Чому лінії напруженості та еквіпотенційні поверхні перпендикулярні. Силові та еквіпотенційні лінії

Електростатичне поле можна охарактеризувати сукупністю силових та еквіпотенційних ліній.

Силова лінія - це подумки проведена в полі лінія, що починається на позитивно зарядженому тілі і закінчується на негативно зарядженому тілі, проведена таким чином, що до неї в будь-якій точці поля дає напрямок напруженості в цій точці.

Силові лінії замикаються на позитивних та негативних зарядах і не можуть замикатися самі на себе.

Під еквіпотенційною поверхнею розуміють сукупність точок поля, що мають той самий потенціал ().

Якщо розсікти електростатичне поле січною площиною, то в перерізі будуть видно сліди перетину площини з еквіпотенційними поверхнями. Ці сліди називають еквіпотенційними лініями.

Еквіпотенційні лінії замкнуті самі на себе.

Силові лінії та еквіпотенційні лініїперетинаються під прямим кутом.

Р
розглянемо еквіпотенційну поверхню:

(оскільки точки лежать на еквіпотенційній поверхні).

- скалярний твір

Лінії напруженості електростатичного поля пронизують еквіпотенційну поверхню під кутом 90 0 тоді кут між векторами
дорівнює 90 градусам, які скалярне твір дорівнює 0.

Рівняння еквіпотенційної лінії

Розглянемо силову лінію:

Н
напруженість електростатичного поляспрямована по дотичній до силової лінії (див. визначення силової лінії), також спрямований елемент шляху тому кут між цими двома векторами дорівнює нулю.

або

Рівняння силової лінії

Градієнт потенціалу

Градієнт потенціалу - Це швидкість зростання потенціалу в напрямку найкоротший між двома точками.

Між двома точками є деяка різниця потенціалів. Якщо цю різницю розділити на найкоротшу відстань між взятими точками, то отримане значення характеризуватиме швидкість зміни потенціалу у бік найкоротшої відстані між точками.

Градієнт потенціалу показує напрям найбільшого зростання потенціалу, чисельно дорівнює модулю напруженості та негативно спрямований стосовно нього.

У визначенні градієнта суттєві два положення:

Напрямок, в якому беруться дві прилеглі точки, повинен бути таким, щоб швидкість зміни була максимальною.

Напрямок такий, що скалярна функція у цьому напрямі зростає.

Для декартової системи координат:

Швидкість зміни потенціалу у напрямку осі Х, Y, Z:

;
;

Два вектори рівні лише тоді, коли рівні один одному їх проекції. Проекція вектора напруги на вісь Хдорівнює проекції швидкості зміни потенціалу вздовж осі Х, узятий зі зворотним знаком. Аналогічно для осей Yі Z.

;
;
.

У циліндричній системі координат вираз градієнта потенціалу матиме наступний вигляд.

Еквіпотенційні поверхніце такі поверхні кожна з точок, яких мають однаковий потенціал. Тобто на еквіпотенційній поверхні електричний потенціалмає постійне значення. Такою поверхнею є поверхні провідників, оскільки їхній потенціал однаковий.

Уявімо таку поверхню, для двох точок якої різниця потенціалів дорівнюватиме нулю. Це і буде еквіпотенційна поверхня. Оскільки потенціал у ній однаковий. Якщо розглядати еквіпотенційну поверхню у двомірному просторі, допустимо на кресленні, то вона матиме форму лінії. Робота сил електричного поля з переміщення електричного заряду вздовж цієї лінії дорівнюватиме нулю.

Однією з властивостей еквіпотенційних поверхонь є те, що вони завжди перпендикулярні до силових ліній поля. Цю властивість можна сформулювати і навпаки. Будь-яка поверхня, яка перпендикулярна у всіх точках до ліній електричного поля і називається еквіпотенційною.

Також такі поверхні ніколи не перетинаються між собою. Оскільки це означало б відмінність потенціалу межах однієї поверхні, що суперечить визначенню. Ще вони завжди замкнуті. Поверхні рівного потенціалу що неспроможні розпочатися і піти у нескінченність, які мають у своїй чітких кордонів.

