Як зображати нерівності координатної площині. Нерівності та системи нерівностей із двома змінними

, учитель математики МОУ «Упшинська основна загальноосвітня школа»

Графічне розв'язання нерівностіз двома змінними

Часто доводиться зображати на координатної площини безліч розв'язків нерівності з двома змінними.Нагадаємо, що рішенням нерівності з двома змінними називають пару значень цих змінних, яка звертає цю нерівність у вірну числова нерівність.

Приклад 1

Розглянемо нерівність

Пара значень змінних (-1; 1) звертає цю нерівність у

вірна числова нерівність 2< 8, и является решением неравенства. Пара значений (2; 1) приводит к неверному числовому неравенству 11 < 8, и не является ре­шением данного неравенства.

На прикладах розглянемо, як зображується безліч розв'язків нерівності із двома змінними на координатній площині.

Приклад 2

Зобразимо на координатній площині безліч розв'язківвенства 2у+ Зх< 6.

Спочатку збудуємо пряму

Вона розбиває безліч усіх точок координатної площини на точки, розташовані вище за неї, і точки, розташовані нижче за неї.

Візьмемо з кожної області по контрольній точці , наприклад А (1; 1) та В (1; 3)

Координати точки Азадовольняють цій нерівності 2у+ Зх< 6, т. е. 2 1 + 3 1 < 6.

Координати точки Уне задовольняють цій нерівності 2∙3 + 3∙1< 6.

Так як ця нерівність може змінити знак на прямий 2у+ Зх = 6, то нерівності задовольняє безліч точок тієї області, де розташована точка А. Заштрихуємо цю область.

Таким чином, ми зобразили безліч розв'язків нерівності 2у+ Зх< 6.

Приклад 3

Зобразимо безліч розв'язків нерівності х2 + 2х + у2- 4у + 1 > 0на координатній площині.

Побудуємо спочатку графік рівняння х2 + 2х + у2 - 4у + 1 = 0. Виділимо в цьому рівнянні рівняння кола: (х2 + 2х + 1) + (у2 - 4у + 4) = 4, або (х + 1) 2 + ( у - 2) 2 = 22.

Це рівняння кола з центром у точці 0 (-1; 2) і радіусом R = 2. Побудуємо це коло.

Так як ця нерівність суворе і точки, що лежать на самому колі, нерівності не задовольняють, то будуємо коло пунктирною лінією.

Легко перевірити, що координати центру Прокола даної нерівності не задовольняють. Вираз х2 + 2х + у2 - 4у+ 1 змінює свій знак на побудованому колі. Тоді нерівності задовольняють точки, розташовані поза коло. Ці точки заштриховані.

Приклад 4

Зобразимо на координатній площині безліч розв'язків нерівності

(у - х2) (у- х - 3)< 0.

Спочатку збудуємо графік рівняння (у - х2) (у- х - 3) = 0. Ним є парабола у= х2 і пряма у = х+ 3. Побудуємо ці лінії та зазначимо, що зміна знака виразу (у - х2) (у- х - 3) відбувається лише цих лініях. Для точки А (0; 5) визначимо знак цього виразу: - 3) > 0 (тобто дана нерівність не виконується). Тепер легко відзначити безліч точок, для яких ця нерівність виконана (ці області заштриховані).

Існують лише «ікси» і лише вісь абсцис, то зараз додаються «ігреки» і поле діяльності розширюється до всієї координатної площини. Далі за текстом словосполучення «лінійна нерівність» розуміємо у двомірному значенні, який проясниться через лічені секунди.

Крім аналітичної геометрії, матеріал актуальний для низки завдань математичного аналізу, економіко-математичного моделювання, тому рекомендую проштудувати цю лекцію з усією серйозністю.

Лінійні нерівності

Розрізняють два типи лінійних нерівностей:

1) Суворінерівності: .

2) Нестрогінерівності: .

Який геометричний змістцих нерівностей?Якщо лінійне рівняннязадає пряму, то лінійна нерівність визначає напівплощина.

Для розуміння нижченаведеної інформації потрібно знати різновиди прямих на площині та вміти будувати прямі. Якщо виникнуть труднощі у цій частині, прочитайте довідку Графіки та властивості функцій– параграф про лінійну функцію.

