Основні побудови за допомогою циркуля лінійки. Побудова за допомогою циркуля та лінійки відрізка рівного твору чи відношенню двох інших – творча робота

Якщо цілком природно, що з припущенням більшого розмаїття інструментів виявляється можливим вирішувати широке безліч завдань на побудову, можна було б передбачити, що, навпаки, при обмеженнях, накладених на інструменти, клас вирішуваних завдань звужуватися. Тим паче чудовим слід вважати відкриття, зроблене італійцем Маскероні (1750-1800):всі геометричні побудови, здійсненні за допомогою циркуля та лінійки, можуть бути виконані за допомогою одного циркуля.Слід, звичайно, зазначити, що провести насправді пряму лінію через дві дані точки без лінійки неможливо, тому ця основна побудова не покривається теорією Маскероні. Натомість доводиться вважати, що пряма задана, якщо задані дві її точки. Але за допомогою одного лише циркуля вдається знайти точку перетину двох прямих, заданих таким чином, або точку перетину прямої з колом.

Ймовірно, найпростішим прикладом побудови Маскероні є подвоєння цього відрізку АВ. Рішення було вже дано на стор. 174-175. Далі, на стор. 175-176 ми навчилися ділити цей відрізок навпіл. Подивимося тепер, як розділити навпіл дугу кола АВ із центром О. Ось опис цієї побудови (рис. 47). Радіусом АТ проводимо дві дуги з центрами A і В. Від точки Про відкладаємо цих дугах дві такі дуги ОР і OQ, що OP = OQ = АВ. Потім знаходимо точку R перетину дуги з центром Р та радіусом РВ та дуги з центром Q та радіусом QA. Нарешті, взявши як радіус відрізок OR, опишемо дугу з центром Р або Q до перетину з дугою AВ - точка перетину і є середньою точкою дуги АВ, що шукається. Доказ надаємо читачеві як вправу.

Було б неможливо довести основне твердження Маскероні, вказуючи для кожної побудови, здійсненої за допомогою циркуля та лінійки, як його можна виконати за допомогою одного циркуля: адже можливих побудов безліч. Але ми досягнемо тієї ж мети, якщо встановимо, що кожну з наступних основних побудов здійснимо за допомогою одного циркуля:

1. Провести коло, якщо задані її центр та радіус.
2. Знайти точки перетину двох кіл.
3. Знайти точки перетину прямої та кола.
4. Знайти точку перетину двох прямих.

Будь-яка геометрична побудова (у звичайному сенсі, з припущенням циркуля та лінійки) складається з виконання кінцевої послідовності цих елементарних побудов. Що перші два з них можна здійснити за допомогою одного циркуля, ясно безпосередньо. Більш важкі побудови 3 та 4 виконуються з використанням властивостей інверсії, розглянутих у попередньому пункті.

Звернемося до побудови 3: знайдемо точки перетину даного колаЗ прямою, що проходить через дані точки А і В. Проведемо дуги з центрами А і В і радіусами, відповідно рівними АТ і ВО, крім точки О, вони перетнуться в точці Р. Потім побудуємо точку Q, зворотну точці Р щодо кола С ( див. побудову, описану на стор. 174). Нарешті, проведемо коло з центром Q і радіусом QO (вона неодмінно перетнеться з С): її точки перетину Х і Х "колом С і будуть шуканими. Для доказу достатньо встановити, що кожна з точок X і X" знаходиться на однакових відстанях від О і P (що стосується точок А і В, то аналогічна їхня властивість відразу випливає з побудови). Справді, досить послатися те обставина, що точка, зворотна точці Q, віддалений від точок X і Х" відстань, рівну радіусу кола З (див. стор. 173). Варто відзначити, що коло, що проходить через точки X, X" і О, є зворотною прямою АВ в інверсії щодо кола С, так як це коло і пряма АВ перетинаються з С в одних і тих самих точках. (При інверсії точки основного кола залишаються нерухомими.) Вказана побудованездійсненно тільки в тому випадку, якщо пряма АВ проходить через центр С. Але тоді точки перетину можуть бути знайдені за допомогою побудови, описаної на стор. точках 1 і 2 .

