Визначення одночлена: супутні поняття, приклади. Що таке одночлен

Ступінь одночлена

Для одночлена існує поняття його ступеня. Розберемося, що таке.

Визначення.

Ступінь одночленастандартного виду – це сума показників ступенів всіх змінних, які входять до його запис; якщо запису одночлена немає змінних, і він відмінний від нуля, його ступінь вважається рівної нулю; число нуль вважається одночленом, ступінь якого визначено.

Визначення ступеня одночлена дозволяє навести приклади. Ступінь одночлена a дорівнює одиниці, тому що a це є a 1 . Ступінь одночлена 5 є нуль, тому що він відмінний від нуля, і його запис не містить змінних. А добуток 7·a 2 ·x·y 3 ·a 2 є одночленом восьмого ступеня, оскільки сума показників ступенів всіх змінних a , x та y дорівнює 2+1+3+2=8 .

До речі, ступінь одночлена, записаного не в стандартному вигляді, Дорівнює ступеня відповідного одночлена стандартного виду. Для ілюстрації сказаного обчислимо ступінь одночлена 3·x 2 ·y 3 ·x·(−2)·x 5 ·y. Цей одночлен у стандартному вигляді має вигляд -6 x 8 y 4, його ступінь дорівнює 8 +4 = 12 . Таким чином, ступінь вихідного одночлена дорівнює 12 .

Коефіцієнт одночлена

Одночлен у стандартному вигляді, що має у своєму записі хоча б одну змінну, є твір з єдиним числовим множником – числовим коефіцієнтом . Цей коефіцієнт називають коефіцієнтом одночлена. Оформимо наведені міркування як визначення.

Визначення.

Коефіцієнт одночлена- Це числовий множник одночлена, записаного у стандартному вигляді.

Тепер можна навести приклади коефіцієнтів різних одночленів. Число 5 - це коефіцієнт одночлена 5 · a 3 за визначенням, аналогічно одночлен (-2,3) · x · y · z має коефіцієнт -2,3 .

На окрему увагу заслуговують коефіцієнти одночленів, рівні 1 і −1 . Справа тут у тому, що вони зазвичай не присутні у записі у явному вигляді. Вважають, що коефіцієнт одночленів стандартного виду, що не мають у своєму записі числового множника, дорівнює одиниці. Наприклад, одночлени a, xz 3, atx і т.п. мають коефіцієнт 1, оскільки a можна розглядати як 1·a, x·z 3 - як 1·x·z 3 і т.п.

Аналогічно, коефіцієнт одночленів, записи яких у стандартному вигляді не мають числового множника і починаються зі знака мінус, вважають мінус одиницю. Наприклад, одночлени −x , −x 3 ·y·z 3 тощо. мають коефіцієнт −1 , тому що −x=(−1)·x , −x 3 ·y·z 3 =(−1)·x 3 ·y·z 3і т.п.

До речі, поняття коефіцієнта одночлена найчастіше відносять і до одночленів стандартного вигляду, що є числами без літерних множників. Коефіцієнтами таких одночленів чисел вважають ці числа. Так, наприклад, коефіцієнт одночлена 7 вважають рівним 7 .

Список літератури.

• Алгебра:навч. для 7 кл. загальноосвіт. установ/[Ю. Н. Макарічев, Н. Г. Міндюк, К. І. Нешков, С. Б. Суворова]; за ред. С. А. Теляковського. - 17-те вид. – М.: Просвітництво, 2008. – 240 с. : іл. - ISBN 978-5-09-019315-3.
• Мордковіч А. Г.Алгебра. 7 клас. У 2 год. Ч. 1. Підручник для учнів загальноосвітніх установ/ А. Г. Мордкович. - 17-те вид., Дод. – К.: Мнемозіна, 2013. – 175 с.: іл. ISBN 978-5-346-02432-3.
• Гусєв В. А., Мордкович А. Г.Математика (посібник для вступників до технікумів): Навч. посібник.- М.; Вищ. шк., 1984.-351 с., іл.

У цьому уроці ми дамо суворе визначенняодночлена, розглянемо різні прикладиіз підручника. Згадаймо правила множення ступенів з однаковими основами. Дамо визначення стандартного виду одночлена, коефіцієнта одночлена та його буквеної частини. Розглянемо дві основні типові дії над одночленами, а саме приведення до стандартного вигляду та обчислення конкретного чисельного значення одночлена при заданих значенняхвходять до нього літерних змінних. Сформулюємо правило приведення одночлена до стандартного виду. Навчимося вирішувати типові завданняз будь-якими одночленами.

