Чому гармонійний ряд розходиться. Ряди для чайників

Гармонійний ряд – числовий ряд

Називається він тому, що кожен член гармонійного ряду, починаючи з другого, дорівнює середньому гармонійному двох сусідніх (див. Середні значення). Члени гармонійного ряду зі зростанням номера зменшуються і прагнуть нуля, проте часткові суми необмежено зростають. Щоб у цьому переконатися, достатньо зауважити, що

, , ,

Продовжуючи ці міркування, приходимо до висновку, що сума членів гармонійного ряду більша, ніж . Звідси випливає, що часткові суми гармонійного низки необмежено зростають, тобто. гармонійний рядє розбіжним (див. Ряд). Однак це зростання йде дуже повільно. Л. Ейлер, який вивчав властивості гармонійного ряду, виявив, що

А .

Понад те, Ейлер встановив чудову залежність для часткових сум гармонійного низки, показавши, що є межа різниці , тобто. .

Число на його честь називається постійною Ейлера, вона приблизно дорівнює 0,5772 (сам Ейлер, виходячи з інших міркувань, обчислив з точністю до 15 знаків).

Уявімо «лісенку», складену з однакових цеглин, наступним чином: друга цегла підкладена під першу так, що центр тяжкості першого припадає на правий край другої, потім під ці дві цеглини підкладений третій так, що загальний центр тяжкості перших двох припадає на правий край третього тощо. (Рис. 1). У такої «драбинки» центр ваги проектується в точку, отже, «драбинка» не впаде. Якщо довжина цегли , то 1-й виявиться зрушеним щодо 2-го на , 2-й виявиться зсунутим щодо 3-го на ,-й щодо -го на , і вся «драбинка» буде зсунута вправо на

.

Вираз у дужках є частковою сумою гармонійного ряду. Отже, вказаним способом можна скласти «драбинку», зсунуту як завгодно далеко вправо. Однак, як було зауважено, росте дуже повільно. Наприклад, якщо скласти 1000 цегли, то становитиме лише 3,8 довжини цегли.

Ряди для чайників. Приклади рішень

Всіх, хто вижив, вітаю на другому курсі! На цьому уроці, а точніше, на серії уроків, ми навчимося керуватися рядами. Тема не дуже складна, але для її освоєння знадобляться знання з першого курсу, зокрема, необхідно розуміти, що таке межаі вміти знаходити найпростіші межі. Втім, нічого страшного, по ходу пояснень я даватиму відповідні посилання на потрібні уроки. Деяким читачам тема математичних рядів, прийоми рішення, ознаки, теореми можуть здатися своєрідними, і навіть химерними, безглуздими. В цьому випадку не потрібно сильно «завантажуватися», приймаємо факти такими, якими вони є, і просто вчимося вирішувати типові, поширені завдання.

1) Ряди для чайників, і для самоварів відразу зміст:)

Для надшвидкої підготовки на темує експрес-курс у форматі pdf, за допомогою якого реально «підняти» практику буквально за день.

Поняття числового ряду

У загальному вигляді числовий рядможна записати так: .
Тут:
- Математичний значок суми;
– загальний член ряду(запам'ятайте цей простий термін);
- Змінна-«лічильник». Запис позначає, що проводиться підсумовування від 1 до "плюс нескінченності", тобто спочатку у нас, потім, потім, і так далі - до нескінченності. Замість змінної іноді використовується змінна або . Підсумовування не обов'язково починається з одиниці, часом воно може починатися з нуля , з двійки чи з будь-якого натурального числа.

Відповідно до змінної-«лічильника» будь-який ряд можна розписати розгорнуто:
- І так далі, до нескінченності.

Доданки – це ЧИСЛАякі називаються членамиряду. Якщо всі вони невід'ємні (Більше або рівні нулю), то такий ряд називають позитивним числовим рядом.

Приклад 1

Це вже, до речі, «бойове» завдання – практично досить часто потрібно записати кілька членів ряду.

Спочатку , тоді:
Потім тоді:
Потім, тоді:

Процес можна продовжити до нескінченності, але за умовою потрібно написати перші три члени ряду, тому записуємо відповідь:

Зверніть увагу на принципова відмінністьвід числової послідовності,
у якій члени не підсумовуються, а розглядаються як такі.

