Знаменник геометричної прогресії виражається. Геометрична прогресія

Якщо кожному натуральному числу n поставити у відповідність дійсне число a n , то кажуть, що поставлено числову послідовність :

a 1 , a 2 , a 3 , . . . , a n , . . . .

Отже, числова послідовність- Функція натурального аргументу.

Число a 1 називають першим членом послідовності , число a 2 — другим членом послідовності , число a 3 — третім і так далі. Число a n називають n-м членомпослідовності , а натуральне число n — його номером .

Із двох сусідніх членів a n і a n +1 послідовності член a n +1 називають наступним (по відношенню до a n ), а a n — попереднім (по відношенню до a n +1 ).

Щоб встановити послідовність, потрібно вказати спосіб, що дозволяє знайти член послідовності з будь-яким номером.

Часто послідовність задають за допомогою формули n-го члена тобто формули, яка дозволяє визначити член послідовності за його номером.

Наприклад,

послідовність позитивних непарних чиселможна задати формулою

a n= 2n - 1,

а послідовність чергуються 1 і -1 формулою

b n = (-1)n +1 . ◄

Послідовність можна визначити рекурентною формулою, тобто формулою, яка виражає будь-який член послідовності, починаючи з деякого через попередні (один або кілька) члени.

Наприклад,

якщо a 1 = 1 , а a n +1 = a n + 5

a 1 = 1,

a 2 = a 1 + 5 = 1 + 5 = 6,

a 3 = a 2 + 5 = 6 + 5 = 11,

a 4 = a 3 + 5 = 11 + 5 = 16,

a 5 = a 4 + 5 = 16 + 5 = 21.

Якщо а 1= 1, а 2 = 1, a n +2 = a n + a n +1 , то перші сім членів числової послідовності встановлюємо так:

a 1 = 1,

a 2 = 1,

a 3 = a 1 + a 2 = 1 + 1 = 2,

a 4 = a 2 + a 3 = 1 + 2 = 3,

a 5 = a 3 + a 4 = 2 + 3 = 5,

a 6 = a 4 + a 5 = 3 + 5 = 8,

a 7 = a 5 + a 6 = 5 + 8 = 13. ◄

Послідовності можуть бути кінцевими і нескінченними .

Послідовність називається кінцевою якщо вона має кінцеве числочленів. Послідовність називається нескінченною якщо вона має нескінченно багато членів.

Наприклад,

послідовність двоцифрових натуральних чисел:

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

кінцева.

Послідовність простих чисел:

2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

нескінченна. ◄

Послідовність називають зростаючою якщо кожен її член, починаючи з другого, більше ніж попередній.

Послідовність називають спадаючою якщо кожен її член, починаючи з другого, менше ніж попередній.

Наприклад,

2, 4, 6, 8, . . . , 2n, . . . - Зростаюча послідовність;

1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /n, . . . - спадна послідовність. ◄

Послідовність, елементи якої зі збільшенням номера не зменшуються, або, навпаки, не зростають, називається монотонною послідовністю .

Монотонними послідовностями, зокрема, є зростаючі послідовності та спадні послідовності.

Арифметична прогресія

Арифметичною прогресією називається послідовність, кожен член якої, починаючи з другого, дорівнює попередньому, до якого додається те саме число.

a 1 , a 2 , a 3 , . . . , a n, . . .

є арифметичною прогресією, якщо для будь-кого натурального числа n виконується умова:

a n +1 = a n + d,

де d - Деяке число.

Таким чином, різниця між наступним та попереднім членами даної арифметичної прогресіїзавжди постійна:

а 2 - a 1 = а 3 - a 2 = . . . = a n +1 - a n = d.

Число d називають різницею арифметичної прогресії.

Щоб задати арифметичну прогресію, достатньо вказати її перший член та різницю.

Наприклад,

якщо a 1 = 3, d = 4 , то перші п'ять членів послідовності знаходимо так:

a 1 =3,

a 2 = a 1 + d = 3 + 4 = 7,

a 3 = a 2 + d= 7 + 4 = 11,

a 4 = a 3 + d= 11 + 4 = 15,

a 5 = a 4 + d= 15 + 4 = 19. ◄

Для арифметичної прогресії з першим членом a 1 і різницею d її n

a n = a 1 + (n- 1)d.

Наприклад,

знайдемо тридцятий член арифметичної прогресії

1, 4, 7, 10, . . .

a 1 =1, d = 3,

a 30 = a 1 + (30 - 1)d = 1 + 29· 3 = 88. ◄

a n-1 = a 1 + (n- 2)d,

a n= a 1 + (n- 1)d,

a n +1 = a 1 + nd,

то, очевидно,

кожен член арифметичної прогресії, починаючи з другого, дорівнює середньому арифметичному попереднього та наступного членів.

числа a, b і c є послідовними членами деякої арифметичної прогресії тоді і лише тоді, коли одне з них дорівнює середньому арифметичному двох інших.

Наприклад,

a n = 2n- 7 є арифметичною прогресією.

Скористаємося наведеним вище твердженням. Маємо:

a n = 2n- 7,

a n-1 = 2(n - 1) - 7 = 2n- 9,

a n+1 = 2(n+ 1) - 7 = 2n- 5.

Отже,

◄

Відмітимо, що n -й член арифметичної прогресії можна знайти не тільки через a 1 , але й будь-який попередній a k

a n = a k + (n- k)d.

Наприклад,

для a 5 можна записати

a 5 = a 1 + 4d,

a 5 = a 2 + 3d,

a 5 = a 3 + 2d,

a 5 = a 4 + d. ◄

a n = a n-k + kd,

a n = a n+k - kd,

то, очевидно,

будь-який член арифметичної прогресії, починаючи з другого дорівнює напівсумірівновіддалених від нього членів цієї арифметичної прогресії.

Крім того, для будь-якої арифметичної прогресії справедлива рівність:

a m + a n = a k + a l,

m+n=k+l.

Наприклад,

в арифметичній прогресії

1) a 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (a 9 + a 11 )/2;

2) 28 = a 10 = a 3 + 7d= 7 + 7 · 3 = 7 + 21 = 28;

3) a 10= 28 = (19 + 37)/2 = (a 7 + a 13)/2;

4) a 2 + a 12 = a 5 + a 9, так як

a 2 + a 12= 4 + 34 = 38,

a 5 + a 9 = 13 + 25 = 38. ◄

S n= a 1 + a 2 + a 3 +. . .+ a n,

перших n членів арифметичної прогресії дорівнює добутку напівсуми крайніх доданків на кількість доданків:

Звідси, зокрема, випливає, що якщо потрібно підсумувати члени

a k, a k +1 , . . . , a n,

то попередня формула зберігає свою структуру:

Наприклад,

в арифметичній прогресії 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

S 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;

10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = S 10 - S 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄

Якщо дана арифметична прогресія, то величини a 1 , a n, d, nіS n пов'язані двома формулами:

Тому, якщо значення трьохз цих величин дано, то відповідні їм значення двох інших величин визначаються з цих формул, об'єднаних у систему двох рівнянь із двома невідомими.

Арифметична прогресія є монотонною послідовністю. При цьому:

• якщо d > 0 , вона є зростаючою;
• якщо d < 0 , то вона є спадною;
• якщо d = 0 , то послідовність буде стаціонарною.

Геометрична прогресія

Геометричною прогресією називається послідовність, кожен член якої, починаючи з другого, дорівнює попередньому, помноженому на те саме число.

b 1 , b 2 , b 3 , . . . , b n, . . .

є геометричною прогресією, якщо для будь-якого натурального числа n виконується умова:

b n +1 = b n · q,

де q ≠ 0 - Деяке число.

Таким чином, ставлення наступного члена даної геометричної прогресії до попереднього є постійним:

b 2 / b 1 = b 3 / b 2 = . . . = b n +1 / b n = q.

Число q називають знаменником геометричної прогресії.

Щоб задати геометричну прогресію, достатньо вказати її перший член та знаменник.

Наприклад,

якщо b 1 = 1, q = -3 , то перші п'ять членів послідовності знаходимо так:

b 1 = 1,

b 2 = b 1 · q = 1 · (-3) = -3,

b 3 = b 2 · q= -3 · (-3) = 9,

b 4 = b 3 · q= 9 · (-3) = -27,

b 5 = b 4 · q= -27 · (-3) = 81. ◄

b 1 та знаменником q її n -й член може бути знайдений за формулою:

b n = b 1 · q n -1 .