Тема:Одночлени. Арифметичні операції над одночленами

Урок:Концепція одночлена. Стандартний вид одночлена

Розглянь деякі приклади:

3. ;

Знайдемо загальні рисидля наведених виразів. У всіх трьох випадках вираз є добутком чисел та змінних, зведених у ступінь. На підставі цього дамо визначення одночлена : одночленом називають таке алгебраїчний вираз, що складається з добутку ступенів та чисел.

Тепер наведемо приклади виразів, які не є одночленами:

Знайдемо відмінність цих виразів від попередніх. Воно полягає в тому, що в прикладах 4-7 є операції додавання, віднімання або поділу, тоді як у прикладах 1-3, які є одночленами, цих операцій немає.

Наведемо ще кілька прикладів:

Вираз під номером 8 є одночленом, оскільки це твір ступеня на число, тоді як приклад 9 не є одночленом.

Тепер з'ясуємо дії над одночленами .

1.Спрощення. Розглянемо приклад №3 ;і приклад №2 /

У другому прикладі бачимо лише одне коефіцієнт - , кожна змінна зустрічається лише один раз, тобто змінна « а» представлена ​​в єдиному екземплярі, як «», аналогічно змінні «» і «» зустрічаються лише один раз.

У прикладі №3 навпаки, є два різних коефіцієнта- і , змінну «» бачимо двічі - як «» і як «», аналогічно змінна «» зустрічається двічі. Тобто, цей вираз слід спростити, таким чином, приходимо до першій дії, що виконується над одночленами - приведення одночлена до стандартного виду . Для цього наведемо до стандартного виду вираз із прикладу 3, потім визначимо цю операцію і навчимося приводити до стандартного вигляду будь-який одночлен.

Отже, розглянь приклад:

Першим дією в операції приведення до стандартного вигляду завжди потрібно перемножити всі числові множники:

;

Результат даної діїбуде називатися коефіцієнтом одночлена .

Далі необхідно перемножити ступені. Перемножимо ступеня змінної х» згідно з правилом множення ступенів з однаковими підставами, в якому говориться, що при множенні показники ступеня складаються:

тепер перемножимо ступеня « у»:

;

Отже, наведемо спрощений вираз:

;

Будь-який одночлен можна привести до стандартного вигляду. Сформулюємо правило приведення до стандартного вигляду :

Перемножити всі числові множники;

Поставити отриманий коефіцієнт перше місце;

Перемножити всі ступені, тобто отримати літерну частину;

Тобто будь-який одночлен характеризується коефіцієнтом і літерною частиною. Забігаючи вперед, відзначимо, що одночлени, що мають однакову буквену частину, називаються подібними.

Тепер потрібно напрацювати техніку приведення одночленів до стандартного вигляду . Розглянь приклади з підручника:

Завдання: привести одночлен до стандартного вигляду, назвати коефіцієнт та літерну частину.

Для виконання завдання скористаємося правилом приведення одночлена до стандартного вигляду та властивостями ступенів.

1. ;

3. ;

Коментарі до першого прикладу: Для початку визначимо, чи дійсно цей вираз є одночленом, для цього перевіримо, чи є в ньому операції множення чисел і ступенів і чи немає в ньому операцій додавання, віднімання чи поділу. Можемо сказати, що це вираз є одночленом, оскільки вищезазначене умова виконується. Далі, згідно з правилом приведення одночлена до стандартного вигляду, перемножимо чисельні множники:

- ми виявили коефіцієнт заданого одночлена;

; ; ; тобто, отримана буквена частина виразу:;

запишемо відповідь: ;

Коментарі до другого прикладу: Дотримуючись правила виконуємо:

1) перемножити числові множники:

2) перемножити ступеня:

Змінні та представлені в єдиному екземплярі, тобто їх перемножити ні з чим не можна, вони переписуються без змін, ступінь перемножується:

запишемо відповідь:

;

У даному прикладікоефіцієнт одночлена дорівнює одиниці, а літерна частина .

Коментарі до третього прикладу: ааналогічно попереднім прикладам виконуємо дії:

1) перемножити чисельні множники:

;

2) перемножити ступеня:

;

випишемо відповідь: ;

У даному випадкукоефіцієнт одночлена дорівнює «», а літерна частина .

Тепер розглянемо другу стандартну операцію над одночленами . Оскільки одночлен це алгебраїчне вираз, що складається з літерних змінних, які можуть приймати конкретні числові значення, то ми маємо арифметичне числове вираз, що слід обчислити. Тобто, наступна операція над багаточленами полягає в обчисленні їх конкретного числового значення .

