Поверхні утворені обертанням прямий. Поверхні обертання

Мал. 3.15

Поверхні обертання мають дуже широке застосуванняу всіх галузях техніки. Поверхнею обертання називають поверхню, що виходить від обертання деякої твірної лінії. 1 навколо нерухомої прямої i- Осі обертання поверхні (рис.3.15). На кресленні поверхня обертання задається своїм нарисом. Нарисом поверхні називаються лінії, які обмежують області її проекцій. При обертанні кожна точка утворює описує коло, площина якого перпендикулярна до осі. Відповідно, лінія перетину поверхні обертання площиною, перпендикулярної осі, є коло. Такі кола називають паралелями (рис. 3.15). Паралель найбільшого радіусу називають екватором, найменшого – горлом. Площина, що проходить через вісь поверхні обертання, називають меридіональною, лінію її перетину з поверхнею обертання - меридіаном. Меридіан, що лежить у площині, паралельній площині проекцій, називають головним меридіаном. У практиці виконання креслень найчастіше зустрічаються такі поверхні обертання: циліндрична, конічна, сферична, торова.

Мал. 3.16

Циліндричну поверхню обертання. Як спрямовуюча аслід взяти коло, а як прямий b- вісь i(Рис.3.16). Тоді отримаємо, що твірна l, паралельна осі iобертається навколо останньої. Якщо вісь обертання перпендикулярна горизонтальній площиніпроекцій, то на П 1 циліндрична поверхня проектується в коло, а на П 3 - прямокутник. Головним меридіаном циліндричної поверхні є дві паралельні прямі.

Рис 3.17

Конічну поверхню обертанняотримаємо, обертаючи прямолінійну утворювальну lнавколо осі i. При цьому твірна lперетинає вісь iу точці S, що називається вершиною конуса (рис.3.17). Головним меридіаном конічної поверхніє дві прямі, що перетинаються. Якщо як утворює взяти відрізок прямий, а вісь конуса перпендикулярною П 1 , то на П 1 конічна поверхня проектується в коло, а на П 2 - у трикутник.

Сферична поверхняутворюється за рахунок обертання кола навколо осі, що проходить через центр кола і лежить у її площині (рис.3.18). Екватор та меридіани сферичної поверхні є рівними між собою колами. Тому при ортогональному проектуванні на будь-яку площину сферична поверхня проектується в кола.

Мал. 3.18При обертанні кола навколо осі, що лежить у площині цього кола, але не проходить через її центр, утворюється поверхня, звана торова (рис.3.19).

Мал. 3.19

11. Позиційні завдання. Приналежність крапки, лінії поверхні. Під позиційнимимаються на увазі задачі, вирішення яких дозволяє отримати відповідь про належність елемента (точки) або підмножини (лінії) множині (поверхні). До позиційних належать також завдання визначення загальних елементів, що належать різним геометричним фігурам. p align="justify"> Перша група завдань може бути об'єднана під загальною назвою завдання на приналежність. До них, зокрема, відносяться завдання на визначення: 1) приналежності точки лінії; 2) приналежності точки поверхні; 3) приналежності лінії поверхні. До другої групи відносяться завдання на перетин. Ця група містить також три типи завдань: 1) на перетин лінії з лінією; 2) на перетин поверхні з поверхнею; 3) на перетин лінії з поверхнею. Приналежність точки поверхні . Основне положення при вирішенні завдань для цього варіанта приладдя : точка належить поверхні, якщо вона належить до будь-якої лінії цієї поверхні. У цьому випадку лінії треба вибирати найпростішими, щоб легше було побудувати проекції такої лінії, потім використовувати ту обставину, що проекції точки, що лежать на поверхні, повинні належати однойменним проекціям лінії цієї поверхні . Приклад розв'язання цього завдання показаний малюнку. Тут є два шляхи вирішення, оскільки можна провести дві найпростіші лінії, що належать конічній поверхні. У першому випадку - проводиться пряма лінія - утворює конічної поверхні S1 так, щоб вона проходила через якусь задану проекцію точки С. Тим самим припускаємо, що точка належить утворюючої S1 конічної поверхні, а отже - самої конічної поверхні. У цьому випадку однойменні проекції точки С повинні лежати на відповідних проекціях цієї утворюючої. Інша найпростіша лінія - коло з діаметром 1-2 (радіус цього кола - відраховується від осі конуса до нарисової утворюючої). Цей факт відомий ще зі шкільного курсу геометрії: при перетині кругового конуса площиною, паралельною до його основи, або перпендикулярною до його осі, у перерізі виходитиме коло. Другий спосіб рішення дозволяє знайти недостатню проекцію точки С, заданої своєю фронтальною проекцією, що належить поверхні конуса і збігається на кресленні з віссю обертання конуса, без побудови третьої проекції. Завжди слід мати на увазі, видима або не видима точка, що лежить на поверхні конуса (у разі, якщо вона не видно, відповідна проекція точки буде поміщена у дужки). Очевидно, що в нашому завданні точка С належить поверхні, оскільки проекції точки належать однойменним проекціям ліній, використаних для розв'язання як за першого, так і другого способу розв'язання. Належність лінії поверхні. Основне становище: лінія належить поверхні, якщо всі точки лінії належать заданій поверхні. Це означає, що в даному випадку приладдя має бути кілька разів вирішене завдання щодо належності точки поверхні. Торема МонжаЯкщо дві поверхні другого порядку описані близько третьої або вписані в неї, то лінія їх перетину розпадається на дві криві другого порядку, площини яких проходять через пряму, що з'єднує точки перетину кола дотику.

