Визначити площу сектора кола. Дано довжину дуги L і центральний кут φ

І коло - геометричні фігуривзаємопов'язані між собою. є гранична ламана лінія(крива) кола,

Визначення. Окружність - замкнута крива, кожна точка якої рівновіддалена від точки, званої центром кола.

Для побудови кола вибирається довільна точка, прийнята за центр кола, і за допомогою циркуля проводиться замкнута лінія.

Якщо точку центру кола з'єднати з довільними точками на колі, то всі отримані відрізки будуть між собою рівні, і називаються такі відрізки радіусами, скорочено позначаються латинською маленькою або великою літерою"ер" ( rабо R). Радіусів у колі можна провести стільки ж, скільки точок має довжина кола.

Відрізок, що з'єднує дві точки кола і проходить через її центр, називається діаметром. Діаметрскладається з двох радіусів, що лежить на одній прямій. Діаметр позначається латинською маленькою або великою літерою «де» ( dабо D).

Правило. Діаметркола дорівнює двом її радіусів.

d = 2r
D = 2R

Довжина кола обчислюється за формулою і залежить від радіусу (діаметра) кола. У формулі є число ¶, яке показує у скільки разів довжина кола більше, ніж його діаметр. Число ¶ має нескінченне числознаків після коми. Для обчислень прийнято = 3,14.

Довжина кола позначається великою латинською літерою «це» ( C). Довжина кола пропорційна її діаметру. Формули для розрахунку довжини кола за її радіусом та діаметром:

C = ¶d
C = 2¶r

• Приклади
• Дано: d = 100 див.
• Довжина кола: C = 3,14*100 см = 314 см
• Дано: d = 25 мм.
• Довжина кола: С = 2 * 3,14 * 25 = 157 мм

Сікна кола та дуга кола

Будь-яка січна (пряма лінія) перетинає коло у двох точках і ділить її на дві дуги. Величина дуги кола залежить від відстані між центром і січною і вимірюється по замкнутій кривій від першої точки перетину січної з колом до другої.

Дугикола діляться січучоїна велику та малу, якщо січна не збігається з діаметром, і на дві рівні дугиякщо січна проходить по діаметру кола.

Якщо січна проходить через центр кола, то її відрізок, розташований між точками перетину з колом, є діаметр кола, або найбільша хорда кола.

Чим далі січна розташована від центру кола, тим менше градусний західменшої дуги кола і більше - більшої дуги кола, а відрізок сіючої, званий хордий, зменшується в міру видалення січе від центру кола.

Визначення. Навколо називається частина площини, що лежить усередині кола.

Центр, радіус, діаметр кола є одночасно центром, радіусом та діаметром відповідного кола.

Так як коло - це частина площини, то одним із його параметрів є площа.

Правило. Площа кола ( S) дорівнює добутку квадрата радіусу ( r 2) на число ¶.

• Приклади
• Дано: r = 100 см
• Площа кола:
• S = 3,14 * 100 см * 100 см = 31 400 см 2 ≈ 3м 2
• Дано: d = 50 мм
• Площа кола:
• S = ¼ * 3,14 * 50 мм * 50 мм = 1 963 мм 2 ≈ 20 см 2

Якщо у колі провести два радіуси до різним точкамкола, то утворюється дві частини кола, які називається секторами. Якщо у колі провести хорду, то частина площини між дугою та хордою називається сегментом кола.

Площу сектора кола та площу сегмента вчити не потрібно! Дорогі друзі!Ви, напевно, не раз переглядали довідник із математичними формулами, І, напевно, виникала ідея: «Хіба можна їх все вивчити?». Скажу вам, що можливо, але навіщо? Навіщо забивати голову масою формул, постійно повторювати їх, жахатися з того, що якусь забув і знову повторювати? Не треба!

Насправді досить запам'ятати третину всіх формул, базових формул чи менше. Далі ви зрозумієте про що йдеться. Всі інші формули можна швидко вивести, знаючи основу, застосовуючи логіку, і запам'ятавши принципи, які слід слідувати.

Наведу приклад, існує 32 формули приведення, вчити їх – це безглузде заняття. Як швидко пригадати будь-яку з них — викладено у статті «», подивіться.

У цій статті ми розглянемо, як швидко відновити у пам'яті формули площі сектора кола, площі його сегмента, довжину дуги кола. Саме ці формули знадобляться для вирішення низки планиметрії, які розберемо в наступній статті.Отже, «базові» формули їх потрібно вивчити і знати!

