Визначення радіусу кривизни лінзи. Радіус кривизни плоскої кривої

У багатьох дослідженнях представляється зручним приблизно замінити криву поблизу розглянутої точки - колом, що має ту ж кривизну, що і крива в цій точці.

Ми називатимемо колом кривизни кривою у цій точці М - коло, який

1) стосується кривої у точці М;

3) має ту ж кривизну, що й крива у точці М (рис. 157).

Центр З кола кривизни називається просто центром кривизни, а радіус цього кола - радіусом кривизни (кривий у цій точці).

З визначення кола кривизни випливає, що центр кривизни завжди лежить на нормалі - до кривої в точці, що розглядається, з боку увігнутості (тобто з боку, зворотної тій, куди спрямована опуклість кривої). Якщо кривизну кривої у цій точці позначити через до, то, згадуючи , що з кола мали формулу:

тепер для радіусу кривизни, очевидно, матимемо

Користуючись різними виразами, введеними в попередньому п° для кривизни, ми можемо відразу написати ряд формул для

радіуса кривизни:

які застосовуються у відповідних випадках.

Зі всіх формул радіус кривизни виходить зі знаком, як і вище - кривизна. Однак тут ми знака не відкидатимемо, а постараємося встановити його геометричний зміст.

З цією метою введемо поняття про позитивний напрямок нормалі до кривої. Ми роз'яснили вже у 249, що на дотичній позитивним вважається напрямок у бік зростання дуг. На нормалі ж ми за позитивне виберемо такий напрямок, щоб воно щодо (позитивно спрямованої) дотичної було так само орієнтоване, як вісь щодо осі х. Наприклад, при звичайному розташуванні цих осей нормаль повинна становити дотичний кут проти годинникової стрілки.

Тепер, розглядаючи радіус кривизни як спрямований відрізок, що лежить на нормалі, природно приписувати йому знак плюс, якщо він відкладається за нормаллю у позитивному напрямку, і знак мінус інакше. Так, на рис. 158 у разі кривої радіус кривизни матиме знак плюс, а у разі кривої (II) знак мінус.

Ми стверджуємо, що знак радіуса кривизни, що отримується за будь-якою з виведених вище формул, точно відповідає щойно даному визначенню. Однак, важливо підкреслити, що у всіх випадках позитивний напрямок відліку дуг передбачається відповідним зростанню параметра ( або ).

Інструкція

Найчастіше зустрічаються завдання на радіусу кривизни траєкторії покинутого тіла заданий проміжок часу. Траєкторія руху в даному випадкуописується рівняннями на координатних осях: х = f(t), y = f(t), де t – час, момент якого потрібно знайти радіус. Його обчислення ґрунтуватиметься на застосуванні формули аn = V²/R. Тут радіус R виявляється із відношення аn та миттєвої швидкості V руху тіла. Дізнавшись дані величини, можна легко знайти потрібну компоненту R.

Якщо відомий тільки діаметр, то формула буде виглядати як «R = D/2».

Якщо довжина коланевідома, але є дані про довжину певного , то формула матиме вигляд «R = (h^2*4 + L^2)/8*h», де h – висота сегмента (є відстанню від середини хорди до самої виступаючої частини зазначеної дуги), а L – довжина сегмента (яка не є довжиною хорди). кола.

Зверніть увагу

Слід розрізняти поняття «коло» і «коло». Коло є частиною площини, яка, у свою чергу, обмежується коло певного радіусу. Щоб знайти радіус, потрібно знати площу кола. У такому разі рівняння матиме вигляд «R = (S/π)^1/2», де S є площею. Щоб обчислити площу, своєю чергою слід знати радіус («S = πr^2»).

Щоб знайти миттєву швидкістьпри рівномірному русі, поділіть відстань, пройдену тілом, на час, за який вона долалася. При нерівномірному русі дізнайтеся значення прискорення і розраховуйте швидкістьу кожний момент часу. При вільному падінні миттєва швидкістьзалежить від прискорення вільного падіннята часу. Миттєву швидкістьможна виміряти спідометром чи радаром.