Розглянемо приклад. Задано одночлен:

даний одночлен вже наведено до стандартного вигляду, його коефіцієнт дорівнює одиниці, а літерна частина

Раніше ми говорили, що вираз алгебри не завжди можна обчислити, тобто змінні, які в нього входять, можуть приймати не будь-яке значення. У разі одночлена ж змінні, що входять до нього, можуть бути будь-якими, це є особливістю одночлена.

Отже, у заданому прикладіпотрібно обчислити значення одночлена при , , , .

Поняття одночлена

Визначення одночлена: одночлен - це вираз алгебри, в якому використовується тільки множення.

Стандартний вид одночлена

Що таке стандартний вигляд одночлену? Одночлен записаний у стандартному вигляді, якщо в ньому на першому місці стоїть числовий множник і цей множник, його називають коефіцієнтом одночлена, тільки один в одночлені, літери одночлена розташовані в алфавітному порядкуі кожна літера зустрічається лише один раз.

Приклад одночлена у стандартному вигляді:

тут на першому місці число, коефіцієнт одночлена, і це число тільки одне в нашому одночлені, кожна літера зустрічається лише один раз і літери розташовані в алфавітному порядку, в даному випадку це латинський алфавіт.

Ще приклад одночлена у стандартному вигляді:

кожна літера зустрічається лише одного разу, розташовані вони у латинському алфавітному порядку, але де коефіцієнт одночлена, тобто. числовий множник, який має стояти першому місці? Він тут дорівнює одиниці: 1adm.

Коефіцієнт одночлена може бути негативним? Так, може, приклад: -5a.

Коефіцієнт одночлена може бути дрібним? Так, може, приклад: 5,2a.

Якщо одночлен складається з числа, тобто. немає букв, як привести його до стандартного вигляду? Будь-який одночлен, що є числом, вже знаходиться в стандартному вигляді, приклад: число 5 - це одночлен стандартного виду.

Приведення одночленів до стандартного вигляду

Як привести одночлен до стандартного вигляду? Розглянемо приклади.

Нехай даний одночлен 2a4b, потрібно привести його до стандартного вигляду. Перемножуємо два його числові множники та отримуємо 8ab. Тепер одночлен записаний стандартному вигляді, тобто. має тільки один числовий множник, записаний на першому місці, кожна була в одночлені зустрічається тільки один раз і розташовані ці літери в алфавітному порядку. Отже, 2a4b = 8ab.

Дано: одночлен 2a4a, привести одночлен до стандартного вигляду. Перемножуємо числа 2 та 4, добуток aa замінюємо другим ступенем a 2 . Отримуємо: 8a 2 . Це стандартний вид цього одночлена. Отже, 2a4a = 8a2.

Подібні одночлени

Що таке подібні одночлени? Якщо одночлени розрізняються лише коефіцієнтами чи рівні, всі вони називаються подібними.

Приклад таких одночленів: 5a і 2a. Ці одночлени відрізняються лише коефіцієнтами, отже вони подібні.

Чи подібні до одночленів 5abc і 10cba? Наведемо до стандартного вигляду другий одночлен, отримаємо 10abc. Тепер видно, що одночлени 5abc та 10abc відрізняються лише своїми коефіцієнтами, а це означає, що вони подібні.

Складання одночленів

Чому дорівнює сума одночленів? Підсумовувати ми можемо лише подібні одночлени. Розглянемо приклад складання одночленів. Чому дорівнює сума одночленів 5a та 2a? Сумою цих одночленів буде одночлен, подібний до них, коефіцієнт якого дорівнює сумікоефіцієнтів доданків. Отже, сума одночленів дорівнює 5a + 2a = 7a.

Ще приклади складання одночленів:

2a 2 + 3a 2 = 5a 2
2a 2 b 3 c 4 + 3a 2 b 3 c 4 = 5a 2 b 3 c 4

Ще раз. Складати можна лише подібні одночлени, додавання зводиться до складання їх коефіцієнтів.

Віднімання одночленів

Чому дорівнює різниця одночленів? Віднімати ми можемо лише подібні одночлени. Розглянемо приклад віднімання одночленів. Чому дорівнює різниця одночленів 5a та 2a? Різницею цих одночленів буде одночлен, подібний до них, коефіцієнт якого дорівнює різницікоефіцієнтів даних одночленів Отже, різницю одночленів дорівнює 5a - 2a = 3a.

Ще приклади віднімання одночленів:

10a 2 - 3a 2 = 7a 2
5a 2 b 3 c 4 - 3a 2 b 3 c 4 = 2a 2 b 3 c 4

Розмноження одночленів

Чому дорівнює твір одночленів? Розглянемо приклад:

тобто. добуток одночленів дорівнює одночлену, множники якого складені з множників вихідних одночленів.