Метод проведення кола, зворотного прямої," що з'єднує дві дані точки, негайно дає і побудова, вирішальне завдання 4. Нехай прямі дані точками А, В і A", В" (рис. 50) Проведемо довільне коло С і за допомогою зазначеного вище методу побудуємо кола, зворотні прямим АВ і А "В". Ці кола перетинаються в точці О і ще в одній точці Y, Точка X, зворотна точці Y, і є точка перетину, що шукається: як її побудувати - вже було роз'яснено вище. Що X є точка, що шукається, це ясно з того факту, що Y є єдина точка, зворотна точці, що одночасно належить обом прямим АВ і А"В", отже, точка X, зворотна Y, повинна лежати одночасно і на АВ, і на А "В".

Цими двома побудовами закінчується доказ еквівалентності між побудовами Маскероні, при яких дозволяється користуватися лише циркулем, та звичайними геометричними побудовамиз циркулем та лінійкою.

Ми не дбали про витонченість вирішення окремих проблем, нами тут розглянутих, оскільки нашою метою було з'ясувати внутрішній зміст побудов Маскероні. Але як приклад ми ще вкажемо побудову правильного п'ятикутника; точніше кажучи, йдеться про знаходження якихось п'яти точок на колі, які можуть бути вершинами правильного вписаного п'ятикутника.

Нехай Л- довільна точка на колі К. Оскільки сторона правильного вписаного шестикутника дорівнює радіусу кола, то не важко відкласти на К такі точки В, С, D, що АВ = ВС = CD = 60° (рис. 51). Проводимо дуги з центрами А та D радіусом, рівним АС; нехай вони перетинаються в точці X. Тоді, якщо є центр K, дуга з центром А і радіусом ОХ перетне До в точці F, що є серединою дуги ВС (див. стор 178). Потім радіусом, рівним радіусу K, опишемо дуги з центром F, що перетинаються з K у точках G і H. Нехай Y є точка, відстані якої від точок G і Н рівні ОХ і яка відокремлена від X центром О. У такому разі відрізок AY якраз і є стороною шуканого п'ятикутник. Доказ надається читачеві як вправу. Цікаво відзначити, що при побудові використовуються лише три різні радіуси.

У 1928 р. датський математик Єльмслев знайшов у книжковій лавці в Копенгагені екземпляр книги під назвою Euclides Danicus, опублікованій 1672 р. нікому не відомим автором Г. Мором.за титульного листаможна було зробити висновок, що це просто один із варіантів евклідових "Початок", зроблений, можливо, редакторським коментарем. Але на уважному розгляді виявилося, що в ній міститься повне рішенняПроблеми Маскероні, знайдене задовго до Маскероні.

Вправи. Надалі дається опис побудов Мору. Перевірте їхню правильність. Чому можна стверджувати, що вони вирішують проблему Маскероні?

Надихаючись результатами Маскероні, Якоб Штейнер (1796-1863)зробив спробу дослідження побудов, здійсненних за допомогою однієї лише лінійки. Звичайно, одна тільки лінійка не виводить за межі даного числового поля, і тому вона недостатня для виконання всіх геометричних побудов у класичному розумінні. Але тим паче чудові результати, отримані Штейнером при введеному їм обмеженні - користуватися циркулем лише один раз. Він довів, що всі побудови на площині, здійснені за допомогою циркуля та лінійки, можна здійснити за допомогою однієї лінійки за умови, що задане єдине нерухоме коло разом з центром. Ці побудови мають на увазі застосування проективних методіві будуть описані пізніше (див. стор. 228).

* Без кола, і до того ж із центром, обійтися не можна. Наприклад, якщо дано коло, але не вказано його центр, знайти центр за допомогою однієї лінійки неможливо. Ми зараз доведемо це, посилаючись, однак, на факт, який буде встановлений пізніше (див. стор. 252): існує таке перетворення площини самої в себе, що а) задане коло залишається нерухомим, b) будь-яка пряма лінія переходить у пряму, з ) центр нерухомого кола не залишається нерухомим, а зміщується. Саме існування такого перетворення свідчить про неможливість побудувати центр цього кола, користуючись однією лінійкою. Справді, якою б не була процедура побудови, вона зводиться до ряду окремих етапів, які полягають у проведенні прямих ліній та знаходженні їх перетинів один з одним або з цим колом. Уявімо тепер, що вся фігура в цілому - коло, а всі прямі, проведені по лінійці при виконанні побудови центру, перетворені, існування якого ми тут допустили. Тоді ясно, що постать, отримана після перетворення, також задовольняла б усім вимогам побудови; але вказуване цією фігурою побудова призводило б до точки, відмінної від центру цієї кола. Значить, побудова, про яку йде мова, Неможливо.

