Із центральним моментом третього порядку пов'язаний. Початкові та центральні моменти

3.4. Моменти випадкової величини.

Вище ми познайомилися з вичерпними характеристиками СВ: функцією розподілу та поруч розподілу – для дискретної СВ, функцією розподілу та щільністю ймовірності – для безперервної СВ. Ці попарно еквівалентні за інформаційним змістом характеристики є функціїі повністю описують СВ з імовірнісної точки зору. Однак у багатьох практичних ситуаціях або неможливо, або немає необхідності характеризувати випадкову величину вичерпним чином. Найчастіше буває достатньо вказати один чи кілька числовихпараметрів, до певної міри описують основні риси розподілу, котрий іноді знаходження вичерпних характеристик є хоч і бажаним, але занадто важким математично, і оперуючи числовими параметрами, ми обмежуємося хоч і наближеним, але простим описом. Вказані числові параметри називаються числовими характеристикамивипадкової величини та грають велику рольу застосуваннях теорії ймовірності до різних галузей науки і техніки, полегшуючи вирішення завдань та дозволяючи подати результати рішення у простій та наочній формі.

Найчастіше застосовувані числові характеристики можна умовно розбити на два види: моменти та показники становища.Існує кілька видів моментів, з них найчастіше застосовуються два види: початкові та центральні. Інші види моментів, наприклад, абсолютні моменти, факторіальні моментими не розглядаємо. Щоб уникнути застосування узагальнення інтеграла - так званого інтеграла Стильтьєса, дамо визначення моментів окремо для безперервних та дискретних СВ.

Визначення. 1. Початковим моментомk-го порядку дискретної СВназивається величина

де f(x) - щільність ймовірності цієї СВ.

3. Центральним моментомk-го порядку дискретної СВназивається величина

У випадках, коли одночасно у розгляді знаходяться кілька СВ, зручно, щоб уникнути непорозумінь, вказувати належність моменту; ми це робитимемо, вказуючи позначення відповідної СВ у дужках, наприклад, , і т. д. Не слід плутати це позначення із записом функції, а букву в дужках – з аргументом функції. Суми та інтеграли у правих частинах рівностей (3.4.1 - 3.4.4) можуть сходитися чи розходитися залежно від значення kта конкретного розподілу. У першому випадку кажуть, що момент не існує або розходиться, у другому - що момент існує чи сходиться.Якщо у дискретної СВ кінцеве числокінцевих значень ( Nзвичайно), то всі її моменти кінцевого порядку kіснують. При нескінченному N, починаючи з деякого kі для більших порядків, моменти дискретної СВ (одночасно початкові та центральні) можуть не існувати. Моменти безперервного СВ, як видно з визначень, виражаються невласними інтегралами, які можуть розходитися, починаючи з деякого kі для більших порядків (одночасно початкові та центральні). Моменти нульового порядку завжди сходяться.

Розглянемо детальніше спочатку початкові, а потім центральні моменти. З математичної точки зору початковий момент k-го порядку є «зважена середня» k-их ступенів значень СВ; у разі дискретної СВ вагами є ймовірність значень, у разі безперервної СВ ваговою функцією є щільність ймовірності. Такі операції широко застосовуються в механіці для опису розподілу мас (статичні моменти, моменти інерції і т. д.); виникаючі у зв'язку з цим аналогії розглянуті нижче.

Для кращого розуміння початкових моментів розглянемо їх окремо за заданих k. Теоретично ймовірностей найважливіші моменти нижчих порядків, т. е. при малих kтому розгляд слід вести в порядку зростання значень k. Початковий момент нульового порядку дорівнює

1 для дискретної СВ;

=1 для безперервної СВ,

тобто. для будь-якої СВ він дорівнює тому самому значенню - одиниці, і тому не несе жодної інформації про статистичні властивості СВ.

Початковий момент першого порядку (або перший початковий момент) дорівнює

Для дискретної СВ;

для безперервної СВ.

