3 формули переміщення при рівноприскореному русі. Переміщення при рівноприскореному прямолінійному русі

Прямолінійний рівномірний рух - це такий рух, при якому за однакові проміжки часу тіло проходить однакову відстань.

Рівномірний рух- це рух тіла, у якому його швидкість залишається постійної (), тобто постійно рухається з однією швидкістю, а прискорення чи уповільнення немає ().

Прямолінійний рух– це рух тіла по прямій лінії, тобто траєкторія у нас виходить – пряма.

Швидкість рівномірного прямолінійного руху залежить від часу й у кожній точці траєкторії спрямовано як і переміщення тіла. Тобто вектор швидкості збігається із вектором переміщення. При цьому Середня швидкістьу будь-який проміжок часу дорівнює початковій та миттєвій швидкості:

Швидкість рівномірного прямолінійного руху- це фізична Векторна величина, рівна відношеннюпереміщення тіла за будь-який проміжок часу до значення цього проміжку t:

З цієї формули. ми легко можемо висловити переміщення тілапри рівномірному русі:

Розглянемо залежність швидкості та переміщення від часу

Так як тіло у нас рухається прямолінійно і рівноприскорено (), то графік із залежністю швидкості від часу буде випрасувати, як паралельна пряма осі часу.

В залежності проекції швидкості тіла від часунічого складного немає. Проекція переміщення тіла чисельно дорівнює площі прямокутника АОВС, оскільки величина вектора переміщення дорівнює добутку вектора швидкості тимчасово, протягом якого було здійснено переміщення.

На графіці ми бачимо залежність переміщення від часу.

З графіка видно, що проекція швидкості дорівнює:

Розглянувши цю формулу. ми можемо сказати, чим більше куттим швидше рухається наше тіло і воно проходить більший шляхза менший час

Як, знаючи гальмівний шлях, визначити початкову швидкість автомобіля і як знаючи характеристики руху, такі як початкова швидкість, прискорення, час, визначити переміщення автомобіля? Відповіді ми отримаємо після того, як познайомимося з темою сьогоднішнього уроку: "Переміщення при рівноприскореному русі, залежність координати від часу при рівноприскореному русі"

При рівноприскореному русі графік має вигляд прямої лінії, що йде вгору, оскільки його проекція прискорення більша за нуль.

При рівномірному прямолінійному русіплоща чисельно дорівнюватиме модулю проекції переміщення тіла. Виявляється, цей факт можна узагальнити для випадку не лише рівномірного рухуале для будь-якого руху, тобто показати, що площа під графіком чисельно дорівнює модулю проекції переміщення. Це робиться строго математично, але ми скористаємося графічним способом.

Мал. 2. Графік залежності швидкості від часу при рівноприскореному русі ()

Розіб'ємо графік проекції швидкості від часу для рівноприскореного рухуна невеликі проміжки часу Δt. Припустимо, що вони такі малі, що на їх протязі швидкість практично не змінювалася, тобто графік лінійної залежностіна малюнку ми умовно перетворимо на драбинку. На кожній її сходинці ми вважаємо, що швидкість майже змінилася. Припустимо, що проміжки часу Δt ми зробимо нескінченно малими. У математиці кажуть: робимо граничний перехід. В цьому випадку площа такої драбинки необмежено близько співпадати з площею трапеції, яку обмежує графік V x (t). А це означає, що й для випадку рівноприскореного руху можна сказати, що модуль проекції переміщення чисельно дорівнює площі, обмеженою графіком V x (t): осями абсцис та ординат та перпендикуляром, опущеним на вісь абсцис, тобто площі трапеції ОАВС, яку ми бачимо на малюнку 2.

Завдання з фізичного перетворюється на математичне завдання- Пошук площі трапеції. Це стандартна ситуація, коли вчені фізикистановлять модель, яка описує те чи інше явище, а потім у справу вступає математика, яка збагачує цю модель рівняннями, законами – тим, що перетворює модель на теорію.