Вам знадобиться

• Для визначення миттєвої швидкості візьміть радар, спідометр, секундомір, рулетку або далекомір, акселерометр.

Інструкція

Визначення миттєвої швидкості при рівномірному русі Якщо тіло рухається рівномірно, виміряйте за допомогою рулетки або далекоміра відрізок шляху в метрах, після чого поділіть отримане значення на проміжок часу в секундах, за який цей відрізок був пройдений. Час виміряйте секундоміром. Після цього знайдіть середню швидкість, Розділивши довжину шляху на час його проходження (v = S / t). А оскільки рух рівномірний, то середня швидкістьбуде миттєвої швидкості.

Визначення миттєвої швидкості при нерівномірному русі нерівномірного руху рівноприскорений рух. За допомогою акселерометра або в будь-який інший спосіб виміряйте значення прискорення. Після цього, знаючи початкову швидкістьруху, додайте до неї добуток прискорення, протягом якого тіло перебуває в русі. Результатом буде значення миттєвої швидкості в Наразічасу. (v=v0+a t). При розрахунках врахуйте, що якщо тіло зменшує свою швидкість(гальмує), то значення прискорення буде негативним. Якщо рух починається зі стану спокою, початкова швидкістьдорівнює нулю.

Визначення миттєвої швидкості при вільному падінні Для визначення миттєвої швидкості вільно падаючого тіла потрібно час падіння помножити на прискорення вільного падіння (9,81 м/с²), розрахунок зробити по v = g t. Врахуйте, що при початкова швидкістьтіла дорівнює нулю. Якщо тіло з відомою, то для визначення миттєвої швидкості в момент падіння з цієї висоти помножте її значення в метрах на число 19,62, а з отриманого числа витягніть квадратний.

Визначення миттєвої швидкості спідометром або радаром Якщо тіло, що рухається, обладнане спідометром (), то на його шкалі або електронному табло буде безперервно відображатися миттєва швидкістьна даний момент часу. При спостереженні за тілом із нерухомої точки (), направте на нього сигнал радара, на його табло відобразиться миттєва швидкістьтіла на даний момент часу.

Відео на тему

Для вивчення руху деякого фізичного об'єкта(автомобіль, велосипедист, кулька в рулетці) достатньо вивчити рух деяких його точок. Під час дослідження руху виявляється, що це точки описують деякі криві лінії.

Інструкція

Знайте, що кривими можна описати рух рідини, газу, світлових ліній струму. Радіусом кривизни для плоскої кривої у певній точці є дотичною у цій точці. У деяких випадках крива задається, і кривизни обчислюється по. Відповідно, щоб дізнатися радіус кривизни, необхідно дізнатися радіус кола, що стосується певної точки.

Визначте на площині криву точку А, поблизу неї візьміть ще одну точку В. Побудуйте дотичні до наявної кривої, які проходять через точки А і В.

Проведіть через точки А і В лінії, перпендикулярні дотичним, продовжіть їх до перетину. Позначте точку перетину перпендикулярів як О. Точка О є центром дотичного кола в даній точці. Отже ОА – радіус кола, тобто. кривизни у цій конкретній точці А.

Якщо для точки в просторі визначити кривизни у двох взаємно перпендикулярних напрямках, ці кривизни будуть називатися головними. Напрямок головних кривизн має бути обов'язковим 900. Для обчислень часто використовують середню кривизну, рівну напівсуміголовних кривизн, і гауссову кривизну, що дорівнює їхньому твору. Існує також кривизни кривої. Це величина, обернена до радіусу кривизни.

