Чому рівні часткові суми гармонійного ряду. Ознаки порівняння для позитивних числових рядів

У цій статті розкриємо тему електропровідності, згадаємо про те, що таке електричний струмЯк він пов'язаний з опором провідника і відповідно з його електропровідністю. Зазначимо основні формули для обчислення даних величин, торкнемося теми та її зв'язку з напруженістю електричного поля. Також торкнемося зв'язку електричного опору і температури.

Для початку згадаємо про те, що таке електричний струм. Якщо помістити речовину у зовнішнє електричне поле, то під дією сил з боку цього поля, у речовині почнеться рух елементарних носіївзаряду - іонів чи електронів. Це буде електричним струмом. Сила струму I вимірюється в амперах, і один ампер - це струм, при якому через поперечний переріз провідника протікає за секунду заряд, що дорівнює одному кулону.

Струм буває постійним, змінним, пульсуючим. Постійний струм не змінює своєї величини та напрямки у кожний конкретний момент часу, змінний струмз часом змінює свої величину і напрямок (генератори змінного струму і трансформатори дають саме змінний струм), пульсуючий струм змінює свою величину, але не змінює напрямки (наприклад, випрямлений змінний струм є пульсуючим).

Речовини мають властивість проводити електричний струм під дією електричного поля, і ця властивість називається електропровідністю, яка у різних речовинрізна.Електропровідність речовин залежить від концентрації в них вільних заряджених частинок, тобто іонів та електронів, не пов'язаних ні з кристалічною структурою, ні з молекулами, ні з атомами даної речовини. Так, залежно від концентрації в речовині вільних носіївзаряду, речовини за рівнем електропровідності поділяються на: провідники, діелектрики та напівпровідники.

Найбільш високою електропровідністю володіють і по фізичної природи, провідники у природі представлені двома пологами: металами та електролітами. У металах струм обумовлений переміщенням вільних електронів, тобто провідність у них електронна, а в електролітах (у розчинах кислот, солей, лугів) - переміщенням іонів - частин молекул, що мають позитивний і негативний зарядтобто провідність у електролітів іонна. Іонізовані пари та гази відрізняються змішаною провідністю, в них струм обумовлений рухом і електронів та іонів.

Електронна теорія добре пояснює високу електропровідність металів. Зв'язок валентних електронівз їх ядрами в металах слабка, тому ці електрони вільно переміщуються від атома до атома за обсягом провідника.

Виходить, що вільні електрони в металах заповнюють простір між атомами подібно до газу, електронного газу, і знаходяться в хаотичному русі. Але при внесенні металевого провідника в електричне поле, вільні електрони рухатимуться впорядковано, вони перемістяться до позитивного полюса, чим створять струм. Таким чином, упорядкований рух вільних електронів у металевому провіднику називається електричним струмом.

Відомо, що швидкість поширення електричного поля у просторі приблизно дорівнює 300000000 м/с, тобто швидкості світла. Це та сама швидкість, з якою струм проходить по провіднику.

Що це означає? Це не означає, що кожен електрон в металі рухається з такою величезною швидкістю, електрони в провіднику навпаки - мають швидкість від кількох міліметрів в секунду до декількох сантиметрів в секунду, залежно від , а ось швидкість поширення електричного струму по провіднику якраз дорівнює швидкості світла .

Вся справа в тому, що кожен вільний електрон виявляється в загальному електронному потоці того самого «електронного газу», і під час проходження струму, електричне поле діє на весь цей потік, в результаті електрони безперервно один одному передають цю дію поля - від сусіда до сусіду.

Але рухаються електрони на своїх місцях дуже повільно, незважаючи на те, що швидкість розповсюдження електричної енергіїпо провіднику виявляється величезною. Так, коли на електростанції включають рубильник, струм миттєво виникає у всій мережі, а електрони при цьому практично стоять на місцях.