Муніципальне бюджетне загальноосвітня установа

середня загальноосвітня школа№34 з поглибленим вивченням окремих предметів

МАН, фізико-математична секція

«Геометричні побудови за допомогою циркуля та лінійки»

Виконала: учениця 7 «А» класу

Батищева Вікторія

Керівник: Колтовська В.В.

Воронеж, 2013

3. Побудова кута, що дорівнює даному.

П роведемо довільне коло з центром у вершині А даного кута(Рис.3). Нехай В і С - точки перетину кола зі сторонами кута. Радіусом АВ проведемо коло з центром у точці О- початковій точціданої напівпрямий. Точку перетину цього кола з даною напівпрямою позначимо 1 . Опишемо коло з центром С 1 та Рис.3

радіусом НД. Крапка В 1 перетину побудованих кіл у зазначеній напівплощині лежить на боці шуканого кута.

6. Побудова перпендикулярних до прямих.

Проводимо коло з довільним радіусом r із центром у точці O рис.6. Окружність перетинає пряму в точках A та B.З точок A та B проводимо кола з радіусом AB. Нехай туга С – точка перетину цих кіл. Точки А і В ми отримали на першому кроці при побудові кола з довільним радіусом.

Шукана пряма проходить через точки С та О.

Рис.6

Відомі завдання

1.Завдання Брахмагупт

Побудувати вписаний чотирикутник з чотирьох його сторін. Одне з рішень використовує коло Аполлонія.Розв'яжемо задачу Аполлонія, використовуючи аналогію між триокружником і трикутником. Як ми знаходимо коло, вписане в трикутник: будуємо точку перетину бісектрис, опускаємо з неї перпендикуляри на сторони трикутника, підстави перпендикулярів (точки перетину перпендикуляра зі стороною, на яку він опущений) і дають нам три точки, що лежать на потрібному колі. Проводимо коло через ці три точки – рішення готове. Так само ми вчинимо із завданням Аполлонія.

2. Завдання Аполлонія

Побудувати за допомогою циркуля та лінійки коло, що стосується трьох даних кіл. За легендою, завдання сформульоване Аполлонієм Пергським приблизно 220 р. до н. е. у книзі «Касанія», яка була втрачена, але була відновлена ​​в 1600 Франсуа Вієтом, «Галльським Аполлонієм», як його називали сучасники.

Якщо жодна із заданих кіл не лежить всередині іншої, то це завдання має 8 істотно різних рішень.

Побудова правильних багатокутників.

П

равільний (або рівносторонній ) трикутник - це правильний багатокутникз трьома сторонами перший з правильних багатокутників. всісторони правильного трикутника рівні між собою, а всікути дорівнюють 60°. Щоб побудувати рівносторонній трикутник потрібно розділити коло на 3 рівні частини. Для цього необхідно провести дугу радіусом R цього кола лише з одного кінця діаметра, отримаємо перший і другий поділ. Третій розподіл знаходиться на протилежному кінці діаметра. Поєднавши ці точки, отримаємо рівносторонній трикутник.

Правильний шестикутник можна, можливопобудувати за допомогою циркуля та лінійки. Нижченаведено метод побудовичерез розподіл кола на 6 частин. Використовуємо рівність сторін правильного шестикутника радіусом описаного кола. З протилежних кінців одного з діаметрів кола описуємо дуги радіусом R. Точки перетину цих дуг із заданим колом поділять її на 6 рівних частин. Послідовно з'єднавши знайдені точки, одержують правильний шестикутник.

Побудова правильного п'ятикутника.

П
равильний п'ятикутник може бутипобудований за допомогою циркуля та лінійки, або вписуванням його в задануколо, або побудовою на основі заданої сторони. Цей процес описаний Евклідому його «Початках» близько 300 року до зв. е.

Ось один із методів побудови правильного п'ятикутника в заданому колі:

Побудуйте коло, в яке буде вписано п'ятикутник і позначте його центр якO . (Це зелене коло на схемі праворуч).

Виберіть на колі точкуA , Що буде однією з вершин п'ятикутника. Побудуйте пряму черезO іA .

Побудуйте пряму перпендикулярно до прямоїOA , що проходить через точкуO . Позначте один її перетин з колом, як точкуB .

Побудуйте точкуC посередині міжO іB .