Знаходимо площу трапеції: трапеція є прямокутною, оскільки кут між осями - 90 0 , розіб'ємо трапецію на дві фігури - прямокутник та трикутник. Очевидно, що Загальна площадорівнюватиме сумі площ цих фігур (рис. 3). Знайдемо їх площі: площа прямокутника дорівнює добутку сторін, тобто V 0x · t, площа прямокутного трикутникадорівнюватиме половині добутку катетів - 1/2АD·BD, підставивши значення проекцій, отримаємо: 1/2t·(V x - V 0x), а, згадавши закон зміни швидкості від часу при рівноприскореному русі: V x (t) = V 0x + а х t, цілком очевидно, що різницю проекцій швидкостей дорівнює добутку проекції прискорення ах на час t, тобто V x - V 0x = а х t.

Мал. 3. Визначення площі трапеції ( Джерело)

Враховуючи той факт, що площа трапеції чисельно дорівнює модулю проекції переміщення, отримаємо:

S х(t) = V 0 x t + х t 2 /2

Ми з вами отримали закон залежності проекції переміщення від часу при рівноприскореному русі в скалярній формі векторної формивін виглядатиме так:

(t) = t + t 2/2

Виведемо ще одну формулу для проекції переміщення, в яку не входитиме як змінний час. Розв'яжемо систему рівнянь, виключивши з неї час:

S x (t) = V 0 x + а х t 2 /2

V x (t) = V 0 x + а х t

Уявімо, що час нам невідомий, тоді висловимо час із другого рівняння:

t = V x - V 0x / а х

Підставимо отримане значення у перше рівняння:

Отримаємо такий громіздкий вираз, зведемо в квадрат і наведемо такі:

Ми отримали дуже зручний вираз проекції переміщення для випадку, коли нам невідомий час руху.

Нехай у нас початкова швидкість автомобіля, коли почалося гальмування становить V 0 = 72 км/год, кінцева швидкість V = 0, прискорення а = 4 м/с 2 . Дізнаємося довжину гальмівного шляху. Перевівши кілометри в метри і підставивши значення формулу, отримаємо, що гальмівний шлях складе:

S x = 0 - 400(м/с) 2/-2 · 4 м/с 2 = 50 м

Проаналізуємо таку формулу:

S x = (V 0 x + V x) / 2 · t

Проекція переміщення - це напівсума проекцій початкової та кінцевої швидкостей, помножена на час руху. Згадаймо формулу переміщення для середньої швидкості

S x = V ср · t

У разі рівноприскореного руху середня швидкість буде:

V ср = (V 0 + V к) / 2

Ми впритул підійшли до рішення головне завданнямеханіки рівноприскореного руху, тобто одержання закону, за яким змінюється координата з часом:

x(t) = x 0 + V 0 x t + а x t 2 /2

Щоб навчитися користуватися цим законом, розберемо типове завдання.

Автомобіль, рухаючись зі стану спокою, набуває прискорення 2 м/с 2 . Знайти шлях, який пройшов автомобіль за 3 секунди та за третю секунду.

Дано: V 0 x = 0

Запишемо закон, за яким змінюється переміщення з часом при

рівноприскореному русі: S х = V 0 x t + а х t 2/2. 2 c< Δt 2 < 3.

Ми можемо відповісти на перше питання задачі, підставивши дані:

t 1 = 3 c S 1х = а х t 2 /2 = 2 · 3 2 / 2 = 9 (м) - це шлях, який пройшов

c автомобіль за 3 секунди.

Дізнаємося скільки він проїхав за 2 секунди:

S х (2 с) = а х t 2 /2 = 2 · 2 2 / 2 = 4 (м)

Отже, ми з вами знаємо, що за дві секунди автомобіль проїхав 4 метри.