Почнемо з найпростіших лінійних нерівностей. Блакитна мрія будь-якого двієчника - координатна площина, на якій немає нічого:

Як відомо, вісь абсцис задається рівнянням – «ігрок» завжди (при будь-якому значенні «ікс») дорівнює нулю

Розглянемо нерівність. Як його розуміти неформально? «Ігрек» завжди (за будь-якого значення «ікс») позитивний. Очевидно, що ця нерівність визначає верхню напівплощину - адже там і знаходяться всі точки з позитивними "ігреками".

У тому випадку, якщо нерівність несувора, до верхньої напівплощини додатковододається сама вісь.

Аналогічно: нерівності задовольняють всі точки нижньої напівплощини, суворій нерівності відповідає нижня напівплощина + вісь.

З віссю ординат та сама прозаїчна історія:

– нерівність задає праву напівплощину;
- нерівність задає праву напівплощину, включаючи вісь ординат;
– нерівність задає ліву напівплощину;
- Нерівність задає ліву напівплощину, включаючи вісь ординат.

На другому кроці розглянемо нерівності, у яких відсутня одна із змінних.

Немає «гравець»:

Або відсутня «ікс»:

З такими нерівностями можна розібратися двома способами, будь ласка, розгляньте обидва підходи. Принагідно згадаємо-закріпимо шкільні діїз нерівностями, вже розібрані на уроці Область визначення функції.

Приклад 1

Вирішити лінійні нерівності:

Що означає розв'язати лінійну нерівність?

Вирішити лінійну нерівність – це означає знайти напівплощину, точки якої задовольняють цій нерівності (плюс саму пряму, якщо нерівність несувора). Рішення, як правило, графічне.

Найзручніше виконати креслення, а потім все закоментувати:

а) Вирішимо нерівність

Спосіб перший

Спосіб дуже нагадує історію з координатними осями, яку ми розглянули вище. Ідея полягає в перетворенні нерівності – щоб у лівій частині залишити одну змінну без жодних констант, даному випадку- Змінну «ікс».

Правило: У нерівності доданки переносяться з частини в частину зі зміною знака, при цьому знак НАЙРАВНОСТІ не змінюється(наприклад, якщо був знак «меншим», то так і залишиться «меншим»).

Переносимо «п'ятірку» в праву частинузі зміною знаку:

Правило ПОЗИТИВНЕ не змінюється.

Тепер креслимо пряму (синя пунктирна лінія). Пряма проведена пунктиром з тієї причини, що нерівність суворе, і точки, що належать даній прямій, свідомо не входитимуть до рішення.

Який сенс нерівності? "Ікс" завжди (при будь-якому значенні "гравець") менше, ніж . Очевидно, що цьому твердженню задовольняють усі точки лівої напівплощини. Цю напівплощину, в принципі, можна заштрихувати, але я обмежуся маленькими синіми стрілочками, щоб не перетворювати креслення на художню палітру.

Спосіб другий

Це – універсальний спосіб. ЧИТАЄМО ДУЖЕ УВАЖНО!

Спочатку креслимо пряму. Для ясності, до речі, рівняння доцільно подати у вигляді .

Тепер вибираємо будь-яку точку площини, не належить прямий. Найчастіше, сама ласа точка, звичайно . Підставимо координати цієї точки в нерівність:

Отримано неправильна нерівність (простими словами, Так бути не може), значить, точка не задовольняє нерівності.

Ключове правилонашого завдання:
не задовільняєнерівності, то й ВСІточки даної напівплощини не задовольняютьцій нерівності.
– Якщо будь-яка точка напівплощини (що не належить прямої) задовольняєнерівності, то й ВСІточки даної напівплощини задовольняютьцій нерівності.

Можете протестувати: будь-яка точка праворуч від прямої не задовольнятиме нерівності.

Який висновок із проведеного досвіду з точкою? Подітися нікуди, нерівності задовольняють усі точки іншої – лівої напівплощини (теж можете перевірити).

