Значення випадкової величини. Випадкова величина та її основні характеристики

Поняття випадкової величини

Випадковийназивається величина, яка в результаті випробувань приймає те чи інше (але при цьому тільки одне) можливе значення, заздалегідь невідоме, що змінюється від випробування до випробування і залежить від випадкових обставин. На відміну від випадкової події, що є якісною характеристикоювипадкового результату випробування, випадкова величинахарактеризує результат випробування кількісно. Прикладами випадкової величини можуть бути розмір оброблюваної деталі, похибка результату вимірювання будь-якого параметра виробу чи середовища. Серед випадкових величин, з якими доводиться зустрічатися на практиці, можна виділити два основні типи: дискретні та безперервні.

Дискретноюназивається випадкова величина, що приймає кінцеве або нескінченне лічильне безліч значень. Наприклад: частота влучень при трьох пострілах; число бракованих виробів у партії із n штук; кількість дзвінків, що надходять на телефонну станцію протягом доби; кількість відмов елементів пристрою за певний проміжок часу при випробуванні його на надійність; число пострілів до першого влучення в ціль і т.д.

Безперервнийназивається випадкова величина, яка може приймати будь-які значення деякого кінцевого або нескінченного інтервалу. Очевидно, що кількість можливих значень безперервної випадкової величини нескінченна. Наприклад: помилка при вимірі дальності радіолокатора; час безвідмовної роботи мікросхеми; похибка виготовлення деталей; концентрація солі в морській водіі т.д.

Випадкові величини зазвичай позначають літерами X,Y і т. д., які можливі значення - x,y тощо. буд. Для завдання випадкової величини недостатньо перелічити її можливі значення. Необхідно також знати, як часто можуть з'явитися ті чи інші її значення в результаті випробувань за тих самих умов, тобто потрібно задати ймовірності їх появи. Сукупність всіх можливих значень випадкової величини та відповідних їм ймовірностей становить розподіл випадкової величини.

Закони розподілу випадкової величини

Законом розподілувипадкової величини називається відповідність між можливими значеннями випадкової величини та відповідними їм ймовірностями. Про випадкову величину кажуть, що вона підкоряється цим закономрозподілу. Дві випадкові величини називаються незалежними, якщо закон розподілу однієї з них не залежить від того, які можливі значення прийняла інша величина. В іншому випадку випадкові величини називаються залежними. Декілька випадкових величин називаються взаємно незалежними, якщо закони розподілу будь-якого з них не залежать від того, які можливі значення прийняли інші величини.

Закон розподілу випадкової величини може бути заданий як таблиці, функції розподілу чи щільності розподілу. Таблиця, що містить можливі значення випадкової величини та відповідні ймовірності, є найпростішою формоюзавдання закону розподілу випадкової величини.

\begin(array)(|c|c|c|c|c|c|c|)\hline(X)&x_1&x_2&x_3&cdots&x_(n-1)&x_n\hline(P)&p_1&p_2&p_3&cdots&p_(n-1 )&p_n\hline\end(array)

Табличне завдання закону розподілу можна використовувати тільки для дискретної випадкової величини кінцевим числомможливих значень. Таблична формаЗавдання закону випадкової величини називається також рядом розподілу.

Для наочності ряд розподілу є графічно. При графічне зображенняв прямокутної системикоординат по осі абсцис відкладають усі можливі значення випадкової величини, а по осі ординат – відповідні ймовірності. Точки (x_i,p_i) , з'єднані прямолінійними відрізками, називають багатокутником розподілу(Рис. 5). Слід пам'ятати, що з'єднання точок (x_i,p_i) виконується тільки з метою наочності, так як у проміжках між x_1 і x_2 , x_2 і x_3 і т. д. не існує значень, які може набувати випадкова величина X , тому ймовірності її появи в цих проміжках дорівнюють нулю.

p align="justify"> Багатокутник розподілу, як і ряд розподілу, є однією з форм завдання закону розподілу дискретної випадкової величини. Вони можуть мати різну форму, проте всі мають один загальною властивістю: сума ординат вершин багатокутника розподілу, що є сумою ймовірностей всіх можливих значень випадкової величини, завжди дорівнює одиниці. Ця властивість випливає з того, що всі можливі значення випадкової величини X утворюють повну групу несумісних подійсума ймовірностей яких дорівнює одиниці.

Функція розподілу ймовірностей та її властивості

Функція розподілу є найбільш загальною формоюзавдання закону розподілу. Вона використовується завдання як дискретних, і безперервних випадкових величин. Зазвичай її позначають F(x). Функція розподілувизначає ймовірність того, що випадкова величина X приймає значення, менші за фіксоване дійсного числа x , тобто F(x) = P (X інтегральної функції розподілу.

Геометрична інтерпретація функції розподілу дуже проста. Якщо випадкову величину розглядати як випадкову точку X осі Ox (рис. 6), яка в результаті випробування може зайняти те чи інше положення на осі, то функція розподілу F(x) - це ймовірність того, що випадкова точка X в результаті випробування потрапить ліворуч точки x.

Для дискретної випадкової величини X, яка може набувати значень, функція розподілу має вигляд

F(x)=\sum\limits_(x_i
де нерівність x_i

Безперервна випадкова величина має безперервну функцію розподілу, графік цієї функції має форму плавної кривої (рис. 8).

Розглянемо загальні характеристики функцій розподілу.

Властивість 1. Функція розподілу – невід'ємна, функція, укладена між нулем та одиницею:

0\leqslant(F(x))\leqslant1

Справедливість цієї властивості випливає з того, що функція розподілу F(x) визначена як ймовірність випадкової події, що полягає в тому, що X

Властивість 2. Імовірність потрапляння випадкової величини в інтервал [alpha; beta) дорівнює різниці значень функції розподілу на кінцях цього інтервалу, тобто.

P\(\alpha\leqslant(X)<\beta\}=F(\beta)-F(\alpha)

Звідси випливає, що можливість будь-якого окремого значення безперервної випадкової величини дорівнює нулю.

Властивість 3. Функція розподілу випадкової величини є незменшуваною функцією, тобто. F(\beta)\geqslant(F(\alpha)).

Властивість 4. На мінус нескінченності функція розподілу дорівнює нулю, але в плюс нескінченності - одиниці, тобто. \lim_(x\to-\infty)F(x)=0і \lim_(x\to+\infty)F(x)=1.

Приклад 1. Функція розподілу випадкової неперервної величини задана виразом

F(x)=\begin(cases)0,&x\leqslant1\a(x-1)^2,&1 0 \ end (cases).

Знайти коефіцієнт a та побудувати графік F(x) . Визначити ймовірність того, що випадкова величина X в результаті досвіду набуде значення на інтервалі .

Рішення. Оскільки функція розподілу безперервної випадкової величини X безперервна, то за x=3 отримаємо a(3-1)^2=1 . Звідси a = frac (1) (4) . Графік функції F(x) зображено на рис. 9.

Виходячи з другої властивості функції розподілу, маємо

P\(1\leqslant(X)<2\}=F(2)-F(1)=\frac{1}{4}.

Щільність розподілу ймовірності та її властивості

Функція розподілу безперервної випадкової величини є її імовірнісною характеристикою. Але вона має недолік, який полягає в тому, що по ній важко судити про характер розподілу випадкової величини в невеликій околиці тієї чи іншої точки числової осі. Наочніше уявлення про характер розподілу безперервної випадкової величини дає функція, яка називається щільністю розподілу ймовірності, або диференціальною функцією розподілу випадкової величини.

