Предмети із суміжними кутами. Які кути називаються суміжними? Чому дорівнює сума двох суміжних кутів? Дано співвідношення основного та суміжного кута

Як знайти суміжний кут?

Математика – найдавніша точна наука, яку в обов'язковому порядкувивчають у школах, коледжах, інститутах та університетах. Однак, базові знаннязавжди закладаються ще у школі. Часом, дитині задають достатньо складні завдання, А батьки не в змозі допомогти, тому що просто забули деякі речі з математики. Наприклад, як знайти суміжний кут за величиною основного кута і т.п. Завдання просте, але може викликати труднощі при вирішенні через незнання того, які кути називаються суміжними і як їх знайти.

Розглянемо докладніше визначення та властивості суміжних кутів, а також як їх обчислити за даними задачі.

Визначення та властивості суміжних кутів

Два промені, що виходять з однієї точки, утворюють фігуру під назвою « плоский кут». У цьому ця точка називається вершиною кута, а промені є його сторонами. Якщо продовжити одне з променів далі початкової точкищодо прямої, то утворюється ще один кут, який і називається суміжним. У кожного кута в цьому випадку є два суміжні кути, оскільки сторони кута рівнозначні. Тобто завжди є ще суміжний кут в 180 градусів.

До основних властивостей суміжних кутів відносять

• Сумежні кути мають загальну вершинута один бік;
• Сума суміжних кутів завжди дорівнює 180 градусам або числу Пі, якщо обчислення ведеться в радіанах;
• Синуси суміжних кутів завжди рівні;
• Косинуси та тангенси суміжних кутів рівні, але мають протилежні знаки.

Як знайти суміжні кути

Зазвичай даються три варіації завдань на знаходження величини суміжних кутів

• Дана величина основного кута;
• Дано співвідношення основного та суміжного кута;
• Дана величина вертикального кута.

Кожен варіант завдання має своє рішення. Розглянемо їх.

Дана величина основного кута

Якщо завдання зазначено величина основного кута, то знайти суміжний кут дуже просто. Для цього достатньо від 180 градусів відняти величину основного кута, і ви отримаєте величину суміжного кута. Це рішеннявиходить із властивості суміжного кута - сума суміжних кутів дорівнює завжди 180 градусів.

Якщо ж величина основного кута дана в радіанах і задачі потрібно знайти суміжний кут в радіанах, необхідно відняти з числа Пі величину основного кута, так як величина повного розгорнутого кута в 180 градусів дорівнює числу Пі.

Дано співвідношення основного та суміжного кута

У задачі може бути дано співвідношення основного та суміжного кута замість градусів та радіан величини основного кута. У цьому випадку рішення буде виглядати як рівняння пропорції:

1. Позначаємо частку пропорції основного кута як змінну «Y».
2. Частку, що відноситься до суміжного кута, позначаємо як змінну «Х».
3. Кількість градусів, які припадають на кожну пропорцію, позначимо, наприклад, a.
4. Загальна формулабуде виглядати так - a * X + a * Y = 180 або a * (X + Y) = 180.
5. Знаходимо загальний множник рівняння a за формулою a = 180 / (X + Y).
6. Потім отримане значення спільного множника«а» множимо частку кута, який необхідно визначити.

Таким чином, ми можемо знайти величину суміжного кута в градусах. Однак, якщо необхідно знайти величину в радіанах, потрібно просто перевести градуси в радіани. Для цього множимо кут у градусах на число Пі і ділимо все на 180 градусів. Отримане значення буде у радіанах.

Дана величина вертикального кута

Якщо задачі не дана величина основного кута, але дана величина вертикального кута, то обчислити суміжний кут можна за такою ж формулою, що і в першому пункті, де дана величина основного кута.

Вертикальний кут - це кут, який виходить з тієї ж точки, що і основний, але при цьому він спрямований у протилежному напрямку. Тим самим виходить дзеркальне відображення. Це означає, що вертикальний кут за величиною дорівнює основному. У свою чергу суміжний кут вертикального кута дорівнює суміжному куту основного кута. Завдяки цьому можна визначити суміжний кут основного кута. Для цього просто віднімаємо зі 180 градусів величину вертикального і отримуємо значення суміжного кута основного кута в градусах.

Якщо ж величина дана в радіанах, необхідно відняти від числа Пі величину вертикального кута, оскільки величина повного розгорнутого кута в 180 градусів дорівнює числу Пі.

Також ви можете прочитати наші корисні статті та .

