Розподіл пуассона використовується. Розподіл Пуассона

Коротка теорія

Нехай проводиться незалежні випробування, у кожному з яких ймовірність появи події дорівнює . Для визначення ймовірності появи події у цих випробуваннях використовують формулу Бернуллі. Якщо ж велике, то користуються або . Однак, ця формула непридатна, якщо мала. У цих випадках (велике, мало) вдаються до асимптотичної формулі Пуассона.

Поставимо перед собою завдання знайти ймовірність того, що за дуже великому числівипробувань, у кожному з яких ймовірність події дуже мала, подія настане рівно разів. Зробимо важливе припущення: твір зберігає постійне значення, саме . Це означає, що середня кількість появи події у різних серіях випробувань, тобто. при різних значеннях залишається незмінним.

Приклад розв'язання задачі

Завдання 1

На базі отримано 10 000 електроламп. Імовірність того, що в дорозі лампа розіб'ється, дорівнює 0,0003. Знайдіть ймовірність того, що серед отриманих ламп буде п'ять ламп розбито.

Рішення

Умова застосування формули Пуассона:

Якщо ймовірність появи події в окремому випробуванні досить близька до нуля, то навіть при великих значеннях кількості випробувань ймовірність, що обчислюється локальною теореми Лапласа, виявляється недостатньо точною. У таких випадках використовують формулу, виведену Пуассоном.

Нехай подія – 5 ламп буде розбито

Скористаємося формулою Пуассона:

У нашому випадку:

Відповідь

Завдання 2

На підприємстві 1000 одиниць обладнання певного виду. Імовірність відмови одиниці обладнання протягом години становить 0,001. Скласти закон розподілу кількості відмов обладнання протягом години. Визначити числові показники.

Рішення

Випадкова величина – кількість відмов обладнання може приймати значення

Скористаємося законом Пуассона:

Знайдемо ці ймовірності:

Математичне очікування та дисперсія випадкової величини, розподіленої за законом Пуассона дорівнює параметру цього розподілу:

Середнявартість рішення контрольної роботи 700 - 1200 рублів (але не менше 300 руб. за все замовлення). На ціну сильно впливає терміновість рішення (від доби до кількох годин). Вартість онлайн-допомоги на іспиті/заліку – від 1000 руб. за рішення квитка.

Заявку можна залишити прямо в чаті, попередньо скинувши умову завдань та повідомивши необхідні вам терміни вирішення. Час відповіді – кілька хвилин.

Як відразу почали надходити запити: Де Пуассон? Де завдання на формулу Пуассона? і т.п. І тому я почну з приватного застосуваннярозподілу Пуассона - через велику популярність матеріалу.

Завдання до болю ейфорії знайоме:

І такі два завдання принципово відрізняються від попередніх:

Приклад 4

Випадкова величина підпорядкована закону Пуассона з математичним очікуванням. Знайти ймовірність того, що ця випадкова величина набуде значення, меншого, ніж її математичне очікування.

Відмінність полягає в тому, що тут йде САМЕ про розподіл Пуассона.

Рішення: випадкова величина набуває значення з ймовірностями:

За умовою, і тут все просто: подія полягає в трьох несумісних наслідків:

Імовірність того, що випадкова величина набуде значення, меншого, ніж її математичне очікування.

Відповідь:

Аналогічне завдання розуміння:

Приклад 5

Випадкова величина підпорядкована закону Пуассона з математичним очікуванням. Знайти ймовірність того, що ця випадкова величина прийме позитивне значення.

Рішення та відповідь наприкінці уроку.

Крім наближеннябіномного розподілу(Приклади 1-3), розподіл Пуассон знайшов широке застосуванняв теорії масового обслуговування для імовірнісної характеристики найпростішогопотоку подій. Постараюся бути лаконічним:

Нехай до певної системи надходять заявки (телефонні дзвінки, клієнти, що приходять і т.д.). Потік заявок називають найпростішимякщо він задовольняє умовам стаціонарності, відсутності наслідківі ординарності. Стаціонарність має на увазі те, що інтенсивність заявок постійнаі не залежить від часу доби, дня тижня чи інших тимчасових рамок. Іншими словами, не буває «години пік» і не буває «мертвого годинника». Відсутність наслідків означає, що можливість появи нових заявок залежить від «передісторії», тобто. немає такого, що «одна бабця розповіла» та інші «набігли» (або навпаки, розбіглися). І, нарешті, властивість ординарності характеризується тим, що за досить малийпроміжок часу практично неможливо поява двох або великої кількостізаявок. «Дві старенькі у двері?» - Ні, звільніть.

