Як називається коло навколо. Конспект проекту з математики: "Кількість і коло - це одна і та ж фігура чи ні?"

Окружність- геометрична фігура, що складається з усіх точок площини, що розташовані на заданій відстані від цієї точки.

Ця точка (O) називається центром кола.
Радіус кола- Це відрізок, що з'єднує центр з будь-якою точкою кола. Всі радіуси мають ту саму довжину (за визначенням).
Хорда- Відрізок, що з'єднує дві точки кола. Хорда, що проходить через центр кола, називається діаметром. Центр кола є серединою будь-якого діаметра.
Будь-які дві точки кола поділяють її на дві частини. Кожна з цих частин називається дугого кола. Дуга називається півколоякщо відрізок, що з'єднує її кінці, є діаметром.
Довжина одиничного півкола позначається через π .
Сума градусних заходів двох дуг кола з спільними кінцямидорівнює 360º.
Частина площини, обмежена коло, називається кругом.
Круговий сектор- частина кола, обмежена дугою та двома радіусами, що з'єднують кінці дуги з центром кола. Дуга, яка обмежує сектор, називається дугою сектора.
Два кола, що мають спільний центр, називаються концентричними.
Два кола, що перетинаються під прямим кутом, називаються ортогональними.

Взаємне розташування прямої та кола

1. Якщо відстань від центру кола до прямої менша за радіус кола ( d), то пряма та коло мають дві загальні точки. У цьому випадку пряма називається січучоїпо відношенню до кола.
2. Якщо відстань від центру кола до прямої дорівнює радіусу кола, то пряма і коло мають тільки одну загальну точку. Така пряма називається дотичної до кола, а їхня загальна точка називається точкою торкання прямої та кола.
3. Якщо відстань від центру кола до прямої більша за радіус кола, то пряме і коло не мають спільних точок
.

Центральні та вписані кути

Центральний кут- Це кут з вершиною в центрі кола.
Вписаний кут- Кут, вершина якого лежить на колі, а сторони перетинають коло.

Теорема про вписаний вугілля

Вписаний кут вимірюється половиною дуги, яку він спирається.

• Наслідок 1.
  Вписані кути, що спираються на ту саму дугу, рівні.


• Наслідок 2.
  Вписаний кут, що спирається на півколо - прямий.

Теорема про твір відрізків хорд, що перетинаються.

Якщо дві хорди кола перетинаються, то добуток відрізків однієї хорди дорівнює добутку відрізків іншої хорди.

Основні формули

• Довжина кола:

• Довжина дуги кола:

• Діаметр:

• Довжина дуги кола:

• Площа кола:

• Площа кругового сектора:

Рівняння кола

• У прямокутної системикоординат рівняння кола радіусу rз центром у точці C(x про; y про) має вигляд:

• Рівняння кола радіуса r з центром на початку координат має вигляд:

Це замкнена плоска лінія, всяка точки якої рівновіддалена від однієї і тієї ж точки ( O), званої центром.

Прямі ( OA, OB, OС. ..), що з'єднують центр з точками кола - це радіуси.

З цього отримуємо:

1. Усі радіуси однієї коларівні.

2. Два кола з однаковими радіусами будуть рівними.

3. Діаметрдорівнює двом радіусам.

4. Крапка, що лежить всередині кола, ближче до центру, а точка, що лежить поза колом, далі від центру, ніж точки кола.

5. Діаметр, Перпендикулярний до хорди, ділить цю хорду і обидві дуги, що стягуються нею, навпіл.

6. Дуги, укладені між паралельними хордами, рівні.

Під час роботи з колами застосовують такі теореми:

1. Теорема . Пряме і коло не може мати більше двох загальних точок.

З цієї теореми отримуємо два логічно витікаючі слідства:

Ніяка частина колане може поєднатися з прямою, тому що в іншому випадку коло з прямою мало б більше двох загальних точок.

Лінія, ніяка частина якої не може поєднатися з прямою, називається кривий.

З попереднього випливає, що коло є крива лінія.

2. Теорема . Через будь-які три точки, що не лежать на одній прямій, можна провести коло і лише одну.

Як слідстводаної теореми отримуємо:

Три перпендикулярадо сторін трикутникавписаного в коло проведені через їх середини, перетинаються в одній точці, яка є центром кола.

