Визначення необмеженої множини дійсних чисел. Обмежені та необмежені множини

Безліч, елементами яких є точки, називаються точковими множинами. Таким чином, можна говорити про точкові множини на прямій, на площині, в якомусь просторі. Задля простоти ми обмежимося розглядом точкових множин на прямій.

Між дійсними числами та точками на прямій є тісний зв'язок: кожному дійсному числу можна віднести точку на прямий та назад. Тому, говорячи про точкові множини, ми зараховуватимемо до них і множини, що складаються з дійсних чисел- множини на числовій прямій. Назад: щоб задати точкове безліч на прямий, ми будемо зазвичай задавати координати всіх точок нашої множини.

Точкові множини (і, зокрема, точкові множини на прямій) мають поруч особливих властивостей, що відрізняють їх від довільних множин і виділяють теорію точкових множин у самостійну математичну дисципліну. Насамперед має сенс говорити про відстань між двома точками. Далі, між точками на прямій можна встановити співвідношення порядку (ліворуч, правіше); відповідно до цього говорять, що точкова множина на прямій є впорядкованою множиною. Нарешті, як зазначалося вище, для прямий справедливий принцип Кантора; цю властивість прямої прийнято характеризувати як повноту прямої.

Введемо позначення для найпростіших множин на прямій.

Відрізок - це безліч точок, координати яких задовольняють нерівності.

Інтервал – це безліч точок, координати яких задовольняють умовам.

Напівінтервали і визначаються відповідно до умов: і .

Інтервали та напівінтервали можуть бути невласними. Саме позначає всю пряму, а, наприклад, - безліч усіх точок, для яких .

Почнемо з розгляду різних можливостей розташування множини в цілому на прямий.

Обмежені та необмежені множини

Безліч точок на прямий може або складатися з точок, відстані яких від початку координат не перевищують деякого позитивного числа, або мати точки, скільки завгодно далекі від початку координат. У першому випадку безліч називається обмеженою, а в другому - необмеженою. Прикладом обмеженої множини може бути безліч усіх точок відрізка , а прикладом необмеженої множини-множина всіх точок з цілими координатами.

Неважко бачити, що якщо - фіксована точка на прямій, то множина буде обмежена в тому і тільки в тому випадку. якщо відстані від точки до будь-якої точки не перевищують деякого позитивного числа.

Безліч, обмежені зверху та знизу

Нехай – безліч точок на прямій. Якщо на прямій існує така точка , що будь-яка точка розташована ліворуч від точки , то кажуть, що безліч обмежено зверху. Аналогічно, якщо на прямій існує така точка , що будь-яка точка розташована правіше за точку , то безліч називається обмеженим знизу. Так, безліч усіх точок на прямій з позитивними координатами обмежена знизу, а безліч усіх точок негативними координатамиобмежена зверху.

Зрозуміло, що це визначення обмеженої множини еквівалентно наступному: безліч точок на прямий називається обмеженим, якщо вона обмежена зверху і знизу. Незважаючи на те, що ці два визначення дуже схожі один на одного, між ними є суттєва відмінність: перше ґрунтується на тому, що між точками на прямій визначено відстань, а друге, що ці точки; утворюють впорядковану множину.

Можна також сказати, що множина обмежена, якщо вона повністю розташована на деякому відрізку .

Верхня та нижня грань множини

Нехай безліч обмежена зверху. Тоді на прямій існують точки, правіше яких немає жодної точки множини. Використовуючи принцип Кантора, можна показати, що серед усіх точок, що мають цю властивість, знайдеться найліва. Ця точка називається верхньою гранню множини. Аналогічно визначається нижня грань точкової множини.

Якщо у множині є найправіша точка, то вона, очевидно, і буде верхньою гранню множини. Однак може статися, що в безлічі немає правої точки. Наприклад, безліч точок з координатами

обмежено зверху і не має правої точки. У такому разі верхня грань не належить множині, але як завгодно близько до є точки множини. У наведеному вище прикладі.

Розташування точкової множини поблизу будь-якої точки на прямій

Нехай - точкова множина і - якась точка на прямій. Розглянемо різні можливості розташування множини поблизу точки. Можливі такі випадки:

1. Ні точка, ні досить близькі до неї точки не належать безлічі.

2. Крапка не належить, але скільки завгодно близько до неї є точки множини.

3. Крапка належить, але всі досить близькі до неї точки не належать.