C через точкуA . Позначте її перетин з прямоюOB (всередині первісного кола) як точкуD .

Проведіть коло з центром уA через точку D, перетин цього кола з оригінальним (зеленим колом) позначте як точкиE іF .

Проведіть коло з центром уE через точкуA G .

Проведіть коло з центром уF через точкуA . Позначте її інший перетин з початковим колом як точкуH .

Побудуйте правильний п'ятикутникAEGHF .

Нерозв'язні завдання

Наступні три завдання на побудову було поставлено ще в античності:

Трисекція кута - Розбити довільний кутна три рівні частини.

Інакше кажучи, необхідно побудувати трисектриси кута – промені, що ділять кут на три рівні частини. П. Л. Ванцель довів у 1837 році, що завдання можна розв'язати тільки тоді, коли, наприклад, трисекція здійсненна для кутів α = 360°/n за умови, що ціле число n не ділиться на 3. Тим не менш, у пресі час від часу публікуються (невірні) способи здійснення трисекції кута циркулем та лінійкою.

Подвоєння куба - класична антична задача на побудову циркулем і лінійкою ребра куба, об'єм якого вдвічі більший за об'єм заданого куба.

У сучасних позначеннях завдання зводиться до вирішення рівняння. Все зводиться до проблеми побудови відрізка завдовжки. П. Ванцель довів у 1837 році, що це завдання не може бути вирішене за допомогою циркуля та лінійки.

Квадратура кола - Завдання, що полягає в знаходженні побудови за допомогою циркуля і лінійки квадрата, рівновеликого за площею даному колу.

Як відомо, за допомогою циркуля та лінійки можна виконати всі 4 арифметичні діїта вилучення квадратного кореня; звідси випливає, що квадратура кола можлива в тому і лише в тому випадку, якщо за допомогою кінцевого числатаких дій можна збудувати відрізок довжини π. Таким чином, нерозв'язність цього завдання випливає з неалгебраїчності (трансцендентності) числа π, яка була доведена в 1882 Ліндеманом.

Інша відома нерозв'язна за допомогою циркуля та лінійки завдання -побудова трикутника за трьома заданими довжинами бісектрис .

Причому це завдання залишається нерозв'язним навіть за наявності трисектора.

Лише у ХІХ столітті було доведено, що це три завдання нерозв'язні під час використання лише циркуля і лінійки. Питання можливості побудови повністю вирішене алгебраїчними методами, заснований на теорії Галуа.

А ЧИ ЗНАЄТЕ ВИ, ЩО...

(З історії геометричних побудов)

Колись у побудову правильних багатокутників вкладали містичний зміст.

Так, піфагорійці, послідовники релігійно-філософського вчення, заснованого Піфагором, і жили в стародавньої Греції (V I-I Vст. до зв. е.), прийняли як знак свого союзу зірчастий багатокутник, утворений діагоналямиправильного п'ятикутника.

Правила суворої геометричної побудови деяких правильних багатокутників викладені у книзі «Початки» давньогрецького математикаЕвкліда, який жив уIIIв. до н.е. Для виконання цих побудов Евклід пропонував користуватися лише лінійкою та циркулем, який на той час був без шарнірного пристрою з'єднання ніжок (таке обмеження в інструментах було непорушною вимогою античної математики).

Правильні багатокутники знайшли широке застосуваннята в античній астрономії. Якщо Евкліда побудова цих постатей цікавило з погляду математики, то давньогрецького астронома Клавдія Птолемея (близько 90 - 160 р. зв. е.) воно виявилося необхідним як допоміжний засібпід час вирішення астрономічних завдань. Так, у 1-й книзі «Альмагести» весь десятий розділ присвячений побудові правильних п'яти-і десятикутників.

Однак крім чисто наукових праць, Побудова правильних багатокутників було невід'ємною частиною книг для будівельників, ремісників, художників. Вміння зображати ці постаті здавна було потрібне і в архітектурі, і в ювелірній справі, і в образотворчому мистецтві.

У «Десяти книгах про архітектуру» римського архітектора Вітрувія (жив приблизно в 63 -14 рр. до н. е.) говориться, що міські стіни повинні мати в плані вигляд правильного багатокутника, а вежі фортеці «слід робити круглими або багатокутними, бо чотирикутник швидше руйнується облоговими знаряддями».

