Вписаний кут у 2 рази менший. Вписаний кут

Інструкція

Якщо відомі радіус (R) кола та довжина дуги (L), що відповідає шуканому центральному куту (θ), розрахувати його можна як у градусах, так і в радіанах. Повна визначається формулою 2*π*R і відповідає центральному куту 360° або двом числам Пі, якщо замість градусів використовувати радіани. Тому виходьте із пропорції 2*π*R/L = 360°/θ = 2*π/θ. Виразіть із неї центральний кут у радіанах θ = 2*π/(2*π*R/L) = L/R або градусах θ = 360°/(2*π*R/L) = 180*L/(π* R) та розрахуйте за отриманою формулою.

По довжині хорди (m), що з'єднує точки, які визначає центральний кут (θ), його величину також можна розрахувати, якщо відомий радіус (R) кола. Для цього розгляньте трикутник, утворений двома радіусами та . Це рівнобедрений трикутник, всі відомі, а знайти потрібно кут, що лежить навпроти основи. Синус його половини дорівнює відношеннюДовжина основи - хорди - до подвоєної довжини бічної сторони - радіуса. Тому використовуйте для обчислень зворотну синус функцію - арксинус: θ = 2 * arcsin (½ * m / R).

Центральний кутможе бути заданий і в частках обороту або розгорнутого кута. Наприклад, якщо потрібно знайти центральний кут, що відповідає чверті повного обороту, Розділіть 360 ° на четвірку: θ = 360 ° / 4 = 90 °. Ця ж величина в радіанах повинна бути 2*π/4 ≈ 3,14/2 ≈ 1,57. Розгорнутий кут дорівнює половині повного обороту, тому, наприклад, центральний кут, відповідний чверті від нього буде вдвічі менше за розраховані вище значень як у градусах, так і в радіанах.

Зворотній синус тригонометрична функція називається арксинусом. Вона може приймати значення, що лежать у межах половини числа Пі як у позитивну, так і в негативну сторонупри вимірі у радіанах. При вимірі в градусах ці значення будуть, відповідно, в діапазоні від -90 ° до +90 °.

Інструкція

Деякі "круглі" значення не обов'язково обчислювати, простіше їх запам'ятати. Наприклад: якщо аргумент функції дорівнює нулю, то значення арксинусу від нього теж дорівнює нулю; - від 1/2 дорівнює 30 ° або 1 / 6 Пі, якщо вимірювати; від 1 дорівнює 90 ° або 1/2 від числа Пі в радіанах; - арксинус від -1 дорівнює -90 ° або -1/2 від числа Пі в радіанах;

Для вимірювання значень цієї функції від інших аргументів найпростіше скористатися стандартним калькулятором Windows, якщо під рукою є . Щоб запустити, розкрийте головне меню на кнопці «Пуск» (або натисканням клавіші WIN), перейдіть у розділ «Всі програми», а потім у підрозділ «Стандартні» і клацніть «Калькулятор».

Перемкніть інтерфейс калькулятора в режим роботи, який дозволяє обчислювати тригонометричні функції. Для цього відкрийте в його меню розділ «Вид» і виберіть «Інженерний» або «Науковий» (залежно від використовуваної операційної системи).

Введіть значення аргументу, від якого потрібно вирахувати арктангенс. Це можна робити, клацнувши кнопки інтерфейсу калькулятора мишкою, або натискаючи клавіші , або скопіювавши значення (CTRL + C) і потім вставивши його (CTRL + V) у полі введення калькулятора.

Виберіть одиниці вимірювання, в яких потрібно отримати результат обчислення функції. Нижче поля введення вміщено три варіанти, з яких вам потрібно вибрати (клацнувши його мишкою) одні - радіани або раді.

Поставте позначку у чекбоксі, який інвертує функції, вказані на кнопках інтерфейсу калькулятора. Поруч із ним стоїть короткий напис Inv.

Натисніть кнопку sin. Калькулятор інвертує прив'язану до неї функцію, здійснить обчислення та представить вам результат у заданих одиницях вимірювання.

Відео на тему

Однією з найпоширеніших геометричних завданьє обчислення площі кругового сегмента - частини кола, обмеженою хордою та відповідної хорді дугою кола.

Площа кругового сегмента дорівнює різниці площі відповідного кругового сектора та площі трикутника, утвореного радіусами відповідного сегменту сектора та хордою, що обмежує сегмент.

Приклад 1

Довжина хорди, що стягує коло, дорівнює величині а. Градусна міра дуги, що відповідає хорді, дорівнює 60 °. Знайти площу кругового сегмента.