4. Точка належить, і скільки завгодно близько до неї є інші точки множини.

У разі 1 точка називається зовнішньої до множини, у разі 3- ізольованою точкою множини, а у випадках 2 і 4-граничною точкою множини.

Таким чином, якщо , то точка може бути або зовнішньою до , або граничною для нього, а якщо , вона може бути або ізольованою точкою множини , або його граничною точкою.

Гранична точка може належати і не належати множині і характеризується тією умовою, що завгодно близько до неї є точки множини. Іншими словами, точка є граничною точкою множини, якщо будь-який інтервал, що містить точку, містить нескінченно багато точок множини. Поняття граничної точки є одним з дуже важливих понятьтеорії точкових множин.

Якщо точка і всі досить близькі до неї точки належать безлічі, то така точка називається внутрішньою точкою множини. Будь-яка точка, яка не є для ні зовнішньої, ні внутрішньої, називається граничною точкою множини .

Вкажемо кілька прикладів, які пояснюють усі ці поняття.

Приклад 1. Нехай множина складається з точок з координатами

Тоді кожна точка цієї множини є його ізольованою точкою, точка 0 є гранична точка (що не належить цій множині), а всі інші точки на прямій - зовнішні до .

Приклад 2. Нехай безліч складається з усіх раціональних точоквідрізка. Це безліч немає ізольованих точок, кожна точка відрізка є граничною точкою , проте інші точки на прямий - зовнішні до . Ясно, що серед граничних точок множини є як такі, що належать до нього, так і не належать йому.

Приклад 3. Нехай множина складається з усіх точок відрізка. Як і в попередньому прикладі, безліч немає ізольованих точок, і кожна точка відрізка є його граничною точкою. Однак, на відміну від попереднього прикладу, всі граничні точки належать цій множині.

Приклад 4. Нехай безліч складається з усіх точок з координатами на прямий. Кожна точка є його ізольованою точкою; безліч не має граничних точок.

Зазначимо також, що у прикладі 3 всяка точка інтервалу є внутрішньою точкою , а прикладі 2 всяка точка відрізка - гранична точка .

З наведених вище прикладів видно, що безліч точок на прямий може мати ізольовані точкиа може їх не мати; так само воно може мати внутрішні точкиі може їх не мати. Що ж до граничних точок, то лише безліч прикладу 4 не має жодної граничної точки. Як показує наступна важлива теорема, це пов'язано з тим, що множина необмежена.

Теорема Больцано-Вейєрштраса

Будь-яке обмежене безліч точок на прямій має хоча б, одну граничну точку.

Доведемо цю теорему. Нехай - обмежена безліч точок на прямій. Так як безліч обмежена, воно повністю розташоване на деякому відрізку . Розділимо цей відрізок навпіл. Так як множина нескінченна, то хоча б в одному з отриманих відрізків лежить нескінченно багато точок множини. Позначимо цей відрізок через (якщо обох половинах відрізка лежить нескінченно багато точок множини , то через можна позначити, наприклад, ліву). Далі розділимо відрізок на два рівних відрізка. Так як частина множини, розташована на відрізку нескінченна, то хоча б один з отриманих відрізків містить нескінченно багато точок множини. Позначимо цей відрізок через . Продовжимо необмежено процес поділу відрізків навпіл і будемо щоразу брати ту половину, яка містить нескінченно багато точок множини. Ми отримаємо послідовність відрізків. Ця послідовність відрізків має такі властивості: кожен наступний відрізок міститься в попередньому ; кожен відрізок містить нескінченно багато точок множини; довжини відрізків прагнуть нуля. Перші дві властивості послідовності безпосередньо випливають із її побудови, а для доказу останньої властивостіДосить помітити, що якщо довжина відрізка дорівнює , то довжина відрізка дорівнює . У силу принципу Кантора існує єдина точка, що належить усім відрізкам. Покажемо, що ця точка є граничною точкою множини. Для цього достатньо встановити, що якщо є деякий інтервал, що містить точку , він містить нескінченно багато точок множини . Так як кожен відрізок містить точку і довжини відрізків прагнуть нуля, то при достатньо великому відрізокбуде повністю утримуватися в інтервалі. Але за умовою містить нескінченно багато точок множини. Тому і містить нескінченно багато точок множини. Отже, точка дійсно є граничною точкою множини, і теорема Больцано-Вейєрштраса доведена.