Розв'яжемо завдання. Потрібно знайти запропонований центр кола.

Зазначимо на запропонованій три будь-які точки A, B і С, накреслимо через них дві хординаприклад, AB і СB, і з середини цих хорд вкажемо перпендикуляри MN та PQ. Шуканий центр, будучи однаково віддалений від A, B і З, повинен лежати і MN, і PQ, отже, перебуває на перетині цих перпендикулярів, тобто. у точці O.

І коло- геометричні постаті, взаємопов'язані між собою. є гранична ламана лінія(крива) кола,

Визначення. Окружність - замкнута крива, кожна точка якої рівновіддалена від точки, званої центром кола.

Для побудови кола вибирається довільна точка, прийнята за центр кола, і за допомогою циркуля проводиться замкнута лінія.

Якщо точку центру кола з'єднати з довільними точками на колі, то всі отримані відрізки будуть між собою рівні, і називаються такі відрізки радіусами, скорочено позначаються латинською маленькою або великою літерою"ер" ( rабо R). Радіусів у колі можна провести стільки ж, скільки точок має довжина кола.

Відрізок, що з'єднує дві точки кола і проходить через її центр, називається діаметром. Діаметрскладається з двох радіусів, що лежить на одній прямій. Діаметр позначається латинською маленькою або великою літерою «де» ( dабо D).

Правило. Діаметркола дорівнює двом її радіусів.

d = 2r
D = 2R

Довжина кола обчислюється за формулою і залежить від радіусу (діаметра) кола. У формулі є число ¶, яке показує у скільки разів довжина кола більше, ніж його діаметр. Число ¶ має нескінченну кількість знаків після коми. Для обчислень прийнято = 3,14.

Довжина кола позначається великою латинською літерою «це» ( C). Довжина кола пропорційна її діаметру. Формули для розрахунку довжини кола за її радіусом та діаметром:

C = ¶d
C = 2¶r

• Приклади
• Дано: d = 100 див.
• Довжина кола: C = 3,14*100 см = 314 см
• Дано: d = 25 мм.
• Довжина кола: С = 2 * 3,14 * 25 = 157 мм

Сікна кола та дуга кола

Будь-яка січна (пряма лінія) перетинає коло у двох точках і ділить її на дві дуги. Величина дуги кола залежить від відстані між центром і січною і вимірюється по замкнутій кривій від першої точки перетину січної з колом до другої.

Дугикола діляться січучоїна велику та малу, якщо січна не збігається з діаметром, і на дві рівні дугиякщо січна проходить по діаметру кола.

Якщо січна проходить через центр кола, то її відрізок, розташований між точками перетину з колом, є діаметр кола, або найбільша хорда кола.

Чим далі січна розташована від центру кола, тим менша градусна міра меншої дуги кола і більше - більшої дуги кола, а відрізок сіючої, званий хордий, зменшується в міру видалення січе від центру кола.

Визначення. Навколо називається частина площини, що лежить усередині кола.

Центр, радіус, діаметр кола є одночасно центром, радіусом та діаметром відповідного кола.

Так як коло - це частина площини, то одним із його параметрів є площа.

Правило. Площа кола ( S) дорівнює добутку квадрата радіусу ( r 2) на число ¶.

• Приклади
• Дано: r = 100 см
• Площа кола:
• S = 3,14 * 100 см * 100 см = 31 400 см 2 ≈ 3м 2
• Дано: d = 50 мм
• Площа кола:
• S = ¼ * 3,14 * 50 мм * 50 мм = 1 963 мм 2 ≈ 20 см 2

Якщо у колі провести два радіуси до різним точкамкола, то утворюється дві частини кола, які називається секторами. Якщо у колі провести хорду, то частина площини між дугою та хордою називається сегментом кола.

Форми кола, кола ми зустрічаємо всюди: це колесо машини, лінія горизонту, і диск Місяця. Математики почали займатися геометричною фігурою- Навколо на площині - дуже давно.

