Узагальнений гармонійний ряд сходиться за. Гранична ознака порівняння числових позитивних рядів

XVI - XVII століття багато хто по праву називають одним з найславетніших періодів саме в цей час були багато в чому закладені ті основи, без яких подальший розвитокцієї науки було б просто немислимим. Коперник, Галілей, Кеплер проробили величезну роботу, щоб заявити про фізику як науку, яка може дати відповідь практично будь-яке питання. Особняком у цілій низці відкриттів стоїть закон всесвітнього тяжіння, остаточне формулювання якого належить видатному англійському вченому Ісааку Ньютону.

Основне значення робіт цього вченого полягало над відкритті їм сили всесвітнього тяжіння - про наявність цієї величини ще до Ньютона говорив і Галілей, і Кеплер, а в тому, що він першим довів, що і на Землі, і в космічному просторідіють одні й самі сили взаємодії між тілами.

Ньютон на практиці підтвердив і теоретично обґрунтував той факт, що абсолютно всі тіла у Всесвіті, у тому числі й ті, що знаходяться на Землі, взаємодіють один з одним. Ця взаємодія отримала назву гравітаційного, тоді як сам процес всесвітнього тяжіння – гравітації.
Ця взаємодія виникає між тілами тому, що існує особливий, несхожий на інші, вид матерії, який у науці отримав назву гравітаційного поля. Це поле існує і діє навколо будь-якого предмета, при цьому ніякого захисту від нього не існує, так як він має ні на що не схожу здатність проникати в будь-які матеріали.

Сила всесвітнього тяжіння, визначення та формулювання якої дав знаходиться у прямій залежності від твору мас взаємодіючих тіл, та зворотної залежностівід квадрата відстані між цими об'єктами. На думку Ньютона, незаперечно підтвердженого практичними дослідженнями, сила всесвітнього тяжіння перебуває за такою формулою:

У ній особливе значенняналежить гравітаційної постійної G, яка приблизно дорівнює 6,67 * 10-11 (Н * м2) / кг2.

Сила всесвітнього тяжіння, з якою тіла притягуються до Землі, є окремий випадокзакону Ньютона і називається силою тяжіння. У даному випадкугравітаційної постійної та масою самої Землі можна знехтувати, тому формула знаходження сили тяжіння виглядатиме так:

Тут g - не що інше, як прискорення числове значенняякого приблизно дорівнює 9,8 м/с2.

Закон Ньютона пояснює не тільки процеси, що відбуваються безпосередньо на Землі, він дає відповідь на безліч питань, пов'язаних з улаштуванням усієї Сонячна система. Зокрема, сила всесвітнього тяжіння між надає вирішальний вплив на рух планет за своїми орбітами. Теоретичний описцього руху було дано ще Кеплером, проте обґрунтування його стало можливим лише після того, як Ньютон сформулював свій знаменитий закон.

Сам Ньютон пов'язував явища земної та позаземної гравітації на простому прикладі: при пострілі летить не прямо, а по дугоподібній траєкторії. При цьому при збільшенні заряду пороху і маси ядра останнє відлітатиме все далі і далі. Нарешті, якщо припустити, що можна дістати стільки пороху і створити таку гармату, щоб ядро ​​облетіло навколо Земної кулі, то, зробивши цей рух, воно не зупиниться, а продовжуватиме свій круговий (еліпсоподібний) рух, перетворившись на штучний. Як наслідок, сила всесвітнього тяжіння однакова за своєю природою і на Землі, і в космічному просторі.

Сер Ісаак Ньютон, отримавши по голові яблуком, вивів закон всесвітнього тяжіння, який говорить:

Будь-які два тіла притягуються один до одного з силою прямо пропорційною добутку мас тіла і обернено пропорційною квадрату відстані між ними:

F = (Gm 1 m 2)/R 2 де

m1, m2- маси тіл
R- відстань між центрами тел
G = 6,67 · 10 -11 Нм 2 / кг- Константа

Визначимо прискорення вільного падінняна поверхні Землі:

F g = m тіла g = (Gm тіла m Землі)/R 2

R (радіус Землі) = 6,38 · 10 6 м
m Землі = 5,97 · 10 24 кг

m тіла g = (Gm тіла m Землі)/R 2або g = (Gm Землі)/R 2

Зауважте, що прискорення вільного падіння не залежить від маси тіла!

g = 6,67 · 10 -11 · 5,97 · 10 24 / (6,38 · 10 6) = 398,2 / 40,7 = 9,8 м / с 2

Ми говорили раніше, що силу тяжіння ( гравітаційне тяжіння) називають вагою.

