Намалюйте лінії напруженості та еквіпотенційні поверхні. Еквіпотенційні поверхні

Знайдемо взаємозв'язок між напруженістю електростатичного поля, що є його силовою характеристикою,та потенціалом - енергетичною характеристикою поляРобота з переміщення одиничноготочкового позитивного зарядуз однієї точки поля в іншу вздовж осі хза умови, що точки розташовані нескінченно близько один до одного та x 1 – x 2 = dx , дорівнює E x dx . Та ж робота дорівнює j 1 -j 2 = dj . Прирівнявши обидва вирази, можемо записати

де символ приватної похідної підкреслює, що диференціювання здійснюється тільки по х.Повторивши аналогічні міркування для осей y та z , можемо знайти вектор Е:

де i, j, k – поодинокі вектори координатних осей х, у, z.

З визначення градієнта (12.4) та (12.6). випливає, що

т. е. напруженість Е поля дорівнює градієнту потенціалу зі знаком мінус. Знак мінус визначається тим, що вектор напруженості Е поля спрямований бік спаданняпотенціалу.

Для графічного зображення розподілу потенціалу електростатичного поля, як і у випадку поля тяжіння (див. § 25), користуються еквіпотенційними поверхнями - поверхнями, у всіх точках яких потенціал має одне й те саме значення.

Якщо поле створюється точковим зарядом, його потенціал, відповідно (84.5),

Таким чином, еквіпотенційні поверхні в даному випадку- Концентричні сфери. З іншого боку, лінії напруженості у разі точкового заряду – радіальні прямі. Отже, лінії напруженості у разі точкового заряду перпендикулярніеквіпотенційним поверхням.

Лінії напруженості завжди нормальнідо еквіпотенційних поверхонь. Дійсно, всі точки еквіпотенційної поверхні мають однаковий потенціал, тому робота з переміщення заряду вздовж цієї поверхні дорівнює нулю, тобто. електростатичні сили, що діють на заряд, завждиспрямовані за нормалями до еквіпотенційних поверхонь. Отже, вектор Е завжди нормальний до еквіпотенційних поверхонь,тому лінії вектора Е ортогональні цим поверхням.

Еквіпотенційних поверхонь навколо кожного заряду та кожної системи зарядів можна провести безліч. Однак їх зазвичай проводять так, щоб різниці потенціалів між будь-якими двома сусідніми еквіпотенційними поверхнями були однакові. Тоді густота еквіпотенційних поверхонь наочно характеризує напруженість поля в різних точках. Там, де ці поверхні розташовані густіше, напруженість поля більша.

Отже, знаючи розташування ліній напруженості електростатичного поля, можна побудувати еквіпотенційні поверхні і, навпаки, за відомим розташуванням еквіпотенційних поверхонь можна визначити в кожній точці поля модуль і напрямок напруженості поля. На рис. 133 для прикладу показаний вид ліній напруженості (штрихові лінії) та еквіпотенційних поверхонь (суцільні лінії) полів позитивного точкового заряду (а) та зарядженого металевого циліндра, що має на одному кінці виступ, а на іншому - западину (б).

Еквіпотенційні поверхні та силові лініїелектростатичного поля.

Хотілося б мати можливість наочно уявити електростатичне поле. Поле скалярного потенціалу можна геометрично уявити як сукупність еквіпотенційних поверхонь (у плоскому випадку - ліній), або поверхонь рівня, як їх називають математики:

Для кожної такої поверхні має місце умова (через визначення!):

(*)

Представимо цю умову в еквівалентній формі запису:

Тут належить аналізованої поверхні, вектор перпендикулярним елементу поверхні ( скалярний твірнерівних нулю векторів дорівнює нулю саме за цієї умови). Ми маємо можливість визначити одиничний вектор нормалі до елемента поверхні, що розглядається:

Якщо повернутись до фізики, укладаємо, що вектор напруженості електростатичного поля перпендикулярний еквіпотенційній поверхні цього поля!

Математичний зміст поняття "градієнт скалярного поля":

Напрямок вектора - це напрям, у якому функція зростає найшвидше;

Це збільшення функції на одиниці довжини вздовж напрямку максимального зростання.