12. ПЕРЕЧЕННЯ КОНУСА ОБЕРТАННЯ ПРОЄЦЮЮЧИМИ ПЛОЩИНАМИ . При перетині поверхоньтіл проецірующими площинами, одна проекція перерізу збігається з проекцією площини, що проєціює. Конус може мати у перерізі п'ять різних фігур. Трикутник- якщо січна площина перетинає конус через вершину по двох утворюючих. Окружність- якщо площина перетинає конус паралельно до основи (перпендикулярно до осі). Еліпс- якщо площина перетинає всі, що утворюють під деяким кутом. Параболу- якщо площина паралельна до однієї з утворюючих конуса. Гіперболу- якщо площина паралельна до осі або двом утворюючим конуса. Перетин поверхні площиноює плоскою фігурою, обмеженою замкненою лінією, всі точки якої належать як січній площині, і поверхні. При перетині площиною багатогранника у перерізі виходить багатокутник з вершинами, розташованими на ребрах багатогранника. приклад. Побудувати проекції лінії перетину L поверхні прямого кругового конуса ω площиною β. Рішення. У перерізі утворюється парабола, вершина якої спроектується в точку А (А', А''). Точки A, D, E лінії перетину є екстремальними. На рис. побудова шуканої лінії перетину здійснено за допомогою горизонтальних площин рівня αi, які перетинають поверхню конуса ω по паралелях рi , а площина β - по відрізках фронтально проектують прямих. Лінія перетину L цілком видно на площинах.

№13.Соосні поверхні. Спосіб концентричних сфер.

При побудові лінії перетину поверхонь особливості перетину співвісних поверхонь обертання дозволяють як допоміжні поверхні-посередники використовувати сфери, співвісні з даними поверхнями. До співвісних поверхонь обертання належать поверхні, що мають загальну вісьобертання. На рис. 134 зображені співвісні циліндр і сфера (рис. 134 а), співвісні конус і сфера (рис. 134 б) і співвісні циліндр і конус (рис. 134 в)

Співвісні поверхні обертання завжди перетинаються колами, площини яких перпендикулярні осі обертання. Цих загальних для обох поверхонь кіл стільки, скільки існує точок перетину нарисових ліній поверхонь. Поверхні на рис. 134 перетинаються по колам, створюваним точками 1 і 2 перетину головних меридіанів. Допоміжна сфера-посередник перетинає кожну із заданих поверхонь по колу, у перетині яких виходять точки, що належать й іншій поверхні, а отже, і лінії перетину. Якщо осі поверхонь перетинаються, то допоміжні сфери проводять з центру-точки перетину осей. Лінію перетину поверхонь у разі будують способом допоміжних концентричних сфер. При побудові лінії перетину поверхонь для використання способу допоміжних концентричних сфер необхідно виконання наступних умов:1) перетин поверхонь обертання;2) осі поверхонь - прямі, що перетинаються, - паралельні одній з площин проекцій, тобто є загальна площинасиметрії; 3) не можна використовувати спосіб допоміжних сіючих площин, тому що вони не дають графічно простих ліній на поверхнях. Зазвичай спосіб допоміжних сфер використовується у поєднанні зі способом допоміжних площин, що січуть. На рис. 135 побудована лінія перетину двох конічних поверхонь обертання з осями обертання, що перетинаються у фронтальній площині рівня Ф (Ф1). Значить, головні меридіани цих поверхонь перетинаються і дають у своєму перетині точки видимості лінії перетину щодо площини П2 або найвищу А і найнижчу точки. У перетині горизонтального меридіана h і паралелі h", що лежать в одній допоміжній січній площині Г(Г2), визначені точки видимості С і D лінії перетину щодо площини П1. Ф, будуть перетинати обидві поверхні по гіперболах, а площини, паралельні Г, будуть давати в перетині поверхонь кола і гіперболи. Осі поверхонь обертання перетинаються в точці О (О1; О2), яка є центром допоміжних сфер, радіус сфери змінюється в межах Rmin< R < Rmах- Радиус максимальной сферы определяется расстоянием от центра О наиболее удаленной точки В (Rmax = О2В2), а радиус минимальной сферы определяется как радиус сферы, касающейся одной поверхности (по окружности h2) и пересекающей другую (по окружности h3).Плоскости этих окружностей перпендикулярны осям вращения поверхностей. В пересечении этих окружностей получаем точки Е и F, принадлежащие линии пересечения поверхностей:

h22 ^ h32 = E2(F2); Е2Е1 || А2А1; Е2Е1 ^ h21 = E1; F2F ^ h1 = F1 Проміжна сфера радіуса R перетинає поверхні по колам h4 і h5, у перетині яких знаходяться точки Мі N:h42 ^ h52 = M2(N2); M2M1 | А2А1, М2М1 ^ h41 = М1; N2N1 ^ h41 = N1 З'єднуючи однойменні проекції побудованих точок з урахуванням їхньої видимості, отримуємо проекції лінії перетину поверхонь.

№14. побудова лінії перетину поверхонь, якщо хоча б одна з них проекція. Характерні точки лінії перетину.

Перш ніж розпочати побудову лінії перетину поверхонь, необхідно уважно вивчити умову завдання, тобто. які поверхні перетинаються. Якщо одне з поверхонь є проецирующей, рішення завдання спрощується, т.к. на одній із проекцій лінія перетину збігається з проекцією поверхні. І завдання зводиться до знаходження другої лінії проекції. При розв'язанні задачі слід відзначити насамперед «характерні» точки чи «особливі». Це:

· Крапки на крайніх утворюючих

· Точки, що ділять лінію на видиму та невидиму частину

· Верхні та нижні точки та ін. Далі слід розумно вибрати спосіб, яким будемо користуватися при побудові лінії перетину поверхонь. Ми будемо користуватися двома способами: 1. допоміжних сіючих площин. 2. допоміжних січучих сфер. До проекційних поверхонь відносяться: 1) циліндр, якщо його вісь перпендикулярна до площини проекцій; 2) призма, якщо ребра призми перпендикулярні до площини проекцій. Поверхня, що проектує, проектується в лінію на площину проекцій. Усі точки і лінії, що належать бічній поверхні проецірующего циліндра або проецірующей призмі, проектуються в лінію на ту площину, якою вісь циліндра або ребро призми перпендикулярно. Лінія перетину поверхонь належить обом поверхням одночасно і, якщо одна з цих поверхонь проецірующая, то для побудови лінії перетину можна використовувати наступне правило: якщо одна з поверхонь, що перетинається, проецірующая, то одна проекція лінії перетину є на кресленні в готовому вигляді і збігається з проекцією проецірующей поверхні (коло, в яку проектується циліндр або багатокутник, в який проектується призма). Друга проекція лінії перетину будується виходячи з умови належності точок цієї лінії іншої поверхні, що не проеціює.

Розглянуті особливості характерних точок дозволяють легко перевірити правильність побудови лінії перетину поверхонь, якщо вона побудована довільно вибраними точками. У разі десяти точок достатньо проведення плавних проекцій лінії перетину. При необхідності може бути побудована будь-яка кількість проміжних точок. Побудовані точки з'єднують плавною лінією з урахуванням особливостей їхнього положення та видимості. Сформулюємо загальне правилопобудови лінії перетину поверхонь: обирають вид допоміжних поверхонь; будують лінії перетину допоміжних поверхонь з заданими поверхнями; знаходять точки перетину побудованих ліній та з'єднують їх між собою. Допоміжні січучі площини вибираємо таким чином, щоб у перетині із заданими поверхнями виходили геометрично прості лінії (прямі або кола). Вибираємо допоміжні посічені площини. Найчастіше, як допоміжні сіючі площини вибирають проецірующие площини, зокрема, площини рівня. При цьому необхідно враховувати лінії перетину, що отримуються на поверхні, в результаті припинення поверхні площиною. Так конус є найбільш складною поверхнею за кількістю одержуваних на ньому ліній. Тільки площини, що проходять через вершину конуса або перпендикулярні осі конуса, перетинають його відповідно по прямій лінії та колу (геометрично найпростіші лінії). Площина, що проходить паралельно однієї утворює перетинає його по параболі, площина паралельна осі конуса перетинає його по гіперболі, а площина, що перетинає всі утворюють і похилі до осі конуса, перетинає його еліпсом. На сфері, при перетині її площиною, завжди виходить коло, а якщо перетинати її площиною рівня, то це коло проектується на площині проекції відповідно до прямої лінії та кола. Отже, як допоміжні площини вибираємо горизонтальні площини рівня, які перетинають і конус, і сферу по колам (найпростіші лінії). Деякі особливі випадки перетину поверхоньУ деяких випадках розташування, форма або співвідношення розмірів криволінійних поверхонь такі, що зображення лінії їх припинення ніяких складних побудов не потрібно. До них відносяться перетин циліндрів з паралельними утворюючими, конусів із загальною вершиною, співвісних поверхонь обертання, поверхонь обертання, описаних навколо однієї сфери.