На поверхні Землі вага та маса тіла мають однакове значення. Але в міру віддалення від Землі вага тіла буде зменшуватися (оскільки буде збільшуватися відстань між центром Землі і тілом), а маса залишатиметься постійною (оскільки маса - це вираз інерції тіла). Маса вимірюється в кілограмах, вага - в ньютонах.

Завдяки силі гравітації, небесні тілаобертаються один щодо одного: Місяць навколо Землі; Земля навколо Сонця; Сонце навколо центру нашої Галактики та ін. При цьому тіла утримуються відцентровою силою, що забезпечує сила гравітації.

Це саме стосується і штучних тіл (супутників), що обертаються навколо Землі. Окружність якою супутник обертається, називається орбітою обертання.

При цьому на супутник діє відцентрова сила:

F ц = (m супутника V 2)/R

Сила гравітації:

F g = (Gm супутника m Землі)/R 2

F ц = F g = (m супутника V 2)/R = (Gm супутника m Землі)/R 2

V2 = (Gm Землі)/R; V = √(Gm Землі)/R

За цією формулою можна обчислити швидкість будь-якого тіла, що обертається по орбіті з радіусом Rнавколо Землі.

Природним супутником Землі є Місяць. Визначимо її лінійну швидкість на орбіті:

Маса Землі = 5,97 · 10 24 кг

R- це відстань між центром Землі та центром Місяця. Щоб визначити цю відстань, нам треба скласти три величини: радіус Землі; радіус Місяця; відстань від Землі до Місяця.

R місяця = 1738 км = 1,74 · 10 6 м
R землі = 6371 км = 6,37 · 10 6 м
R зл = 384 400 км = 384,4 · 10 6 м

Загальна відстань між центрами планет: R = 392,5 · 10 6 м

Лінійна швидкість Місяця:

V = √(Gm Землі)/R = √6,67·10 -11 ·5,98·10 24 /392,5·10 6 = 1000 м/с = 3600 км/год

Місяць рухається круговою орбітою навколо Землі з лінійною швидкістюв 3600 км/год!

Визначимо тепер період навернення Місяця навколо Землі. За період звернення Місяць долає відстань, рівну довжиніорбіти - 2πR. Орбітальна швидкістьМісяця: V = 2πR/T; з іншого боку: V = √(Gm Землі)/R:

2πR/T = √(Gm Землі)/R звідси T = 2π√R 3 /Gm Землі

T = 6,28 · √ (60,7 · 10 24) / 6,67 · 10 -11 · 5,98 · 10 24 = 3,9 · 10 5 с

Період обігу Місяця навколо Землі становить 2449200 секунд, або 40820 хвилин, або 680 годин, або 28,3 діб.

1. Вертикальне обертання

Раніше в цирках був дуже популярним трюк у якому велосипедист (мотоцикліст) робив повний оборотвсередині кола, розташованого вертикально.

Якою ж мінімальною швидкістю повинен мати трюкач, щоб у верхній точці не впасти вниз?

Для проходження верхньої точки без падіння тіло повинне мати швидкість, що створює таку відцентрову силу, яка компенсувала б силу тяжкості.

Відцентрова сила: F ц = mV 2 /R

Сила тяжіння: F g = mg

F ц = F g; mV 2 /R = mg; V = √Rg

І знову зверніть увагу, що у розрахунках відсутня маса тіла! Слід врахувати, що це швидкість, якою має мати тіло у верхній точці!

Припустимо, що на арені цирку встановлено коло з радіусом 10 метрів. Розрахуємо безпечну швидкість для трюку:

V = √Rg = √10·9,8 = 10 м/с = 36 км/год

Теорема. За будь-якого n має місце наближена рівність
де 0< g n < 1. Доведення.Нехай дана площа криволінійної трапеції aABb, обмеженою рівнобічної гіперболою, віднесеної до асимптотів, рівняння якої y = 1/x двома її ординатами aA і bB, рівняння яких x = 1 і x = n, та віссю абсцис. Користуючись "формулами прямокутників", обчислимо цю площу з нестачею (рис.2) та з надлишком (рис.1). Розділивши основу на n рівних частин, знайдемо, що площа aABb дорівнює
або

1.1. Числовий ряд та його сума

Визначення 1.Нехай дана числова послідовність. Утворимо вираз

(1)

яке називається числовим рядом. Числа називаються членами ряду, а вираз
 спільним членомряду .

приклад 1.Знайти спільний членряду
.

при
,

при

Неважко помітити, що спільний член ряду .