б) Вирішимо нерівність

Спосіб перший

Перетворимо нерівність:

Правило: Обидві частини нерівності можна помножити (розділити) на НЕГАТИВНЕчисло, у своїй знак нерівності ЗМІНЮЄТЬСЯна протилежний (наприклад, якщо був знак «більше або одно», то стане «меншим або одно»).

Помножуємо обидві частини нерівності на:

Накреслимо пряму (червоний колір), причому, накреслимо суцільною лінією, тому що нерівність у нас непогане, і пряма свідомо належить рішенню.

Проаналізувавши отриману нерівність, приходимо до висновку, що його рішенням є нижня напівплощина (+ сама пряма).

Відповідну напівплощину штрихуємо або позначаємо стрілочками.

Спосіб другий

Накреслимо пряму. Виберемо довільну точку площини (що не належить прямої), наприклад, і підставимо її координати в нашу нерівність:

Отримано правильна нерівність, отже, точка задовольняє нерівності, і взагалі – ВСІ точки нижньої напівплощини задовольняють цій нерівності.

Тут піддослідною точкою ми потрапили в потрібну напівплощину.

Розв'язання задачі позначено червоною прямою та червоними стрілочками.

Особисто мені більше подобається перший спосіб вирішення, оскільки другий таки формальніший.

Приклад 2

Вирішити лінійні нерівності:

Це приклад для самостійного рішення. Постарайтеся вирішити завдання двома способами (до речі, це гарний спосібперевірки рішення). У відповідь наприкінці уроку буде лише підсумковий креслення.

Думаю, після всіх виконаних у прикладах дій вам доведеться на них одружитися не важко вирішити найпростішу нерівність на кшталт і т.п.

Переходимо до розгляду третього, загального випадку, коли в нерівності присутні обидві змінні:

Як варіант, вільний член «це» може бути нульовим.

Приклад 3

Знайти напівплощини, що відповідають наступним нерівностям:

Рішення: Тут використовується універсальний методрішення із підстановкою точки.

а) Побудуємо рівняння прямої , у своїй лінію слід провести пунктиром, оскільки нерівність суворе і пряма не ввійде у рішення.

Вибираємо піддослідну точку площини, яка не належить даній прямій, наприклад, і підставимо її координати в нашу нерівність:

Отримано неправильна нерівність, Отже, точка і ВСІ точки даної напівплощини не задовольняють нерівності. Рішенням нерівності буде інша напівплощина, милуємося синіми блискавками:

б) Вирішимо нерівність. Спочатку збудуємо пряму. Це зробити нескладно, маємо канонічна пряма пропорційність. Лінію проводимо суцільником, тому що нерівність не сувора.

Виберемо довільну точку площини, яка не належить прямої . Хотілося б знову використати початок координат, але, на жаль, зараз воно не годиться. Тому доведеться працювати з іншою подругою. Найвигідніше взяти точку з невеликими значеннями координат, наприклад, . Підставимо її координати в нашу нерівність:

Отримано правильна нерівність, Отже, точка і всі точки даної напівплощини задовольняють нерівності. Шукана напівплощина позначена червоними стрілочками. Крім того, до рішення входить сама пряма .

Приклад 4

Знайти напівплощини, що відповідають нерівностям:

Це приклад самостійного рішення. Повне рішення, приблизний зразок чистового оформлення та відповідь наприкінці уроку.

Розберемо зворотне завдання:

Приклад 5

а) Дана пряма. Визначити напівплощина, в якій знаходиться точка, при цьому сама пряма повинна входити до рішення.

б) Дана пряма. Визначити напівплощина, в якій знаходиться точка . Сама пряма не входить у рішення.

Рішення: тут немає необхідності в кресленні, і рішення буде аналітичним Нічого складного:

а) Складемо допоміжний багаточлен і обчислимо його значення в точці:
. Таким чином, нерівність буде зі знаком «менше». За умовою пряма входить у рішення, тому нерівність буде несуворою:

б) Складемо многочлен і обчислимо його значення в точці:
. Таким чином, нерівність буде зі знаком «більше». За умовою пряма не входить у рішення, отже, нерівність буде суворим: .

Відповідь:

Творчий прикладдля самостійного вивчення:

Приклад 6

Дані точки та пряма. Серед перелічених точок знайти ті, які разом із початком координат лежать по одну сторону від заданої прямої.