До поверхонь обертання відносяться поверхні, що утворюються обертанням лінії l навколо прямої i, що є вісь обертання. Вони можуть бути лінійчастими, наприклад, конус або циліндр обертання, і нелінійчастими або криволінійними, наприклад сфера. Визначник поверхні обертання включає твірну l і вісь i. Криволінійна поверхня обертання утворюється при обертанні будь-якої кривої навколо осі i (рис. 103).

Кожна точка, що утворює при обертанні, описує коло, площина якого перпендикулярна осі обертання. Такі кола поверхні обертання називаються паралелями. Найбільшу з паралелей називають екватором. Екватор визначає горизонтальний нарис поверхні, якщо i ⊥ П 1 . У цьому випадку паралелями є горизонталі цієї поверхні.

Криві поверхні обертання, що утворюються в результаті перетину поверхні площинами, що проходять через вісь обертання, називаються меридіанами. Усі меридіани однієї поверхні конгруентні. Фронтальний меридіан називають головним меридіаном; він визначає фронтальний нарис поверхні обертання. Профільний меридіан визначає профільний нарис поверхні обертання.

Будувати крапку на криволінійних поверхнях обертання найзручніше за допомогою паралелей поверхні. На рис. 103 точка М побудована на паралелі h4.

Поверхні обертання знайшли найширше застосування у техніці. Вони обмежують поверхні більшості машинобудівних деталей.

Конічна поверхня обертанняутворюється обертанням прямої l навколо прямої, що перетинається з нею, - осі i (рис. 104, а). Точка М на поверхні побудована за допомогою твірної l і паралелі h. Цю поверхню називають ще конусом обертання чи прямим круговим конусом.

Циліндрична поверхня обертанняутворюється обертанням прямої l навколо паралельної осі i (рис. 104, б). Цю поверхню називають ще циліндром чи прямим круговим циліндром.

Сфераутворюється обертанням кола навколо його діаметра (рис. 104, в). Точка А лежить на поверхні сфери належить головному меридіану f, точка У - екватору h, а точка М побудована на допоміжної паралелі h".

Торутворюється обертанням кола або його дуги навколо осі, що лежить у площині кола. Якщо вісь розташована в межах кола, що утворюється, то такий тор називається закритим (рис. 105, а).

Якщо вісь обертання знаходиться поза колом, то такий тор називається відкритим (або кільце) (рис. 105, б).

Поверхні обертання можуть бути утворені іншими кривими другого порядку. Еліпсоїд обертання(рис. 106, а) утворюється обертанням еліпса навколо однієї з його осей; параболоїд обертання(рис. 106, б) - обертанням параболи навколо її осі; гіперболоїд обертанняоднопорожнинний (рис. 106, в) утворюється обертанням гіперболи навколо уявної осі, а двопорожнинний (рис. 106, г) - обертанням гіперболи навколо дійсної осі.

У загальному випадкуповерхні зображуються не обмеженими у напрямі поширення утворюючих ліній (див. рис. , ). Для вирішення конкретних завданьта отримання геометричних фігуробмежуються площинами обрізу. Наприклад, щоб отримати круговий циліндр, необхідно обмежити ділянку циліндричної поверхніплощинами обрізу (див. мал.). В результаті отримаємо його верхню та нижню основи. Якщо площини обрізу перпендикулярні до осі обертання, циліндр буде прямим, якщо ні - циліндр буде похилим.

Щоб отримати круговий конус(див. рис.), необхідно виконати обріз по вершині та за її межами. Якщо площина обрізу основи циліндра буде перпендикулярна до осі обертання - конус буде прямий, якщо ні - похилий. Якщо обидві площини обрізу не проходять через вершину – конус отримаємо усіченим.

За допомогою площини обрізу можна отримати призму та піраміду. Наприклад, шестигранна піраміда буде прямою, якщо всі її ребра мають однаковий нахил до площини обрізу. В інших випадках вона буде похилою. Якщо вона виконана за допомогою площин обрізу і жодна з них не проходить через вершину - зрізана піраміда.

Призму можна отримати, обмеживши ділянку призматичної поверхні двома площинами обрізу. Якщо площина обрізу перпендикулярна ребрам, наприклад восьмигранної призми, вона пряма, а то й перпендикулярна - похила.

Вибираючи відповідне положення площин обрізу, можна отримувати різні формигеометричних фігур залежно від умов задачі, що розв'язується.

Пряма АВ називається твірною, лінія MN - напрямною, а точка S - вершиною конічної поверхні.
1. Конус.
Конусом називають тіло, обмежене частиною конічної поверхні, розташованої по один бік від вершини, і площиною, що перетинає все, що утворює. Частина конічної поверхні, обмежена цією площиною, називається бічною поверхнею, а частина площини, що відсікається бічною поверхнею, - основою конуса. Перпендикуляр, опущений з вершини на площину основи, називається висотою конуса (фіг.295 а).