Планування міст дуже цікавило Вітрувія, який вважав, що потрібно спланувати вулиці так, щоб уздовж них не дмухали основні вітри. Передбачалося, що таких вітрів вісім і що вони дмуть у певних напрямках.

В епоху Відродження побудова правильних багатокутників, і зокрема п'ятикутника, була не простою математичну гру, а було необхідною передумовою для побудови фортець.

Правильний шестикутник став предметом спеціального дослідження великого німецького астронома та математика Йоганна Кеплера (1571-1630), про який він розповідає у своїй книзі «Новорічний подарунок, або про шестикутних сніжинках». Міркував про причини того, чому сніжинки мають шестикутну форму, він зазначає, зокрема, таке: «...площину можна покрити без зазорів лише такими фігурами: рівносторонніми трикутниками, квадратами та правильними шестикутниками. Серед цих фігур правильний шестикутник покриває найбільшу площу»

0днім із найвідоміших учених, які займалися геометричними побудовами, був великий німецький художник і математик Альбрехт Дюрер (1471 -1528), який присвятив їм значну частинусвоєї книги «Керівництва...». Він запропонував правила побудови правильних багатокутників із 3. 4, 5... 16-ма сторонами. Методи поділу кола, запропоновані Дюрером, не універсальні, у кожному даному випадку використовується індивідуальний прийом.

Дюрер застосовував методи побудови правильних багатокутників у художній практиці, наприклад, під час створення різного родуорнаменти та візерунки для паркету. Малюнки таких візерунків були зроблені ним під час поїздки до Нідерландів, де паркетні підлоги зустрічалися у багатьох будинках.

Дюрер складав орнаменти з правильних багатокутників, які з'єднані в кільця (кільця із шести рівносторонніх трикутників, чотирьох чотирикутників, трьох або шести шестикутників, чотирнадцяти семикутників, чотирьох восьмикутників).

Висновок

Отже,геометричні побудови - це спосіб розв'язання задачі, при якому відповідь одержують графічним шляхом. Побудови виконують креслярськими інструментами за максимальної точності та акуратності роботи, оскільки від цього залежить правильність рішення.

Завдяки цій роботі я познайомилася з історією виникнення циркуля, докладніше познайомилася з правилами виконання геометричних побудов, здобула нові знання та застосувала їх на практиці.
Розв'язання задач на побудову циркулем та лінійкою – корисне проведення часу, що дозволяє по-новому подивитися на відомі властивості геометричних фігур та їх елементів.У цій роботі розглянуто найбільш актуальні завдання, пов'язані з геометричними побудовами за допомогою циркуля та лінійки. Розглянуто основні завдання та надано їх вирішення. Наведені завдання мають значний практичний інтерес, закріплюють отримані знання з геометрії та можуть використовуватись для практичних робіт.
Таким чином, мети роботи досягнуто, поставлені завдання виконані.

Отже, я пропоную зробити для побудови кута 30 градусів за допомогою циркуля та лінійки наступним чином:

1) Спочатку нам необхідно побудувати рівносторонній трикутник, а саме він буде CFD

Перед цим ми циркулюємо будуємо два кола однакового діаметра, друге коло будується з точки В.

2) Тепер, CD ділиться навпіл відрізком FО.

3) Значить кут CFD у нас виходить рівним 60 градусам

4) А відповідно до цього наші кути CFO і DFO дорівнюватимуть 30 градусам

Наш кут збудований.

Дуже часто на уроках геометрії у нас дається завдання – намалювати кут 30 градусів за допомогою циркуля та лінійки. Зробити це можна кількома способами. Розглянемо один із них.

За допомогою лінійки малюємо відрізок АВ.











При видаленні допомогли нам у будівництві кута ліній, виходить довгоочікуваний кут 30 градусів.



Рисуємо коло будь-якого радіусу. Потім вибираємо точку на колі та проводимо ще коло такого ж радіусу.



позначимо точки. де перетинаються два кола як C і D.



Тепер з'єднуємо точки за допомогою прямої.



Тепер побудуємо рівносторонній трикутник, у якого всі кути дорівнюватимуть 60 градусів.



Тепер ділимо цей кут навпіл, і у нас виходить кут 30 градусів.



Побудує кут тридцять градусів, можна наступним способом.



Інструкція проста:

1) Спочатку малюєте коло будь-якого діаметра;

2) Малюєте ще одне коло, точно такого ж діаметра, а сторона другого кола повинна проходити через центр першого кола.

