Як знайти значення числового. Перетворення виразів

I. Вирази, у яких поряд із літерами можуть бути використані числа, знаки арифметичних дійі дужки, називаються виразами алгебри.

Приклади виразів алгебри:

2m-n; 3 · (2a + b); 0,24x; 0,3a -b · (4a + 2b); a 2 - 2ab;

Так як букву в алгебраїчному вираженні можна замінити якимись різними числами, то букву називають змінною, а саме алгебраїчний вираз- Виразом зі змінною.

ІІ. Якщо в алгебраїчному виразі літери (змінні) замінити їх значеннями та виконати зазначені дії, то отримане в результаті число називається значенням виразу алгебри.

приклади. Знайти значення виразу:

1) a + 2b -c при a = -2; b = 10; c = -3,5.

2) | + | y ​​| -|z| при х = -8; y = -5; z = 6.

Рішення.

1) a + 2b -c при a = -2; b = 10; c = -3,5. Замість змінних підставимо їх значення. Отримаємо:

— 2+ 2 · 10- (-3,5) = -2 + 20 +3,5 = 18 + 3,5 = 21,5.

2) | + | y ​​| -|z| при х = -8; y = -5; z = 6. Підставляємо вказані значення. Пам'ятаємо, що модуль негативного числадорівнює протилежному йому числу, а модуль позитивного числадорівнює самому цьому числу. Отримуємо:

|-8| + |-5| -|6| = 8 + 5 -6 = 7.

ІІІ.Значення літери (змінної), у яких алгебраїчне вираз має сенс, називають допустимими значеннями літери (змінної).

приклади. При яких значеннях змінної вираз немає сенсу?

Рішення.Ми знаємо, що на нуль ділити не можна, тому кожен з цих виразів не матиме сенсу при тому значенні літери (змінної), яка звертає знаменник дробу в нуль!

У прикладі 1) це значення а = 0. Справді, якщо замість а підставити 0, потрібно буде число 6 ділити на 0, а цього робити не можна. Відповідь: вираз 1) немає сенсу при а = 0.

У прикладі 2) знаменник х - 4 = 0 при х = 4, отже, це значення х = 4 і не можна брати. Відповідь: вираз 2) немає сенсу при х = 4.

У прикладі 3) знаменник х + 2 = 0 за х = -2. Відповідь: вираз 3) немає сенсу при х = -2.

У прикладі 4) знаменник 5-|x| = 0 за |x| = 5. Оскільки |5| = 5 та |-5| = 5, то не можна брати х = 5 та х = -5. Відповідь: вираз 4) немає сенсу при х = -5 і за х = 5.
IV. Два вирази називаються тотожно рівними, якщо за будь-яких допустимих значеннях змінних відповідні значення цих виразів рівні.

Приклад: 5 (a – b) і 5a – 5b теж однакові, оскільки рівність 5 (a – b) = 5a – 5b буде вірним за будь-яких значеннях a і b. Рівність 5 (a – b) = 5a – 5b є тотожністю.

Тотожність – це рівність, справедливе за всіх допустимих значеннях змінних, що входять до нього. Прикладами вже відомих вам тотожностей є, наприклад, властивості складання та множення, розподільна властивість.

Заміну одного виразу іншим, тотожно рівним йому виразом, називають тотожним перетворенням або просто перетворенням виразу. Тотожні перетвореннявиразів із змінними виконуються на основі властивостей дій над числами.

приклади.

a)перетворіть вираз у тотожно рівну, використовуючи розподільну властивість множення:

1) 10 · (1,2 х + 2,3у); 2) 1,5 · (a -2b + 4c); 3) a · (6m -2n + k).

Рішення. Згадаймо розподільну властивість (закон) множення:

(a+b)·c=a·c+b·c(розподільний закон множення щодо додавання: щоб суму двох чисел помножити на третє число, можна кожне доданок помножити на це число та отримані результати скласти).
(а-b)·c=a·с-b·c(розподільний закон множення щодо віднімання: щоб різницю двох чисел помножити на третє число, можна помножити на це число, що зменшується і віднімається окремо і з першого результату відняти другий).

1) 10 · (1,2 х + 2,3у) = 10 · 1,2 х + 10 · 2,3у = 12х + 23у.

2) 1,5 · (a -2b + 4c) = 1,5а -3b + 6c.

3) a · (6m -2n + k) = 6am -2an + ak.

б)перетворіть вираз у тотожно рівне, використовуючи переміщувальне та комбінаційні властивості(закони) складання:

4) х+4,5+2х+6,5; 5) (3а + 2,1) + 7,8; 6) 5,4 с -3 -2,5 -2,3 с.