Прискорення є важливим факторомруху точки. Кривизна траєкторії безпосередньо впливає прискорення. Прискорення виникає у тому випадку, коли з постійною швидкістюпочинає рухатися кривою. Змінюється як швидкості, а й її напрям, виникає доцентрове прискорення. Тобто. насправді точка починає рухатися по колу, якого стосується момент часу.

Нормальне прискоренняспостерігається у тому випадку, коли тіло рухається по колу. Причому рух може бути рівномірним. Природа цього прискорення пов'язана з тим, що тіло, яке рухається по колу, постійно змінює напрямок швидкості, оскільки лінійна швидкість спрямована по дотичній до кожної точки окружності.

Вам знадобиться

• спідометр або радар, секундомір, далекомір.

Інструкція

За допомогою спідометра або радара виміряйте лінійну швидкістьтіла, яке . Далекоміром виміряйте її радіус. Щоб знайти тіло, що рухається по колу, візьміть значення швидкості в даний момент, зведіть його в квадрат і поділіть на радіус кола траєкторії руху: a = v²/R.

Довгий часЕрастофен очолював Олександрійську бібліотеку, саму знамениту бібліотеку стародавнього світу. Крім того, що він обчислив розмір нашої планети, зробив ще низку важливих винаходівта відкриттів. Винайшов нехитрий метод визначати прості числа, Званий тепер «решета Ерастофена».

Намалював карту світу, в якій показав усі частини світу, відомі на той момент древнім грекам. Карта вважалася однією з найкращих для свого часу. Розробив систему довготи та широти та календар, що включав високосні роки. Винайшов армілярну сферу, механічний пристрій, що використовується ранніми астрономами, щоб демонструвати та передбачати видимий рух зірок на небі. Також склав зірковий каталог, що включав 675 зірок.

Джерела:

• Грецька вчений ЕратосфенКіренський вперше у світі вирахував радіус Землі
• Eratosthenes" Calculation of Earth"s Circumference
• Ератостени

Коло - це плоска крива з постійним радіусом кривизни. Тобто. радіус кола це і є радіус кривизни кола:

R окр = ρ (542.2)

Як визначити радіус кола, ми розглянемо нижче.

Кривизна дуги

Будь-яка дуга – це частина кола. Відповідно радіус дуги дорівнює радіусукола:

Малюнок 542.1. Дуга - частина кола

На малюнку 542.1 бачимо дугу АВ, показану помаранчевим кольором, що є частиною кола з радіусом R . Крім того, ми бачимо, що кут α , утворений радіусами в точках Аі У, дорівнює кутуміж дотичними (показані фіолетовим кольором) до кола у цих точках.

Ці закономірності дозволяють визначити радіус дуги і знайти центр кола навіть тоді, коли спочатку ми коло не бачимо, а маємо дугу.

Поняття кривизни дуги формулюється так:

Кривизна дуги - це відношення кута між дотичними, проведеними на початку та в кінці дуги, до довжини дуги

Тобто. знаючи довжину дуги m та кут α між дотичними, ми можемо визначити кривизну дуги:

k буд. = α/m (542.3)

Оскільки довжина дуги залежить від кута між радіусами або між дотичними в кінцях дуги:

m= R α (542.4)

то, підставивши значення довжини дуги рівняння (542.3), отримаємо:

k буд. = α/m = α /R α = 1/R (542.1.2)

Примітка: При вимірі кута між дотичними не в радіанах, а в градусах рівняння довжини дуги має інший вигляд:

m = П R α /180 (542.4.1)

але суті справи це змінює. Такий запис, як і раніше, означає, що ми розглядаємо частину довжини кола. Так при α = 360° дуга стає колом

m = П R360/180 = 2 П R = lокр. (542.4.2)

Більш того, сама ідея радіанів на цій формулі і заснована, так прямий кут 90 ° = П/2 , розгорнутий 180 ° =П і т.д.