ЕКЗАМЕНАЦІЙНА ПРОГРАМА

за курсом "Математичний аналіз" (А-5,13,14-13)

1. Обмежені та необмежені множини. приклади.

2. Верхня та нижня грані числової множини. Теорема про існування

точної верхньої (точної нижньої) грані множини.

3. Числова послідовність. Межа числової послідовності.

Зв'язок схожої і нескінченно малої послідовності.

4. Нескінченно малі послідовності та його властивості.

5. Нескінченно великі послідовності та їх зв'язок з нескінченно малими

послідовності.

6. Арифметичні властивостімеж послідовностей.

7. Властивості послідовностей, що сходяться: єдиність межі,

обмеженість послідовності, що збігається.

8. Властивості послідовностей, що сходяться: граничний перехідв

нерівностях.

9. Монотонні послідовності. Теорема про межі монотонної

послідовності.

10. Число е.

11. Лемма про вкладені відрізки.

12. Підпослідовності, часткові межі. Зв'язок межі

послідовності із частковими межами.

13. Теорема Больцано-Вейєрштрасса.

14. Критерій Коші збіжності числової послідовності.

15. Межа функції: два визначення та їх еквівалентність.

16. Арифметичні характеристики меж функций.

17. Властивості меж функцій: єдиність межі; обмеженість

функції, що має межу.

18. Властивості меж функций: граничний перехід у нерівностях.

19. Односторонні межі та їх зв'язок із межею функції.

20. Перша чудова межа.

21. Друга чудова межа.

22. Нескінченно малі функції та його властивості.

23. Нескінченно великі функції та їх зв'язок із нескінченно малими

функціями.

24. Порівняння нескінченно малих функцій. приклади.

25. Еквівалентні нескінченно малі функції (таблиця). Теорема про

еквівалентних нескінченно малих функціях.

26. Порівняння нескінченно великих функцій. приклади.

27. Безперервність функції у точці (3 визначення). Властивості функцій,

безперервних у точці.

28. Безперервність складної функції.

29. Класифікація точок розриву функції.

30. Точки розриву монотонної функції.

31. Перша теорема Вейєрштраса.

32. Друга теорема Вейєрштраса.

33. Теорема про нуль безперервної функції.

34. Теорема Больцано-Коші про проміжні значення безперервної

функції. Наслідок теореми Больцано-Коші.

35. Критерій безперервності монотонної функції.

36. Безперервність зворотної функції.

37. Рівномірна безперервність функції. Теорема Кантору.

38. Похідна функції у точці. Похідні елементарних функцій

(Приклади та таблиця). Геометричний змістпохідною.

39. Диференційованість функції у точці (два визначення та їх

еквівалентність). Безперервність функції, що диференціюється.

40. Арифметичні властивості функцій, що диференціюються.

41. Похідна складної функції.

42. Похідна зворотної функції.

43. Похідна функції, заданої параметрично.

44. Похідні вищих систем. Формула Лейбниця.

45. Диференціал функції. Властивості диференціалу. Інваріантність

форми запису першого диференціалу

46. ​​Диференціали вищих систем. Неінваріантність форми запису

другого диференціалу.

47. Теорема Ферма.

48. Теорема Роля.

49. Теорема Лагранжа.

50. Теорема Коші для функцій, що диференціюються.

51. Правило Лопіталя.

52. 53. 54. Формула Тейлора із залишковим членом у формі Пеано. Формула Тейлора із залишковим членом у формі Лагранжа. Формули тейлору для елементарних функцій.

55. Ознака монотонності функції.

56. Локальний екстремумфункції. Необхідна умова локального

екстремуму.

57. Перше достатня умовалокального екстремуму.

58. Друга достатня умова локального екстремуму.

59. Випуклість функції. Достатня умова опуклості функції.

60. Зв'язок опуклості функції та дотичної до графіка функції

(Формулювання).

64. Точка перегину функції. Необхідна умова для точки перегину.

65. Достатні умови для точки перегину (2 теореми).

66. Асимптоти графіка функції.

1. Обмежені та необмежені множини. приклади.

Доведення. Слідство. приклад.

2. Верхня та нижня грані числової множини. Теорема про існування точної верхньої (точної нижньої) грані множини.

Твердження. Доведення.

Теорема про існування точної верхньої (нижньої) грані. Доведення.

3. Числова послідовність. Межа числової послідовності. Зв'язок схожої і нескінченно малої послідовності.

Теорема про зв'язок б.м. і послідовності, що збігається. Доведення.

