Закони рівномірного та нормального розподілу систем випадкових величин. Нормальний розподіл системи випадкових величин

У тому випадку, коли для дослідження випадкових явищ доводиться використовувати дві випадкові величини Xі YРазом, стверджують, що має місце система ( X, Y) двох випадкових величин. Можливі значення системи ( X, Y) являють собою випадкові точки ( x, y) у сфері можливих значень системи.

Розрізняють дискретні і безперервні системи залежно від типу випадкових величин, що входять до них.

Закон розподілу дискретної системи визначається як таблиці чи функції розподілу.

Лекція 6. Закони розподілу системи двох випадкових величин

Таблиця розподілу системи{X, Y) містить сукупність величин xi, yjі P(xi,yj), де P(xi,yj)=P(X = xi, Y = yj), n, m– числа можливих значень випадкової величини X, Y,відповідно.

Функція розподілу системи{X, Y) задається у вигляді:

Лекція 6. Закони розподілу системи двох випадкових величин

Закон розподілу безперервної системи ( X, Y) може бути представлений функцією розподілу F(x, y)або щільністю розподілу φ(x, y):

Лекція 6. Закони розподілу системи двох випадкових величин

Приватні розподіли системи{X, Y) – це закони розподілу кожної з випадкових величин Xі Y.

Якщо Xі Y- дискретні випадкові величини, то ймовірності P(xi) та P(yj), необхідні знаходження їх законів розподілу, перебувають у таблиці розподілу по формулам:

Для безперервних систем ( X, Y) приватні щільності розподілу мають вигляд:

Лекція 6. Закони розподілу системи двох випадкових величин

Умовні розподіливизначаються:

умовними ймовірностями P(xi/yj), P(yj/xi) для дискретних систем ( X, Y) та умовними щільностями розподілу ( x/y), (y/x) для безперервних систем ( X, Y}:

Лекція 6. Закони розподілу системи двох випадкових величин

Умови незалежності випадкових величин X та Y:

– для дискретних систем (8)

– для безперервних систем (9)

При виконанні цих співвідношень слід:

(10) (11)

Імовірність влучення можливих значень безперервної системи{X, Y) в область ( D) визначається за формулою:

(12)

Лекція 6. Закони розподілу системи двох випадкових величин

Приклад 3.1

Закон розподілу системи (X, Y) заданий таблицею:

Потрібно:

а) знайти приватні розподіли X та Y;

б) умовний закон розподілу Y при X = -1;

в) визначити, чи залежні величини X та Y?

Лекція 6. Закони розподілу системи двох випадкових величин

Рішення:

а) Знайти приватні розподіли X та Y

б) Умовний закон розподілу Y за X = -1. При Х=-1 випадкова величина Y має наступний закон розподілу:

в) Визначити, чи залежні величини X та Y?

Так як у безумовному та умовному законах розподілу ймовірності P(yj) та P(yj/X = -1) різні, то, отже, випадкові величини X та Y залежні.

Лекція 6. Закони розподілу системи двох випадкових величин

Приклад 3.2

Дана система (X, Y), рівномірно розподілена у квадраті |x|+|y|1 (див. рис. 22).

Визначити: а) приватні закони розподілу X та Y; б) чи залежні ці випадкові величини?

Лекція 6. Закони розподілу системи двох випадкових величин

Рішення:

Закон розподілу (X, Y) має вигляд:

Щільність при |x|≤1 визначається за такою формулою:

Лекція 6. Закони розподілу системи двох випадкових величин

Тоді (див. рис. 23):

Аналогічно для (y) отримаємо:

Оскільки умова незалежності не виконується:

то випадкові величини X та Y залежні.

До числових характеристик системи ( X, Y) відносяться:

• числові характеристики випадкових величин X та Y:

mx, my, Dx, Dy, σx, σy;

• числові характеристики умовних розподілів:

mx/y, my/x, Dx/y, Dy/x, σx/y, σy/x;

• числові характеристики зв'язку випадкових величин:

Kxyі rxy

Лекція 7. Числові характеристики системи двох випадкових величин

Числові характеристики першої групи визначаються за наведеними раніше формулами.

