Урок елементи симетрії правильних багатогранників. Відеоурок «Елементи симетрії правильних багатогранників

Елементами симетріїназиваються допоміжні геометричні образи (точка, лінія, площина та їх поєднання), за допомогою яких подумки можна поєднати у просторі рівні гранікристала (багатогранника). При цьому під симетрією кристала розуміється закономірне повторення у просторі рівних його граней, і навіть вершин і ребер.

Розрізняють три основні елементи симетрії кристалів – центр симетрії, площину симетрії та осі симетрії.

Центром симетрії називається уявна точка всередині кристала, рівновіддалена від його елементів обмеження (тобто протилежних вершин, середин ребер та граней). Центр симетрії є точкою перетину діагоналей правильної фігури(куба, паралелепіпеда) і позначається буквою З, а за міжнародною системою Германа-Могена - I.

Центр симетрії у кристалі може бути лише один. Проте є кристали, у яких центр симетрії взагалі відсутня. При вирішенні питання про те, чи є центр симетрії у вашому кристалі, необхідно керуватися наступним правилом:

"За наявності центру симетрії в кристалі кожної його грані відповідає рівна і протилежна їй грань".

на практичних заняттяхз лабораторними моделями наявність або відсутність центру симетрії кристалі встановлюється наступним чином. Кладемо кристал будь-якої його гранню на площину столу. Перевіряємо, чи є зверху рівна і паралельна їй грань. Повторюємо ту саму операцію кожної грані кристала. Якщо кожній грані кристала відповідає зверху рівна і паралельна їй грань, то центр симетрії в кристалі є. Якщо хоча б однієї грані кристала не знайдеться зверху рівної і паралельної їй грані, то центру симетрії в кристалі немає.

Площиною симетрії(позначається літерою Р, за міжнародною символікою – m) називається уявна площина, що проходить через геометричний центр кристала і поділяє на дві дзеркально рівні половини. Кристали, що мають площину симетрії, мають дві властивості. По-перше, дві його половини, розділені площиною симетрії, рівні за обсягом; по-друге, вони рівні, як відображення у дзеркалі.

Для перевірки дзеркальної рівності половин кристала необхідно з кожної його вершини провести уявний перпендикуляр до площини і продовжити його на ту ж відстань від площини. Якщо кожній вершині відповідає протилежного бокукристала дзеркально відбита їй вершина, то площина симетрії в кристалі є. При визначенні площин симетрії на лабораторних моделях кристал ставиться у фіксоване положення і потім розтинається подумки на рівні половини. Перевіряється дзеркальна рівність отриманих половин. Вважаємо, скільки разів ми можемо подумки розсікти кристал на дві дзеркально рівні частини. Пам'ятайте, що кристал при цьому повинен бути нерухомим!

Число площин симетрії в кристалах варіює від 0 до 9. Наприклад, у прямокутному паралелепіпеді знаходимо три площини симетрії, тобто 3Р.

Осю симетріїназивається уявна лінія, що проходить через геометричний центр кристала, при повороті навколо якої кристал кілька разів повторює свій зовнішній вигляду просторі, тобто самосумісний. Це означає, що після повороту деякий кут місце одних граней кристала стають інші, рівні їм грані.

Основною характеристикою осі симетрії є найменший кут повороту, у якому кристал вперше «повторюється» у просторі. Цей кут називається елементарним кутом повороту осі і позначається α, наприклад:

Елементарний кут повороту будь-якої осі обов'язково міститься ціле число разів на 360°, тобто (ціле число), де n – порядок осі.

Таким чином , порядком осі називається ціле число, що показує, скільки разів елементарний кут повороту цієї осі міститься в 360 °. Інакше порядок осі – це число «повторень» кристала в просторі при повному його повороті навколо цієї осі.

Осі симетрії позначаються буквою L, порядок осі - невеликою цифрою справа внизу, наприклад, L 2 .

У кристалах можливі наступні осі симетрії та відповідні елементарні кути повороту.

Таблиця 1

Співвідношення осей симетрії та елементарних кутів повороту

У будь-якому кристалі існує нескінченна кількість осей симетрії першого порядку, тому практично вони не визначаються.