Конус називається прямим круговим, якщо його основа - коло, а висота проходить через центр основи. Такий конус можна розглядати як тіло, отримане обертанням прямокутного трикутника SAO навколо катета SO як осі. При цьому гіпотенуза SA описує бічну поверхню, А катет АТ - основа конуса (фіг.295 б).
Якщо вісь обертання прямого кругового конуса паралельна площині проекцій, то проекція конуса на цю площину є трикутником (рівностегновим або рівностороннім), основа якого дорівнює діаметру основи конуса, а сторони - утворює конуса.
Якщо вісь обертання конуса перпендикулярна площині проекцій, то проекція конуса на цю площину буде колом, що дорівнює натуральній величині основи конуса. І тут утворюють проекції не зображуються.
2. Зображення прямого кругового конуса (фіг.296).

Дано: основа конуса, розташованого на площині П 1
I. Комплексне креслення
I, а. Проектуємо основу конуса - коло, розташоване в площині П 1 і вершину конуса - точку S , розташовану в просторі на вертикальній прямій, що проходить через центр основи. Висота точки S дорівнює висоті конуса. Горизонтальна проекція цієї точки знаходиться у центрі кола - горизонтальної проекції основи.
I, б. Проектуємо бічну поверхню конуса. Для цього достатньо спроектувати на площину П 2 контурні утворюючі, для чого з'єднуємо прямими фронтальні проекції вершини S 2 з проекціями крайніх точокпідстави та отримуємо проекції контурних утворюючих, а загалом - фронтальну проекцію даного конуса - рівнобедрений трикутник, основа якого дорівнює діаметру основи конуса, а висота трикутника - висоті конуса.
На горизонтальній проекції бічної поверхні конуса дана горизонтальна проекція А 1 точки А потрібно знайти її фронтальну проекцію. Для цього на горизонтальній проекції конуса через точку А 1 проводимо коло - горизонтальну проекцію паралелі, потім знаходимо її фронтальну проекцію та за допомогою вертикальної лініїзв'язку (напрямок якого на кресленні показано стрілкою) знаходимо фронтальну проекцію A 2 точки A .

І. ст. Це завдання можна вирішити і за допомогою твірної. На фронтальній проекції бічної поверхні конуса дана фронтальна проекція 2 точки В . З точки S 2 через точку 2 проводимо пряму S 2 М 2 - проекцію утворює конуса, потім знаходимо її горизонтальну проекцію S 1 М 1 і на ній за допомогою вертикальної лінії зв'язку визначаємо місце горизонтальної проекції точки В .
ІІ. Розгортка поверхні прямого кругового конуса - плоска фігура, складена з сектора та кола, діаметр якого дорівнює діаметрукола основи. Радіусом сек-гора є утворююча конуса, а довжина дуги дорівнює довжині кола основи конуса. Кут сектора можна визначити за формулою (a = 360 ° R ÷ L) де R - радіус кола основи конуса; L - утворює конуса. При розбудові розгортки слід дотримуватися наступного порядку:
а) визначити кут сектора;
б) побудувати розгортку бічної поверхні конуса - сектор;
в) прилаштувати до будь-якої точки, дуги сектора основа конуса - коло .
Перенесення точки на розгортку бічної поверхні конуса здійснюється за допомогою розмірів З 1 М 1 і R 2 взятих з (фіг.296, I, в).

ІІІ. Наочне зображенняконуса в аксонометрії (ізометрія та диметрія).
ІІІ, а. Зображаємо основу конуса - овал по даною умовою. Через центр основи проводимо вісь z" і на ній від точки О" відкладаємо висоту конуса О "S", отримуємо його вершину S".
ІІІ, б. Зображаємо контурні утворюючі. З точки S" проводимо прямі, що стосуються овалу, отримуємо зображення конуса. Невидиму частину основи (половину овалу) зображуємо штриховими лініями.
Визначення точки А на бічній поверхні здійснюємо за допомогою нанесення на поверхню конуса паралелі, діаметр паралелі беремо з горизонтальної проекції (фіг.296, I, б), а її центр 2 визначаємо розміром H 1 з фронтальної проекції (фіг.296, I , б). Місце точки А на паралелі визначається перетином допоміжної прямої, проведеної з відривом k паралельно осі у" з паралеллю.
Визначення точки на бічній поверхні конуса здійснюється:
а) нанесенням на конічну поверхню утворює S"M" за допомогою розмірів h і f;
б) знаходженням вторинної проекції 1 точки за допомогою розміру i/2 ;
в) проведенням допоміжної прямої з точки В" 1 паралельно осі обертання S"O" . Перетин допоміжної прямої з утворює конуса визначають місце точки В" .
Визначити місця точок А та В на бічній поверхні конуса можна і за допомогою координат.
ТОР
Тіло, отримане від обертання кола (це коло називається утворює) навколо осі, розташованої в площині цього кола, але не проходить через її центр, називається ТОРОМ . Якщо вісь обертання. не перетинає коло, то тор називають кільцем (фіг.297). Зображення кільця (фіг.298).

