Характеристична властивість точної верхньої грані. Існування точної верхньої грані у обмеженої зверху множини
Доведемо ще одну теорему, яка спирається на властивість безперервності дійсних чисел.
Терема про існування верхньої (нижньої) грані.Спочатку введемо кілька визначень.
Визначення. Числове безліч Xназивається обмеженим зверху, якщо існує число М таке, що x ≤ Mдля будь-якого елемента xз множини X .
Визначення. Числове безліч Xназивається обмеженим знизу, якщо існує число mтаке, що x ≥ mдля будь-якого елемента xз множини X .
Визначення. Числове безліч Xназивається обмеженим, якщо воно обмежене зверху та знизу.
У символічному записі ці визначення виглядатимуть так:
безліч Xобмежено зверху, якщо ∃M ∀x ∈ X: x ≤ M ,
обмежено знизу, якщо ∃m ∀x ∈ X: x ≥ mі
обмежено, якщо ∃m, M ∀x ∈ X: m ≤ x ≤ M .
Визначення.Для будь-якого числа a R невід'ємне число
називається його абсолютною величиноюабо модулем. Для абсолютних величинчисел справедлива нерівність |a+b| < |a|, що випливає з визначення модуля числа та з аксіом складання та порядку.
Теорема 4.3.1. Числове безліч Xобмежено тоді і лише тоді, коли існує число C таке, що для всіх елементів x з цієї множини виконується нерівність ≤ C.
Доведення. Нехай безліч Xобмежено. Покладемо C = max (m, M)- Найбільше з чисел m і M. Тоді, використовуючи властивості модуля дійсних чисел, отримаємо нерівності x ≤M≤M ≤C та x≥m≥ −m≥ −C, звідки випливає, що ≤ C .
Назад, якщо виконується нерівність ≤ C , то −C ≤ x ≤ C . Це і є необхідним, якщо покласти M = C і m = −C .◄
Число M, що обмежує безліч Xзверху, називається верхньої граніцей множини. Якщо M - верхня межабезлічі X, то будь-яке число M′, яке більше M, теж буде верхньою межею цієї множини. Таким чином, ми можемо говорити про безліч верхніх меж множини X. Позначимо безліч верхніх кордонів через . Тоді, ∀x ∈ X та ∀M ∈буде виконано нерівність x ≤MОтже, по аксіомі безперервності існує число таке, що x ≤ ≤ M. Це число називається точною верхньою межею числової множини X або верхньою гранню цієї множиниабо супремумом множини Xі позначається =sup X. Таким чином, ми довели, що кожна непуста числова множина, обмежена зверху, завжди має точну верхню межу.
Очевидно, що рівність = sup Xрівносильно двом умовам:
1) ∀x ∈ Xвиконується нерівність x ≤ , тобто. - верхня межа множини X ;
2) ∀ε > 0 ∃xε ∈ Xотже виконується нерівність xε > −ε , тобто. цей кордон не можна покращити (зменшити).
Аналогічно, можна довести, що якщо множина обмежена знизу, то вона має точну нижній кордон, яка називається також нижньою гранню або інфімумом множини X і позначається inf X. Рівність =inf X рівносильна умовам:
1) ∀x ∈ Xвиконується нерівність x ≥ ;
2) ∀ε > 0 ∃xε ∈ Xтак, що виконується нерівність xε< + ε .
Якщо у множині X є найбільший елемент, то називатимемо його
максимальним елементом множини X і позначати = max X. Тоді
supX =. Аналогічно, якщо в множині існує найменший елемент, то його називатимемо мінімальним, позначати minX і він буде інфімумом множини X .
Сформулюємо кілька властивостей верхніх та нижніх граней:
Властивість 1. Нехай X- деяке числове безліч. Позначимо через −Xбезліч (− x| x ∈ X ). Тоді sup (− X) = − inf Xі inf (− X) = − sup X .
Властивість 2.Нехай X- деяка числова множина λ – дійсне число. Позначимо через λXбезліч (λx | x ∈ X). Тоді, якщо λ ≥ 0 , то sup(λX) = λ supX , inf(λ X)= λ infXі якщо λ < 0, то sup(λ X)=λ infX , inf(λ X)=λ supX .