І ще одне цікава властивістьдуги: Якщо з'єднати точки Аі Упрямою лінією, то кут між цією лінією і дотичними буде дорівнювати α /2 а сама пряма лінія - це і є відстань між точками Аі У. Якщо дуга розташована у площині відповідним чином, наприклад так, як показано на малюнку 542.2:

Малюнок 542.2. Дуга з точки початку координат.

та відстань між точками - це проекція l дуги на вісь х . А максимальна відстань між дугою та віссю х - це стріла дуги h .

Радіус кривизни прямої лінії

Будь-яка пряма лінія, навіть нескінченно довга, можна розглядати як нескінченно мала частина кола, тобто. як дуга. Відповідно, в яких одиницях вимірювати радіус такого кола навіть важко уявити.

Тому зазвичай прямою лінією називають криву з нескінченно великим радіусом:

ρ д.а. = ∞ (542.5)

k п.л = 1/∞ = 0 (542.6)

Про досі невирішений парадокс, що виникає при подібних підходахдо прямої лінії і до кола, я вже згадував у статті "Основи геометрії. Визначення основних елементів, п'ятий елемент". Тут лише додам, що через пряму лінію можна провести нескінченна безлічплощин і в будь-якій з цих площин радіус кривизни прямої лінії дорівнюватиме нескінченності. При цьому через коло можна провести дві взаємно перпендикулярні площині, В одній з яких коло буде коло, а в іншій - прямою лінією кінцевої довжини. Тому

всі лінії, які в одній із площин мають нескінченно великий радіус кривизни, вважаються плоскими.

Ну і на закуску ще кілька парадоксів, на цей раз пов'язаних із визначеннями кривизни та радіусу:

1. З рівняння (542.1) можна дійти невтішного висновку, що:

k p = 1 (542.7)

Відповідно для прямої лінії:

0·∞ = 1 (542.7.2)

Тобто. якщо нескінченно багато разів взяти нуль, то на одиночку ми наскребемо. Втім, далі буде ще веселіше.

2. Якщо пряма - це дуга з нескінченно великим радіусом, відповідно дотичні, проведені в кінцях такої дуги, збігаються з прямою, а кут, утворений дотичними, дорівнює нулю.

Це означає, що радіуси, проведені в кінцях дуги - прямої лінії, є паралельними прямими і не можуть перетинатися. А тим часом за визначенням це радіуси, які обов'язково повинні сходитися у певній точці – центрі кола.

Виходить, що паралельні прямі перетинатися не повинні, але десь у нескінченності таки перетинаються.

Дозволити цей парадокс намагалися багато математиків, проте в межах евклідової геометрії при прийнятому тлумаченні визначень цей парадокс не можна розв'язати.

Такі справи.

Радіус кривизни точки

Крапка - це найпростіший і найскладніший елемент геометрії. Одні вважають, що точка не має розмірів, а отже й визначити кривизну чи радіус кривизни точки неможливо. Інші, зокрема Евклід, вважають, що точка не має частин, а які при цьому розміри точки не зовсім зрозуміло. Я ж вважаю, що точка - це початковий, далі не ділимий елемент геометрії, розміри якого зневажливо малі в порівнянні з іншими елементами, що розглядаються. У цьому випадку для точки будуть справедливими наступні рівняння кривизни та радіуса кривизни:

ρ т. = 0 (542.8)

k т. = 1/0 = ∞ (542.9)

І хоча нас з перших років навчання в школі вчать, що ділити на 0 не можна і навіть вбудований в операційну системуКалькулятор пише, що "розподіл на нуль неможливо", проте ділити на нуль можна, а результатом поділу завжди буде нескінченність.

Як і у випадку з прямою, ми маємо парадоксальний результат, що виражається формулою (542.5.2). Тим не менш, точку також можна віднести до плоскої кривої, що має постійний радіус кривизни.