Числові характеристики другої групи стосовно безперервної системи ( X, Y) визначаються за формулами:

Для дискретних систем ( X, Y) ці формули очевидні.

Лекція 7. Числові характеристики системи двох випадкових величин

Величини Kxyі rxyє характеристиками лінійної кореляційної залежностіміж Xі Y; вони визначаються залежностями:

де Kxy– кореляційний моментабо момент зв'язку між Xі Y;

- Коефіцієнт кореляції між Xі Y, -1  rx  1. (16)

Коефіцієнт кореляціїхарактеризує ступінь лінійної кореляційної залежності між Xі Y.

Лекція 7. Числові характеристики системи двох випадкових величин

Під кореляційною залежністюрозуміється така залежність, коли із зміною однієї випадкової величини, наприклад X, в іншої – Yзмінюється її математичне очікування ( my/x).

При | rxy|=1 має місце лінійна функціональний зв'язокміж Xі Y, при rxy=0 випадкові величини Xі Yнекорельовані.

Якщо Xі Yнезалежні, то вони й некорельовані. Якщо rxy=0, то випадкові величини Xі Yможуть бути залежними.

Лекція 7. Числові характеристики системи двох випадкових величин

Приклад 3.3

У разі прикладу 3.1. визначити: mx, my, Dx, Dy, Kxy, rxy.

Рішення:

Лекція 7. Числові характеристики системи двох випадкових величин

Приклад 3.4

У разі прикладу 3.2. визначити числові характеристики системи (X, Y).

Рішення:

Лекція 7. Числові характеристики системи двох випадкових величин

- Це щільність рівномірного розподілу в інтервалі

(-(1-|x|), (1-|x|))

Аналогічно можна записати вирази для mx/y, Dx/y.

У випадку, коли випадкові величини, які входять у систему ( X, Y), залежні, щільність нормального розподілу має вигляд:

(17)

Приватні розподіли визначаються за формулами:

(18)

(19)

Лекція 8. Нормальний закон розподілу системи двох випадкових величин

Умовні щільності ( x/y) та ( y/x) мають вигляд нормальних розподілів:

(20) (21)

де

(22) (23)

(24) (25)

Лекція 8. Нормальний закон розподілу системи двох випадкових величин

Якщо випадкові величини Xі Yнезалежні, те й щільність набуває вигляду:

Імовірність влучення нормально розподіленої системи (X, Y)(у разі незалежних випадкових величин Xі Y) у прямокутник зі сторонами, паралельними осямкоординат, визначаться за допомогою функції Лапласа за формулою:

(27)

Лекція 8. Нормальний закон розподілу системи двох випадкових величин

Приклад 3.5

Визначити ймовірність попадання снаряда в ціль, що має форму прямокутника з координатами центру: xц=10 м, yц =5 м. Сторони прямокутника паралельні до осей координат і дорівнюють: по осі ox: 2 =20 м, по осі oy: 2k = 40 м. Координати точки прицілювання: mx = 5м, my = 5 м. Характеристики розсіювання снарядів по осях ox і oy, відповідно, рівні: x = 20 м, y = 10 м.

Рішення: Позначимо площу прямокутника через D.

Тоді:

Тема 4. Функції випадкових величин

Лекція 9. Закон розподілу функції одного випадкового аргументу

Порядок знаходження закону розподілу функції Y=y(X), де X- Дискретна випадкова величина, представлений у прикладі 4.1.

Якщо можливі значення випадкових величин Xі Yпов'язані функціональною залежністю y=y(x), де y(x) – безперервна та диференційована, і відомий закон розподілу випадкової величини X-, то закон розподілу випадкової величини Y-для випадку, коли y(x) монотонно зростає або зменшується в діапазоні своїх можливих значень, виражається формулою (1):

У формулі (1) x(y) є зворотна функція.

У тому випадку, коли функція y(x) має nділянок спадання та зростання, то ця формула записується у вигляді (2).

Лекція 9. Закон розподілу функції одного випадкового аргументу

Приклад 4.1

Випадкова величина X має закон розподілу:

Знайти закон розподілу випадкової величини

Рішення: Знаходимо можливі значення функції

при = 0, 1, 2, 3.