4. Нескінченно малі послідовності та його властивості.

Теорема 1. Доведення.

Слідство.

5. Нескінченно великі послідовності та їх зв'язок із нескінченно малими послідовностями.

Теорема.

Доведення.

6. Арифметичні властивості меж послідовностей.

Теорема.Докази. Теорема. Доведення.

7. Властивості послідовностей, що сходяться: єдиність межі, обмеженість послідовності, що сходиться.

Теорема:(Про єдиність межі): Якщо
-схожа, то межа єдина.

Доведення:

Нехай
,
,
.

Для визначеності
маємо:

.

<
<

<. <
.

Протиріччя.

Теорема:(Про обмеженість послідовності, що збігається): Якщо
-Сходиться, то вона обмежена.

- схожа


:

.

Візьмемо =1


.

Позначимо тоді

Тоді

Звідси для обох випадків

Примітка:зворотне не так.

8. Властивості послідовностей, що сходяться: граничний перехід в нерівностях.

Теорема: (про граничний перехід у нерівність):

Нехай
,
.

. Тоді
.

Примітка:

.

Доказ (від протилежного):

Нехай
.

Візьмемо
.

Позначимо

.

- Протиріччя.

Примітка:Якщо для елементів послідовності виконується
, то звідси не випливає, що
.


.

=, =,



.

9. Монотонні послідовності. Теорема про межі монотонної послідовності.

Визначення:
-монотонно зростаюча (монотонно спадна),

якщо

(
). Якщо нерівності суворі, то

послідовності строго зростаючі (зменшуються).

Теорема (про межі монотонної послідовності).Нехай

Монотонно зростає та обмежена зверху. Тоді вона сходиться, причому

.

Доведення:

обмежена зверху =>за теоремою існування точної верхньої

грані

. Доведемо, що
.

: 1)

2)
.

Візьмемо довільний
, позначимо
з 2).

1)=>

2)=>
(Монот. Возр).

З цього виходить що
,
=>

.

Ми довели достатню умову числової збіжності послідовності (монот. та огр.)

10. Число е.

Важко довести, що функція
при

має межу. Ця межа позначається буквою на честь того, хто відкрив

його петербурзький математик Леонард Ейлер. Встановлено, що

це-ірраціональне число і що = 2,718281828459…. Формула,

визначальна кількість за традицією називається другий чудовий

межа.

. Також число -заснування

натуральних логарифмів.

Розглянемо
.

Обмежена числова множина

Безліч дійсних чиселназивається обмеженим зверху, якщо існує число , що всі елементи не перевищують :

Wikimedia Foundation. 2010 .

Дивитись що таке "Обмежена безліч" в інших словниках:

1) О. м. метричний простір X(з метрикою) безліч А, діаметр якого закінчений. 2) О. м. в топологічні. векторному просторіЕ(над полем k) безліч, до рої поглинається кожною околицею нуля U(т. е. існує таке). М. І.… … Математична енциклопедія

У метричному просторі те саме, що цілком обмежений підпростір даного метрич. простору. Див. обмежений простір. А. В. Архангельський … Математична енциклопедія

У математичний аналіз, і прилеглих розділах математики, обмежена безліч, яка в певному сенсімає кінцевий розмір. Базовим є поняття обмеженості числової множини, яке узагальнюється на випадок… … Вікіпедія

безліч- набір комплект - безліч Одне з основних понять сучасної математики, «довільна сукупність певних і помітних об'єктів, об'єднаних подумки в єдине… Довідник технічного перекладача

Безліч- одне з основних понять сучасної математики, «довільна сукупність певних та помітних об'єктів, об'єднаних подумки в єдине ціле». (Так визначав безліч засновник теорії множин, відомий німецький… Економіко-математичний словник

Див. Клас у логіці. Філософський енциклопедичний словник. М.: Радянська енциклопедія. Гол. редакція: Л. Ф. Іллічов, П. Н. Федосєєв, С. М. Ковальов, В. Г. Панов. 1983. МНОЖИВО … Філософська енциклопедія

У цього терміна існують інші значення, див. Множина (значення). Безліч тип і структура даних в інформатиці є реалізацією математичного об'єкта безліч. Дані типу безліч дозволяють зберігати обмежену кількість значень.