Отже, нехай до певної системи надходить найпростіший потік заявок із середньою інтенсивністюзаявок на хвилину (у годину, на день або у довільний проміжок часу). Тоді ймовірність того, що за цей проміжок часу, В систему надійде рівно заявок, дорівнює:

Приклад 6

Дзвінки в диспетчерську таксі є найпростішим пуассонівським потоком із середньою інтенсивністю 30 викликів на годину. Знайти ймовірність того, що: а) за 1 хв. надійде 2-3 виклики; б) протягом п'яти хвилин буде хоча б один дзвінок.

Рішення: використовуємо формулу Пуассона:

а) Враховуючи стаціонарність потоку, обчислимо середню кількість дзвінків за 1 хвилину:
дзвінка – в середньому за одну хвилину.

За теоремою складання ймовірностей несумісних подій:
- Імовірність того, що за 1 хвилину в диспетчерську надійде 2-3 виклики.

б) Обчислимо середню кількість викликів за п'ять хвилин:

Знову нагадаємо ситуацію, яку було названо схемою Бернуллі: проводиться n незалежних випробувань, у кожному з яких певна подія Аможе з'явитися з однією і тією ж ймовірністю р. Тоді для визначення ймовірності того, що в цих nвипробуваннях подія Аз'явиться рівно kраз (така ймовірність позначалася P n (k) ) може бути точно обчислена за формулою Бернуллі , де q=1− p. Однак при великій кількості випробувань nрозрахунки за формулою Бернуллі стають дуже незручними, оскільки призводять до дій із дуже великими числами. Тому (якщо пам'ятаєте − це колись відбувалося щодо схеми і формули Бернуллі щодо першої частини теорії ймовірностей «Випадкові події») при великих nпропонувалися значно зручніші (хоча і наближені) формули, які виявлялися тим точніше, що більше n(Формула Пуассона, локальна та інтегральна формула Муавра-Лапласа). Якщо у схемі Бернуллі кількість дослідів nвелике, а ймовірність рпояви події Ау кожному випробуванні мала, то добре наближення дає згадана формула Пуассона
, де параметр а =n∙ p. Ця формула призводить до розподілу Пуассона. Дамо точні визначення

Дискретна випадкова величина Хмає розподіл Пуассона, якщо вона набуває значення 0, 1, 2, ... з ймовірностями р 0 , р 1 , ... , які обчислюються за формулою

а число ає параметром розподілу Пуассона. Звертаємо увагу, що можливі значення с.в. Хнескінченно багато − це всі цілі негативні числа. Таким чином, д.с. Хіз розподілом Пуассона має наступний закон розподілу:

При обчисленні математичного очікування (за їх визначенням для д.с.в. з відомим законом розподілу) доведеться тепер вважати не кінцеві суми, а суми відповідних нескінченних рядів (оскільки таблиця закону розподілу має нескінченно багато стовпців). Якщо ж порахувати суми цих рядів, то виявиться, що і математичне очікування, і дисперсія випадкової величини Хз розподілом Пуассона збігається з параметром ацього розподілу:

,
.

Знайдемо моду d(X) розподіленої за Пуассоном випадкової величини Х. Застосуємо той самий прийом, що був використаний для обчислення моди біномно розподіленої випадкової величини. За визначенням моди d(X)= kякщо ймовірність
найбільша серед усіх ймовірностей р 0 , р 1 , ... . Знайдемо таке число k (Це ціле невід'ємне число). При такому kймовірність p kмає бути не менше сусідніх з нею ймовірностей: p k −1 ≤ p k ≤ p k +1 . Підставивши замість кожної ймовірності відповідну формулу, отримаємо, що число kмає задовольняти подвійну нерівність:

.