Рішення.Застосуємо закони (властивості) складання:

a+b=b+a(переміщувальний: від перестановки доданків сума не змінюється).
(a+b)+c=a+(b+c)(Сполучний: щоб до суми двох доданків додати третє число, можна до першого числа додати суму другого та третього).

4) х + 4,5 +2х + 6,5 = (х + 2х) + (4,5 + 6,5) = 3х + 11.

5) (3а + 2,1) + 7,8 = 3а + (2,1 + 7,8) = 3а + 9,9.

6) 6) 5,4 с -3 -2,5 -2,3 с = (5,4 с -2,3 с) + (-3 -2,5) = 3,1 с -5,5.

в)перетворіть вираз у тотожно рівне, використовуючи переміщувальну та поєднувальну властивості (закони) множення:

7) 4 · х · (-2,5); 8) -3,5 · 2у · (-1); 9) 3а · (-3) · 2с.

Рішення.Застосуємо закони (властивості) множення:

a b = b a(Перемістковий: від перестановки множників твір не змінюється).
(a·b)·c=a·(b·c)(Сполучний: щоб добуток двох чисел помножити на третє число, можна перше число помножити на твір другого та третього).

При вивченні теми числові, буквені вирази та вирази зі змінними необхідно приділити увагу поняття значення виразу. У цій статті ми відповімо на питання, що таке значення числового виразу, і що називають значенням літерного виразу та виразу зі змінними при вибраних значеннях змінних. Для роз'яснення цих термінів наведемо приклади.

Навігація на сторінці.

Що називають значенням числового виразу?

Знайомство з числовими висловлюваннями починається майже з перших уроків математики у шкільництві. Майже одночасно вводиться і поняття «значення числового виразу». Його відносять до виразів, складених із чисел, з'єднаних знаками арифметичних дій (+, −, ·, :). Дамо відповідне визначення.

Визначення.

Значення числового виразу- Це число, яке виходить після виконання всіх дій у вихідному числовому вираженні.

Наприклад розглянемо числове вираз 1+2. Виконавши, отримуємо число 3, воно і є значенням числового виразу 1+2.

Часто в словосполученні «значення числового виразу» слово «числового» опускають, і кажуть просто «значення виразу», оскільки все одно зрозуміло, про значення якого виразу йдеться.

Дане вище визначення значення виразу поширюється і на числові вирази. складного вигляду, які вивчаються у старших класах. Тут слід зауважити, що можна зіткнутися з числовими виразами, вказати значення яких немає можливості. Це з тим, що у деяких висловлюваннях неможливо виконати записані дії. Наприклад, тому ми можемо вказати значення виразу 3:(2−2) . Подібні числові вирази називають виразами, які не мають сенсу.

Часто на практиці інтерес представляє не так числове вираз, як його значення. Тобто постає завдання, що полягає у визначенні значення даного виразу. При цьому зазвичай кажуть, що потрібно знайти значення виразу. У зазначеній статті докладно розібрано процес знаходження значення числових виразів різного виду, і розглянуто масу прикладів з детальними описамирішень.

Значення буквеного виразу та виразу зі змінними

Крім числових виразів вивчають буквені вирази, тобто вирази, у запису яких разом із числами є одна або кілька літер. Літери у буквеному вираженні можуть позначати різні числа, і якщо букви замінити цими числами, то буквене вираз стане числовим.

Визначення.

Числа, якими замінюють літери в буквеному вираженні, називають значеннями цих букв, а значення отриманого при цьому числового виразу називають значенням буквеного виразу при даних значеннях букв.

Отже, для літерних виразів говорять не просто про значення літерного виразу, а про значення літерного виразу при даних (заданих, зазначених і т.п.) значення букв.

Наведемо приклад. Візьмемо буквене вираз 2 · a + b. Нехай задані значення літер a і b, наприклад, a=1 та b=6. Замінивши літери у вихідному виразі їх значеннями, отримаємо числове вираз виду 2 · 1 +6 його значення дорівнює 8 . Таким чином, число 8 є значенням літерного виразу 2·a+b при заданих значенняхлітер a = 1 і b = 6 . Якби були дані інші значення букв, ми отримали значення буквенного висловлювання цих значень букв. Наприклад, при a=5 та b=1 маємо значення 2·5+1=11 .