Ще приклад:

2a 2 b 3 * a 5 b 9 = 2a 7 b 12 .

Як вийшов такий результат? У кожному співмножнику є «а» у ступені: у першому – «а» у ступені 2, а у другому – «а» у ступені 5. Значить у творі буде «а» у ступені 7, адже при множенні однакових букв показники їх ступенів складаються:

A 2 * a 5 = a 7 .

Це саме стосується і співмножника «b».

Коефіцієнт першого співмножника дорівнює двом, а другого – одному, тому отримуємо в результаті 2*1=2.

Ось так вважався результат 2a 7 b 12 .

З цих прикладів видно, що коефіцієнти одночленів перемножуються, а однакові літеризамінюються сумами їх ступенів у творі.

Одночлени є одним із основних видів виразів, що вивчаються в рамках шкільного курсу алгебри. У цьому матеріалі ми розповімо, що це за вирази, визначимо їхній стандартний вигляд і покажемо приклади, а також розберемося з супутніми поняттями, такими як ступінь одночлена та його коефіцієнт.

Що таке одночлен

У шкільних підручникахзазвичай дається наступне визначенняцього поняття:

Визначення 1

До одночленів відносятьсячисла, змінні, а також їх ступеня з натуральним показникомі різні видитворів, складені їх.

Виходячи з цього визначення ми можемо навести приклади таких виразів. Так, усі числа 2, 8, 3004, 0, - 4, - 6, 0, 78, 1 4, - 4 3 7 будуть відноситися до одночленів. Всі змінні, наприклад, x, a, b, p, q, t, y, z теж будуть за визначенням одночленами. Сюди можна віднести ступеня змінних і чисел, наприклад, 6 3 , (− 7 , 41) 7 , x 2 і t 15, а також вирази виду 65 · x , 9 · (− 7) · x · y 3 · 6 , x · x · y 3 · x · y 2 · z і т.д. Зверніть увагу, що до складу одночлена може входити як одне чи змінна, так і кілька, причому вони можуть бути згадані кілька разів у складі одного багаточлена.

Такі види чисел, як цілі, раціональні, натуральні теж відносяться до одночленів. Також сюди можна включити дійсні та комплексні числа. Так, вирази виду 2 + 3 · i · x · z 4 , 2 · x , 2 · π · x 3 теж будуть одночленами.

Що таке стандартний вид одночлена і як навести вираз до нього

Для зручності роботи всі одночлени спочатку призводять до особливого виглядуназивається стандартним. Сформулюємо саме, що це значить.

Визначення 2

Стандартним видом одночленаназивають такий його вид, в якій він являє собою добуток числового множника і натуральних ступеніврізних змінних. Числовий множник, який також називається коефіцієнтом одночлена, зазвичай записують першим з лівого боку.

Для наочності підберемо кілька одночленів стандартного вигляду: 6 (це одночлен без змінних), 4 · a, − 9 · x 2 · y 3 , 2 3 5 · x 7 . Сюди можна віднести вираз x · y(Тут коефіцієнт дорівнюватиме 1), − x 3(Тут коефіцієнт дорівнює - 1).

Тепер наведемо приклади одночленів, які потрібно привести до стандартного вигляду: 4 · a · a 2 · a 3(Тут потрібно об'єднати однакові змінні), 5 · x · (− 1) · 3 · y 2(Тут потрібно об'єднати зліва числові множники).

Зазвичай у разі, коли одночлен має кілька змінних, записаних літерами, літерні множники записують за абеткою. Наприклад, кращий запис 6 · a · b 4 · c · z 2чим b 4 · 6 · a · z 2 · c. Однак порядок може бути й іншим, якщо цього вимагає мети обчислення.

Привести до стандартного вигляду можна будь-який одночлен. Для цього необхідно виконати всі потрібні тотожні перетворення.

Поняття ступеня одночлена

Дуже важливим є супутнє поняття ступеня одночлена. Запишемо визначення цього поняття.

Визначення 3

ступенем одночлена, записаного у стандартному вигляді, є сума показників ступенів всіх змінних, що входять до його запису. Якщо жодної змінної немає, а сам одночлен відмінний від 0 , його ступінь буде нульової.

Наведемо приклади ступенів одночлена.

Приклад 1

Так, одночлен a має ступінь, що дорівнює 1 , оскільки a = a 1 . Якщо ми маємо одночлен 7 , то він матиме нульовий ступінь, оскільки в ньому немає змінних і він відрізняється від 0 . А ось запис 7 · a 2 · x · y 3 · a 2буде одночленом 8-го ступеня, адже сума показників усіх ступенів змінних, включених до нього, дорівнюватиме 8: 2 + 1 + 3 + 2 = 8 .