Площі кола (формула):

Формула довжини кола:

Зобразимо сектор, що відповідає певному центральному кутку n:

Розмірковуємо логічно: якщо площа кола дорівнює S=ПR 2 , то площа відповідна сектору в один градус дорівнюватиме 1/360 від площі кола (ми знаємо, що все коло - це кут в 360 градусів), тобто

Далі зрозуміло, що площа сектора, що відповідає центральному куту в n градусів дорівнює добутку однієї триста шістдесятої площі кола і центрального кута n (відповідного сектору), тобто

Ось вам і формула площі сектора.

Або можна побудувати міркування таким чином:

Сектор 1 градус — це 1/360 частина кола, відповідно сектор n градусів — це n/360 частина кола. Тобто площа сектора дорівнюватиме твору площі кола і цієї частини:

Все просто. Необхідно від площі сектора відняти площу трикутника (він позначений жовтим кольором). Площа трикутника, як ми знаємо, дорівнює половині твору сусідніх сторінна синус кута між ними (цю формулу потрібно знати, вона нескладна). У даному випадкуце:

Значить,

Ось вам і площа сегменту!

Площа сегмента, де центральний кутбільше 180 градусів перебуває просто:

З площі кола віднімаємо площу отриманого нами сегмента:

Кут 360 – n градусів це кут, який відповідає зображеному сектору (жовтий колір):

Тобто, іншими словами, до його площі ми додаємо площу трикутника та отримуємо площу обумовленого сегмента.

Аналогічним чином визначаємо довжину дуги кола. Як уже сказано, довжина кола дорівнює:

Значить, довжина дуги кола, що відповідає одному градусу, дорівнює одній триста шістдесятій від 2πR, тобто

Отримали довжину дуги кола. Звичайно, цю інформаціювчителі дають учням, і нічого такого секретного ви не впізнали. Але, певен, стаття принесе вам користь.

Повторюся, що найголовніше — знати формули площі кола та довжини кола, а далі працює лише логіка.

Пропоную подивитись додатковий урокДмірія Тарасова з цієї теми. Розглядаються формули довжини дуги кола та площі сектора, де центральний кут заданий радіальною мірою.

На цьому все.Успіхів вам!!

З повагою Олександр Крутицьких.

PS: Буду вдячний Вам, якщо розповісте про сайт у соціальних мережах.

Коло - основна фігура в геометрії, властивості якої розглядають у школі у 8 класі. Одне з типових завдань, пов'язаних з колом, полягає у знаходженні площі деякої її частини, яка зветься круговим сектором. У статті наводяться формули площі сектора та довжини його дуги, а також приклад їх використання для вирішення конкретного завдання.

Поняття про коло та коло

Перед тим як наводити формулу площі сектора кола, розглянемо, що являє собою вказана фігура. Згідно математичного визначення, Під коло розуміють таку фігуру на площині, всі точки якої рівновіддалені від однієї точки (центру).

Коли розглядають коло, то користуються такою термінологією:

• Радіус – відрізок, який проводиться від центральної точки до кривого кола. Його прийнято позначати літерою R.
• Діаметр - це відрізок, який з'єднує дві точки кола, але при цьому проходить через центр фігури. Його зазвичай позначають літерою D.
• Дуга - це частина кривого кола. Вимірюють її або в одиницях довжини або з використанням кутів.

Коло - ще одна важлива фігура геометрії, він є сукупністю точок, яка обмежена кривою колу.

Площа кола та довжина кола

Зазначені у назві пункту величини розраховуються з використанням двох простих формул. Вони наведені нижче:

• Довжина кола: L = 2 * pi * R.
• Площа кола: S = pi * R 2 .

У цих формулах pi – це деяка константа, яка називається числом Пі. Воно є ірраціональним, тобто не може бути точно виражено простим дробом. Приблизно число Пі дорівнює 3,1416.

Як видно з наведених виразів, щоб розрахувати площу та довжину достатньо знати лише радіус кола.

Площа сектора кола та довжина його дуги

Перед тим як розглядати відповідні формули, нагадаємо, що кут у геометрії прийнято виражати двома основними способами:

• у шістдесяткових градусах, причому повний оборотнавколо своєї осі дорівнює 360 o;
• у радіанах, що виражаються в частках числа pi та пов'язані з градусами наступною рівністю: 2*pi = 360 o .

Сектор кола - це фігура, обмежена трьома лініями: дугою кола та двома радіусами, що знаходяться на кінцях цієї дуги. Приклад кругового сектора зображено нижче.

Отримавши уявлення про те, що таке сектор для кола, легко зрозуміти, як обчислити його площу та довжину відповідної дуги. З малюнка вище видно, що дуга сектора відповідає кут θ. Ми знаємо, що повне коло відповідає 2*pi радіанам, отже, формула площі кругового сектора набуде вигляду: S 1 = S*θ/(2*pi) = pi*R 2 *θ/(2*pi) = θ*R 2/2. Тут кут θ виражений у радіанах. Аналогічна формула площі сектора у разі, якщо кут θ вимірюється у градусах, матиме вигляд: S 1 = pi*θ*R 2 /360.

