Рівняння пуассона та лапласу для електростатичного поля. Рівняння пуассона та математична постановка задач електростатики

Я хотів би з пізнавальною метою розповісти про рівняння, які застосовувалися при виведенні рівняння Дебая-Хюккеля. Це рівняння Пуассона та розподіл Больцмана.

Рівняння Пуассона

Ми з'ясували, що квазінейтральна плазма в рівноважному стані і що під дією електричного полявід зарядів, що рухаються, заряджені частинки зміщуються на дебаївську довжину і поле в межах цієї довжини згасає. В електростатиці взаємодія заряджених частинок описується кулонівським рівнянням:

Де – величини взаємодіючих точкових зарядів, - Квадрат відстані між зарядами. Коефіцієнт k є константою. Якщо ми використовуємо систему в електростатичних одиницях СГС, що позначаються СГСЕq, то k = 1. Якщо використовується система СІ, то де - діелектрична проникність середовища, в якому розташовані заряди, - електрична постійна, рівна 8,86 ∙ .

У фізиці безпосередньо силою не користуються, а запроваджують поняття електростатичного полярозподілених зарядів та вимірюють поле величиною напруженості електричного поля. Для цього в кожну точку поля подумки поміщають одиничний пробний заряд і вимірюють силу, з якою поле зарядів діє на пробний заряд:

звідси випливає глибокий сенсрізниці потенціалів. Якщо зафіксувати точку Р1 і переміщувати заряд змінну точку Р2, то робота залежить тільки від положення другої точки Р2. У такий спосіб ми можемо запровадити поняття потенціалу. Потенціал – це силова функція, що показує яку необхідно виконати роботу полю, щоб перемістити заряд з нескінченності в дану точку P2, де умовно приймають потенціал у нескінченності рівним нулю.

Щоб зрозуміти рівняння Пуассона, необхідно розумітися на «особливій» векторній математиці. Я коротко розповім про такі поняття як градієнт поля та дивергенції (маю на увазі, що читач знайомий з математичним аналізом)
Нехай f(x,y,z) є деякою безперервною функцією координат, що диференціюється. Знаючи її похідні в кожній точці простору можна побудувати вектор, компоненти якого x, y, z рівні відповідним приватним похідним:

Тепер повернемося до електростатичного поля E. З одного боку зміна потенціалу при переході з однієї точки до іншої має такий вигляд:

Перш ніж показати, як виходить рівняння Пуассона, важливо знати закон Гауса та теорему Гауса. Уявімо сферу, всередині якої знаходиться заряд q. Заряд створює навколо себе електричне поле напруженості E. Візьмемо потік вектора E

Теорема Гауса (повна назва теорема Гауса-Остроградського) є суто математичною теоремою про дивергенцію. Перепишемо повний потіквектора F наступним чином:

У ми розберемо важливий розподілз математичної статистики- Розподіл Больцмана.

Теги:

• фізика
• електростатики

До дослідження рівнянь Лапласа та Пуассона наводить розгляд завдань про стаціонарному процесі: це завдання гідродинаміки, дифузії, розподілу температури, електростатики та ін.

Ці рівняння відносяться до рівнянь еліптичного типу.

Ті завдання, які призводять до рівнянь, що містять час, називаються нестаціонарними чи динамічними завданнями математичної фізики; Завдання, що призводять до рівнянь, що не містять час, називаються стаціонарними або статичними.

Як було показано, рівняння математичної фізики мають безліч рішень, що залежать від двох довільних функцій ( мова йдепро рівняння другого порядку для функції двох змінних). Для того, щоб з безлічі рішень виділити певний процес, що характеризує процес, необхідно на потрібну функцію накласти додаткові умови, які диктуються фізичними міркуваннями Такими умовами рівнянь у приватних похідних є, найчастіше, початкові і граничні умови. Граничні умови - умови задані межі аналізованого середовища; початкові умови - це умови, що належать до якогось моменту часу, з якого починається вивчення даного фізичного явища. Додаткові умови, як і саме диференціальне рівняння, виводяться з урахуванням фізичних міркувань, що з самим процесом. Водночас додаткові умови мають бути такими, щоб забезпечити виділення єдиного рішенняз безлічі рішень. Число граничних та початкових умоввизначаються типом рівняння, які вид - заданим вихідним станом межі об'єкта і зовнішнього середовища. Для рівнянь, що ми розглядаємо, число початкових умов дорівнює порядку старшої похідної за часом, що входить до рівняння, а число граничних умов - порядку старшої похідної за координатою.