Як побудувати еквіпотенційну поверхню?

Нехай еквіпотенційна поверхня, задана рівнянням(*), проходить через точку простору з координатами ( x,y,z). Задамо довільно малі усунення двох координат, наприклад x=>x+dxі y=>y+dy.З рівняння (*) визначаємо необхідне зміщення dz, таке, щоб кінцева точказалишилася на аналізованої еквіпотенційної поверхні. У такий спосіб можна "дістатись" до потрібної точки поверхні.

Силова лінія векторного поля .

Визначення. Дотична до силової лінії збігається у напрямку з вектором, що визначає аналізоване векторне поле.

Вектор і вектор збігаються у напрямку (тобто паралельні один одному), якщо

У координатної формизапису маємо:

Легко бачити, що справедливі співвідношення:

До такого ж результату можна прийти, якщо записати умову паралельності двох векторів за допомогою їх векторного твору:

Отже, маємо векторне поле. Розглянемо елементарний вектор як елемент силової лінії векторного поля.

Відповідно до визначення силової лінії повинні виконуватися співвідношення:

(**)

Так виглядають диференційне рівняннясилової лінії. Отримати аналітичне рішенняцією системою рівнянь вдається в дуже поодиноких випадках (поле точкового заряду, постійне поле тощо). Але побудувати графічно сімейство силових ліній нескладно.

Нехай силова лінія проходить через точку з координатами ( x,y,z). Значення проекцій вектора напруженості на координатні напрямки цієї точки нам відомі. Виберемо довільно малу суміш, наприклад, х=>x+dx. За рівняннями (**) визначаємо необхідні зміщення dyі dz. Так ми перейшли до сусідню точкусилової лінії, Процес побудови можна продовжити.

NB! (Nota Bene!). Силова лінія в повному обсязі визначає вектор напруженості. Якщо на силовій лінії задано позитивний напрямок, вектор напруженості може бути спрямований або в позитивну або в негативний бік(Але по лінії!). Силова лінія не визначає модуль вектора (тобто його величину) векторного поля, що розглядається.

Властивості введених геометричних об'єктів:

Еквіпотенційна поверхня еквіпотенційна поверхня

поверхня, всі точки якої мають один і той самий потенціал. Еквіпотенційна поверхня ортогональна силовим лініям поля. Поверхня провідника в електростатиці є еквіпотенційною поверхнею.

ЕКВІПОТЕНЦІЙНА ПОВЕРХНІСТЬ, поверхня, у всіх точках якої потенціал (див.ПОТЕНЦІАЛ (у фізиці)) електричного полямає однакове значення j = const. На площині ці поверхні є еквіпотенційні лініїполя. Використовуються для зображення розподілу потенціалу.
Еквіпотенційні поверхні замкнуті і не перетинаються. Зображення еквіпотенційних поверхонь здійснюють таким чином, щоб різниці потенціалів між сусідніми еквіпотенційними поверхнями були однакові. У цьому випадку в тих ділянках, де лінії еквіпотенційних поверхонь розташовані густіше, більша напруженість поля.
Між двома будь-якими точками на еквіпотенційній поверхні різниця потенціалів дорівнює нулю. Це означає, що вектор сили в будь-якій точці траєкторії руху заряду еквіпотенційної поверхні перпендикулярний вектору швидкості. Отже, лінії напруженості (див.НАПРУЖНІСТЬ ЕЛЕКТРИЧНОГО ПОЛЯ)електростатичні поля перпендикулярні еквіпотенційній поверхні. Іншими словами: еквіпотенційна поверхня ортогональна до силових ліній (див.СИЛОВІ ЛІНІЇ)поля, а вектор напруженості електричного поля Е завжди перпендикулярний еквіпотенційним поверхням і завжди спрямований у бік зменшення потенціалу. Робота сил електричного поля за будь-якого переміщення заряду по еквіпотенційної поверхні дорівнює нулю, оскільки?j = 0.
Еквіпотенційними поверхнями поля точкового електричного зарядує сфери, у яких розташований заряд. Еквіпотенційні поверхні однорідного електричного поля є площиною, перпендикулярні лініямнапруги. Поверхня провідника в електростатичному полі є еквіпотенційною поверхнею.