Властивість 3. Нехай X1 та X2 - числові множини. Позначимо через X1+X2безліч ( x1+ x2| x1 ∈ X1, x2 ∈ X2 )і через X1 − X2безліч (x1 − x2 | x1 ∈ X1, x2 ∈ X2). Тоді sup(X1 + X2)=supX1+supX2, inf(X1+X2)=infX1 +inf X2, sup(X1 − X2) = sup X1 − inf X2і inf (X1 - X2) = inf X1 - sup X2.
Властивість 4. Нехай X1 і X2 – числові множини, всі елементи яких невід'ємні. Тоді sup (X1 * X2) = sup X1 * sup X2, inf (X1 * X2) = inf X1 * inf X2.
Доведемо, наприклад, першу рівність властивості 3. Нехай x1 ∈ X1, x2 ∈ X2 та x=x1+x2.Тоді x1 ≤ sup X1, x2 ≤ sup X2і x ≤ sup X1 + sup X2, звідки sup(X1 + X2) ≤ sup X1 + sup X2 .
Щоб довести протилежна нерівність, візьмемо число y
Принцип Архімеда та існування верхньої та нижньої граней можна постулювати як аксіому замість аксіоми безперервності, тоді аксіома безперервності випливатиме з цієї нової аксіоми. (Спробуйте довести самостійно).
МАТЕМАТИЧНИЙ АНАЛІЗ
Частина I
ТЕОРІЯ МЕЖІ. Межа послідовності та межа функції. Теорема про існування точної верхньої грані.
Нехай змінна величина x nприймає нескінченну послідовність значень
x 1 , x 2 , ..., x n , ..., (1)
причому відомий закон зміни змінної x n, тобто. для кожного натурального числа nможна вказати відповідне значення x n. Таким чином, передбачається, що змінна x nє функцією від n:
x n = f(n)
Визначимо одне з найважливіших понять математичного аналізу - межа послідовності, або, що те саме, межа змінної величини x n, що пробігає послідовність x 1 , x 2 , ..., x n , ... . .
Визначення.Постійне число aназивається межею послідовності x 1 , x 2 , ..., x n , ... . або межею змінної x nякщо для будь-якого малого позитивного числа e знайдеться таке натуральне число N(тобто номер N), що всі значення змінної x n, починаючи з x N, відрізняються від aпо абсолютній величині менше, ніж e. Дане визначення коротко записується так:
| x n - a |< (2)
при всіх n N, або, що те саме,
Визначення межі по Коші. Число A називається межею функції f (x) у точці a, якщо ця функція визначена в деякій околиці точки a за винятком, можливо, самої точки a, і для кожного ε > 0 існує δ > 0 таке, що для всіх x, що задовольняють умові | x - a |< δ, x ≠ a, выполняется неравенство |f (x) – A| < ε.
Визначення межі за Гейном. Число A називається межею функції f (x) у точці a, якщо ця функція визначена в деякій околиці точки a за винятком, можливо, самої точки a, і для будь-якої послідовності такою, що 
що збігається до a, відповідна послідовність значень функції сходить до A.
Якщо функція f (x) має межу в точці a, то ця межа єдина.
Число A 1 називається межею функції f (x) ліворуч у точці a, якщо для кожного ε > 0 існує δ > 
Число A 2 називається межею функції f(x) праворуч у точці a, якщо для кожного ε > 0 існує δ > 0 таке, що для всіх виконується нерівність 
Межа ліворуч позначається межа праворуч –Ці межі характеризують поведінку функції ліворуч і праворуч від точки a. Їх часто називають односторонніми межами. У позначенні односторонніх меж при x → 0 зазвичай опускають перший нуль. Так, для функції 
Якщо кожного ε > 0 існує така δ-околиця точки a, що всіх x, задовольняють умові |x – a|< δ, x ≠ a, выполняется неравенство |f (x)| >ε, то кажуть, що функція f(x) має в точці a нескінченну межу:
Так, функція має у точці x = 0 нескінченну межу Часто розрізняють межі, рівні +∞ та –∞. Так,
Якщо кожного ε > 0 існує таке δ > 0, що з будь-якого x > δ виконується нерівність |f (x) – A|< ε, то говорят, что предел функции f (x) при x, стремящемся к плюс бесконечности, равен A:
Теорема про існування точної верхньої грані
Визначення:АR mR, m - верхня (нижня) грань А, якщо аА аm (аm).
Визначення:Безліч A обмежена зверху (знизу), якщо існує таке m, що аА, виконується аm (аm).