1. Комплексне креслення
I, а. Дано: вісь кільця перпендикулярна площині П 1 (діаметр D утворює кола кільця і діаметр D ц кола центрів утворюють кіл (фіг.298,а).
I, б. Горизонтальна проекція кільця виявиться двома концентричними колами (фіг.298,б) діаметр більший дорівнює D ц + D; діаметр меншої Dц-D. Фронтальна проекція виявиться двома утворюючими колами, пов'язаними прямими.
Зауважимо, що внутрішні половиникіл необхідно зобразити штриховими лініями, як невидимі.
І, ст. Дано: горизонтальні проекції паралелей та на них проекції двох точок: точки А (A 1 ) на малій паралелі; точки (B 2 ) на великій (фіг.298,в). Потрібно знайти їх фронтальні проекції. Для цього спочатку треба знайти фронтальні проекції паралелей, а потім за допомогою вертикальних ліній зв'язку визначити на них місця фронтальних проекцій А2 і В2.
ІІ. Наочне зображення кільця в ізометрії та диметрії.
II, а. Ізооражуємо місце центрів сфер - коло (D"ц), розташовану в горизонтальній площині.
II, б. Зображуємо контур поверхні кільця за допомогою допоміжних сфер, для чого проводимо ряд кіл діаметром D - контурів сфер, центри яких розташовані на колі центрів. Потім до кіл проводимо плавну дотичну, виявляючи нарис кільця.
КУЛЯ
Тіло, отримане від обертання півкола навколо діаметра, називається кулею, а поверхня, що утворюється при цьому колом, називається кульовою або сферою. Можна також сказати, що ця поверхня є геометричним місцем точок, однаково віддалених від однієї і тієї ж точки, званої центром. Відрізок, що з'єднує центр з якоюсь точкою поверхні, називається радіусом, а відрізок, що з'єднує дві точки поверхні і проходить через центр, називається діаметром кулі (фіг.299).
Будь-яка проекція кулі є колом, нарисами проекцій на площину 1 є проекція екватора, на площину 2 і 3 є проекції меридіанів.
Зображення кулі(Фіг.300). Дано: однією точкою поверхні куля стосується площини П 1 .
I. Комплексний креслення
I, а. Проектуємо екватор кулі - коло, що лежить у горизонтальній площині, горизонтальна проекція - це коло, діаметр якого дорівнює діаметру кулі. Фронтальна проекція – пряма (зазвичай на кресленні не зображується).
Проектуємо головний меридіан - коло, що лежить у фронтальній площині; фронтальною проекцією є коло, за умовою дотична осі х 12 ; діаметр кола дорівнює діаметру кулі, горизонтальна проекція пряма (зазвичай на кресленні не зображується).
В результаті отримаємо проекції кулі.
I, б. На поверхні кулі дана фронтальна проекція А 2 точки А потрібно знайти її горизонтальну проекцію.
Для цього через точку А 2 проведемо пряму паралельно осі - фронтальну проекцію паралелі, потім знаходимо її горизонтальну проекцію і за допомогою вертикальної лінії зв'язку (напрямок якої на кресленні показано стрілкою) визначаємо місце горизонтальної проекції А 1 точки А . Розгортання поверхні кулі. Розгортка може бути побудована тільки приблизно, так як кульова поверхня (сфера) належить до поверхонь, що не розгортаються.
Побудову розгортки виконуватимемо методом часток (існують інші методи).
І, ст. Для цього фронтальну проекцію головного меридіана - коло - ділимо на 12 рівних чаетей, кожна частина поділу дорівнюватиме 1/12 п D (тобто 1/12 меридіана). Через точки поділу 1, 2 і 3 проводимо прямі, паралельні осі x 12 – проекції паралелей, і знаходимо їх горизонтальні проекції – кола. D П1 – перша паралель; D П2 – друга паралель та D Е – екватор. Потім горизонтальну проекцію екватора - коло D Е - ділимо на 12 рівних частин, кожна частина поділу дорівнюватиме (1 / 12 П D Е) (тобто 1 / 12 екватора); через кожне розподіл екватора проводимо меридіональні площини, які поділяють поверхню кулі, а отже, і кожну паралель на 12 часток; отримаємо частини паралелей 1/12 П D П1 та 1/12 П D П2
ІІ. Побудова однієї частки.Проводимо пряму O 1 O 2 , рівну ( П D M ÷ 2 ) і від точки О 1 відкладаємо тричі частини, рівні ( П D M ÷ 12 ), і через кожну частину проводимо прямі, перпендикулярні до O 1 O 2 , на яких відкладаємо відрізки : (3 - 3 = П D Е ÷ 12); (2 - 2 = П D П2 ÷ 12); (2 - 2 = П D П1 ÷ 12), як показано на кресленні. З'єднавши плавною кривою послідовно точки 3 - 2 - 1 - 0 1 - 1 - 2 - 3 отримаємо половину обрису частки. Побудувавши другу половину, отримаємо одну частку, тобто. 1/12 частина наближеної розгортки поверхні кулі. Для отримання повної розгортки поверхні кулі слід побудувати 12 часток.
ІІІ. Наочне зображення кулі в ізометрії.
ІІІ, а. Зображаємо екватор шдра як аксонометричну проекціюкола, що лежить у горизонтальній площині.
ІІІ, б. Точку О" приймаємо за центр, проводимо коло (дотичну до овалу), отримуємо ізометричну проекціюкулі. Діаметр кола дорівнює довжиніовалу.
Визначення місця точки А на шаровій поверхні можна здійснити за допомогою паралелі. Зображуємо на поверхні кулі паралель, користуючись розмірами h і D П точки точки на паралелі визначаємо за допомогою прямої, проведеної паралельно осі у" на відстані k .
Визначити точку А на шаровій поверхні можна за допомогою координат.
Вправа
приклад 1.
а) Виконати комплексні креслення геометричних тілзгідно з прикладами А, Б і В за даними розмірами (