Примітка: На мій погляд більшість з описаних вище парадоксів виникають через неправильне тлумачення поняття "нескінченність" Нескінченність як якась абсолютна величинанемає меж, отже й ніякому виміру не піддається. Крім того, нескінченність - це навіть не постійна, а змінна величина. Наприклад промінь - це пряма лінія з початком у певній точці. Довжина променя може бути нескінченно великою. При цьому пряма лінія теж може бути нескінченно довгою, при цьому не мати ні початку ні кінця. Виходить, що з одного боку нескінченно довгий промінь начебто в 2 рази коротший, ніж нескінченно довга пряма. А з іншого боку, довжини їх нескінченні і тому рівні.

Можливим виходом із цієї ситуації є прийняття поняття "нескінченність" як відносного. Наприклад, кривизна прямої лінії є дуже малою величиною по відношенню до радіусу кривизни. Або радіус кривизни прямої лінії непорівнянно більший за кривизну. Подібні тлумачення допускають і наявність кривизни прямої і певне кінцеве значення радіуса кривизни прямої і багато іншого. Я б назвав такий відносний підхіддо розгляду проблеми реалістичним, а підходи, які використовують абсолютні поняття- Ідеалізованими. Втім прямого відношеннядо теми цієї статті це немає. Продовжимо розгляд плоских кривих.

І коло та пряма лінія є плоскими кривими з постійним радіусом кривизни. При цьому радіус кривизни прямої лінії завжди відомий, оскільки дорівнює нескінченності, а для кола завжди можна визначити радіус, скориставшись теоремою Піфагора. Так у окремому випадку, якщо центр кола збігається з початком координат площини (u = 0; v = 0 - координати центру кола), то:

Малюнок 541.4. Радіус кола, як гіпотенуза прямокутного трикутника.

А в загальному випадку, коли координати центру кола не збігаються з початком координат:

Малюнок 542.3. Коло, центр якого не збігається з початком координат.

R 2 = (x - u) 2 + (y - v) 2 (542.10)

Але в житті досить часто доводиться стикатися з кривими, радіус кривизни яких – не постійна величина. Більш того, цей радіус може змінюватися у двох площинах виміру. Проте так далеко заглиблюватись у геометрію та алгебру ми не будемо й надалі розглянемо, як можна визначити радіус плоскої кривої в деякій точці.

Плоскі криві з радіусом кривизни, що змінюється.

Прикладів плоских кривих з радіусом кривизни, що змінюється, дуже багато, це і гіперболи, і параболи, і синусоїди і т.п. Визначення радіусу кривизни таких кривих ґрунтується на наступних теоретичних передумовах:

1. Будь-яке коло можна розглядати як кілька дуг.

2. Якщо кількість дуг, що становлять коло, прагне нескінченності, то відповідно довжина таких дуг прагне нуля (m → 0).

3. Якщо ми позначимо довжину такої дуже короткої дуги як збільшення функції довжини кола ( m = Δ l), то рівняння кривизни (542.3) прийме наступний вигляд:

(542.3.1)

4. Тоді будь-яку плоску криву з змінним радіусом можна розглядати як безліч дуг з постійним радіусом, що прагне до нескінченності. Тобто в межах будь-якої кривої, що описується параметричними рівняннями, Завжди можна виділити дугу, нехай навіть і дуже малої довжини, що прагне до точки і визначити для неї кривизну і радіус кривизни в точці, що розглядається.

Це означає, що самий точний спосібвизначення радіусу кривизни в такому випадку – це використання диференціальних обчислень. У випадку для цього потрібно двічі продиференціювати рівняння радіуса кола (542.10) за аргументом функції х , а потім витягти квадратний коріньз одержаного результату. У результаті (повний висновок рівняння тут не наводжу через підвищеної складностізаписи, а для особливо зацікавлених є довідники та інші сайти) ми отримаємо наступну формулу для визначення радіусу кривизни:

(542.11)

Відповідно кривизна плоскої кривої в розглянутій точці дорівнюватиме:

(542.12)

У окремому випадку, коли тангенс кута між дотичними - перша похідна від функції - є відносно малою величиною, наприклад, tg2° = 0.035 відповідно (tg2°) 2 = 0.0012, то вплив куба суми першої похідної та одиниці на кривизну можна знехтувати (значення знаменника дробу зводиться до одиниці) і тоді:

k = y" = d 2 y/dx 2 (542.12.2)

Тобто. формально в таких випадках кривизною вважається не відношення кута нахилу між дотичними до довжини дуги, а деяка величина, що приблизно відповідає висоті h малюнку 542.2.