Наприклад,

знайдемо сьомий член геометричної прогресії 1, 2, 4, . . .

b 1 = 1, q = 2,

b 7 = b 1 · q 6 = 1 · 2 6 = 64. ◄

b n-1 = b 1 · q n -2 ,

b n = b 1 · q n -1 ,

b n +1 = b 1 · q n,

то, очевидно,

b n 2 = b n -1 · b n +1 ,

кожен член геометричної прогресії, починаючи з другого, дорівнює середньому геометричному (пропорційному) попереднього та наступного членів.

Тому що вірно і зворотне затвердження, то має місце таке твердження:

числа a, b та c є послідовними членами деякої геометричної прогресії тоді і лише тоді, коли квадрат одного з них дорівнює творудвох інших, тобто одне із чисел є середнім геометричним двом іншим.

Наприклад,

доведемо, що послідовність, яка задається формулою b n= -3 · 2 n є геометричною прогресією. Скористаємося наведеним вище твердженням. Маємо:

b n= -3 · 2 n,

b n -1 = -3 · 2 n -1 ,

b n +1 = -3 · 2 n +1 .

Отже,

b n 2 = (-3 · 2 n) 2 = (-3 · 2 n -1 ) · (-3 · 2 n +1 ) = b n -1 · b n +1 ,

як і доводить необхідне твердження. ◄

Відмітимо, що n -й член геометричної прогресії можна знайти не тільки через b 1 , але й будь-який попередній член b k , для чого достатньо скористатися формулою

b n = b k · q n - k.

Наприклад,

для b 5 можна записати

b 5 = b 1 · q 4 ,

b 5 = b 2 · q 3,

b 5 = b 3 · q 2,

b 5 = b 4 · q. ◄

b n = b k · q n - k,

b n = b n - k · q k,

то, очевидно,

b n 2 = b n - k· b n + k

квадрат будь-якого члена геометричної прогресії, починаючи з другого дорівнює добутку рівновіддалених від нього членів цієї прогресії.

Крім того, для будь-якої геометричної прогресії справедлива рівність:

b m· b n= b k· b l,

m+ n= k+ l.

Наприклад,

у геометричній прогресії

1) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = b 5 · b 7 ;

2) 1024 = b 11 = b 6 · q 5 = 32 · 2 5 = 1024;

3) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = b 4 · b 8 ;

4) b 2 · b 7 = b 4 · b 5 , так як

b 2 · b 7 = 2 · 64 = 128,

b 4 · b 5 = 8 · 16 = 128. ◄

S n= b 1 + b 2 + b 3 + . . . + b n

перших n членів геометричної прогресії зі знаменником q ≠ 0 обчислюється за такою формулою:

А при q = 1 - за формулою

S n= nb 1

Зауважимо, що якщо потрібно підсумувати члени

b k, b k +1 , . . . , b n,

то використовується формула:

Наприклад,

у геометричній прогресії 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

S 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;

64 + 128 + 256 + 512 = S 10 - S 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄

Якщо дана геометрична прогресія, то величини b 1 , b n, q, nі S n пов'язані двома формулами:

Тому, якщо значення якихось трьох із цих величин дано, то відповідні їм значення двох інших величин визначаються з цих формул, об'єднаних у систему двох рівнянь із двома невідомими.

Для геометричної прогресії з першим членом b 1 та знаменником q мають місце такі властивості монотонності :

• прогресія є зростаючою, якщо виконано одну з таких умов:

b 1 > 0 і q> 1;

b 1 < 0 і 0 < q< 1;

• прогресія є спадною, якщо виконано одну з наступних умов:

b 1 > 0 і 0 < q< 1;

b 1 < 0 і q> 1.

Якщо q< 0 , то геометрична прогресія є знакозмінною: її члени з непарними номерами мають той самий знак, що й перший член, а члени з парними номерами — протилежний йому знак. Зрозуміло, що знакозмінна геометрична прогресія не є монотонною.

Твір перших n членів геометричної прогресії можна розрахувати за такою формулою:

P n= b 1 · b 2 · b 3 · . . . · b n = (b 1 · b n) n / 2 .

Наприклад,

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;

3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄

Нескінченна спадна геометрична прогресія

Нескінченно спадаючою геометричною прогресією називають нескінченну геометричну прогресію, модуль знаменника якої менший 1 , тобто

|q| < 1 .

Зауважимо, що нескінченно спадна геометрична прогресія може не бути спадною послідовністю. Це відповідає нагоді

1 < q< 0 .

При такому знаменнику послідовність знакозмінна. Наприклад,

1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .

Сумою нескінченно спадної геометричної прогресії називають число, до якого необмежено наближається сума перших n членів прогресії при необмеженому зростанні числа n . Це число завжди звичайно і виражається формулою

Наприклад,

10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,

10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄

Зв'язок арифметичної та геометричної прогресій

Арифметична та геометрична прогресії тісно пов'язані між собою. Розглянемо лише два приклади.

a 1 , a 2 , a 3 , . . . d , то

b a 1 , b a 2 , b a 3 , . . . b d .

Наприклад,

1, 3, 5, . . . - арифметична прогресія з різницею 2 і

7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . - геометрична прогресія із знаменником 7 2 . ◄

b 1 , b 2 , b 3 , . . . - геометрична прогресія із знаменником q , то

log a b 1, log a b 2, log a b 3, . . . - арифметична прогресія з різницею log aq .

Наприклад,

2, 12, 72, . . . - геометрична прогресія із знаменником 6 і

lg 2, lg 12, lg 72, . . . - арифметична прогресія з різницею lg 6 . ◄

Вже у Стародавньому Єгиптізнали як арифметичну, а й геометричну прогресію. Ось, наприклад, завдання з папірусу Райнда: «У семи осіб по сім котів; кожна кішка з'їдає по сім мишей, кожна миша з'їдає по сім колосків, з кожного колосу може вирости по сім заходів ячменю. Які великі числа цього ряду та їх сума?»

Рис. 1. Давньоєгипетське завдання про геометричну прогресію

Це завдання багато разів з різними варіаціями повторювалося і в інших народів за інших часів. Наприклад, у написаній у XIII ст. «Книзі про абака» Леонардо Пизанського (Фібоначчі) є завдання, в якому фігурують 7 старих, що прямують до Риму (очевидно, паломниць), у кожної з яких 7 мулів, на кожному з яких по 7 мішків, у кожному з яких по 7 хлібів , у кожному з яких по 7 ножів, кожен з яких у 7 піхвах. У задачі питається, скільки всього предметів.

Сума перших n членів геометричної прогресії S n = b 1 (q n – 1) / (q – 1). Цю формулу можна довести, наприклад: S n = b 1 + b 1 q + b 1 q 2 + b 1 q 3 + ... + b 1 q n – 1 .

Додамо до S n число b 1 q n і отримаємо:

Звідси S n (q – 1) = b 1 (q n – 1) і ми отримуємо необхідну формулу.

Вже на одній із глиняних табличок Стародавнього Вавилону, Що відноситься до VI ст. до зв. е., міститься сума 1 + 2 + 2 2 + 2 3 + ... + 2 9 = 2 10 - 1. Правда, як і в інших випадках ми не знаємо, звідки цей факт був відомий вавилонянам.

Швидке зростання геометричної прогресії у низці культур, – зокрема, в індійській, – неодноразово використовують як наочний символ неоглядності світобудови. У відомій легендіпро появу шахів володар надає їх винахіднику можливість самому обрати нагороду, і той просить таку кількість пшеничних зерен, яку вийде, якщо одне покласти на першу клітинку шахівниці, Два - на другу, чотири - на третю, вісім - на четверту і т. д., щоразу число збільшується вдвічі. Владика думав, що мова йде, найбільше, про кілька мішок, але він прорахувався. Неважко бачити, що за всі 64 клітини шахівниці винахідник мав би отримати (2 64 – 1) зерно, що виражається 20-значним числом; навіть якщо засівати всю поверхню Землі, знадобилося б не менше 8 років, щоб зібрати необхідна кількістьзерен. Цю легенду іноді інтерпретують як вказівку на практично необмежені можливості, приховані у шаховій грі.

Те, що це число справді 20-значне, побачити неважко:

2 64 = 2 4 ∙ (2 10) 6 = 16 ∙ 1024 6 ≈ 16 ∙ 1000 6 = 1,6∙10 19 (точніший розрахунок дає 1,84∙10 19). А ось цікаво, чи зможете ви дізнатися, якою цифрою закінчується це число?