Тепер, знаючи ці дві відстані, ми можемо знайти шлях, який він пройшов за третю секунду:

S 2х = S 1х + S х (2 с) = 9 - 4 = 5 (м)

Коли на дорозі трапляється аварія, фахівці вимірюють гальмівний шлях. Навіщо? Щоб визначити швидкість руху автомобіля на початку гальмування та прискорення при гальмуванні. Все це потрібно для з'ясування причин аварії: чи водій перевищив швидкість, чи були несправні гальма, чи з автомобілем усе гаразд, а винен порушив правила дорожнього рухупішохід. Як, знаючи час гальмування та гальмівний шлях, визначити швидкість та прискорення руху тіла?

Дізнаємося про геометричному сенсіпроекції переміщення

У 7 класі ви дізналися, що для будь-якого руху шлях чисельно дорівнює площі фігури під графіком залежності модуля швидкості руху від часу спостереження. Аналогічна ситуаціята з визначенням проекції переміщення (рис. 29.1).

Отримаємо формулу для обчислення проекції переміщення тіла за інтервал часу від t = 0 до t 2 = t. Розглянемо рівноприскорений прямолінійний рух, при якому початкова швидкість і прискорення мають однаковий напрямок з віссю OX. І тут графік проекції швидкості має вигляд, представлений на рис. 29.2 а проекція переміщення чисельно дорівнює площі трапеції OABC:

На графіку відрізок OA відповідає проекції початкової швидкості v 0 x, відрізок BC - проекції кінцевої швидкості v x , а відрізок OC - інтервалу часу t. Замінивши дані відрізки відповідними фізичними величинамиі враховуючи, що s x = S OABC отримаємо формулу для визначення проекції переміщення:

Формулу (1) застосовують для опису будь-якого рівноприскореного прямолінійного руху.

Визначте переміщення тіла, графік руху якого подано на рис. 29.1, б, за 2 с та за 4 с після початку відліку часу. Поясніть відповідь.

Записуємо рівняння проекції переміщення

Виключимо змінну v x формули (1). Для цього пригадаємо, що за рівноприскореного прямолінійного руху v x = v 0 x + a x t. Підставивши вираз для v x формулу (1), отримаємо:

Таким чином, для рівноприскореного прямолінійного руху отримано рівняння проекції переміщення:

Мал. 29.3. Графік проекції переміщення при рівноприскореному прямолінійному русі - парабола, що проходить через початок координат: якщо a x > 0, гілки параболи спрямовані вгору (а); якщо a x<0, ветви параболы направлены вниз (б)

Мал. 29.4. Вибір осі координат у разі прямолінійного руху

Отже, графік проекції переміщення за рівноприскореного прямолінійного руху — парабола (рис. 29.3), вершина якої відповідає точці розвороту:

Оскільки величини v 0 x і a x не залежить від часу спостереження, залежність s x (ί) є квадратичною. Наприклад, якщо

можна отримати ще одну формулу для обчислення проекції переміщення при рівноприскореному прямолінійному русі:

Формулою (3) зручно користуватися, якщо за умови завдання не йдеться про час руху тіла і не потрібно його визначати.

Виведіть формулу (3) самостійно.

Зверніть увагу: у кожній формулі (1-3) проекції v x , v 0 x та a x можуть бути як позитивними, так і негативними — залежно від того, як направлені вектори v, v 0 та a щодо осі OX.

Записуємо рівняння координати

Одним з основних завдань механіки є визначення положення тіла (координат тіла) у будь-який момент часу. Ми розглядаємо прямолінійний рух, тому достатньо вибрати одну вісь координат (наприклад, вісь OX), яку слід

спрямувати вздовж руху тіла (рис. 29.4). З цього малюнка бачимо, що незалежно від напрямку руху координату х тіла можна визначити за такою формулою:

Мал. 29.5. При рівноприскореному прямолінійному русі графік залежності координати від часу парабола, що перетинає вісь х у точці х 0

де х 0 - Початкова координата (координата тіла в момент початку спостереження); s x – проекція переміщення.