Ця особливість другої похідної дуже активно використовується, зокрема, для спрощення визначення прогину елементів будівельних конструкцій.

Інтерференційні смуги рівної товщиниу тонкій плівці, тобто. темні або світлі смугивідповідні постійному значенню товщини плівки ( d), можна спостерігати в повітряному прошарку між плоскою поверхнею пластинки, що стикаються один з одним, і опуклою сферичною поверхнею лінзи (див. рис.5).

При цьому товщина повітряного прошарку поступово збільшується від центру лінзи до країв. При нормальному (перпендикулярному поверхні) падінні світла смуги рівної товщини мають вигляд концентричних кіл, які отримали назву кілець Ньютона.

Якщо на лінзу падає пучок монохроматичного світла, то світлові хвилі, відбиті від верхньої та нижньої межповітряного прошарку, інтерферують між собою.

Так як, на відміну від вище наведеного прикладу, відображення світлової хвилі відбувається у точці Увід розділу середовища повітря-скло, а не скло-повітря, як на рис.4, то λ / 2 додається до доданку L 1 і формула (19), у початковій її частині набуде вигляду:

∆ = L 1 - L 2 = (АВ + ВС + λ/ 2) - AD = 2d + λ /2

Тобто, оптична різниця ходу, в цьому випадку дорівнює подвоєній товщині повітряного зазору ( 2d) (показник заломлення повітря n = 1).

У результаті отримаємо:

∆ = 2d + λ/2. (23)

Рис.5. Схема виникнення Рис.6. Облік деформації

кілець Ньютона лінзи

Темні кільця утворюються там, де оптична різниця ходу дорівнює непарному числу напівхвиль (див.16):

∆ = 2d + λ /2 = (2m + 1) λ /2, (24)

тобто. при товщині зазору

d = m λ /2, (25)

де m = 0,1,2,3 ... - Номер кільця.

Радіус m-ного темного кільця ( r m) Визначається з трикутника AОС(див. рис.5)

r m 2 = R 2 - (R- d,) 2 = 2Rd- d 2 , (26)

де R-Радіус кривизни лінзи. Вважаючи величину повітряного зазору у місці виникнення кілець малої, (тобто. d « R) можна записати:

r m 2 = 2Rd. (27)

З цієї формули видно, що радіус кривизни лінзи можна знайти, вимірявши радіус кільця Ньютона і розмір повітряного зазору в місці виникнення кільця. Радіус кілець Ньютона можна виміряти, скориставшись мікроскопом, що має вимірювальну шкалу. Щоб не вимірювати величину зазору (до речі, не зрозуміло, як це зробити експериментально), можна скористатися інтерференційною умовою виникнення темних кілець (24).

Тоді радіус кривизни лінзи можна виразити через радіус кільця Ньютона, довжину хвилі світла, що використовується, і номер вимірюваного кільця:

r m 2 = Rmλ (28)

Використання формули (28) визначення радіуса кривизни може призвести до помилки, т.к. у точці дотику лінзи та скляної пластинки можлива деформація лінзи за величиною порівнянна з довжиною хвилі світла, тому використання висновків, заснованих на рис.5 (див. формули 26,27,28), буде некоректним.

