Зображення електричного поля силовими лініями. Графічне зображення електростатичних полів

Графічне зображення поля за допомогою векторів напруженості різних точкахполя дуже незручно. Вектори напруженості накладаються один на одного і виходить дуже заплутана картина. Наочніший метод зображення електричних полів за допомогою силових ліній, запропонований Фарадеєм.

Лінії напруженості (силові лінії) - це лінії, проведені в полі так, що до них у кожній точці збігається у напрямку з вектором напруженості поля в даній точці (Рис.8).

Лінії напруги не перетинаються, т.к. у кожній точці поля вектор напруженості має лише один напрямок. На Рис.9 зображені електростатичні поля точкових зарядів та диполя та нескінченно великої площини.

Нехай заряд q переміщається вздовж рівномірно зарядженої нескінченної площини з точки 1 до точки 2. Силові лінії електростатичного поляі вектор напруженості цього поля спрямовані перпендикулярно до площини (Рис.9). Розрахуємо роботу електричних силпід час переміщення заряду.

, т.к.

Але цю роботу можна було б визначити і за рівнянням . І оскільки вона дорівнює нулю, то потенціали поля у точках 1 та 2 рівні. Отже, поверхні рівного потенціалу, тобто. еквіпотенційні та поверхні, розташовані вздовж площини та нормальні до ліній напруженості. Це справедливо і для поля точкового зарядуполя кулі, зарядженої або по поверхні, або за обсягом та ін полів.

Отже, лінії напруженості завжди нормальні до еквіпотенційних поверхонь, тобто. поверхонь рівного потенціалу.

На Рис.9 видно, що поля точкових зарядів мають центральною симетрією. Лінії напруженості - прямі лінії, вони виходять із заряду, якщо він позитивний і входять у заряд, якщо він негативний. Отже, позитивний заряд вважатимуться початком ліній напруженості, а негативний – місцем закінчення. Дотичні до силових ліній збігаються з самими лініями і спрямовані в кожній точці поля в тому напрямку, що і напруженість.

У разі диполя ці лінії викривлені. Варто відзначити, що у всіх цих випадках електростатичні поля неоднорідні – у кожній точці поля напруженість відрізняється як за величиною, так і за напрямом. Очевидно, що лініями однорідного поляє прямі паралельні вектор напруженості.

Число силових ліній, що проводяться в просторі, нічим не обмежене. Лінії напруженості, характеризуючи напрямок напруженості, не характеризують величину напруженості. Однак можна ввести умову, яка пов'язує величину напруженості з числом силових ліній, що проводяться. Там, де напруженість більша, лінії проводять густіше, а там, де вона менша – менш густо. Прийнято, що число ліній, що проходять через одиницю поверхні, розташованої перпендикулярно до силових ліній, дорівнює чисельному значенню напруженості.

Загальне числоліній напруженості, що пронизують деяку поверхню, назвемо потоком напруженості через цю поверхню.

Отримаємо рівняння до розрахунку потоку напруженості – N E . Спочатку визначимо потік напруженості через елементарний майданчик, розташований під деяким кутом до вектора напруженості (Рис.10).

Знаючи вектор напруженості електростатичного поля в кожній його точці, можна надати це поле наочно за допомогою силових ліній напруженості (ліній вектора E →). Силові лінії напруженості проводять так, щоб до них до кожної точки збігалася з напрямом вектора напруженості E → (рис. 4, а).

Число ліній, що пронизують одиничний майданчик dS, перпендикулярний до них, проводять пропорційно до модуля вектора E → (рис. 4, б). Силовим лініям приписують напрямок, що збігається із напрямком вектора E → . Отримана картина розподілу ліній напруженості дозволяє будувати висновки про конфігурації даного електричного поляу різних його точках. Силові лінії починаються на позитивних зарядах та закінчуються на негативних зарядах. На рис. 5 наведено лінії напруженості точкових зарядів (рис. 5 а, б); системи двох різноіменних зарядів (рис. 5, а б) – приклад неоднорідного електростатичного поля та двох паралельних різноіменно заряджених площин (рис. 5, г) – приклад однорідного електричного поля.

Теорема Остроградського-Гаусса та її застосування.