Визначення: SupA=m, якщо 1) m - верхня грань A
2) m’: m’
InfA = n, якщо 1) n – нижня грань A
2) n': n'>n => n' не нижня грань A
Визначення: SupA=m називається число, таке що: 1) aA am
2) >0 a A, таке, що a a-
?
2) >0 a A, таке, що a E a+
Теорема:Будь-яка, непуста обмежена зверху безліч АR, має точну верхню грань, причому єдину.
Доведення:
Побудуємо на числовий прямий число m і доведемо, що це точна верхня грань А.
[m]=max([a]:aA) [[m],[m]+1]A=>[m]+1 - верхня грань A
Відрізок [[m],[m]+1] – розбиваємо на 10 частин
m 1 =max:aA)]
m 2 =max,m 1:aA)]
m до =max,m 1 ...m K-1:aA)]
[[m],m 1 ...m K , [m],m 1 ...m K + 1 /10 K ]A=>[m],m 1 ...m K + 1/ 10 K - верхня грань A
Доведемо, що m=[m],m 1 ...m K - точна верхня грань і що вона єдина:
к: , то знайдеться така точка , де функція досягає свого максимуму, знайдеться така точка , у якій функція досягає свого мінімуму.
Доведення:
Нехай функція f(x) безперервна на тоді в силу теореми 1 вона обмежена на цьому відрізку. Отже, обмежено безліч значень функції. Тоді в силу принципу верхньої грані ця множина має точну верхню і точну нижню межу.
Позначимо: і покажемо, що буде найбільшим значенням функції f(x) на відрізку : .
Припустимо неприємне, тобто .
Оскільки , то f(x)< .
введемо на розгляд функцію 
. Функція безперервна на , оскільки -f(x) 0. Тоді, з першої теореми Вейерштрасса, функція обмежена на .
Так як ця нерівність виконується , то число не є точною верхньою гранню множини значень функції. Приходимо до протиріччя, отже, наше припущення є невірним. Аналогічно можна довести, що безперервна функція досягає на відрізку свого мінімального значення. Теорему доведено.
ДИФЕРЕНЦІЙНІ ФУНКЦІЇ Теореми Ролля та Лагранжа. Формула Тейлора із залишковим членом у формі Лагранжа.
Теорема Роля. Якщо функція f(x) безперервна на замкнутому інтервалі [а, b], має всередині похідну інтервалу і якщо
f(a) = f(b)
то всередині інтервалу [а, b] знайдеться хоча б одне таке значення x 0 (a< x 0 < b), что
f" (x 0 ) = 0.
Доведення. Розглянемо два випадки.
1. Функція f(x)постійна на інтервалі [ а, b]; тоді f "(x) = 0для будь-кого x (a< x < b) , тобто. затвердження теореми Роля виконується автоматично.
2. Функція f(x)не є постійною (Малюнок 1); тоді найбільшого чи найменшого чи обох цих значень вона сягає у внутрішній точці інтервалу, бо f(b) = f(a), і якщо f(a) - найменше значення, то найбільше значення значення функція f(x)прийме всередині інтервалу.
|
|
Оскільки, за умовою, f(x)має в точці x 0 похідну, то по теоремі про необхідною ознакоюекстремуму,
f" (x 0 ) = 0 ,
та теорема Ролля доведена.
Теорема Роля має просте геометричне тлумачення: якщо дана дуга AB кривою y = f(x), у кожній точці якої існує дотична, причому кінці A і B знаходяться на однаковій відстані від осі Ox, то на цій дузі знайдеться, принаймні, одна точка, в якій дотична t до кривої буде паралельна стягує дугу хорді, а отже і осі Ox(Диви малюнок 1).
Якщо повернути осі координат на кут a, то кінці Aі Bдуги ABвже не будуть на однаковій відстані від осі Ox", але дотична tяк і раніше буде паралельна хорді AB(Диви малюнок 1). Тому природно очікувати, що має місце теорема: Якщо дана дуга AB кривою y = f(x) з дотичною, що безперервно змінюється, то на цій дузі знайдеться хоча б одна точка, в якій дотична паралельна стягує її хорді AB(Малюнок 2).
|
|
Теорема Лагранжа. Якщо функція f(x) неперервна на замкнутому інтервалі[а, b] і всередині нього має похідну f "(x), то знайдеться хоча б одне таке значення x 0 (a< x 0 < b), что
f(b) - f(a) = (b - a)f"(x).
