Як знайти площу поверхні тіла обертання. Знаходження площі поверхні тіл обертання

Поверхня обертання- Поверхня, що утворюється при обертанні навколо прямої (осі поверхні) довільної лінії (прямої, плоскої або просторової кривої). Наприклад, якщо пряма перетинає вісь обертання, то при її обертанні вийде конічна поверхня, якщо паралельна осі - циліндрична, якщо схрещується з віссю - однопорожнинний гіперболоїд обертання. Одна й та сама поверхня може бути отримана обертанням найрізноманітніших кривих. Площа поверхні обертання, утвореною обертаннямплоскої кривої кінцевої довжини навколо осі, що лежить у площині кривої, але не перетинає криву, дорівнює добутку довжини кривої на довжину кола з радіусом, рівною відстанівід осі до центру мас кривої. Це твердження називається другою теоремою Гюльдена, або теоремою Паппа про центроїд.

Площу поверхні обертання, утвореної обертанням кривої навколо осі, можна обчислити за формулою

Для випадку, коли крива задана в полярної системикоординат дійсна формула

Механічні програми певного інтегралу(Робота сил, статичні моменти, центр тяжіння).

Обчислення роботи сил

Матеріальна точка рухається безперервно диференційованою кривою, при цьому на неї діє сила, спрямована по дотичній до траєкторії в напрямку руху. Повна робота, що виконується силою F(s):

Якщо положення точки на траєкторії руху описується іншим параметром, то формула набуває вигляду:

Обчислення статичних моментів та центру тяжіння
Нехай на координатній площині Оху деяка маса М розподілена з щільністю р = р (у) на деякій точці S (це може бути дуга кривою або обмежена плоска фігура). Позначимо s(у) - міру зазначеної множини (довжина дуги або площа).

Визначення 2. Число називається k-м моментоммаси М щодо осі Ох.
При k = 0 М 0 = М - маса,
k = 1 М 1 – статичний момент,
k = 2 М 2 – момент інерції.

Аналогічно запроваджуються моменти щодо осі Оу. У просторі так само вводяться поняття моментів маси щодо координатних площин.
Якщо р = 1, то відповідні моменти називаються геометричними. Координати центру тяжкості однорідної (р – const) плоскої фігуривизначаються за формулами:

де М 1 y , М 1 x - геометричні статичні моменти фігури щодо осей Оу та Ox; S – площа фігури.

Дана формула називається формулою об'єму тіла за площею паралельних перерізів.

приклад. Знайти обсяг еліпсоїда x 2 + y 2 + z 2 = 1. a 2b 2c 2

Розсікаючи еліпсоїд площиною, паралельної площині Oyz і на відстані від неї (-а ≤х ≤а ), отримаємо еліпс (див. рис. 15):

Площа цього еліпса дорівнює

Тому, за формулою (16), маємо

Обчислення площі поверхні обертання

Нехай крива АВ є графіком функції = f (x) ≥ 0, де [а, b], a функція = f (x) і її похідна у" = f" (x) безперервні на цьому відрізку.

Тоді площа поверхні S, утвореної обертанням кривої АВ навколо осіОх обчислюється за формулою

Якщо крива АВ задана параметричними рівняннями = x (t), у = у (t), t 1 ≤ t ≤ t 2, то формула для площі поверхні обертання набуває вигляду

S x = 2 ?

Приклад Знайти площу поверхні кулі радіуса R. Рішення:

Можна вважати, що поверхня кулі утворена обертанням півкола y = R 2 − x 2 ,- R ≤х ≤R навколо осіОх. За формулою (19) знаходимо

2 π ∫ R2 − x2 + x2 dx= 2 π Rx− R R = 4 π R2 .

−R

Приклад. Дано циклоїду x = a (t − sin t), 0 ≤ t ≤ 2 π. y = a (1 - cost ) ,

Знайти площу поверхні, утвореної обертанням її навколо осі Ох. Рішення:

При обертанні половини дуги циклоїди навколо осі Ох площа поверхні обертання дорівнює

Обчислення довжини дуги плоскої кривої

Прямокутні координати

Нехай у дугу, коли кількість ланок ламаної необмежено зростає, а довжина найбільшого прямокутних координатахдана плоска крива АВ, рівняння якої у = f(x), де ≤ х≤ b.

Під довжиною дуги АВ розуміється межа, якого прагне довжина ламаної лінії, вписаної у цю ланки її прагне нулю. Покажемо, що якщо функція у = f(x) та її похідна y′ = f′ (x) безперервні на відрізку [а,b], то криваАВ має довжину, рівну

Якщо рівняння кривої АВ встановлено у параметричній формі

x = x(t) , α ≤ t ≤ β , y= y(t) ,

де x (t) і y (t) - безперервні функціїз безперервними похідними і x (α) = а, x (β) = b, то довжина кривої АВ знаходиться за формулою

Значить, l = 2π R. Якщо рівняння кола записати у параметричному вигляді = R cost, у = R sint (0 ≤t ≤ 2π ), то

Полярні координати

Нехай крива АВ задана рівнянням полярних координатах r =r (ϕ ),α ≤ ϕ ≤ β . Припустимо, щоr(ϕ) іr"(ϕ) безперервні на відрізку [α,β].