Енциклопедичний словник. 2009 .

Дивитись що таке "еквіпотенційна поверхня" в інших словниках:

Поверхня, всі точки якої мають той самий потенціал. Еквіпотенційна Поверхня ортогональна до силових ліній поля. Поверхня провідника в електростатиці є еквіпотенційною поверхнею. Великий Енциклопедичний словник

Поверхня, всі точки до рій мають той самий потенціал. Напр., поверхня провідника в електростатиці Е. п. Фізичний енциклопедичний словник. М: Радянська енциклопедія. Головний редакторА. М. Прохоров. 1983 р. … Фізична енциклопедія

еквіпотенційна поверхня- - [Я.Н.Лугинський, М.С.Фезі Жилінська, Ю.С.Кабіров. Англо-російський словник з електротехніки та електроенергетики, Москва, 1999 р.] Тематики електротехніка, основні поняття EN surface of equal potentialsequal energy surfaceequipotential… Довідник технічного перекладача

Еквіпотенційні поверхні електричного диполя (зображені темним їх перерізом площиною малюнка; кольором умовно передано значення потенціалу в різних точках найбільш високі значенняпурпурним і червоним, … Вікіпедія

еквіпотенційна поверхня- vienodo potenciale paviršejs statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. equiptential surface vok. Äquipotentialfläche, f rus. еквіпотенційна поверхня f pranc. surface de potentiel constant, f; surface d’égal potentiel, f; surface… … Fizikos terminų žodynas

Поверхня рівного потенціалу, поверхня, всі точки якої мають той самий Потенціал. Наприклад, поверхня провідника в електростатиці Е. п. У силовому полі Силові лінії нормальні (перпендикулярні) до Е. п. Велика радянська енциклопедія

- (Від лат. aequus рівний і потенціал) геом. місце точок в полі, до рим відповідає одне і те ж значення потенціалу. Е. п. перпендикулярні силовим лініям. Еквіпотенційною є, напр., поверхня провідника, що знаходиться в електростатич. Великий енциклопедичний політехнічний словник

ТЕОРЕТИЧНІ ОСНОВИ РОБОТИ.

Між напруженістю електричного частка та електричним потенціалом існує інтегральний та диференційний зв'язок:

j 1 - j 2 = ∫ Е dl (1)

E = -grad j (2)

Електричне поле може бути представлено графічно двома способами, що доповнюють один одного: за допомогою еквіпотенційних поверхонь та ліній напруженості (силових ліній).

Поверхня, усі точки якої мають однаковий потенціал, називається еквіпотенційною поверхнею. Лінія перетину її з площиною креслення називається еквіпотенціаллю. Силові лінії - лінії, що стосуються яких у кожній точці збігаються з напрямком вектора Е . На малюнку 1 пунктирними лініями показані еквіпотенціалі, суцільними – силові лінії електричного поля.

Рис.1

Різниця потенціалів між точками 1 і 2 дорівнює 0, оскільки вони знаходяться на одній еквіпотенціалі. В цьому випадку з (1):

∫Е dl = 0 або ∫Е dlcos ( Edl ) = 0 (3)

Оскільки Е і dl у виразі (3) не дорівнюють 0, то cos ( Edl ) = 0 . Отже, кут між еквіпотенціаллю та силовою лінією становить p/2.

З диференціального зв'язку (2) випливає, що силові лінії завжди спрямовані у бік зменшення потенціалу.

Розмір напруженості електричного поля визначається «густотою» силових ліній. Чим густіше силові лінії, тим менша відстань між еквіпотенціалями, так що силові лінії та еквіпотенціалі утворюють "криволінійні квадрати". Виходячи з цих принципів, можна побудувати картину силових ліній, маючи картину еквіпотенціалів, і навпаки.

Достатньо повна картинаеквіпотенціалів поля дозволяє розрахувати в різних точках значення проекції вектора напруженості Е на обраний напрямок х , усереднене за деяким інтервалом координати ∆х :

Е порівн. ∆х = - ∆ j /∆х,

де ∆х - збільшення координати при переході з однієї еквіпотенціалі на іншу,

∆ j - відповідне йому збільшення потенціалу,

Е порівн. ∆х - середнє значення Ех між двома потенціалами

ОПИС УСТАНОВКИ І МЕТОДИКА ВИМІРЮВАНЬ.