Приклад 2

Записати перші три члени ряду

Це приклад для самостійного рішення, відповідь наприкінці уроку

Навіть для складного на перший погляд ряду не складно розписати його в розгорнутому вигляді:

Приклад 3

Записати перші три члени ряду

Насправді завдання виконується усно: подумки підставляємо до спільного члена рядуспочатку, потім і. В підсумку:

Відповідь залишаємо в такому вигляді, отримані члени ряду краще не спрощувати, тобто не виконуватидії: , , . Чому? Відповідь у вигляді набагато простіше та зручніше перевіряти викладачеві.

Іноді зустрічається зворотне завдання

Приклад 4

Тут немає якогось чіткого алгоритму рішення, закономірність потрібно просто побачити.
У даному випадку:

Для перевірки отриманий ряд можна розписати назад у розгорнутому вигляді.

А ось приклад трохи складніший для самостійного рішення:

Приклад 5

Записати суму у згорнутому вигляді із загальним членом ряду

Виконати перевірку, знову записавши ряд у розгорнутому вигляді

Збіжність числових рядів

Одною з ключових завданьтеми є дослідження низки на збіжність. При цьому можливі два випадки:

1) Рядрозходиться. Це означає що нескінченна сумадорівнює нескінченності: або суми взагалі не існує, як, наприклад, у ряду
(Ось, до речі, і приклад ряду з негативними членами). Хороший зразокрозбіжного числового рядузустрівся на початку уроку: . Тут цілком очевидно, що кожен наступний член ряду більший, ніж попередній, тому і, отже, ряд розходиться. Ще більш тривіальний приклад: .

2) Рядсходиться. Це означає, що нескінченна сума дорівнює деякому кінцевого числа: . Будь ласка: – цей ряд сходиться та його сума дорівнює нулю. Як більш змістовний приклад можна навести нескінченно спадаючугеометричну прогресію, відому нам ще зі школи: . Сума членів нескінченно спадає геометричній прогресіїрозраховується за такою формулою: , де – перший член прогресії, а – її основу, яке, зазвичай, записують як правильноюдроби. В даному випадку: , . Таким чином: Отримано кінцеве число, Отже, ряд сходиться, що й потрібно було довести.

Однак у переважній більшості випадків знайти суму рядуне так просто, і тому на практиці для дослідження збіжності низки використовують спеціальні ознаки, які доведені теоретично.

Існує кілька ознак збіжності низки: необхідна ознаказбіжності ряду, ознаки порівняння, ознака Даламбера, ознаки Коші, ознака Лейбницята деякі інші ознаки. Коли якусь ознаку застосовувати?Це від загального члена низки , образно кажучи – від «начинки» ряду. І дуже скоро ми все розкладемо по поличках.

! Для подальшого засвоєння уроку необхідно добре розумітищо таке межа і добре вміти розкривати невизначеність виду. Для повторення або вивчення матеріалу зверніться до статті Межі. Приклади рішень.

Необхідна ознака збіжності ряду

Якщо ряд сходиться, його спільний член прагне нулю: .

Зворотне в загальному випадкуневірно, тобто, якщо , то ряд може сходитися, так і розходитися. І тому цю ознаку використовують для обґрунтування розбіжностіряду:

Якщо загальний член ряду не прагне нуля, то ряд розходиться

Або коротше: якщо, то ряд розходиться. Зокрема, можлива ситуація, коли межі немає взагалі, як, наприклад, межі. Ось відразу і обґрунтували розбіжність одного ряду:)

Але набагато частіше межа ряду, що розходиться, дорівнює нескінченності, при цьому в якості «динамічної» змінної замість «ікса» виступає . Освіжаємо наші знання: межі з «іксом» називають межами функцій, а межі зі змінною «ен» – межами числових послідовностей. Очевидна відмінність у тому, що змінна «ен» приймає дискретні (перервні) натуральні значення: 1, 2, 3 і т.д. Але даний фактмало позначається на методах розв'язання меж та способи розкриття невизначеностей.