Невелика підказка: спочатку потрібно скласти нерівність, що визначає напівплощину, де знаходиться початок координат. Аналітичне рішеннята відповідь наприкінці уроку.

Системи лінійних нерівностей

Система лінійних нерівностей – це, як ви знаєте, система, складена з кількох нерівностей. Лол, та й визначення видав =) Їжачок – це їжачок, ножик – це ножик. Адже правда - вийшло просто і доступно! Ні, якщо серйозно, не хочеться наводити якихось прикладів у загальному виглядітому відразу перейдемо до насущних питань:

Що означає розв'язати систему лінійних нерівностей?

Вирішити систему лінійних нерівностей- це означає знайти безліч точок площини, які задовольняють кожномунерівності системи.

Як найпростіші приклади розглянемо системи нерівностей, що визначають координатні чверті прямокутної системи координат («малюнок двієчників» знаходиться на самому початку уроку):

Система нерівностей задає першу координатну чверть (права верхня). Координати будь-якої точки першої чверті, наприклад, і т.д. задовольняють кожномунерівності цієї системи.

Аналогічно:
– система нерівностей задає другу координатну чверть (ліва верхня);
– система нерівностей задає третю координатну чверть (ліва нижня);
– система нерівностей задає четверту координатну чверть (права нижня).

Система лінійних нерівностей може мати рішень, тобто бути несумісний. Знову найпростіший приклад: . Цілком очевидно, що «ікс» не може одночасно бути більше трьохта менше двох.

Рішенням системи нерівностей може бути пряма, наприклад: . Лебідь, рак, без щуки, тягнуть віз у дві різні сторони. Та віз і нині там - рішенням цієї системи є пряма.

Але найпоширеніший випадок, коли рішенням системи є певна область площини. Область рішеньможе бути не обмеженою(наприклад, координатні чверті) або обмеженою. Обмежена область рішень називається багатокутником рішень системи.

Приклад 7

Вирішити систему лінійних нерівностей

На практиці в більшості випадків доводиться мати справу з нестрогими нерівностями, тому частину уроку, що залишилася, водитимуть хороводи саме вони.

Рішення: те, що нерівностей забагато, лякати не повинно Скільки може бути нерівностей у системі?Та скільки завгодно. Головне, дотримуватись раціонального алгоритмупобудови галузі рішень:

1) Спочатку знаємося з найпростішими нерівностями. Нерівності визначають першу координатну чверть, включаючи кордон координатних осей. Вже значно легше, оскільки область пошуку значно звузилася. На кресленні відразу відзначаємо стрілочками відповідні напівплощини (червоні та сині стрілки)

2) Друга за простотою нерівність – тут відсутня «ігрок». По-перше, будуємо саму пряму, а, по-друге, після перетворення нерівності до виду, відразу стає зрозуміло, що всі «ікси» менше, ніж 6. Відзначаємо зеленими стрілками відповідну напівплощину. Ну що ж, область пошуку стала ще меншою – такий не обмежений зверху прямокутник.

3) На останньому етапі вирішуємо нерівності «з повною амуніцією»: . Алгоритм рішення ми детально розглянули у попередньому параграфі. Коротко: спочатку будуємо пряму, потім за допомогою піддослідної точки знаходимо потрібну нам напівплощину.

Встаньте, діти, встаньте в коло:


Область рішень системи є багатокутником, на кресленні він обведений малиновою лінією і заштрихований. Перестарався трохи =) У зошиті область рішень достатньо або заштрихувати, або жирніше обвести простим олівцем.

Будь-яка точка даного багатокутника задовольняє КОЖНІЙ нерівності системи (для інтересу можете перевірити).

Відповідь: Рішенням системи є багатокутник .

При оформленні на чистовик непогано докладно розписати, за якими точками ви будували прямі (див. урок Графіки та властивості функцій), і як визначали напівплощини (див. перший параграф даного уроку). Однак на практиці в більшості випадків вам зарахують і просто правильне креслення. Самі ж розрахунки можна проводити на чернетці або навіть усно.