Цей момент - найважливіша числова характеристика будь-якої СВ, чому є кілька взаємозалежних причин. По-перше, згідно з теоремою Чебишева (див. п. 7.4), при необмеженому числі випробувань над СВ середнє арифметичне спостережених значень прагне (у деякому сенсі) до , таким чином, для будь-якої СВ- це характерна кількістьнавколо якого групуються її значення на досвіді. По-друге, для безперервної РЗраховано дорівнює х-овій координаті центру тяжкості криволінійної трапеції, що утворюється кривою f(x) (аналогічна властивість має місце і для дискретної СВ), тому цей момент можна було б назвати центром тяжкості розподілу. По-третє, цей момент має чудові математичні властивості, які з'ясуються в процесі проходження курсу, зокрема, тому його величина входить до виразів для центральних моментів (див. (3.4.3) та (3.4.4)).

Важливість цього моменту для теоретичних і практичних завдань теорії ймовірностей та його чудові математичні властивості призвели до того, що крім позначення та назви «перший початковий момент» у літературі використовуються й інші позначення та назви, більшою чи меншою мірою зручні та відбивають згадані властивості. Найчастіше зустрічаються назви: математичне очікування, середнє значення, та позначення: m, M[X], . Ми будемо найчастіше використовувати термін «математичне очікування» та позначення m; за наявності кількох СВ будемо використовувати нижній індекс, що вказує на належність математичного очікування, наприклад, m x , m yі т.д.

Початковий момент другого порядку (або другий початковий момент) дорівнює

Для дискретної СВ;

для безперервної СВ;

іноді він називається середнім квадратом випадкової величиниі позначається M.

Початковий момент третього порядку (або третій початковий момент) дорівнює

Для дискретної СВ;

, для безперервної СВ

іноді він називається середнім кубом випадкової величиниі позначається M[X 3 ].

Нема рації продовжувати далі перерахування початкових моментів. Зупинимося на важливій інтерпретації моментів порядку k>1. Нехай, поряд із СВ Xє також СВ Y, причому Y=X k (k= 2, 3, ...). Ця рівність означає, що випадкові величини Xі Yпов'язані детерміновано в тому сенсі, що коли СВ Xприймає значення x, СВ Yприймає значення y=x k(Надалі такий зв'язок СВ буде розглянуто більш докладно). Тоді, згідно (3.4.1) та (3.4.2)

=m y , k=2, 3, ...,

тобто. k-ий початковий момент СВ дорівнює математичному очікуванню k-ой ступеня цієї випадкової величини. Наприклад, третій початковий момент довжини ребра випадкового кубика дорівнює математичному очікуванню обсягу кубика. Можливість розуміння моментів як математичних очікувань - ще одна грань важливості поняття математичного очікування.

Перейдемо до розгляду центральних моментів. Оскільки, як з'ясується трохи нижче, центральні моменти однозначно виражаються через початкові та навпаки, постає питання, навіщо взагалі потрібні центральні моменти і чому недостатньо початкових моментів. Розглянемо СВ X(безперервну або дискретну) та іншу СВ Y, пов'язану з першою як Y=X+a, де a 0 - невипадкове дійсне число. Кожному значенню xвипадкової величини Xвідповідає значення y=x+aвипадкової величини Y, отже розподіл СВ Yбуде мати ту ж форму (виражену багатокутником розподілу в дискретному випадку або щільністю ймовірності - безперервному випадку), що і розподіл СВ X, але зсунуто по осі абсцис на величину a. Отже, початкові моменти СВ Yвідрізнятимуться від відповідних моментів СВ X. Наприклад, як неважко бачити, m y =m x +a(моменти більше високого порядкупов'язані складнішими співвідношеннями). Отже, ми встановили, що початкові моменти не інваріантні щодо зсуву розподілу загалом. Той самий результат вийде, якщо зрушувати не розподіл, а початок осі абсцис по горизонталі на величину - a, тобто. справедливий та еквівалентний висновок: Початкові моменти не інваріантні щодо зсуву початку осі абсцис по горизонталі.