Як правило, на кресленнях немає потреби зображати поверхні цілком. Найчастіше зображують перпендикулярний переріз до еквіпотенційних поверхонь. Таким чином вони вироджуються в лінії. Цього виявляється цілком достатньо для оцінки розподілу даного поля. При зображенні графічно поверхні розташовують з однаковим інтервалом. Тобто між двома сусідніми поверхнями дотримується однаковий крок скажемо в один вольт. Тоді за густотою ліній утворених перерізом еквіпотенційних поверхонь можна будувати висновки про напруженості електричного поля.

Наприклад розглянемо поле, створюване точковим електричним зарядом. Силові лінії такого поля радіальні. Тобто, вони починаються в центрі заряду і спрямовані на нескінченність, якщо заряд позитивний. Або спрямовані на заряд, якщо він негативний. Еквіпотенційні поверхні такого поля матимуть форму сфер із центром у заряді та розбіжних від нього. Якщо ж зобразити двомірний переріз, тоді еквіпотенційні лінії будуть у вигляді концентричних кіл, центр яких також розташований в заряді.

Малюнок 1 - еквіпотенційні лінії точкового заряду

Для однорідного полятакого як, наприклад, поле між обкладками електричного конденсатора поверхні рівного потенціалу будуть мати форму площин. Ці площини розташовані паралельно одна одній однаковій відстані. Щоправда на краях обкладок картина поля спотвориться внаслідок крайового ефекту. Але ми уявімо, що обкладки нескінченно довгі.

Малюнок 2 - еквіпотенційні лінії однорідного поля

Щоб зобразити еквіпотенційні лінії для поля, створюваного двома рівними за величиною і протилежними за знаку зарядами мало застосувати принцип суперпозиції. Так як у цьому випадку при накладенні двох зображень точкових зарядів будуть точки перетину ліній поля. А цього бути не може, тому що поле не може бути спрямоване одразу в дві різні сторони. І тут завдання вирішити аналітично.

Малюнок 3 - Картина поля двох електричних зарядів

ТЕОРЕТИЧНІ ОСНОВИ РОБОТИ.

Між напруженістю електричного частка та електричним потенціалом існує інтегральний та диференційний зв'язок:

j 1 - j 2 = ∫ Е dl (1)

E = -grad j (2)

Електричне поле може бути представлено графічно двома способами, що доповнюють один одного: за допомогою еквіпотенційних поверхонь та ліній напруженості ( силових ліній).

Поверхня, усі точки якої мають однаковий потенціал, називається еквіпотенційною поверхнею. Лінія перетину її з площиною креслення називається еквіпотенціаллю. Силові лінії - лінії, що стосуються яких у кожній точці збігаються з напрямком вектора Е . На малюнку 1 пунктирними лініями показані еквіпотенціалі, суцільними – силові лінії електричного поля.

Рис.1

Різниця потенціалів між точками 1 і 2 дорівнює 0, оскільки вони знаходяться на одній еквіпотенціалі. В цьому випадку з (1):

∫Е dl = 0 або ∫Е dlcos ( Edl ) = 0 (3)

Оскільки Е і dl у виразі (3) не дорівнюють 0, то cos ( Edl ) = 0 . Отже, кут між еквіпотенціаллю та силовою лінією становить p/2.

З диференціального зв'язку (2) випливає, що силові лінії завжди спрямовані у бік зменшення потенціалу.

Розмір напруженості електричного поля визначається «густотою» силових ліній. Чим густіше силові лінії, тим менша відстань між еквіпотенціалями, так що силові лінії та еквіпотенціалі утворюють "криволінійні квадрати". Виходячи з цих принципів, можна побудувати картину силових ліній, маючи картину еквіпотенціалів, і навпаки.

Достатньо повна картинаеквіпотенціалів поля дозволяє розрахувати в різних точках значення проекції вектора напруженості Е на обраний напрямок х , усереднене за деяким інтервалом координати ∆х :

Е порівн. ∆х = - ∆ j /∆х,

де ∆х - збільшення координати при переході з однієї еквіпотенціалі на іншу,

∆ j - відповідне йому збільшення потенціалу,

Е порівн. ∆х - середнє значення Ех між двома потенціалами

ОПИС УСТАНОВКИ І МЕТОДИКА ВИМІРЮВАНЬ.