Однак, коли вільні електрони рухаються провідником, вони зазнають численних зіткнень на своєму шляху, вони стикаються з атомами, іонами, молекулами, передаючи їм частину своєї енергії. Енергія електронів, що рухаються, долають такий опір, частково розсіюється у вигляді тепла, і провідник нагрівається.

Ці зіткнення є опором руху електронів, тому властивість провідника перешкоджати руху заряджених частинок і називають електричним опором. При малому опорі провідника провідник нагрівається струмом слабо, при значному - набагато сильніше, і навіть до білого, цей ефект застосовується в нагрівальних приладах та лампах розжарювання.

Одиниця зміни опору – Ом. Опір R = 1 Ом – це опір такого провідника, при проходженні яким постійного струмуодин ампер, різниця потенціалів на кінцях провідника дорівнює 1 вольту. Еталон опору в 1 Ом – стовп ртуті заввишки 1063 мм, перерізом 1 кв.мм при температурі 0°С.

Оскільки провідникам характерно електричний опір, можна сказати, що певною мірою провідник здатний проводити електричний струм. У зв'язку з цим запроваджено величину, звану провідністю або електропровідністю. Електропровідність - це здатність провідника проводити електричний струм, тобто величина, обернена до електричного опору.

Одиниця виміру електропровідності G (провідності) - Сіменс (См), та 1 См = 1/(1 Ом). G = 1/R.

Оскільки атоми різних речовинв різного ступеняперешкоджають проходженню електричного струму, і електричний опір у різних речовин різне. З цієї причини введено поняття , величина якого «р» характеризує провідні властивості тієї чи іншої речовини.

Питомий електричний опір вимірюється Ом*м, тобто опір куба речовини з ребром в 1 метр. Таким же чином електропровідність речовини характеризується питомою електропровідністю?, що вимірюється См/м, тобто провідність куба речовини з ребром в 1 метр.

Сьогодні провідні матеріали в електротехніці використовують в основному у вигляді стрічок, шин, дротів, певною площею поперечного перерізуі певної довжиниале не у вигляді метрових кубів. І для зручніших розрахунків електричного опору та електропровідності провідників конкретних розмірів були введені більш прийнятні одиниці виміру як для питомого електричного опору, так і для питомої електропровідності. Ом*мм2/м – для питомого опору, та См*м/мм2 – для питомої електропровідності.

Тепер можна говорити, що питомий електричний опір і питома електропровідність характеризують провідні властивості провідника площею поперечного перерізу в 1 кв.мм, довжиною в 1 метр при температурі 20°C, це зручніше.

Найкращою електропровідністю мають такі метали як: золото, мідь, срібло, хром, алюміній. Сталь та залізо проводять струм гірше. Чисті метали завжди мають кращу електропровідність, ніж їх сплави, тому чиста мідь в електротехніці краще. Якщо потрібний спеціально високий опір, то використовують вольфрам, ніхром, константан.

Знаючи величину питомого електричного опору або питомої електропровідності, можна легко обчислити опір або електропровідність конкретного провідника, виготовленого з даного матеріалу, Взявши до уваги довжину l і ​​площа поперечного перерізу S цього провідника.

Електропровідність та електричний опір всіх матеріалів залежить від температуриоскільки частота і амплітуда теплових коливань атомів кристалічної решітки зі зростанням температури так само зростає, відповідно зростає і опір електричному струму, потоку електронів.

При зниженні температури - навпаки, коливання атомів кристалічних ґрат стають меншими, опір зменшується (зростає електропровідність). В одних речовин залежність опору від температури виражена слабше, в інших – сильніша. Наприклад, такі сплави як константан, фехраль і манганін слабо змінюють. питомий опіру певному інтервалі температур, тому їх роблять термостабільні резистори.

Дозволяє обчислити для конкретного матеріалу збільшення його опору за певної температури, і чисельно характеризує відносне збільшення опору зі збільшенням температури на 1 °С.

Знаючи температурний коефіцієнтопору та збільшення температури, можна легко обчислити питомий опір речовини при заданій температурі.

