Основні кути правильної піраміди. Геометричні фігури

Вирішуючи завдання C2 методом координат, багато учнів стикаються з однією проблемою. Вони не можуть розрахувати координати точок, що входять до формули скалярного твору. Найбільші труднощівикликають піраміди. І якщо точки основи вважаються більш-менш нормально, то вершини – справжнє пекло.

Сьогодні ми займемося правильною чотирикутною пірамідою. Є ще трикутна піраміда (вона ж - тетраедр). Це більше складна конструкціятому їй буде присвячений окремий урок.

Для початку згадаємо визначення:

Правильна піраміда - це така піраміда, у якої:

1. В основі лежить правильний багатокутник: трикутник, квадрат і т.д.;
2. Висота, проведена до основи, проходить через його центр.

Зокрема, підставою чотирикутної пірамідиє квадрат. Прямо як у Хеопса, тільки трохи менше.

Нижче наведені розрахунки для піраміди, у якої всі ребра дорівнюють 1. Якщо у вашому завданні це не так, викладки не змінюються - просто числа будуть іншими.

Вершини чотирикутної піраміди

Отже, нехай дана правильна чотирикутна піраміда SABCD, де S – вершина, основа ABCD – квадрат. Усі ребра дорівнюють 1. Потрібно ввести систему координат і знайти координати всіх точок. Маємо:

Вводимо систему координат з початком у точці A:

1. Вісь OX спрямована паралельно ребру AB;
2. Ось OY - паралельно AD. Оскільки ABCD - квадрат, AB ⊥ AD;
3. Нарешті, вісь OZ направимо вгору, перпендикулярно площині ABCD.

Тепер рахуємо координати. Додаткова побудова: SH – висота, проведена до основи. Для зручності винесемо основу піраміди на окремий малюнок. Оскільки точки A, B, C і D лежать у площині OXY, їх координата z = 0. Маємо:

1. A = (0; 0; 0) - збігається з початком координат;
2. B = (1; 0; 0) - крок на 1 по осі OX від початку координат;
3. C = (1; 1; 0) - крок на 1 по осі OX і на 1 по осі OY;
4. D = (0; 1; 0) - крок тільки по осі OY.
5. H = (0,5; 0,5; 0) – центр квадрата, середина відрізка AC .

Залишилося знайти координати точки S. Зауважимо, що координати x і y точок S і H збігаються, оскільки вони лежать на прямій, паралельної осі OZ. Залишилося знайти координату z для точки S.

Розглянемо трикутники ASH і ABH:

1. AS = AB = 1 за умовою;
2. Кут AHS = AHB = 90°, оскільки SH – висота, а AH ⊥ HB як діагоналі квадрата;
3. Сторона AH – загальна.

Отже, прямокутні трикутники ASH та ABH рівніпо одному катету та гіпотенузі. Значить, SH = BH = 0,5 · BD. Але BD – діагональ квадрата зі стороною 1. Тому маємо:

Разом координати точки S:

На закінчення випишемо координати всіх вершин правильної прямокутної піраміди:

Що робити, коли ребра різні

А якщо бічні ребра піраміди не рівні ребрам основи? У цьому випадку розглянемо трикутник AHS:

Трикутник AHS - прямокутний, Причому гіпотенуза AS - це одночасно і бічне ребро вихідної піраміди SABCD. Катет AH легко вважається: AH = 0,5 · AC. катет SH, що залишився, знайдемо за теоремою Піфагора. Це буде координата z для точки S .

Завдання. Дано правильну чотирикутну піраміду SABCD , в основі якої лежить квадрат зі стороною 1. Бокове ребро BS = 3. Знайдіть координати точки S .

Координати x та y цієї точки ми вже знаємо: x = y = 0,5. Це випливає з двох фактів:

1. Проекція точки S на площину OXY - це точка H;
2. Одночасно точка H - центр квадрата ABCD, всі сторони якого 1.

Залишилося знайти координату точки S. Розглянемо трикутник AHS. Він прямокутний, причому гіпотенуза AS = BS = 3, катет AH – половина діагоналі. Для подальших обчислень нам знадобиться його довжина:

Теорема Піфагора для трикутника AHS: AH2 + SH2 = AS2. Маємо:

Отже, координати точки S :

З поняттям піраміда учні стикаються задовго до вивчення геометрії. Виною всьому знамениті великі єгипетські чудеса світу. Тому, починаючи вивчення цього чудового багатогранника, більшість учнів вже наочно уявляють її собі. Всі вищезгадані пам'ятки мають правильну форму. Що таке правильна піраміда, і які властивості вона має і піде мовадалі.

Вконтакте

Визначення

Визначень піраміди можна зустріти чимало. Починаючи ще з давніх часів, вона мала популярність.