Якщо розписати формули для факторіалів і провести прості перетворення, можна отримати, що ліва нерівністьдає k≤ а, а праве k≥ а −1. Таким чином, число kзадовольняє подвійну нерівність а −1 ≤k≤ а, тобто. належить відрізку [ а −1, а]. Оскільки довжина цього відрізка, очевидно, дорівнює 1 , то нього може потрапити або одне, або 2 цілих числа. Якщо число аціле, то у відрізку [ а −1, а] Є 2 цілих числа, що лежать на кінцях відрізка. Якщо ж число ане ціле, то цьому відрізку є лише одне ціле число.

Таким чином, якщо число аціле, то мода розподіленої за Пуассоном випадкової величини Хнабуває 2 сусідніх значень: d(X)=а−1і d(X)=а. Якщо ж число ане ціле, то мода має одне значення d(X)= k, де k є єдине ціле число, що задовольняє нерівність а −1 ≤k≤ а, тобто. d(X)= [а] .

приклад. Завод надіслав на базу 5000 виробів. Імовірність того, що в дорозі виріб пошкодиться, дорівнює 0.0002. Якою є ймовірність, що пошкодиться 18 виробів? Яким є середнє значення пошкоджених виробів? Якою є найбільш ймовірна кількість пошкоджених виробів і яка його ймовірність?

Багато завдань практики доводиться мати справу з випадковими величинами, розподіленими за своєрідним законом, який називається законом Пуассона.

Розглянемо перервну випадкову величину, яка може набувати лише цілі, невід'ємні значення:

причому послідовність цих значень теоретично не обмежена.

Кажуть, що випадкову величину розподілено за законом Пуассона, якщо ймовірність того, що вона прийме певне значення, виражається формулою

де а – деяка позитивна величина, яка називається параметром закону Пуассона.

Ряд розподілу випадкової величини, розподіленої за законом Пуассона, має вигляд:

Переконаємося, передусім, що послідовність ймовірностей, що задається формулою (5.9.1), може бути ряд розподілу, тобто. що сума всіх ймовірностей дорівнює одиниці. Маємо:

.

На рис. 5.9.1 показано багатокутники розподілу випадкової величини , розподіленої за законом Пуассона, відповідні різним значеннямпараметра. У таблиці 8 додатка наведено значення для різних.

Визначимо основні характеристики – математичне очікування та дисперсію – випадкової величини, розподіленої згідно із законом Пуассона. За визначенням математичного очікування

.

Перший член суми (відповідний) дорівнює нулю, Отже, підсумовування можна почати з :

Позначимо; тоді

. (5.9.2)

Таким чином, параметр є не що інше, як математичне очікування випадкової величини .

Для визначення дисперсії знайдемо спочатку другий початковий моментвеличини:

За раніше доведеним

Крім того,

Таким чином, дисперсія випадкової величини, розподіленої за законом Пуассона, дорівнює її математичному очікуванню.

Ця властивість розподілу Пуассона часто застосовується на практиці для вирішення питання, чи є правдоподібною гіпотеза про те, що випадкова величина розподілена за законом Пуассона. І тому визначають з досвіду статистичні характеристики – математичне очікування і дисперсію – випадкової величини. Якщо їх значення близькі, це може бути доказом на користь гіпотези про пуассонівському розподілі; різка відмінність цих показників, навпаки, свідчить проти гіпотези.

Визначимо для випадкової величини , розподіленої за законом Пуассона, ймовірність того, що вона набуде значення не менше заданого . Позначимо цю ймовірність:

Очевидно, ймовірність може бути обчислена як сума

Однак значно простіше визначити її з ймовірності протилежної події:

(5.9.4)

Зокрема, ймовірність того, що величина набуде позитивного значення, виражається формулою

(5.9.5)

Ми вже згадували, що багато завдань практики призводять до розподілу Пуассона. Розглянемо одне з типових завдань такого роду.