З цього є. Якщо два кути одночасно є і суміжними, і рівними, вони прямі. Якщо один із суміжних кутів є прямим, тобто становить 90 градусів, то інший кут теж прямий. Якщо один із суміжних кутів гострий, то інший буде тупим. Аналогічно, якщо один із кутів тупий, то другий, відповідно, буде гострим.

Гострий кут– це такий, градусний захід якого менший за 90 градусів, але більший за 0. Тупий кутмає градусний захід більше 90 градусів, але менше 180 градусів.

Інша властивість суміжних кутів формулюється так: якщо два кути рівні, то кути, суміжні з ними також рівні. Це те, що якщо є два кути, градусна міра для яких збігається (наприклад, вона становить 50 градусів) і при цьому має суміжний кут, то значення цих суміжних кутів теж збігаються (у прикладі їх градусна міра дорівнюватиме 130 градусам).

Джерела:

• Великий Енциклопедичний Словник.
• кут 180 градусів

Слово « » має різні тлумачення. У геометрії кут – це частина площини, обмежена двома променями, що виходять із однієї точки – вершини. Коли мова йдепро прямі, гострі, розгорнуті кути, то маються на увазі саме геометричні кути.

Як і будь-які фігури у геометрії, кути можна порівнювати. Рівність кутів визначається за допомогою руху. Кут легко розділити на дві рівні частини. Розділити на три частини трохи складніше, але все ж таки це можна зробити за допомогою лінійки та циркуля. До речі, це завдання здавалося досить важким. Описати, що один кут більший або менший за інший, геометрично нескладно.

Як одиниця виміру кутів прийнятий – 1/180

Кути, у яких одна сторона загальна, а інші сторони лежать на одній прямій (на рис. Кути 1 і 2 суміжні). Рис. до ст. Суміжні кути. Велика Радянська Енциклопедія

СМІЖНІ КУТИ- кути, що мають загальну вершину та одну спільну сторону, а дві ін. їх сторони лежать на одній прямій... Велика політехнічна енциклопедія

Див Кут … Великий Енциклопедичний словник

СМІЖНІ КУТИ, два кути, сума яких дорівнює 180°. Кожен із цих кутів доповнює інший до розгорнутого кута. Науково-технічний енциклопедичний словник

Див. Кут. * * * ЗМІЖНІ КУТИ ЗМІЖНІ КУТИ, див. Кут (див. КУТ) … Енциклопедичний словник

- (Angles adjacents) такі, що мають спільну вершину та спільну сторону. Переважно під цим ім'ям маються на увазі такі С. кути, яких інші дві сторони лежать по протилежним напрямкамоднієї прямої, проведеної через вершину … Енциклопедичний словник Ф.А. Брокгауза та І.А. Єфрона

Див Кут … Природознавство. Енциклопедичний словник

Дві прямі перетинаються, утворюючи пару вертикальних кутів. Одна пара складається з кутів A і B, інша з C і D. У геометрії два кути називаються вертикальними, якщо вони створені перетином двох … Вікіпедія

Пара комплементарних кутів, що доповнюють один одного до 90 градусів Комплементарні кути це пара кутів, які доповнюють один одного до 90 градусів. Якщо два комплементарні кути є сусідніми (тобто мають спільну вершину і поділяються тільки…)

Пара додаткових кутів, що доповнюють один одного до 90 градусів Додаткові кути це пара кутів, які доповнюють один одного до 90 градусів. Якщо два додаткових кутає з … Вікіпедія

Книги

• Про доказ у геометрії, Фетісов А.І.. Ця книга буде виготовлена ​​відповідно до Вашого замовлення за технологією Print-on-Demand. Одного разу, на самому початку навчального рокумені довелося почути розмову двох дівчаток. Найстарша з них…
• Комплексний зошит для контролю знань. Геометрія. 7 клас. ФГОС, Бабенко Світлана Павлівна, Маркова Ірина Сергіївна. У посібнику представлені контрольно-вимірювальні матеріали (КІМи) з геометрії для проведення поточного, тематичного та підсумкового контролюякості знань учнів 7 класу. Зміст допомоги…

Два кути називаються суміжними, якщо в них одна сторона загальна, інші сторони цих кутів є додатковими променями. На малюнку 20 кути АОВ та ВОС суміжні.

Сума суміжних кутів дорівнює 180 °

Теорема 1. Сума суміжних кутів дорівнює 180 °.