Наприклад, Евклід визначав її як тілесну фігуру, що складається з площин, які, починаючи від однієї, сходяться у певній точці.

Герон подав більш точне формулювання. Він наполягав на тому, що це постать, яка має основу та площини в вигляді трикутників, що сходяться в одній точці.

Спираючись на сучасне тлумачення, піраміду представляють як просторовий багатогранник, що складається з певного k-кутника і k плоских фігур трикутної форми, що має одну загальну точку.

Розберемося докладніше, з яких елементів вона складається:

• k-кутник вважають основою фігури;
• фігури 3-кутової форми виступають гранями бічної частини;
• верхня частина, з якої беруть початок бічні елементи, називають вершиною;
• всі відрізки, що з'єднують вершину, називають ребрами;
• якщо з вершини на поверхню фігури опустити пряму під кутом на 90 градусів, то її частина, укладена в внутрішньому просторі- Висота піраміди;
• в будь-якому бічному елементі до нашого багатогранника можна провести перпендикуляр, званий апофемою.

Число ребер обчислюється за формулою 2*k де k – кількість сторін k-кутника. Скільки граней такого багатогранника, як піраміда, можна визначити за допомогою виразу k+1.

Важливо!Пірамідою правильної форминазивають стереометричну фігуру, площину основи якої є k-кутник з рівними сторонами.

Основні властивості

Правильна піраміда має безліччю властивостей, які властиві лише їй. Перерахуємо їх:

1. Основа – фігура правильної форми.
2. Ребра піраміди, що обмежують бічні елементи, мають рівні числові значення.
3. Бічні елементи рівнобедрені трикутники.
4. Основа висоти фігури потрапляє в центр багатокутника, при цьому він одночасно є центральною точкою, вписаною та описаною .
5. Усе бічні ребранахилені до площини основи під однаковим кутом.
6. Усі бічні поверхні мають однаковий кут нахилу по відношенню до основи.

Завдяки всім перерахованим властивостям виконання обчислень елементів набагато спрощується. Виходячи з наведених властивостей, звертаємо увагу на дві ознаки:

1. У тому випадку, коли багатокутник вписується в коло, бічні граніматимуть з основою рівні кути.
2. При описі кола біля багатокутника всі ребра піраміди, що виходять з вершини, будуть мати рівну довжинута рівні кути з основою.

В основі лежить квадрат

Правильна чотирикутна піраміда – багатогранник, у якого в основі лежить квадрат.

У неї чотири бічні грані, які за своїм виглядом є рівностегновими.

На площині квадрат зображають , але ґрунтуються на всіх властивостях правильного чотирикутника.

Наприклад, якщо потрібно зв'язати сторону квадрата з його діагоналлю, то застосовують таку формулу: діагональ дорівнює добутку сторони квадрата на квадратний корінь з двох.

В основі лежить правильний трикутник

Правильна трикутна піраміда – багатогранник, в основі якого лежить правильний трикутник.

Якщо основа є правильним трикутником, а бічні ребра рівні ребрам основи, то така фігура називається тетраедром.

Усі грані тетраедра є рівносторонніми 3-кутниками. У даному випадкунеобхідно знати деякі моменти та не витрачати на них час при обчисленнях:

• кут нахилу ребер до будь-якої основи дорівнює 60 градусів;
• величина всіх внутрішніх граней також становить 60 градусів;
• будь-яка грань може виступити основою;
• , проведені усередині фігури, це рівні елементи

Переріз багатогранника

У будь-якому багатограннику розрізняють кілька видів перерізуплощиною. Найчастіше в шкільному курсігеометрії працюють із двома:

• осьове;
• паралельне основі.

Осьовий переріз отримують при перетині площиною багатогранника, яка проходить через вершину, бічні ребра та вісь. У разі віссю є висота, проведена з вершини. Поверхня площина обмежується лініями перетину з усіма гранями, в результаті отримуємо трикутник.

Увага!У правильній піраміді осьовим перетином є рівнобедрений трикутник.

Якщо січна площина проходить паралельно до основи, то в результаті отримуємо другий варіант. У цьому випадку маємо в розрізі фігуру, подібну до основи.

Наприклад, якщо в основі лежить квадрат, то перетин паралельно основі також буде квадратом, тільки менших розмірів.

При вирішенні завдань за такої умови використовують ознаки та властивості подібності фігур, засновані на теоремі Фалеса. Насамперед необхідно визначити коефіцієнт подібності.

Якщо площина проведена паралельно основі, і вона відсікає верхню частинубагатогранника, то в нижній частині одержують правильну усічену піраміду. Тоді кажуть, що основи зрізаного багатогранника є подібними багатокутниками. У цьому випадку бічні грані є рівнобокими трапеціями. Осьовим перетином також є рівнобока.