Введемо нову фізичну величину, Що характеризує електричне поле - потік вектора напруженості електричне поле. Нехай у просторі, де створено електричне поле, розташована деяка досить мала площадка , не більше якої напруженість , т. е. електростатичне поле однорідно. Добуток модуля вектора на площу та на косинус кута між вектором та нормаллю до майданчика називається елементарним потоком вектора напруженості через майданчик (рис. 10.7):

де - проекція поля на напрямок нормалі .

Розглянемо тепер деяку довільну замкнуту поверхню. У разі замкнутої поверхні завжди вибирається зовнішня нормаль до поверхні, тобто нормаль, спрямована назовні області.

Якщо розбити цю поверхню на малі майданчики, визначити елементарні потоки поля через ці майданчики, а потім підсумувати їх, то в результаті ми отримаємо потік вектор напруженості через замкнуту поверхню (рис. 10.8):

. (10.9)

Мал. 10.7

Мал. 10.8

Теорема Остроградського-Гауссастверджує: потік вектора напруженості електростатичного поля через довільну замкнуту поверхню прямо пропорційний сумі алгебри вільних зарядів, розташовані всередині цієї поверхні:

, (10.10)

де - алгебраїчна сумавільних зарядів, що знаходяться всередині поверхні, - об'ємна щільністьвільних зарядів, що займають обсяг.

З теореми Остроградського-Гаусса (10.10), (10.12) випливає, що потік залежить від форми замкнутої поверхні (сфера, циліндр, куб тощо.), а визначається лише сумарним зарядом усередині цієї поверхні.

Використовуючи теорему Остроградського-Гаусса, можна часом легко обчислити напруженість електричного поля зарядженого тіла, якщо заданий розподілзарядів має якусь симетрію.

Приклад використання теореми Остроградського-Гаусса. Розглянемо задачу про обчислення поля тонкостінного порожнього однорідно зарядженого довгого циліндра радіусу (тонкої нескінченної зарядженої нитки).Це завдання має осьову симетрію. З міркувань симетрії електричне поле має бути спрямоване радіусом. Виберемо замкнуту поверхню у вигляді циліндра довільного радіусу та довжини, закритого з обох торців (рис. 10.9)

1. Лінії вектора. Для графічного зображення електростатичних полів використовують лінії вектора - вони проводяться так, щоб у кожній точці лінії вектор був направлений щодо до неї (рис.3.6). Лінії ніде не перетинаються, вони починаються на позитивних зарядах, закінчуються на негативних або йдуть у нескінченність. Приклади графічного зображення полів точкових зарядів наведено на рис.3.6,б,в,г. Видно що

для одного точкового заряду лінії є прямі лінії, що виходять або входять в заряд. У разі однорідного електричного поля (рис.3.6,д), у кожній точці якого вектор однаковий і за модулем, і за напрямом, лінії являють собою прямі лінії, паралельні один одному і віддалені один від одного на однаковій відстані.

Графічне зображення полів за допомогою ліній дозволяє наочно бачити напрямок кулонівської сили, що діє на точковий заряд, поміщений у дану точкуполя, що є зручним для якісного аналізуповедінки заряду.

Зазвичай лінії проводять так, щоб їх густота (кількість ліній, що пронизують перпендикулярну до них плоску поверхнюфіксованої площі) у кожній точці поля визначала числове значеннявектора. Тому за ступенем близькості ліній один одному можна судити про зміну модуля і, відповідно, про зміну модуля кулонівської сили, що діє на заряджену частинку в електричному полі.

2. Еквіпотенційні поверхні . Еквіпотенційна поверхня – це поверхня рівного потенціалу, у кожній точці поверхні потенціал залишається постійним. Тому елементарна робота щодо переміщення заряду qза такою поверхнею дорівнюватиме нулю: . З цього випливає, що вектор у кожній точці поверхні перпендикулярний до неї, тобто. буде направлений за вектором нормалі (рис.3.6, г). Дійсно, якби це було не так, то тоді існувала б складова вектора (), спрямована по дотичній до поверхні, і, отже, потенціал різних точкахповерхні був би різним ( ¹const), що суперечить визначенню еквіпотенційної поверхні.