тому для такого руху рівняння координати має вигляд:

Для рівноприскореного прямолінійного руху

Проаналізувавши останнє рівняння, робимо висновок, що залежність х(ί) квадратична, тому графік координати парабола (рис. 29.5).

Вчимося вирішувати завдання

Основні етапи вирішення завдань на рівноприскорений прямолінійний рух розглянемо на прикладах.

Приклад розв'язання задачі

Послідовність

дій

1. Уважно прочитайте умову завдання. Визначте, які тіла беруть участь у русі, який характер руху тіл, які параметри руху відомі.

Завдання 1. Після початку гальмування поїзд пройшов до зупинки 225 м. Якою була швидкість руху поїзда перед гальмуванням? Вважайте, що під час гальмування прискорення поїзда незмінне 0,5 м/с 2 .

На пояснювальному малюнку направимо вісь ОХ у напрямку руху поїзда. Оскільки поїзд зменшує свою швидкість, то

2. Запишіть коротку умову завдання. За необхідності переведіть значення фізичних величин одиниці СІ. 2

Завдання 2. Прямолінійною ділянкою дороги йде пішохід із постійною швидкістю 2 м/с. Його наздоганяє мотоцикл, який збільшує свою швидкість, рухаючись із прискоренням 2 м/с 3 . Через який час мотоцикл обжене пішохода, якщо на момент початку відліку часу відстань між ними була 300 м, а мотоцикл рухався зі швидкістю 22 м/с? Яку відстань проїде мотоцикл за цей час?

1. Уважно прочитайте умову завдання. З'ясуйте характер руху тіл, які параметри руху відомі.

Підбиваємо підсумки

Для рівноприскореного прямолінійного руху тіла: проекція переміщення чисельно дорівнює площі фігури під графіком проекції швидкості руху графіком залежності v x (ί):

3. Виконайте пояснювальний малюнок, на якому покажіть вісь координат, положення тіл, напрями прискорень та швидкостей.

4. Запишіть рівняння координати у загальному вигляді; скориставшись малюнком, конкретизуйте це рівняння кожного тіла.

5. Враховуючи, що в момент зустрічі (обгону) координати тіл однакові, отримайте квадратне рівняння.

6. Розв'яжіть отримане рівняння і знайдіть час зустрічі тел.

7. Обчисліть координату тіл у момент зустрічі.

8. Знайдіть потрібну величину та проаналізуйте результат.

9. Запишіть відповідь.

у цьому полягає геометричний зміст переміщення;

рівняння проекції переміщення має вигляд:

Контрольні питання

1. За допомогою яких формул можна знайти проекцію переміщення s x для рівноприскореного прямолінійного руху? Виведіть ці формули. 2. Доведіть, що графік залежності руху тіла від часу спостереження — парабола. Як спрямовані її гілки? Якому моменту руху відповідає вершина параболи? 3. Запишіть рівняння координати для рівноприскореного прямолінійного руху. Які фізичні величини пов'язує це рівняння?

Вправа №29

1. Лижник, що рухається зі швидкістю 1 м/с, починає спускатися з гори. Визначте довжину спуску, якщо лижник проїхав за 10 с. Вважайте, що прискорення лижника було незмінним і становило 0,5 м/с2.

2. Пасажирський поїзд змінив швидкість від 54 км/год до 5 м/с. Визначте відстань, яку поїзд проїхав під час гальмування, якщо прискорення поїзда було незмінним і становило 1 м/с 2 .

3. Гальма легкового автомобіля справні, якщо при швидкості 8 м/с його гальмівна колія — 7,2 м. Визначте час гальмування та прискорення автомобіля.

4. Рівняння координат двох тіл, що рухаються вздовж осі OX, мають вигляд:

1) Для кожного тіла визначте: а) характер руху; б) початкову координату; в) модуль та напрямок початкової швидкості; г) прискорення.

2) Знайдіть час та координату зустрічі тел.

3) Для кожного тіла запишіть рівняння v x (t) та s x (t), побудуйте графіки проекцій швидкості та переміщення.