Доведемо, що ряд із першого прикладу розходиться.
Загальний член ряду:

Висновок: ряд розходиться

Необхідна ознака часто застосовується в реальних практичних завданнях:

Приклад 6

У чисельнику та знаменнику у нас знаходяться багаточлени. Той, хто уважно прочитав та осмислив метод розкриття невизначеності у статті Межі. Приклади рішень, напевно вловив, що коли старші ступеня чисельника та знаменника рівнітоді межа дорівнює кінцевого числа .

Ділимо чисельник і знаменник на

Досліджуваний ряд розходиться, тому що не виконано необхідну ознаку збіжності ряду.

Приклад 7

Дослідити ряд на збіжність

Це приклад самостійного рішення. Повне рішеннята відповідь наприкінці уроку

Отже, коли нам дано БУДЬ-ЯКИЙ числовий ряд, в першу чергуперевіряємо (подумки чи на чернетці): а чи прагне його спільний член до нуля? Якщо не прагне – оформляємо рішення за зразком прикладів № 6, 7 та даємо відповідь про те, що ряд розходиться.

Які типи рядів, що очевидно розходяться, ми розглянули? Відразу зрозуміло, що розходяться ряди на кшталт або . Також розходяться ряд з прикладів № 6, 7: коли в чисельнику і знаменнику знаходяться багаточлени, і старший ступінь чисельника більший або дорівнює старшому ступеню знаменника. У всіх цих випадках при вирішенні та оформленні прикладів ми використовуємо необхідну ознаку збіжності низки.

Чому ознака називається необхідним? Розумійте самим природним чином: для того, щоб ряд сходився, необхіднощоб його спільний член прагнув до нуля. І все було б добре, але цього ще мало. Іншими словами, якщо загальний член ряду прагне нуля, ТО ЦЕ ЩЕ НЕ ЗНАЧИТЬ, що ряд сходиться- Він може, як сходитися, так і розходитися!

Знайомтесь:

Цей ряд називається гармонійним рядом. Будь ласка, запам'ятайте! Серед числових рядів він є прима-балериною. Точніше, балеруном =)

Легко помітити, що , АЛЕ. В теорії математичного аналізудоведено, що гармонійний ряд розходиться.

Також слід запам'ятати поняття узагальненого гармонійного ряду:

1) Цей ряд розходитьсяпри . Наприклад, розходяться ряди , , .
2) Цей ряд сходитьсяпри . Наприклад, сходяться ряди , , . Ще раз наголошую, що майже у всіх практичних завданнях нам зовсім не важливо, чому дорівнює сума, наприклад, ряду, важливий сам факт його збіжності.

Це елементарні факти з теорії рядів, які вже доведені, і при вирішенні якогось практичного прикладуможна сміливо посилатися, наприклад, на розбіжність ряду або збіжність ряду .

Взагалі, матеріал, що розглядається, дуже схожий на дослідження невласних інтеграліві тому, хто вивчав цю тему, буде легше. Ну а тому, хто не вивчав – легше подвійно:)

Отже, що робити, якщо загальний член ряду прагне до нуля?У таких випадках для вирішення прикладів потрібно використовувати інші, достатні ознаки збіжності/розбіжності:

Ознаки порівняння для позитивних числових рядів

Загострюю вашу увагу, що тут йдеться тільки про позитивні числові ряди (З невід'ємними членами).

Існують дві ознаки порівняння, одну з них я називатиму просто ознакою порівняння, інший – граничною ознакою порівняння.

Спочатку розглянемо ознака порівняння, А точніше, першу його частину:

Розглянемо два позитивні числові ряди і . Якщо відомо, що ряд – сходиться, і, починаючи з деякого номера, виконано нерівність, то ряд теж сходиться.

Іншими словами: Зі збіжності ряду з більшими членами випливає збіжність ряду з меншими членами. Насправді нерівність часто виконано взагалі всім значень :

Приклад 8

Дослідити ряд на збіжність

По-перше, перевіряємо(подумки або на чернетці) виконання :
, А значить, «відбутися малою кров'ю» не вдалося.

Заглядаємо в «пачку» узагальненого гармонійного ряду і, орієнтуючись на старший ступінь, знаходимо схожий ряд: З теорії відомо, що він сходиться.

Для всіх натуральних номерів справедлива очевидна нерівність:

а більшим знаменникам відповідають найменші дроби:
, отже, за ознакою порівняння досліджуваний ряд сходитьсяразом із поруч.