Сподіваємося, що наша стаття була для вас корисною, і тепер ви легко зможете обчислити опір і провідність будь-якого дроту за будь-якої температури.

« Фізика – 10 клас»

Як рухаються електрони у металевому провіднику, коли в ньому немає електричного поля?
Як змінюється рух електронів, коли до металевого провідника прикладають напругу?

Електричний струм проводять тверді, рідкі та газоподібні тіла. Чим ці провідники відрізняються один від одного?

Ви познайомилися з електричним струмом у металевих провідниках та із встановленою експериментально вольт-амперною характеристикою цих провідників - законом Ома.

Поряд з металами хорошими провідниками, тобто речовинами з великою кількістювільних заряджених частинок, є водні розчиниабо розплави електролітів та іонізований газ - плазма. Ці провідники широко використовують у техніці.

У електронних вакуумних приладах електричний струм утворюють потоки електронів.

Металеві провідники знаходять саме широке застосуванняу передачі електроенергії від джерел струму споживачам. Крім того, ці провідники використовуються в електродвигунах та генераторах, електронагрівальних приладах тощо.

Крім провідниківі діелектриків(речовин з порівняно невеликою кількістю вільних заряджених частинок), є група речовин, провідність яких займає проміжне положенняміж провідниками та діелектриками. Ці речовини не настільки добре проводять електрику, щоб їх назвати провідниками, але й не настільки погано, щоб їх віднести до діелектриків. Тому вони отримали назву напівпровідників.

Довгий час напівпровідники не відігравали помітної практичної ролі. У електротехніці та радіотехніці застосовували виключно різні провідники та діелектрики. Становище істотно змінилося, коли спочатку було передбачено теоретично, а потім виявлено та вивчено легкоздійсненну можливість управління електричною провідністюнапівпровідників.

Нема універсального носія струму. У таблиці наведені носії струму різних середовищах.

Електронна провідністьметалів.

Почнемо із металевих провідників. Вольт-амперна характеристика цих провідників нам відома, але поки що нічого не говорилося про її пояснення з точки зору молекулярнокінетичної теорії.

Носіями вільних зарядів у металах є електрони. Їхня концентрація велика - близько 10 28 1/м 3 .

Ці електрони беруть участь у безладному тепловому русі. Під впливом електричного поля вони починають переміщатися впорядковано із середньою швидкістю близько 10 -4 м/с.

Експериментальний доказ існування вільних електронів у металах.

Експериментальний доказ того, що провідність металів зумовлена ​​рухом вільних електронів, було дано в дослідах Мандельштама та Папалексі (1913), Стюарта та Толмена (1916). Схема цих дослідів така.

На котушку намотують дріт, кінці якого припаюють до двох металевих дисків, ізольованих один від одного (рис. 16.1). До кінців дисків за допомогою ковзних контактів підключають гальванометр.

Котушку приводять у швидке обертання, а потім різко зупиняють. Після різкої зупинки котушки вільні заряджені частинки деякий час рухаються щодо провідника інерції, і, отже, в котушці виникає електричний струм. Струм існує незначний час, тому що через опір провідника заряджені частинки гальмуються і впорядкований рух частинок, що утворює струм, припиняється.

Напрямок струму цьому досвіді свідчить, що він створюється рухом негативно заряджених частинок. Заряд, що переноситься при цьому пропорційний відношенню заряду частинок, що створюють струм, до їх маси, тобто | q | / m. Тому вимірюючи заряд, що проходить через гальванометр за час існування струму в ланцюзі, вдалося визначити це відношення. Воно дорівнювало 1,8 10 11 Кл/кг. Ця величина збігалася із ставленням заряду електрона до його маси е/m, знайденим раніше з інших дослідів.

Рух електронів у металі.