Геометрична прогресіябуває зростаючою, якщо знаменник по модулю більше 1, або спадаючою, якщо він менший за одиницю. У останньому випадкучисло q n за досить великих n може стати як завгодно малим. У той час як зростаюча геометрична прогресія зростає несподівано швидко, спадаюча так само швидко зменшується.

Чим більше n , тим слабше число q n відрізняється від нуля, і тим ближче сума n членів геометричної прогресії S n = b 1 (1 - q n ) / (1 - q ) до S = b 1 / (1 - q ) . (Так міркував, наприклад, Ф. Вієт). Число S називається сумою нескінченно спадної геометричної прогресії. Тим не менш, довгі століття питання про те, який сенс має підсумовування всієї геометричної прогресії, з її нескінченним числом членів, не був досить зрозумілий математикам.

Зменшуючу геометричну прогресію можна побачити, наприклад, в апоріях Зенона «Поділ навпіл» і «Ахіллес і черепаха». У першому випадку наочно показується, що вся дорога (припустимо, довжини 1) є сумою нескінченного числавідрізків 1/2, 1/4, 1/8 і т. д. Так воно, звичайно, і є з погляду уявлень про кінцеву суму нескінченної геометричної прогресії. І все-таки – як таке може бути?

В апорії про Ахіллеса ситуація трохи складніша, тому що тут знаменник прогресії дорівнює не 1/2, а якомусь іншому числу. Нехай, наприклад, Ахіллес біжить зі швидкістю v, черепаха рухається зі швидкістю u, а початкова відстань між ними дорівнює l. Ця відстань Ахіллес пробіжить за час l/v, черепаха за цей час зрушить на відстань lu/v. Коли Ахіллес пробіжить і цей відрізок, дистанція між ним і черепахою стане рівною l (u /v ) 2 і т. д. Виходить, що наздогнати черепаху - означає знайти суму нескінченно спадної геометричної прогресії з першим членом l і знаменником u /v . Ця сума - відрізок, який в результаті пробіжить Ахілес до місця зустрічі з черепахою - дорівнює l / (1 - u / v) = lv / (v - u). Але, знову-таки, як треба інтерпретувати цей результат і чому він взагалі має якийсь сенс, довгий часбуло не дуже зрозуміло.

Суму геометричної прогресії використовував Архімед щодо площі сегмента параболи. Нехай даний сегмент параболи відмежований хордою AB і нехай у точці D параболи дотична паралельна AB. Нехай C – середина AB, E – середина AC, F – середина CB. Проведемо прямі, паралельні DC через точки A , E , F , B ; нехай дотичну, проведену в точці D, ці прямі перетинають у точках K, L, M, N. Проведемо також відрізки AD і DB. Нехай пряма EL перетинає пряму AD у точці G, а параболу у точці H; пряма FM перетинає пряму DB у точці Q, а параболу у точці R. Згідно загальної теоріїконічних перерізів, DC – діаметр параболи (тобто відрізок, паралельний її осі); він і дотична у точці D можуть бути осями координат x і y , у яких рівняння параболи записується як y 2 = 2px (x – відстань від D до будь-якої точки даного діаметра, y - Довжина паралельного даної відрізка від цієї точки діаметра до деякої точки на самій параболі).

Через рівняння параболи, DL 2 = 2 ∙ p ∙ LH , DK 2 = 2 ∙ p ∙ KA , а оскільки DK = 2DL , то KA = 4LH . Оскільки KA = 2LG, LH = HG. Площа сегмента ADB параболи дорівнює площі трикутника ADB і площам сегментів AHD і DRB, разом узятих. У свою чергу, площа сегмента AHD аналогічним чином дорівнює площі трикутника AHD і сегментів AH і HD, що залишилися, з кожним з яких можна провести ту ж операцію - розбити на трикутник (Δ) і два залишилися сегмента (), і т. д.:

Площа трикутника ΔAHD дорівнює половині площі трикутника ΔALD (у них загальна основа AD , а висоти відрізняються в 2 рази), яка, у свою чергу, дорівнює половині площі трикутника ΔAKD , а отже, і половині площі трикутника ΔACD . Таким чином, площа трикутника AHD дорівнює чверті площі трикутника ACD . Аналогічно, площа трикутника ΔDRB дорівнює чверті площі трикутника ΔDFB. Отже, площі трикутників AHD і DRB, разом узяті, рівні чверті площі трикутника ADB. Повторення цієї операції у застосуванні до сегментів AH , HD , DR і RB виділить і з них трикутники, площа яких, разом узятих, буде в 4 рази менше, ніж площа трикутників AHD і DRB , разом узятих, а значить, в 16 разів менше, ніж площі трикутника ADB . І так далі:

Таким чином, Архімед довів, що «будь-який сегмент, укладений між прямою і параболою, становить чотири третини трикутника, що має з ним одну і ту ж основу і рівну висоту».

ЧИСЛОВІ НАСЛІДКИ VI

§ l48. Сума нескінченно спадної геометричної прогресії

Досі, говорячи про суми, ми завжди припускали, що кількість доданків у цих сумах звичайно (наприклад, 2, 15, 1000 і т. д.). Але при вирішенні деяких завдань (особливо вищої математики) доводиться стикатися і з сумами нескінченного числа доданків

S = a 1 + a 2 + ... + a n + ... . (1)

Що ж являють собою такі суми? За визначенням сумою нескінченного числа доданків a 1 , a 2 , ..., a n , ... називається межа суми S n перших п чисел, коли п -> ∞ :

S = S n = (a 1 + a 2 + ... + a n ). (2)

Межа (2), звісно, ​​може існувати, а може й не існувати. Відповідно до цього говорять, що сума (1) існує чи не існує.

Як з'ясувати, чи існує сума (1) у кожному конкретному випадку? Спільне рішенняце питання виходить далеко за межі нашої програми. Однак існує один важливий окремий випадок, який ми маємо зараз розглянути. Йтиметься про підсумовування членів нескінченно спадної геометричної прогресії.

Нехай a 1 , a 1 q , a 1 q 2 , ...- нескінченно спадна геометрична прогресія. Це означає, що | q |< 1. Сумма первых п членів цієї прогресії дорівнює

З основних теорем про межі змінних величин(див. § 136) отримуємо:

Але 1 = 1, a q n = 0. Тому

Отже, сума нескінченно спадної геометричної прогресії дорівнює першому члену цієї прогресті, поділеному на одиницю мінус знаменник цієї прогресії.

1) Сума геометричної прогресії 1, 1/3, 1/9, 1/27, ... дорівнює

а сума геометричної прогресії 12; -6; 3; - 3 / 2 , ... дорівнює

2) Просту періодичний дріб 0,454545... звернути у звичайну.

Для вирішення цього завдання представимо цей дрібу вигляді нескінченної суми:

Права частинацієї рівності є сумою нескінченно спадної геометричної прогресії, перший член якої дорівнює 45/100, а знаменник 1/100. Тому

Описаним способом може бути отримано та загальне правилообігу простих періодичних дробів у звичайні (див. гл. II, § 38):

Для обігу простого періодичного дробу у звичайний потрібно вчинити так: у чисельнику поставити період десяткового дробу, а знаменнику - число, що складається з дев'яток, взятих стільки разів, скільки знаків у періоді десяткового дробу.

3) Змішаний періодичний дріб 0,58333.... звернути у звичайний.

Представимо цей дріб у вигляді нескінченної суми:

У правій частині цієї рівності всі складові, починаючи з 3/1000, утворюють нескінченно спадаючу геометричну прогресію, перший член якої дорівнює 3/1000, а знаменник 1/10. Тому

Описаним способом може бути отримано і загальне правило обігу змішаних періодичних дробів у прості (див. гл. II, § 38). Ми свідомо не наводимо його тут. Запам'ятовувати це громіздке правило не потрібно. Набагато корисніше знати, що будь-який змішаний періодичний дріб можна представити у вигляді суми нескінченно спадної геометричної прогресії та деякого числа. А формулу

для суми нескінченно спадної геометричної прогресії потрібно, звичайно, пам'ятати.

Як вправу пропонуємо вам, крім наведених нижче завдань № 995-1000, ще раз звернутися до задачі № 301 § 38 .

Вправи

995. Що називається сумою нескінченно спадної геометричної прогресії?

996. Знайти суми нескінченно спадних геометричних прогресій:

997. При яких значеннях х прогресія

є нескінченно спадаючою? Знайти суму такої прогресії.

