподілу невідомий, але є підстави припускати, що він має певний вид (назвемо його А), то перевіряють нульову гіпотезу: генеральна сукупність розподілена за законом А. Перевірка цієї гіпотези проводиться за допомогою спеціально підібраної випадкової величини - критерію згоди.

Критерії згоди - це критерії перевірки гіпотез щодо відповідності емпіричного розподілу теоретичному розподілу ймовірностей. Такі критерії поділяються на два класи:

• Загальні критерії згоди застосовні до найзагальнішого формулювання гіпотези, а саме до гіпотези про згоду спостережуваних результатів з будь-яким апріорно передбачуваним розподілом ймовірностей.
• Спеціальні критерії згоди передбачають спеціальні нульові гіпотези, що формулюють згоду з певною формою розподілу ймовірностей.

Критерій згоди

Найбільш поширені критерії згоди - омега-квадрат, хі-квадрат, Колмогорова та Колмогорова-Смирнова.

Непараметричні критерії згоди Колмогорова, Смирнова, омега квадрат широко використовуються. Проте з ними пов'язані і поширені помилки у застосуванні статистичних методів.

Справа в тому, що перелічені критерії були розроблені для перевірки згоди з відомим теоретичним розподілом. Розрахункові формули, таблиці розподілів та критичних значень широко поширені. Основна ідея критеріїв Колмогорова, омега квадрат та аналогічних їм полягає у вимірі відстані між функцією емпіричного розподілу та функцією теоретичного розподілу. Розрізняються ці критерії видом відстаней у просторі функцій розподілу.

Критерії згоди ч2 Пірсона для простої гіпотези

Теорема К. Пірсона належить до незалежних випробувань із кінцевим числом результатів, тобто. до випробувань Бернуллі (у дещо розширеному значенні). Вона дозволяє судити про те, чи узгоджуються спостереження у великій кількості випробувань частоти цих результатів з їх ймовірними ймовірностями.

Багато практичних завданнях точний закон розподілу невідомий. Тому висувається гіпотеза про відповідність існуючого емпіричного закону, побудованого за спостереженнями, деякому теоретичному. Ця гіпотеза вимагає статистичної перевірки за результатами якої буде або підтверджена, або спростована.

Нехай X – досліджувана випадкова величина. Потрібно перевірити гіпотезу H0 у тому, що це випадкова величина підпорядковується закону розподілу F(x). Для цього необхідно зробити вибірку з n незалежних спостережень і за нею побудувати емпіричний закон розподілу F"(x). Для порівняння емпіричного та гіпотетичного законів використовується правило, зване критерієм згоди. Одним із популярних є критерій згоди хі-квадрат К. Пірсона. У ньому обчислюється статистика хі-квадрат:

де N - число інтервалів, за яким будувався емпіричний закон розподілу (кількість стовпців відповідної гістограми), i - номер інтервалу, pt i -імовірність попадання значення випадкової величини в i-й інтервал для теоретичного закону розподілу, pe i - ймовірність попадання значення випадкової величини у i-й інтервал для емпіричного закону розподілу. Вона й має підкорятися розподілу хі-квадрат.

Якщо обчислене значення статистики перевищує квантиль розподілу хі-квадрат з k-p-1 ступенями свободи для заданого рівня значущості, гіпотеза H0 відкидається. В іншому випадку вона приймається на заданому рівні значущості. Тут k – число спостережень, p число оцінюваних параметрів закону розподілу.

Розглянемо статистику:

Статистика ч2 називається статистикою хі-квадрат Пірсона для простої гіпотези.

Зрозуміло, що ч2 є квадратом певної відстані між двома r-мірними векторами: вектором відносних частот (mi /n, ..., mr / n) і вектором ймовірностей (pi , ..., pr). Від Евклідової відстані ця відстань відрізняється лише тим, що різні координати входять до нього з різними вагами.

Обговоримо поведінку статистики ч2 у разі, коли гіпотеза Н вірна, й у разі, коли Н неправильна. Якщо правильна Н, то асимптотичне поведінка ч2 при n>? показує теорема К. Пірсона. Щоб зрозуміти, що відбувається з (2.2), коли Н невірна, зауважимо, що згідно із законом великих чисел mi /n > pi при n > ?, для i = 1, …, r. Тому при n>?:

Ця величина дорівнює 0. Тож якщо Н невірна, то ч2 >? (При n>?).