Вони відповідно рівні: 1, 2, 1, 0. Отже, можливими значеннями є: 0, 1, 2.

Лекція 9. Закон розподілу функції одного випадкового аргументу

Знаходимо ймовірність цих можливих значень:

Закон розподілу Y:

Лекція 9. Закон розподілу функції одного випадкового аргументу

Приклад 4.2

Знайти щільність розподілу випадкової величини та побудувати її графік, якщо випадкова величина X розподілена рівномірно на інтервалі

Рішення: Графік функції

представлений на рис. 24.

Лекція 9. Закон розподілу функції одного випадкового аргументу

Випадкова величина X має таку щільність розподілу:

Знаходимо зворотну функцію x(y)та її похідну:

Лекція 9. Закон розподілу функції одного випадкового аргументу

Остаточно отримаємо такий вираз для щільності

Графік цієї густини

представлений на рис. 25.

Лекція 10. Числові характеристики функції випадкових величин

Основні формули:

Лекція 10. Числові характеристики функції випадкових величин

Лекція 10. Числові характеристики функції випадкових величин

де Xi- незалежні випадкові величини,

Лекція 10. Числові характеристики функції випадкових величин

Лекція 10. Числові характеристики функції випадкових величин

Для nвипадкових величин числові характеристики задаються сукупністю та кореляційною матрицею:

Запис як трикутної матриці справедлива, т.к.

Лекція 10. Числові характеристики функції випадкових величин

Кореляційна матриця може бути представлена ​​нормованому вигляді, тобто. матрицею коефіцієнтів кореляції:

Лекція 10. Числові характеристики функції випадкових величин

Приклад 4.3

Визначити числові характеристики випадкової величини

якщо і

Рішення:

Випадкова величина U є лінійною функцією випадкових аргументів X, Y і Z. Тому з використанням формул (11) і (17) даного розділу отримаємо:

Нормальний закон розподілу ймовірностей

Без перебільшення його можна назвати філософським законом. Спостерігаючи за різними об'єктами та процесами навколишнього світу, ми часто стикаємося з тим, що чогось буває мало, і що буває норма:


Перед вами важливий вигляд функції щільності нормального розподілуймовірностей, і я вітаю вас на цьому цікавому уроці.

Які приклади можна навести? Їхня просто темрява. Це, наприклад, зростання, вага людей (і не тільки), їх фізична сила, розумові здібностіі т.д. Існує «основна маса» (за тією чи іншою ознакою)і є відхилення в обидві сторони.

Це різні характеристикинеживих об'єктів (ті самі розміри, вага). Це випадкова тривалість процесів…, знову спало на думку сумний приклад, і тому скажу час «життя» лампочок:) З фізики згадалися молекули повітря: серед них є повільні, є швидкі, але більшість рухаються зі «стандартними» швидкостями.

Далі відхиляємося від центру ще одне стандартне відхилення і розраховуємо висоту:

Зазначаємо точки на кресленні (зелений колір) і бачимо, що цього цілком достатньо.

На завершальному етапі акуратно креслимо графік, та особливо акуратновідбиваємо його опуклість/увігнутість! Ну і, мабуть, ви давно зрозуміли, що вісь абсцис – це горизонтальна асимптота, І «залазити» за неї категорично не можна!

При електронному оформленні рішення графік легко побудувати в Екселі, і несподівано для себе я навіть записав короткий відеоролик на цю тему. Але спочатку поговоримо про те, як змінюється форма нормальної кривої в залежності від значень і .

При збільшенні чи зменшенні «а» (При постійному «сигма»)графік зберігає свою форму та переміщається вправо / влівовідповідно. Так, наприклад, при функція набуває вигляду і наш графік «переїжджає» на 3 одиниці вліво – рівно на початок координат:


Нормально розподілена величина з нульовим математичним очікуванням отримала цілком природна назва – центрована; її функція щільності – парна, І графік симетричний щодо осі ординат.

У разі зміни «сигми» (При постійному "а"), графік «залишається дома», але змінює форму. При збільшенні він стає нижчим і витягнутим, наче восьминіг, що розтягує щупальця. І, навпаки, при зменшенні графіка стає вужчим і високим- Виходить «здивований восьминіг». Так, при зменшенні«сигми» вдвічі: попередній графік звужується і витягується вгору вдвічі:

Все в повній відповідності до геометричними перетвореннями графіків.