Кожна точка, що утворює при обертанні, описує коло, площина якого перпендикулярна осі обертання. Такі кола поверхні обертання називаються паралелями. Найбільшу з паралелей називають екватором.Екватор. визначає горизонтальний нарис поверхні, якщо i _|_ П 1 . У цьому випадку паралелями є горизонталі цієї поверхні.

Криві поверхні обертання, що утворюються в результаті перетину поверхні площинами, що проходять через вісь обертання, називаються меридіанами.Усі меридіани однієї поверхні конгруентні. Фронтальний меридіан називають головним меридіаном; він визначає фронтальний нарис поверхні обертання. Профільний меридіан визначає профільний нарис поверхні обертання.

Конічна поверхня обертання утворюється обертанням прямої iнавколо прямої, що перетинається з нею, - осі i (рис. 104, а). Крапка Мна поверхні побудована за допомогою твірної l і паралелі h.Цю поверхню називають ще конусом обертання чи прямим круговим конусом.

Циліндрична поверхня обертання утворюється обертанням прямої l навколо паралельної осі i (рис. 104, б).Цю поверхню називають ще циліндром чи прямим круговим циліндром.

Сфера, що утворюється обертанням кола навколо її діаметра (рис. 104, в). Точка A на поверхні сфери належить головному

меридіану f,крапка У- екватору h,а точка Мпобудована на допоміжній паралелі h".

Тор утворюється обертанням кола або його дуги навколо осі, що лежить у площині кола. Якщо вісь розташована в межах кола, що утворюється, то такий тор називається закритим (рис. 105, а). Якщо вісь обертання знаходиться поза колом, то такий тор називається відкритим (рис. 105, б).Відкритий тор називається ще кільцем.

Поверхні обертання можуть бути утворені іншими кривими другого порядку. Еліпсоїд обертання (рис. 106, а)утворюється обертанням еліпса навколо однієї з його осей; параболоїд обертання (рис. 106 б) - обертанням параболи навколо її осі; гіперболоїд обертання однопорожнинний (рис. 106, в) утворюється обертанням гіперболи навколо уявної осі, а двопорожнинний (рис. 106, г) - обертанням гіперболи навколо дійсної осі.

У загальному випадку поверхні зображуються не обмеженими в напрямі поширення ліній, що утворюють (див. рис. 97, 98). Для вирішення конкретних завдань та отримання геометричних фігур обмежуються площинами обрізу. Наприклад, щоб отримати круговий циліндр, необхідно обмежити ділянку циліндричної поверхні площинами обрізу (див. рис. 104, б).В результаті отримаємо його верхню та нижню основи. Якщо площини обрізу перпендикулярні до осі обертання, циліндр буде прямим, якщо ні - циліндр буде похилим.

Щоб отримати круговий конус (див. рис. 104 а), необхідно виконати обріз по вершині і за її межами. Якщо площина обрізу основи циліндра буде перпендикулярна до осі обертання - конус буде прямий, якщо ні - похилий. Якщо обидві площини обрізу не проходять через вершину – конус отримаємо усіченим.

За допомогою площини обрізу можна отримати призму та піраміду. Наприклад, шестигранна піраміда буде прямою, якщо всі її ребра мають однаковий нахил до площини обрізу. В інших випадках вона буде похилою. Якщо вона виконана здопомогою площин обрізу та жодна з них не проходить через вершину – піраміда усічена.