998. У рівносторонній трикутникзі стороною а вписаний за допомогою з'єднання середин його сторін новий трикутник; у цей трикутник тим самим способом вписаний новий трикутник і так далі до нескінченності.

а) суму периметрів усіх цих трикутників;

б) суму їх площ.

999. У квадрат зі стороною а вписаний шляхом з'єднання середин його сторін новий квадрат; у цей квадрат так само вписаний квадрат і так далі до нескінченності. Знайти суму периметрів усіх цих квадратів та суму їх площ.

1000. Скласти нескінченно спадаючу геометричну прогресію, таку, щоб сума її дорівнювала 25/4, а сума квадратів її членів дорівнювала 625/24.

Геометрична прогресія – це новий видчислової послідовності, з яким ми маємо познайомитися. Для успішного знайомства не завадить хоча б знати і розуміти. Тоді і з геометричною прогресією проблем не буде.)

Що таке геометрична прогресія? Концепція геометричної прогресії.

Починаємо екскурсію, як завжди, з елементарщини. Пишу незакінчену послідовність чисел:

1, 10, 100, 1000, 10000, …

Чи зможете вловити закономірність і сказати, які числа підуть далі? Ясен перець, далі підуть числа 100 000, 1 000 000 і так далі. Навіть без особливого розумового напруження все ясно, правда ж?)

Гаразд. Ще приклад. Пишу таку послідовність:

1, 2, 4, 8, 16, …

Можете сказати, які числа підуть далі, за числом 16 і назвати восьмийчлен послідовності? Якщо ви зрозуміли, що це буде число 128, то дуже добре. Значить, півсправи в розумінні сенсуі ключових моментівгеометричної прогресії вже зроблено. Можна рости далі.)

А тепер знову переходимо від відчуттів до суворої математики.

Ключові моменти геометричної прогресії.

Ключовий момент №1

Геометрична прогресія – це послідовність чисел.Як і прогрес. Нічого хитрого. Тільки влаштовано цю послідовність по іншому.Звідси, звісно, ​​й іншу назву носить, так…

Ключовий момент №2

З другим ключовим моментом питання хитрішим буде. Повернемося трохи назад і згадаємо ключову властивість арифметичної прогресії. Ось воно: кожен член відрізняється від попереднього на одну й ту саму величину.

А чи можна подібну ключову властивість сформулювати для геометричної прогресії? Подумайте трохи… Придивіться до наведених прикладів. Здогадалися? Так! У геометричній прогресії (будь-який!) кожен її член відрізняється від попереднього в те саме число разів.Завжди!

У першому прикладі це число – десяток. Який член послідовності не візьми, він більший за попередній удесятеро.

У другому прикладі це – двійка: кожен член більший за попередній в два рази.

Саме цим ключовим моментом геометрична прогресія і відрізняється від арифметичної. В арифметичній прогресії кожен наступний член виходить додаткомоднієї й тієї величини до попередньому члену. А тут - множеннямпопереднього члена на одну й ту саму величину. Ось і вся різниця.)

Ключовий момент №3

Цей ключовий момент є повністю ідентичним такому для арифметичної прогресії. А саме: кожен член геометричної прогресії стоїть своєму місці.Все точнісінько як і в арифметичній прогресії та коментарі, я думаю, зайві. Є перший член, є сто перший і т.д. Переставимо місцями хоча б два члени – закономірність (а разом із нею і геометрична прогресія) зникнуть. Залишиться просто послідовність чисел без жодної логіки.

От і все. Ось і весь сенс геометричної прогресії.

Терміни та позначення.

А ось тепер, розібравшись із змістом і ключовими моментамигеометричній прогресії можна і до теорії переходити. А інакше яка теорія без розуміння сенсу, правда?

Як позначати геометричну прогресію?

Як записується геометрична прогресія в загальному вигляді? Ніяких проблем! Кожен член прогресії також записується як букви. Тільки для арифметичної прогресії, як правило, використовується буква "а", для геометричної – буква "b". Номер члена, як завжди, вказується індекс праворуч внизу. Самі члени прогресії просто перераховуємо через кому або крапку з комою.

Ось так:

b 1 ,b 2 , b 3 , b 4 , b 5 , b 6 , …

Коротко таку прогресію записують так: (b n) .

Або ось так, для кінцевих прогресій:

b 1 , b 2 , b 3 , b 4 , b 5 , b 6 .

b 1 , b 2 , …, b 29 , b 30 .

Або в короткого запису:

(b n), n=30 .

Ось, власне, і всі позначення. Все те саме, тільки літера інша, так.) А тепер переходимо безпосередньо до визначення.

Визначення геометричної прогресії.

Геометрична прогресія – це числова послідовність, перший член якої відмінний від нуля, а кожен наступний член дорівнює попередньому члену, помноженому на те саме ненульове число.

Ось і все визначення. Більшість слів та фраз вам зрозумілі та добре знайомі. Якщо, звичайно, розумієте сенс геометричної прогресії "на пальцях" і загалом. Але є кілька нових фраз, на які я хотів би звернути особливу увагу.

По-перше, слова: "перший член якої відмінний від нуля".

Це обмеження на перший член запроваджено не випадково. Як ви вважаєте, що станеться, якщо перший член b 1 виявиться рівним нулю? Чому дорівнюватиме другий член, якщо кожен член більший за попередній в те саме число разів?Допустимо, втричі? Подивимося… Помножуємо перший член (тобто 0) на 3 і отримуємо… нуль! А третій член? Теж нуль! І четвертий член – теж нуль! І так далі…

Отримуємо просто мішок бубликів послідовність нулів:

0, 0, 0, 0, …

Звичайно, така послідовність має право на життя, але жодного практичного інтересу вона не становить. Все й так зрозуміло. Кожен її член - нуль. Сума будь-якої кількості членів - теж нуль ... Що з нею цікавого можна робити? Нічого…

Наступні ключові слова: "помноженому на те саме ненульове число".

Це саме число теж має свою спеціальну назву - знаменник геометричної прогресії. Починаємо знайомство.)

Знаменник геометричної прогресії.

Все простіше простого.

Знаменник геометричної прогресії – це ненульове число (або величина), що показує,у скільки разівкожен член прогресії більше за попередній.

Знову ж таки, за аналогією з арифметичною прогресією, ключовим словом, на яку слід звернути увагу у цьому визначенні, є слово "більше". Воно означає, що кожен член геометричної прогресії виходить множеннямна цей самий знаменник попереднього члена.

Пояснюю.

Для розрахунку, скажімо, другогочлена, треба взяти першийчлен та помножитийого на знаменник. Для розрахунку десятогочлена, треба взяти дев'ятийчлен та помножитийого на знаменник.

Сам знаменник геометричної прогресії може бути будь-яким. Абсолютно будь-яким! Цілим, дробовим, позитивним, негативним, ірраціональним – всяким. Окрім нуля. Про це і говорить нам слово "ненульове" у визначенні. Навіщо це слово тут потрібне – про це далі.

Знаменник геометричної прогресіїпозначається, найчастіше, літерою q.

Як знайти це саме q? Не питання! Треба взяти будь-який член прогресії та поділити на попередній член. Поділ – це дріб. Звідси і назва – "знаменник прогресії". Знаменник, він зазвичай у дробі сидить, так ...) Хоча, за логікою, величину qслід було б називати приватнимгеометричній прогресії, за аналогією з різницеюдля прогресії арифметичної. Але домовилися називати знаменником. І ми теж не винаходитимемо велосипед.)

Визначимо, наприклад, величину qдля такої геометричної прогресії:

2, 6, 18, 54, …

Все просто. Беремо будь-якечисло послідовності. Яке хочемо, таке й беремо. Крім найпершого. Наприклад, 18. І ділимо на попереднє число. Тобто на 6.

Отримуємо:

q = 18/6 = 3

От і все. Це вірна відповідь. Для цієї геометричної прогресії знаменник дорівнює трьом.

Знайдемо тепер знаменник qдля іншої геометричної прогресії. Наприклад, ось такий:

1, -2, 4, -8, 16, …

Все теж саме. Які б знаки не були у самих членів, все одно беремо будь-якечисло послідовності (наприклад, 16) і ділимо на попереднє число(Тобто -8).

Отримаємо:

d = 16/(-8) = -2

І всі справи.) На цей раз знаменник прогресії виявився негативним. Мінус два. Буває.)