Доведення. Розглянемо допоміжну функцію
F(x) = f(x) – k(x – a),
де 
- кутовий коефіцієнт хорди AB(Диви малюнок 2).
Ця функція задовольняє всі умови теореми Ролля.
Справді, за x = aмаємо F(a) = f(a) - k(a - a) = f(a), при x = bмаємо
Крім того, оскільки функція f(x)і k(x - a)безперервні на [ a, b] та диференційовані в ( a, b), то й функція F(x) = f(x) – k(x – a)безперервна на [ a, b] і диференційована в ( a, b).
Отже, за теоремою Ролля, в інтервалі ( a, b) знайдеться така точка x 0 , що
F"(x 0 ) = 0 ,
f" (x 0 ) - k = 0
Звідси маємо
f(b) - f(a) = (b - a)f" (x 0 ) ,
що і потрібно було довести.
Так як a + (b - a) = bто величина a +(b - a)де Q - правильний позитивний дріб (0 < < 1) , дорівнює якомусь числу в інтервалі ( a, b), тому формулу Лагранжа можна записати у вигляді
f(b) - f(a) = (b - a)f "
Якщо покласти a = x, b = x +x, звідки b - a =x, то формула Лагранжа запишеться у вигляді
y = f(x +x) - f(x) =xf "(x +x).
Раніше було доведено, що якщо функція дорівнює постійній Cза будь-якого значення xв інтервалі (a, b), то її похідна дорівнює нулю.
Доведемо тепер зворотну теорему, що є наслідком теореми Лагранжа:
Якщо довільна f "(x) звертається в нуль для будь-яких значень x в інтервалі (a, b), то в цьому інтервалі f(x) = C.
Справді, якщо x 1 і x 2 - два будь-які значення в інтервалі (a, b), то через теорему Лагранжа, маємо
f(x 2 ) - f(x 1 ) = (x 2 - x 1 )f"(x 0 ),
де, x 1 < x 0 < x 2 . Але так як f"(x 0 ) = 0 , то
f(x 2 ) - f(x 1 ) = 0,
що й доводить нашу теорему.
Звідси безпосередньо випливає важлива теорема:
Якщо дві функції f 1 (x) та f 2 (x) мають ту саму похідну в інтервалі (a, b), то вони на даному інтервалі відрізняються один від одного на постійну величину.
Справді, розглянемо функцію
(x) = f 2 (x) - f 1 (x).
Тоді для будь-якого значення xз інтервалу (a, b)
"(x) = f 2 "(x) - f 1 "(x) = 0.
Але це означає, що (x) = Cі, отже
f 2 (x) - f 1 (x) = С.
Формула Тейлора. Нехай на інтерваліфункція f(x) диференційована n разів і виконуються такі рівності:
f(a) = f(b) = f "(a) = f ""(a) = ... = f (n-1) (a)=0
Тоді всередині інтервалузнайдеться хоча б одне значення з,за якого
f (n) (c) = 0
Доведення. за теоремі Ролямаємо
f "(x 0 ) = 0 ,
де a< x 0 < b . Тоді f "(x)на інтервалі задовольняє теорему Роля, оскільки, за умовою, f"(a) = 0і f "(x 0 ) = 0 , а тому
f ""(x 1 ) = 0 ,
де a< x 1 < x 0 .
Застосовуючи теорему Роля послідовно до функцій f ""(x), f """(x), ..., f (n-1) (x), знайдемо нарешті:
f (n) (с) = 0,
де a< c < x n-1 < b . Теорему доведено.
Виведемо тепер формулу Тейлора з залишковим членом у формі Лагранжа.
Нехай функція f(x)диференційована nраз на інтервалі.
Розглянемо допоміжну функцію
(x) = f(x) - P(x),
Продиференціюємо nраз функцію (x). Тоді матимемо
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(n-1) (x) = f (n-1) (x) - A n-1 - A n (x - a),
(n) (x) = f (n) (x) - A n
Потрібно, щоб функція (x)задовольняла умовам узагальненої теореми Ролля. Тоді матимемо
(1)
.
Оскільки функція (x)задовольняє умовам узагальненої теореми Роля, то знайдеться таке значення з (a< c < b) , що
(n) (с) = f (n) (с) - A n = 0 (2)
Існування у будь-якого обмеженого зверху (знизу) множини точної верхньої (точної нижньої) грані не є очевидним і потребує доказу. Доведемо таку основну теорему.