Нормальний розподіл із одиничним значенням «сигма» називається нормованим, а якщо воно ще й центровано(наш випадок), то такий розподіл називають стандартним. Воно має ще більше просту функціющільності, яка вже зустрічалась у локальної теореми Лапласа: . Стандартний розподіл знайшов широке застосуванняна практиці, і дуже скоро ми остаточно зрозуміємо його призначення.

Ну а тепер дивимось кіно:

Так, абсолютно вірно - якось незаслужено у нас залишилася в тіні функція розподілу ймовірностей. Згадуємо її визначення:
- Імовірність того, що випадкова величина набуде значення, МЕНШЕ, ніж змінна , яка "пробігає" всі дійсні значення до "плюс" нескінченності.

Усередині інтеграла зазвичай використовують іншу букву, щоб не виникало «накладок» з позначеннями, бо тут кожному значенню ставиться у відповідність невласний інтеграл , який дорівнює деякому числуз інтервалу.

Майже всі значення не піддаються точному розрахунку, але як ми щойно бачили, із сучасними обчислювальними потужностями з цим немає жодних труднощів. Так, для функції стандартного розподілу відповідна екселівська функція взагалі містить один аргумент:

=НОРМСТРАСП(z)

Раз, два – і готово:

На кресленні добре видно виконання всіх властивостей функції розподілу, і з технічних нюансів тут слід звернути увагу на горизонтальні асимптотиі точку перегину.

Тепер згадаємо одну з ключових завданьтеми, а саме з'ясуємо, як знайти - ймовірність того, що нормальна випадкова величина набуде значення з інтервалу. Геометрично ця ймовірність дорівнює площіміж нормальною кривою та віссю абсцис на відповідній ділянці:

але щоразу вимучувати наближене значення нерозумно, і тому тут раціональніше використовувати «легку» формулу:
.

! Згадує також , що

Тут можна знову задіяти Ексель, але є пара вагомих "але": по-перше, він не завжди під рукою, а по-друге, "готові" значення, швидше за все, викличуть питання у викладача. Чому?

Про це я неодноразово розповідав раніше: свого часу (і ще не дуже давно) розкішшю був звичайний калькулятор, і в навчальної літературидосі зберігся «ручний» спосіб вирішення завдання. Його суть полягає в тому, щоб стандартизуватизначення «альфа» та «бета», тобто звести рішення до стандартному розподілу:

Примітка : функцію легко отримати з загального випадку за допомогою лінійної заміни. Тоді й:

і з проведеної заміни випливає формула переходу від значень довільного розподілу– до відповідних значень стандартного розподілу.

Навіщо це потрібно? Справа в тому, що значення скрупульозно підраховані нашими предками і зведені до спеціальної таблиці, яка є в багатьох книгах за тервером. Але ще частіше зустрічається таблиця значень, з якою ми вже мали справу в інтегральної теореми Лапласа:

Якщо в нашому розпорядженні є таблиця значень функції Лапласа , То вирішуємо через неї:

Дробові значенняЗазвичай округляємо до 4 знаків після коми, як це зроблено у типовій таблиці. І для контролю є Пункт 5 макета.

Нагадую, що , і щоб уникнути плутанини завжди контролюйте, таблиця ЯКИЙ функції перед очима.

Відповідьпотрібно дати у відсотках, тому розраховану ймовірність потрібно помножити на 100 і забезпечити результат змістовним коментарем:

- з перельотом від 5 до 70 м впаде приблизно 15,87% снарядів

Тренуємося самостійно:

Приклад 3

Діаметр підшипників, виготовлених на заводі, являє собою випадкову величину, нормально розподілену з математичним очікуванням 1,5 см і середнім квадратичним відхиленням 0,04 см. Знайти ймовірність того, що розмір навмання взятого підшипника коливається від 1,4 до 1,6 см.

У зразку рішення і далі я використовуватиму функцію Лапласа як найпоширеніший варіант. До речі, зверніть увагу, що згідно з формулюванням, тут можна включити кінці інтервалу до розгляду. Втім, це критично.