Візьмемо тепер таку прогресію:

1, 1/3, 1/9, 1/27, …

І знову, незалежно від виду чисел, що стоять у послідовності (хоч цілі, хоч дробові, хоч негативні, хоч ірраціональні), беремо будь-яке число (наприклад, 1/9) і поділяємо на попереднє число (1/3). За правилами дій з дробами, звісно.

Отримаємо:

І все.) Тут знаменник виявився дрібним: q = 1/3.

А ось така "прогресія" як вам?

3, 3, 3, 3, 3, …

Очевидно, тут q = 1 . Формально це теж геометрична прогресія, тільки з однаковими членами.) Але такі прогресії для вивчення та практичного застосуванняне цікаві. Так само, як і прогресії із суцільними нулями. Тому ми їх розглядатимемо і не будемо.

Як ви бачите, знаменник прогресії може бути будь-яким – цілим, дробовим, позитивним, негативним – всяким! Не може бути лише нулем. Чи не здогадалися, чому?

Ну, давайте на якому-небудь конкретному прикладіподивимося, що буде, якщо взяти як знаменник qнулик.) Нехай у нас, припустимо, буде b 1 = 2 , а q = 0 . Чому тоді дорівнюватиме другий член?

Вважаємо:

b 2 = b 1 · q= 2 · 0 = 0

А третій член?

b 3 = b 2 · q= 0 · 0 = 0

Види та поведінка геометричних прогресій.

З усе було більш-менш ясно: якщо різниця прогресії dпозитивна, то прогресія зростає. Якщо ж різниця негативна, то прогресія зменшується. Усього два варіанти. Третього не дано.)

А ось з поведінкою геометричної прогресії все буде вже набагато цікавіше та різноманітніше!)

Як тільки себе тут члени не поводяться: і зростають, і спадають, і необмежено наближаються до нуля, і навіть змінюють знаки, поперемінно кидаючись то в плюс, то мінус! І у всьому цьому різноманітті треба вміти добре розумітися, так…

Розбираємось?) Починаємо з найпростішого випадку.

Знаменник позитивний ( q >0)

При позитивному знаменнику, по-перше, члени геометричної прогресії можуть йти в плюс нескінченність(тобто необмежено зростати) і можуть йти в мінус нескінченність(Тобто необмежено спадати). До такої поведінки прогресій ми вже звикли.

Наприклад:

(b n): 1, 2, 4, 8, 16, …

Тут все просто. Кожен член прогресії виходить більше попереднього. Причому кожен член виходить множеннямпопереднього члена на позитивнечисло +2 (тобто. q = 2 ). Поведінка такої прогресії очевидна: всі члени прогресії необмежено зростають, йдучи до космосу. У плюс нескінченність.

А тепер ось така прогресія:

(b n): -1, -2, -4, -8, -16, …

Тут також кожен член прогресії виходить множеннямпопереднього члена на позитивнечисло +2. А ось поведінка такої прогресії вже прямо протилежна: кожен член прогресії виходить менше попереднього, і всі її члени необмежено зменшуються, йдучи в мінус нескінченність.

А тепер подумаємо: що спільного у цих двох прогресій? Правильно, знаменнику! І там і там q = +2 . Додатне число.Двійка. А от поведінкацих двох прогресій – принципово різне! Чи не здогадалися, чому? Так! Вся справа в першому члені!Саме він, як-то кажуть, і замовляє музику.) Дивіться самі.

У першому випадку перший член прогресії позитивний(+1) і, отже, всі наступні члени, одержувані множенням на позитивнийзнаменник q = +2 , також будуть позитивними.

А ось у другому випадку перший член негативний(-1). Тому і всі наступні члени прогресії, які отримують множенням на позитивне q = +2 , також виходитимуть негативними.Бо "мінус" на "плюс" завжди дає "мінус", так.

Як ви бачите, на відміну від арифметичної прогресії, геометрична прогресія може поводитися зовсім по-різному не тільки залежно від знаменникаq, але ще й залежно від першого члена, так.)

Запам'ятовуємо: поведінка геометричної прогресії однозначно визначається її першим членом b 1 та знаменникомq .

А тепер починаємо розбір менш звичних, але набагато цікавіших випадків!

Візьмемо, наприклад, ось таку послідовність:

(b n): 1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, …

Ця послідовність – теж геометрична прогресія! Кожен член цієї прогресії теж виходить множеннямпопереднього члена, на те саме число. Тільки число це – дробове: q = +1/2 . Або +0,5 . До того ж (важливо!) число, менше одиниці:q = 1/2<1.

Чим цікава ця геометрична прогресія? Куди прагнуть її члени? Давайте подивимося:

1/2 = 0,5;

1/4 = 0,25;

1/8 = 0,125;

1/16 = 0,0625;

…….

Що цікавого тут можна побачити? По-перше, відразу впадає у вічі спадання членів прогресії: кожен її член меншепопереднього рівно в 2 рази.Або, відповідно до визначення геометричної прогресії, кожен член більшепопереднього в 1/2 рази, т.к. знаменник прогресії q = 1/2 . А від множення на додатне число, менше одиниці, результат зазвичай зменшується, так ...

Що щеможна помітити у поведінці цієї прогресії? Чи спадають її члени необмежено, йдучи в мінус нескінченність? Ні! Вони зменшуються по-особливому. Спочатку досить швидко зменшуються, а потім все повільніше і повільніше. Причому весь час залишаючись позитивними. Нехай і дуже маленькими. А чого вони самі при цьому прагнуть? Чи не здогадалися? Так! До нуля вони прагнуть!) Причому, зверніть увагу, самого нуля члени нашої прогресії ніколи не досягають!Лише нескінченно близько до нього наближаються. Це дуже важливо.)

Схожа ситуація буде й у такій прогресії:

(b n): -1, -1/2, -1/4, -1/8, -1/16, …

Тут b 1 = -1 , а q = 1/2 . Все те саме, тільки до нуля тепер члени наближатимуться вже з іншого боку, знизу. Весь час залишаючись негативними.)

Така геометрична прогресія, члени якої необмежено наближаються до нуля(Неважливо, з позитивного або з негативного боку), в математиці носить особливу назву - нескінченно спадна геометрична прогресія.Прогресія ця настільки цікава та незвичайна, що про неї навіть буде окремий урок .)

Отже, ми розглянули всі можливі позитивнізнаменники - і великі одиниці і менші одиниці. Саму одиницю як знаменник ми не розглядаємо з причин, викладених вище (згадайте приклад із послідовністю трійок…)

Підсумуємо:

позитивнийі більше одиниці (q>1), то члени прогресії:

a) необмежено зростають (якщоb 1 >0);

б) необмежено спадають (якщоb 1 <0).

Якщо знаменник геометричної прогресії позитивний і менше одиниці (0< q<1), то члены прогрессии:

а) нескінченно близько наближаються до нуля зверху(якщоb 1 >0);

б) нескінченно близько наближаються до нуля знизу(якщоb 1 <0).

Залишилося тепер розглянути випадок негативного знаменника.

Знаменник негативний ( q <0)

За прикладом далеко не ходитимемо. Чого, власне, кудлатити бабусю?!) Нехай, наприклад, перший член прогресії буде b 1 = 1 , а знаменник візьмемо q = -2.

Отримаємо таку послідовність:

(b n): 1, -2, 4, -8, 16, …

І так далі.) Кожен член прогресії виходить множеннямпопереднього члена на від'ємне число-2. При цьому всі члени, які стоять на непарних місцях (перший, третій, п'ятий тощо), будуть позитивними, а на парних місцях (другий, четвертий і т.д.) - негативними.Знаки строго чергуються. Плюс-мінус-плюс-мінус… Така геометрична прогресія так і називається – зростаючою знакочередною.

Куди прагнуть її члени? А нікуди.) Так, по абсолютній величині (тобто за модулем)члени нашої прогресії необмежено зростають (звідси і назва "зростаюча"). Але при цьому кожен член прогресії по черзі кидає то в жар, то в холод. То в "плюс", то в "мінус". Коливається наша прогресія ... Причому розмах коливань з кожним кроком стрімко зростає, так.) Отже, прагнення членів прогресії кудись конкретнотут ні.Ні до плюс нескінченності, ні до мінус нескінченності, ні до нуля – нікуди.

Розглянемо тепер якийсь дрібний знаменник між нулем і мінус одиничкою.

Наприклад, нехай буде b 1 = 1 , а q = -1/2.