Від цього недоліку вільні центральні моменти, призначені для опису тих властивостей розподілів, які не залежать від їхнього зсуву в цілому. Дійсно, як видно з (3.4.3) та (3.4.4), при зрушенні розподілу в цілому на величину a, або, що те саме, зрушення початку осі абсцис на величину - a, всі значення x, за тих же ймовірностей (у дискретному випадку) або тієї ж щільності ймовірності (у безперервному випадку), зміняться на величину aале настільки ж зміниться величина m, Так що значення дужок у правих частинах рівностей не зміняться. Таким чином, центральні моменти інваріантні щодо зсуву розподілу в цілому, або, що те саме, щодо зсуву початку осі абсцис по горизонталі.Назву «центральні» ці моменти набули у ті часи, коли перший початковий момент називався «центром». Корисно зауважити, що центральний момент СВ Xможна розуміти як відповідний початковий момент СВ X 0 , що дорівнює

СВ X 0 називається центрованої(стосовно СВ X), а операція, що призводить до неї, тобто віднімання з випадкової величини її математичного очікування, називається центруванням. Як ми побачимо надалі, це поняття, і ця операція буде корисною протягом усього курсу. Зауважимо, що центральний момент порядку k>1 можна як математичне очікування (середнє) k-ой ступеня центрованої СВ: .

Розглянемо окремо центральні моменти нижчих порядків. Центральний момент нульового порядку дорівнює

для дискретних СВ;

для безперервних СВ;

тобто для будь-якої СВ і не несе жодної інформації про статистичні властивості цієї СВ.

Центральний момент першого порядку (або перший центральний момент) дорівнює

для дискретної СВ;

для безперервної СВ; тобто для будь-якої СВ і не несе жодної інформації про статистичні властивості цієї СВ.

Центральний момент другого порядку (або другий центральний момент) дорівнює

для дискретної СВ;

для безперервної СВ.

Як з'ясується нижче, цей момент - один з найважливіших у теорії ймовірностей, тому що використовується як характеристика міри розкидання (або розсіювання) значень СВ, тому часто називається дисперсієюі позначається Dх. Зауважимо, що можна розуміти як середній квадрат центрованої СВ.

Центральний момент третього порядку (третій центральний момент) дорівнює

Особливого значення характеристики розподілу випадкової величини мають числові характеристики, звані початковими і центральними моментами.

Початковим моментом k-го порядку α k(Х) випадкової величини Х k-ой ступеня цієї величини, тобто.

α k(Х) = М(Х k) (6.8)

Формула (6.8) через визначення математичного очікування для різних випадкових величинмає свій вигляд, а саме, для дискретної випадкової величини з кінцевою множиною значень

для безперервної випадкової величини

, (6.10)

де f(x) - щільність розподілу випадкової величини Х.

Невласний інтегралу формулі (6.10) перетворюється на визначений інтегралпо кінцевому проміжку, якщо значення безперервної випадкової величини є лише цьому проміжку.

Одна з раніше введених числових характеристик – математичне очікування – не що інше, як початковим моментомпершого порядку, або, як то кажуть, першим початковим моментом:

М(Х) = α 1 (Х).

У попередньому пункті було запроваджено поняття центрованої випадкової величини Х - М(Х). Якщо цю величину розглядати як основну, то для неї також можуть бути знайдені початкові моменти. Для самої величини Хці моменти будуть називатися центральними.

Центральним моментом k-го порядку μ k(Х) випадкової величини Хназивається математичне очікування k-ой ступеня центрованої випадкової величини, тобто.

μ k(Х) = М[(Х - М(Х))k] (6.11)

Інакше кажучи, центральний момент k-го порядку - це математичне очікування k-ой ступеня відхилення.

Центральний момент k-го порядку для дискретної випадкової величини з кінцевою кількістю значень знаходиться за формулою:

, (6.12)

для безперервної випадкової величини за формулою:

(6.13)

Надалі, коли буде зрозуміло про яку випадкову величину йде мова, то її в позначеннях початкових та центральних моментах писати не будемо, тобто. замість α k(Х) та μ k(Х) будемо писати просто α kі μ k .