І вже у цьому прикладі нам зустрівся особливий випадок– коли інтервал симетричний щодо математичного очікування. У такій ситуації його можна записати у вигляді і, користуючись непарністю функції Лапласа, спростити робочу формулу:

Параметр "дельта" називають відхиленнямвід математичного очікування, та подвійна нерівністьможна «упаковувати» за допомогою модуля:

- Імовірність того, що значення випадкової величини відхилиться від математичного очікування менш ніж на .

Добре те рішення, яке вміщується в один рядок:)
- Імовірність того, що діаметр навмання взятого підшипника відрізняється від 1,5 см не більше ніж на 0,1 см.

Результат цього завдання вийшов близьким до одиниці, але хотілося б ще більшої надійності - а саме, дізнатися межі, в яких знаходиться діаметр майже всіхпідшипників. Чи існує якийсь критерій щодо цього? Існує! На поставлене запитання відповідає так зване

правило «трьох сигм»

Його суть полягає в тому, що практично достовірним є той факт, що нормально розподілена випадкова величина набуде значення з проміжку .

І насправді, ймовірність відхилення від матожидания менш ніж становить:
або 99,73%

У «перерахунку на підшипники» – це 9973 штуки з діаметром від 1,38 до 1,62 см і лише 27 «некондиційних» екземплярів.

У практичних дослідженнях правило «трьох сигм» зазвичай застосовують у зворотному напрямку: якщо статистичновстановлено, що майже всі значення досліджуваної випадкової величиниукладаються в інтервал довжиною 6 стандартних відхилень, то з'являються вагомі підстави вважати, що ця величина розподілена по нормальному закону. Перевірка здійснюється за допомогою теорії статистичних гіпотез , до яких я сподіваюся рано чи пізно дістатися:)

Ну а поки що продовжуємо вирішувати суворі радянські завдання:

Приклад 4

Випадкова величина помилки зважування розподілена за нормальним законом з нульовим математичним очікуванням і стандартним відхиленням 3 грами. Знайти ймовірність того, що чергове зважування буде проведено з помилкою, що не перевищує модуля 5 грам.

Рішеннядуже просте. За умовою, і відразу зауважимо, що за чергового зважування (чогось чи когось)ми майже 100% отримаємо результат із точністю до 9 грам. Але в задачі фігурує вужче відхилення і за формулою :

- Імовірність того, що чергове зважування буде проведено з помилкою, що не перевищує 5 грам.

Відповідь:

Вирішене завдання принципово відрізняється від начебто схожого Приклад 3уроку про рівномірному розподілі. Там була похибка округленнярезультатів вимірів, тут йдеться про випадкової похибки самих вимірів. Такі похибки виникають у зв'язку з технічними характеристикамисамого приладу (діапазон припустимих помилок, як правило, вказують у його паспорті), а також з вини експериментатора – коли ми, наприклад, «на око» знімаємо свідчення зі стрілки тієї ж ваги.

Окрім інших, існують ще так звані систематичніпомилки виміру. Це вже невипадковіпомилки, які виникають через некоректне налаштування або експлуатацію приладу. Так, наприклад, невідрегульовані ваги підлоги можуть стабільно «додавати» кілограм, а продавець систематично обвішувати покупців. Або не систематично можна обрахувати. Однак, у будь-якому випадку, випадковою така помилка не буде, і її маточкування відмінно від нуля.

…терміново розробляю курс з підготовки продавців =)

Самостійно вирішуємо зворотне завдання:

Приклад 5

Діаметр валика – випадкова нормально розподілена випадкова величина, середня квадратичне відхиленняїї дорівнює мм. Знайти довжину інтервалу, симетричного щодо математичного очікування, куди з ймовірністю потрапить довжина діаметра валика.

Пункт 5* розрахункового макетав допомогу. Зверніть увагу, що тут не відоме математичне очікування, але це не заважає вирішити поставлене завдання.