Нехай на осі абсцис Ох випадково розподіляються точки (рис. 5.9.2). Припустимо, що випадковий розподілточок задовольняє наступним умовам:

1. Імовірність влучення того чи іншого числа точок на відрізок залежить тільки від довжини цього відрізка, але не залежить від його положення на осі абсцис. Іншими словами, точки розподіляються на осі абсцис з однаковою середньою густиною. Позначимо цю густину (тобто математичне очікування числа точок, що припадають на одиницю довжини) через .

2. Крапки розподіляються на осі абсцис незалежно друг від друга, тобто. ймовірність попадання того чи іншого числа точок на заданий відрізок не залежить від того, скільки їх потрапило на будь-який інший відрізок, що не перекривається з ним.

3. Імовірність попадання на малу ділянку двох або більше точок зневажливо мала в порівнянні з ймовірністю попадання однієї точки (ця умова означає практичну неможливість збігу двох або більше точок).

Виділимо на осі абсцис певний відрізок довжини та розглянемо дискретну випадкову величину – кількість точок, що потрапляють на цей відрізок. Можливі значення величини будуть

Оскільки крапки потрапляють на відрізок незалежно друг від друга, теоретично не виключено, що й там виявиться скільки завгодно багато, тобто. ряд (5.9.6) продовжується необмежено.

Доведемо, що випадковий розмір має закон розподілу Пуассона. Для цього обчислимо можливість того, що на відрізок потрапить рівно крапок.

Спочатку вирішимо більше просте завдання. Розглянемо на осі Ох мала ділянка і обчислимо ймовірність того, що на цю ділянку потрапить хоча б одна точка. Будемо міркувати так. Математичне очікування числа точок, що потрапляють на цю ділянку, очевидно, дорівнює (бо на одиницю довжини потрапляє в середньому точок). Згідно з умовою 3 для малого відрізка можна знехтувати можливістю попадання на нього двох або більше крапок. Тому математичне очікування числа точок, що потрапляють на ділянку , буде приблизно дорівнює ймовірності попадання на нього однієї точки (або, що в наших умовах рівнозначно, хоча б однієї).

Таким чином, з точністю до нескінченно малих вищого порядку, можна вважати ймовірність того, що на ділянку потрапить одна (хоча б одна) точка, що дорівнює , а ймовірність того, що не потрапить жодної, рівної .

Скористайтеся цим для обчислення ймовірності попадання на відрізок рівно крапок. Розділимо відрізок на рівних частиндовжиною. Умовимося називати елементарний відрізок «порожнім», якщо до нього не потрапило жодної точки, і «зайнятим», якщо до нього потрапила хоча б одна. Згідно з вищедоведеним ймовірність того, що відрізок виявиться «зайнятим», приблизно дорівнює ; ймовірність того, що він виявиться "порожнім", дорівнює . Оскільки, згідно з умовою 2, попадання точок у відрізки, що не перекриваються, незалежні, то наші n відрізків можна розглянути як незалежних «досвідів», у кожному з яких відрізок може бути «зайнятий» з ймовірністю . Знайдемо ймовірність того, що серед відрізків буде рівно «зайнятих». За теоремою про повторення дослідів ця ймовірність дорівнює

або, позначаючи ,

(5.9.7)

При досить великому ця ймовірність приблизно дорівнює ймовірності попадання на відрізок рівно крапок, так як попадання двох або більше точок на відрізок має малу ймовірність. Для того, щоб знайти точне значення, потрібно у виразі (5.9.7) перейти до межі при:

(5.9.8)

Перетворимо вираз, що стоїть під знаком межі:

(5.9.9)

Перший дріб і знаменник останнього дробу у виразі (5.9.9) при , очевидно, прагнуть одиниці. Вираз не залежить. Чисельник останнього дробу можна перетворити так:

(5.9.10)

При і вираз (5.9.10) прагне . Таким чином, доведено, що ймовірність попадання рівно крапок у відрізок виражається формулою

де, тобто. величина Х розподілена згідно із законом Пуассона з параметром.

Зазначимо, що величина за змістом є середньою кількістю точок, що припадає на відрізок .