Очевидно, що центральний момент першого порядку дорівнює нулю, оскільки це що інше, як математичне очікування відхилення, яке дорівнює нулю за раніше доведеним, тобто. .

Неважко зрозуміти, що центральний момент другого порядку випадкової величини Хзбігається з дисперсією цієї випадкової величини, тобто.

Крім цього, існують такі формули, що пов'язують початкові та центральні моменти:

Отже, моменти першого та другого порядків (математичне очікування та дисперсія) характеризують самі важливі рисирозподілу: його становище та ступінь розкиду значень. Для більш докладного описурозподілу служать моменти вищих порядків. Покажемо це.

Припустимо, що розподіл випадкової величини симетричний щодо свого математичного очікування. Тоді всі центральні моменти непарного порядку, якщо вони існують, дорівнюють нулю. Це тим, що з симетричності розподілу кожному за позитивного значеннявеличини Х − М(Х) існує рівне йому за модулем від'ємне значення, у своїй ймовірності цих значень рівні. Отже, сума у ​​формулі (6.12) складається з кількох пар, рівних за модулем, але різних за знаком складових, які при підсумовуванні взаємно знищуються. Отже, вся сума, тобто. центральний момент будь-якого непарного порядку дискретної випадкової величини дорівнює нулю. Аналогічно, центральний момент будь-якого непарного порядку безперервної випадкової величини дорівнює нулю, як інтеграл у симетричних межах від непарної функції.

Природно припустити, що й центральний момент непарного порядку відмінний від нуля, те й сам розподіл нічого очікувати симетрично щодо свого математичного очікування. При цьому чим більше центральний момент відрізняється від нуля, тим більше асиметрія в розподілі. Візьмемо як властивості асиметрії центральний момент найменшого непарного порядку. Так як центральний момент першого порядку дорівнює нулю для випадкових величин, що мають будь-які розподіли, для цієї мети краще використовувати центральний момент третього порядку. Однак цей момент має розмірність куба випадкової величини. Щоб позбутися цього недоліку і перейти до випадкової безрозмірної величини, ділять значення центрального моменту на куб середньоквадратичного відхилення.

Коефіцієнтом асиметрії А s або просто асиметрієюназивається ставлення центрального моменту третього порядку до кубу середньоквадратичного відхилення, тобто.

Іноді асиметрію називають "скошенністю" та позначають S k, що походить від англійського слова skew - "косий".

Якщо коефіцієнт асиметрії негативний, то на його величину досить сильно вплив негативних доданків (відхилень) та розподіл матиме ліву асиметрію, А графік (крива) розподілу є більш пологим ліворуч від математичного очікування. Якщо коефіцієнт позитивний, то асиметрія права, А крива більш полога праворуч від математичного очікування (рис.6.1).

Як показано, для характеристики розкиду значень випадкової величини навколо свого математичного очікування служить другий центральний момент, тобто. дисперсія. Якщо цей момент має велике числове значення, то дана випадкова величина має великий розкид значень і відповідна крива розподілу має пологіший вигляд, ніж крива, для якої другий центральний момент має менше значення. Тому другий центральний момент характеризує, якоюсь мірою, "плосковершинність" або "гостровершинність" кривої розподілу. Однак ця характеристика не дуже зручна. Центральний момент другого порядку має розмірність рівну квадратурозмірності випадкової величини Якщо спробувати отримати безрозмірну величину, поділивши значення моменту на квадрат середньоквадратичного відхилення, то для будь-якої випадкової величини отримаємо: . Таким чином, цей коефіцієнт не може бути якоюсь характеристикою розподілу випадкової величини. Він однаковий всім розподілів. І тут можна використовувати центральний момент четвертого порядку.