5. На рис. 1 представлений графік проекції швидкості руху деякого тіла.

Визначте шлях та переміщення тіла за 4 с від початку відліку часу. Запишіть рівняння координати, якщо на момент часу t = 0 тіло було у точці з координатою -20 м.

6. Два автомобілі почали рух з одного пункту в одному напрямку, причому другий автомобіль виїхав на 20 з згодом. Обидва автомобілі рухаються рівноприскорено із прискоренням 0,4 м/с 2 . Через який інтервал часу після початку руху першого автомобіля відстань між автомобілями буде 240 м?

7. На рис. 2 представлений графік залежності координати тіла від часу його руху.

Запишіть рівняння координати, якщо відомо, що модуль прискорення 1,6 м/с2.

8. Ескалатор у метро піднімається зі швидкістю 2,5 м/с. Чи може людина на ескалаторі перебувати у стані спокою у системі відліку, пов'язаної із Землею? Якщо може, то за яких умов? Чи можна за цих умов рух людини вважати рухом за інерцією? Обґрунтуйте свою відповідь.

Це матеріал підручника

Тепер ми маємо з'ясувати найголовніше - як змінюється координата тіла за його прямолінійному рівноприскореному русі. Для цього, як ми знаємо, потрібно знати переміщення тіла, тому що проекція вектора переміщення якраз і дорівнює зміні координати.

Формулу для обчислення переміщення найпростіше отримати графічним методом.

При рівноприскореному русі тіла вздовж осі X швидкість змінюється згодом згідно з формулою v x = v 0х + a x tТак як час у цю формулу входить у першому ступені, то графік для проекції швидкості в залежності від часу є прямою, як це показано на малюнку 39. Пряма 1 на цьому малюнку відповідає руху з позитивною проекцією прискорення (швидкість зростає), пряма 2 - руху з негативною проекцією прискорення (швидкість зменшується). Обидва графіки належать до випадку, коли в момент часу t =О тіло має деяку початкову швидкість v 0.

Переміщення виражається площею.Виділимо на графіку швидкості рівноприскореного руху (мал. 40) невелику ділянку abі опустимо з крапок аі Ьперпендикуляри на вісь t.Довжина відрізка cdна осі tу вибраному масштабі дорівнює тому малому проміжку часу, за який швидкість змінилася від її значення у точці адо її значення у точці Ь. Під ділянкою abграфіка вийшла вузька смужка abсd.

Якщо проміжок часу, що відповідає відрізку cd,досить малий, то протягом цього часу швидкість не може помітно змінитися - рух протягом цього малого проміжку часу можна вважати рівномірним. Смужка abсdтому мало відрізняється від прямокутника, а її площа чисельно дорівнює проекції переміщення за час, що відповідає відрізку cd(Див. § 7).

Але такі вузькі смужки можна розбити всю площу фігури, розташованої під графіком швидкості. Отже, переміщення за весь час tчисельно дорівнює площі трапеції ОАВС. Площа ж трапеції, як відомо з геометрії, дорівнює добутку напівсуми її підстав на висоту. У нашому випадку довжина однієї з основ чисельно дорівнює v ox , іншого - v x (див. рис. 40). Висота ж трапеції чисельно дорівнює t.Звідси випливає, що проекція s x переміщення виражається формулою

3с 15.09

Якщо проекція v ox початкової швидкості дорівнює нулю (у початковий момент часу тіло спочивало!), то формула (1) набуває вигляду:

Графік швидкості такого руху показаний малюнку 41.

При користуванні формулами (1) і(2) ПОТРІБНО ПАМ'ЯТАТИ, ЩО S x , V oxі v x можуть бути як позитивними», так і негативними - адже це проекції векторів s, v o і v на вісь X.

Отже, бачимо, що з рівноприскореному русі переміщення зростає згодом негаразд, як із рівномірному русі: тепер у формулу входить квадрат часу. Це означає, що переміщення з часом зростає швидше, ніж за рівномірного руху.