На рис.3.6 наведено графічне зображення електричних полів за допомогою еквіпотенційних поверхонь (пунктирні лінії) для точкового заряду (рис.3.6,б,в це сфери, в центрі яких знаходиться точковий заряд), для поля, створеного одночасно негативним і позитивним зарядами(рис.3.6, г), для однорідного електричного поля (рис.3.6, д, це площини, перпендикулярні до ліній).

Домовилися проводити еквіпотенційні поверхні так, щоб різниця потенціалів між сусідніми поверхнями була однаковою. Це дозволяє наочно бачити зміну потенційної енергіїзаряду при русі в електричному полі.

Той факт, що вектор перпендикулярний до еквіпотенційної поверхні в кожній її точці дозволяє досить просто переходити від графічного зображення електричного поля за допомогою ліній до еквіпотенційних поверхонь і навпаки. Так, провівши на рис.3.6,б,в,г,д пунктирні лінії, перпендикулярні до ліній можна отримати графічне зображення поля за допомогою еквіпотенційних поверхонь у площині малюнка.

«Завдання з фізики» - Обчисліть силу тяжкості, що діє на цеглу, і скажіть, як діє вага цегли? Збірник завдань із фізики. З погляду безпристрасної науки Толя робив спостереження, а Коля ставив досліди. Знаючи щільність води 1 г/куб.Див, визнач щільність цілющої кислятини. Вага виражається в інших величинах - в ньютонах.

«Історія електрики» – XX століття – використання електрики у побуті – повсюдно. Відомо, якщо деякі речовини потерти об шерсть, вони притягають легкі предмети. XVIII століття - створюється перший електричний конденсатор - Лейденська банка (1745). XXI століття - відключення електропостачання у побутовій та виробничій мережах.

«Термодинаміка» - Оборотний цикл Карно. Другий початок термодинаміки. З розглянутого циклу Карно. Ентропія S – адитивна величина. Твердження про зростання ентропії втратило свою категоричність. Третій початок термодинаміки. Друге та третє початку термодинаміки. Ентропія S дорівнює сумі ентропій тіл, що входять до системи.

«Закон Кулона» – Два брати – роками рівні, характером різні. В будь-який замкнутої системиалгебраїчна сума зарядів залишається постійною. Дарина з Марією бачаться, та не сходяться. Хоч не собака, а кусається. Як сонце горить, швидше за вітру летить, по силі собі рівних не має. Закон Кулона було відкрито їм у 1785г.

"Електроємність конденсатора" - Електроємність конденсатора. Плоский конденсатор. Електроємність визначається електричними властивостями довкілля. Електроємність визначається геометричними розмірами провідників. Електроємністю двох провідників називають відношення заряду одного з провідників до різниці потенціалів між цим провідником та сусіднім.

"Електричне поле в діелектриках" - Діелектрик, як і всяка речовина, складається з атомів та молекул. Термін «діелектрики» запроваджено Фарадеєм. Кожен сегнетоелектрик характеризується так званою точкою Кюрі. Зовнішнє поле створюється системою вільних електричних зарядів. Властивості сегнетоелектриків сильно залежать від температури. Молекули діелектрика електрично нейтральні.

Електростатичне поле зручно зображати графічно за допомогою силових ліній та еквіпотенційних поверхонь.

Силова лінія– це лінія, у кожній точці якої дотична збігається із напрямом вектора напруженості (див. рис.). Силовим лініям надають напрямок стрілкою. Властивості силових ліній:

1 ) Силові лінії безперервні. Вони мають початок і кінець – починаються на позитивних та закінчуються на негативних зарядах.

2 ) Силові лінії що неспроможні перетинатися друг з одним, т.к. Напруженість - це сила, а дві сили в цій точці від одного заряду не можуть бути.

3 ) Силові лінії проводять так, щоб їх кількість через одиничний перпендикулярний майданчик було пропорційно величині напруженості.

4 ) Силові лінії «виходять» і «входять» завжди перпендикулярно поверхні тіла.

5 ) Силову лінію не слід плутати з траєкторією заряду, що рухається. Стосовна траєкторії збігається з напрямом швидкості, а дотична до силової лінії – з силою і, отже, з прискоренням.