Осей симетрії 5-го та будь-якого порядку вище 6-го у кристалах взагалі не існує. Ця особливість кристалів формулюється як закон симетрії кристалів. Закон симетрії кристалів пояснюється специфічністю їх внутрішньої будови, а саме – наявністю просторових ґрат, яка не допускає можливості існування осей 5-го, 7-го, 8-го і так далі порядків.

У кристалі може бути кілька осей того самого порядку. Наприклад, у прямокутному паралелепіпеді присутні три осі 2-го порядку, тобто 3L 2.

У кубі – 3 осі 4-го порядку, 4 осі 3-го порядку та 6 осей 2-го порядку. Осі симетрії найвищого порядкуу кристалі називають головними.

Знаходження осей симетрії на моделях під час лабораторних занятьздійснюється у такому порядку. Кристал береться кінчиками пальців однієї руки за його протилежні точки (вершини, середини ребер чи граней). Уявна вісь ставиться собі вертикально; запам'ятовується якийсь характерний зовнішній вигляд кристала. Потім кристал обертається іншою рукою навколо уявної осі до того часу, поки його початковий зовнішній вигляд не «повториться» у просторі. Вважаємо, скільки разів кристал «повторюється» у просторі при повному повороті навколо цієї осі. Це і буде її лад. Аналогічно перевіряються всі інші теоретично можливі напрями проходження осі симетрії в кристалі. Дані осі симетрії називаються простими.

Крім них існують складні осі симетрії, які називаються дзеркально-поворотними та інверсійними. Дзеркально-поворотна вісь симетрії є уявне поєднання простої осі і перпендикулярної їй площині симетрії. Дзеркально-поворотні осі можуть бути тих самих порядків, що прості, але на практиці використовується тільки вісь 4-го порядку, яка позначається L 4 2 і завжди дорівнює L 2, але не навпаки.

Інверсійна вісьсиметрії є уявним поєднанням простої осі симетрії і центру симетрії. Насправді і теорії використовуються лише інверсійні осі 4-го і 6-го порядку. Вони позначаються Li 4 та Li 6 .

Поєднання всіх елементів симетрії кристала, записане умовними позначеннями, називається його формулою симетрії . У формулі симетрії спочатку перераховуються осі симетрії, потім площині симетрії і останнім є наявність центру симетрії. Між позначеннями не ставиться крапок або ком. Наприклад, формула симетрії прямокутного паралелепіпеда: 3L 3 3PC; куба - 3L 4 4L 3 6L 2 9PC.

Види симетрії кристалів

Видами симетріїназиваються можливі у кристалах поєднання елементів симетрії. Кожному виду симетрії відповідає певна формуласиметрії.

Усього для кристалів теоретично доведено наявність 32 видів симетрії. Таким чином, всього існує 32 формули симетрії кристалів.

Усі види симетрії поєднуються в 7 ступенів симетрії з урахуванням наявності характерних елементів симетрії.

1. Примітивна – поєднуються види симетрії, представлені лише одиночними осями симетрії різного порядку: L 3 , L 4 , L 6

2. Центральна - Крім одиночних осей симетрії є центр симетрії; крім того, поряд з наявністю парних осей симетрії з'являється ще площина симетрії: L3С, L4PC, L6PC.

3. Планальна (план - площина, грец.) - Є одиночна вісь і площині симетрії: L 2 2P, L 4 4P.

4. Аксіальна (Аксис - вісь, грец.) - Є тільки осі симетрії: 3L 2 , L 3 3L 2 , L 6 6L 2 .

5. Планаксіальна – присутні осі, площини та центр симетрії: 3L 2 3PC, L 4 4L 2 5PC.

6. Інверсійно-примітивна - Наявність єдиної інверсійної осі симетрії: L i 4 , L i 6 .

7. Інверсійно-планальна - Наявність, крім інверсійної осі, простих осей і площин симетрії: Li 4 4L 2 2P, Li 6 3L 2 3P.