Якщо рівності х = r cosϕ ,у =r sinϕ , що пов'язують полярні і декартові координати,

параметром вважати кут ϕ , то криву АВ можна задати параметрично x = r (ϕ ) cos ϕ ,

y = r (ϕ) sinϕ.

Застосовуючи формулу (15), отримуємо l = r 2 + r 2 d ϕ .

Приклад Знайти довжину кардіоїди r =a (1 + cosϕ). Рішення:

Кардіоїда r =a (1 + cosϕ ) має вигляд, зображений на малюнку 14. Вона симетрична щодо полярної осі. Знайдемо половину довжини кардіоїди:

Отже, 1 2 l = 4 a . Значить, l = 8а.

I. Обсяги тіл обертання. Попередньо вивчіть за підручником Г. М. Фіхтенгольця розділ XII, п°п° 197, 198* Докладно розберіть приклади, наведені в п° 198.

508. Обчислити об'єм тіла, що утворюється обертанням еліпсаНавколо осі Ох.

Таким чином,

530. Знайти площу поверхні, утвореної обертанням навколо осі Ox дуги синусоїди у = sin x від точки X = 0 до точки X = It.

531. Обчислити площу поверхні конуса з висотою h та радіусом г.

532. Обчислити площу поверхні, утвореної

обертанням астроїди х3 -)- у * - а3 навколо осі Ох.

533. Обчислити площу поверхні, утвореної цвітінням петлі кривою 18 уг - х (6 - х)г навколо осі Ох.

534. Знайти поверхню тора, що виробляється обертанням кола X2 - j - (у-З)2 = 4 навколо осі Ох.

535. Обчислити площу поверхні, утвореної обертанням кола X = a cost, y = asint навколо осі Ох.

536. Обчислити площу поверхні, утвореної обертанням петлі кривої х = 9t2, у = St - 9t3 навколо осі Ох.

537. Знайти площу поверхні, утвореної обертанням дуги кривої х = е*sint, у = el cost навколо осі Ox

від t = 0 до t = -.

538. Показати, що поверхня, що виробляється обертанням дуги циклоїди х = a (q> -sin ф), у = а (I - cos ф) навколо осі Oy дорівнює 16 і2 о2.

539. Знайти поверхню, отриману обертанням кардіоїди Навколо полярної осі.

540. Знайти площу поверхні, утвореної обертанням лемніскати Навколо полярної осі.

Додаткові завдання до розділу IV

Площі плоских фігур

541. Найтивсю площу області, обмеженою кривою І віссю Ох.

542. Знайти площу області, обмеженої кривою

І віссю Ох.

543. Знайти частину площі області, розташованої у першому квадранті та обмеженої кривої

л осями координат.

544. Знайти площу області, що міститься всередині

петлі:

545. Знайти площу області, обмеженою однією петлею кривою:

546. Знайти площу області, що міститься всередині петлі:

547. Знайти площу області, обмеженої кривою

І віссю Ох.

548. Знайти площу області, обмеженою кривою

І віссю Ох.

549. Знайти площу області, обмеженої віссю Oxr

прямийІ кривий

Тому відразу перейду до основних понять та практичних прикладів.

Подивимося на лаконічну картинку

І згадаємо: що можна обчислити за допомогою певного інтегралу?

Насамперед, звичайно, площа криволінійної трапеції. Знайоме зі шкільних часів.

Якщо ж дана фігураобертається навколо координатної осі, то вже йдеться про знаходження об'єму тіла обертання. Теж просто.

Що ще? Нещодавно була розглянута завдання про довжину дуги кривої .

І сьогодні ми навчимося розраховувати ще одну характеристику – ще одну площу. Уявіть, що лінія обертаєтьсянавколо осі. В результаті цієї дії виходить геометрична фігура, звана поверхнею обертання. У даному випадкувона нагадує такий горщик без дна. І без кришки. Як би сказав ослик Іа-Іа, несамовите видовище =)

Щоб виключити двозначне трактування, зроблю занудне, але важливе уточнення:

з геометричної точкизору наш «горщик» має нескінченно тонкустінку та двіповерхні з однаковими площами – зовнішню та внутрішню. Так ось, всі подальші викладки мають на увазі площу тільки зовнішньої поверхні.

У прямокутної системикоординат площа поверхні обертання розраховується за такою формулою:

або, якщо компактніше: .

До функції та її похідної пред'являються ті самі вимоги, що й під час перебування довжини дуги кривої, але, крім того, крива повинна розташовуватися вищеосі. Це суттєво! Неважко зрозуміти, що якщо лінія розташовується підвіссю, то підінтегральна функція буде негативною: , І тому до формули доведеться додати символ «мінус» щоб зберегти геометричний зміст завдання.