Зі сказаного випливає, що Н повинна бути відкинута, якщо отримане в досвіді значення ч2 занадто велике. Тут, як завжди, слова «занадто велике» означають, що спостерігане значення ч2 перевищує критичне значення, яке в даному випадку можна взяти з таблиць розподілу хі-квадрат. Інакше висловлюючись, ймовірність Р(ч2 npi ч2) - мала величина і, отже, малоймовірно випадково отримати таку ж, як і досвіді, чи ще більше розбіжність між вектором частот і вектором ймовірностей.

p align="justify"> Асимптотичний характер теореми К. Пірсона, що лежить в основі цього правила, вимагає обережності при його практичному використанні. На нього можна покладатися лише за великих n. Судити ж про те, чи достатньо n велике, треба з урахуванням ймовірностей pi, …, pr. Тому не можна сказати, наприклад, що ста спостережень буде достатньо, оскільки не тільки n має бути велике, а й твори npi, ..., npr (очікувані частоти) теж не повинні бути малі. Тому проблема апроксимації ч2 (безперервний розподіл) до статистики ч2, розподіл якої дискретно, виявилася складною. Сукупність теоретичних та експериментальних доводів привела до переконання, що ця апроксимація застосовна, якщо всі очікувані частоти npi>10. якщо число r (кількість різних результатів) зростає, межа для знижена (до 5 або навіть до 3, якщо r порядку кількох десятків). Щоб дотриматися цих вимог, практично часом доводиться об'єднувати кілька результатів, тобто. переходити до схеми Бернуллі з меншим r.

Описаний спосіб перевірки згоди можна додавати як до випробувань Бернуллі, а й до довільним вибіркам. Попередньо їх спостереження треба перетворити на випробування Бернуллі шляхом угруповання. Роблять це так: простір спостережень розбивають на кінцеве число областей, що не перетинаються, а потім для кожної області підраховують спостерігану частоту і гіпотетичну ймовірність.

В даному випадку до перелічених раніше труднощів апроксимації додається ще одна - вибір розумного розбиття вихідного простору. При цьому треба піклуватися про те, щоб правило перевірки гіпотези про вихідний розподіл вибірки було досить чутливим до можливих альтернатив. Нарешті, зазначу, що статистичні критерії, основні на редукції до схеми Бернуллі, зазвичай, є заможними проти всіх альтернатив. Тож такий метод перевірки згоди має обмежену цінність.

Критерій згоди Колмогорова - Смирнова у своєму класичному вигляді є більш потужним, ніж критерій ч2 і може бути використаний для перевірки гіпотези про відповідність емпіричного розподілу будь-якого безперервного теоретичного розподілу F(x) з заздалегідь відомими параметрами. Остання обставина накладає обмеження можливість широкого практичного застосування цього критерію під час аналізу результатів механічних випробувань, оскільки параметри функції розподілу характеристик механічних властивостей, зазвичай, оцінюють за даними самої вибірки.

Критерій Колмогорова - Смирнова застосовують для негрупованих даних чи групованих у разі мінімальної ширини інтервалу (наприклад, рівної ціні розподілу шкали силовимірника, лічильника циклів навантаження тощо. буд.). Нехай результатом випробувань серії з n зразків є ряд варіацій характеристики механічних властивостей

x1? x2? ...? xi? ...? xn. (3.93)

Потрібно перевірити нульову гіпотезу щодо належності вибіркового розподілу (3.93) теоретичного закону F(x).

Критерій Колмогорова - Смирнова виходить з розподілі максимального відхилення накопиченої зокрема значення функції розподілу. За його використання обчислюють статистики

є статистикою критерію Колмогорова. Якщо виконується нерівність

Dnvn? лб (3.97)

для великих обсягів вибірки (n > 35) або

Dn(vn + 0.12 + 0.11/vn)? лб (3.98)

для n? 35 то нульову гіпотезу не відкидають.

При невиконанні нерівностей (3.97) та (3.98) приймають альтернативну гіпотезу про належність вибірки (3.93) невідомому розподілу.

Критичні значення лб становлять: л0.1 = 1.22; л0.05 = 1.36; л0.01 = 1.63.

Якщо параметри функції F(x) заздалегідь не відомі, а оцінюються за даними вибірки, критерій Колмогорова - Смирнова втрачає свою універсальність і може бути використаний лише для перевірки відповідності досвідчених даних лише деяким функціям розподілу.

При використанні нульової гіпотези належність досвідчених даних нормальному або логарифмічно нормальному розподілу обчислюють статистики:

де Ц(zi) - значення функції Лапласа для

Ц(zi) = (xi - xср)/s Критерій Колмогорова - Смирнова для будь-яких обсягів вибірки n записують як

Критичні значення лб у разі становлять: л0.1 = 0.82; л0.05 = 0.89; л0.01 = 1.04.

Якщо перевіряють гіпотезу про відповідність вибірки експоненційному розподілу, параметр якого оцінюють за досвідченими даними, обчислюють аналогічні статистики:

критерій емпіричний ймовірність

і становлять критерій Колмогорова – Смирнова.

Критичні значення лб цього випадку: л0.1 = 0.99; л0.05 = 1.09; л0.01 = 1.31.