У кожний ступінь симетрії об'єднується різна кількістьвидів симетрії: від 2 до 7

Сингонії

Сингонієюназивається група видів симетрії, що володіють однойменною головною віссюсиметрії та однаковим загальним рівнемсиметрії (син – подібний, гоніа – кут, буквально: сингонія – подібнокутність, грец.). Перехід від однієї сингонії в іншу супроводжується підвищенням ступеня симетрії кристалів.

Усього виділяють 7 сингоній. У порядку послідовного підвищення ступеня симетрії кристалів вони розміщуються так.

1. Триклінна сингонія (клин - кут, нахил, грец.) отримала назву з урахуванням тієї особливості кристалів, що між усіма гранями кути завжди косі. Крім інших елементів симетрії немає.

2. Моноклінна (монос - один, грец.) - В одному напрямку між гранями кристалів кут завжди косий. У кристалах можуть бути L 2 , P і С. Жоден з елементів симетрії не повторюється хоча б двічі.

3. Ромбічна - отримала назву за характерним поперечним перерізом кристалів (згадайте кути ромбічні 1-го роду).

4. Тригональна – названа за характерним поперечним перерізом (трикутник) та багатогранними кутами (тригональний, дитригональний). Обов'язково є одна L 3 .

5. Тетрагональна – характерні поперечний перерізу формі квадрата та багатогранні кути- Тетрагональний та дитетрагональний. Обов'язково присутній L 4 або L i4.

6. Гексагональна – перетин у формі правильного шестикутника, багатогранні кути – гексагональний та дигексагональний. обов'язково присутність однієї L 6 або L i 6 .

7. Кубічна – типова кубічна формакристалів. Характерне поєднання елементів симетрії 4L 3 .

Сингонії об'єднуються в 3 категорії : нижчу, середню та вищу.

Подібна інформація.

Основний інтерес до правильних багатогранників викликає велику кількість симетрій, які вони мають. Під симетрією (або перетворенням симетрії) багатогранника ми розуміємо його рух як твердого тілау просторі (наприклад, поворот навколо деякої прямої, відображення щодо деякої площини і т.д.), яке залишає незмінними безлічі вершин, ребер та граней багатогранника. Інакше висловлюючись, під впливом перетворення симетрії вершина, ребро чи грань або зберігає своє вихідне становище, або перетворюється на вихідне становище інший вершини, іншого ребра чи інший грані. Існує одна симетрія, яка властива всім багатогранникам. Мова йдепро тотожне перетворення, що залишає будь-яку точку в вихідному положенні. З менш тривіальним прикладом симетрії ми зустрічаємося у разі прямої правильної р-кутової призми.

Приклади розмірності симетрії плоских фігурдають правильні багатокутники. Приклади симетрії просторових фігурдають правильні призмиі піраміди: вони поєднуються самі з собою, наприклад, поворотами навколо осі, перпендикулярній площиніпідстави та проходить через його центр.

Ми розумітимемо симетрію в загальному сенсі, як її визначено на початку і як її розуміють, зокрема, коли говорять про симетрію кристалів. У цьому накладання фігури він називаються перетвореннями симетрії.

Теорема. Розглянемо цей правильний багатогранник Р. Нехай А – його вершина, а – ребро з кінцем А, а – грань зі стороною а. Для будь-яких інших аналогічних його елементів А", а", а" існує накладення багатогранника Р на себе, що переводить А" в А, а в а, а в а.

Доведення

Перенесенням багатогранника переведемо вершину А в А. Поворотом багатогранника навколо А переведемо перенесене ребро а в а. Поворотом багатогранника навколо ребра а наведемо (перенесену і повернуту) грань а" в збіг з гранню а. Так як грані рівні, то грань а" повністю сумісний з а.

Так як двогранні кутирівні, то для граней р і р", суміжних с а і а", є тільки дві можливості: 1) р" збігається з р; 2) р" не збігається з р, але буде симетрична р щодо площини грані а. У такому разі відображенням у цій площині переведемо Р” у р.

Отже, накладенням всього багатогранника Р ми поєднали вершину А "з А, ребро а" - с а, грані а", р", суміжні по ребру а", - з гранями а, р, суміжними по ребру а.