3) Будуйте трикутник FCD, як показано на малюнку вгорі.

4) І тепер у вас є два кути по тридцять градусів, це CFO та DFO.

Як ви бачите, це досить простий спосіб побудови кута в тридцять градусів використовуючи тільки лінійку і циркуль. Навчитися так будувати кути може будь-яка людина, причому їй не доведеться дуже довго мучитися, тому що все просто. Хай щастить.

Побудувати кут в 30 градусів можна досить швидко, використовуючи, згідно з умовою, циркуль та лінійку.



Для початку малюємо дві перпендикулярні прямі а та b, які перетинаються у точці А.

Зазначаємо у будь-якому місці на прямій b точку B.

Будуємо коло, де В центр, а 2АВ радіус.

Про точку перетину побудованого кола з прямою a.

Кут ВОА якраз і складатиме тридцять градусів.

Що кут в 30 градусів, що в 60 градусів будується в прямокутному трикутникуз кутами 30 та 60 градусів.

1) Починаємо з кола: з т.О проведемо коло довільного радіусу ОА = ОВ.

3) З'єднавши точки А, С, В, отримаємо шуканий трикутник АВСз кутами: lt; CAB = 60 грн. , lt; CBA = 30 грн.

Дана побудова заснована на властивості катета АС, що дорівнює половині гіпотенузи АВ, що лежить проти кута lt; CBA = 30 градусів відповідно другий кут lt; САВ = 60 гр. Метод побудови також простий.

• 1. Рисуємо два кола, що перетинаються.
  2. Через центри кіл проводимо пряму лінію.
  3. Зазначаємо крапки - вершини нашого рівностороннього трикутника: точка перетину прямої, що з'єднує центри кіл, з одним з кіл; дві точки перетину кіл.
  4. У рівностороннього трикутника кути, як відомо, дорівнюють 60 градусів.
  5. Рівно половину від 60 градусів отримаємо, якщо візьмемо кут, розташований на прямій, що з'єднує центри кіл: вона якраз і ділить кут-вершину трикутника рівно навпіл.

Для побудови кута в 30 градусів за допомогою лінійки та циркуля пропоную скористатися таким варіантом: спочатку креслимо ромб, а потім – його діагоналі. Використовуючи властивості ромба можна стверджувати, що кут ромба буде 30 градусів. Отже:

1. Рисуємо лінію PQ
2. Ставимо циркуль у точку Р, розсуваємо циркуль на довільну ширину (наприклад, до середини нашої лінії) і креслимо частину кола. Точку, де вона перетинається з лінією, назвемо S.
3. Ставимо циркуль у точку S і креслимо ще раз частину кола, щоб він перетнувся з попереднього. Повинно вийти так:



1. Точку, де перетнулися дві частини кола назвемо Т.
2. Циркулем з точки Т проводимо ще одну частину кола, одержали точку R.
3. З'єднуємо лінійкою точки Р - R, S-R, R-T, T-P, T-S, отримуємо ромб і, зважаючи на властивості ромба, отримуємо кут 30 градусів.





30 градусів - це половина від 60. Розподіл кута навпіл знаєте? Ну ось. А 60 градусів будується на один раз. Позначте точку та проведіть коло з центром у цій точці. Потім, не змінюючи розчин циркуля, проведіть ще таке ж коло, але з центром на першому колі. Ось кут між радіусом, проведеним в новий центр, і точкою перетину двох кіл буде точно 60 градусів.

На мій погляд, самий швидкий спосібпобудувати кут 30 градусів за допомогою лінійки та циркуля полягає в наступному:

проводимо горизонтальну лінію, ставимо її у довільній точці циркуль і проводимо окружність. У точці, де коло перетнуло лінію (наприклад праворуч) знову ставимо циркуль і проводимо ще одну таку ж коло. Проводимо лінію через центр першого кола та точку перетину кіл (червона лінія) та проводимо лінію через точки перетину кіл (зелена лінія). Гострий кутміж червоною та зеленою лініями дорівнює 30 градусам.



Щоб побудувати потрібний нам кут, знадобилося лише п'ять рухів.

У завданнях на побудову розглядатимемо побудову геометричної фігури, яке можна виконати за допомогою лінійки та циркуля.

За допомогою лінійки можна провести:

довільну пряму;

довільну пряму, яка проходить через цю точку;

пряму через дві дані точки.