Крім багатокутника рішень системи, на практиці, хай і рідше, зустрічається відкрита область. Спробуйте розібрати наступний прикладсамостійно. Хоча, заради точності, тортур тут ніяких - алгоритм побудови такий же, просто область вийде не обмеженою.

Приклад 8

Вирішити систему

Рішення та відповідь наприкінці уроку. У вас, швидше за все, будуть інші літерні позначеннявершин одержаної області. Це не важливо, головне, правильно знайти вершини і правильно побудувати область.

Не рідкість, як у завданнях потрібно як побудувати область рішень системи, а й знайти координати вершин області. У двох попередніх прикладах координати даних точок були очевидні, але на практиці все буває далеко не айс:

Приклад 9

Вирішити систему та знайти координати вершин отриманої області

Рішення: Зобразимо на кресленні область рішень даної системи Нерівність задає ліву напівплощину з віссю ординат, і халяви тут більше немає. Після розрахунків на чистовику/чернетці або глибоких розумових процесів, отримуємо наступну сферу рішень:

Вирішення нерівності з двома змінними, а тим більше системи нерівностей із двома змінними, Видається досить складним завданням. Однак є простий алгоритм, який допомагає легко та без особливих зусильвирішувати на перший погляд дуже складні завданнятакого роду. Спробуємо розібратися в ньому.

Нехай ми маємо нерівність із двома змінними одного з наступних видів:

y > f(x); y ≥ f(x); y< f(x); y ≤ f(x).

Для зображення множини рішень такої нерівності на координатній площині надходять таким чином:

1. Будуємо графік функції y = f(x), який розбиває площину дві області.

2. Вибираємо будь-яку з отриманих областей та розглядаємо в ній довільну точку. Перевіряємо здійсненність вихідної нерівності для цієї точки. Якщо в результаті перевірки виходить правильна числова нерівність, то укладаємо, що вихідна нерівність виконується у всій області, якій належить обрана точка. Отже, безліччю розв'язків нерівності – область, якій належить обрана точка. Якщо в результаті перевірки виходить неправильна числова нерівність, то безліч рішень нерівності буде друга область, якій обрана точка не належить.

3. Якщо нерівність суворе, то межі області, тобто точки графіка функції y = f(x), не включають безліч рішень і кордон зображують пунктиром. Якщо нерівність несувора, то межі області, тобто точки графіка функції y = f(x), включають безліч рішень даної нерівності і кордон в такому випадку зображують суцільною лінією.
А тепер розглянемо кілька завдань на цю тему.

Завдання 1.

Яка безліч точок задається нерівністю x · y ≤ 4?

Рішення.

1) Будуємо графік рівняння x · y = 4. Для цього спочатку перетворимо його. Очевидно, що x у даному випадку не звертається до 0, тому що інакше ми б мали 0 · y = 4, що неправильно. Отже, можемо поділити наше рівняння на x. Отримаємо: y = 4/x. Графіком цієї функції є гіпербола. Вона розбиває всю площину на дві області: ту, що між двома гілками гіперболи та ту, що зовні їх.

2) Виберемо з першої області довільну точку, хай це буде точка (4; 2).
Перевіряємо нерівність: 4 · 2 ≤ 4 – неправильно.

Отже, точки даної області не задовольняють вихідну нерівність. Тоді можемо дійти невтішного висновку у тому, що безліччю рішень нерівності буде друга область, якій обрана точка не належить.

3) Оскільки нерівність несувора, то граничні точки, тобто точки графіка функції y = 4/x, малюємо суцільною лінією.

Зафарбуємо безліч точок, що задає вихідну нерівність, жовтим кольором (Рис. 1).

Завдання 2.

Зобразити область, задану на координатній площині системою
(Y> x 2 + 2;
(y + x> 1;
(x 2 + y 2 ≤ 9).

Рішення.

Будуємо для початку графіки наступних функцій (Рис. 2):

y = x 2 + 2 – парабола,

y + x = 1 – пряма

x 2 + y 2 = 9 – коло.

1) y> x 2 + 2.

Беремо точку (0; 5), яка лежить вище за графік функції.
Перевіряємо нерівність: 5 > 0 2 + 2 – правильно.