Переконаємося, що багатогранник виявляється суміщеним сам із собою. Дві грані багатогранного кута при вершині А збіглися (а "с а, р" з р). Перейдемо до граней у і у", сусідніх з р. Двогранні кути, які вони утворюють з р, рівні і розташовані з одного боку - з тієї ж, з якою лежить грань а. Тому грань у" збігається з у. Так переконаємось, що багатогранні кути при вершині А збіглися. Переходячи до іншої вершини, з'єднаної з ребром, аналогічно переконаємося, що і при цій вершині багатогранні кути збігаються. І так пройшовши по всьому багатограннику, переконаємося, що він збігся сам із собою, що й потрібно було довести. ?

Властивість правильних багатогранників, встановлене доведеною теоремою, означає, що вони мають, так би мовити, максимальну мислиму симетрію. Накладення, суміщення багатогранника самого з собою, неминуче поєднує якусь вершину А "з А, ребро а" - с а, грань а" - с а, і примикає грань р" - з р. Накладення цим цілком визначено, воно лише одне. Тому максимальна кількістьможливих накладень буде тоді, коли кожну сукупність А, а, а, р можна перевести на кожну. А це так у правильних багатогранників Очевидно, вірно та зворотне. Якщо багатогранник має таку максимальну симетрію, то він правильний (оскільки ребро а поєднується з а", кут на грані а" при вершині А поєднується з таким же кутом, і двогранний кут між а" і р 4 " поєднується з кутом між а і р.-- так що всі ребра та кути рівні). Число накладень, що поєднують правильний багатогранник сам із собою, дорівнює 2 ті, де т - число ребер, що сходяться в одній вершині, і е - число вершин; ті накладень першого роду і ті - накладень другого роду. Вони й утворюють групу симетрії правильного багатогранника. Групи симетрії у куба і октаедра збігаються через їх двоїстість. Так само збігаються групи симетрії у додекаедра та ікосаедра. Група тетраедра є підгрупою групи куба, як видно з можливості вкласти тетраедр у куб (рис. 1.5 а). Найбільш цікаві елементисиметрії – це дзеркальні осі: 4-го порядку у тетраедра, 6-го порядку – у куба, 10-го порядку – у додекаедра (рис. 1.5, б). Переконайтеся, що так, визначивши, як розташовані ці осі. Осі симетрії та площини симетрії куба зображені на рис. 1.5 ст.

1 .5 Подібність багатогранників

Два багатогранники називаються подібними, якщо існує перетворення подібності, що переводить один багатогранник на інший.

Подібні багатогранники мають відповідно рівні багатогранні кути та відповідно подібні грані. Відповідні елементи таких багатогранників називаються подібними. У подібних багатогранників двогранні кути рівні і однаково розташовані, а подібні ребра пропорційні.

Крім того, справедливі такі теореми:

Теорема 1. Якщо в піраміді провести січну площину паралельно до основи, то вона відсіче від неї піраміду, подібну до даної.

Теорема 2. Площі поверхонь подібних багатогранників ставляться як квадрати, які обсяги - як куби подібних лінійних елементів багатогранників.

Осьова симетріяДві точки А та А 1 називаються симетричними щодо прямої а (осі симетрії), якщо пряма а проходить через середину відрізка АА 1 і перпендикулярна до цього відрізка. Дві точки А та А 1 називаються симетричними щодо прямої а (осі симетрії), якщо пряма а проходить через середину відрізка АА 1 і перпендикулярна до цього відрізка.

Центральна симетріяДві точки А та А 1 називаються симетричними щодо точки О, якщо О – середина відрізка АА 1. Точка О вважається симетричною самої себе. Дві точки А та А 1 називаються симетричними щодо точки О, якщо О – середина відрізка АА 1. Точка О вважається симетричною самої себе.