За допомогою циркуля можна описати з даного центру коло даного радіусу.

Циркулем можна відкласти відрізок на цій прямій від цієї точки.

Розглянемо основні завдання побудова.

Завдання 1.Побудувати трикутник із даними сторонами а, b, з (рис.1).

Рішення. За допомогою лінійки проведемо довільну пряму і візьмемо на ній довільну точку В. Розчином циркуля, рівним а, описуємо коло з центром і радіусом а. Нехай С - точка її перетину з прямою. Розчином циркуля, рівним с, описуємо коло з центру, а розчином циркуля, рівним b - коло з центру С. Нехай А - точка перетину цих кіл. Трикутник ABCмає сторони, рівні a, b, c.

Зауваження. Щоб три відрізки прямої могли служити сторонами трикутника, необхідно, щоб більший був менше сумидвох інших (а< b + с).

Завдання 2.

Рішення. Даний кут з вершиною А та промінь ОМ зображені на малюнку 2.

Проведемо довільне коло з центром у вершині А даного кута. Нехай У і З - точки перетину кола зі сторонами кута (рис.3, а). Радіусом АВ проведемо коло з центром у точці О - початковій точці даного променя (рис.3, б). Точку перетину цього кола з цим променем позначимо 1 . Опишемо коло з центром 1 і радіусом ВС. Точка В 1 перетину двох кіл лежить на стороні шуканого кута. Це випливає з рівності ΔABC = Δ ОВ 1 С 1 (третя ознака рівності трикутників).

Завдання 3.Побудувати бісектрису даного кута (рис.4).

Рішення. З вершини А даного кута, як із центру, проводимо коло довільного радіусу. Нехай В і С – точки її перетину зі сторонами кута. З точок У і З тим самим радіусом описуємо кола. Нехай D - точка їх перетину, відмінна від А. Промінь AD ділить кут А навпіл. Це випливає з рівності ABD = ACD (третя ознака рівності трикутників).

Завдання 4.Провести серединний перпендикуляр до даного відрізка (рис.5).

Рішення. Довільним, але однаковим розчином циркуля (великим 1/2 АВ) описуємо дві дуги з центрами в точках А та В, які перетнуться між собою в деяких точках С та D. Пряма CD буде шуканим перпендикуляром. Дійсно, як видно з побудови, кожна з точок С та D однаково віддалена від А і В; отже, ці точки повинні лежати на серединному перпендикулярідо відрізка АВ.

Завдання 5.Розділити цей відрізок навпіл. Вирішується як і, як і завдання 4 (див. рис.5).

Завдання 6.Через дану точку провести пряму, перпендикулярну до цієї прямої.

Рішення. Можливі два випадки:

1) дана точкаПро лежить на цій прямій а (рис. 6).

З точки Про проводимо довільним радіусом коло, що перетинає пряму а в точках А і В. З точок А і тим самим радіусом проводимо кола. Нехай О 1 - точка їх перетину, відмінна від О. Отримуємо ГО 1 ⊥ AB. Насправді, точки О і О 1 рівновіддалені від кінців відрізка АВ і, отже, лежать на серединному перпендикулярі до цього відрізка.

Енциклопедичний YouTube

1 / 5

Побудови циркулем та лінійкою, частина 1.

1 Найпростіші побудови циркулем та лінійкою

Science show. Випуск 19. Циркуль та лінійка

Геометрія - Побудова правильного трикутника

Геометрія - Побудова восьмикутника

Субтитри

Приклади

Завдання на бісекцію. За допомогою циркуля та лінійки розбити цей відрізок ABна дві рівні частини. Одне з рішень показано малюнку:

• Циркулем проводимо кола з центром у точках Aі Bрадіусом AB.
• Знаходимо точки перетину Pі Qдвох побудованих кіл (дуг).
• По лінійці проводимо відрізок або лінію, що проходить через крапки Pі Q.
• Знаходимо шукану середину відрізка AB- точку перетину ABі PQ.

Формальне визначення

У завдання на побудову розглядаються безліч наступних об'єктів: всі точки площини, всі прямі площини і всі кола площини. У разі завдання спочатку задається (вважається побудованими) кілька об'єктів. До багатьох побудованих об'єктів дозволяється додавати (будувати):

1. довільну точку;
2. довільну точку на заданій прямій;
3. довільну точку на заданому колі;
4. точку перетину двох заданих прямих;
5. точки перетину/торкання заданого прямого та заданого кола;
6. точки перетину/торкання двох заданих кіл;
7. довільну пряму, що проходить через задану точку
8. пряму, яка проходить через дві задані точки;
9. довільне коло з центром в заданій точці
10. довільне коло з радіусом, рівною відстаніміж двома заданими точками.
11. коло з центром у заданій точці та з радіусом, рівним відстані між двома заданими точками.