Отже, всі точки, що лежать вище даної параболи y = x 2 + 2, задовольняють першу нерівність системи. Зафарбувати їх жовтим кольором.

2) y + x > 1.

Беремо точку (0; 3), яка лежить вище за графік функції.
Перевіряємо нерівність: 3 + 0 > 1 – правильно.

Отже, всі точки, що лежать вище за пряму y + x = 1, задовольняють другу нерівність системи. Зафарбуємо їх зеленою штрихуванням.

3) x 2 + y 2 ≤ 9.

Беремо точку (0; -4), що лежить поза колом x 2 + y 2 = 9.
Перевіряємо нерівність: 0 2 + (-4) 2 ≤ 9 – неправильно.

Отже, всі точки, що лежать поза колом x 2 + y 2 = 9, не задовольняють третю нерівність системи. Тоді можемо зробити висновок про те, що всі точки, що лежать усередині кола x 2 + y 2 = 9, задовольняють третій нерівності системи. Зафарбуємо їх фіолетовим штрихуванням.

Не забуваємо у тому, що й нерівність суворе, то відповідну граничну лінію слід малювати пунктиром. Отримуємо наступну картинку (Рис. 3).

(Рис. 4).

Завдання 3.

Зобразити область, задану на координатній площині системою:
(x 2 + y 2 ≤ 16;
(x ≥ -y;
(x 2 + y 2 ≥ 4).

Рішення.

Будуємо для початку графіки наступних функцій:

x 2 + y 2 = 16 – коло,

x = -y - Пряма

x 2 + y 2 = 4 – коло (рис. 5).

Тепер розбираємося з кожною нерівністю окремо.

1) x 2 + y 2 ≤ 16.

Беремо точку (0; 0), що лежить усередині кола x 2 + y 2 = 16.
Перевіряємо нерівність: 0 2 + (0) 2 ≤ 16 – вірно.

Отже, всі точки, що лежать усередині кола x 2 + y 2 = 16, задовольняють першу нерівність системи.
Зафарбуємо їх червоним штрихуванням.

Беремо точку (1; 1), яка лежить вище за графік функції.
Перевіряємо нерівність: 1 ≥ -1 – вірно.

Отже, всі точки, що лежать вище за пряму x = -y, задовольняють другу нерівність системи. Зафарбуємо їх синім штрихуванням.

3) x 2 + y 2 ≥ 4.

Беремо точку (0; 5), яка лежить поза колом x 2 + y 2 = 4.
Перевіряємо нерівність: 0 2 + 5 2 ≥ 4 – правильно.

Отже, всі точки, що лежать поза колом x 2 + y 2 = 4, задовольняють третій нерівності системи. Зафарбувати їх блакитним кольором.

У цій задачі всі нерівності несуворі, отже, всі межі малюємо суцільною лінією. Отримуємо наступну картинку (Рис. 6).

Шукана область - це область, де всі три розфарбовані області перетинаються один з одним (рис 7).

Залишились питання? Не знаєте, як вирішити систему нерівностей із двома змінними?
Щоб отримати допомогу репетитора – .
Перший урок – безкоштовно!

blog.сайт, при повному або частковому копіюванні матеріалу посилання на першоджерело обов'язкове.

У цій статті я відповідаю на ще одне запитання від моїх передплатників. Запитання приходять різні. Не всі їх коректно сформульовані. А деякі з них сформульовані так, що не одразу виходить зрозуміти, про що хоче запитати автор. Тому серед величезної кількості питань, що надсилаються, доводиться відбирати дійсно цікаві, такі «перлини», відповідати на які не просто захоплююче, але ще й корисно, як мені здається, для інших моїх читачів. І сьогодні я відповідаю на одне з таких питань. Як зобразити безліч розв'язків системи нерівностей?


Це дійсно гарне питання. Тому що метод графічного рішеннязадач у математиці - це дуже потужний метод. Людина так влаштована, що їй зручніше сприймати інформацію за допомогою різних наочних матеріалів. Тому якщо ви оволодієте цим методом, то повірте, він для вас виявиться незамінним як при вирішенні завдань з ЄДІ, особливо з другої частини, інших іспитів, так і при вирішенні завдань оптимізації і таке інше.