Щільність розподілу f(x) дорівнює похідній від функції розподілу F(x), тобто.

F(x) = F"(x).

Сенс щільності розподілу f(x) полягає в тому, що вона вказує на те, як часто випадкова величина X з'являється в околиці точки x при повторенні дослідів. Крива, що зображує густину розподілу f(x) випадкової величини, називається кривою розподілу.

Розглянемо властивості густини розподілу.

Властивість 1. Щільність розподілу невід'ємна, тобто.

F(x)\geqslant0.

Властивість 2. Функція розподілу випадкової величини дорівнює інтегралу від густини в інтервалі від -infty до x , тобто.

F(x)=\int\limits_(-\infty)^(x)f(x)\,dx.

Властивість 3. Імовірність потрапляння безперервної випадкової величини X на ділянку (alfa; beta) дорівнює інтегралу від щільності розподілу, взятому по цій ділянці, тобто.

P\(\alpha\leqslant(X)\leqslant\beta\)=\int\limits_(\alpha)^(\beta)f(x)\,dx.

Властивість 4. Інтеграл у нескінченних межах від щільності розподілу дорівнює одиниці:

\int\limits_(-\infty)^(+\infty)f(x)\,dx=1.

Приклад 2. Випадкова величина X підпорядкована закону розподілу із щільністю

F(x)=\begin(cases)0,&x<0\\a\sin{x},&0\pi\end(cases)

Визначити коефіцієнт а; побудувати графік густини розподілу; знайти можливість попадання випадкової величини на ділянку від 0 до \frac(\pi)(2) визначити функцію розподілу і побудувати її графік.

\int\limits_(-\infty)^(+\infty)f(x)\,dx=a\int\limits_(0)^(\pi)\sin(x)\,dx=\Bigl.(- a\cos(x))\Bigl|_(0)^(\pi)=2a.

Враховуючи властивість 4 щільності розподілу, знаходимо a = frac (1) (2) . Отже, густина розподілу можна виразити так:

F(x)=\begin(cases)0,&x<0\\\dfrac{1}{2}\sin{x},&0\ pi \ end (cases).

Графік густини розподілу на рис. 10. За якістю 3, маємо

P \! \ left \ (0

Для визначення функції розподілу скористаємось властивістю 2:

F(x)=\frac(1)(2)\int\limits_(0)^(x)\sin(x)\,dx=\Bigl.(\-\frac(1)(2)\cos( x))\Bigl|_(0)^(x)=\frac(1)(2)-\frac(1)(2)\cos(x).

Таким чином, маємо

F(x)=\begin(cases)0,&x<0\\\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}\cos{x},&0\ pi \ end (cases).

Графік функції розподілу зображено на рис. 11

Числові характеристики випадкових величин

Закон розподілу повністю характеризує випадкову величину з імовірнісної точки зору. Але при вирішенні низки практичних завдань немає необхідності знати всі можливі значення випадкової величини та відповідні їм ймовірності, а зручніше користуватися деякими кількісними показниками. Такі показники називаються числовими характеристиками випадкової величиниОсновними з них є математичне очікування, дисперсія, моменти різних порядків, мода та медіана.

Математичне очікування іноді називають середнім значенням випадкової величини. Розглянемо дискретну випадкову величину X, що приймає значення x_1,x_2,\ldots,x_nз ймовірностями відповідно p_1, p_2, \ ldots, p_nВизначимо середню арифметичну значень випадкової величини, зважених за ймовірностями їх появи. Таким чином, обчислимо середнє значення випадкової величини, або її математичне очікування M(X):

M(X)=\frac(x_1p_1+x_2p_2+\cdots+x_np_n)(p_1+p_2+\cdots+p_n)=\frac(\sum\limits_(i=1)^(n)x_ip_i)(\sum\limits_( i = 1) ^ (n) p_i).

Враховуючи що \sum\limits_(i=1)^(n)p_i=1отримуємо

M(X)=\sum\limits_(i=1)^(n)x_ip_i).~~~~~~~(4.1)

Отже, математичним очікуваннямдискретної випадкової величини називається сума творів всіх її можливих значень відповідні ймовірності.

Для безперервної випадкової величини математичне очікування

M(X)=\int\limits_(-\infty)^(\infty)xf(x)\,dx.

Математичне очікування безперервної випадкової величини X , можливі значення якої належать відрізку ,

M(X)=\int\limits_(a)^(b)xf(x)\,dx.~~~~~~~(4.2)

Використовуючи функцію розподілу ймовірностей F(x) , математичне очікування випадкової величини можна виразити так:

M(X)=\int\limits_(-\infty)^(\infty)x\,d(F(x)).

Властивості математичного очікування

Властивість 1. Математичне очікування суми двох випадкових величин дорівнює сумі їх математичних очікувань:

M(X+Y)=M(X)+M(Y).

Властивість 2. Математичне очікування твору двох незалежних випадкових величин дорівнює твору їх математичних очікувань:

M(XY) = M(X)M(Y).

Властивість 3. Математичне очікування постійної величини дорівнює самій постійній:

M(c)=c.

4. Постійний множник випадкової величини можна винести за знак математичного очікування:

M(cX)=cM(X).

Властивість 5. Математичне очікування відхилення випадкової величини від її математичного очікування дорівнює нулю:

M(X-M(X))=0.

Приклад 3. Знайти математичне очікування кількості бракованих виробів у вибірці з п'яти виробів, якщо випадкова величина X (кількість бракованих виробів) задана поряд розподілу.

\begin(array)(|c|c|c|c|c|c|)\hline(X)&0&1&2&3&4&5\\hline(P)&0,\!2373&0,\!3955&0,\!2637&0,\ !0879&0,\!0146&0,\!0010\hlineend(array)

Рішення. За формулою (4.1) знаходимо

M (X) = 0 cdot0, 2373 +1 cdot0, 3955 +2 cdot0, 2637 +3 cdot0, 0879 +4 cdot0, 0146 +5 cdot0, !0010 =1,\!25.

Модою M_0 дискретної випадкової величининазивається найімовірніше її значення.

Модою M_0 безперервної випадкової величининазивається таке її значення, якому відповідає найбільше значення густини розподілу. Геометрично моду інтерпретують як абсцис точки глобального максимуму кривої розподілу (рис. 12).

Медіаною M_e випадкової величининазивається таке її значення, для якого справедлива рівність

P \ (X M_e).

З геометричної точки зору медіана - це абсциса точки, в якій площа фігури, обмеженої кривою розподілу ймовірностей та віссю абсцис, ділиться навпіл (рис. 12). Так як вся площа, обмежена кривою розподілу та віссю абсцис, дорівнює одиниці, то функція розподілу в точці, що відповідає медіані, дорівнює 0,5, тобто.

F(M_e)=P(X

За допомогою дисперсії та середньоквадратичного відхилення можна судити про розсіювання випадкової величини навколо математичного очікування. Як міру розсіювання випадкової величини використовують математичне очікування квадрата відхилення випадкової величини від її математичного очікування, яке називають дисперсією випадкової величини X і позначають D[X]:

D [X] = M ((X-M (X)) ^ 2).

Для дискретної випадкової величини дисперсія дорівнює сумі творів квадратів відхилень значень випадкової величини від її математичного очікування відповідні ймовірності:

D[X]=\sum\limits_(i=1)^(n)(x_i-M(X))^2p_i.