Якщо у вас є якісь сумніви, то нерівність завжди можна докладно розписати!Розпишемо побудовану нерівність для кількох номерів «ен»:
Якщо то
Якщо то
Якщо то
Якщо то
….
і тепер уже цілком зрозуміло, що нерівність виконано для всіх натуральних номерів "Ен".

Проаналізуємо ознаку порівняння та вирішений приклад з неформальної точки зору. Все-таки, чому ряд сходиться? А ось чому. Якщо ряд сходиться, то він має деяку кінцевусуму: . І оскільки всі члени ряду меншевідповідних членів ряду , то ясний пень, що сума ряду не може бути більше числа, і тим більше, не може дорівнювати нескінченності!

Аналогічно можна довести збіжність схожих рядів: , , і т.д.

! Зверніть увагу, що у всіх випадках у знаменниках у нас є «плюси». Наявність хоча б одного мінуса може серйозно ускладнити використання аналізованого ознаки порівняння. Наприклад, якщо ряд таким же чином порівняти з рядом, що сходить (випишіть кілька нерівностей для перших членів), то умова не буде виконуватися взагалі! Тут можна викрутитися і підібрати для порівняння інший схожий ряд, наприклад, але це спричинить зайві застереження та інші непотрібні труднощі. Тому для доказу збіжності ряду набагато простіше використовувати гранична ознака порівняння(Див. наступний параграф).

Приклад 9

Дослідити ряд на збіжність

І в цьому прикладі я пропоную вам самостійно розглянути другу частину ознаки порівняння:

Якщо відомо, що ряд – розходиться, і, починаючи з деякого номера (часто з самого першого),виконано нерівність , то ряд теж розходиться.

Іншими словами: З розбіжності ряду з меншими членами випливає розбіжність ряду з більшими членами.

Що потрібно зробити?
Потрібно порівняти досліджуваний ряд з гармонійним рядом , що розходиться . Для кращого розумінняпобудуйте кілька конкретних нерівностей і переконайтеся у справедливості нерівності.

Рішення та зразок оформлення наприкінці уроку.

Як зазначалося, практично лише що розглянутий ознака порівняння застосовують рідко. Справжньою «робочою конячкою» числових рядів є гранична ознака порівняння, і за частотою використання з ним може конкурувати хіба що ознака Даламбера.

Гранична ознака порівняння числових позитивних рядів

Розглянемо два позитивні числові ряди і . Якщо межа відношення спільних членівцих рядів дорівнює кінцевому, відмінному від нуля числу: , то обидва ряди сходяться або розходяться одночасно.

Коли застосовується гранична ознака порівняння?Гранична ознака порівняння застосовується тоді, коли начинкою ряду у нас є багаточлени. Або один многочлен у знаменнику, або многочлени й у чисельнику й у знаменнику. Опціонально багаточлени можуть бути під корінням.

Розробимося з рядом, для якого забуксувала попередня ознака порівняння.

Приклад 10

Дослідити ряд на збіжність

Порівняємо даний ряд з рядом, що сходить. Використовуємо граничну ознаку порівняння. Відомо, що низка – сходиться. Якщо нам вдасться показати, що дорівнює кінцевому, відмінному від нулячислу, то буде доведено, що ряд теж сходиться.

Отримано кінцеве, відмінне від нуля число, отже, досліджуваний ряд сходитьсяразом із поруч.

Чому для порівняння було обрано саме ряд? Якби ми вибрали будь-який інший ряд із «обойми» узагальненого гармонійного ряду, то у нас не вийшло б у межі кінцевого, відмінного від нулячисла (можете поекспериментувати).

Примітка: коли ми використовуємо граничну ознаку порівняння, не має значення, у порядку складати ставлення спільних членів, у розглянутому прикладі ставлення можна було скласти навпаки: – це змінило б суті справи.

Необхідна ознака збіжності рядів (довести).

Теорема 1.(Необхідна умова збіжності числового ряду). Якщо числовий ряд сходиться, то .

Доведення.Ряд сходиться, тобто. існує межа. Зауважимо, що .

Розглянемо. Тоді. Звідси, .

Наслідок 1.Якщо не виконано умову, то ряд розходиться.

Зауваження 1.Умова не є достатньою для збіжності числового ряду. Наприклад, гармонійний рядрозходиться, хоч і має місце .