Так ось. Як нам відповісти на це питання. Почнемо з простого. Нехай у системі нерівностей міститься лише одна змінна.

Спростимо цю систему. Для цього додамо до обох частин першої нерівності 7 і поділимо обидві частини на 2, не змінюючи при цьому знак нерівності, тому що 2 додатне число. До обох частин другої нерівності додамо 4. У результаті отримаємо таку систему нерівностей:

Title="Rendered by QuickLaTeX.com">!}

Зазвичай таке завдання називають одновимірним. Чому? Та тому, щоб зобразити безліч її рішень, досить прямий. Числовою прямою, якщо бути точним. Зазначимо точки 6 і 8 на цій числовій прямій. Зрозуміло, що точка 8 буде праворуч, ніж точка 6, тому що на числовій прямій великі числаперебувають правіше менших. Крім того, точка 8 буде зафарбованою, оскільки згідно з записом першої нерівності вона входить до його вирішення. Навпаки, точка 6 буде незафарбованою, оскільки вона не входить у вирішення другої нерівності:

Відзначимо тепер стрілочної зверху значення, які менші або рівні 8, як того вимагає перша нерівність системи, а стрілочкою знизу — значення, які більше 6, як того вимагає друга нерівність системи:

Залишилося відповісти на питання, де на числовій прямій знаходяться рішення системи нерівностей. Запам'ятайте раз і назавжди. Знак системи – фігурна дужка – в математиці замінює спілку «І». Тобто, перекладаючи мову формул на людська мова, можна сказати, що від нас потрібно вказати значення , які більше 6 і менше або рівні 8. Тобто шуканий проміжок лежить на перетині зазначених проміжків:

Ось ми і зобразили безліч розв'язків системи нерівностей на числовій прямій у разі, якщо в системі нерівностей міститься лише одна змінна. У цей заштрихований проміжок входять усі значення , у яких всі нерівності, записані у системі, виконуються.

Розглянемо тепер більше складний випадок. Нехай у нашій системі містяться нерівності з двома змінними та . В цьому випадку обійтися тільки прямий для зображення рішень такої системи не вдасться. Ми виходимо за межі одномірного світу і додаємо до нього ще один вимір. Тут нам знадобиться вже ціла площина. Розглянемо ситуацію на конкретному прикладі.

Отже, як можна зобразити безліч рішень даної системи нерівностей з двома змінними в прямокутної системикоординат на площині? Почнемо з найпростішого. Задамося питанням, яку область цієї площини задає нерівність. Рівняння задає пряму, що проходить перпендикулярно до осі. OXчерез точку (0; 0). Тобто фактично ця пряма збігається з віссю OY. Ну а якщо нас цікавлять значення, які більші або рівні 0, то підійде вся напівплощина, що лежить праворуч від прямої:

Причому всі точки, що лежать на осі OY, нам теж підходять, тому що нерівність - не сувора.

Щоб зрозуміти, яку область координатної площині задає третю нерівність, потрібно побудувати графік функції . Це пряма, яка проходить через початок координат і, наприклад, точку (1; 1). Тобто фактично це пряма, що містить бісектрису кута, що утворює першу координатну чверть.

А тепер подивимося на третю нерівність у системі та подумаємо. Яку область нам потрібно знайти? Дивимося: . Знак «більше чи одно». Тобто ситуація аналогічна до тієї, що була в попередньому прикладі. Тільки тут «більше» означає не «правіше», а «вище». Тому що OY- це у нас вертикальна вісь. Тобто область, що задається на площині третьою нерівністю, - це безліч точок, що знаходяться вище прямої або на ній:

З першою нерівністю системи трохи менш зручно. Але після того, як ми змогли визначити область, що задається третьою нерівністю, я думаю, що вже зрозуміло, як треба діяти.