Для безперервної випадкової величини, закон розподілу якої заданий щільністю розподілу ймовірності f(x) , дисперсія

D[X]=\int\limits_(-\infty)^(+\infty)(x-M(X))^2f(x)\,dx.

Розмірність дисперсії дорівнює квадрату розмірності випадкової величини і тому її не можна інтерпретувати геометрично. Цих недоліків позбавлене середнє квадратичне відхилення випадкової величини, яке обчислюється за формулою

\sigma = sqrt (D [X]).

Властивості дисперсії випадкових величин

Властивість 1. Дисперсія суми двох незалежних випадкових величин дорівнює сумі дисперсій цих величин:

D = D [X] + D [Y].

Властивість 2. Дисперсія випадкової величини дорівнює різниці між математичним очікуванням квадрата випадкової величини X та квадратом її математичного очікування:

D[X]=M(X^2)-(M(X))^2.~~~~~~~(4.3).

Властивість 3. Дисперсія постійної величини дорівнює нулю:

D[c]=0.

Властивість 4. Постійний множник випадкової величини можна виносити за знак дисперсії, попередньо звівши його в квадрат:

D=c^2D[X].

Властивість 5. Дисперсія твору двох незалежних випадкових величин X та Y визначається за формулою

D=D[X]D[Y]+(M(X))^2D[Y]+(M(X))^2D[X].

Приклад 4. Розрахувати дисперсію кількості бракованих виробів для розподілу прикладу 3.

Рішення. За визначенням дисперсії

Узагальнення основних числових характеристик випадкової величини є поняття моментів випадкової величини.

Початковим моментом q-го порядкувипадкової величини називають математичне очікування величини X^q:

Початковий момент першого порядку є математичне очікування, а центральний момент другого порядку - дисперсію випадкової величини.

Нормований центральний момент третього порядку є характеристикою скошеності або асиметрії розподілу ( коефіцієнт асиметрії):

A_s=\frac(\mu_(()_3))(\sigma^3).

Нормований центральний момент четвертого порядку служить характеристикою гостроверхості або плосковершинності розподілу ( ексцес):

E=\frac(\mu_(()_4))(\sigma^4)-3.

Приклад 5. Випадкова величина X задана густиною розподілу ймовірностей

F(x)=\begin(cases)0,&x<0;\\ax^2,&02. \ end (cases).

Знайти коефіцієнт a, математичне очікування, дисперсію, асиметрію та ексцес.

Рішення. Площа, обмежена кривою розподілу, чисельно дорівнює

\int\limits_(0)^(2)f(x)\,dx=a\int\limits_(0)^(2)x^2\,dx=\left.(a\,\frac(x^) 3)(3))\right|_(0)^(2)=\frac(8)(3)\,a.

Враховуючи, що ця площа повинна дорівнювати одиниці, знаходимо a=\frac(3)(8) . За формулою (4.2) знайдемо математичне очікування:

M(X)=\int\limits_(0)^(2)xf(x)\,dx=\frac(3)(8)\int\limits_(0)^(2)x^3\,dx= \left.(\frac(3)(8)\cdot\frac(x^4)(4))\right|_(0)^(2)=1,\!5.

Дисперсію визначимо за формулою (4.3). Для цього знайдемо спочатку математичне очікування квадрата випадкової величини:

M(X^2)=\int\limits_(0)^(2)x^2f(x)\,dx=\frac(3)(8)\int\limits_(0)^(2)x^4 \,dx=\left.(\frac(3)(8)\cdot\frac(x^5)(5))\right|_(0)^(2)=2,\!4.

Таким чином,

\begin(aligned)D(X)&=M(X^2)-(M(X))^2=2,\!4-(1,\!5)^2=0,\!15;\ \sigma(X)&=\sqrt(D(X))=\sqrt(0,\!15)\approx0,\!3873.\end(aligned)

Використовуючи початкові моменти, обчислюємо центральні моменти третього та четвертого порядку:

\begin(aligned)\nu_1&=M(X)=1,\!5;\quad\nu_2=M(X^2)=2,\!4.\\ \nu_3&=M(X^3)=\ int\limits_0^2(x^3f(x)\,dx)=\frac(3)(8)\int\limits_0^2(x^5\,dx)=\left.(\frac(3)( 8)\cdot\frac(x^6)(6))\right|_0^2=4;\\ \nu_4&=M(X^4)=\int\limits_0^2(x^4f(x)\ ,dx)=\frac(3)(8)\int\limits_0^2(x^6\,dx)=\left.(\frac(3)(8)\cdot\frac(x^7)(7 ))\right|_0^2\approx6,\!8571;\\ \mu_3&=\nu_3-3\nu_1\nu_2+2\nu_1^3=4-3\cdot1,\!5\cdot2,\!4 +2\cdot(1,\!5)^3=-0,\!05.\\mu_4&=\nu_4-4\nu_1\nu_3+6\nu_1^2\nu_2-3\nu_1^4=\ \&=6,\!8571-4\cdot1,\!5\cdot4+6\cdot(1,\!5)^2\cdot2,\!4-3\cdot(1,\!5)^4 =0,\!0696.\\ A_s&=\frac(\mu_3)(\sigma^3)=-\frac(0,\!05)((0,\!3873)^3)=-0,\ !86.\E&=\frac(\mu_4)(\sigma^4)-3=\frac(0,\!0696)((0,\!3873)^4)-3=-0,\! 093. \ end (aligned)

Числові характеристики середнього арифметичного n незалежних випадкових величин

Нехай x_1,x_2,\ldots,x_n- значення випадкової величини X отримані при n незалежних випробуваннях. Математичне очікування випадкової величини дорівнює M(X), а її дисперсія D[X]. Ці значення можна як незалежні випадкові величини X_1,X_2,\ldots,X_nз однаковими математичними очікуваннями та дисперсіями:

M(X_i)=M(X); \quad D=D[X],~~i=1,2,\ldots,n.

Середня арифметична цих випадкових величин

\overline(X)=\sum\limits_(i=1)^(n)\frac(X_i)(n).

Використовуючи властивості математичного очікування та дисперсії випадкової величини, можна записати:

\begin(aligned)M(\overline(X))&=M\!\left(\frac(1)(n)\sum\limits_(i=1)^(n)X_i\right)=\frac( 1)(n)\sum\limits_(i=1)^(n)M(X_i)=M(X).~~~~~~~(4.4)\\ D[\overline(X)]&= D\!\left[\frac(1)(n)\sum\limits_(i=1)^(n)X_i\right]=\frac(1)(n^2)\sum\limits_(i=1 )^(n)D=\frac(D[X])(n).~~~~~~~(4.5)\end(aligned)

Установа освіти «Білоруська державна

сільськогосподарська академія»

Кафедра вищої математики

Методичні вказівки

з вивчення теми «Випадкові величини» студентами бухгалтерського факультету заочної форми здобуття освіти (НДСПО)

Гірки, 2013

Випадкові величини

Дискретні та безперервні випадкові величини

Одним із основних понять у теорії ймовірностей є поняття випадкової величини . Випадковою величиною називається величина, яка в результаті випробування з безлічі можливих своїх значень набуває лише одного, причому заздалегідь невідомо, яке саме.