Визначення 1.Числовий ряд a n +1 +a n+2 +…=, отриманий з даного рядувідкиданням перших пчленів, називається n-м залишкомданого ряду і позначається R n.

Теорема 2.Якщо числовий ряд сходиться, то сходиться і будь-який його залишок. Назад:якщо сходиться хоча б один залишок ряду, то сходиться сам ряд. При цьому для будь-якого nÎN виконується рівність S=S n+R n .

Наслідок 2.Східність чи розбіжність числового ряду не зміниться, якщо видалити чи додати кілька перших членів.

Наслідок 3..

32. Ознаки порівняння та ознака для знака позитивних рядів

Теорема 1(Ознака порівняння рядів з позитивними членамиу нерівностях) . Нехайі - ряди з невід'ємними членами, причому для кожного пÎN виконано умову а n£ b n. Тоді:

1) зі збіжності рядуз великими членами слід збіжність рядуз меншими членами;

2) із розбіжності рядуз меншими членами слід розбіжність рядуз великими членами.

Зауваження 1.Теорема вірна, якщо умова а n£ b nвиконується з деякого номера NÎ N .

Теорема 2(Ознака порівняння рядів із позитивними членами в граничній формі) .

Нехайі - ряди з невід'ємними членами та існує . Тоді ці ряди сходяться або розходяться одночасно .

33. Ознака Даламбера збіжності знакопозитивних рядів

Теорема 1(Ознака Даламбера). Нехай - ряд з позитивними членами та існує .

Тоді ряд сходиться при q<1 і розходиться при q>1 .

Доведення.Нехай q<1. Зафиксируем число ртаке, що q<p< 1. По определению межі числової послідовності, з деякого номера NÎ Nвиконується нерівність a n +1 /a n<p,тобто. a n +1 <p×a n .Тоді a N +1 < p×a N , a N +2 <p 2 ×a N.За індукцією легко показати, що для будь-кого kÎ Nвірна нерівність , a N + k<p k ×a N .Але ряд сходиться як геометричний ряд ( p<1). Следовательно, по признаку сравнения рядов с неотрицательными членами, ряд також сходиться. Отже, сходиться ряд (за теоремою 2.2).

Нехай q>1. Тоді з деякого номера NÎ Nвірна нерівність a n +1 /a n>1, тобто. a n +1 >a n.Отже, з номера Nпослідовність ( a n) є зростаючою та умова не виконана. Звідси, за наслідком 2.1, випливає розбіжність ряду при q>1.

Зауваження 1.За допомогою інтегральної ознаки неважко перевірити, що числовий ряд сходиться, якщо а>1, і розходиться, якщо a£1. Ряд називається гармонійним рядом, а ряд з довільним aÎ Rназивається узагальненим гармонійним рядом.

34. Знакорядні ряди. Ознака Лейбниця збіжності знаків рядів, що чергуються.

Дослідження рядів з членами довільних знаків є більш важким завданням, проте у двох випадках є зручні ознаки: для рядів, що чергаються, - теорема Лейбніца; для абсолютно схожих рядів застосуємо будь-яку ознаку дослідження рядів із невід'ємними членами.

Визначення 1.Числовий ряд називається знакочередним, якщо будь-які сусідні члени мають протилежні знаки, тобто. ряд має вигляд або , де a n>0 для кожного nÎ N .

Теорема 1(Лейбниця). Знак черговий ряд сходиться, якщо:

1) (a n) - незростаюча послідовність;

2) при.

У цьому модуль суми знакочередующегося ряду вбирається у модуля першого члена, тобто.|S|£ a 1 .

1.1. Числовий ряд та його сума

Визначення 1.Нехай дана числова послідовність. Утворимо вираз

(1)

яке називається числовим рядом. Числа називаються членами ряду, а вираз
 спільним членомряду .

приклад 1.Знайти спільний член ряду
.

при
,

при

Неважко помітити, що спільний член ряду .

Тому шуканий ряд можна записати в такий спосіб

.

Побудуємо з членів ряду (1) послідовність таким чином :

;

;

;

Кожен член цієї послідовності є сумою відповідного числа перших членів числового ряду.

Визначення 2.Сума перших пчленів ряду (1) називається n -ой частковою сумоючислового ряду .