У старших класах щодо алгебри буквам у буквених виразах дозволяють приймати різні значення, такі літери називають змінними, а літерні вирази - виразами зі змінними. Для цих виразів вводиться поняття значення виразу із змінними при вибраних значеннях змінних. Розберемося, що таке.

Визначення.

Значенням виразу зі змінними при вибраних значеннях зміннихназивається значення числового виразу, що виходить після підстановки обраних значень змінних у вихідний вираз.

Пояснимо озвучене визначення з прикладу. Розглянемо вираз зі змінними x і y виду 3 · x · y + y. Візьмемо x=2 і y=4, підставимо ці значення змінних у вихідний вираз, отримуємо числове вираз 3·2·4+4. Обчислимо значення цього виразу: 3 · 2 · 4 + 4 = 24 + 4 = 28 . Знайдене значення 28 є значенням вихідного виразу зі змінними 3·x·y+y при вибраних значеннях змінних x=2 та y=4 .

Якщо вибрати інші значення змінних, наприклад, x=5 і y=0, то цим вибраним значенням змінних буде відповідати значення виразу зі змінними, що дорівнює 3·5·0+0=0 .

Можна відзначити, що іноді для різних вибраних змінних значень можуть виходити рівні значеннявирази. Наприклад, для x=9 і y=1 значення виразу 3·x·y+y дорівнює 28 (оскільки 3·9·1+1=27+1=28 ), а вище ми показали, що таке ж значення це вираз зі змінними має при x=2 та y=4 .

Значення змінних можна вибирати з відповідних їм областей допустимих значень . В іншому випадку при підстановці у вихідний вираз значень цих змінних вийде числове вираження, що не має сенсу. Наприклад, якщо вибрати x=0 , і підставити це значення вираз 1/x , то вийде числове вираз 1/0 , яке немає сенсу, оскільки розподіл на нуль не визначено.

Залишається лише додати, що є висловлювання зі змінними, значення яких залежить від значень які входять у них змінних. Наприклад, значення виразу зі змінною x виду 2+x−x не залежить від значення цієї змінної, воно дорівнює 2 за будь-якого обраного значення змінної x з області її допустимих значень, яка в даному випадкує безліччю всіх дійсних чисел.

Список літератури.

• Математика: навч. для 5 кл. загальноосвіт. установ / Н. Я. Віленкін, В. І. Жохов, А. С. Чесноков, С. І. Шварцбурд. - 21-е вид., Стер. – М.: Мнемозіна, 2007. – 280 с.: іл. ISBN 5-346-00699-0.
• Алгебра:навч. для 7 кл. загальноосвіт. установ/[Ю. Н. Макарічев, Н. Г. Міндюк, К. І. Нешков, С. Б. Суворова]; за ред. С. А. Теляковського. - 17-те вид. – М.: Просвітництво, 2008. – 240 с. : іл. - ISBN 978-5-09-019315-3.
• Алгебра:навч. для 8 кл. загальноосвіт. установ/[Ю. Н. Макарічев, Н. Г. Міндюк, К. І. Нешков, С. Б. Суворова]; за ред. С. А. Теляковського. - 16-те вид. – М.: Просвітництво, 2008. – 271 с. : іл. - ISBN 978-5-09-019243-9.

Числовий вираз– це будь-який запис із чисел, знаків арифметичних дій та дужок. Числове вираз може складатися і з одного числа. Нагадаємо, що основними арифметичними діями є «складання», «віднімання», «множення» та «розподіл». Цим діям відповідають знаки "+", "-", "∙", ":".

Звичайно ж, щоб у нас вийшло числове вираження, запис із чисел та арифметичних знаків має бути осмисленим. Так, наприклад, такий запис 5: + ∙ не можна назвати числовим виразом, тому що це випадковий набір символів, що не має сенсу. Навпаки, 5 + 8 ∙ 9 - вже справжнє числове вираз.

Значення числового виразу.

Відразу скажемо, що якщо ми виконаємо дії, вказані в числовому вираженні, то в результаті ми отримаємо число. Це число називається значенням числового виразу.

Спробуємо вирахувати, що в нас вийде в результаті виконання дій нашого прикладу. Відповідно до порядку виконання арифметичних дій, спочатку виконаємо операцію множення. Помножимо 8 на 9. Отримаємо 72. Тепер складемо 72 та 5. Отримаємо 77.
Отже, 77 – значеннячислового виразу 5 + 8 ∙ 9.

Числова рівність.