Ексцесом E k називається величина, яка визначається за формулою

(6.15)

Ексцес, в основному, застосовується для безперервних випадкових величин і служить для характеристики, так званої "крутості" кривої розподілу, або інакше, як уже було сказано, для характеристики "плосковершинності" або "гостровершинності" кривої розподілу. Як еталонна крива розподілу вважається крива нормального розподілу(про нього докладно йтиметься у наступному розділі). Для випадкової величини, розподіленої по нормальному закону, має місце рівність. Тому ексцес, заданий формулою(6.15), служить для порівняння даного розподілуз нормальним, у якого ексцес виходить рівним нулю.

Якщо для якоїсь випадкової величини отримано позитивний ексцес, то крива розподілу цієї величини є більш гострою, ніж крива нормального розподілу. Якщо ж ексцес негативний, то крива є більш плосковершинною порівняно з кривою нормального розподілу (рис. 6.2).

Перейдемо тепер до конкретним видамзаконів розподілу дискретної та безперервної випадкових величин.

Знайдемо математичне очікування Х 2 :

М(Х 2) = 1* 0, 6 + 4* 0, 2 + 25* 0, 19+ 10000* 0, 01 = 106, 15.

Бачимо, що М(X 2) значно більше М(X). Це пояснюється тим, що після зведення у квадрат можливе значення величини X 2 , що відповідає значенню x=100 величини X,стало рівним 10 000, тобто значно збільшилося; ймовірність цього значення мала (0,01).

Таким чином, перехід від М(X)до М(X 2) дозволив краще врахувати вплив на математичне очікування того можливого значення, яке велике і має малу ймовірність. Зрозуміло, якби величина Xмала кілька великих і малоймовірних значень, тобто перехід до величини X 2 , а тим більше до величин X 3 , X 4 і т. д., дозволив би ще більше посилити роль цих великих, але малоймовірних можливих значень. Ось чому виявляється доцільним розглядати математичне очікування цілою позитивного ступенявипадкової величини (не лише дискретної, а й безперервної).

Початковим моментом порядку kвипадкової величини Xназивають математичне очікування величини X k:

v k = M(X).

Зокрема,

v 1 = M(X), v 2 = M(X 2).

Користуючись цими моментами, формулу для обчислення дисперсії D(X)= M(X 2)- [М(X)] 2 можна записати так:

D(X)= v 2 – . (*)

Крім моментів випадкової величини Xдоцільно розглядати моменти відхилення X-М(X).

Центральним моментом порядку k випадкової величини X називають математичне очікування величини(Х-М(Х))k:

Зокрема,

Легко виводяться співвідношення, що пов'язують початкові та центральні моменти. Наприклад, порівнюючи (*) та (***), отримаємо

m 2 = v 2 – .

Неважко, виходячи з визначення центрального моменту та користуючись властивостями математичного очікування, отримати формули:

m 3 = v 3 – 3v 2 v 1 + 2 ,

m 4 = v 4 – 4v 3 v 1 + 6v 2 + 3 .

Моменти вищих порядків застосовуються рідко.

Зауваження. Моменти, розглянуті тут, називають теоретичними.На відміну від теоретичних моментів, моменти, що обчислюються за даними спостережень, називають емпіричними.Визначення емпіричних моментів наведено далі (див. гл. XVII, § 2).

Завдання

1. Відомі дисперсії двох незалежних випадкових величин: D(X) = 4, D(Y) = 3. Знайти дисперсію суми цих величин.

Відп. 7.

2. Дисперсія випадкової величини Xдорівнює 5. Знайти дисперсію наступних величин: а) X-1; б) -2 Х;в) ЗХ + 6.

Відп.а) 5; б) 20; в) 45.

3. Випадкова величина Xприймає лише два значення: +С та -С, кожне з ймовірністю 0,5. Знайти дисперсію цієї величини.

Відп. З 2 .

4. знаючи закон її розподілу

Відп. 67,6404.

5. Випадкова величина Xможе приймати два можливі значення: х 1 з ймовірністю 0,3 та x 2 з ймовірністю 0,7, причому х 2 > х 1 . Знайти x 1 та x 2 , знаючи, що М(Х) = 2, 7і D(X) =0,21.