Для того щоб визначити висоту зрізаного багатогранника, необхідно провести висоту в осьовому перерізі, тобто у трапеції.

Площі поверхонь

Основні геометричні завдання, які доводиться вирішувати у шкільному курсі геометрії, це знаходження площ поверхні та обсягу у піраміди.

Значення площі поверхні розрізняють двох видів:

• площі бічних елементів;
• площі всієї поверхні.

Із самої назви зрозуміло, про що йдеться. Бічна поверхня включає лише бічні елементи. З цього випливає, що для її знаходження необхідно просто скласти площі бічних площин, тобто площі рівнобедрених трикутників. Спробуємо вивести формулу площі бічних елементів:

1. Площа рівнобедреного трикутника дорівнює Sтр=1/2(aL), де а – сторона основи, L – апофема.
2. Кількість бічних площин залежить від виду k-го косинця в основі. Наприклад, правильна чотирикутна піраміда має чотири бічні поверхні. Отже, необхідно скласти площі чотирьохфігур Sбок=1/2(aL)+1/2(aL)+1/2(aL)+1/2(aL)=1/2*4а*L. Вираз спрощено у такий спосіб оскільки значення 4а=Росн, де Росн – периметр основи. А вираз 1/2*Росн є її напівпериметром.
3. Отже, робимо висновок, що площа бічних елементів правильної пірамідидорівнює добутку напівпериметра основи апофему: Sбок=Росн*L.

Площа повної поверхніпіраміди складається з суми площ бічних площин і основи: Sп.п. = Sбок + Sосн.

Що стосується площі основи, то тут формула використовується відповідно до виду багатокутника.

Об'єм правильної пірамідидорівнює добутку площі площини підстави на висоту, розділену на три: V = 1/3 * Sосн * Н, де Н - висота багатогранника.

Що таке правильна піраміди в геометрії

Властивості правильної чотирикутної піраміди

Чотирикутною пірамідоюназивається багатогранник, в основі якого лежить квадрат, а всі бічні грані є однаковими рівнобедреними трикутниками.

Цей багатогранник має безліч різних властивостей:

• Його бічні ребра та прилеглі до них двогранні кутирівні між собою;
• Площі бічних граней однакові;
• В основі правильної чотирикутної піраміди лежить квадрат;
• Висота, опущена з вершини піраміди, перетинається з точкою перетину діагоналей основи.

Всі ці властивості допомагають легко знаходити. Однак досить часто, крім неї, потрібно розрахувати обсяг багатогранника. Для цього застосовується формула об'єму чотирикутної піраміди:

Тобто обсяг піраміди дорівнює одній третій добутку висоти піраміди на площу основи. Оскільки дорівнює твору його рівних сторін, то ми відразу вписуємо у вираз обсягу формулу площі квадрата.
Розглянемо приклад розрахунку обсягу чотирикутної піраміди.

Нехай дана чотирикутна піраміда, в основі якої лежить квадрат зі стороною a = 6 см. Бічна грань піраміди дорівнює b = 8 см. Знайдіть об'єм піраміди.

Щоб знайти обсяг заданого багатогранника, нам знадобиться довжина його висоти. Тому ми знайдемо її, застосувавши теорему Піфагора. Спочатку розрахуємо довжину діагоналі. У синьому трикутнику вона буде гіпотенузою. Варто також пам'ятати, що діагоналі квадрата рівні між собою і в точці перетину діляться навпіл:


Тепер із червоного трикутника знайдемо необхідну нам висоту h . Вона дорівнюватиме:

Підставимо необхідні значення та знайдемо висоту піраміди:

Тепер, знаючи висоту, можемо підставляти всі значення формулу обсягу піраміди і розраховувати необхідну величину:

Ось таким чином, знаючи дещо простих формулМи змогли розрахувати обсяг правильної чотирикутної піраміди. Не забувайте, що дана величинавимірюється у кубічних одиницях.

Коли людина чує слово "піраміда", то одразу згадує величні єгипетські споруди. Проте древні кам'яні гіганти є лише одним із представників класу пірамід. У цій статті розглянемо з геометричної точкизору якості правильної чотирикутної піраміди.

Що таке піраміда у загальному випадку?

У геометрії під нею розуміють об'ємну фігуру, Отримати яку можна, якщо з'єднати всі вершини плоского багатокутника з однією єдиною точкою, що лежить в іншій площині, ніж цей багатокутник. Малюнок нижче показує 4 фігури, які задовольняють даному визначенню.