І екзаменаційне завдання, яке я настійно рекомендую для закріплення матеріалу:

Приклад 6

Нормально розподілена випадкова величина задана своїми параметрами (математичне очікування) та (середнє квадратичне відхилення). Потрібно:

а) записати щільність ймовірності та схематично зобразити її графік;
б) знайти ймовірність того, що набуде значення з інтервалу ;
в) знайти ймовірність того, що відхилиться по модулю не більше ніж на ;
г) застосовуючи правило "трьох сигм", знайти значення випадкової величини.

Такі завдання пропонуються повсюдно, і за роки практики мені їх довелося вирішити сотні та сотні штук. Обов'язково попрактикуйтесь у ручній побудові креслення та використанні паперових таблиць;)

Ну а я розберу приклад підвищеної складності:

Приклад 7

Щільність розподілу ймовірностей випадкової величини має вигляд . Знайти, математичне очікування, дисперсію, функцію розподілу, побудувати графіки щільності та функції розподілу, знайти.

Рішення: Насамперед, звернемо увагу, що в умові нічого не сказано про характер випадкової величини Сама собою присутність експоненти ще нічого не означає: це може виявитися, наприклад, показовеабо взагалі довільне безперервний розподіл. І тому «нормальність» розподілу ще треба обґрунтувати:

Оскільки функція визначена при будь-кому дійсному значенні, і її можна привести до вигляду , то випадкова величина розподілена за нормальним законом.

Наводимо. Для цього виділяємо повний квадратта організуємо триповерховий дріб:


Обов'язково виконуємо перевірку, повертаючи показник у вихідний вигляд:

що ми й хотіли побачити.

Таким чином:
- за правилу дій зі ступенями«відщипуємо». І тут можна одразу записати очевидні числові характеристики:

Тепер знайдемо значення параметра. Оскільки множник нормального розподілу має вигляд і , то:
, звідки висловлюємо та підставляємо на нашу функцію:
, після чого ще раз пробіжимося по запису очима і переконаємося, що отримана функція має вигляд .

Побудуємо графік щільності:

та графік функції розподілу :

Якщо під рукою немає Екселя і навіть звичайного калькулятора, то останній графік легко будується вручну! У точці функція розподілу набуває значення і тут знаходиться

6 сторінок (Word-файл)

Переглянути всі сторінки

Необхідність. Дано: X та Y – незалежні, тобто. закон розподілу однієї з них, скажімо X, не залежить від значенняY, але закон розподілу визначається щільністю, отже, щільністьXне залежить від значенняY

- f 1 (x/ y)= f 1 (x) , але тоді відповідно до формули (4.6)

абоf (x, y)= f 1 (x) f 2 (y).

Достатність. Даноf (x, y)= f 1 (x) f 2 (y). Відповідно до формули (4.6)

f 1 (x/ y)= f 1 (x), тобто. закон розподілу X, який визначається щільністю, не залежить від значення величини Y, отже, X та Y незалежні.

Вправа 1. Довести, що складові системи випадкових величин, рівномірно розподілених у колі (див. приклад 2) некорельовані, але залежні.

2. Двовимірний нормальний закон розподілу.

Система випадкових величин (X,Y) підпорядковується двомірному нормальному закону розподілу, якщо вона визначена на всій координатній площині xOy і щільність системи визначається формулою

де aX , a Y - математичні очікуваннявипадкових величин X,Y;

- дисперсії цих величин;

r – їхній коефіцієнт кореляції, причому -1< r<1.

Зазначимо, що тут, як і у випадку однієї випадкової величини, густина нормального закону позначається не буквою f, а буквою .

3-тє властивість коефіцієнта кореляції чи умова незалежності нормальних випадкових величин.Якщо випадкові величиниXіYпідкоряються нормальному закону та коефіцієнт кореляції дорівнює нулю, то випадкові величини незалежні.

Дійсно, нехай r=0 тоді щільність (7.1) буде мати вигляд

= де - щільності величин X і Y відповідно.

Таким чином, виконується умова незалежності безперервних випадкових величин і, отже, X та Y незалежні. Як бачимо, для випадкових величин, мають нормальний закон розподілу, необхідне умова незалежності стає достатнім.

3. Умовні густини системи нормальних випадкових величин.

Прямі регресії.