Випадкові величини бувають дискретними та безперервними . Дискретною випадковою величиною (ДСВ) називається випадкова величина, яка може набувати кінцевого числа ізольованих один про одного значень, тобто. якщо можливі значення цієї величини можна перерахувати. Безперервною випадковою величиною (НСВ) називається випадкова величина, всі можливі значення якої часто заповнюють деякий проміжок числової прямої.

Випадкові величини позначаються великими літерами латинського алфавіту X, Y, Z тощо. Можливі значення випадкових величин позначаються відповідними літерами.

Запис
означає «імовірність того, що випадкова величина Хнабуде значення, що дорівнює 5, дорівнює 0.28».

Приклад 1 . Одного разу кидають гральний кубик. При цьому можуть випасти цифри від 1 до 6, що позначають кількість очок. Позначимо випадкову величину Х=(число очок, що випали). Ця випадкова величина в результаті випробування може прийняти лише одне із шести значень: 1, 2, 3, 4, 5 або 6. Отже, випадкова величина Хє ДСВ.

Приклад 2 . При киданні каменю він пролітає певну відстань. Позначимо випадкову величину X= (Відстань польоту каменю). Ця випадкова величина може прийняти будь-яке, але тільки одне значення з деякого проміжку. Отже, випадкова величина Хє НСВ.

Закон розподілу дискретної випадкової величини

Дискретна випадкова величина характеризується значеннями, які вона може набувати, і ймовірностями, з якими ці значення набувають. Відповідність між можливими значеннями дискретної випадкової величини та відповідними їм ймовірностями називається законом розподілу дискретної випадкової величини .

Якщо відомі всі можливі значення
випадкової величини Хта ймовірності
появи цих значень, то вважають, що закон розподілу ДСВ Хвідомий і він може бути записаний у вигляді таблиці:

Закон розподілу ДСВ можна зобразити графічно, якщо у прямокутній системі координат зобразити точки
,
, …,
та з'єднати їх відрізками прямих ліній. Отримана постать називається багатокутником розподілу.

Приклад 3 . У зерні, призначеному для очищення, міститься 10% бур'янів. Навмання відібрано 4 зерна. Позначимо випадкову величину X=(кількість бур'янів серед чотирьох відібраних). Побудувати закон розподілу ДСВ Хта багатокутник розподілу.

Рішення . За умовою прикладу. Тоді:

Запишемо закон розподілу ДСВ Х у вигляді таблиці та побудуємо багатокутник розподілу:

Математичне очікування дискретної випадкової величини

Найважливіші властивості дискретної випадкової величини описуються її характеристиками. Однією з таких характеристик є математичне очікування довільної величини.

Нехай відомий закон розподілу ДСВ Х:

Математичним очікуванням ДСВ Хназивається сума творів кожного значення цієї величини на відповідну ймовірність:
.

Математичне очікування випадкової величини приблизно дорівнює середньому арифметичному всіх її значень. Тому в практичних завданнях часто за математичне очікування набувають середнього значення цієї випадкової величини.

приклад 8 . Стрілець вибиває 4, 8, 9 та 10 очок з ймовірностями 0.1, 0.45, 0.3 та 0.15. Знайти математичне очікування числа очок за одного пострілу.

Рішення . Позначимо випадкову величину X= (кількість вибитих очок). Тоді. Таким чином, очікуване середнє значення числа вибитих очок при одному пострілі дорівнює 8.2, а при 10 пострілах - 82.

Основними властивостями математичного очікування є:

.

.

, де
,
.

.

, де Хі Y- Незалежні випадкові величини.

Різниця
називається відхиленням випадкової величини Хвід її математичного очікування. Ця різниця є випадковою величиною та її математичне очікування дорівнює нулю, тобто.
.

Дисперсія дискретної випадкової величини

Для характеристики випадкової величини, крім математичного очікування, використовується і дисперсія , що дозволяє оцінити розсіювання (розкид) значень випадкової величини в її математичного очікування. При порівнянні двох однорідних випадкових величин із рівними математичними очікуваннями «кращою» вважається та величина, що має менший розкид, тобто. меншу дисперсію.

Дисперсією випадкової величини Хназивається математичне очікування квадрата відхилення випадкової величини від її математичного очікування: .

У практичних завданнях для обчислення дисперсії використовують рівносильну формулу.

Основними властивостями дисперсії є:

.

Визначення. Випадковою величиною називають таку величину, яка в результаті експерименту приймає якесь одне значення з безлічі її можливих значень, причому до експерименту неможливо передбачити, яке саме.

Випадковими величинами є, наприклад, кількість очок, що випадають під час кидання грального кубика, кількість відвідувачів аптеки протягом дня, кількість яблук на дереві тощо.

Випадковими величинами є також температура хворого в деякий час вибраний час доби, маса навмання обраної таблетки деякого препарату, зростання навмання обраного студента і т.д.

Про

Однак з математичної точки зору між такими випадковими величинами, як, наприклад, кількість відвідувачів аптеки протягом дня (позначимо цю випадкову величину X 1) і зростання навмання обраного студента з деякої групи студентів (величина Х 2), є принципова відмінність, а саме: для величини X 1 можна перерахувати всі її можливі значення (1, 2, 3, 4, 5, 6, ...), тоді як для величини Х 2 цього зробити не можна, оскільки ця величина в результаті виміру може прийняти будь-яке значення з відрізка , де

і - відповідно мінімальне та максимальне зростання студентів групи.

Випадкові величини прийнято позначати великими літерами латинського алфавіту - X, Y, Z і т. д., які можливі значення - відповідними малими літерами з числовими індексами. Наприклад, значення випадкової величини xпозначають наступним чином: x 1 x 2 x 3 і т. д.

Поняття дискретних та безперервних випадкових величин

Визначення. Випадкова величина називається дискретною, якщо сукупність всіх її можливих значень є кінцевою або нескінченною, але обов'язково лічильною безліччю значень, тобто такою безліччю, всі елементи якої можуть бути (принаймні теоретично) пронумеровані і виписані у відповідній послідовності.

Визначення. Випадкова величина називається безперервною, якщо безліч її можливих значень є деяким кінцевим або нескінченним проміжком числової осі.

Виходячи з цих визначень, такі з перерахованих вище випадкових величин, як кількість очок, що випадають при киданні грального кубика, кількість відвідувачів аптеки протягом дня, кількість яблук. дереві, є дискретними випадковими величинами, а такі, як температура хворого у фіксований час доби, маса навмання обраної таблетки деякого препарату, зростання навмання обраного студента - безперервними величинами.

Дискретні випадкові величини

Розглянемо докладніше дискретні випадкові величини, причому, як правило, обмежуватимемо розгляд такими випадковими величинами, у яких кількість можливих значень звичайно.

Найбільш повну інформацію про дискретну випадкову величину дає закон розподілу цієї величини.

Визначення. Законом розподілу дискретної випадкової величини називається відповідність між усіма можливими значеннями цієї випадкової величини та відповідними ймовірностями.

Закон розподілу дискретної випадкової величини часто задають у вигляді дворядкової таблиці, у першому рядку якої перераховані всі можливі значення цієї величини (як правило, у порядку зростання), а в другому - ймовірності таблиці 1, що відповідають цим значенням:

приклад 2.Є десять студентських груп, які нараховують відповідно 12, 10, 11, 8, 12, 9, 10, 8, 10 та 11 студентів. Скласти закон розподілу випадкової величини X, яка визначається як кількість студентів у навмання обраній групі.