Для моделювання електричного поля зручно використовувати аналогію, що існує між електричним полем, створеним зарядженими тілами та електричним полем постійного струму, поточного по провідній плівці з однорідною провідністю При цьому розташування силових ліній електричного поля виявляється аналогічним розташування ліній електричних струмів.

Те саме твердження справедливе для потенціалів. Розподіл потенціалів поля у провідній плівці такий самий, як у електричному полі у вакуумі.

Як провідна плівка в роботі використовується електропровідний папір з однаковим у всіх напрямках провідністю.

На папері встановлюються електроди так, щоб забезпечувався хороший контакт між кожним електродом і папером, що проводить.

Робоча схема установки наведена малюнку 2. Установка складається з модуля II, виносного елемента I, індикатора III, джерела живлення IV. Модуль служить для підключення всіх приладів, що використовуються. Виносний елемент являє собою діелектричну панель 1, яку поміщають лист білого паперу 2, поверх неї - лист копіювального паперу 3, потім - лист електропровідної паперу 4, на якому кріпляться електроди 5. Напруга на електроди подається від модуля II за допомогою з'єднувальних проводів. Індикатор III та зонд 6 використовуються для визначення потенціалів точок на поверхні електропровідного паперу.

Як зонд застосовується провід зі штекером на кінці. Потенціал j зонда дорівнює потенціалу тієї точки поверхні електропровідного паперу, якої він стосується. Сукупність точок поля з однаковим потенціалом і є зображенням еквіпотенціалі поля. Як джерело живлення IV використовується блок живлення ТЕС - 42, який підключається до модуля за допомогою штепсельного роз'єму на задній стінці модуля. Як індикатор Ш використовується вольтметр В7 - 38.

ПОРЯДОК ВИКОНАННЯ РОБОТИ.

1. Встановити на панелі 1 аркуш білого паперу 2. На нього покласти копіювальний папір 3 та аркуш електропровідного паперу 4 (рис.2).

2. Встановити на електропровідному папері електроди 5 та закріпити гайками.

3. Підключити до модуля блок живлення IV (ТЕС – 42) за допомогою штепсельного гнізда на задній стінці модуля.

4. За допомогою двох провідників підключити індикатор III (вольтметр В7 – 38) до гнізд "PV" на лицьовій панелі модуля. Натиснути відповідну кнопку на вольтметрі для вимірювання постійної напруги (рис.2).

5. За допомогою двох провідників підключити електроди 5 до П. модуля.

6. Підключити зонд (провід із двома штекерами) до гнізда на лицьовій панелі модуля.

7. Підключити стенд до мережі 220 В. Увімкнути загальне живлення стенду.

> Еквіпотенційні лінії

Характеристика та властивості ліній еквіпотенційної поверхні: стан електричного потенціалу поля, статична рівновага, формула точкового заряду

Еквіпотенційні лініїполя – одномірні області, де електричний потенціал залишається незмінним.

Завдання навчання

• Охарактеризувати форму еквіпотенційних ліній для кількох конфігурацій заряду.

Основні пункти

• Для конкретного ізольованого точкового заряду потенціал ґрунтується на радіальній дистанції. Тому еквіпотенційні лінії виступають круглими.
• Якщо контактує кілька дискретних зарядів, їх поля перетинаються і демонструють потенціал. У результаті еквіпотенційні лінії перекошуються.
• Коли заряди розподіляються по двох провідних пластин у статичному балансі, еквіпотенційні лінії практично прямі.

Терміни

• Еквіпотенційна – ділянка, де кожна точка має єдиний потенціал.
• Статична рівновага – фізичний станде всі компоненти перебувають у спокої, а чиста сила прирівнюється до нуля.

Еквіпотенційні лінії відображають одновимірні ділянки, де електричний потенціал залишається незмінним. Тобто для такого заряду (де б він не знаходився на еквіпотенційній лінії) не потрібно здійснювати роботу, щоб зрушити з однієї точки на іншу в межах конкретної лінії.