Доведення. Промінь ОВ (див. рис.1) проходить між сторонами розгорнутого кута. Тому ∠ АОВ + ∠ ВОС = 180 °.

З теореми 1 випливає, що якщо два кути дорівнюють, то суміжні з ними кути рівні.

Вертикальні кутирівні

Два кути називаються вертикальними, якщо сторони одного кута є додатковими променями сторін іншого. Кути АОВ та COD, BOD та АОС, утворені при перетині двох прямих, є вертикальними (рис. 2).

Теорема 2. Вертикальні кути рівні.

Доведення. Розглянемо вертикальні кути АОВ та COD (див. рис. 2). Кут BOD є суміжним для кожного з кутів АОВ та COD. По теоремі 1 ∠ АОВ + ∠ BOD = 180 °, ∠ COD + ∠ BOD = 180 °.

Звідси укладаємо, що АОВ = ∠ COD.

Наслідок 1. Кут, суміжний із прямим кутом, є прямий кут.

Розглянемо дві прямі АС, що перетинаються, і BD (рис.3). Вони утворюють чотири кути. Якщо один із них прямий (кут 1 на рис.3), то інші кути також прямі (кути 1 і 2, 1 і 4 - суміжні, кути 1 і 3 - вертикальні). І тут кажуть, що це прямі перетинаються під прямим кутом і називаються перпендикулярними (чи взаємно перпендикулярними). Перпендикулярність прямих АС та BD позначається так: AC ⊥ BD.

Серединним перпендикуляром до відрізка називається пряма, перпендикулярна до цього відрізка і проходить крізь його середину.

АН - перпендикуляр до прямої

Розглянемо пряму а і точку А, яка не лежить на ній (рис.4). З'єднаємо точку А відрізком із точкою Н прямою а. Відрізок АН називається перпендикуляром, проведеним з точки А до прямої а якщо прямі АН і а перпендикулярні. Точка Н називається основою перпендикуляра.

Креслярський косинець

Справедлива наступна теорема.

Теорема 3. З будь-якої точки, що не лежить на прямій, можна провести перпендикуляр до цієї прямої, і до того ж лише один.

Для проведення на кресленні перпендикуляра з точки прямої використовують креслярський косинець (рис.5).

Зауваження. Формулювання теореми зазвичай складається із двох частин. В одній частині йдеться про те, що дано. Ця частина називається умовою теореми. В іншій частині йдеться про те, що має бути доведено. Ця частина називається укладанням теореми. Наприклад, умова теореми 2 – кути вертикальні; висновок – ці кути рівні.

Будь-яку теорему можна докладно висловити словами отже її умова буде починатися словом «якщо», а висновок - словом «то». Наприклад, теорему 2 можна докладно висловити так: «Якщо два кути вертикальні, то вони рівні».

приклад 1.Один із суміжних кутів дорівнює 44°. Чому дорівнює інший?

Рішення. Позначимо градусну міру іншого кута через x тоді відповідно до теореми 1.
44 ° + х = 180 °.
Вирішуючи отримане рівняння, знаходимо, що х = 136 °. Отже, інший кут дорівнює 136 °.

приклад 2.Нехай малюнку 21 кут COD дорівнює 45°. Чому рівні кути АОВ та АОС?

Рішення. Кути COD та АОВ вертикальні, отже, за теоремою 1.2 вони рівні, тобто ∠ АОВ = 45°. Кут АОС суміжний з кутом COD, отже, теорема 1.
∠ АОС = 180 ° - ∠ COD = 180 ° - 45 ° = 135 °.

приклад 3.Знайти суміжні кути, якщо один з них у 3 рази більший за інший.

Рішення. Позначимо градусну міру меншого кута через х. Тоді градусний захід більшого кутабуде Зх. Оскільки сума суміжних кутів дорівнює 180° (теорема 1), то х + Зх = 180°, звідки х = 45°.
Значить, суміжні кути дорівнюють 45 ° і 135 °.

приклад 4.Сума двох вертикальних кутів дорівнює 100 °. Знайти величину кожного із чотирьох кутів.

Рішення. Нехай умові завдання відповідає малюнок 2. Вертикальні кути COD до АОВ рівні (теорема 2), отже, рівні та їх градусні заходи. Тому ∠ COD = ∠ АОВ = 50° (їх сума за умовою 100°). Кут BOD (також і кут АОС) суміжний з кутом COD, і, отже, теорема 1
∠ BOD = ∠ АОС = 180 ° - 50 ° = 130 °.