Тоді отримаємо прогресію:

(b n): 1, -1/2, 1/4, -1/8, 1/16, …

І знову маємо чергування знаків! Але, на відміну від попереднього прикладу, тут вже простежується чітка тенденція наближення членів до нуля.) Тільки на цей раз наші члени наближаються до нуля не строго зверху чи знизу, а знову вагаючись. Поперемінно приймаючи то позитивні, негативні значення. Але при цьому їх модулістають все ближче і ближче до заповітного нулика.)

Така геометрична прогресія називається нескінченно спадаючою знак чергою.

Чим цікаві ці два приклади? А тим, що в обох випадках має місце чергування знаків!Така фішка характерна тільки для прогресій з негативним знаменником, так.) Отже, якщо в якомусь завданні ви побачите геометричну прогресію з членами, що знаходять черги, то вже твердо будете знати, що її знаменник на 100% негативний і не помилитеся в знаку.

До речі, у разі негативного знаменника знак першого члена не впливає на поведінку самої прогресії. З яким би знаком перший член прогресії не був, у будь-якому випадку спостерігатиметься знак чергування членів. Все питання лише в тому, на яких місцях(парні або непарні) стоятимуть члени з конкретними знаками.

Запам'ятовуємо:

Якщо знаменник геометричної прогресії негативний , то знаки членів прогресії завжди чергуються.

При цьому самі члени:

а) необмежено зростаютьза модулем, якщоq<-1;

б) нескінченно наближаються до нуля, якщо -1< q<0 (прогрессия бесконечно убывающая).

От і все. Усі типові випадки розібрані.)

У процесі розбору різних прикладів геометричних прогресій, я періодично вживав слова: "прагне до нуля", "прагне до плюс нескінченності", "прагне мінус нескінченності"… Нічого страшного.) Ці мовні звороти (і конкретні приклади) – лише початкове знайомство з поведінкоюнайрізноманітніших числових послідовностей. На прикладі геометричної прогресії.

Навіщо нам взагалі потрібно знати поведінку прогресії? Яка різниця, куди вона там прагне? Чи до нуля, до плюс нескінченності, до мінус нескінченності… Що нам від цього?

Справа все в тому, що вже у ВНЗ, в курсі вищої математики, вам знадобиться вміння працювати з різними числовими послідовностями (з будь-якими, а не тільки прогресіями!) і вміння уявляти, як саме поводиться та чи інша послідовність - чи зростає вона необмежено, чи зменшується, чи прагне конкретного числа (причому не обов'язково до нуля) або навіть взагалі ні до чого не прагне… Цій темі в курсі матаналізу присвячений цілий розділ – теорія меж.А трохи конкретніше – поняття межі числової послідовності.Дуже цікава тема! Має сенс вступити до інституту та розібратися.)

Деякі приклади цього розділу (послідовності, що мають межу) і зокрема, нескінченно спадна геометрична прогресіяпочинають освоюватися ще у школі. Звикаємо.)

Більше того, вміння добре дослідити поведінку послідовностей надалі здорово зіграє на руку і дуже знадобиться в Дослідженні функцій.Найрізноманітніших. А ось уміння грамотно працювати з функціями (обчислювати похідні, досліджувати їх за повною програмою, будувати їхні графіки) вже різко підвищує ваш математичний рівень! Сумніваєтесь? Не треба. Ще згадайте мої слова.)

Подивимося на геометричну прогресію у житті?

У навколишньому житті з геометричною прогресією ми стикаємося дуже і дуже часто. Навіть самі того не підозрюючи.)

Наприклад, різні мікроорганізми, які оточують нас усюди у величезних кількостях і яких ми навіть не бачимо без мікроскопа, розмножуються саме у геометричній прогресії.

Скажімо, одна бактерія розмножується розподілом навпіл, даючи потомство в 2 бактерії. У свою чергу, кожна з них, розмножуючись, теж ділиться навпіл, даючи спільне потомство у 4 бактерії. Наступне покоління дасть вже 8 бактерій, потім 16 бактерій, 32, 64 тощо. З кожним наступним поколінням кількість бактерій подвоюється. Типовий приклад геометричної прогресії.)

Також у геометричній прогресії розмножуються і деякі комахи – попелиця, мухи. І кролики іноді, до речі, теж.)

Інший приклад геометричної прогресії, вже ближче до повсякденного життя, – це так звані складні відсотки.Таке цікаве явище часто зустрічається у банківських вкладах та називається капіталізацією відсотків.Що це таке?

Самі ви поки що, звичайно, юні. У школі навчаєтесь, у банки не звертаєтесь. А от батьки ваші – люди вже дорослі та самостійні. На роботу ходять, грошики на хліб насущний заробляють, а частину грошей кладуть у банк, роблячи заощадження.

Скажімо, ваш тато хоче накопичити певну грошову суму на сімейний відпочинок у Туреччині і поклав у банк 50000 рублів під 10% річних терміном на три роки із щорічною капіталізацією відсотків.Причому, протягом усього цього терміну робити з вкладом нічого не можна. Не можна поповнювати внесок, ні знімати гроші з рахунку. Який прибуток він отримає за ці три роки?

Ну, по-перше, треба розібратися, що таке 10% річних. Це означає що через рікдо початкової суми вкладу банком буде нараховано 10%. Від чого? Звичайно ж, від первісної суми вкладу.

Вважаємо розмір рахунку через рік. Якщо початкова сума вкладу становила 50 000 рублів (тобто 100%), то через рік на рахунку буде скільки відсотків? Правильно, 110%! Від 50 000 рублів.

Ось і вважаємо 110% від 50000 рублів:

50000 · 1,1 = 55000 рублів.

Сподіваюся, ви знаєте, що знайти 110% від величини означає помножити цю величину на число 1,1? Якщо не розумієте, чому це саме так, згадуйте п'ятий та шостий класи. А саме – зв'язок відсотків з дробами та частинами.)

Таким чином, збільшення за перший рік складе 5000 рублів.

А скільки грошей буде на рахунку за два роки? 60 000 рублів? На жаль (а точніше, на щастя), все не так просто. Весь фокус капіталізації відсотків полягає в тому, що при кожному новому нарахуванні відсотків ці самі відсотки будуть вважатися вже від нової суми!Від тієї, що вжележить на рахунку в даний момент.А нараховані за попередній строк відсотки додаються до початкової суми вкладу і таким чином самі беруть участь у нарахуванні нових відсотків! Тобто вони стають повноправною частиною загального рахунку. Або спільного капіталу.Звідси і назва капіталізація відсотків.

Це в економіці. А в математиці такі відсотки називаються складними відсотками.Або відсотками від відсотків.) Їх фішка полягає в тому, що при послідовному обчисленні відсотки щоразу вважаються від нової величини.А не від початкової...

Отже, для підрахунку суми через два рокинам треба порахувати 110% від тієї суми, яка буде на рахунку через рік.Тобто вже від 55000 рублів.

Вважаємо 110% від 55000 рублів:

55000 · 1,1 = 60500 рублів.

Значить, відсоткова надбавка за другий рік складе вже 5500 рублів, а за два роки - 10500 рублів.

Тепер уже можна здогадатися, що через три роки сума на рахунку становитиме 110% від 60 500 рублів. Тобто знову 110% від попередньої (торішньої)суми.

Ось і вважаємо:

60500 · 1,1 = 66550 рублів.

А тепер вибудовуємо наші грошові суми за роками у послідовність:

50000;

55000 = 50000 · 1,1;

60500 = 55000 · 1,1 = (50000 · 1,1) · 1,1;

66550 = 60500 · 1,1 = ((50000 · 1,1) · 1,1) · 1,1

Ну і як? Чим не геометрична прогресія? Перший член b 1 = 50000 , а знаменник q = 1,1 . Кожен член більший за попередній строго в 1,1 рази. Все в суворій відповідності до визначення.)

І скільки ж додаткових процентних бонусів "накапає" вашому татові, поки його 50000 рублів три роки лежали на банківському рахунку?

Вважаємо:

66550 - 50000 = 16550 рублів

Негусто, звісно. Але якщо початкова сума вкладу – маленька. А якщо більше? Скажімо, не 50, а 200 тисяч карбованців? Тоді збільшення за три роки складе вже 66200 рублів (якщо порахувати). Що вже дуже непогано.) А якщо внесок ще більший? Ось те й воно…

Висновок: що вищий початковий внесок, то вигіднішим стає капіталізація відсотків. Саме тому вклади із капіталізацією відсотків надаються банками на тривалі терміни. Скажімо, п'ять років.