Вільні електрони у металі рухаються хаотично. При підключенні провідника до джерела струму створюється електричне поле, і на електрони починає діяти кулонівська сила= q e. Під дією цієї сили електрони починають рухатися спрямовано, тобто на хаотичний рух електронів накладається. кристалічних ґрат. При цьому електрони втрачають напрямок руху, а потім знову починають рухатися спрямовано. Таким чином, швидкість спрямованого руху електрона змінюється від нуля до деякого максимального значення, рівного в результаті Середня швидкістьупорядкованого руху електронів виявляється рівною т. е. пропорційної напруженості електричного поля в провіднику: υ ~ Е і, отже, різниці потенціалів на кінцях провідника, оскільки де l - Довжина провідника.

Сила струму у провіднику пропорційна швидкості упорядкованого руху частинок (див. формулу (15.2)). Тому можемо сказати, що сила струму пропорційна різниці потенціалів на кінцях провідника: I ~ U.

У цьому полягає якісне пояснення закону Омана основі електронної теоріїпровідність металів.

Побудувати задовільну кількісну теорію руху електронів у металі з урахуванням законів класичної механіки неможливо. Справа в тому, що умови руху електронів у металі такі, що класична механіка Ньютона не застосовується для опису цього руху. Цей факт підтверджує, наприклад, залежність опору температури. Згідно класичної теоріїметалів, в яких рух електронів розглядається на основі другого закону Ньютона, опір провідника пропорційно експеримент же показує лінійну залежністьопору від температури.

Ряди для чайників. Приклади рішень

Всіх, хто вижив, вітаю на другому курсі! На цьому уроці, а точніше, на серії уроків, ми навчимося керуватися рядами. Тема не дуже складна, але для її освоєння знадобляться знання з першого курсу, зокрема, необхідно розуміти, що таке межа і вміти знаходити найпростіші межі. Втім, нічого страшного, по ходу пояснень я даватиму відповідні посилання на потрібні уроки. Деяким читачам тема математичних рядів, прийоми рішення, ознаки, теореми можуть здатися своєрідними, і навіть химерними, безглуздими. В цьому випадку не потрібно сильно «завантажуватися», приймаємо факти такими, якими вони є, і просто вчимося вирішувати типові, поширені завдання.

1) Ряди для чайників, і для самоварів відразу зміст:)

Для надшвидкої підготовки на темує експрес-курс у форматі pdf, за допомогою якого реально «підняти» практику буквально за день.

Поняття числового ряду

У загальному вигляді числовий рядможна записати так: .
Тут:
- Математичний значок суми;
– загальний член ряду(запам'ятайте цей простий термін);
- Змінна-«лічильник». Запис позначає, що проводиться підсумовування від 1 до "плюс нескінченності", тобто спочатку у нас, потім, потім, і так далі - до нескінченності. Замість змінної іноді використовується змінна або . Підсумовування не обов'язково починається з одиниці, часом воно може починатися з нуля , з двійки чи з будь-якого натурального числа.

Відповідно до змінної-«лічильника» будь-який ряд можна розписати розгорнуто:
- І так далі, до нескінченності.

Доданки – це ЧИСЛАякі називаються членамиряду. Якщо всі вони невід'ємні (Більше або рівні нулю), то такий ряд називають позитивним числовим рядом.

Приклад 1

Це вже, до речі, «бойове» завдання – практично досить часто потрібно записати кілька членів ряду.

Спочатку , тоді:
Потім тоді:
Потім, тоді:

Процес можна продовжити до нескінченності, але за умовою потрібно написати перші три члени ряду, тому записуємо відповідь:

Зверніть увагу на принципова відмінністьвід числової послідовності ,
у якій члени не підсумовуються, а розглядаються як такі.

Приклад 2

Записати перші три члени ряду

Це приклад для самостійного рішення, відповідь наприкінці уроку

Навіть для складного на перший погляд ряду не складно розписати його в розгорнутому вигляді:

Приклад 3

Записати перші три члени ряду

Насправді завдання виконується усно: подумки підставляємо до спільного члена рядуспочатку, потім і. В підсумку:

Відповідь залишаємо в такому вигляді, отримані члени ряду краще не спрощувати, тобто не виконуватидії: , , . Чому? Відповідь у вигляді набагато простіше та зручніше перевіряти викладачеві.