Для зручності перетворень введемо позначення

(8.1)

Тоді густину системи (7.1) можна записати так

а щільність нормальної випадкової величини X

Умовна щільність(4.5) дорівнюватиме

(u 2 -2ru

Зазначимо, що функція y = exp (x) - це показова функція y = exтому при розподілі аргументу цієї функції (показники ступеня) віднімаються. Перетворимо окремо показник ступеня

(u 2 -2ru =

(u 2 -2ru(

Враховуючи формули (87.1) та (8.2) , отримаємо, що показник ступеня дорівнює

Таким чином, умовна щільність дорівнює

= -. (8.3)

Це щільність нормальної випадкової величини

= -,

деa y / x- Умовне математичне очікування, а - умовна дисперсія випадкової величини Y за умови, що X = x. Тому рівняння регресії (4.9) для випадкових величин, підпорядкованих нормальному закону, має вигляд

M(Y/x) = aY + r). (8.4)

Аналогічно, через симетричність щільності отримаємо і рівняння регресії X і Y

M(X/ y) = ax + r. (8.5)

Умовні дисперсії відповідно рівні

D(Y/ x)= ) ,

D (X/ y)= ).

Функції (8.4) і (8.5) – лінійні, отже, лінії регресії – прямі, причому вони проходять через центр розподілу системи, тобто. через точку з координатами ( a x, a Y)

Відома формула знаходження «нормальної ваги» людини щодо її зростання V=L-100, деV- вага, кг; а L – зростання, див, є нічим іншим, як рівняння регресії і V – це середня вага на шляху зростання L.

Умовні коефіцієнти прямих регресій дорівнюють

k x / Y= rkY / x= r (8.6)

і знаки кутових коефіцієнтів збігаються зі знаком коефіцієнта кореляції, тому якщоr>0, то прямі регресії (8.4) і (8.5) обидві зростаючі, і якщоr<0, то обе прямые – убывающие. Это позволяет сформулировать еще два свойства коэффициента корреляции:

Якщо система випадкових величин підпорядковується нормальному закону та коефіцієнт кореляції задовольняє нерівності -1

4-е властивість коефіцієнта кореляції. Якщо система випадкових величин підпорядковується нормальному закону та коефіцієнт кореляції задовольняє нерівності 0

На рис. 2 наведені умовні щільності X для деяких значень Y та пряма регресії для r>0.

9. Середня квадратична регресія.

Розглянемо систему випадкових величин (X, Y). Підберемо таку функцію f(x), щоб середній квадрат відхилення випадкової величини Y цієї функції випадкової величини X був мінімальним, тобто. щоб ця функція забезпечувала мінімум математичного очікування відхилення квадрата Y від f(X). Іншими словами, стоїть завдання з усіх можливих функцій вибрати таку, що забезпечує

(9.1)

Доведено, що цей мінімум досягається, якщоf(x) , Яка визначається рівнянням регресії Y на X (4.9). Однак, якщо рівняння регресії невідоме, знайти таку функцію з (9.1) неможливо. Тому вирішують завдання пошуку мінімуму виразу (9.1) для функцій даного виду f(A,x), де A= ( a 1 ,…. a) - Вектор коефіцієнта цієї функції, тобто. шукається не сама функція, що забезпечує мінімум середнього квадрата відхилення Y від f(X) , а визначаються коефіцієнти наперед обраної функції (наприклад, лінійної визначаються коефіцієнти наперед обраної функції (наприклад, лінійної y= x+ b, або квадратичноїy= ax 2 + bx+ c, або функції якогось іншого виду) так, щоб з усіх функцій обраного виду, функція з цими коефіцієнтами забезпечувала мінімум середнього квадрата відхилення Yвідf(A, X). Іншими словами, потрібно знайти такий вектор коефіцієнта А, щоб функціязмінних

S = (A) = S ( ) = M((Y-f(A,X)) 2) (9.2)

достигаламінімуму.

Нехай A * = (a,……, a) забезпечує цей мінімум, тобто. є точкою мінімуму функції S(A). Тоді рівняння y=f(A * , x) називається рівнянням середньої квадратичної регресії,а випадкова величина Y * =f(A * , X) наближенням випадкової величини Y функцій даного виду випадкової величини X,знайденої за методом найменших квадратів(МНК). Коефіцієнти цієї функції А * = (a,……, a) називається коефіцієнтами регресії.