Потрібно за допомогою кінцевої кількостіцих операцій побудувати інше безліч об'єктів, що знаходиться в заданому співвідношенні з вихідною множиною.

Розв'язання задачі на побудову містить у собі три суттєві частини:

1. Опис способу побудови заданої множини.
2. Доказ того, що множина, побудована описаним способом, дійсно знаходиться у заданому співвідношенні з вихідною множиною. Зазвичай доказ побудови провадиться як звичайний доказ теореми, що спирається на аксіоми та інші доведені теореми.
3. Аналіз описаного способу побудови щодо його застосування до різним варіантам початкових умов, і навіть щодо єдиності чи неєдиності рішення, одержуваного описаним способом.

Відомі завдання

Інша відома і нерозв'язна за допомогою циркуля та лінійки завдання - побудова трикутника за трьома заданими довжинами бісектрис. Цікаво, що це завдання залишається нерозв'язним навіть за наявності інструмента, що виконує трисекцію кута .

Допустимі відрізки для побудови за допомогою циркуля та лінійки

За допомогою цих інструментів можлива побудова відрізка, який за довжиною:

Для побудови відрізка з довжиною чисельно рівною добутку, приватному та квадратному кореню із довжин заданих відрізків необхідне завдання на площині побудови одиничного відрізка(тобто відрізка довжини 1). Вилучення коренів з відрізків з іншими натуральними ступенями, які не є ступенем числа 2, неможливі за допомогою циркуля та лінійки. Так, наприклад, неможливо за допомогою циркуля та лінійки з одиничного відрізка побудувати відрізок завдовжки. З цього факту, зокрема, випливає нерозв'язність завдання про подвоєння куба.

Можливі та неможливі побудови

З формальної точки зору, розв'язання будь-якого завдання на побудову зводиться до графічного рішення деякого рівняння алгебри , причому коефіцієнти цього рівняння пов'язані з довжинами заданих відрізків. Тому можна сказати, що завдання на побудову зводиться до пошуку дійсних коренівдеякого рівняння алгебри.

Тому зручно говорити про побудову числа - графічного рішеннярівняння певного типу.

З можливих побудов відрізків можливі такі побудови:

• Побудова рішень лінійних рівнянь.
• Побудова розв'язків рівнянь, що зводяться до розв'язків квадратних рівнянь.

Інакше висловлюючись, можна будувати лише відрізки, рівні арифметичним виразам з допомогою квадратного кореня з вихідних чисел (заданих довжин відрізків).

Важливо, що рішення має виражатися за допомогою квадратнихкоренів, а не радикалів довільного ступеня. Навіть якщо алгебраїчне рівняннямає рішення в радикалах, то з цього не випливає можливість побудови циркулем і лінійкою відрізка, що дорівнює його рішенню. Найпростіше таке рівняння: x 3 − 2 = 0 , (\displaystyle x^(3)-2=0,)пов'язане зі знаменитим завданнямна подвоєння куба, що зводиться до цього кубічного рівняння. Як було сказано вище, вирішення цього рівняння ( 2 3 (\displaystyle (\sqrt[(3)](2)))) неможливо побудувати циркулем та лінійкою.

Можливість побудувати правильний 17-кутник випливає з виразу для косинуса центрального кутайого сторони:

Варіації та узагальнення

• Побудови з допомогою одного циркуля.За теореме Мора - Маскероні за допомогою одного циркуля можна побудувати будь-яку фігуру, яку можна побудувати циркулем та лінійкою. У цьому пряма вважається побудованою, якщо у ній задані дві точки.
• Побудови з допомогою однієї лінійки.Очевидно, що за допомогою однієї лінійки можна проводити лише проектно-інваріантні побудови. Зокрема,
  • неможливо навіть розбити відрізок на дві рівні частини,
  • також неможливо знайти центр цього кола.

• за наявності на площині заздалегідь проведеного кола з зазначеним центром з однією лінійкою можна провести ті ж побудови, що і циркулем і лінійкою (