Можна це записати так: 5 + 8 ∙ 9 = 77. Тут ми вперше використовували знак «=» («Рівне»). Такий запис, при якому два числові вирази розділені знаком «=», називається числовою рівністю . При цьому, якщо значення лівої та правої частини рівності збігаються, то рівність називають вірним. 5 + 8 ∙ 9 = 77 – правильна рівність.
Якщо ми напишемо 5 + 8 ∙ 9 = 100, це вже буде неправильна рівність, Оскільки значення лівої та правої частини даної рівності вже не збігаються.

Слід зазначити, що у числовому виразі ми можемо використовувати дужки. Дужки впливають на порядок виконання дій. Так, наприклад, видозмінимо наш приклад, додавши дужки: (5 + 8) ∙ 9. Тепер спочатку потрібно скласти 5 та 8. Отримаємо 13. А потім помножити 13 на 9. Отримаємо 117. Таким чином, (5 + 8) ∙ 9 = 117.
117 – значеннячислового виразу (5 + 8) ∙ 9.

Щоб правильно прочитати вираз, потрібно визначити, яка саме дія виконується останнім для обчислення значення даного числового виразу. Так, якщо остання дія віднімання, то вираз називають «різницею». Відповідно, якщо остання дія сума - "сумою", розподіл - "приватним", множення - "твором", зведення в ступінь - "ступенем".

Наприклад, числове вираз (1+5)(10-3) читається так: «добуток суми чисел 1 і 5 на різницю чисел 10 і 3».

Приклади числових виразів.

Наведемо приклад більш складного числового виразу:

\[\left(\frac(1)(4)+3,75 \right):\frac(1,25+3,47+4,75-1,47)(4\centerdot 0,5)\]

У дужках у нас вираз $\frac(1)(4)+3,75$. Перетворюємо десятковий дріб 3,75 у звичайну.

$3,75=3\frac(75)(100)=3\frac(3)(4)$

Отже, $\frac(1)(4)+3,75=\frac(1)(4)+3\frac(3)(4)=4$

Далі, у чисельнику дробу \[\frac(1,25+3,47+4,75-1,47)(4\centerdot 0,5)\]у нас вираз 1,25 +3,47 +4,75-1,47. Для спрощення цього виразу застосуємо переміщувальний закондодавання, що свідчить: «Від зміни місць доданків сума не змінюється». Тобто 1,25+3,47+4,75-1,47=1,25+4,75+3,47-1,47=6+2=8.

У знаменнику дробу вираз $4\centerdot 0,5=4\centerdot \frac(1)(2)=4:2=2$

Отримуємо $\left(\frac(1)(4)+3,75 \right):\frac(1,25+3,47+4,75-1,47)(4\centerdot 0,5)=4: \frac(8)(2)=4:4=1$

Коли числові вирази немає сенсу?

Розглянемо ще один приклад. У знаменнику дробу $\frac(5+5)(3\centerdot 3-9)$значенням виразу $3\centerdot 3-9$ є 0. А, як ми знаємо, поділ на нуль неможливий. Отже, у дробу $\frac(5+5)(3\centerdot 3-9)$ немає значення. Про числові вислови, які не мають значення, кажуть, що вони «не мають сенсу».

Якщо ми в числовому виразі крім чисел використовуватимемо літери, то в нас вийде вже

Запис, який складається з чисел, знаків та дужок, а також має сенс, називається числовим виразом.

Наприклад, такі записи:

• (100-32)/17,
• 2*4+7,
• 4*0.7 -3/5,
• 1/3 +5/7

будуть числовими виразами.Слід розуміти, що одне число теж буде числовим виразом. У прикладі, це число 13.

А, наприклад, такі записи

• 100 - *9,
• /32)343

не будуть числовими виразами,оскільки вони позбавлені сенсу і є просто набором чисел та знаків.

Значення числового виразу

Оскільки як знаків у числових висловлюваннях входять знаки арифметичних процесів, ми можемо порахувати значення числового выражения. Для цього необхідно виконати вказані дії.

Наприклад,

(100-32)/17 = 4, тобто для виразу (100-32)/17 значенням цього числового виразу буде число 4.

2*4+7=15, число 15 буде значенням числового виразу 2*4+7.

Часто для стислості запису не пишуть повністю значення числового виразу, а пишуть просто "значення виразу", опускаючи при цьому слово "числового".

Числова рівність

Якщо два числових вирази записані через знак одно, то ці вирази утворюють числову рівність. Наприклад, вираз 2*4+7=15 є числовою рівністю.

Як зазначалося вище, у числових виразах можуть використовуватися дужки. Як уже відомо, дужки впливають на порядок дій.

Взагалі всі дії розділені на кілька ступенів.