Одночлен, наведений до стандартного вигляду, і вихідний багаточлен матиме однаковий ступінь.

Приклад 2

Покажемо, як підрахувати ступінь одночлена 3 · x 2 · y 3 · x · (−2) · x 5 · y. У стандартному вигляді його можна записати як − 6 · x 8 · y 4. Обчислюємо ступінь: 8 + 4 = 12 . Отже, ступінь вихідного многочлена також дорівнює 12 .

Поняття коефіцієнта одночлена

Якщо у нас є одночлен, наведений до стандартного вигляду, який включає хоча б одну змінну, то ми говоримо про нього як про твір з одним числовим множником. Цей множник називають числовим коефіцієнтом, або коефіцієнт одночлена. Запишемо визначення.

Визначення 4

Коефіцієнтом одночлена називають числовий множник одночлена, наведеного до стандартного виду.

Візьмемо для прикладу коефіцієнти різних одночленів.

Приклад 3

Так, у виразі 8 · a 3коефіцієнтом буде число 8, а в (− 2 , 3) ​​· x · y · zїм буде − 2 , 3 .

Особливу увагу треба приділити коефіцієнтам, рівним одиниціта мінус одиниці. Як правило, у явному вигляді їх не вказують. Вважається, що в одночлені стандартного виду, в якому немає числового множника, коефіцієнт дорівнює 1, наприклад, у виразах a, x · z 3, a · t · x, оскільки їх можна розглядати як як 1 · a, x · z 3 – як 1 · x · z 3і т.д.

Так само в одночленах, у яких немає числового множника і які починаються зі знака мінус, ми можемо вважати коефіцієнтом - 1 .

Приклад 4

Наприклад, такий коефіцієнт буде у виразів − x , − x 3 · y · z 3 , оскільки вони можуть бути представлені як − x = (− 1) · x , − x 3 · y · z 3 = (− 1) · x 3 · y · z 3 і т.д.

Якщо в одночлена взагалі немає жодного буквеного множника, то говорити про коефіцієнті можна і в цьому випадку. Коефіцієнтами таких одночленів чисел будуть самі ці числа. Так, наприклад, коефіцієнт одночлена 9 дорівнюватиме 9 .

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter

Одночлени є творами чисел, змінних та його ступенів. Числа, змінні та його ступеня теж вважаються одночленами. Наприклад: 12ac, -33, a^2b, a, c^9. Одночлен 5aa2b2b можна навести на вигляд 20a^2b^2.Такий вид називається стандартним видом одночлена.Тобто, стандартний вид одночлена - це добуток коефіцієнта (що стоїть на першому місці) і ступенів змінних. Коефіцієнти 1 та -1 не пишуть, але від -1 зберігають мінус. Одночлен та його стандартний вигляд

Вирази 5a2x, 2a3(-3)x2, b2x є добутками чисел, змінних та їх ступенів. Такі вирази називаються одночленами. Одночленами також вважають числа, змінні та його ступеня.

Наприклад, вирази - 8, 35, y та y2 - одночлени.

Стандартним видом одночлена називається одночлен у вигляді твору числового множника, що стоїть на першому місці, і ступенів різних змінних. Будь-який одночлен можна привести до стандартного вигляду шляхом перемноження всіх змінних чисел, що входять до нього. Наведемо приклад приведення одночлена до стандартного вигляду:

4x2y4(-5)yx3 = 4(-5)x2x3y4y = -20x5y5

Числовий множник одночлена, записаного у стандартному вигляді, називають коефіцієнтом одночлена. Наприклад, коефіцієнт одночлена -7x2y2 дорівнює -7. Коефіцієнти одночленів x3 і -xy вважають рівними 1 і -1, оскільки x3 = 1x3 і -xy = -1xy

Ступенем одночлена називають суму показників ступенів всіх змінних, що входять до нього. Якщо одночлен не містить змінних, тобто є числом, його ступінь вважають рівною нулю.

Наприклад, ступінь одночлена 8x3yz2 дорівнює 6, одночлена 6x дорівнює 1, одночлена -10 дорівнює 0.

Розмноження одночленів. Зведення одночленів у ступінь

При множенні одночленів та зведенні одночленів у ступінь використовується правило множення ступенів однаковою основоюі правило зведення ступеня до ступеня. При цьому виходить одночлен, який зазвичай становлять у стандартному вигляді.

Наприклад

4x3y2(-3)x2y = 4(-3)x3x2y2y = -12x5y3

((-5)x3y2)3 = (-5)3x3*3y2*3 = -125x9y6