Рішення. Можливими значеннями аналізованої випадкової величини Х є такі (у порядку зростання):

8, 9, 10, 11 та 12.

Оскільки випадкова величина Х приймає значення, що дорівнює 8, у тому випадку, якщо навмання обраною групою виявиться група з 8 студентів (назвемо це подією А), ймовірність того, що випадкова величина Х прийме значення
, дорівнює ймовірності цієї випадкової події:
.

Імовірність випадкової події А відповідно до класичного визначення ймовірності дорівнює
оскільки із 10 груп дві налічують по 8 студентів.

Таким чином, для ймовірності значення отримуємо:

.

Аналогічно можна визначити ймовірності інших значень випадкової величини X:

що дозволяє скласти шуканий закон розподілу (таблиця 2):

Закон розподілу дискретної випадкової величини може бути заданий також за допомогою формули, що дозволяє кожному за можливе значення цієї величини визначити відповідну ймовірність.

Дискретні та безперервні випадкові величини

Зазвичай, під час виготовлення продукції процес виробництва впливає безліч різних чинників, у результаті спостерігається розкид значень показників якості продукцію. Таким чином, показники якості продукції або послуг, що виготовляється, слід розглядати як випадкові величини.

Випадковою величиною називається така величина, яка в результаті випробувань у межах певного інтервалу може приймати різні числові значення (згідно з СТБ ГОСТ Р 50779.10 випадкова величина - змінна, яка може набувати будь-якого значення із заданої безлічі значень і з якою пов'язаний розподіл ймовірностей).

Дискретними випадковими величинами називаються такі, які у результаті випробувань можуть набувати лише окремі, ізольовані значення і що неспроможні приймати значення проміжні з-поміж них. Наприклад, кількість непридатних деталей у партії може лише цілим позитивним числом 1, 2, 3 тощо, але може бути 1,3; 1,7 тощо.

Безперервною випадковою величиною називається така величина, яка в результаті випробувань може приймати будь-які чисельні значення безперервного ряду їх можливих значень у межах певного інтервалу.

Наприклад, дійсні розміри деталей, оброблених на верстаті, є випадковими величинами безперервного типу, оскільки можуть прийняти будь-яке чисельне значення певних межах.

Можливості випадкових величин приймати під час випробувань ті чи інші чисельні значення оцінюються з допомогою ймовірностей.

Сукупність значень випадкових величин, розташованих у зростаючому порядку із зазначенням їх ймовірностей для кожного з значень, називається розподілом випадкових величин (згідно з СТБ ГОСТ Р 50779.10 розподіл – це функція, що визначає ймовірність того, що випадкова величина прийме якесь задане значення або належатиме заданій безлічі значень).

Розподіл випадкової величини можна у табличному, графічному вигляді і з допомогою статистичних оцінок.

При поданні розподілу випадкової величини у табличному вигляді кожному номеру досліджуваної одиниці продукції (номеру виміру) відповідає значення показника якості даної одиниці продукції (результат виміру).

При поданні розподілу випадкової величини у графічному вигляді будують графік розподілу у координатах значення випадкової величини – ймовірність (частота, частота) значення випадкової величини.

На малюнку нижче показані графіки розподілу дискретної та безперервної випадкових величин.

Малюнок - Графік розподілу дискретної випадкової величини

Малюнок - Графік розподілу безперервної випадкової величини

Розрізняють теоретичні та емпіричні розподіли випадкових величин. У теоретичних розподілах оцінка можливих значень випадкової величини виробляється з допомогою ймовірностей, а емпіричних - з допомогою частот чи частот, отриманих результаті випробувань.

Отже, емпіричним розподілом випадкової величини називається сукупність експериментальних її значень, розташованих у порядку зростання, із зазначенням частот чи частот для кожного із значень (згідно з СТБ ГОСТ Р 50779.10 розподіл частот – це емпіричне відношення між значеннями ознаки та її частотами або його відносними частотами).

Таблиця. Приклад табличного подання теоретичного розподілу дискретної випадкової величини

Графічно емпіричний розподіл дискретної випадкової величини можна подати у вигляді стовпчикової діаграми , що утворюється набором стовпців рівної ширини, висоти яких пропорційні частот дискретних значень випадкової величини.

Малюнок - Стовпчикова діаграма дискретної випадкової величини.

Якщо випадкова величина є безперервною, виникають деякі складнощі з поданням її розподілу у вигляді таблиці або графіка. Тому на практиці щодо випадкових величин безперервного типу отримані значення розбивають на рівні інтервали з таким розрахунком, щоб значення інтервалу було дещо більше похибки вимірювання досліджуваної величини. Потім підраховують частоти не за дійсними значеннями випадкової величини, а за інтервалами. Тому таблиця емпіричного розподілу випадкової величини безперервного типу матиме такий вигляд.

Таблиця. Емпіричний розподіл випадкової величини безперервного типу.

Емпіричний розподіл випадкової безперервної величини графічно може бути представлений у вигляді гістограми розподілу, полігону частот або полігону кумулятивних частот.

Гістограма розподілу являє собою сукупність дотичних прямокутників, основи яких дорівнюють інтервалам розбиття безперервної випадкової величини, а площі пропорційні частотам, з якими значення випадкової величини потрапляють в ці інтервали (згідно СТБ ГОСТ Р 50779.10 гістограма (розподілу) – це графічне уявлення розподілу частот для кількісної ознаки, утворене дотичними прямокутниками, основами яких є інтервали класів, а площі пропорційні частотам цих класів).

Малюнок – Гістограма розподілу випадкової безперервної величини.

Полігон частот – це ламана лінія, одержувана при з'єднанні точок, абсциси яких дорівнюють серединам інтервалів розбиття, а ординати – відповідним частотам.

Малюнок – Полігон частот випадкової безперервної величини.

Полігон кумулятивний частот – це ламана лінія, одержувана при з'єднанні точок, абсциси яких рівні верхнім меж інтервалів розбиття, а ординати – або кумулятивним частотам, або кумулятивним частотам (кумулятивним відносним частотам).

Малюнок – Полігон кумулятивних частот випадкової безперервної величини.

За теоретичних описів випадкових величин безперервного типу використовується функція розподілу. Теоретичний розподіл випадкової безперервної величини графічно може бути представлений у вигляді інтегральної, зворотної інтегральної, диференціальноїфункцій розподілу та функції інтенсивності.

Нехай Х - випадкова величина, а х - якесь дійсне число (при цьому Х< х ). Події Х< х отвечает вероятность Р(Х < х), которая является функцией F(х), т.е.

Р(Х< х) = F(х)

F(Х) називається функцією розподілу ймовірностей випадкової величини чи інтегральної функцією розподілу.

Для дискретної випадкової величини інтегральна функція розподілу F(Х) легко визначається за таблицею чи графіком.

Таким чином, для наведеного вище прикладу розподілу дискретної випадкової величини (при Х< 4):

F(X) = Р( Х ) = P ( Х = 1) + P( Х = 2) + P( Х = 3) = 1/30 + 4/30 +15/30 = 19/30

Графік інтегральної функції розподілу дискретної випадкової величини матиме вигляд ступінчастої кривої. Ординати кривої будь-якого значення Х будуть представляти суму ймовірностей попередніх значень.

Малюнок - Інтегральна функція розподілу дискретної випадкової величини

Імовірність того, що випадкова величина при випробуваннях виявиться в межах двох заданих значень х 1 і х 2 (х 2 > х 1) дорівнює збільшенню інтегральної функції на цій ділянці, тобто.