Лінії еквіпотенційної поверхні бувають прямими, вигнутими чи неправильними. Все це ґрунтується на розподілі зарядів. Вони розташовуються радіально навколо зарядженого тіла, тому залишаються перпендикулярними до ліній електричного поля.

Одиночний точковий заряд

Для одиночного точкового заряду формула потенціалу:

Тут спостерігається радіальна залежність, тобто, незалежно від дистанції до точкового заряду, потенціал залишається незмінним. Тому еквіпотенційні лінії приймають круглу формуз точковим зарядом у центрі.

Ізольований точковий зарядз лініями електричного поля (синій) та еквіпотенційними (зелений)

Множинні заряди

Якщо контактує кілька дискретних зарядів, ми бачимо, як перекриваються їх поля. Це перекриття змушує потенціал об'єднуватись, а еквіпотенційні лінії перекошуватись.

Якщо є кілька зарядів, то еквіпотенційні лінії формуються нерегулярно. У точці між зарядами контрольний здатний відчувати ефекти від обох зарядів

Безперервний заряд

Якщо заряди розташовані на двох пластинах, що проводять, в умовах статичного балансу, де заряди не перериваються і знаходяться на прямій, то і еквіпотенційні лінії випрямляються. Справа в тому, що безперервність зарядів викликає безперервні дії в будь-якій точці.

Якщо заряди витягуються в лінію і позбавлені переривання, еквіпотенційні лінії йдуть прямо перед ними. Як виняток можна згадати тільки вигин біля країв провідних пластин

Безперервність порушується ближче до кінців пластин, через що на цих ділянках створюється кривизна – крайовий ефект.

Напрям силової лінії(Лінії напруженості) в кожній точці збігається з напрямком . Звідси слідує що напруженість дорівнює різниці потенціалів U на одиницю довжини силової лінії .

Саме вздовж силової лінії відбувається максимальна зміна потенціалу. Тому завжди можна визначити між двома точками, вимірюючи Uміж ними, причому тим точніше, чим ближчі точки. У однорідному електричному полі силові лінії прямі. Тому тут визначити найпростіше:

Графічне зображеннясилових ліній та еквіпотенційних поверхонь показано на малюнку 3.4.

При переміщенні цієї поверхні на d lпотенціал не зміниться:

Звідси випливає, що векторна проекція на d lрівнонулю , тобто Отже, у кожній точці спрямована нормалі до еквіпотенційної поверхні.

Еквіпотенційних поверхонь можна провести скільки завгодно багато. За густотою еквіпотенційних поверхонь можна судити про величину , це буде за умови, що різниця потенціалів між двома сусідніми еквіпотенційними поверхнями дорівнює постійній величині.

Формула виражає зв'язок потенціалу з напруженістю і дозволяє відомим значеннямφ знайти напруженість поля у кожній точці. Можна вирішити і зворотне завдання, тобто. за відомими значеннями у кожній точці поля знайти різницю потенціалівміж двома довільними точками поля. Для цього скористаємося тим, що робота, яка здійснюється силами поля над зарядом qпри переміщенні його з точки 1 в точку 2, можливо, обчислена як:

З іншого боку роботу можна подати у вигляді:

тоді

Інтеграл можна брати по будь-якій лінії, що з'єднують точку 1 і точку 2, бо робота сил поля залежить від шляху. Для обходу по замкнутому контурі отримаємо:

тобто. дійшли до відомої нам теореми про циркуляцію вектора напруженості: циркуляція вектора напруженості електростатичного поля вздовж будь-якого замкнутого контурудорівнює нулю.

Поле, що має цю властивість, називається потенційним.

Зі обертання в нуль циркуляції вектора випливає, що лінії електростатичного поля не можуть бути замкнутими: вони починаються на позитивних зарядах(Витоки) і на негативних зарядахзакінчуються (стоки) або йдуть у нескінченність(Рис. 3.4).

Це співвідношення правильне лише електростатичного поля. Згодом ми з вами з'ясуємо, що поле зарядів, що рухаються, не є потенційним, і для нього це співвідношення не виконується.