Довжина дуги, що утворює сектор, обчислюється за такою формулою: L 1 = θ*2*pi*R/(2*pi) = θ*R. І якщо відомий у градусах, тоді: L 1 = pi*θ*R/180.

Приклад розв'язання задачі

Покажемо на прикладі простого завдання, як користуватися формулами площі сектора кола та довжини його дуги.

Відомо, що колесо має 12 спиць. Коли колесо робить один повний оборот, воно долає відстань 1,5 метра. Чому дорівнює площа, укладена між двома сусідніми спицями колеса, і чому дорівнює довжина дуги між ними?

Як видно з відповідних формул, щоб ними користуватися, необхідно знати дві величини: радіус кола та кут дуги. Радіус можна обчислити, виходячи зі знання довжини кола колеса, оскільки пройдена ним відстань за один оборот точно їй відповідає. Маємо: 2 * R * pi = 1,5, звідки: R = 1,5 / (2 * pi) = 0,2387 метра. Кут між найближчими спицями можна визначити, знаючи їхнє число. Вважаючи, що це 12 спиць ділять рівномірно коло на рівні сектора, ми отримуємо 12 однакових секторів. Відповідно, кутова міра дуги між двома спицями дорівнює: θ = 2 * pi/12 = pi/6 = 0,5236 радіан.

Ми знайшли всі необхідні величини, тепер їх можна підставити у формули та порахувати необхідну умову завдання значення. Отримуємо: S 1 = 0,5236 * (0,2387) 2 / 2 = 0,0149 м 2, або 149 см 2; L 1 = 0,5236 * 0,2387 = 0,125 м, або 12,5 см.

«Ознаки рівності трикутників» – види трикутників. Висота трикутника Ознаки рівності трикутників. Трисектриси кута. Будь-який трикутник має три медіани. Першу згадку про трикутник та його властивості ми знаходимо в єгипетських папірусах. Властивість медіан, бісектрис та висот трикутників. Рівносторонній та рівнобедрений трикутник.

«Аркуш паперу» - У геометрії папір застосовують для того, щоб: писати, малювати; різати; згинати. Всім відомий фактгоріння паперу у геометрії не використовується. Геометрія та аркуш паперу. Паскаль. З паперу вирізано трикутник. Листок із зошита. Серед безлічі можливих дій із папером важливе місце посідає те, що його можна різати.

"Історія геометрії" - Стародавній Єгипет. Середньовіччя. "Початки" складаються з 13 книг. Виникнення та розвиток геометрії. У геометрії Любачевського існують трикутники з попарно паралельними сторонами. Стародавня Греція. У геометрії багато формул, постатей, теорем, завдань, аксіом. Фалес запровадив поняття руху, зокрема повороту.

"Доказ теореми Піфагора" - Значення теореми полягає в тому, що з неї або з її допомогою можна вивести більшість теорем геометрії. Алгебраїчний доказ. Значення теореми Піфагора. І нині теорема Піфагора Верна, як і його далекий вік. Теорема Піфагора – це одна з найважливіших теорем геометрії. Теорема Піфагора. Доказ Евкліда.

«Фалес Мілетський» – ФАЛЕС – давньогрецький мислитель, родоначальник античної філософії та науки. Іноді необхідно виміряти відстань до недоступного предмета. Визначення відстані за допомогою сірника. Фалес відкрив тривалість року та розділив його на 365 днів. Фалес Мілетський. Фалес передбачив сонячне затемнення 28 травня 585 року до н.

«Правильні багатогранники» - Ікосаедр – найбільш обтічний. Модель Сонячна системаІ.Кеплера. Правильні багатогранникизустрічаються у живій природі. "Космічний кубок" Кеплера. Правильний додекаедр залишено з дванадцяти правильних п'ятикутників. Сума плоских кутівікосаедра при кожній вершині дорівнює 300?. Правильний ікосаедр.

Всього у темі 41 презентація

Коло, його частини, їх розміри та співвідношення - речі, з якими ювелір постійно стикається. Кільця, браслети, касти, трубки, кулі, спіралі - багато всього круглого доводиться робити. Як же все це порахувати, особливо якщо тобі пощастило в школі прогуляти уроки геометрії?

Давайте спочатку розглянемо, які кола бувають частини і як вони називаються.

• Коло - лінія, що обмежує коло.
• Дуга - частина кола.
• Радіус - відрізок, що з'єднує центр кола з будь-якою точкою кола.
• Хорда - відрізок, що з'єднує дві точки кола.
• Сегмент - частина кола, обмежена хордою та дугою.
• Сектор - частина кола, обмежена двома радіусами та дугою.