Р(х 1 ≤ Х ≤ х 2 ) = Р(Х< х 2 ) - Р(Х< х 1 ) = F(Х 2 ) - F(Х 1 )

Якщо звернутися до наведеного прикладу розподілу дискретної випадкової величини, то при х1= 2 і х2 = 3:

Р(2≤Х≤3) = Р(Х< 3) - Р(Х < 2)= F(Х2) - F(Х1)= 4/30-1/30 = 3/30

Для безперервної випадкової величини графік інтегральної функції розподілу матиме вигляд монотонно зростаючої кривої. Насправді з допомогою інтегральної функції розподілу визначають теоретичні частоти розподілу.

Малюнок - Інтегральна функція розподілу

безперервної випадкової величини

Зворотна інтегральна функція розподілу дорівнює різниці між одиницею та інтегральною функцією розподілу.

Щільністю розподілу (диференційною функцією розподілу) випадкової величини називають першу похідну від інтегральної функції розподілу:

Для аналітичного опису безперервної випадкової величини теоретично надійності використовують функцію інтенсивності , рівну відношенню диференціальної функції розподілу до зворотної інтегральної функції розподілу:

Малюнок – функція інтенсивності безперервної випадкової величини.

Тема 3

Випадкові величини та функції розподілу

Концепція випадкової величини.

Поняття випадкової величини

Функція розподілу випадкової величини, її властивості

Випадкові величини з дискретним розподілом

Поняття випадкової величини з дискретним розподілом

Закон розподілу дискретної випадкової величини.

Приклади дискретних розподілів

Випадкові величини з абсолютно безперервним розподілом

Поняття випадкової величини з абсолютно безперервним розподілом

Закон розподілу абсолютно безперервної випадкової величини. Щільність, її властивості

Приклади абсолютно безперервних розподілів

Концепція випадковий вектор.

Поняття випадкового вектора

Незалежні випадкові величини

Спільний розподіл випадкових величин

Концепція випадкової величини.

З моменту виникнення теорії ймовірностей її основним завданням було вивчення не ймовірнісних властивостей експериментів із випадковими наслідками, а пов'язаних з цими експериментами числових величин, які природно назвати випадковими величинами. Наприклад, ми можемо цікавитись не парами чисел на верхніх гранях кубиків, а їхньою сумою; числом успіхів чи невдач до першого успіху у схемі Бернуллі.

Часто у літературі можна зустріти варіації на тему наступного визначення: Випадковою величиноюназивають змінну величину, яка в залежності від результатів випробування набуває значень, що залежать від випадку.

Таким чином, випадкова величина - це числова величина, значення якої залежить від того, який саме (елементарний) результат відбувся в результаті експерименту з випадковим результатом. Безліч всіх значень, які випадкова величина може набувати, називають безліччю можливих значень цієї випадкової величини.

Ми наведемо суворіше визначення, оскільки поняття випадкової величини одна із тих ключових понять, які пов'язують теорію ймовірностей з математичним аналізом і становлять понятійну основу математичної статистики.

Визначення. Випадковою величиноюназивається функція Х = Х(ω), визначена на просторі елементарних подій Ω, для яких подія (Х< х} = {ω: Х(ω) < х} принадлежит σ-алгебре событий A для любого вещественного х.

Умова (Х< х} єA дает возможность рассматривать вероятности событий {Х < х}, поскольку вероятности определены только на множествах из А. Крім того, через події (Х< х}, х є (-∞, ∞) с помощью известных операций над событиями можно выразить сколь угодно сложное событие, связанное со случайной величиной Х. Такое событие также будет принадлежать σ-алгебре событий A и, следовательно, для него определена вероятность.

Зауваження. Таким чином, випадкова величина – це функція, областю визначення якої є простір елементарних подій Ω, а безліччю значень – числова множина, можливо, вся множина дійсних чисел R.

σ-алгебра подій A – це сфера визначення ймовірності, якщо розглядати її як функцію.

Зауваження . «Термін «випадкова величина» дещо неточний, найбільш відповідним був термін «Функція випадку» , незалежної змінної є точка у просторі елементарних подій, тобто. результат експерименту чи випадок». (В.Феллер «Вступ до теорії ймовірностей», гол. IX)

Випадкові величини позначаються буквами грецького алфавіту:(кси),(ця), або великими літерами латинського алфавіту X, Y, …Значення випадкової величини записуватимемо у вигляді кінцевої чи нескінченної послідовності x 1 ,x 2 ,, x n,; y 1 ,y 2 ,,y n ,

Зауваження . Раніше ми ввели поняття ймовірності стосовно деяких подій. Тепер ми переходимо до розмови про функції. Найочевидніша подія, яку можна пов'язати з поняттям функції – це ухвалення нею певного значення (конкретного чи належного проміжку)

Для дослідження імовірнісних властивостей випадкової величини необхідно знати правило, що дозволяє знаходити ймовірність того, що випадкова величина набуде значення підмножини її значень. Будь-яке таке правило називають законом розподілу ймовірностей чи розподілом (ймовірностей) випадкової величини.(при цьому слово "ймовірностей" зазвичай опускають)

Загальним законом розподілу, властивим усім випадковим величинам, є функція розподілу.

Визначення.Вся сукупність ймовірностей Р(Х< х}, х є (-∞, ∞) задает закон розподілу випадкової величини Ху загальному випадку. Часто для стислості закон розподілу випадкової величини називають просто розподілом випадкової величини.

Визначення.Функція F(x) = Р(Х< х}, х є (-∞, ∞) называется функцією розподілу випадкової величини Х.

Значення функції розподілу в точці х дорівнює ймовірності події (Х< х}, то есть события, состоящего из тех и только тех элементарных исходов ω, для которых Х < х.

Зазвичай кажуть, що значення функції розподілу в точці х дорівнює ймовірності того, що випадкова величина Х набуде значення менше х.

Геометрично це означає таке: F(x) – ймовірність того, що випадкова величина Х прийме значення, яке зображується точкою на числовій прямій, розташованій ліворуч від точки х.

Зауваження . Функцію розподілу називають також інтегральною функцією, або інтегральним законом розподілу випадкової величини Х

Функція розподілу має такі властивостями:

0≤ F(x)≤1 (т.к. за визначенням, функція розподілу є ймовірністю)

F(x 1) ≤ F(x 2) при x 1< x 2 (т.е. F(x) – неубывающая функция)

lim F(x) = 0 при x → - ∞ , lim F(x) = 1 при x → + ∞

P (x 1 ≤ X ≤ x 2) = F(x 1) - F(x 2)

F(x) – безперервна ліворуч функція, тобто. F(x) = F(x - 0), де F(x - 0) = lim F(y) при y → x - 0 (лівостороння межа)

Зауваження . Щоб підкреслити, якій саме випадкової величині належить функція розподілу F(x), цій функції іноді приписують нижній індекс, що позначає конкретну випадкову величину. Наприклад, F X (x) = Р(Х< х}

Зауваження. У деяких виданнях функція розподілу визначається як F(x) = Р(Х ≤ х). Таке визначення нічого не змінює по суті поняття функції розподілу, змінюється лише остання, п'ята властивість. Функція у разі виявляється безперервної праворуч.

Відступ: Що таке функція?