Визначення 3.Числовий ряд називається схожим, якщо
, де число називається сумою ряду, і пишуть
. Якщо

межа часткових сум нескінченна або не існує, то ряд називається розбіжним.

приклад 2. Перевірити на збіжність ряд
.

Для того, щоб обчислити n-ю часткову суму представимо спільний член
рядавши у вигляді суми найпростіших дробів

Порівнюючи коефіцієнти при однакових ступенях n, Отримаємо систему лінійних алгебраїчних рівнянь щодо невідомих коефіцієнтів Аі У

Звідси знаходимо, що
, а
.

Отже, загальний член ряду має вигляд

Тоді часткову суму можна уявити у вигляді

Після розкриття дужок і приведення подібних членів, вона набуде вигляду

.

Обчислимо суму ряду

Оскільки межа дорівнює кінцевому числу, то цей ряд сходиться .

приклад 2. Перевірити на збіжність ряд

 нескінченну геометричну прогресію.

Як відомо, сума перших пчленів геометричної прогресії при q 1 дорівнює
.

Тоді маємо такі випадки :

1. Якщо
, то

2. Якщо
, то
, тобто. ряд розходиться.

3. Якщо
, то ряд має вигляд тоді
, тобто. ряд розходиться.

4. Якщо
, то ряд має вигляд тоді
, якщо часткова сума має парну кількість членів та
, якщо непарне число, тобто.
немає, отже, ряд розходиться.

Визначення 4.Різниця між сумою ряду Sта частковою сумою називається залишком рядуі позначається
, тобто.
.

Так як для рядів, що сходяться
, то
,

тобто. буде б.м.в. при
. Таким чином, значення є наближеним значенням суми низки.

З визначення суми ряду випливають властивості рядів, що сходяться:

1. Якщо ряди і сходяться, тобто. мають відповідно суми Sі Q, то сходиться ряд , де
, а його сума дорівнює A S + B Q.

2. Якщо сходиться ряд , то сходиться і ряд, отриманий з цього

ряду відкиданням чи додаванням кінцевого числа членів. Правильне і зворотне.

1.2. Необхідна ознака збіжності. Гармонійний ряд

Теорема. Якщо ряд сходиться, то загальний член ряду прагне до нуля при
, тобто.
.

Справді, маємо

тоді , що й потрібно було довести.

Слідство.Якщо ж
, то ряд розходиться . Зворотне, взагалі кажучи, не так, що буде показано нижче.

Визначення 5.Ряд виду називається гармонійним.

Для цього ряду виконується необхідна ознака, оскільки
.

У той же час він є розбіжним. Покажемо це

Отже, гармонійний ряд розходиться.

Тема 2 : Достатні ознаки збіжності рядів

з позитивними членами

2.1. Ознаки порівняння

Нехай дані два ряди з позитивними членами:

Ознака порівняння.Якщо для всіх членів рядів (1) та (2), починаючи з деякого номера, виконується нерівність
і ряд (2) сходиться, то сходиться ряд (1). Аналогічно, якщо
і ряд (2) розходиться, то розходиться ряд (1).

Нехай і відповідно часткові суми рядів (1-2), а Q сума ряду (2). Тоді для досить великих пмаємо

Так як
і обмежена, то
, тобто. ряд (1) сходиться.

Аналогічно доводиться і частина ознаки.

приклад 3.Дослідити на збіжність ряд

.

Порівняємо з членами ряду
.

Починаючи з
, маємо
.

Оскільки ряд сходиться
, то цей ряд також сходиться.

Насправді часто зручніше користуватися так званим граничним ознакою порівняння, що випливає з попереднього.

Гранична ознака порівняння. Якщо для двох рядів (1-2) з позитивними членами виконується умова

, то

зі збіжності ряду (1) випливає збіжність ряду (2), а з розбіжності ряду (1) випливає розбіжність ряду (2) , тобто. ряди поводяться однаково.

приклад 4.Дослідити на збіжність ряд
.

Як ряд для порівняння візьмемо гармонійний ряд ,

який є розбіжним.

отже, наш ряд розходиться.

Зауваження.Часто для порівняння зручно використовувати так званий узагальнений гармонійнийряд , Який, як буде показано нижче, сходиться при
і розходиться при
.