За якою формулою можна виявити периметр. Як обчислити периметр багатокутника за заданими координатами

Як знайти периметр прямокутника?

Трохи теорії:

Периметр – це довжина геометричної фігуриза її зовнішнім кордоном.

Периметр прямокутника – це сума довжин його сторін.

Формули обчислення периметра прямокутника: P = 2*(a+b) чи P = a + a + b + b.

Резюмуємо! Для того щоб обчислити периметр прямокутника, необхідно скласти всі його сторони.

Типові математичні та практичні завдання:

Завдання №1:

Вихідні дані: Визначити периметр прямокутника з довжинами сторін 5 см та 10 см.

Рішення:

Відповідно до формули периметр прямокутника дорівнює = 2 * (5 + 10) = 30 см.

Відповідь: 30 см.

Завдання №2:

Вихідні дані: Визначити сторони прямокутника, виражені цілими числами, якщо периметр прямокутника дорівнює 10.

Рішення:

За формулою визначаємо суму довжин сторін (a + b) = P/2 = 10/2 = 5
Цілими значеннями сторін можуть бути лише значення 1 + 4 = 5 та 2 + 3 = 5

Відповідь: Довжини сторін можуть бути лише 2 та 3 або 1 та 4.

Завдання №3 (практичне):

Вихідні дані: Визначити кількість плінтусів у достатню кількістьдля ремонту підлоги в кімнаті довжиною 5 метрів та шириною 3 метри, якщо довжина одного плінтуса дорівнює 3 метри.

Рішення:

Периметр кімнати = 2*(5+3) = 16 метрів
Кількість плінтусів = 16/3 = 5,33 штук
Зазвичай у будівельних магазинах плінтуси продаються не погонними метрами, а поштучно. Тому приймаємо таке ціле число. Це шість.

Відповідь: Кількість плінтусів 6 штук.

На закінчення:

Розв'язання задачі обчислення периметра є досить простим математичним завданням, але має дуже важливе практичне значеннянаприклад, у будівництві або генеральному плануванні території.

На цій сторінці представлений найпростіший онлайн калькулятордо розрахунку периметра прямокутника. За допомогою цієї програми ви в один клік зможете знайти периметр прямокутника, якщо відомі його довжина та ширина.

Периметр - один із математичних, а точніше - геометричних термінів, застосовується в основному для обчислення сторін фігури.

З нашої статті ви дізнаєтеся, що таке периметр і як він вимірюється з прикладу основних геометричних фігур.

Визначення периметра

Периметром називають загальну довжину всіх сторін або кола тієї чи іншої фігури. Позначається периметр великою літерою"Р", а вимірювати його можна в різних одиницях довжини, таких як міліметри (мм), сантиметри (см), метри (м) і т. д. Для різних фігур існують різні формули для знаходження периметра. Нижче ми наведемо кілька прикладів, як дізнатися периметр прямокутника і деяких інших фігур.

Вимірюємо периметр

Якщо вам необхідно дізнатися периметр у складної фігури (до таких фігур можна віднести фігури з нерівними лініями), то вам знадобиться мотузка або нитка. За допомогою цих речей необхідно описати точний контур фігури, а щоб не заплутатися, ви можете на мотузці зробити позначки олівцем. Або ж можна просто її обрізати, а потім додати всі частини до лінійки. Таким чином, ви дізнаєтесь, чому дорівнює периметрпрактично у будь-якої складної постаті.

Існує ще одне пристосування для обчислення периметра у складних фігур: його називають курвіметр (роликовий далекомір). З його допомогою вам потрібно встановити ролик у будь-яку точку фігури та описати роликом контур фігури. Отримане число і дорівнюватиме периметру. Про знаходження периметра в інших геометричних фігур ви зможете дізнатися з нашої статті. А ми розповімо ще про кілька способів зміни периметра для різних фігур.

Коло, квадрат, рівносторонній трикутник

Давайте також розглянемо, як дізнатися про периметр кола. Це досить просто: достатньо лише визначити довжину кола, а зробити це можна, помноживши радіус «r» на число π≈3,14 і потім на 2 (P=L=2∙π∙r).

Очевидно, що кордоном будь-якого кола є коло. Тому поняття периметра кола збігається з таким поняттям, як довжина кола. Тому спочатку згадаємо, що є коло, і які поняття з нею пов'язані.

Поняття кола

Визначення 1

Окружністю називатимемо таку геометричну фігуру, яка складатиметься з усіх таких точок, що знаходяться на однаковій відстані від будь-якої заданої точки.

Визначення 2

Центром кола називатимемо точку, яка задається в рамках визначення 1.

Визначення 3

Радіусом кола називатимемо відстань від центру цього кола до будь-якої її точки (Рис. 1).

У декартовій системікоординат $xOy$ ми також можемо ввести рівняння будь-якого кола. Позначимо центр кола точкою $X$, яка матиме координати $(x_0,y_0)$. Нехай радіус цього кола дорівнює $ $. Візьмемо довільну точку $Y$, координати якої позначимо через $(x,y)$ (рис. 2).