Рішення

Трикутник, утворений двома радіусами і хордою, є рівнобедреним, тому висота, проведена з вершини центрального кута на бік трикутника, утворену хордою, також буде бісектрисою центрального кута, поділивши його навпіл і медіаною, поділивши навпіл хорду. Знаючи, що синус кута дорівнює відносинам протилежного катетадо гіпотенузи, можна обчислити величину радіусу:

Sin 30 ° = a/2: R = 1/2;

Sc = πR²/360°*60° = πa²/6

S▲=1/2*ah де h - висота, проведена з вершини центрального кута до хорди. По теоремі Піфагора h=√(R²-a²/4)= √3*a/2.

Відповідно, S▲=√3/4*a².

Площа сегмента, що обчислюється як Sсег = Sc - S▲, дорівнює:

Sсег = πa²/6 - √3/4*a²

Підставивши числове значеннязамість величини a, можна легко обчислити числове значення площі сегмента.

Приклад 2

Радіус кола дорівнює величиніа. Градусна міра дуги, що відповідає сегменту, дорівнює 60 °. Знайти площу кругового сегмента.

Рішення:

Площа сектора, що відповідає заданому куткуможна обчислити за такою формулою:

Sc = πа²/360°*60° = πa²/6,

Площа відповідного сектора трикутника обчислюється так:

S▲=1/2*ah де h - висота, проведена з вершини центрального кута до хорди. По теоремі Піфагора h=√(a²-a²/4)= √3*a/2.

Відповідно, S▲=√3/4*a².

І, нарешті, площа сегмента, що обчислюється як Sсег = Sc - S▲, дорівнює:

Sсег = πa²/6 - √3/4*a².

Рішення обох випадках практично ідентичні. Таким чином можна зробити висновок, що для обчислення площі сегмента в найпростішому випадку достатньо знати величину кута, що відповідає дузі сегмента і один з двох параметрів - або радіус кола, або довжину хорди, що стягує дугу кола, що утворює сегмент.

Джерела:

• Сегмент – геометрія

Центральний кут- Це кут, вершина якого знаходиться в центрі кола.
Вписаний кут- Кут, вершина якого лежить на колі, а сторони перетинають її.

На малюнку - центральні та вписані кути, а також їх найважливіші властивості.

Отже, величина центрального кута дорівнює кутовий величині дуги, яку він спирається. Отже, центральний кут величиною 90 градусів спиратиметься на дугу, рівну 90°, тобто кола. Центральний кут, що дорівнює 60°, спирається на дугу 60 градусів, тобто на шосту частину кола.

Величина вписаного кута вдвічі менша від центрального, що спирається на ту ж дугу.

Також для вирішення завдань нам знадобиться поняття «хорда».

Рівні центральні кути спираються на рівні хорди.

1. Чому дорівнює вписаний кут, що спирається на діаметр кола? Відповідь дайте у градусах.

Вписаний кут, що спирається на діаметр, – прямий.

2. Центральний кут на 36° більше гострого вписаного кута, що спирається на ту саму дугу кола. Знайдіть вписаний кут. Відповідь дайте у градусах.

Нехай центральний кут дорівнює х, а вписаний кут, що спирається на ту ж дугу, дорівнює у.

Ми знаємо, що х = 2у.
Звідси 2у = 36 + у,
у = 36.

3. Радіус кола дорівнює 1. Знайдіть величину тупого вписаного кута, що спирається на хорду, що дорівнює . Відповідь дайте у градусах.

Нехай хорда АВ дорівнює. Тупий вписаний кут, що спирається на цю хорду, позначимо α.
У трикутнику АОВ сторони АВ і ОВ дорівнюють 1, сторона АВ дорівнює . Нам уже траплялися такі трикутники. Вочевидь, що трикутник АОВ - прямокутний і рівнобедрений, тобто кут АОВ дорівнює 90°.
Тоді дуга АСВ дорівнює 90 °, а дуга АКВ дорівнює 360 ° - 90 ° = 270 °.
Вписаний кут α спирається на дугу АКВ і дорівнює половині кутовий величиницієї дуги, тобто 135 °.

Відповідь: 135.

4. Хорда AB поділяє коло на дві частини, градусні величини яких відносяться як 5:7. Під яким кутом видно цю хорду з точки C, що належить меншій дузі кола? Відповідь дайте у градусах.