Нехай нам дано дві множини Х і Y, причому Y - числова множина. І нехай задано правило f, за яким кожному елементу (точці) множини Х ставиться у відповідність (один і тільки один) елемент (число) множини Y. Правило f разом із множинами X і Y задають функцію f. Запис y=f(x) означає, що до деякої точки x множини X застосували правило f, і в результаті отримали точку y з множини Y. X називається аргументом (незалежною змінною), а y – значенням (залежної змінної) функції f у точці х. Безліч Х називається областю визначення (областю завдання) функції, кажуть, що функція задана цьому множині, безліч Y називається безліччю значень функції. Безліч Х абсолютно необов'язково є числовим безліччю. Так, випадкова величина – це функція, задана на нечисловому просторі елементарних подій.

ВИПАДКОВІ ВЕЛИЧИНИ

Випадковою називають величину, яка в результаті випробування набуде одного і лише одного можливого значення, причому яке саме заздалегідь невідоме.

Дискретною називають випадкову величину, яка набуває окремих, ізольованих можливих значень з певними ймовірностями.

Безперервною називають випадкову величину, яка може набувати всіх значень деякого кінцевого або нескінченного інтервалу.

Законом розподілу дискретної випадкової величини називають відповідність між можливими значеннями випадкової величини та їх ймовірностями. Цей закон задається у вигляді таблиці, формули чи графіка.

Для дискретних випадкових величин одним із найбільш уживаних є так званий біноміальний закон розподілу, до якого наводить схема Бернуллі повторення випробувань. Формула (8) і є аналітичним виразом цього закону.

Приклад 11.

По каналу зв'язку передається повідомлення за допомогою коду, що складається із двох знаків. Імовірність появи першого дорівнює 2/3. Передано три знаки. Знайти закон розподілу для появи першого знака.

Рішення.

За умовою n=4, р=2/3, q= 1/3. Можливі значення числа появ першого знака: 0, 1, 2 і 3. Знайдемо їх ймовірності за формулою (8):

Цей закон можна подати у вигляді таблиці

Функцією розподілу називають функцію, що визначає ймовірність того, що випадкова величина Хв результаті випробування набуде значення менше х,тобто

Геометрично це означає, що випадкова величина з ймовірністю рприйме значення, яке на числовій осі зображується точкою, що лежить ліворуч х.

Для безперервної випадкової величини функція розподілу є безперервна шматково-диференційована функція. З визначення виводяться основні властивості:

1. Значення функції розподілу належать відрізку, тобто.

2. F(x) - Незменшуюча функція, тобто якщо

3. Імовірність того, що випадкова величина набуде значення, укладеного на проміжку [ а,b[, дорівнює збільшенню функції розподілу на цьому проміжку

Для безперервної випадкової величини можливість прийняти окреме значення дорівнює нулю. Тому для безперервних випадкових величин

Приклад 12.

Випадкова величина Хзадана функцією розподілу

Знайти ймовірність того, що в результаті випробування Хнабуде значення, що належить відрізку [-1; 0,5].

Рішення.

З умови випливає, що Х- безперервна випадкова величина, яка може набувати значення від 0 до 1.

Щільністю розподілу ймовірностей безперервнийвипадкової величини Хназивають першу похідну від функції розподілу

Функція розподілу F(x)є одна з первісних для густини розподілу. Виходячи з визначення густини або диференціального закону розподілу та її зв'язку з функцією розподілу, легко показати наступні властивості:

1. Щільність розподілу безперервної випадкової величини – невід'ємна функція

2. Імовірність влучення випадкової величини Хв інтервал дорівнює

(16)

3. З властивості 2 отримаємо вираз для функції розподілу

(17)

4. Умова нормування

(18)

приклад 13.Дискретна величина Хзадана таблицею

Знайти функцію розподілу та побудувати її графік.

Рішення.

1. Якщо , то , оскільки Хне може набувати значення менше 2.

В цьому випадку в інтервал (-¥, х)потрапляє лише одне значення випадкової величини Х (X=2). Тому

Для будь-якого значення аргументу хфункції F(x),задовольняє цю нерівність, в інтервал (-¥, х) попадає два значення випадкової величини ( X=2 і X=3). Оскільки події, що Хприйме дані значення є несумісними (або X=2 або X=3), то

4. Аналогічно якщо

Отже, функція розподілу матиме вигляд

Будуємо графік функції розподілу

Мал. 1 - Графік функції розподілу

дискретної випадкової величини

Приклад 14. Щільність розподілу помилки виміру

Одним із найважливіших основних понять теорії ймовірностей є поняття про випадкову величину.

Випадковою величиною називається величина, яка в результаті досвіду може набути того чи іншого значення, причому невідомо заздалегідь, яке саме.

Приклади випадкових величин:

1) кількість попадань при трьох пострілах;

2) кількість дзвінків, що надходили на телефонну станцію за добу;

3) частота влучення при 10 пострілах.

У всіх трьох наведених прикладах випадкові величини можуть приймати окремі ізольовані значення, які можна заздалегідь перерахувати.

Так, у прикладі 1) ці значення:

у прикладі 2):

у прикладі 3)

0; 0,1; 0,2; …; 1,0.

Такі випадкові величини, що приймають лише відокремлені один від одного значення, які можна заздалегідь перерахувати, називаються перервними або дискретними випадковими величинами.

Існують випадкові величини іншого типу, наприклад:

1) абсцису точки влучення при пострілі;

2) помилка зважування тіла на аналітичних терезах;

3) швидкість літального апарату на момент виходу задану висоту;

4) вага навмання взятого зерна пшениці.

Можливі значення таких випадкових величин не відокремлені одна від одної; вони безперервно заповнюють деякий проміжок, який іноді має різко виражені межі, а частіше – невизначені межі, розпливчасті.

Такі випадкові величини, можливі значення яких постійно заповнюють деякий проміжок, називаються безперервними випадковими величинами.

Поняття випадкової величини грає дуже важливу роль теорії ймовірностей. Якщо «класична» теорія ймовірностей оперувала переважно з подіями, то сучасна теорія ймовірностей вважає за краще, де тільки можливо, оперувати з випадковими величинами.

Наведемо приклади типових для теорії ймовірностей прийомів переходу від подій до випадкових величин.

Виробляється досвід, внаслідок якого може виникнути або з'явитися певна подія. Замість події можна розглянути випадкову величину , що дорівнює 1, якщо подія відбувається, і дорівнює 0, якщо подія не відбувається. Випадкова величина, очевидно, є перервною; вона має два можливі значення: 0 і 1. Ця випадкова величина називається характеристичною випадковою величиною події. Насправді часто замість подій виявляється зручніше оперувати їх характерними випадковими величинами. Наприклад, якщо виробляється ряд дослідів, у кожному з яких можлива поява події, то загальна кількість події дорівнює сумі характеристичних випадкових величин події у всіх дослідах. При вирішенні багатьох практичних завдань користування таким прийомом виявляється дуже зручним.

З іншого боку, дуже часто для обчислення ймовірності події зручно пов'язати цю подію з якоюсь безперервною випадковою величиною (або системою безперервних величин).

Нехай, наприклад, вимірюються координати якогось об'єкта для того, щоб побудувати точку М, що зображує цей об'єкт на панорамі (розгортці) місцевості. Нас цікавить подія , яка полягає в тому, що помилка R у положенні точки М не перевищить заданого значення (рис. 2.4.1). Позначимо випадкові помилки у вимірі координат об'єкта. Очевидно, подія рівнозначна попаданню випадкової точки М з координатами у межі кола радіуса з центром у точці О. Іншими словами, для виконання події випадкові величини і повинні задовольняти нерівності

Імовірність події є нічим іншим, як ймовірність виконання нерівності (2.4.1). Ця можливість може бути визначена, якщо відомі властивості випадкових величин .