Експериментально спостерігається величина повітряного зазору може бути меншою за теоретичну величину, отриману з рис.5 на величину деформації скляної пластинки і лінзи ( δ ) (див. рис.6). Тому в реальному експерименті формулу (27) замість товщини повітряного зазору ( d)необхідно підставити суму товщини повітряного зазору та величини деформації лінзи та скляної пластинки ( d + δ). Враховуючи, що умова виникнення темного кільця (24) визначається лише товщиною зазору, отримаємо наступну формулу, що зв'язує радіуси кілець Ньютона з радіусом кривизни лінзи:

r m 2 = Rmλ + 2Rδ (29)

Експериментально зручніше замість радіуса кільця Ньютона вимірювати його діаметр ( D m).У цьому випадку формула (29) матиме вигляд:

D m 2 = 4Rmλ + 8Rδ, (30)

З (30) видно, що квадрат діаметра кільця Ньютона ( D m 2 )пропорційний порядковому номеру кільця ( m).Якщо побудувати графік залежності D m 2 = f(m),то експериментальні точки повинні лежати на одній прямій, і тангенс кута нахилу цієї прямої ( α ) буде дорівнює 4Rλ .Таким чином, для знаходження радіусу кривизни лінзи необхідно, використовуючи графік залежності D m 2 = f(m),знайти

, (31)

R=tgα/4λ(32)

Внаслідок деформації в центрі лінзи спостерігається кругла темна пляма, що відповідає нульовій товщині повітряного зазору. Вимірявши діаметр центральної темної плями (кільця Ньютона, номер якого m = 0 ),можна знайти величину деформації лінзи за формулою:

δ = D 0 2 /8R(33)

10. КРИВІЗНА ОКРУЖНОСТІ

Окружність є найпростішою з кривих ліній, оскільки вона згинається рівномірно.

Розглянемо рух точки М по колу радіусом R (рис. 15). КутΔτ між дотичними у двох положенняхМ 1 іМ 2 точкиМ - це централь-

ний кут М 1 ОМ 2 між радіусамиОМ 1 іОМ 2 тому Δτ = R S радіан.

Δτ S = R S = R1.

Вважаючи S → 0 можна сказати, що кривизна кола дорівнює зворотній величині радіуса у всіх її точках: k = R 1 .

кривизни у точці А1 (рис. 16).

11. КРИВІ ЛІНІЇ ДРУГОГО ПОРЯДКУ

Алгебраїчні криві, що описуються рівнянням другого ступеня щодо поточних координат, називають кривими другого порядку.

Загальне рівняння другого ступеня із двома змінними має вигляд

Воно визначає рівняння еліптичного типу- еліпс або (в окремому випадку) коло.

Якщо покласти A = 1 a 2

рівняння

яке визначає криву гіперболічного типу- гіперболу або пару прямих, що перетинаються.

Якщо покласти A = 0,B = 0,C = 1,D = − P ,E = 0,F = 0 , то отримаємо рівняння

y2 = 2 Px,

визначальне криву параболічного типу- Параболу, пару паралельних прямих (в окремому випадку збігаються) або уявна безліч точок.

Розглянемо докладніше властивостікривих другого порядку.

11.1. ЕЛЛІПС

Еліпсом називаєтьсязамкнута плоска крива лінія, сума відстаней від кожної точки якої до двох даних точок (фокусів) є величина постійна, більша, ніж відстань між фокусами.

Нехай у площині дано дві точки F A і F B (фокуси) на відстані 2с одна від одної (рис. 17).

Будь-яка точка Е площині належить еліпсу, якщо дотримується умова

EF A + EF B = 2а,

де 2а – дана довжина(величина великої осі еліпса). Якщо фокуси F A і F B збігаються, то

EFA = EFB = а.

Виходить безліч точок, рівновіддалених від однієї даної точки, тобто коло ( приватний вигляделіпса).

Канонічне рівняння еліпса:

Відрізки AB і CD , що з'єднують протилежні вершини еліпса, рівні 2а і 2b називають відповідно великою та малою осямиеліпса.