Навколо з центром і радіусом називається безліч точок площини, віддалених від відстані, не більше . Коло обмежене колом, що складається з точок, віддалених від центру точно на відстань . Відрізки, що з'єднують центр з точками кола, мають довжину і називаються радіусами (кола, кола). Частини кола, куди він ділиться двома радіусами, називаються круговими секторами (рис. 1). Хорда - відрізок, що з'єднує дві точки кола, - ділить коло на два сегменти, а коло - на дві дуги (рис. 2). Перпендикуляр, проведений з центру до хорди, ділить її і дуги, що нею стягуються навпіл. Хорда тим довша, чим ближче вона розташована до центру; найдовші хорди – хорди, що проходять через центр, – називаються діаметрами (кола, кола).

Якщо пряма віддалена від центру кола на відстань , то при вона не перетинається з колом, при перетинається з колом по хорді і називається січною, має з колом і колом єдину загальну точку і називається дотичною. Дотична характеризується тим, що вона перпендикулярна до радіусу, проведеного в точку торкання. До кола з точки, що лежить поза ним, можна провести дві дотичні, причому їх відрізки від цієї точки до точок дотику рівні.

Дуги кола, як і кути, можна вимірювати в градусах та його частках. За градус приймають частину всього кола. Центральний кут (рис. 3) вимірюється тим самим числом градусів, як і дуга , яку він спирається; вписаний кут вимірюється половиною дуги. Якщо вершина кута лежить усередині кола, то цей кут у градусною мірою дорівнює напівсумідуг і (рис. 4, а). Кут з вершиною поза коло (рис. 4, б), що висікає на колі дуги і вимірюється напіврізністю дуг і . Нарешті, кут між дотичною та хордою дорівнює половині укладеної між ними дуги кола (рис. 4, в).

Коло та коло мають нескінченна безлічосей симетрії.

З теорем про вимірювання кутів і подоби трикутників випливають дві теореми про пропорційних відрізкаху колі. Теорема про хордах каже, що й точка лежить усередині кола, то добуток довжин відрізків які проходять неї хорд постійно. На рис. 5,a. Теорема про січну і дотичну (маються на увазі довжини відрізків частин цих прямих) стверджує, що якщо точка лежить поза коло, то твір січе на неї зовнішню частинутеж незмінно і дорівнює квадрату дотичної (рис. 5, б).

Ще в давнину намагалися вирішити завдання, пов'язані з колом, - виміряти довжину кола або його дуги, площу кола чи сектора, сегмента. Перша з них має суто «практичне» рішення: можна укласти вздовж кола нитку, а потім розгорнути її і прикласти до лінійки або ж відзначити на колі крапку і «прокатати» її вздовж лінійки (можна, навпаки, «обкотити» лінійкою коло). Так чи інакше виміри показували, що відношення довжини кола до її діаметра те саме для всіх кіл. Це ставлення прийнято позначати грецькою літерою(«пі» - початкова літера грецького слова perimetron, яке означає «коло»).

Однак давньогрецьких математиківтакий емпіричний, досвідчений підхід до визначення довжини кола не задовольняв: коло - це лінія, тобто, за Евклідом, "довжина без ширини", а таких ниток не буває. Якщо ж ми котимо коло по лінійці, виникає питання: чому при цьому ми отримаємо довжину кола, а не якусь іншу величину? До того ж, такий підхід не дозволяв визначити площу кола.

Вихід був знайдений такий: якщо розглянути вписані в коло правильні -кутники , то при , що прагне до нескінченності, у межі прагнуть до . Тому природно ввести такі, вже суворі, визначення: довжина кола - це межа послідовності периметрів правильних вписаних в коло -кутників, а площа кола - межа послідовності їх площ. Такий підхід прийнято і в сучасної математики, причому по відношенню не тільки до кола та кола, але й до інших кривих або обмежених криволінійними контурами областей: замість правильних багатокутниківрозглядають послідовності ламаних з вершинами на кривих чи контурах областей, а межа береться при прагненні довжини найбільшої ланки ламаної до нуля.

Аналогічним чином визначається довжина дуги кола: дуга поділяється на рівних частин, точки поділу з'єднуються ламаною і довжина дуги належить рівної межіпериметрів таких ламаних при , що прагне нескінченності. (Подібно давнім грекам, ми не уточнюємо саме поняття межі - воно відноситься вже не до геометрії і було цілком строго введено лише в XIX ст.)