Сукупність диференціального рівнянняі додаткових умов є математичне формулювання фізичної задачі, і називається завданням математичної фізики.

Отже, завдання математичної фізики полягає у пошуку рішень рівнянь у приватних похідних, які задовольняють деяким додатковим умовам, скажімо, граничним і початковим.

Завдання математичної фізики вважається поставленою коректно, якщо розв'язання задачі, що задовольняє всім її умовам, існує єдино і стійко.

Коливання струни. Граничні та початкові умови. Постановка крайових завдань

Нехай струна перебуває під впливом сильного початкового натягу. Якщо вивести струну зі становища рівноваги і піддати дії будь-якої сили, то струна почне вагатися. Процес коливання можна описати однією функцією, що характеризує вертикальне переміщення струни (відхилення від рівноваги (рис. 2.2)). При кожному фіксованому значення графік функції на площині дає форму струни в момент часу.

Функція задовольняє рівняння

визначає вільні коливання струни без впливу зовнішніх зусиль.

Рівняння (2.69) є найпростішим рівнянням гіперболічного типу і водночас одним із найважливіших рівнянь матфізики.

Одного рівняння руху (2.69) або (2.70) при математичному описі фізичного процесунедостатньо. При розгляді задачі про коливання струни додаткові умови можуть бути двох видів: початкові та граничні (крайові).

Оскільки процес коливань струни залежить від неї початкової формиі розподілу швидкостей, слід задати початкові умови:

Будемо говорити про три типи граничних умов:

де відомі функції,

та відомі постійні.

Наведені умови називають відповідно граничними умовами першого, другого, третього роду. Умови I мають місце у тому випадку, коли кінці об'єкта (струна, стрижень тощо) переміщуються по заданим законом; умови II - у разі, коли до кінців додано задані сили; умови III – у разі пружного закріплення кінців.

Якщо функції, задані у правій частині рівності, дорівнюють нулю, то граничні умови називаються однорідними. Так, граничні умови (2.72) – однорідні. Комбінуючи різні перелічені типи граничних умов, отримаємо шість типів найпростіших крайових завдань.

У тому випадку, коли режим на кінцях не істотно впливатиме на ту частину струни, яка досить віддалена від них, струну вважають нескінченною. В силу цього замість повного крайового завдання ставлять граничне завдання - завдання Кошия: знайти рішення рівняння (2.69) для при, що задовольняє початковим умовам

Якщо вивчається процес поблизу одного кордону і вплив граничного режиму на другому кордоні не має істотного значення протягом цікавого для нас проміжку часу, то приходимо до постановки завдання на півобмеженій прямій. У цьому випадку задаються початкові умови та одна з граничних умов I - III при.

Приклади розв'язання задач

ПРИКЛАД 2.42. Однорідна струна довжини робить малі поперечні коливання. Поставити завдання визначення відхилень точок струни від прямолінійного становища спокою, якщо у момент струна мала форму () і швидкість кожної її точки задається функцією. Розглянути випадки:

• а) кінці струни закріплені;
• б) кінці струни вільні;

в) до кінців струни і, починаючи з моменту, прикладені поперечні сили та відповідно;

г) кінці струни закріплені пружно, тобто. кожен із кінців відчуває опір, пропорційний відхилення кінця.

Рішення. Як відомо, відхилення точок струни від положення рівноваги задовольняють без діючої зовнішньої силирівнянню вільних коливань (2.70)

Тут, натяг, лінійна густина, т.к. струна однорідна.

Початкові умови мають вигляд:

Займемося виведенням граничних умов.

Випадок а). Оскільки кінці струни закріплені, їх відхилення в точках і повинні бути рівними нулю за будь-якого, тобто.