Як залежить від часу координати тіла?Тепер легко отримати формулу для обчислення координати х будь-якої миті часу для тіла, що рухається рівноприскорено.

проекція s x вектор переміщення дорівнює зміні координати х-х 0 . Тому можна записати

З формули (3) видно, що, Щоб обчислити координату х у будь-який момент часу t, потрібно знати початкову координату, початкову швидкість і прискорення.

Формула (3) описує прямолінійний рівноприскорений рух, подібно до того, як формула (2) § 6 описує прямолінійний рівномірний рух.

Інша формула для переміщення.Для обчислення переміщення можна одержати й іншу корисну формулу, яку час не входить.

З виразу v x = v 0x + x t.отримаємо вираз для часу

t= (v x - v 0x): a xі підставимо його у формулу для переміщення s x ,наведену вище. Тоді отримуємо:

Ці формули дозволяють знайти переміщення тіла, якщо відомі прискорення, а також початкова та кінцева швидкість руху. Якщо початкова швидкість v o дорівнює нулю, формули (4) набувають вигляду:

Рівноприскореним рухомназивають такий рух, при якому вектор прискорення залишається незмінним за модулем та напрямом. Прикладом такого руху є рух каменя, кинутого під деяким кутом до горизонту (без урахування опору повітря). У будь-якій точці траєкторії прискорення каменю дорівнює прискоренню вільного падіння. Таким чином вивчення рівноприскореного руху зводиться до вивчення прямолінійного рівноприскореного руху. У разі прямолінійного руху вектори швидкості та прискорення спрямовані вздовж прямого руху. Тому швидкість та прискорення у проекціях на напрямок руху можна розглядати як алгебраїчні величини. При рівноприскореному прямолінійному русі швидкість тіла визначається формулою (1)

У цій формулі – швидкість тіла при t = 0 (початкова швидкість ), = const - прискорення. У проекції на обрану вісь х рівняння (1) запишеться у вигляді: (2). На графіку проекції швидкості х ( t) ця залежність має вигляд прямої лінії.

За нахилом графіка швидкості може бути визначено прискорення aтіла. Відповідні побудови виконано на рис. для графіка I Прискорення чисельно дорівнює відношенню сторін трикутника ABC: .

Чим більший кут β, який утворює графік швидкості з віссю часу, тобто чим більший нахил графіка ( крутість), тим більше прискорення тіла.

Для графіка I: ? 0 = -2 м / с, a= 1/2 м/с2. Для графіка II: ? 0 = 3 м/с, a= -1/3 м / с2.

Графік швидкості дозволяє також визначити проекцію переміщення тіла s за деякий час t. Виділимо на осі часу деякий мінімальний проміжок часу Δt. Якщо цей проміжок часу досить малий, то зміна швидкості за цей проміжок невелика, тобто рух протягом цього проміжку часу можна вважати рівномірним з деякою середньою швидкістю, яка дорівнює миттєвій швидкості υ тіла в середині проміжку Δt. Отже, переміщення Δs за час Δt дорівнюватиме Δs = υΔt. Це переміщення дорівнює площі заштрихованої на рис. смужки. Розбивши проміжок часу від 0 до деякого моменту t на малі проміжки Δt можна отримати, що переміщення s за заданий час t при рівноприскореному прямолінійному русі дорівнює площі трапеції ODEF. Відповідні побудови виконано на рис. для графіка ІІ. Час t прийнято рівним 5,5 с.

(3) – отримана формула дозволяє визначити переміщення при рівноприскореному русі, якщо прискорення не відомо.

Якщо підставити в рівняння (3) вираз для швидкості (2), отримуємо (4) – ця формула використовується для запису рівняння руху тіла: (5).

Якщо виразити з рівняння (2) час руху (6) і підставити на рівність (3), то

Ця формула дозволяє визначити переміщення за невідомого часу руху.