Іноді зустрічається зворотне завдання

Приклад 4

Тут немає якогось чіткого алгоритму рішення, закономірність потрібно просто побачити.
У даному випадку:

Для перевірки отриманий ряд можна розписати назад у розгорнутому вигляді.

А ось приклад трохи складніший для самостійного рішення:

Приклад 5

Записати суму у згорнутому вигляді із загальним членом ряду

Виконати перевірку, знову записавши ряд у розгорнутому вигляді

Збіжність числових рядів

Одною з ключових завданьтеми є дослідження низки на збіжність. При цьому можливі два випадки:

1) Рядрозходиться. Це означає що нескінченна сумадорівнює нескінченності: або суми взагалі не існує, як, наприклад, у ряду
(Ось, до речі, і приклад ряду з негативними членами). Хороший зразокрозбіжного числового ряду зустрівся на початку уроку: . Тут цілком очевидно, що кожен наступний член ряду більший, ніж попередній, тому і, отже, ряд розходиться. Ще більш тривіальний приклад: .

2) Рядсходиться. Це означає, що нескінченна сума дорівнює деякому кінцевого числа: . Будь ласка: – цей ряд сходиться та його сума дорівнює нулю. Як більш змістовний приклад можна навести нескінченно спадаючугеометричну прогресію, відому нам ще зі школи: . Сума членів нескінченно спадає геометричній прогресіїрозраховується за такою формулою: , де – перший член прогресії, а – її основу, яке, зазвичай, записують як правильноюдроби. В даному випадку: , . Таким чином: Отримано кінцеве число, Отже, ряд сходиться, що й потрібно було довести.

Однак у переважній більшості випадків знайти суму ряду не так просто, і тому на практиці для дослідження збіжності ряду використовують спеціальні ознаки, які доведені теоретично.

Існує кілька ознак збіжності низки: необхідна ознаказбіжності ряду, ознаки порівняння, ознака Даламбера, ознаки Коші, ознака Лейбницята деякі інші ознаки. Коли якусь ознаку застосовувати?Це від загального члена низки , образно кажучи – від «начинки» ряду. І дуже скоро ми все розкладемо по поличках.

! Для подальшого засвоєння уроку необхідно добре розумітищо таке межа і добре вміти розкривати невизначеність виду. Для повторення або вивчення матеріалу зверніться до статті Межі. Приклади рішень .

Необхідна ознака збіжності ряду

Якщо ряд сходиться, його спільний член прагне нулю: .

Зворотне в загальному випадкуневірно, тобто, якщо , то ряд може сходитися, так і розходитися. І тому цю ознаку використовують для обґрунтування розбіжностіряду:

Якщо загальний член ряду не прагне нуля, то ряд розходиться

Або коротше: якщо, то ряд розходиться. Зокрема, можлива ситуація, коли межі немає взагалі, як, наприклад, межі . Ось відразу і обґрунтували розбіжність одного ряду:)

Але набагато частіше межа ряду, що розходиться, дорівнює нескінченності, при цьому в якості «динамічної» змінної замість «ікса» виступає . Освіжаємо наші знання: межі з «іксом» називають межами функцій, а межі зі змінною «ен» – межами числових послідовностей. Очевидна відмінність у тому, що змінна «ен» приймає дискретні (перервні) натуральні значення: 1, 2, 3 і т.д. Але даний фактмало позначається на методах розв'язання меж та способи розкриття невизначеностей.

Доведемо, що ряд із першого прикладу розходиться.
Загальний член ряду:

Висновок: ряд розходиться

Необхідна ознака часто застосовується в реальних практичних завданнях:

Приклад 6

У чисельнику та знаменнику у нас знаходяться багаточлени. Той, хто уважно прочитав та осмислив метод розкриття невизначеності у статті Межі. Приклади рішень , напевно вловив, що коли старші ступеня чисельника та знаменника рівнітоді межа дорівнює кінцевого числа .