Вступ

Теорія ймовірностей одна із класичних розділів математики. Вона має тривалу історію. Основи цього розділу науки було закладено великими математиками. Назву, наприклад, Ферма, Бернуллі, Паскаля. Пізніше розвиток теорії ймовірностей визначилися на роботах багатьох учених. Великий внесок у теорію ймовірностей зробили вчені нашої країни: П.Л.Чебишев, А.М.Ляпунов, А.А.Марков, А.М.Колмогоров. Імовірнісні та статистичні методи в даний час глибоко проникли у додатки. Вони використовуються у фізиці, техніці, економці, біології та медицині. Особливо зросла їх у зв'язку з розвитком обчислювальної техніки.

Наприклад, вивчення фізичних явищ проводять спостереження чи досліди. Їхні результати зазвичай реєструють у вигляді значень деяких спостережуваних величин. При повторенні дослідів виявляємо розкид їх результатів. Наприклад, повторюючи вимірювання однієї і тієї ж величини одним і тим же приладом при збереженні певних умов (температура, вологість тощо), ми отримуємо результати, які хоч трохи, але все ж таки відрізняються один від одного. Навіть багаторазові виміри не дають змоги точно передбачити результат наступного виміру. У цьому сенсі кажуть, що результат виміру є випадковою. Ще більш наочним прикладом випадкової величини може бути номер виграшного квитка в лотереї. Можна навести багато інших прикладів випадкових величин. Все ж таки у світі випадковостей виявляються певні закономірності. Математичний апарат вивчення таких закономірностей і дає теорія ймовірностей. Отже, теорія ймовірностей займається математичним аналізом випадкових подій пов'язаних із нею випадкових величин.

1. Випадкові величини

Поняття випадкової величини є основним у теорії ймовірностей та її додатках. Випадковими величинами, наприклад, є число очок, що випали при одноразовому киданні гральної кістки, число розпалися атомів радію за даний проміжок часу, число викликів на телефонній станції за деякий проміжок часу, відхилення від номіналу деякого розміру деталі при правильно налагодженому технологічному процесі і т.д.

Таким чином, випадковою величиною називається величина, яка в результаті досвіду може набувати того чи іншого значення, причому заздалегідь відомо яке саме.

Випадкові величини можна поділити на дві категорії.

Дискретною випадковою величиною називається така величина, яка в результаті досвіду може набувати певних значень з певною ймовірністю, що утворюють лічильну множину (множина, елементи якої можуть бути занумеровані).

Ця множина може бути як кінцевою, так і нескінченною.

Наприклад, кількість пострілів до попадання в ціль є дискретною випадковою величиною, т.к. ця величина може приймати і нескінченну, хоч і лічильну кількість значень.

Безперервною випадковою величиною називається така величина, яка може приймати будь-які значення деякого кінцевого або нескінченного проміжку.

Очевидно, що кількість можливих значень безперервної випадкової величини нескінченна.

Для завдання випадкової величини недостатньо просто вказати її значення, необхідно вказати ймовірність цього значення.

2. Рівномірний розподіл

Нехай сегмент осі Ox є шкалою деякого приладу. Припустимо, що можливість попадання покажчика в певний відрізок шкали пропорційна довжині цього відрізка і залежить від місця відрізка на шкалі. Позначка вказівника приладу є випадковою величиною

що може прийняти будь-яке значення із сегмента. Тому і (<) - две любые отметки на шкале, то согласно условию имеем - коэффициент пропорциональности, не зависящий от и, а разность, - длина сегмента . Так как при =a и =b имеем, то звідки .

Таким чином

(1)

Тепер легко знайти функцію F(x) розподілу ймовірностей випадкової величини

. Якщо , то не набуває значень, менших a.Нехай тепер. По аксіомі складання ймовірностей. Згідно з формулою (1), в якій приймаємо , маємо , то при отримуємо

Зрештою, якщо

, то , оскільки значення лежить на сегменті, отже, не перевищують b. Отже, приходимо до наступної функції розподілу:

Графік функції

представлений на рис. 1.

Щільність розподілу ймовірностей знайдемо за такою формулою. Якщо

або , то . Якщо то