Такий органічний зв'язок між подіями та випадковими величинами вельми характерний для сучасної теорії ймовірностей, яка, де тільки можливо, переходить від «схеми подій» до «схеми випадкових величин». Остання схема порівняно з першою є набагато більш гнучкий і універсальний апарат для вирішення завдань, що відносяться до випадкових явищ.

Випадкова величина- це величина, яка набирає в результаті досвіду одне з безлічі значень, причому поява того чи іншого значення цієї величини до її виміру не можна точно передбачити.

Формальне математичне визначення наступне: нехай - імовірнісний простір, тоді випадковою величиною називається функція , що вимірюється щодо і борелівської σ-алгебри на . Імовірнісне поведінка окремої (незалежно з інших) випадкової величини повністю описується її розподілом.

Визначення [ред.]

Простір елементарних подій [ред.]

Простір елементарних подій у разі кидання гральної кістки

Якщо кидається гральна кістка, то в результаті верхньої гранню може виявитися одна з шести граней із кількістю точок від однієї до шести. Випадання будь-якої грані у разі теорії ймовірностей називається елементарним подією , тобто

Безліч всіх граней утворює простір елементарних подій, підмножини якого називаються випадковими подіями. У разі одноразового підкидання ігрової кістки прикладами подій є

Алгебра подій

Безліч випадкових подій утворює алгебру подій, якщо виконуються такі умови:

Якщо замість третьої умови задовольняє іншу умову: об'єднання лічильного підродини також належить , то безліч випадкових подій утворює σ-алгебру подій.

Алгебра подій є окремим випадком σ-алгебри множин.

Найменша серед усіх можливих -алгебр, елементами якої є всі інтервали на речовій прямій, називається борелівською σ-алгеброю на безлічі речових чисел.

Ймовірність [ред.]

Якщо кожній елементарній події поставити у відповідність число , для якого виконується умова:

то вважається, що задані ймовірності елементарних подій. Імовірність події як лічильного підмножини простору елементарних подій визначається як сума ймовірностей тих елементарних подій, які належать цій події. Вимога рахунку є важливою, оскільки, інакше сума буде не визначена.

Розглянемо приклад визначення ймовірності різних випадкових подій. Наприклад, якщо подія є порожньою безліччю, її ймовірність дорівнює нулю :

Якщо подією є простір елементарних подій, його ймовірність дорівнює одиниці:

Імовірність події (підмножини простору елементарних подій) дорівнює сумі ймовірностей тих елементарних подій, які включає в себе подію, що розглядається.

Визначення випадкової величини [ред.]

Випадковою величиною називається функція , вимірна щодо та борелівської σ-алгебри на .

Випадкову величину можна визначити й іншим еквівалентним способом. Функція називається випадковою величиною, якщо для будь-яких дійсних чисел і безліч подій, таких що , належить.

Приклади [ред.]

дорівнює середньому арифметичному всіх значень, що приймаються.

.

,

тобто математичне очікування не визначено.

Класифікація [ред.]

Випадкові величини можуть набувати дискретних, безперервних і дискретно-безперервних значень. Відповідно випадкові величини класифікують на дискретні, безперервні та дискретно-безперервні (змішані).

На схемі випробувань може бути визначена окрема випадкова величина (одномірна/скалярна), так і ціла система одновимірних взаємопов'язаних випадкових величин (багатомірна/векторна).

• Приклад змішаної випадкової величини - час очікування під час переходу через автомобільну дорогу у місті на нерегульованому перехресті.
• У нескінченних схемах (дискретних чи безперервних) спочатку елементарні результати зручно описувати кількісно. Наприклад, номери градацій типів нещасних випадків під час аналізу ДТП; час безвідмовної роботи приладу під час контролю якості тощо.
• Числові значення, що описують результати дослідів, можуть характеризувати необов'язково окремі елементарні наслідки у схемі випробувань, а й відповідати якимось складнішим подіям.

З одного боку, з однією схемою випробувань та з окремими подіями в ній одночасно може бути пов'язано відразу кілька числових величин, які потрібно аналізувати спільно.

• Наприклад, координати (абсцису, ордината) якогось розриву снаряда при стрільбі за наземною метою; метричні розміри (довжина, ширина тощо) деталі при контролі якості; результати медобстеження (температура, тиск, пульс та ін.) при діагностиці хворого; дані перепису населення (за віком, статтю, достатком тощо).

Оскільки значення числових характеристик схем випробування відповідають у схемі деяким випадковим подіям (з їх певними ймовірностями), то самі ці значення є випадковими (з тими ж ймовірностями). Тому такі числові характеристики прийнято називати випадковими величинами. У цьому розклад ймовірностей за значеннями випадкової величини називається законом розподілу випадкової величини.

Методи опису [ред.]

Частково задати випадкову величину, описавши цим її ймовірнісні властивості як окремої випадкової величини, можна з допомогою функції розподілу, щільності ймовірності і характеристичної функції, визначаючи ймовірності можливих її значень. Функція розподілу F(x) є ймовірністю того, що значення випадкової величини менші за дійсне число x. З цього визначення випливає, що можливість потрапляння значення випадкової величини в інтервал

Випадкова величина, взагалі кажучи, може набувати значень у будь-якому вимірному просторі. Тоді її частіше називають випадковим вектором чи випадковим елементом. Наприклад,

також [ред.]

• Випадковий процес
• Функція розподілу
• Математичне очікування

[ред.]

1. 1 2 Чернова Н. І.Глава 1. § 2. Елементарна теорія ймовірностей// Теорія ймовірностей. - Навчальний посібник. - Новосибірськ: Новосибірський держ. ун-т, 2007. – 160 с.
2. Чернова Н. І.Глава 3. § 1. Алгебра та сигма-алгебра подій // Теорія ймовірностей. - Навчальний посібник. - Новосибірськ: Новосибірський держ. ун-т, 2007. – 160 с.
3. Чернова Н. І.РОЗДІЛ 1 § 2. Елементарна теорія ймовірностей// Теорія ймовірностей. - Навчальний посібник. - Новосибірськ: Новосибірський держ. ун-т, 2007. – 160 с.
4. 1 2 Чернова Н. І.Глава 6. Випадкові величини та його розподілу § 1. Випадкові величини // Теорія ймовірностей. - Навчальний посібник. - Новосибірськ: Новосибірський держ. ун-т, 2007. – 160 с.

Література [ред.]

• Гнєденко Б. В.Курс теорії імовірності. - 8-ме вид. дод. та випр. – К.: Едиторіал УРСС, 2005. – 448 с.
• Математичний енциклопедичний словник/Гол. ред. Прохоров Ю. В.. - 2-ге вид. – М.: «Радянська енциклопедія», 1998. – 847 с.
• Тихонов В.І., Харісов В.М.Статистичний аналіз та синтез радіотехнічних пристроїв та систем. - Навчальний посібник для ВНЗ. - М: Радіо і зв'язок, 1991. - 608 с. - ISBN 5-256-00789-0
• Чернова Н. І.Теорія імовірності. - Навчальний посібник. - Новосибірськ: Новосибірський держ. ун-т, 2007. – 160 с.