Також у геометричній прогресії люблять поширюватися всілякі погані хвороби типу грипу, кору і навіть страшніших захворювань (тієї ж атипової пневмонії на початку 2000-х або чуми в Середньовіччі). Звідси й такі масштаби епідемій, так…) А все через те, що геометрична прогресія з цілим позитивним знаменником (q>1) - Штука, що зростає дуже швидко! Згадайте розмноження бактерій: з однієї бактерії виходять дві, з двох – чотири, з чотирьох – вісім тощо… З поширенням будь-якої зарази все те саме.)

Найпростіші завдання щодо геометричної прогресії.

Почнемо, як завжди, з простого завдання. Чисто на розуміння сенсу.

1. Відомо, що другий член геометричної прогресії дорівнює 6 а знаменник дорівнює -0,5. Знайдіть перший, третій та четвертий її члени.

Отже, нам дано нескінченнагеометрична прогресія, а відомий другий членцієї прогресії:

b 2 = 6

Крім того, нам ще відомий знаменник прогресії:

q = -0,5

А знайти треба перший, третійі четвертийчлени цієї прогресії.

Ось і діємо. Записуємо послідовність за умовою завдання. Прямо у загальному вигляді, де другий член – шістка:

b 1 , 6,b 3 , b 4 , …

А тепер приступаємо до пошуків. Починаємо, як завжди, із найпростішого. Можна порахувати, наприклад, третій член b 3? Можна, можливо! Ми ж з вами вже знаємо (прямо за змістом геометричної прогресії), що третій член (b 3)більше за друге (b 2 ) в "q"разів!

Так і пишемо:

b 3 =b 2 · q

Підставляємо в цей вираз шістку замість b 2і -0,5 замість qі рахуємо. І мінус теж не ігноруємо, зрозуміло.

b 3 = 6 · (-0,5) = -3

Ось так. Третій член виявився з мінусом. Не дивно: наш знаменник q- Негативний. А плюс помножити на мінус, буде, звичайно, мінус.)

Вважаємо тепер наступний, четвертий член прогресії:

b 4 =b 3 · q

b 4 = -3 · (-0,5) = 1,5

Четвертий член – знову із плюсом. П'ятий член знову буде з мінусом, шостий - з плюсом і так далі. Знаки – чергуються!

Так, третій та четвертий члени знайшли. Вийшла така послідовність:

b 1; 6; -3; 1,5; …

Залишилось тепер знайти перший член b 1за відомим другим. Для цього крокуємо вже в інший бік, ліворуч. Це означає, що в цьому випадку другий член прогресії нам треба не помножити на знаменник, а поділити.

Ділимо і отримуємо:

Ось і все.) Відповідь до завдання буде такою:

-12; 6; -3; 1,5; …

Як ви бачите, принцип рішення той самий, що і в . Знаємо будь-якийчлен та знаменникгеометричній прогресії - можемо знайти і будь-який інший її член. Який хочемо, такий і знайдемо.) З тією лише різницею, що додавання/віднімання замінюється на множення/розподіл.

Запам'ятовуємо: якщо нам відомий хоча б один член і знаменник геометричної прогресії, то завжди можемо знайти будь-який інший член цієї прогресії.

Наступне завдання, за традицією, з реального варіанта ОДЕ:

2.

…; 150; х; 6; 1,2; …

Ну і як? На цей раз ні першого члена немає, ні знаменника q, Задана просто послідовність чисел ... Щось знайоме вже, правда? Так! Схоже завдання вже розбиралася в арифметичній прогресії!

От і не лякаємось. Все теж саме. Включаємо голову та згадуємо елементарний сенс геометричної прогресії. Дивимося уважно нашу послідовність і розуміємо, які параметри геометричної прогресії з трьох головних (перший член, знаменник, номер члена) у ній заховані.

Номери членів? Номерів членів немає, так… Але є чотири послідовнихчисла. Що означає це слово, пояснювати на цьому етапі сенсу не бачу.) Чи є в цій послідовності два сусідніх відомих чисел?Є! Це 6 та 1,2. Отже, ми можемо знайти знаменник прогресії.Ось і беремо число 1,2 і ділимо на попереднє число.На шістку.

Отримуємо:

Отримаємо:

x= 150 · 0,2 = 30

Відповідь: x = 30 .

Як бачите, все досить просто. Основна складність полягає лише у обчисленнях. Особливо буває у разі негативних і дробових знаменників. Тож ті, хто має проблеми, повторіть арифметику! Як працювати з дробами, як працювати з негативними числами і так далі… Інакше тут гальмуватимете нещадно.

А тепер трохи видозмінимо завдання. Нині цікаво стане! Приберемо у ній останнє число 1,2. Ось таке завдання тепер вирішимо:

3. Виписано кілька послідовних членів геометричної прогресії:

…; 150; х; 6; …

Знайдіть член прогресії, позначений літерою х.

Все те саме, тільки двох сусідніх відомихЧленів прогресії у нас тепер не стало. У цьому полягає основна проблема. Тому що величину qчерез два сусідні члени ми так просто визначити вже не зможемо.Чи є у нас шанс впоратися із завданням? Звісно!

Розпишемо невідомий член xпрямо за змістом геометричної прогресії! У загальному вигляді.

Так Так! Прямо з невідомим знаменником!

З одного боку, для ікса ми можемо записати ось таке співвідношення:

x= 150 ·q

З іншого боку, цей же ікс ми маємо повне право розписати і через наступнийчлен, через шістку! Поділивши шістку на знаменник.

Ось так:

x = 6/ q

Очевидно, тепер можна прирівняти обидва ці співвідношення. Якщо вже ми висловлюємо одну й ту самувеличину (ікс), але двома різними способами.

Отримаємо рівняння:

Помножуючи все на q, спрощуючи, скорочуючи, отримаємо рівняння:

q 2 = 1/25

Вирішуємо та отримуємо:

q = ±1/5 = ±0,2

Опаньки! Знаменник подвійний вийшов! +0,2 та -0,2. І який із них вибрати? Глухий кут?

Спокій! Так, завдання дійсно має два рішення!Нічого страшного у цьому немає. Буває.) Ви ж не дивуєтесь, коли, наприклад, отримуєте два корені, вирішуючи звичайне? Ось і тут та сама історія.)

Для q = +0,2ми отримаємо:

X = 150 · 0,2 = 30

А для q = -0,2 буде:

X = 150 · (-0,2) = -30

Отримуємо подвійну відповідь: x = 30; x = -30.

Що означає цей цікавий факт? А те, що існує дві прогресії, Що задовольняють умові завдання!

Ось такі:

…; 150; 30; 6; …

…; 150; -30; 6; …

Обидві – підходять.) Як ви вважаєте, через що в нас відбулося роздвоєння відповідей? Саме через ліквідацію конкретного члена прогресії (1,2), що йде після шістки. А знаючи лише попередній (n-1)-й та наступний (n+1)-й члени геометричної прогресії, ми вже нічого не можемо однозначно сказати про n-й член, що стоїть між ними. Можливі два варіанти – з плюсом та мінусом.

Але не біда. Як правило, у завданнях на геометричну прогресію є додаткова інформація, що дає однозначну відповідь. Скажімо, слова: "знакочергова прогресія"або "прогресія з позитивним знаменником"і так далі ... Саме ці слова і повинні служити зачіпкою, який знак плюс або мінус, слід вибрати при оформленні остаточної відповіді. Якщо ж такої інформації немає, тоді – так, завдання матиме два рішення.)

А тепер вирішуємо самостійно.

4. Визначте, чи буде число 20 членом геометричної прогресії:

4 ; 6; 9; …

5. Задано знакочередуючу геометричну прогресію:

…; 5; x ; 45; …

Знайдіть член прогресії, позначений буквою x .

6. Знайдіть четвертий позитивний член геометричної прогресії:

625; -250; 100; …

7. Другий член геометричної прогресії дорівнює -360, а п'ятий її член дорівнює 23,04. Знайдіть перший член цієї прогресії.

Відповіді (безладно): -15; 900; ні; 2,56.

Вітаю, якщо все вийшло!

Щось не стикується? Десь відповідь подвійна вийшла? Читаємо уважну умову завдання!

Останнє завдання не виходить? Там нічого складного.) Працюємо прямо за змістом геометричної прогресії. Та й картинку можна намалювати. Це допомагає.)