Призму (див. рис. 101) можна отримати, обмеживши ділянку призматичної поверхні двома площинами обрізу. Якщо площина обрізу перпендикулярна ребрам, наприклад восьмигранної призми, вона пряма, а то й перпендикулярна - похила.

Вибираючи відповідне положення площин обрізу, можна отримувати різні форми геометричних фігур залежно від умов задачі, що розв'язується.

\[(\Large(\text(Циліндр)))\]

Розглянемо коло \(C\) з центром \(O\) радіусу \(R\) на площині \(\alpha\). Через кожну точку кола \(C\) проведемо пряму перпендикулярно до площини \(\alpha\) . Поверхня, утворена цими прямими, називається циліндричною поверхнею.
Самі прямі називаються утворюючимиданої поверхні.

Проведемо тепер через деяку точку деякої утворює площину (betaparallelalfa). Безліч точок, якими утворюють пересічуть площину \(\beta\) , утворює коло \(C"\) , рівну колу\ (C \).
Частина простору, обмежена двома колами \(K\) і \(K"\) з межами \(C\) і \(C"\) відповідно, а також частиною циліндричної поверхні, укладеної між площинами \(\alpha\) та \(\beta\) , називається циліндром.

Круги \(K\) і \(K"\) називаються основами циліндра; відрізки утворюючих, укладених між площинами, – утворюючими циліндра; частина циліндричної поверхні, утворена ними, - бічною поверхнею циліндра. дорівнює висотіциліндра ((l = h)).

Теорема

Площа бічної поверхні циліндра дорівнює \

де \(R\) - радіус основи циліндра, \(h\) - висота (утворююча).

Теорема

Площа повної поверхніциліндра дорівнює сумі площі бічної поверхні та площ обох основ \

Теорема

Об'єм циліндра обчислюється за формулою \

\[(\Large(\text(Конус)))\]

Розглянемо площину (alpha) і на ній окружність (C) з центром (O) і радіусом (R). Через точку \(O\) проведемо пряму, перпендикулярну площині\(\alpha\) . Зазначимо на цій прямій деяку точку (P). Поверхня, утворена всіма прямими, що проходять через точку \(P\) і кожну точку кола \(C\), називається конічною поверхнею, А ці прямі - утворюють конічної поверхні. Частина простору, обмежена навколо з кордоном (C) і відрізками утворюють, укладеними між точкою (P) і точкою на колі, називається конусом. Відрізки \(PA\) , де \(A\in \text(окр.) C\) називаються утворюючими конуса; точка (P) - вершина конуса; коло з кордоном (C) - основа конуса; відрізок (PO) - висота конуса.

Зауваження

Зауважимо, що у конуса висота і утворює не рівні один одному, як було у випадку з циліндром.

Теорема

Площа бічної поверхні конуса дорівнює \

де \(R\) - радіус основи конуса, \(l\) - утворює.

Теорема

Площа повної поверхні конуса дорівнює сумі площі бічної поверхні та площ основи \

Теорема

Обсяг конуса обчислюється за формулою \

Зауваження

Зауважимо, що циліндр у якомусь сенсі є призмою, лише на підставі знаходиться не багатокутник (як у призми), а коло.
Формула об'єму циліндра така сама, як і формула об'єму призми: добуток площі підстави на висоту.

Аналогічно конус у сенсі є пірамідою. Тому формула обсягу конуса така сама, як і в піраміди: третина площі основи на висоту.

\[(\Large(\text(Сфера та куля)))\]

Розглянемо безліч точок простору, рівновіддалених від деякої точки \(O\) на відстань \(R\). Це безліч називається сфероюз центром у точці \(O\) радіусу \(R\) .
Відрізок, що з'єднує дві точки сфери і проходить через її центр, називається діаметром сфери.

Сфера разом зі своєю начинкою називається кулею.

Теорема

Площа сфери обчислюється за формулою \

Теорема

Об'єм кулі обчислюється за формулою \

Визначення

Кульовий сегмент - це частина кулі, що відсікається від нього деякою площиною.
Нехай площина перетнула кулю по колу \(K\) з центром у точці \(Q\) . З'єднаємо точки \(O\) (центр кулі) і \(Q\) і продовжимо цей відрізок до перетину зі сферою - отримаємо радіус \(OP\). Тоді відрізок (QP) називається висотою сегмента.

Теорема

Нехай \(R\) - радіус кулі, \(h\) - висота сегмента, то обсяг кульового сегмента дорівнює \

Визначення

Кульовий шар – це частина кулі, укладена між двома паралельними площинами, що перетинають цю кулю. Кола, за якими площини перетинають кулю, називаються основами шарового шару, відрізок, що з'єднує центри основ – висотою шарового шару.
Дві частини кулі, що залишилися, є в цьому випадку кульовими сегментами.

Об'єм шарового шару дорівнює різниціобсягу кулі та обсягів кульових сегментів з висотами \(AP\) і \(BT\).