Отже, фізичне завданняпро коливання закріпленої на кінцях струни звелася до наступної математичного завдання: знайти функцію, визначену при і, що є рішенням рівняння

і задовольняє граничним умовам

та початковим умовам

Рівняння (10.2) встановлює зв'язок між потенціалом електростатичного поля та напруженістю цього поля. З цього рівняння можна отримати співвідношення між потенціалом та щільністю заряду. Для цього потрібно утворити дивергенцію обох частин цього рівняння і потім скористатися формулою (6.5):

Згідно правил векторного аналізу[див. рівняння (40)

так що рівняння (11.1) може бути записано так:

Це диференціальне рівняння зветься рівняння Пуассона. У тих ділянках поля, де немає електричних зарядів

Рівняння це звертається до наступного:

Цей окремий вид рівняння Пуассона зветься рівняння Лапласа.

Рівняння Пуассона дозволяє визначити потенціал поля об'ємних зарядів, якщо відомо розташування цих зарядів. Рішення (інтеграл) цього диференціального рівняння (за певних граничних умов) має, очевидно, збігатися з виведеною раніше формулою (8.8):

Надалі ми доведемо це безпосереднім обчисленням. Поки що зазначимо, що з вирішення деяких завдань зручніше виходити з інтеграла (8.8), а безпосередньо з диференціального рівняння (11.3).

приклад. Визначити густину термоіонного струму між двома нескінченними плоскими електродами у вакуумі. Приклад цей застосування рівняння Пуассона взятий не з електростатики, а з вчення про струм і має велике значеннядля теорії катодних (підсилювальних) ламп.

Відомо, що розжарені метали випускають зі своєї поверхні навколишній простір потік вільних електронів. Якщо до двох металевих електродів додати певну різницюпотенціалів і розжарити негативний електрод (катод), то електрони, що безперервно випускаються розжареним катодом, будуть притягуватися до поверхні позитивного електрода (анода). Потік електронів, що рухаються від катода до анода, еквівалентний електричному струму. Струм цей називається термоіонним.

Виберемо осі декартових координаттак, щоб початок їх знаходився на катоді, а вісь х була перпендикулярна площині електродів і спрямована до анода. Приймемо потенціал катода рівним нулю, а потенціал анода рівним З міркувань симетрії випливає, що еквіпотенційні поверхніпаралельні електродам, тому й рівняння Пуассона у просторі між електродами набуває вигляду

Якщо позначити через число електронів, що припадають на одиницю об'єму у просторі між електродами на відстані х від катода, а через абсолютну величинузаряду електрона, то щільність заряду на

цій відстані буде:

Припустимо для простоти, що електрони, що випускаються катодом, при виході з його поверхні не володіють ніякою початковою швидкістю. На шляху від катода до анода сили електричного поля виконуватимуть над електронами заряду роботу - яка, очевидно, переходитиме в кінетичну енергіюрухи електронів. Позначаючи через швидкість електрона на відстані х від катода, а через потенціал на тій самій відстані, отримаємо

де 771 – маса електрона. Зрештою, щільність електричного струму, Т. е. заряд, що протікає за одиницю часу через перпендикулярну струму (т. е. перпендикулярну до осімайданчик у рівні, очевидно:

бо є кількість електронів, що проходять за одиницю часу через цей майданчик. На відміну від щільності струму є постійна величина, яка не залежить від х, бо після досягнення стаціонарного станучерез будь-яку паралельну електродам площина проходить, очевидно, однакове числоелектронів.

Виключимо з рівняння (11.5) усі невідомі функції х, крім насамперед.