1) П. м. аналітичної функції f(z) комплексних змінних z=(z1,...,zn), п 1, така безліч Рточок деякої області Dкомплексного простору З n, що: а) f(z) голоморфна всюди; б) f(z) не триває аналітично в жодну точку Р;в) для… … Математична енциклопедія

генеральна множина (гм) текстів- Об'єктом самого дослідження виступає не сама підмова, а деяка безліч текстів, що є в принципі нескінченним або, принаймні, відкритим. Задається воно описово шляхом характеристики джерел даних текстів. Саме вони… … Тлумачний перекладознавчий словник

Розглянемо розташування графіків взаємно зворотних функційв декартовій системікоординат та доведемо наступне твердження.

Лемма 1.1. Якщо a, b R то точки M 1 (a, b), M 2 (b, a) площини симетричні щодо прямої y = x .

Якщо a = b, то точки M1, M2 збігаються і лежать на прямій y = x. Вважатимемо, що a 6= b. Пряма, що проходить через точки M1 , M2 має рівняння y = −x+a+b, а тому перпендикулярна до прямої y = x.

Оскільки середина відрізка M1 M2 має координати a + 2 b, a + 2 b! , то

вона лежить на прямій y = x. Отже, точки M1 , M2

Слідство. Якщо функції f: X −→ Y і ϕ : Y −→ X взаємно зворотні, їх графіки симетричні щодо прямойy = x , якщо вони побудовані у одній системі координат.

Нехай f = ((x, f(x)) | x X), ϕ = ((y, ϕ(y)) | y Y) - графіки функцій f і ϕ відповідно. Так як

(a, b) f (b = f(a), a X) (a = ϕ(b), b Y) (b, a)ϕ ,

то в силу доведеної леми графіки f і симетричні щодо прямої y = x.

1.6 Властивості числових множин

1.6.1 Обмежені числові множини

Визначення 1.26. Нехай X - непусте числове безліч. Множина X називається обмеженою зверху (знизу), якщо існує таке число a , що x 6 a (x > a ) для будь-якого елемента x . При цьому число називається верхньою (нижньою) межею множини X . Безліч, обмежене знизу та зверху називають обмеженим.

За допомогою логічних символів обмеженість зверху множини X записують так:

a R: x 6 a x X.

Враховуючи властивості модуля числа, можна дати наступне рівносильне визначення обмеженої множини.

Визначення 1.27. Непорожнє числове безліч X називають обмеженим, якщо існує таке додатне число M , що

Визначення 1.28. Елементa з числової множини X називають максимальним (мінімальним) елементом в X, якщо x 6 a (відповідно, x > a) для будь-якого x з X, і пишуть: a = max X (відповідно, a = min X).

В силу аксіоми порядку (3.b) легко показати, що якщо безліч X R має максимальний (мінімальний) елемент, то він єдиний.

Зазначимо, що якщо числова множина X має максимальний (мінімальний) елемент a, воно обмежено зверху (знизу) і число a є верхньою (нижньою) межею множини X. Однак не всяке обмежене зверху (знизу) числова множина має максимальний (мінімальний) елемент .

приклад 1.5. Покажемо, що множина X = = inf (а, b) = а.

Ці приклади показують, зокрема, що нижня і верхня грані можуть як належати, так і не належати до самої безлічі.

У силу свого визначення верхня і нижня грані безлічі єдині. Справді, якщо в деякій множині, що належить навіть розширеній числовій прямій, існує найменший (найбільший) елемент, то він єдиний, тому що з двох різних елементівмножини більший з них не може бути найменшим елементом, а менший - найбільшим.

Чи завжди обмежена зверху (знизу) множина має точну верхню (нижню) межу? Справді, оскільки верхніх (нижніх) кордонів нескінченно багато, а серед нескінченної множиничисел який завжди знайдеться найбільше (найменше, то існування супремуму (інфінуму) вимагає спеціального докази.

Теорема 7.3(1)

Будь-яке обмежене зверху непорожня множина має верхню грань, а всяке обмежене знизу непорожнє нижню.

Доведення

Нехай непуста числова множина А обмежена зверху, В - множина всіх чисел, що обмежують зверху безліч А. Якщо то з визначення числа, що обмежує зверху

безліч, випливає, що a b. Отже, за якістю безперервності дійсних чисел існує таке число β, що для всіх виконуватиметься нерівність a≤β≤b. Нерівність означає, що число β обмежує зверху безліч А, а нерівність - що число β є найменшим серед усіх чисел, що обмежують зверху безліч А. Отже, β= sup A.

Аналогічно доводиться, що обмежена знизу числова множина має нижню грань.