Тому шуканий ряд можна записати в такий спосіб

.

Побудуємо з членів ряду (1) послідовність таким чином :

;

;

;

Кожен член цієї послідовності є сумою відповідного числа перших членів числового ряду.

Визначення 2.Сума перших пчленів ряду (1) називається n -ой частковою сумоючислового ряду .

Визначення 3.Числовий ряд називається схожим, якщо
, де число називається сумою ряду, і пишуть
. Якщо

межа часткових сум нескінченна або не існує, то ряд називається розбіжним.

приклад 2. Перевірити на збіжність ряд
.

Для того, щоб обчислити n-ю часткову суму представимо спільний член
рядавши у вигляді суми найпростіших дробів

Порівнюючи коефіцієнти при однакових ступенях n, Отримаємо систему лінійних алгебраїчних рівнянь щодо невідомих коефіцієнтів Аі У

Звідси знаходимо, що
, а
.

Отже, загальний член ряду має вигляд

Тоді часткову суму можна уявити у вигляді

Після розкриття дужок і приведення подібних членів, вона набуде вигляду

.

Обчислимо суму ряду

Оскільки межа дорівнює кінцевому числу, то даний рядсходиться .

приклад 2. Перевірити на збіжність ряд

 нескінченну геометричну прогресію.

Як відомо, сума перших пчленів геометричній прогресіїпри q 1 дорівнює
.

Тоді маємо такі випадки :

1. Якщо
, то

2. Якщо
, то
, тобто. ряд розходиться.

3. Якщо
, то ряд має вигляд тоді
, тобто. ряд розходиться.

4. Якщо
, то ряд має вигляд тоді
, якщо часткова сума має парну кількість членів та
, якщо непарне число, тобто.
немає, отже, ряд розходиться.

Визначення 4.Різниця між сумою ряду Sта частковою сумою називається залишком рядуі позначається
, тобто.
.

Так як для рядів, що сходяться
, то
,

тобто. буде б.м.в. при
. Таким чином, значення є наближеним значенням суми низки.

З визначення суми ряду випливають властивості рядів, що сходяться:

1. Якщо ряди і сходяться, тобто. мають відповідно суми Sі Q, то сходиться ряд , де
, а його сума дорівнює A S + B Q.

2. Якщо сходиться ряд , то сходиться і ряд, отриманий з цього

ряду відкиданням чи додаванням кінцевого числа членів. Правильне і зворотне.

1.2. Необхідна ознака збіжності. Гармонійний ряд

Теорема. Якщо ряд сходиться, то загальний член ряду прагне до нуля при
, тобто.
.

Справді, маємо

тоді , що і потрібно було довести.

Слідство.Якщо ж
, то ряд розходиться . Зворотне, взагалі кажучи, не так, що буде показано нижче.

Визначення 5.Ряд виду називається гармонійним.

Для цього ряду виконується необхідна ознака, оскільки
.

У той же час він є розбіжним. Покажемо це

Отже, гармонійний ряд розходиться.

Тема 2 : Достатні ознаки збіжності рядів

з позитивними членами

2.1. Ознаки порівняння

Нехай дані два ряди з позитивними членами:

Ознака порівняння.Якщо для всіх членів рядів (1) та (2), починаючи з деякого номера, виконується нерівність
і ряд (2) сходиться, то сходиться ряд (1). Аналогічно, якщо
і ряд (2) розходиться, то розходиться ряд (1).

Нехай і відповідно часткові сумирядів (1-2), а Q сума ряду (2). Тоді для досить великих пмаємо

Так як
і обмежена, то
, тобто. ряд (1) сходиться.

Аналогічно доводиться і частина ознаки.

приклад 3.Дослідити на збіжність ряд

.

Порівняємо з членами ряду
.

Починаючи з
, маємо
.

Оскільки ряд сходиться
, то цей ряд також сходиться.

Насправді часто зручніше користуватися так званим граничним ознакою порівняння, що випливає з попереднього.

Гранична ознака порівняння. Якщо для двох рядів (1-2) з позитивними членами виконується умова

, то

зі збіжності ряду (1) випливає збіжність ряду (2), а з розбіжності ряду (1) випливає розбіжність ряду (2) , тобто. ряди поводяться однаково.

приклад 4.Дослідити на збіжність ряд
.

Як ряд для порівняння візьмемо гармонійний ряд ,

який є розбіжним.

отже, наш ряд розходиться.

Зауваження.Часто для порівняння зручно використовувати так званий узагальнений гармонійнийряд , Який, як буде показано нижче, сходиться при
і розходиться при
.