Як ви бачите, все просто. Якщо прогресія – коротенька. А якщо довга? Чи номер потрібного члена дуже великий? Хотілося б, за аналогією з арифметичною прогресією, отримати зручну формулу, що дозволяє легко знаходити будь-якийчлен будь-якої геометричної прогресії за його номером.Не помножуючи багато разів на q. І така формула є!) Подробиці – у наступному уроці.

Урок та презентація на тему: "Числові послідовності. Геометрична прогресія"

Додаткові матеріали
Шановні користувачі, не забувайте залишати свої коментарі, відгуки, побажання! Усі матеріали перевірені антивірусною програмою.

Навчальні посібники та тренажери в інтернет-магазині "Інтеграл" для 9 класу
Ступені та коріння Функції та графіки

Діти, сьогодні ми познайомимося з ще одним видом прогресії.
Тема сьогоднішнього заняття – геометрична прогресія.

Геометрична прогресія

приклад. 1,2,4,8,16… Геометрична прогресія, яка має перший член дорівнює одиниці, а $q=2$.

приклад. 8,8,8,8 ... Геометрична прогресія, у якої перший член дорівнює восьми,
а $ q = 1 $.

приклад. 3,-3,3,-3,3… Геометрична прогресія, у якої перший член дорівнює трьом,
а $ q = -1 $.

Геометрична прогресія має властивості монотонності.
Якщо $b_(1)>0$, $q>1$,
то послідовність зростаюча.
Якщо $b_(1)>0$, $0 Послідовність прийнято позначати як $b_(1), b_(2), b_(3), ..., b_(n), ...$.

Так само як і в арифметичній прогресії, якщо в геометричній прогресії кількість елементів звичайно, то прогресія називається кінцевою геометричною прогресією.

$b_(1), b_(2), b_(3), ..., b_(n-2), b_(n-1), b_(n)$.
Зазначимо, якщо послідовність є геометричною прогресією, то й послідовність квадратів членів також є геометричною прогресією. У другий послідовність перший член дорівнює $b_(1)^2$, а знаменник дорівнює $q^2$.

Формула n-ого члена геометричної прогресії

Повернемося до наших прикладів.

приклад. 1,2,4,8,16 ... Геометрична прогресія, у якої перший член дорівнює одиниці,
а $ q = 2 $.
$b_(n)=1*2^(n)=2^(n-1)$.

приклад. 16,8,4,2,1,1/2… Геометрична прогресія, яка має перший член дорівнює шістнадцяти, а $q=\frac(1)(2)$.
$b_(n)=16*(\frac(1)(2))^(n-1)$.

приклад. 8,8,8,8… Геометрична прогресія, яка має перший член дорівнює восьми, а $q=1$.
$b_(n)=8*1^(n-1)=8$.

приклад. 3,-3,3,-3,3 ... Геометрична прогресія, у якої перший член дорівнює трьом, а $ q = -1 $.
$b_(n)=3*(-1)^(n-1)$.

приклад. Дано геометричну прогресію $b_(1), b_(2), …, b_(n), … $.
а) Відомо, що $ b_ (1) = 6, q = 3 $. Знайти $b_(5)$.
б) Відомо, що $b_(1)=6, q=2, b_(n)=768$. Знайти n.
в) Відомо, що $q=-2, b_(6)=96$. Знайти $b_(1)$.
г) Відомо, що $b_(1)=-2, b_(12)=4096$. Знайти q.

Рішення.
а) $b_(5)=b_(1)*q^4=6*3^4=486$.
б) $b_n=b_1*q^(n-1)=6*2^(n-1)=768$.
$2^(n-1)=\frac(768)(6)=128$,оскільки $2^7=128 => n-1=7; n = 8 $.
в) $b_(6)=b_(1)*q^5=b_(1)*(-2)^5=-32*b_(1)=96 => b_(1)=-3$.
р) $b_(12)=b_(1)*q^(11)=-2*q^(11)=4096 => q^(11)=-2048 => q=-2$.

приклад. Різниця між сьомим і п'ятим членами геометричної прогресії дорівнює 192, сума п'ятого та шостого члена прогресії дорівнює 192. Знайти десятий член цієї прогресії.

Рішення.
Нам відомо, що $b_(7)-b_(5)=192$ і $b_(5)+b_(6)=192$.
Ми також знаємо: $b_(5)=b_(1)*q^4$; $b_(6)=b_(1)*q^5$; $b_(7)=b_(1)*q^6$.
Тоді:
$b_(1)*q^6-b_(1)*q^4=192$.
$b_(1)*q^4+b_(1)*q^5=192$.
Отримали систему рівнянь:
$\begin(cases)b_(1)*q^4(q^2-1)=192\b_(1)*q^4(1+q)=192\end(cases)$.
Прирівнявши, наші рівняння отримаємо:
$b_(1)*q^4(q^2-1)=b_(1)*q^4(1+q)$.
$q^2-1=q+1$.
$q^2-q-2=0$.
Отримали два рішення q: $q_(1)=2, q_(2)=-1$.
Послідовно підставимо на друге рівняння:
$b_(1)*2^4*3=192 => b_(1)=4$.
$b_(1)*(-1)^4*0=192 =>$ немає рішень.
Отримали що $b_(1)=4, q=2$.
Знайдемо десятий член: $b_(10)=b_(1)*q^9=4*2^9=2048$.

Сума кінцевої геометричної прогресії

Нехай дано кінцеву геометричну прогресію: $b_(1),b_(2),…,b_(n-1),b_(n)$.
Введемо позначення суми її членів: $S_(n)=b_(1)+b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n)$.
Якщо $q=1$. Усі члени геометричної прогресії дорівнюють першому члену, тоді очевидно, що $S_(n)=n*b_(1)$.
Розглянемо тепер випадок $q≠1$.
Помножимо зазначену вище суму на q.
$S_(n)*q=(b_(1)+b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))*q=b_(1)*q+b_(2)*q+⋯ +b_(n-1)*q+b_(n)*q=b_(2)+b_(3)+⋯+b_(n)+b_(n)*q$.
Зауважимо:
$S_(n)=b_(1)+(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))$.
$S_(n)*q=(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))+b_(n)*q$.

$S_(n)*q-S_(n)=(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))+b_(n)*q-b_(1)-(b_(2) )+⋯+b_(n-1)+b_(n))=b_(n)*q-b_(1)$.

$S_(n)(q-1)=b_(n)*q-b_(1)$.

$S_(n)=\frac(b_(n)*q-b_(1))(q-1)=\frac(b_(1)*q^(n-1)*q-b_(1)) (q-1)=\frac(b_(1)(q^(n)-1))(q-1)$.

$S_(n)=\frac(b_(1)(q^(n)-1))(q-1)$.

Ми отримали формулу суми кінцевої геометричної прогресії.

Рішення.
$S_(7)=\frac(4*(3^(7)-1))(3-1)=2*(3^(7)-1)=4372$.

приклад.
Знайти п'ятий член геометричної прогресії, яку відомо: $b_(1)=-3$; $ b_ (n) = -3072 $; $ S_ (n) = -4095 $.

Рішення.
$b_(n)=(-3)*q^(n-1)=-3072$.
$ q ^ (n-1) = 1024 $.
$q^(n)=1024q$.

$S_(n)=\frac(-3*(q^(n)-1))(q-1)=-4095$.
$-4095(q-1)=-3*(q^(n)-1)$.
$-4095 (q-1) = -3 * (1024q-1) $.
$1365q-1365=1024q-1$.
$ 341q = 1364 $.
$ q = 4 $.
$b_5=b_1*q^4=-3*4^4=-3*256=-768$.

Характеристична властивість геометричної прогресії

Числова послідовність є геометричною прогресією, коли квадрат кожного її члена дорівнює добутку двох сусідніх із нею членів прогресії. Не забуваймо, що для кінцевої прогресії ця умова не виконується для першого та останнього члена.

Модуль будь-якого члена геометричної прогресії дорівнює середньому геометричному двох сусідніх із ним членів.

Рішення.
Скористаємося характеристичною властивістю:
$(2x+2)^2=(x+2)(3x+3)$.
$4x^2+8x+4=3x^2+3x+6x+6$.
$x^2-x-2=0$.
$x_(1)=2$ і $x_(2)=-1$.
Підставимо послідовно у вихідні вирази, наші рішення:
При $x=2$, отримали послідовність: 4;6;9 – геометрична прогресія, яка $q=1,5$.
При $х=-1$ отримали послідовність: 1;0;0.
Відповідь: $х=2.$

Завдання для самостійного вирішення