Для моделювання електричного поля зручно використовувати аналогію, що існує між електричним полем, створеним зарядженими тілами та електричним полем постійного струму, поточного по провідній плівці з однорідною провідністю При цьому розташування силових ліній електричного поля виявляється аналогічним розташування ліній електричних струмів.

Те саме твердження справедливе для потенціалів. Розподіл потенціалів поля у провідній плівці такий самий, як у електричному полі у вакуумі.

Як провідна плівка в роботі використовується електропровідний папір з однаковим у всіх напрямках провідністю.

На папері встановлюються електроди так, щоб забезпечувався хороший контакт між кожним електродом і папером, що проводить.

Робоча схема установки наведена малюнку 2. Установка складається з модуля II, виносного елемента I, індикатора III, джерела живлення IV. Модуль служить для підключення всіх приладів, що використовуються. Виносний елемент являє собою діелектричну панель 1, яку поміщають лист білого паперу 2, поверх неї - лист копіювального паперу 3, потім - лист електропровідної паперу 4, на якому кріпляться електроди 5. Напруга на електроди подається від модуля II за допомогою з'єднувальних проводів. Індикатор III та зонд 6 використовуються для визначення потенціалів точок на поверхні електропровідного паперу.

Як зонд застосовується провід зі штекером на кінці. Потенціал j зонда дорівнює потенціалу тієї точки поверхні електропровідного паперу, якої він стосується. Сукупність точок поля з однаковим потенціалом і є зображенням еквіпотенціалі поля. Як джерело живлення IV використовується блок живлення ТЕС - 42, який підключається до модуля за допомогою штепсельного роз'єму на задній стінці модуля. Як індикатор Ш використовується вольтметр В7 - 38.

ПОРЯДОК ВИКОНАННЯ РОБОТИ.

1. Встановити на панелі 1 аркуш білого паперу 2. На нього покласти копіювальний папір 3 та аркуш електропровідного паперу 4 (рис.2).

2. Встановити на електропровідному папері електроди 5 та закріпити гайками.

3. Підключити до модуля блок живлення IV (ТЕС – 42) за допомогою штепсельного гнізда на задній стінці модуля.

4. За допомогою двох провідників підключити індикатор III (вольтметр В7 – 38) до гнізд "PV" на лицьовій панелі модуля. Натиснути відповідну кнопку на вольтметрі для вимірювання постійної напруги (рис.2).

5. За допомогою двох провідників підключити електроди 5 до П. модуля.

6. Підключити зонд (провід із двома штекерами) до гнізда на лицьовій панелі модуля.

7. Підключити стенд до мережі 220 В. Увімкнути загальне живлення стенду.

Зв'язок між напруженістю та потенціалом.

Для потенційного поля, між потенційною (консервативною) силою та потенційною енергієюіснує зв'язок

де ("набла") - оператор Гамільтона.

Оскільки то

Знак мінус показує, що вектор Е спрямований у бік зменшення потенціалу.

Для графічного зображення розподілу потенціалу використовуються еквіпотенційні поверхні - поверхні у всіх точках яких потенціал має те саме значення.

Еквіпотенційні поверхні зазвичай проводять так, щоб різниці потенціалів між двома сусідніми еквіпотенційними поверхнями були однакові. Тоді густота еквіпотенційних поверхонь наочно характеризує напруженість поля у різних точках. Там, де ці поверхні розташовані густіше, напруженість поля більша. На малюнку пунктиром зображені силові лінії, суцільними лініями- перерізу еквіпотенційних поверхонь для: позитивного точкового заряду (а), диполя (б), двох однойменних зарядів (в), зарядженого металевого провідника складної конфігурації (г).

Для точкового заряду потенціал тому еквіпотенційні поверхні – концентричні сфери. З іншого боку, лінії напруженості – радіальні прямі. Отже, лінії напруженості перпендикулярні до еквіпотенційних поверхонь.