Основна теорема 2.1. Якщо безліч чисел, представлених нескінченними десятковими дробами, обмежена зверху (відповідно знизу) і містить хоча б один елемент, то у цієї множини існує точна верхня (відповідно точна нижня) грань.
Доведення. Ми зупинимося лише на доказі існування точної верхньої грані у будь-якої обмеженої зверху множини, бо існування точної нижньої грані у будь-якої обмеженої знизу множини доводиться абсолютно аналогічно.
Отже, нехай множина обмежена зверху, тобто існує таке число М, що кожен елемент х множини задовольняє нерівності
Можуть бути два випадки:
1°. Серед елементів множини є хоча б одне невід'ємне число. 2 °. Всі елементи множини є негативними числами. Ці випадки ми розглянемо окремо.
1°. Розглянемо лише невід'ємні числа, що входять до складу множини. Кожне з цих чисел представимо у вигляді нескінченного десяткового дробу та розглянемо цілі частини цих десяткових дробів. У силу нерівності всі цілі частини не перевищують числа М, а тому знайдеться найбільша з цілих частин, яку ми позначимо через Збережемо серед невід'ємних чисел множини ті, у яких ціла частинадорівнює і відкинемо всі інші числа. У збережених чисел розглянемо перші десяткові знакипісля коми. Найбільший із цих знаків позначимо через Збережемо серед невід'ємних чисел множини ті, у яких ціла частина дорівнює а перший десятковий знак дорівнює і відкинемо всі інші числа. У збережених чисел розглянемо другі десяткові знаки після коми. Найбільший із цих знаків позначимо через Продовжуючи аналогічні міркування далі, ми послідовно визначимо десяткові знаки деякого числа
Доведемо, що це число х і є точною верхньою гранню множини Для цього достатньо довести два твердження: 1) кожен елемент х множини задовольняє нерівності 2) яке б не було число х, менше х, знайдеться хоча б один елемент х множини, що задовольняє нерівності
Доведемо спочатку затвердження 1). Так як х за побудовою є невід'ємним числом, то будь-який негативний елемент х множини явно задовольняє нерівності
Тому нам достатньо довести, що будь-який невід'ємний елемент х множини задовольняє нерівності.
Припустимо, що деякий невід'ємний елемент не задовольняє нерівності. Тоді і за правилом упорядкування знайдеться номер такий, що Але останні співвідношення суперечать
суперечать тому, що як береться найбільший з десяткових знаків тих елементів яких ціла частина і перші знаків після коми відповідно рівні
Отримане протиріччя доводить твердження 1).
Доведемо тепер твердження 2). Нехай х - будь-яке число, що задовольняє умову Потрібно довести, що існує хоча б один елемент х множини, що задовольняє нерівності
Якщо число х є негативним, то нерівності свідомо задовольняє невід'ємний елемент х множини (за припущенням хоча один такий елемент існує).
Залишається розглянути випадок, коли число х, яке задовольняє умову, є невід'ємним. Нехай З умови та правила впорядкування випливає, що знайдеться номер такий, що
З іншого боку, з побудови числа (2.9) випливає, що для будь-якого номера знайдеться невід'ємний елемент множини такий, у якого ціла частина і всі перші знаків після коми ті ж, що у числа х. Іншими словами, для номера знайдеться елемент х такий, для якого
Існування точної верхньої грані у обмеженої зверху множини
| Найменування параметру | Значення |
| Тема статті: | Існування точної верхньої грані у обмеженої зверху множини |
| Рубрика (тематична категорія) | Математика |
Обмежена множина. Точні грані
Формула Муавра
Була знайдена А.Муавром у 1707; сучасний її запис запропоновано Л. Ейлером в 1748.
z n =r n e in j =r n(cos n j + i sin n j). (3)
Формула (3) доводиться індукцією за n.
Розмноження комплексних чисел
При цьому вона, очевидно, вірна. Припустимо, що вона вірна для деякого n, доведемо її для n+1. Маємо:
Для заданого знайдемо, що відповідає рівнянню. Іншими словами, знайдемо корінь n-ого ступеня з комплексного числа. Маємо r n e in j =r e i y n n j=y+2p k, kÎZ r=звідки отримуємо формули
які використовуються для обчислення кореня n-ой ступеня з комплексного числа. Процес знаходження кореня n- ой ступеня з комплексного числа zможна описати в такий спосіб. Якщо це число не дорівнює 0, то таких коренів буде рівно n. Всі вони будуть вершинами правильного n– косинця, вписаного в коло радіусу . Одна з вершин цього багатокутника має рівний аргумент.