Головне в цьому завданні - правильне креслення та розуміння умови. Як ви розумієте питання: «Під яким кутом хорда видно з точки С?»
Уявіть, що ви сидите в точці С, і вам необхідно бачити все, що відбувається на хорді АВ. Так, начебто хорда АВ - це екран у кінотеатрі:-)
Очевидно, що знайти потрібно кут АСВ.
Сума двох дуг, на які хорда АВ ділить коло, дорівнює 360 °, тобто
5х + 7х = 360 °
Звідси х = 30°, тоді вписаний кут АСВ спирається на дугу, рівну 210°.
Величина вписаного кута дорівнює половині кутової величини дуги, яку він спирається, отже, кут АСВ дорівнює 105°.

Найчастіше процес підготовки до ЄДІ з математики починається з повторення основних визначень, формул і теорем, у тому числі і на тему «Центральний і вписаний в коло кут». Як правило, даний розділпланиметрії вивчається ще в середній школі. Не дивно, що багато учнів стикаються з необхідністю повторення базових понятьі теорем на тему «Центральний кут кола». Розібравшись із алгоритмом рішення подібних завдань, школярі зможуть розраховувати на отримання конкурентних балів за підсумками здавання єдиного держекзамену.

Як легко та ефективно підготуватися до проходження атестаційного випробування?

Займаючись перед здаванням єдиного державного іспиту, багато старшокласників стикаються з проблемою пошуку потрібної інформації на тему «Центральний і вписаний кути в колі». Далеко не завжди шкільний підручникє під рукою. А пошук формул в Інтернеті часом забирає багато часу.

«Прокачати» навички та покращити знання у такому непростому розділі геометрії, як планіметрія, вам допоможе наш освітній портал. «Школкове» пропонує старшокласникам та їхнім викладачам по-новому вибудувати процес підготовки до складання єдиного держекзамену. Весь базовий матеріал представлений нашими спеціалістами у максимально доступній формі. Ознайомившись з інформацією розділ «Теоретична довідка», учні дізнаються, якими властивостями має центральний кут кола, як його величину тощо.

Потім для закріплення здобутих знань та відпрацювання навичок ми рекомендуємо виконати відповідні вправи. Велика добірказавдань на знаходження величини кута, вписаного в коло, та інших параметрів представлено у розділі «Каталог». Для кожної вправи наші фахівці прописали докладний хід рішення та вказали правильну відповідь. Перелік завдань на сайті постійно доповнюється та оновлюється.

Готуватися до ЄДІ, практикуючись у виконанні вправ, наприклад, перебування величини центрального кута і довжини дуги кола, старшокласники можуть у онлайн-режимі, перебуваючи у кожному російському регіоні.

За потреби виконане завдання можна зберегти в розділі «Вибране», щоб надалі повернутися до нього та ще раз розібрати принцип його вирішення.

Поняття вписаного та центрального кута

Введемо спочатку поняття центрального кута.

Зауваження 1

Відмітимо, що градусна міра центрального кута дорівнює градусній мірі дуги, на яку він спирається.

Введемо тепер поняття вписаного кута.

Визначення 2

Кут, вершина якого лежить на колі і сторони якого перетинають це ж коло, називається вписаним кутом (рис. 2).

Малюнок 2. Вписаний кут

Теорема про вписаний вугілля

Теорема 1

Градусний захід вписаного кута дорівнює половині градусного заходудуги, яку він спирається.

Доведення.

Нехай нам дано коло з центром у точці $O$. Позначимо вписаний кут $ ACB $ (рис. 2). Можливі три наступні випадки:

• Промінь $CO$ збігається з будь-якою стороною кута. Нехай це буде сторона $CB$ (рис. 3).

Малюнок 3.

У цьому випадку дуга $AB$ менше $(180)^(()^\circ )$, отже, центральний кут $AOB$ дорівнює дузі$AB$. Оскільки $AO=OC=r$, то трикутник $AOC$ рівнобедрений. Отже, кути при основі $CAO$ і $ACO$ рівні між собою. За теоремою про зовнішній кут трикутника, маємо:

• Промінь $CO$ ділить внутрішній кутна два кути. Нехай він перетинає коло у точці $D$ (рис. 4).

Малюнок 4.

Отримуємо

• Промінь $CO$ не ділить внутрішній кут на два кути і не збігається з жодною його стороною (Рис. 5).

Малюнок 5.

Розглянемо окремо кути $ACD$ та $DCB$. За доведеним у пункті 1, отримаємо

Отримуємо

Теорему доведено.

Наведемо слідстваз цієї теореми.

Наслідок 1:Вписані кути, які спираються на одну й тугішу дугу рівні між собою.

Наслідок 2:Вписаний кут, що спирається на діаметр - прямий.