Можна показати, що у всіх випадках вектор Е перпендикулярний еквіпотенційним поверхням і завжди спрямований у бік зменшення потенціалу.

Приклади розрахунку найважливіших симетричних електростатичних полів у вакуумі.

1. Електростатичне поле електричного диполя у вакуумі.

Електричним диполем(або подвійним електричним полюсом) називається система двох рівних за модулем різноіменних точкових зарядів (+q,-q), відстань l між якими значно менше відстані до розглянутих точок поля (l<< r).

Плечо диполя l - вектор, спрямований по осі диполя від негативного заряду до позитивного і дорівнює відстані між ними.

Електричний момент диполя ре - вектор, що збігається у напрямку з плечем диполя і дорівнює добутку модуля заряду | q | на плече I:

Нехай r – відстань до точки А від середини осі диполя. Тоді, враховуючи що

2)Напруженість поля в точці на перпендикулярі, відновленому до осі диполя з його середини при

Точка рівновіддалена від зарядів +q і -q диполя, тому потенціал поля в точці В дорівнює нулю. Вектор Єв направлений протилежно вектору l.

3) У зовнішньому електричному полі на кінці диполя діє пара сил, яка прагне повернути диполь таким чином, щоб електричний момент ре диполя розгорнувся вздовж напрямку поля Ё (рис.(а)).

У зовнішньому однорідному полі момент пари сил дорівнює M = qElsin а або У зовнішньому неоднорідному полі (рис.(в)) сили, що діють на кінці диполя, неоднакові та їх результуюча прагне пересунути диполь в область поля з більшою напруженістю - диполь втягується в область сильнішого поля.

2. Поле рівномірно зарядженої нескінченної площини.

Нескінченна площина заряджена із постійною поверхневою щільністю Лінії напруженості перпендикулярні площині, що розглядається, і спрямовані від неї в обидві сторони.

Як Гаусова поверхня приймемо поверхню циліндра, що утворюють якого перпендикулярні зарядженій площині, а основи паралельні зарядженій площині і лежать по різні боки від неї на однакових відстанях.

Так як утворюють циліндри паралельні лініям напруженості, то потік вектора напруженості через бічну поверхню циліндра дорівнює нулю, а повний потік крізь циліндр дорівнює сумі потоків крізь його підстави 2ES. Заряд, укладений усередині циліндра, дорівнює . За теоремою Гауса звідки:

Е залежить від довжини циліндра, тобто. напруженість поля на будь-яких відстанях однакова за модулем. Таке поле називається однорідним.

Різниця потенціалів між точками, що лежать на відстанях х1 та х2 від площини, дорівнює

3.Поле двох нескінченних паралельних різноіменно заряджених площин з рівними за абсолютним значенням поверхневими щільностями зарядів σ>0 і - σ.

З попереднього прикладу випливає, що вектори напруженості Е 1 і E 2 першої та другої площин рівні по модулю і всюди спрямовані перпендикулярно до площин. Тому у просторі поза площинами вони компенсують один одного, а у просторі між площинами сумарна напруженість . Тому між площинами

(У діелектриці.).

Поле між площинами однорідне. Різниця потенціалів між площинами.
(у діелектриці ).

4.Поле рівномірно зарядженої сферичної поверхні.

Сферична поверхня радіуса R із загальним зарядом q заряджена рівномірно з поверхневою щільністю

Оскільки система зарядів і, отже, саме поле центрально-симетрично щодо центру сфери, лінії напруженості спрямовані радіально.

Як Гаусова поверхня виберемо сферу радіуса r, що має загальний центр із зарядженою сферою. Якщо r>R, то всередину поверхні потрапляє заряд q. За теоремою Гауса, звідки

При r<=R замкнутая поверхность не содержит внутри зарядов, поэтому внутри равномерно заряженной сферы Е = 0.

Різниця потенціалів між двома точками, що лежать на відстані r 1 і r 2 від центру сфери

(r1>R,r2>R), дорівнює

Поза зарядженою сферою поле таке саме, як поле точкового заряду q, що у центрі сфери. Усередині зарядженої сфери поля немає, тому потенціал усюди однаковий і такий самий, як на поверхні