Еквіпотенційною поверхнеюназивають поверхню, у кожній точці якої потенціал має однакове значення j = const.

Силові лінії завжди перпендикулярні до еквіпотенційних поверхонь. Доведемо це. Нехай уздовж еквіпотенційної поверхні переміщається точковий заряд q. Елементарна робота, що здійснюється при цьому дорівнює dA=qE×cosa×dl = q×dj = 0,т.к. dj=0.Оскільки q ,Eі ×dl¹ 0, отже

cosa = 0і a= 90 про.

	На малюнку зображено електростатичне поле двох однакових точкових зарядів. Лінії зі стрілками – це силові лінії, замкнуті криві – еквіпотенційні поверхні. У центрі осьової лінії, що з'єднує заряди напруженість дорівнює 0. великій відстанівід зарядів еквіпотенційні поверхні стають сферичними. .
	На цьому малюнку показано однорідне поле – це поле, у кожній точці якого вектор напруженості залишається постійним за величиною та напрямом. Еквіпотенційні поверхні – це площини, перпендикулярні силовим лініям. Вектор напруженості завжди спрямований у бік зменшення потенціалу.

Тема 1. Запитання 6.

Принцип суперпозиції.

На основі дослідних даних було отримано принципу суперпозиції (накладання ) полів: «Якщо електричне полі створюється кількома зарядами, то напруженість і потенціал результуючого поля складаються незалежно, тобто. не впливаючи один на одного». При дискретному розподілі зарядів напруженість результуючого поля дорівнює векторній сумі, а потенціал алгебраїчної (з урахуванням знаку) сумі полів, створюваних кожним зарядом окремо. При безперервному розподілізаряду в тілі векторні суми замінюється на інтеграли, де dEі dj- Напруженість і потенціал поля елементарного (точкового) заряду, виділеного в тілі. Математично принцип суперпозиції можна записати так.

Тема 2. Запитання 1.

Теорема Гауса.

Спочатку введемо поняття « потік вектора» - це скалярна величина

(Н×м 2 /Кл = В×м)	елементарний потік вектора напруженості Е, n - нормаль до майданчика, dS – елементарний майданчик– це такий малий майданчик, у межах якого Е= const; Е n- Проекція вектора Ена напрямок нормалі n
	потік вектора напруженості через кінцевий майданчик S
	-²- -²- -²-через замкнуту поверхню S

1) Сфера,заряджена з поверхневою щільністюзаряду s(Кл/м2)

Розглянемо області: 1) поза сферою () та всередині її (). Виберемо поверхні: 1) S 1і 2) S 2– обидві поверхні – сфери, концентричні із зарядженою сферою. Спочатку знайдемо потоки вектора Ечерез вибрані поверхні, а потім скористаємося теоремою.

(¨)	Векторні потоки. Ечерез S 1() та S 2. () E^n, a = 0, cosa = 1.
(¨¨)	з теореми Гауса; F 2= 0, т.к. S 2не охоплює жодних зарядів. Прирівнюючи потоки з (¨) і (¨¨), знайдемо E(r).
q = s×2pR 2- Повний заряд сфери	Поза сферою поле таке саме, як поле точкового заряду. На межі сфери відбувається стрибок напруженості.

Тема 2. Запитання 2.

Теорема Гауса.

2) Тонка довга нитка,заряджена з лінійною щільністю заряду t(Кл/м)

У цьому випадку «гаусова» поверхня – співвісний з ниткою циліндр завдовжки l.

Спочатку знайдемо потік, потім скористаємося теоремою Гауса.

Тема 2. Запитання 3.

Теорема Гауса.

3) Тонкостінний довгий циліндр, заряджений:

1) з лінійною щільністю заряду tабо

2) з поверхневою щільністю заряду s.

Цей приклад аналогічний попередньому. Вибираємо гаусову поверхню у вигляді співвісного циліндра, розбиваємо поверхню на бічну та дві торціальні. У першому випадку при заданій лінійній щільності t отримаємо таку ж формулу, як і для довгої нитки. У другому випадку заряд, що охоплюється, дорівнює ( s×2p×R×l)та формула для Eдещо інша, хоча залежність від r- та ж.

Тема 2. Запитання 4.