Ділимо чисельник і знаменник на

Досліджуваний ряд розходиться, тому що не виконано необхідну ознаку збіжності ряду.

Приклад 7

Дослідити ряд на збіжність

Це приклад самостійного рішення. Повне рішеннята відповідь наприкінці уроку

Отже, коли нам дано БУДЬ-ЯКИЙ числовий ряд, в першу чергуперевіряємо (подумки чи на чернетці): а чи прагне його спільний член до нуля? Якщо не прагне – оформляємо рішення за зразком прикладів № 6, 7 та даємо відповідь про те, що ряд розходиться.

Які типи рядів, що очевидно розходяться, ми розглянули? Відразу зрозуміло, що розходяться ряди на кшталт або . Також розходяться ряд з прикладів № 6, 7: коли в чисельнику і знаменнику знаходяться багаточлени, і старший ступінь чисельника більший або дорівнює старшому ступеню знаменника. У всіх цих випадках при вирішенні та оформленні прикладів ми використовуємо необхідну ознаку збіжності низки.

Чому ознака називається необхідним? Розумійте самим природним чином: для того, щоб ряд сходився, необхідно щоб його спільний член прагнув до нуля. І все було б добре, але цього ще мало . Іншими словами, якщо загальний член ряду прагне нуля, ТО ЦЕ ЩЕ НЕ ЗНАЧИТЬ, що ряд сходиться- Він може, як сходитися, так і розходитися!

Знайомтесь:

Цей ряд називається гармонійним рядом . Будь ласка, запам'ятайте! Серед числових рядіввін є прима-балериною. Точніше, балеруном =)

Легко помітити, що , АЛЕ. В теорії математичного аналізудоведено, що гармонійний ряд розходиться.

Також слід запам'ятати поняття узагальненого гармонійного ряду:

1) Цей ряд розходитьсяпри . Наприклад, розходяться ряди , , .
2) Цей ряд сходитьсяпри . Наприклад, сходяться ряди , , . Ще раз наголошую, що майже у всіх практичних завданнях нам зовсім не важливо, чому дорівнює сума, наприклад, ряду , важливий сам факт його збіжності.

Це елементарні факти з теорії рядів, які вже доведені, і при вирішенні якогось практичного прикладуможна сміливо посилатися, наприклад, на розбіжність ряду або збіжність ряду .

Взагалі, матеріал, що розглядається, дуже схожий на дослідження невласних інтегралів і тому, хто вивчав цю тему, буде легше. Ну а тому, хто не вивчав – легше подвійно:)

Отже, що робити, якщо загальний член ряду прагне до нуля?У таких випадках для вирішення прикладів потрібно використовувати інші, достатні ознаки збіжності/розбіжності:

Ознаки порівняння для позитивних числових рядів

Загострюю вашу увагу, що тут йдеться тільки про позитивні числові ряди (З невід'ємними членами).

Існують дві ознаки порівняння, одну з них я називатиму просто ознакою порівняння, інший – граничною ознакою порівняння.

Спочатку розглянемо ознака порівняння, А точніше, першу його частину:

Розглянемо два позитивні числові ряди і . Якщо відомо, що ряд – сходиться, і, починаючи з деякого номера, виконано нерівність, то ряд теж сходиться.

Іншими словами: Зі збіжності ряду з більшими членами випливає збіжність ряду з меншими членами. Насправді нерівність часто виконано взагалі всім значень :

Приклад 8

Дослідити ряд на збіжність

По-перше, перевіряємо(подумки або на чернетці) виконання :
, А значить, «відбутися малою кров'ю» не вдалося.

Заглядаємо в «пачку» узагальненого гармонійного ряду і, орієнтуючись на старший ступінь, знаходимо схожий ряд: З теорії відомо, що він сходиться.