приклад.
Розміщено на реф.
Обчислити. У цьому випадку, у зв'язку з цим набуває трьох значень:
Рис. 1.7
Зауваження: Знаки порівняння менше, більше (<, >) не визначені в C .
1.3. Верхня та нижня грані безлічі дійсних чисел
Обмеженість та межі множини.
Обмежена зверху безліч E:$b"xÎ E: x£ b.
b - верхня грань множини:"xÎE:x£ b.
Обмежене знизу безліч:$a"xÎ E: x³ a.
a - нижня грань безлічі:"xÎE: x ³ a.
Точна верхня грань множини: b = sup E - це число, що задовольняє двом властивостям:
1)(b - верхня грань)"xÎ E: x£ b.
2) (ні меншою) "e> 0 $ xÎ E: x > b- e.
Аналогічно визначається точна нижня грань a = inf E.Обмежена множина E:$b"xÎ E: .
Примітка:У разі якщо b = sup E, то -b = inf E¢, де E¢- дзеркальне до Eбезліч, E¢={xÎR:(-x)ÎE} .
Теорема 1. У непустої, обмеженої зверху множини існує точна верхня грань.
Доведення:Нехай bверхня грань множини Eі aÎ E.Позначимо через [ a 1 ,b 1 ] відрізок, якщо в ньому є точки з E.В іншому випадку через [ a 1 ,b 1 ] позначимо відрізок
Рис. 1.8
Відзначимо властивості цього збудованого відрізка:
1) "xÎE: x£ b 1 .
2) EÇ[ a 1 ,b 1] ¹ Æ.
Цю процедуру повторимо для [ a 1 ,b 1 ], і т. д. В результаті отримаємо послідовність вкладених відрізків [ a k ,b k], що задовольняють властивостям:
1)"xÎE: x £ b k .
2) EÇ[ a k , b k] ¹ Æ.
Доказ цього проводиться у разі індукції. Припустимо, що побудований відрізок [ a k ,b k]с зазначеними властивостями. Розділимо його навпіл крапкою. Через [ a k + 1 , b k + 1 ] позначимо той із відрізків , який має непустий перетин з E. Якщо обидва містять
Рис. 1.9
крапки з E,то [ a k + 1 , b k + 1] нехай буде правий відрізок. Отриманий відрізок має властивості 1), 2). Довжини цих відрізків b k - a k =(b - a)/ 2kпрагнуть до 0, у зв'язку з цим існує однина cзагальне для всіх цих відрізків. Це число є точною верхньою гранню цієї множини. Дійсно:
1) "xÎ E: x £ c.
Припустимо неприємне: $ xÎ E:x>c, Візьмемо, для нього існує тоді, звідки слідує b n< x , що суперечить умові xÎ[ a n, b n].
Рис. 1.10
2) "e> 0 $ xÎE: x > c - e.
Для будь-якого e існує n: b n - a n< e . Виберемо якесь xÎ[ a n, b n] . З огляду на властивості 1) буде виконано x< c, Крім того
c-x£ b n - a n< e . Τᴀᴋᴎᴎᴀᴈᴏᴍ, знайдено необхідне x.
Рис. 1.11
Аналогічно можна довести, що у непустого обмеженого знизу множини існує точна нижня грань.
Теорема 2. Точна верхня грань (якщо вона існує) єдина.
Доведення: Нехай є дві точні грані. b 2 , b 1 , b 1 2 . Візьме e = b 2 - b 1 > 0. Визначення точної верхньої грані (для b 2)$xÎ E: x > b 2 - e = b 1 , що суперечить тому, що b 1 верхня грань.
Рис. 1.12
Зауваження.Аналогічно доводиться, що точна нижня грань єдина.
Якщо E не обмежено зверху, то пишуть sup E = +¥, аналогічно, якщо E не обмежено знизу, то пишуть inf E = -¥ .
Існування точної верхньої грані у обмеженої зверху множини - поняття та види. Класифікація та особливості категорії "Існування точної верхньої грані у обмеженої зверху множини" 2017, 2018.