За формулою відстані між двома точками в заданій нами системі координат отримаємо:

$|XY|=\sqrt((x-x_0)^2+(y-y_0)^2)$

З іншого боку, $|XY|$ - це відстань від будь-якої точки кола до обраного центру. Тобто за визначенням 3 отримаємо, що $|XY|=τ$, отже

$\sqrt((x-x_0)^2+(y-y_0)^2)=τ$

$(x-x_0)^2+(y-y_0)^2=τ^2$ (1)

Таким чином, ми отримуємо, що рівняння (1) є рівнянням кола в декартовій системі координат.

Довжина кола (периметр кола)

Виводитимемо довжину довільного кола $C$ за допомогою її радіусу, рівного $τ$.

Розглянемо два довільні кола. Позначимо їх довжини через $C$ і $C"$, у яких радіуси дорівнюють $τ$ і $τ"$. Вписуватимемо в ці кола правильні $n$-кутники, периметри яких дорівнюють $ρ$ і $ρ"$, довжини сторін яких дорівнюють $α$ і $α"$, відповідно. Як ми знаємо, сторона вписаного в коло правильного $n$ - косинця дорівнює

$α=2τsin\frac(180^0)(n)$

Тоді, отримуватимемо, що

$ρ=nα=2nτ\frac(sin180^0)(n)$

$ρ"=nα"=2nτ"\frac(sin180^0)(n)$

$\frac(ρ)(ρ")=\frac(2nτsin\frac(180^0)(n))(2nτ"\frac(sin180^0)(n))=\frac(2τ)(2τ") $

Отримуємо, що відношення $\frac(ρ)(ρ")=\frac(2τ)(2τ")$ буде вірним незалежно від значення числа сторін вписаних правильних багатокутників . Тобто

$\lim_(n\to\infty)(\frac(ρ)(ρ"))=\frac(2τ)(2τ")$

З іншого боку, якщо нескінченно збільшувати кількість сторін вписаних правильних багатокутників(тобто $n→∞$), будемо отримувати рівність:

$lim_(n\to\infty)(\frac(ρ)(ρ"))=\frac(C)(C")$

З останніх двох рівностей отримаємо, що

$\frac(C)(C")=\frac(2τ)(2τ")$

$\frac(C)(2τ)=\frac(C")(2τ")$

Бачимо, що відношення довжини кола до його подвоєного радіусу завжди одне і те ж число, незалежно від вибору кола та його параметрів, тобто

$\frac(C)(2τ)=const$

Цю постійну прийняти називати числом пі і позначати $π$. Приблизно, це число дорівнюватиме $3,14$ ( точного значенняцього числа немає, оскільки є ірраціональним числом). Таким чином

$\frac(C)(2τ)=π$

Остаточно, отримаємо, що довжина кола (периметр кола) визначається формулою

Приклад завдань

Приклад 1

Знайти периметр кола, який вписаний у квадрат зі стороною, яка дорівнює $α$.

Нехай нам дано квадрат $ABCD$, в який вписано коло із центром $O$. Зобразимо рисунок за умовою завдання (рис. 3).

Очевидно, що центр кола співпадатиме з центром квадрата, в якому вона вписана. Так як квадрат описаний навколо кола, його сторони будуть дотичні до неї, тобто радіус, проведений, наприклад, до сторони $AB$ буде перпендикулярний до неї. Значить, діаметр кола дорівнює стороні квадрата. Тобто

$τ=\frac(α)(2)$

За формулою периметра кола отримаємо, що

$C=2π\cdot \frac(α)(2)=πα$

Відповідь: $πα$.

Приклад 2

Знайти периметр кола, який описаний у прямокутного трикутниказ катетами, рівними $α$ та $β$.

Нехай нам дано трикутник $ABC$ з прямим кутом $C$, в якому описано коло з центром $O$. Як ми знаємо, діаметром такого кола є гіпотенуза такого трикутника. Тобто $|AO|=|OB|=|OC|=τ$ (рис. 4).

За теоремою Піфагора, гіпотенуза дорівнює

$|AB|=\sqrt(α^2+β^2)$

$|AO|=τ=\frac(\sqrt(α^2+β^2))(2)$

Периметр кола, за формулою, дорівнює

$C=2π\cdot \frac(\sqrt(α^2+β^2))(2)=π\sqrt(α^2+β^2)$

Відповідь: $π\sqrt(α^2+β^2)$.

У наступних тестових завданняхпотрібно знайти периметр фігури, зображеної малюнку.

Знайти периметр фігури можна різними способами. Можна перетворити вихідну фігуру таким чином, щоб периметр нової фігури можна було легко обчислити (наприклад, перейти до прямокутника).

Інший варіант рішення - шукати периметр фігури безпосередньо (як суму довжин усіх її сторін). Але в цьому випадку не можна покладатися тільки на малюнок, а знаходити довжини відрізків, виходячи з даних завдання.