Симетрія щодо площини Точки А і А 1 називаються симетричними щодо площини (площина симетрії), якщо площина проходить через середину відрізка АА 1 і перпендикулярна до цього відрізка. Кожна точка площини вважається симетричною самої собі Точки А і А 1 називаються симетричними щодо площини (площина симетрії), якщо площина проходить через середину відрізка АА 1 і перпендикулярна до цього відрізка. Кожна точка площини α вважається симетричною для самої себе

Визначення правильного багатогранника Випуклий багатогранник називається правильним, якщо його грані є правильними багатокутниками з одним і тим самим числом сторін і в кожній вершині багатогранника сходиться те саме число ребер. Випуклий багатогранник називається правильним, якщо його грані є правильними багатокутниками з одним і тим самим числом сторін і в кожній вершині багатогранника сходиться те саме число ребер.

Правильний ОКТАЕДРСкладено з восьми рівносторонніх трикутників. Кожна вершина октаедра є вершиною чотирьох трикутників. Отже, сума плоских кутівпри кожній вершині 240 º Складений із восьми рівносторонніх трикутників. Кожна вершина октаедра є вершиною чотирьох трикутників. Отже, сума плоских кутів при кожній вершині 240 º

Правильний ікосаедрСкладено із двадцяти рівносторонніх трикутників. Кожна вершина ікосаедра є вершиною п'яти трикутників. Отже, сума плоских кутів при кожній вершині дорівнює 300 Складений з двадцяти рівносторонніх трикутників. Кожна вершина ікосаедра є вершиною п'яти трикутників. Отже, сума плоских кутів за кожної вершини дорівнює 300º

Куб (кексаедр) Складено із шести квадратів. Кожна вершина куба є вершиною трьохквадратів. Отже, сума плоских кутів при кожній вершині дорівнює 270 Складений із шести квадратів. Кожна вершина куба є вершиною трьох квадратів. Отже, сума плоских кутів за кожної вершини дорівнює 270º

Правильний додекаедр Складений із дванадцяти правильних п'ятикутників. Кожна вершина додекаедра є вершиною трьох правильних п'ятикутників. Отже, сума плоских кутів при кожній вершині дорівнює 324º. Складено з дванадцяти правильних п'ятикутників. Кожна вершина додекаедра є вершиною трьох правильних п'ятикутників. Отже, сума плоских кутів за кожної вершини дорівнює 324º

Таблиця 1 Правильний багатогранник Число граней вершин ребер Тетраедр 446 Куб 6812 Октаедр 8612 Додекаедр Ікосаедр

Таблиця 2 Правильний багатогранник Число граней і вершин (Г + В) ребер(Р) Тетраедр = 8 6 Куб = Октаедр = Додекаедр = Ікосаедр = 32 30

25

Позааудиторна самостійна діяльність« На відмінно» -, 2 моделі правильних багатогранників « На відмінно» -, 2 моделі правильних багатогранників « На добре» -, 2 моделі правильних багатогранників « На добре» -, 2 моделі правильних багатогранників « На задовільно» -, 1 модель правильного багатогранника «На задовільно» -, 1 модель правильного багатогранника

Геометрія прекрасна тим, що на відміну від алгебри, де не завжди зрозуміло, що і навіщо вважаєш, дає наочність об'єкта. Цей дивовижний світ різних тілприкрашають собою правильні багатогранники.

Загальні відомості про правильні багатогранники

На думку багатьох, правильні багатогранники, або як їх ще називають Платонові тіла, мають неповторні властивості. З цими об'єктами пов'язано декілька наукових гіпотез. Коли починаєш вивчати дані геометричні тіла, розумієш, що практично нічого не знаєш про таке поняття, як правильні багатогранники. Презентація цих об'єктів у школі не завжди проходить цікаво, тому багато хто навіть і не пам'ятає, як вони називаються. У пам'яті більшості людей залишається лише куб. Жодні тіла в геометрії не мають такої досконалості, як правильні багатогранники. Усі назви цих геометричних тіл походять з Стародавню Грецію. Вони означають кількість граней: тетраедр – чотиригранний, гексаедр – шестигранний, октаедр – восьмигранний, додекаедр – дванадцятигранний, ікосаедр – двадцятигранний. Усі ці геометричні тіла займали найважливіше місцеу концепції Платона про світобудову. Чотири з них уособлювали стихії чи сутності: тетраедр – вогонь, ікосаедр – воду, куб – землю, октаедр – повітря. Додекаедр втілював усе, що було. Він вважався головним, оскільки був символом світобудови.