Але з (11.6) випливає, що

стало бути,

Вводячи позначення А - отримаємо

Як легко переконатися підстановкою, рішення цього диференціального рівняння, яке, згідно з умовою завдання, звертається на катоді в нуль і, крім того, задовольняє умові

Якщо позначити відстань від анода до катода через I, то при потенціал повинен звертатися в так,

Таким чином, щільність термоіонного струму не підпорядковується закону Ома, а зростає пропорційно до ступеня 3/2 прикладеного до електродів напруги і обернено пропорційно квадрату відстані між ними. Ця відмінність законів термоіонного струму від законів струму в металах обумовлюється двома причинами. По-перше, електрони в металах стикаються з позитивними іонами, що утворюють твердий скелет металу, і зазнають завдяки цьому опір своєму руху, відсутнє при русі у вакуумі 1). По-друге, при термоіонному струмі у просторі між електродами знаходяться лише вільні електрони, заряд яких не компенсується зарядом позитивних іонів, як це має місце в металах, внаслідок чого поле цього так званого просторового заряду спотворює поле електродів.

Зазначимо, що формула (11.9) перестає бути справедливою при великих щільностяхструму 2). При підвищенні потенціалу анода настає момент, коли всі електрони, що виділяються катодом, негайно ж захоплюються до анода. Подальше підвищенняпотенціалу анода не може, очевидно, повести до збільшення густини струму, яка, таким чином, досягає постійного значення(Струм насичення).

Завдання 10. Нехай означає відстань даної точки простору від певної довільно обраної початкової точкиПоказати, що скаляр

задовольняє рівняння Лапласа

Крапка не розглядається.

Завдання 11. Нескінченна плоска пластина товщиною 2а рівномірно заряджена електрикою з об'ємною щільністю. Показати, що потенціал поля всередині та поза пластиною дорівнює відповідно:

а вектор спрямований уздовж осі х від серединної площини і чисельно дорівнює:

Порівняти цей випадок із граничним випадком нескінченної зарядженої площини (§ 4).

Завдання 12. Знайти потенціал поля кулі, рівномірно зарядженого за своїм обсягом [формула (8.12)], виходячи з рівняння Пуассона у сферичних координатах.

Рівняння Пуассона та Лапласа є основними рівняннями електростатики. Вони випливають з теореми Гауса в диференційної форми. Дійсно, відомо, що Е = - grad j. Водночас згідно з теоремою Гауса

Підставимо у (11.22) E з (11.7). Отримаємо

.

Винесемо мінус за знак дивергенції

.

Замість писати gradj,запишемо його еквівалент Ñj. Замість div напишемо Ñ. Тоді

Рівняння (11.27) називається рівнянням Пуассона. Приватний виглядрівняння Пуассона, коли ρ свб = 0 називається рівнянням Лапласа. Рівняння Лапласа запишеться так:

Оператор називають оператором Лапласа або лапласіаном і іноді позначають ще символом D. Тому можна зустріти іноді таку форму запису рівняння Пуассона:

Розкриємо в декартовій системікоординат. З цією метою добуток двох множників Ñ і запишемо у розгорнутому вигляді

Зробимо почленное множення і отримаємо

.

Таким чином, рівняння Пуассона в системі декартової координат запишеться наступним чином:

. (11.29)

Рівняння Лапласа в системі декартової координат

. (11.30)

Наведемо без виведення виразу Ñ 2 j в циліндричній системі координат

, (11.31)

у сферичній системі координат (11.32)

Рівняння Пуассона дає зв'язок між приватними похідними другого порядку від jу будь-якій точці поля та об'ємною щільністю вільних зарядів у цій точці поля. У той же час потенціал jв будь-якій точці поля залежить, зрозуміло, від усіх зарядів, що створюють поле, а не лише від величини вільного заряду, що у цій точці.

Рівняння Лапласа (1780) спочатку було застосовано для опису потенційних полів небесної механікита згодом було використано для опису електричних полів. Рівняння Пуассона застосовується до дослідження потенційних полів (електричних та магнітних) з 1820 року.