Для всіх натуральних номерів справедлива очевидна нерівність:

а більшим знаменникам відповідають найменші дроби:
, отже, за ознакою порівняння досліджуваний ряд сходитьсяразом із поруч.

Якщо у вас є якісь сумніви, то нерівність завжди можна докладно розписати!Розпишемо побудовану нерівність для кількох номерів «ен»:
Якщо то
Якщо то
Якщо то
Якщо то
….
і тепер уже цілком зрозуміло, що нерівність виконано для всіх натуральних номерів "Ен".

Проаналізуємо ознаку порівняння та вирішений приклад з неформальної точки зору. Все-таки, чому ряд сходиться? А ось чому. Якщо ряд сходиться, то він має деяку кінцевусуму: . І оскільки всі члени ряду меншевідповідних членів ряду , то ясний пень, що сума ряду не може бути більше числа, і тим більше, не може дорівнювати нескінченності!

Аналогічно можна довести збіжність схожих рядів: , , і т.д.

! Зверніть увагу, що у всіх випадках у знаменниках у нас є «плюси». Наявність хоча б одного мінуса може серйозно ускладнити використання аналізованого ознаки порівняння. Наприклад, якщо ряд таким же чином порівняти з рядом, що сходить (випишіть кілька нерівностей для перших членів), то умова не буде виконуватися взагалі! Тут можна викрутитися і підібрати для порівняння інший схожий ряд, наприклад, але це спричинить зайві застереження та інші непотрібні труднощі. Тому для доказу збіжності ряду набагато простіше використовувати гранична ознака порівняння(Див. наступний параграф).

Приклад 9

Дослідити ряд на збіжність

І в цьому прикладі я пропоную вам самостійно розглянути другу частину ознаки порівняння:

Якщо відомо, що ряд – розходиться, і, починаючи з деякого номера (часто з самого першого),виконано нерівність , то ряд теж розходиться.

Іншими словами: З розбіжності ряду з меншими членами випливає розбіжність ряду з більшими членами.

Що потрібно зробити?
Потрібно порівняти досліджуваний ряд з гармонійним рядом , що розходиться . Для кращого розумінняпобудуйте кілька конкретних нерівностей і переконайтеся у справедливості нерівності.

Рішення та зразок оформлення наприкінці уроку.

Як зазначалося, практично лише що розглянутий ознака порівняння застосовують рідко. Справжньою «робочою конячкою» числових рядів є гранична ознака порівняння, і за частотою використання з ним може конкурувати хіба що ознака Даламбера .

Гранична ознака порівняння числових позитивних рядів

Розглянемо два позитивні числові ряди і . Якщо межа відношення спільних членівцих рядів дорівнює кінцевому, відмінному від нуля числу: , то обидва ряди сходяться або розходяться одночасно.

Коли застосовується гранична ознака порівняння?Гранична ознака порівняння застосовується тоді, коли начинкою ряду у нас є багаточлени. Або один многочлен у знаменнику, або многочлени й у чисельнику й у знаменнику. Опціонально багаточлени можуть бути під корінням.

Розробимося з рядом, для якого забуксувала попередня ознака порівняння.

Приклад 10

Дослідити ряд на збіжність

Порівняємо даний рядзі схожим поруч. Використовуємо граничну ознаку порівняння. Відомо, що низка – сходиться. Якщо нам вдасться показати, що дорівнює кінцевому, відмінному від нулячислу, то буде доведено, що ряд теж сходиться.

Отримано кінцеве, відмінне від нуля число, отже, досліджуваний ряд сходитьсяразом із поруч.

Чому для порівняння було обрано саме ряд? Якби ми вибрали будь-який інший ряд із «обойми» узагальненого гармонійного ряду, то у нас не вийшло б у межі кінцевого, відмінного від нулячисла (можете поекспериментувати).

Примітка: коли ми використовуємо граничну ознаку порівняння, не має значення, у порядку складати ставлення спільних членів, у розглянутому прикладі ставлення можна було скласти навпаки: – це змінило б суті справи.