• Дії першого ступеня: додавання та віднімання.
• Дії другого ступеня: множення та розподіл.
• Дії третього ступеня – зведення у квадрат і зведення у куб.

Правила при обчисленні значень числових виразів

При обчисленні значень числових виразів слід керуватися такими правилами.

• 1. Якщо вираз не має дужок, то треба виконувати дії починаючи з вищих щаблів: третій ступінь, другий ступінь та перший ступінь. Якщо є кілька дій одного ступеня, їх виконують у порядку у якому вони записані, тобто зліва праворуч.
• 2. Якщо у виразі присутні дужки, то спочатку виконуються дії в дужках, а потім всі сталеві дії в звичайному порядку. При виконанні дій у дужках, якщо їх там декілька, слід користуватися порядком, описаним у пункті 1.
• 3. Якщо вираз є дріб, то спочатку обчислюються значенні в чисельнику і знаменнику, а потім чисельник ділиться на знаменник.
• 4. Якщо у виразі присутні вкладені дужки, виконувати дії слід з внутрішніх дужок.

Як правило, діти починають вивчати алгебру вже в молодших класах. Після освоєння основних принципів роботи з числами вони вирішують приклади з однією або кількома невідомими змінними. Знайти значення вираження подібного плану може бути досить важко, проте якщо спростити його, використовуючи знання початкової школи, все вийде легко та швидко.

Що таке значення виразу

Числовим виразом називають запис алгебри, Що складається з чисел, дужок та знаків у тому випадку, якщо вона має сенс.

Іншими словами, якщо є можливість знайти значення виразу, значить запис не позбавлений сенсу, і навпаки.

Приклади наступних записів є правильними числовими конструкціями:

• 3*8-2;
• 15/3+6;
• 0,3*8-4/2;
• 3/1+15/5;

Окреме число також буде числове вираз, як число 18 з вищевказаного прикладу.
Приклади неправильних числових конструкцій, які не мають сенсу:

• *7-25);
• 16/0-;
• (*-5;

Неправильні числові прикладиє лише набір математичних знаків і немає сенсу.

Як знаходити значення виразу

Оскільки в подібних прикладахприсутні арифметичні знаки, можна дійти невтішного висновку, що вони дозволяють зробити арифметичні обчислення. Щоб прорахувати знаки або, інакше кажучи, знайти значення виразу, необхідно виконати відповідні арифметичні маніпуляції.

Як приклад можна розглянути таку конструкцію: (120-30)/3=30. Число 30 буде значенням числового виразу (120-30)/3.

Інструкція:

Поняття числової рівності

Числовою рівністю називається ситуація, коли дві частини прикладу розділені знаком «=». Тобто одна частина повністю дорівнює (ідентична) іншою, нехай навіть відображеною у вигляді інших поєднань символів та цифр.
Наприклад, будь-яку конструкцію типу 2+2=4 можна назвати числовим рівністю, оскільки, навіть помінявши частини місцями, сенс не зміниться: 4=2+2. Те саме стосується більш складних конструкцій, що включають дужки, розподіл, множення, дія з дробами і так далі.

Як знаходити значення виразу правильно

Щоб правильно знайти значення виразу необхідно виконувати обчислення згідно певному порядкудій. Цей порядок викладається ще під час уроків математики, і потім – на заняттях алгебри в початковій школі. Він також відомий як ступінь арифметичних дій.

Щаблі арифметичних дій:

1. Перший ступінь – виконується складання та віднімання чисел.
2. Другий ступінь – виконується розподіл та множення.
3. Третій ступінь – числа зводяться у квадрат чи куб.

Дотримуючись наступні правила, Ви завжди зможете правильно визначити значення виразу:

1. Виконуйте дії, починаючи з третього ступеня, закінчуючи першим, якщо в прикладі немає дужок. Тобто спочатку зводите в квадрат або куб, потім діліть або множте і потім - складайте і віднімайте.
2. У конструкціях з дужками спершу виконуйте дії у дужках, а потім керуйтеся вищеописаним порядком. Якщо кілька дужок, також використовуйте порядок дій з першого пункту.
3. У прикладах у вигляді дробу спочатку дізнайтеся результат у чисельнику, потім – у знаменнику, після чого перший поділіть на другий.

Знайти значення виразу не складе труднощів, якщо засвоїти елементарні знання початкових курсівалгебри та математики. Керуючись цією інформацією, ви зможете вирішити будь-яке завдання, навіть підвищеної складності.

Дізнатись пароль від ВК, знаючи логін