Величина, що цікавить нас, та їх позначення:

Тепер побачимо, які завдання, пов'язані з частинами кола, доводиться вирішувати.

• Знайти довжину розгортки будь-якої частини кільця (браслету). Заданий діаметр і хорда (варіант: діаметр та центральний кут), знайти довжину дуги.
• Є малюнок на площині, треба дізнатися про його розмір у проекції після згинання в дугу. Задані довжина дуги та діаметр, знайти довжину хорди.
• Дізнатись висоту деталі, отриманої згинанням плоскої заготовки в дугу. Варіанти вихідних даних: довжина дуги та діаметр, довжина дуги та хорда; Визначити висоту сегмента.

Життя підкаже й інші приклади, а ці я навів лише у тому, щоб показати необхідність завдання якихось двох параметрів знаходження всіх інших. Ось цим ми й займемося. А саме, візьмемо п'ять параметрів сегмента: D, L, X, φ і H. Потім, вибираючи з них усі можливі пари, вважатимемо їх вихідними даними та шляхом мозкового штурмузнаходити решту.

Щоб даремно не вантажити читача, докладних рішенья наводити не буду, а наведу лише результати у вигляді формул (ті випадки, де ні формального рішення, Я обговорю по ходу справи).

І ще одне зауваження: про одиниці виміру. Всі величини, крім центрального кута, вимірюються в тих самих абстрактних одиницях. Це означає, що якщо, наприклад, ви задаєте одну величину в міліметрах, то іншу не треба задавати в сантиметрах, а результуючі значення вимірюватимуться в тих же міліметрах (а площі в квадратних міліметрах). Те саме можна сказати і про дюйми, фути і морські милі.

І тільки центральний кут завжди вимірюється в градусах і ні в чому іншому. Тому що, як показує практика, люди, які проектують щось кругле, не схильні вимірювати кути в радіанах. Фраза «кут пі на чотири» багатьох ставить у глухий кут, тоді як «кут сорок п'ять градусів» — зрозуміла всім, оскільки це всього на п'ять градусів вище за норму. Однак, у всіх формулах буде присутнім як проміжна величина ще один кут - α. За змістом, це половина центрального кута, виміряна в радіанах, але в цей сенс можна спокійно не вникати.

1. Дані діаметр D та довжина дуги L

; довжина хорди ;
висота сегмента ; центральний кут .

2. Дані діаметр D та довжина хорди X

; довжина дуги;
висота сегмента ; центральний кут .

Оскільки хорда ділить коло на два сегменти, це завдання не одне, а два рішення. Щоб отримати друге, потрібно у наведених вище формулах замінити кут α на кут .

3. Дано діаметр D і центральний кут φ

; довжина дуги;
довжина хорди ; висота сегмента .

4. Дані діаметр D та висота сегмента H

; довжина дуги;
довжина хорди ; центральний кут .

6. Дано довжину дуги L і центральний кут φ

; діаметр;
довжина хорди ; висота сегмента .

8. Дано довжину хорди X і центральний кут φ

; довжина дуги ;
діаметр; висота сегмента .

9. Дані довжина хорди X та висота сегмента H

; довжина дуги ;
діаметр; центральний кут .

10. Дано центральний кут φ і висота сегмента H

; діаметр ;
довжина дуги; довжина хорди .

Уважний читачне міг не помітити, що я пропустив два варіанти:

5. Дано довжину дуги L і довжину хорди X

7. Дані довжина дуги L та висота сегмента H

Це якраз ті два неприємні випадки, коли завдання немає рішення, яке можна було б записати у вигляді формули. А завдання не таке вже рідкісне. Наприклад, у вас є плоска заготівля довжини L і ви хочете зігнути її так, щоб її довжина стала X (або висота стала H). Якого діаметра взяти оправлення (ригель)?

Завдання це зводиться до розв'язання рівнянь:
; - у варіанті 5
; - У варіанті 7
і хоч вони й не вирішуються аналітично, проте легко вирішуються програмним способом. І я навіть знаю де взяти таку програму: на цьому самому сайті, під ім'ям . Все те, що я довго розповідаю, вона робить за мікросекунди.

Для повноти картини додамо до результатів наших обчислень довжину кола та три значення площ – кола, сектора та сегмента. (Площі нам дуже допоможуть при обчисленні маси всяких круглих і напівкруглих деталей, але про це в окремій статті.) Всі ці величини обчислюються за одними й тими самими формулами:

довжина кола ;
площа кола ;
площа сектора ;
площа сегменту ;

І насамкінець ще раз нагадаю про існування абсолютно безкоштовної програмияка виконує всі перераховані обчислення, звільняючи вас від необхідності згадувати, що таке арктангенс і де його шукати.