Величина (ймовірність того, що величина Х набуде позитивного значення) в даному випадкувисловлює ймовірність того, що на відрізок потрапить хоча б одна точка:

Таким чином, ми переконалися, що розподіл Пуассона виникає там, де якісь точки (або інші елементи) займають випадкове положення незалежно один від одного, і підраховується кількість цих точок, які потрапили до якоїсь області. У нашому випадку такою "областю" був відрізок на осі абсцис. Однак, наш висновок легко поширити і на випадок розподілу точок на площині (випадкове плоске поле точок) і в просторі (випадкове просторове поле точок). Неважко довести, що якщо дотримані умови:

1) точки розподілені в полі статистично рівномірно із середньою щільністю;

2) точки потрапляють у області, що не перекриваються, незалежним чином;

3) точки з'являються поодинці, а не парами, трійками і т.д., то точок, що потрапляють в будь-яку область (плоску або просторову), розподіляються за законом Пуассона:

де – середня кількість точок, які у область .

Для плоского випадку

де - площа області; для просторового

де - обсяг області.

Зауважимо, що з пуассоновского розподілу числа точок, які у відрізок чи область, умова постійної щільності () несуттєво. Якщо виконані дві інші умови, то закон Пуассона все одно має місце, тільки параметр а в ньому набуває іншого виразу: він виходить не простим множеннящільності на довжину, площу або об'єм області, а інтегруванням змінної густини за відрізком, площею або об'ємом. (Докладніше про це див. n° 19.4)

Наявність випадкових точок, розкиданих на лінії, на площині чи об'ємі – не єдина умова, за якої виникає розподіл Пуассона. Можна, наприклад, довести, що закон Пуассона є граничним для біномного розподілу:

, (5.9.12)

якщо одночасно спрямовувати кількість дослідів до нескінченності, а ймовірність – до нуля, причому їхній твір зберігає постійне значення:

Справді, цю граничну властивість біномного розподілу можна записати у вигляді:

. (5.9.14)

Але з умови (5.9.13) випливає, що

Підставляючи (5.9.15) до (5.9.14), отримаємо рівність

, (5.9.16)

яке щойно було доведено нами з іншого приводу.

Ця гранична властивість біномного закону часто знаходить застосування практично. Припустимо, що робиться велика кількістьнезалежних дослідів, у кожному з яких подія має дуже малу ймовірність. Тоді для обчислення ймовірності того, що подія з'явиться рівно раз, можна скористатися наближеною формулою:

, (5.9.17)

де - параметр того закону Пуассона, яким приблизно замінюється біноміальний розподіл.

Від цієї властивості закону Пуассона – виражати біноміальний розподіл за великої кількості дослідів та малої ймовірності події – походить його назва, що часто застосовується у підручниках статистики: закон рідкісних явищ.

Розглянемо кілька прикладів, пов'язаних з пуасонівським розподілом, із різних галузей практики.

Приклад 1. На автоматичну телефонну станцію надходять дзвінки із середньою щільністю дзвінків на годину. Вважаючи, що кількість викликів на будь-якій ділянці часу розподілено за законом Пуассона, знайти ймовірність того, що за дві хвилини на станцію надійде рівно три виклики.

Рішення. Середня кількість дзвінків за дві хвилини дорівнює:

кв.м. Для поразки мети достатньо попадання до неї хоча б одного уламка. Знайти ймовірність поразки мети при цьому положенні точки розриву.

Рішення. . За формулою (5.9.4) знаходимо ймовірність влучення хоча б одного уламка:

(Для обчислення значення показової функціїкористуємось таблицею 2 додатка).

Приклад 7. Середня щільністьхвороботворних мікробів в одному кубічному метріповітря дорівнює 100. Береться на пробу 2 куб. дм повітря. Знайти ймовірність того, що в ньому буде виявлено хоча б один бактерій.

Рішення. Приймаючи гіпотезу про пуассонівський розподіл числа мікробів в обсязі, знаходимо:

Приклад 8. За деякою метою проводиться 50 незалежних пострілів. Імовірність влучення в ціль за одного пострілу дорівнює 0,04. Користуючись граничною властивістюбіномного розподілу (формула (5.9.17)), знайти приблизно ймовірність того, що в ціль потрапить: жодного снаряда, один снаряд, два снаряди.

Рішення. Маємо. За таблицею 8 додатка знаходимо ймовірності.