Потрібно уявити цю нерівність у такому вигляді, щоб ліворуч знаходилася тільки змінна, а праворуч — лише змінна. Для цього віднімемо з обох частин нерівності і поділимо обидві частини на 2, не змінюючи при цьому знак нерівності, тому що 2 це позитивне число. В результаті отримуємо таку нерівність:

Залишилось лише зобразити на координатній площині пряму, яка перетинає вісь OYу точці A(0;4) і пряму у точці . Остання я дізнався, прирівнявши праві частини рівнянь прямих і отримавши рівняння . З цього рівняння знаходиться координата точки перетину, а координата, я думаю, ви здогадалися, дорівнює координаті . Для тих, хто все-таки не здогадався, це тому, що у нас рівняння однієї з прямих, що перетинаються: .

Як тільки ми намалювали цю пряму, одразу можна відзначити потрібну область. Знак нерівності у нас тут «менший або рівний». Отже, потрібна область знаходиться нижче або безпосередньо на зображеній прямій:

Та й останнє питання. Де ж все-таки знаходиться шукана область, яка задовольняє всі три нерівності системи? Очевидно, що вона перебуває на перетині всіх трьох зазначених областей. Знову перетин! Запам'ятайте: знак системи математики означає перетин. Ось вона, ця область:

Ну і останній приклад. Ще загальніший. Припустимо тепер що у нас не одна змінна в системі і ні дві, а аж три!

Оскільки змінних цілих три, то для зображення безлічі рішень такої системи нерівностей нам знадобиться третій вимір на додаток до двох, з якими ми працювали в попередньому прикладі. Тобто ми вилазимо з площини у простір і зображаємо вже просторову системукоординат з трьома вимірами: X, Yі Z. Що відповідає довжині, ширині та висоті.

Почнемо з того, що зобразимо в цій системі координат поверхню, яка задається рівнянням . За формою воно дуже нагадує рівняння кола на площині, тільки додається ще один доданок зі змінною. Нескладно здогадатися, що це рівняння сфери з центром у точці (1; 3; 2), квадрат радіусу якої дорівнює 4. Тобто сам радіус дорівнює 2.

Тоді питання. А що тоді задає сама нерівність? Для тих, кого це питання ставить у глухий кут, пропоную розсудити таким чином. Перекладаючи мову формул на людську, можна сказати, що потрібно вказати всі сфери з центром у точці (1; 3; 2), радіуси яких менші або рівні 2. Але тоді всі ці сфери будуть знаходитися всередині зображеної сфери! Тобто фактично цією нерівністю задається вся внутрішня областьзображеної сфери. Якщо хочете, задається куля, обмежена зображеною сферою:

Поверхня, яку задає рівняння x+y+z=4 — це площина, яка перетинає осі координат у точках (0; 0; 4), (0; 4; 0) і (4; 0; 0). Ну і зрозуміло, що чим більше число праворуч від знака рівності, тим далі від центру координат будуть знаходитися точки перетину цієї площини з осями координат. Тобто друга нерівність задає напівпростір, що знаходиться «вище» за цю площину. Використовуючи умовний термін «вище», я маю на увазі далі у бік збільшення значень координат по осях.

Ця площина перетинає зображену сферу. При цьому перетин перетину – це коло. Можна навіть порахувати, на відстані від центру системи координат знаходиться центр цього кола. До речі, хто здогадається, як це зробити, пишіть свої рішення та відповіді у коментарях. Таким чином, вихідна система нерівностей задає область простору, яка знаходиться далі від цієї площини у бік збільшення координат, але укладена в зображену сферу:

Ось таким чином зображують безліч розв'язків системи нерівностей. Якщо змінних у системі більше, ніж 3 (наприклад, 4), наочно зобразити безліч рішень не вийде. Тому що для цього знадобилася б 4-мірна система координат. Але нормальна людинане здатний уявити собі, як могли б розташовуватися 4 взаємно перпендикулярні осікоординат. Хоча я знайомий, який стверджує, що може зробити це, причому з легкістю. Не знаю, чи правду він говорить, можливо, і правду. Але все-таки нормальна людська уява цього не дозволяє.

Сподіваюся, сьогоднішній урок виявився для вас корисним. Щоб перевірити, наскільки добре ви його засвоїли, виконайте наведене нижче домашнє завдання.

Зобразіть безліч розв'язків системи нерівностей:

ql-right-eqno"> title="Rendered by QuickLaTeX.com">!}

Матеріал підготував, Сергій Валерійович