Із самого визначення числа випливає формула для довжини кола:

Для довжини дуги можна записати аналогічну формулу: оскільки для двох дуг і із загальним центральним кутомз міркувань подібності випливає пропорція , та якщо з неї - пропорція , після початку межі ми отримуємо незалежність (від радіусу дуги) відносини . Це відношення визначається тільки центральним кутом і називається радіанною мірою цього кута і всіх дуг, що відповідають йому, з центром в . Тим самим виходить формула для довжини дуги:

де - радіальний захід дуги.

Записані формули для і - це лише переписані визначення чи позначення, але з допомогою виходять вже далекі від просто позначень формули для площ кола і сектора:

Для виведення першої формули достатньо перейти до межі у формулі для площі вписаного в коло правильного -кутника:

За визначенням ліва частинапрагне площі кола , а права - до

і , основи його медіан і , середини та відрізків прямих від точки перетину його висот до його вершин.

Це коло, знайдене у XVIII ст. великим вченим Л. Ейлером (тому її часто також називають колом Ейлера), була знову відкрита в наступному столітті вчителем провінційної гімназії в Німеччині. Звали цього вчителя Карл Фейєрбах (він був рідним братом відомого філософаЛюдвіга Фейєрбаха). Додатково К. Фейєрбах з'ясував, що коло дев'яти точок має ще чотири точки, тісно пов'язані з геометрією будь-якого трикутника. Це - точки її торкання з чотирма кілками спеціального виду(Рис. 2). Одна з цих кіл вписана, інші три - вписані. Вони вписані у кути трикутника і торкаються зовнішнім чином його сторін. Точки торкання цих кіл з колом дев'яти точок і називаються точками Фейєрбаха. Таким чином, коло дев'яти точок є насправді коло тринадцяти точок.

Окружність цю дуже легко побудувати, якщо знати дві її властивості. По-перше, центр кола дев'яти точок лежить у середині відрізка, що з'єднує центр описаного біля трикутника кола з точкою - його ортоцентром (точка перетину його висот). По-друге, її радіус для цього трикутника дорівнює половині радіусу описаного у нього кола.

Форми кола, кола ми зустрічаємо всюди: це колесо машини, лінія горизонту, і диск Місяця. Математики почали займатися геометричною фігурою – навколо на площині – дуже давно.

Кругом з центром $O$ і радіусом $R$ називається безліч точок площини, віддалених від $O$ на відстань, не більше $R. .$ Відрізки, що з'єднують центр з точками кола, мають довжину $R$ і також називаються радіусами (кола, кола). Частини кола, куди він ділиться двома радіусами, називаються круговими секторами (рис. 1). Хорда – відрізок, що з'єднує дві точки кола, – ділить коло на два сегменти, а коло – на дві дуги (рис. 2). Перпендикуляр, проведений з центру до хорди, ділить її і дуги, що стягуються нею, навпіл. Хорда тим довша, чим ближче вона розташована до центру; найдовші хорди – хорди, що проходять через центр, – називаються діаметрами (кола, кола).

Якщо пряма віддалена від центру кола на відстань $d,$ при $d > R$ вона перетинається з колом, при $d

Дуги кола, як і кути, можна вимірювати в градусах та його частках. За градус приймають $1/360$ частину всього кола. Центральний кут $AOB$ (рис. 3) вимірюється тим самим числом градусів, як і дуга $AB,$ яку він спирається; вписаний кут $ ACB $ вимірюється половиною дуги $ AB. ). Кут з вершиною $P$ поза коло (рис. 4, б), що висікає на колі дуги $AB$ і $A′B′,$ вимірюється напіврізністю дуг $A′B′$ і $AB.$ Нарешті, кут між дотичною і хордою дорівнює половині укладеної між ними дуги кола (рис. 4, в).

Коло і коло мають безліч осей симетрії.

З теорем про вимір кутів і подібності трикутників випливають дві теореми про пропорційні відрізки в колі. Теорема про хордах каже, що й точка $М$ лежить усередині кола, то добуток довжин відрізків $AM⋅BM$ проходять через неї хорд постійно. На рис. 5, а $AM⋅BM=A′M′⋅B′M.$ Теорема про січну і дотичну (маються на увазі довжини відрізків - частин цих прямих) стверджує, що якщо точка $М$ лежить поза коло, то добуток сіючої $ МА$ на її зовнішню частину $MB$ теж незмінно і дорівнює квадрату дотичної $MC$ (рис. 5, б).