Узагальнення поняття багатогранника

Багатогранником є ​​сукупність кінцевого числабагатокутників така, що:

• кожна зі сторін будь-якого багатокутника є одночасно і стороною тільки одного іншого багатокутника по тій же стороні;
• від кожного з багатокутників можна дійти до інших, переходячи по суміжних з ним багатокутниках.

Багатокутники, що становлять багатогранник, є його грані, а їх сторони - ребра. Вершинами багатогранників є вершини багатокутників. Якщо під поняттям багатокутник розуміють плоскі замкнуті ламані, то приходять до одного визначення багатогранника. У тому випадку, коли під цим поняттям мають на увазі частину площини, що обмежена ламаними лініямислід розуміти поверхню, що складається з багатокутних шматочків. називають тіло, що лежить по один бік площини, що прилягає до його грані.

Інше визначення багатогранника та його елементів

Багатогранником називають поверхню, що складається з багатокутників, яка обмежує геометричне тіло. Вони бувають:

• невипуклими;
• опуклими (правильні та неправильні).

Правильний багатогранник – це опуклий багатогранник із максимальною симетрією. Елементи правильних багатогранників:

• тетраедр: 6 ребер, 4 грані, 5 вершин;
• гексаедр (куб): 12, 6, 8;
• додекаедр: 30, 12, 20;
• октаедр: 12, 8, 6;
• ікосаедр: 30, 20, 12.

Теорема Ейлера

Вона встановлює зв'язок між числом ребер, вершин і граней, топологічно еквівалентних сфері. Складаючи кількість вершин і граней (В + Г) у різних правильних багатогранників і порівнюючи їх з кількістю ребер, можна встановити одну закономірність: сума кількості граней і вершин дорівнює кількості ребер (Р), збільшеному на 2. Можна вивести просту формулу:

• У + Р = Р + 2.

Ця формула вірна всім опуклих багатогранників.

Основні визначення

Поняття правильного багатогранника неможливо описати однією пропозицією. Воно більш багатозначне та об'ємне. Щоб тіло було визнано таким, необхідно, щоб воно відповідало низці визначень. Так, геометричне тіло буде правильним багатогранником при виконанні таких умов:

• воно опукле;
• однакова кількість ребер сходиться у кожній з його вершин;
• всі грані його - правильні багатокутники, рівні другдругові;
• усі його рівні.

Властивості правильних багатогранників

Існує 5 різних типівправильних багатогранників:

1. Куб (гексаедр) – у нього плоский кут при вершині становить 90°. Він має 3-гранний кут. Сума плоских кутів у вершини становить 270 °.
2. Тетраедр – плоский кут при вершині – 60°. Він має 3-гранний кут. Сума плоских кутів у вершини – 180°.
3. Октаедр – плоский кут при вершині – 60°. Він має 4-гранний кут. Сума плоских кутів у вершини – 240°.
4. Додекаедр – плоский кут при вершині 108 °. Він має 3-гранний кут. Сума плоских кутів у вершини – 324°.
5. Ікосаедр – у нього плоский кут при вершині – 60°. Він має 5-гранний кут. Сума плоских кутів у вершини становить 300 °.

Площа поверхні цих геометричних тіл (S) обчислюється як площа правильного багатокутника, помножена на кількість його граней (G):

• S = (a: 2) x 2G ctg π/p.

Об'єм правильного багатогранника

Ця величина обчислюється шляхом множення обсягу правильної піраміди, в основі якої знаходиться правильний багатокутник, на число граней, а висота її є радіусом вписаної сфери (r):

• V = 1: 3rS.

Об'єми правильних багатогранників

Як і будь-яке інше геометричне тіло, правильні багатогранники мають різні обсяги. Нижче представлені формули, якими можна їх обчислити:

• тетраедр: α х 3√2: 12;
• октаедр: α х 3√2: 3;
• ікосаедр; α х 3;
• гексаедр (куб): 5 х α х 3 х (3 + √5): 12;
• додекаедр: α х 3 (15 + 7√5): 4.