Хочу попередити: в одному із завдань серед запропонованих варіантів відповідей я не знайшла того, що вийшов у мене.

C) .

Перенесемо сторони маленьких прямокутників з внутрішньої областіу зовнішню. Внаслідок цього великий прямокутник замкнувся. Формула для знаходження периметра прямокутника

У даному випадку, a = 9a, b = 3a + a = 4a. Таким чином, P=2(9a+4a)=26a. До периметра великого прямокутника додаємо суму довжин чотирьох відрізків, кожен із яких дорівнює 3a. У результаті P=26a+4∙3a= 38a .

C) .

Після перенесення внутрішніх сторін маленьких прямокутників у зовнішню область отримуємо великий прямокутник, периметр якого дорівнює P=2(10x+6x)=32x, і чотири відрізки, два — діною по x, два — по 2x.

Разом, P=32x+2∙2x+2∙x= 38x .

?) .

Перенесемо 6 горизонтальних «сходинок» із внутрішньої частини у зовнішню. Периметр отриманого великого прямокутника дорівнює P=2(6y+8y)=28y. Залишилося знайти суму довжин відрізків усередині прямокутника 4y+6∙y=10y. Таким чином, периметр фігури дорівнює P=28y+10y= 38y .

D) .

Перенесемо вертикальні відрізки із внутрішньої області фігури вліво, у зовнішню область. Щоб отримати великий прямокутник, перенесемо одні з відрізків довжиною 4x у лівий нижній кут.

Периметр вихідної фігури знайдемо як суму периметра цього великого прямокутника і довжин три відрізки, що залишилися всередині, P=2(10x+8x)+6x+4x+2x= 48x .

E) .

Перенісши внутрішні сторонималеньких прямокутників у зовнішню область, отримаємо великий квадрат. Його периметр дорівнює P=4∙10x=40x. Щоб отримати периметр вихідної фігури, потрібно до периметра квадрата додати суму довжин восьми відрізків, кожен довжиною 3x. Разом, P=40x+8∙3x= 64x .

B) .

Перенесемо всі горизонтальні сходинки і вертикальні верхні відрізки у зовнішню область. Периметр одержаного прямокутника дорівнює P=2(7y+4y)=22y. Щоб знайти периметр вихідної фігури, потрібно до периметра прямокутника додати суму довжин чотирьох відрізків, кожен довжиною y: P=22y+4∙y= 26y .

D) .

Перенесемо з внутрішньої області у зовнішню всі горизонтальні лінії і пересунемо дві вертикальні зовнішні лінії у лівому та правому кутах, відповідно, на z лівіше та правіше. В результаті отримаємо великий прямокутник, периметр якого дорівнює P=2(11z+3z)=28z.

Периметр вихідної фігури дорівнює суміпериметра великого прямокутника та довжин шести відрізків по z: P=28z+6∙z= 34z .

B) .

Рішення повністю аналогічне рішенню попереднього прикладу. Після перетворення фігури знаходимо периметр великого прямокутника:

P = 2 (5z + 3z) = 16z. До периметра прямокутника додаємо суму довжин решти шести відрізків, кожен з яких дорівнює z: P=16z+6∙z= 22z .

Периметр це сума довжин всіх сторін, наприклад, прямокутника, квадрата. Щоб його знайти потрібно скласти всі сторони. А якщо у нас квадрат, то потрібно одну сторону помножити на 4.
Наприклад.
прямокутник:
ширина 5 см
довжина 8 см
5+5+8+8=26
квадрат:
ширина та довжина 3 см
3 помножити на 4 = 12см

Периметр це сума довжин всіх сторін геометричної фігури позначається буквою Р деякі формули знаходження периметра
трикутник
P=a+b+c
прямокутник
P=2*(a+b)
квадрат
P=4*a

Схожі завдання:

1)знайти суму кутів опуклого дванадцяти кутника, кожен кут опуклого багатокутника = 135* Знайти число сторін цього багатокутника.

2) У опуклому п'ятикутнику 2сторони рівні, 3сторона на 3см більше, а 4 в 2 рази більше 1сторони, а 5та на 4см менше 4см. Знайдіть сторони п'ятикутника якщо відомо, що периметр =34см

1) Два насоси, працюючи разом, заповнюють басейн за 4 години. Перший насос заповнює басейн у півтора рази швидше, ніж другий. За скільки годин заповнює басейн перший насос?

2) Периметр паралелограма дорівнює 90 см гострий кутдорівнює 60 °. Діагональ паралелограма поділяє його тупий кутна частини щодо 1:3. Знайти довжину більшої сторони паралелограма.

3) Другий член арифметичної прогресіїдорівнює 5, а четвертий її член дорівнює 11. Знайти суму перших п'яти членів прогресії.

4) Площа паралелограма дорівнює 24см 2. Точка перетину його діагоналей віддалена від прямих, на яких лежать сторони, на 2 см і 3 см. Знайти периметр паралелограма.