Відп. x 1 = 2, x 2 = 3.

6. Знайти дисперсію випадкової величини X-числа появи подій Ав двох незалежних випробуваннях, якщо М(Х) = 0, 8.

Вказівка. Написати біномний закон розподілу ймовірностей числа події Ау двох незалежних випробуваннях.

Відп. 0, 48.

7. Випробовується пристрій, що складається з чотирьох приладів, що незалежно працюють. Імовірності відмови приладів такі: р 1 = 0,3; р 2 = 0,4; p 3 = 0,5; р 4 = 0,6. Знайти математичне очікування і дисперсію числа приладів, що відмовили.

Відп. 1,8; 0,94.

8. Знайти дисперсію випадкової величини X- числа появи події у 100 незалежних випробуваннях, у кожному з яких ймовірність настання події дорівнює 0,7.

Відп. 21.

9. Дисперсія випадкової величини D(Х) = 6,25. Знайти середнє квадратичне відхилення s( X).

Відп. 2, 5.

10. Випадкова величина задана законом розподілу

Знайти середнє відхилення цієї величини.

Відп. 2, 2.

11. Дсперсія кожної з 9 однаково розподілених взаємно незалежних випадкових величин дорівнює 36. Знайти дисперсію середнього арифметичного цих величин.

Відп. 4.

12. Середнє квадратичне відхилення кожної з 16 однаково розподілених взаємно незалежних випадкових величин дорівнює 10. Знайти середнє відхилення середнього арифметичного цих величин.

Відп. 2,5.

Розділ дев'ятий

ЗАКОН ВЕЛИКИХ ЧИСЕЛ

Попередні зауваження

Як відомо, не можна заздалегідь впевнено передбачити, яке з можливих значень прийме випадкова величина в результаті випробування; це залежить від багатьох випадкових причин, врахувати які неможливо. Здавалося б, оскільки про кожну випадкову величину ми маємо в цьому сенсі дуже скромні відомості, то навряд чи можна встановити закономірності поведінки і суми достатньо великої кількостівипадкових величин. Насправді, це не так. Виявляється, що за деяких порівняно широких умовах сумарна поведінка досить великої кількості випадкових величин майже втрачає випадковий характер і стає закономірною.

Для практики дуже важливе знання умов, і під час яких сукупне дію багатьох випадкових причин призводить до результату, майже залежить від випадку, оскільки дозволяє передбачити перебіг явищ. Ці умови і вказуються в теоремах, які мають загальна назвазакону великих чисел. До них відносяться теореми Чебишева та Бернуллі (є й інші теореми, які тут не розглядаються). Теорема Чебишева є найбільш загальним закономвеликих чисел, теорема Бернуллі-найпростішим. Для підтвердження цих теорем ми користуємося нерівністю Чебишева.

Нерівність Чебишева

Нерівність Чебишева справедлива для дискретних і безперервних випадкових величин. Для простоти обмежимося доказом цієї нерівності для дискретних величин.

Розглянемо дискретну випадкову величину X,задану таблицею розподілу:

Поставимо перед собою завдання оцінити ймовірність того, що відхилення випадкової величини від її математичного очікування не перевищує абсолютної величини позитивного числа e. Якщо e досить мало, ми оцінимо, таким чином, ймовірність того, що Xприйме значення, досить близькі до свого математичного очікування. П. Л. Чебишев довів нерівність, що дозволяє дати цікаву для нас оцінку.

Нерівність Чебишева. Імовірність того, що відхилення випадкової величини X від її математичного очікування по абсолютній величині менше позитивного числа e, не менше ніж 1-D(Х)/e 2 :

Р(|Х-М(Х)|< e ) 1-D(X)/e 2 .

Доведення. Оскільки події, які перебувають у здійсненні нерівностей |Х-М(Х)|і |Х-М(Х)| e,протилежні, то сума їх можливостей дорівнює одиниці, тобто.