Гексаедр та октаедр є дуальними геометричними тілами. Іншими словами, вони можуть вийти один з одного в тому випадку, якщо центр тяжкості грані одного приймається за вершину іншого і навпаки. Також дуальними є ікосаедр та додекаедр. Сам собі дуальний лише тетраедр. За способом Евкліда можна отримати додекаедр із гексаедра за допомогою побудови «дахів» на гранях куба. Вершинами тетраедра будуть будь-які 4 вершини куба, які не суміжні попарно по ребру. З гексаедра (куба) можна отримати інші правильні багатогранники. Незважаючи на те що є безліч, правильних багатогранників існує всього 5.

Радіуси правильних багатокутників

З кожним із цих геометричних тіл пов'язані 3 концентричні сфери:

• описана, що проходить через його вершини;
• вписана, що стосується кожної його межі в її центрі;
• серединна, що стосується всіх ребер у середині.

Радіус сфери описаної розраховується за такою формулою:

• R = a: 2 x tg π/g x tg θ: 2.

Радіус сфери вписаної обчислюється за такою формулою:

• R = a: 2 x ctg π/p x tg θ: 2,

де θ - Двогранний кут, який знаходиться між суміжними гранями.

Радіус сфери серединної можна обчислити за такою формулою:

• ρ = a cos π/p: 2 sin π/h,

де h величина = 4,6, 6,10 або 10. Відношення описаних і вписаних радіусів симетрично щодо p і q. Воно розраховується за такою формулою:

• R/r = tg π/p х tg π/q.

Симетрія багатогранників

Симетрія правильних багатогранників викликає основний інтерес до цих геометричних тіл. Під нею розуміють такий рух тіла у просторі, що залишає те саме кількість вершин, граней і ребер. Іншими словами, під впливом перетворення симетрії ребро, вершина, грань або зберігає своє початкове положення, або переміщається у вихідне положення іншого ребра, іншої вершини або грані.

Елементи симетрії правильних багатогранників притаманні всім видам таких геометричних тіл. Тут мова йде про тотожне перетворення, яке залишає будь-яку з точок у вихідному положенні. Так, при повороті багатокутної призмиможна одержати кілька симетрій. Кожна з них може бути представлена ​​як твір відбитків. Симетрію, яка є твором парної кількості відбитків, називають прямою. Якщо вона є твором непарного кількості відбитків, її називають зворотної. Таким чином, всі повороти навколо прямої є прямою симетрією. Будь-яке відображення багатогранника – це зворотна симетрія.

Щоб краще розібратися в елементах симетрії правильних багатогранників можна взяти приклад тетраедра. Будь-яка пряма, яка проходитиме через одну з вершин та центр цієї геометричної фігури, проходитиме і через центр грані, протилежної їй. Кожен із поворотів на 120 і 240° навколо прямої належить до множинісиметрій тетраедра. Оскільки у нього по 4 вершини та грані, то виходить всього вісім прямих симетрій. Будь-яка з прямих, що проходять через середину ребра та центр цього тіла, проходить через середину його протилежного ребра. Будь-який поворот на 180 °, званий напівоборотом, навколо прямої є симетрією. Оскільки тетраедр має три пари ребер, то вийде ще три прямі симетрії. Виходячи з вищевикладеного, можна дійти невтішного висновку, що загальне числопрямих симетрій, у тому числі тотожне перетворення, Доходитиме до дванадцяти. Інших прямих симетрій у тетраедра немає, але при цьому він має 12 зворотних симетрій. Отже, тетраедр характеризується лише 24 симетріями. Для наочності можна збудувати модель правильного тетраедраз картону і переконатися, що це геометричне тіло дійсно має лише 24 симетрії.

Додекаедр та ікосаедр – найбільш близькі до сфери тіла. Ікосаедр має найбільшим числомграней, найбільшим і найщільніше може притиснутися до вписаної сфери. Додекаедр має найменший кутовий дефект, найбільший тілесним кутомпри вершині. Він може максимально заповнити описану сферу.