Ще в давнину намагалися вирішити завдання, пов'язані з колом, - виміряти довжину кола чи його дуги, площу кола чи сектора, сегмента. Перша з них має суто «практичне» рішення: можна укласти вздовж кола нитку, а потім розгорнути її і прикласти до лінійки або ж відзначити на колі крапку і «прокатати» її вздовж лінійки (можна, навпаки, «обкотити» лінійкою коло). Так чи інакше виміри показували, що відношення довжини кола $L$ до її діаметра $d=2R$ те саме для всіх кіл. Це ставлення прийнято позначати грецькою буквою $π$ («пі» - початкова літерагрецького слова perimetron, яке означає «коло»).

Однак давньогрецьких математиків такий емпіричний, досвідчений підхід до визначення довжини кола не задовольняв: коло - це лінія, тобто, за Евклідом, "довжина без ширини", а таких ниток не буває. Якщо ж ми котимо коло по лінійці, виникає питання: чому при цьому ми отримаємо довжину кола, а не якусь іншу величину? До того ж, такий підхід не дозволяв визначити площу кола.

Вихід був знайдений такий: якщо розглянути вписані в коло $K$ правильні $n$‑кутники $M_n,$ то при $n,$ прагне до нескінченності, $M_n$ у межі прагнуть $K.$ Тому природно ввести наступні, вже строгі, визначення: довжина кола $L$ - це межа послідовності периметрів $P_n$ правильних вписаних в коло $n$-кутників, а площа кола $S$ - межа послідовності $S_n$ їх площ. Такий підхід прийнятий і в сучасній математиці, причому по відношенню не тільки до кола і кола, але і до інших кривих або обмежених криволінійними контурами областях: замість правильних багатокутників розглядають послідовності ламаних з вершинами на кривих або контурах областей, а межа береться при прагненні довжини найбільшого ланки ламаної нанівець.

Аналогічним чином визначається довжина дуги кола: дуга ділиться на n рівних частин, точки розподілу з'єднуються ламаною і довжина дуги $L$ належить рівної межі периметрів $l_n$ таких ламаних при $n,$ прагне до нескінченності. (Подібно давнім грекам, ми не уточнюємо саме поняття межі - воно відноситься вже не до геометрії і було цілком строго введено лише в XIX ст.)

З самого визначення числа π випливає формула для довжини кола:

Для довжини дуги можна записати аналогічну формулу: оскільки для двох дуг $Γ$ і $Γ′$ із загальним центральним кутом з міркувань подібності випливає пропорція $l_n:l′_n=R:R′,$ а з неї - пропорція $l_n: R=l′_n:R′,$ після переходу до межі ми отримуємо незалежність (від радіусу дуги) відношення $l/R=l′/R′=α.$ Це відношення визначається лише центральним кутом $AOB$ і називається радіанною мірою цього кута і всіх відповідних йому дуг з центром $O.$ Тим самим виходить формула для довжини дуги:

де $α$ - радіальний захід дуги.

Записані формули для $L$ і $l$ - це лише переписані визначення чи позначення, але з допомогою виходять вже далекі від просто позначень формули для площ кола і сектора:

$S=πR^2,$ $S=\frac(1)(2)αR^2.$

Для виведення першої формули достатньо перейти до межі у формулі для площі вписаного в коло правильного n-кутника:

$S_n=\frac(1)(2)P_nh_n.$

За визначенням ліва частина прагне площі кола $S,$ а права - до числа

$\frac(1)(2)LR=\frac(1)(2)⋅2πR⋅R =πR^2$

(апофема $h_n,$ звичайно, прагне $R$). Цілком аналогічно виводиться і формула для площі сектора $s$:

$s=\lim S_n=\lim (\frac(1)(2)l_nh_n)=$ $\frac(1)(2)\lim l_n⋅\lim h_n=$ $\frac(1)(2)lR =$ $\frac(1)(2)αR^2$

($ \ lim $ - читається "межа"). Тим самим було вирішено й завдання визначення площі сегмента з хордою $AB,$ бо вона представляється як різниця чи сума (рис. 1, 2) площ відповідних сектора та трикутника $AOB.$