Розглянемо питання про те, як у загальному виглядіможе бути записано рішення рівняння Пуассона. Нехай обсягом Vє об'ємні (r), поверхневі (s) та лінійні (t) заряди. Ці заряди представимо у вигляді сукупностей точкових зарядів rdV, sds, tdl; dV- Елемент об'єму, ds-Елемент зарядженої поверхні, dl- Елемент довжини зарядженої осі. Складова потенціалу djв деякій точці простору, віддаленої від rdVна відстань R, відповідно до формули (11.20) дорівнює

Складові потенціалу від поверхневого та лінійного зарядів, розглядаючи їх як точкові, визначимо аналогічним чином:

Повне значення jвизначиться як сума (інтеграл) складових потенціалу від усіх зарядів у полі:

. (11.33)

У формулі (11.33) r,sі tє функції радіусу R. Практично формулою (11.33) користуються рідко, оскільки розподіл sпо поверхні, tпо довжині та rза обсягом складним чином залежить від конфігурації електродів і, зазвичай, перед проведенням розрахунку невідомо. Іншими словами, невідомо, як r, sі tзалежать від радіусу R.

Граничні умови

Під граничними умовами розуміють умови, яким підпорядковується поле на межах поділу середовищ із різними електричними властивостями. При вивченні розділу «перехідні процеси» винятково велике значення мало питання про початкові умови і закони комутації. Початкові умови та закони комутації дозволяли визначити постійні інтегрування під час вирішення завдань класичним методом. У класичному методівони використовувалися у явному вигляді, в операторному методі – у прихованому. Без використання їх не можна вирішити жодного завдання на перехідні процеси.

Можна провести паралель між роллю граничних умов в електричному (і в будь-якому іншому) полі та роллю початкових умов та законів комутації при перехідних процесах. При інтегруванні рівняння Лапласа (або Пуассона) до рішення увійдуть постійні інтегрування. Їх і визначають, з граничних умов. Перш ніж перейти до детального обговорення граничних умов, розглянемо питання про поле всередині провідного тіла в умовах електростатики.

ВИЗНАЧЕННЯ

Описує адіабатний процес, що протікає в . Адіабатним називають такий процес, при якому відсутній теплообмін між аналізованою системою та навколишнім середовищем: .

Рівняння Пуассона має вигляд:

Тут – обсяг, зайнятий газом, – його , а величина називається показником адіабати.

Показник адіабати у рівнянні Пуассона

У практичних розрахункахзручно пам'ятати, що для ідеального газупоказник адіабати дорівнює , для двоатомного – , а триматомного – .

Як же бути з реальними газами, коли важливу рольпочинають грати сили взаємодії між молекулами? В цьому випадку показник адіабати для кожного газу, що досліджується, можна отримати експериментально. Один із таких методів був запропонований у 1819 році Клеманом та Дезормом. Ми наповнюємо балон холодним газом, доки тиск у ньому не досягне. Потім відкриваємо кран, газ починає адіабатично розширюватися, а тиск у балоні падає до атмосферного. Після того, як газ ізохорно прогріється до температури довкілля, тиск у балоні підвищиться до . Тоді показник адіабати можна розрахувати за формулою:

Показник адіабати завжди більший за 1, тому при адіабатичному стисканні газу – як ідеального, так і реального – до меншого обсягу температура газу завжди зростає, а при розширенні газ охолоджується. Ця властивість адіабатичного процесу, звана пневматичним огнівом, застосовується в дизельних двигунах, де горюча суміш стискається в циліндрі і займається від високої температури. Згадаймо перший закон термодинаміки: , де - , а А - виконувана над нею робота. Оскільки робота, що здійснюється газом, йде тільки на зміну його внутрішньої енергії- отже, температури. З рівняння Пуассон можна отримати формулу для розрахунку роботи газу в адіабатному процесі:

Тут n - кількість газу в молях, R - універсальна постійна газова, Т - абсолютна температурагазу.

Рівняння Пуассона для адіабатичного процесу застосовується не лише при розрахунках двигунів внутрішнього згоряння, а й у проектуванні холодильних машин.

Варто пам'ятати, що рівняння Пуассона точно описує лише рівноважний адіабатний процес, що складається з станів рівноваги, що безперервно змінюють один одного. Якщо ж ми насправді відкриємо кран у балоні, щоб газ адіабатично розширився, виникне нестаціонарний перехідний процес із завихреннями газу, які згаснуть через макроскопічне тертя.

Приклади розв'язання задач

ПРИКЛАД 1

ПРИКЛАД 2