Розглянемо незаслужено обійдену увагою фігуру:

Площа поверхні тора

У двох словах, тор - це бублик. Хрестоматійний приклад, що розглядається практично у всіх підручниках з матану, присвячений знаходженню обсягутора, і тому з метою різноманітності я розберу більш рідкісне завдання про площі його поверхні. Спочатку з конкретними числовими значеннями:

Приклад 1

Обчислити площу поверхні тора, отриманого обертанням кола навколо осі.

Рішення: як ви знаєте, рівняння ставить колоодиничного радіусу з центром у точці. При цьому легко отримати дві функції:

- Задає верхню півколо;
- Задає нижню півколо:

Суть кристально прозора: колообертається навколо осі абсцис та утворює поверхнябублик. Єдине, тут, щоб уникнути грубих застережень, слід виявити акуратність у термінології: якщо обертати коло, обмежений колом , то вийде геометричне тіло, тобто сам бублик. І зараз розмова про площу його поверхні, яку, очевидно, потрібно розрахувати як суму площ:

1) Знайдемо площу поверхні, яка виходить обертанням «синьої» дуги навколо осі абсцис. Використовуємо формулу . Як я вже неодноразово радив, дії зручніше проводити поетапно:

Беремо функцію і знаходимо її похідну:

І, нарешті, заряджаємо результат у формулу:

Зауважте, що в даному випадку виявилося раціональнішим подвоїти інтеграл від парної функціїпо ходу рішення, ніж попередньо міркувати про симетрію фігури щодо осі ординат.

2) Знайдемо площу поверхні, яка виходить обертанням «червоної» дуги навколо осі абсцис. Всі дії відрізнятимуться фактично лише одним знаком. Оформлю рішення в іншому стилі, що, само собою, теж має право на життя:


3) Таким чином, площа поверхні тора:

Відповідь:

Завдання можна було вирішити у загальному вигляді– обчислити площу поверхні тора, отриманого обертанням кола навколо осі абсцис, та отримати відповідь . Однак для наочності та більшої простоти я провів рішення на конкретних числах.

Якщо вам необхідно розрахувати обсяг самого бублика, будь ласка, зверніться до підручника як експрес-довідку:

Відповідно до теоретичної ремарки, розглядаємо верхнє півколо. Вона промальовується при зміні значення параметра в межах (легко бачити, що на даному проміжку), таким чином:

Відповідь:

Якщо вирішити завдання у загальному вигляді, то вийде точно шкільна формулаплощі сфери, де – її радіус.

Щось дуже просте завдання, навіть соромно стало…. пропоную вам виправити таку недоробку =)

Приклад 4

Обчислити площу поверхні, отриманої обертанням першої арки циклоїди навколо осі.

Завдання креативне. Намагайтеся вивести або інтуїтивно здогадатися про формулу обчислення площі поверхні, отриманої обертанням кривої навколо осі ординат. І, звичайно, знову слід відзначити перевагу параметричних рівнянь- їх не потрібно якось видозмінювати; не потрібно морочитися зі знаходженням інших меж інтегрування.

Графік циклоїди можна переглянути на сторінці Площа та об'єм, якщо лінія задана параметрично. Поверхня обертання нагадуватиме… навіть не знаю з чим порівняти… щось неземне – округлої форми з гострим заглибленням посередині. Ось для випадку обертання циклоїди навколо осі асоціація в голову миттєво спала - довгастий м'яч для гри в регбі.

Рішення та відповідь наприкінці уроку.

Завершуємо наш цікавий огляд нагодою полярних координат. Так, саме огляд, якщо ви заглянете в підручники з математичного аналізу(Фіхтенгольця, Бохана, Піскунова, ін. авторів), то зможете роздобути добрий десяток (а то й помітно більше) стандартних прикладівсеред яких цілком можливо знайдеться потрібне вам завдання.

Як обчислити площу поверхні обертання,
якщо лінія задана у полярній системі координат?

Якщо крива задана в полярних координатахрівнянням , і функція має безперервну похідну на даному проміжку, площа поверхні, отриманої обертанням даної кривої навколо полярної осі, розраховується за формулою , де - Кутові значення, що відповідають кінцям кривої.

Відповідно до геометричним змістомзавдання підінтегральна функція , а це досягається лише за умови (і свідомо невід'ємні). Отже, необхідно розглядати значення кута з діапазону , тобто крива повинна розташовуватися вищеполярної осі та її продовження. Як бачите, та сама історія, що й у двох попередніх параграфах.

Приклад 5

Обчислити площу поверхні, утвореної обертанням кардіоїди навколо полярної осі.

Рішення: графік даної кривої можна подивитися в Прикладі 6 уроку полярної системи координат. Кардіоїда симетрична щодо полярної осі, тому розглядаємо її верхню половинку на проміжку (що, власне, обумовлено і сказаним вище зауваженням).

Поверхня обертання нагадуватиме яблучко.

Техніка рішення стандартна. Знайдемо похідну за «фі»:

Складемо і спростимо корінь:

Сподіваюся, із заштатними