Розгортки багатогранників

Правильні, яких ми всі склеювали в дитинстві, мають багато понять. Якщо є сукупність багатокутників, кожна сторона яких ототожнена з однією стороною багатогранника, то ототожнення сторін має відповідати двом умовам:

• від кожного багатокутника можна перейти багатокутниками, що мають ототожнену сторону;
• ототожнювані сторони повинні мати однакову довжину.

Саме сукупність багатокутників, які задовольняють ці умови, і називається розгорткою багатогранника. Кожне з цих тіл має їх кілька. Приміром, у куба їх налічується 11 штук.

Елементи симетрії правильних багатогранників Геометрія. 10 клас.

Тетраедр- (Від грецького tetra - чотири і hedra - грань) - правильний багатогранник, складений з 4 рівносторонніх трикутників. З визначення правильного багатогранника випливає, що всі ребра тетраедра мають рівну довжину, А грані - рівну площу.

Елементи симетрії тетраедра

Тетраедр має три осі симетрії, які проходять через середини ребер, що схрещуються.

Тетраедр має 6 площин симетрії, кожна з яких проходить через ребро тетраедра перпендикулярно ребру, що схрещується з ним.

Октаедр -(Від грецького okto - вісім і hedra - грань) - правильний багатогранник, складений з 8 рівносторонніх трикутників. Октаедр має 6 вершин та 12 ребер. Кожна вершина октаедра є вершиною 4 трикутників, таким чином, сума плоских кутів при вершині октаедра становить 240 .

Елементи симетрії октаедра

Три з дев'яти осей симетрії октаедра проходять через протилежні вершини, шість - через середини ребер. Центр симетрії октаедра - точка перетину осей симетрії.

Три з 9 площин симетрії тетраедра проходять через кожні 4 вершини октаедра, що лежать в одній площині.

Шість площин симетрії проходять через дві вершини, що не належать до однієї грані, і середини протилежних ребер.

Ікосаедр- (Від грецького ico - шість і hedra - грань) правильний опуклий багатогранник, складений з 20 правильних трикутників. Кожна з 12 вершин ікосаедра є вершиною 5 рівносторонніх трикутників, тому сума кутів при вершині дорівнює

Елементи симетрії ікосаедра

Правильний ікосаедр має 15 осей симетрії, кожна з яких проходить через середини протилежних паралельних ребер. Точка перетину всіх осей симетрії ікосаедра є його центром симетрії.

Площин симетрії також 15.Плоскості симетрії проходять через чотири вершини, що лежать в одній площині, і середини паралельних паралельних ребер.

Куб або гексаедр(від грецького hex – шість і hedra – грань) складений з 6 квадратів. Кожна з 8 вершин куба є вершиною 3 квадратів, тому сума плоских кутів при кожній вершині дорівнює 2700. У куба 12 ребер, що мають рівну довжину.

Елементи симетрії куба

Вісь симетрії куба може проходити через середини паралельних ребер, не належать однієї грані, або через точку перетину діагоналей протилежних граней. Центром симетрії куба є точка перетину його діагоналей.

Через центр симетрії проходять 9 осей симетрії.

Площин симетрії у куба також 9 і проходять вони або через протилежні ребра

(Таких площин-6), або через середини протилежних ребер (таких - 3).

Додекаедр(Від грецького dodeka - дванадцять і hedra - грань) це правильний багатогранник, складений з 12 рівносторонніх п'ятикутників. Додекаедр має 20 вершин та 30 ребер. Вершина додекаедра є вершиною трьох п'ятикутників, таким чином сума плоских кутів при кожній вершині дорівнює 3240.

Елементи симетрії додекаедра

Додекаедр має центр симетрії та 15 осей симетрії. Кожна осі проходить через середини протилежних паралельних ребер.

Додекаедр має 15 площин симетрії. Будь-яка з площин симетрії проходить у кожній грані через вершину та середину протилежного ребра.

Розгортки правильних багатогранників

Розгортка-це спосіб розгорнути багатогранник на площину після проведення розрізів по кількох ребрах. Розгортка є плоским багатокутником, складеним з менших багатокутників - граней вихідного багатогранника. Один і той самий багатогранник може мати кілька різних розгорток.