Ми бачимо, що перша фігура має трикутна основа, друга – чотирикутне. Дві останні представлені п'яти- та шестикутною основою. Однак бічна поверхнявсіх пірамід утворена трикутниками. Їх число точно дорівнює кількості сторін або вершин багатокутника на підставі.

Особливим типом пірамід, які від інших представниць класу відрізняються ідеальною симетрієює правильні піраміди. Щоб фігура була правильною, повинні виконуватися такі дві обов'язкові умови:

• у підставі має бути правильний багатокутник;
• бічна поверхня фігури має складатися з рівних рівнобедрених трикутників.

Зазначимо, що друге обов'язкова умоваможна замінити іншим: перпендикуляр, проведений до основи з вершини піраміди (точка перетину бічних трикутників), повинен перетинати цю основу в геометричному центрі.

Тепер перейдемо до статті і розглянемо, які властивості правильної чотирикутної піраміди характеризують її. Спочатку покажемо малюнку, як виглядає ця постать.

Її основа є квадратом. Бічні сторонипредставляють 4 однакових рівнобедрених трикутника (вони також можуть бути рівносторонніми при певному співвідношенні довжини сторони квадрата та висоти фігури). Опущена з вершини піраміди висота перетне квадрат у його центрі (точка перетину діагоналей).

Ця піраміда має 5 граней (квадрат і чотири трикутники), 5 вершин (чотири з них належать основі) та 8 ребер. четвертого порядку, що проходить через висоту піраміди, переводить її в себе шляхом повороту на 90 o .

Єгипетські пірамідиу Гізі є правильними чотирикутними.

Чотири основні лінійні параметри

Почнемо розгляд математичних властивостейправильної чотирикутної піраміди з формул висоти, довжини сторони основи, бічного ребра та апофеми. Відразу скажемо, що всі ці величини пов'язані один з одним, тому достатньо знати тільки дві з них, щоб однозначно обчислити дві, що залишилися.

Припустимо, що відома висота h піраміди і довжина сторони квадратної основи, тоді бічне ребро b буде дорівнює:

b = √(a 2 / 2 + h 2)

Тепер наведемо формулу для довжини a b апофеми (висота трикутника, опущена на бік основи):

a b = √(a 2 / 4 + h 2)

Очевидно, що бічне ребро b завжди більше апофеми a b.

Обидва вирази можна застосовувати визначення всіх чотирьох лінійних характеристик, якщо відомі інші два параметри, наприклад a b і h.

Площа та обсяг фігури

Це ще дві важливі властивості правильної чотирикутної піраміди. Основа фігури має таку площу:

Цю формулу знає кожен школяр. Площа бічної поверхні, яка утворена чотирма однаковими трикутникамиможна визначити через апофему a b піраміди так:

Якщо a b невідома, то можна її визначити за формулами з попереднього пункту через висоту h або ребро b.

Загальна площа поверхні фігури складається з площ S o і S b:

S = S o + S b = a 2 + 2 × a × a b = a (a + 2 × a b)

Розрахована площа всіх граней піраміди показана малюнку нижче як її розгортки.

Опис властивостей правильної чотирикутної піраміди не буде повним, якщо не розглянути формулу визначення її обсягу. Ця величина для аналізованої піраміди обчислюється так:

Тобто V дорівнює третій частині добутку висоти фігури на площу її основи.

Властивості правильної зрізаної чотирикутної піраміди

Отримати цю фігуру можна з вихідної піраміди. Для цього необхідно зрізати верхню частину піраміди площиною. Фігура, що залишилася під площиною зрізу, буде називатися пірамідою усіченою.

Найзручніше вивчати характеристики усіченої піраміди, якщо її підстави паралельні одна одній. В цьому випадку нижня та верхня основи будуть подібними багатокутниками. Оскільки в чотирикутній правильній піраміді основа - це квадрат, то утворений при зрізі перетин теж представлятиме квадрат, але вже меншого розміру.

Бічна поверхня усіченої фігури утворена не трикутниками, а рівнобедреними трапеціями.

Однією з важливих властивостей цієї піраміди є її обсяг, який розраховується за такою формулою:

V = 1/3 × h × (S o1 + S o2 + √ (S o1 × S o2))

Тут h - відстань між основами фігури, S o1 , S o2 - площі нижньої та верхньої основ.

Важливі зауваження!
1. Якщо замість формул ти бачиш абракадабру, почисти кеш. Як це зробити у твоєму браузері написано тут:
2. Перш ніж почнеш читати статтю, зверни увагу на наш навігатор по самих корисним ресурсудля

Що таке піраміда?

Як вона виглядає?

Бачиш: у піраміди внизу. в основі») якийсь багатокутник, і всі вершини цього багатокутника з'єднані з деякою точкою в просторі (ця точка називається « вершина»).

У всій цій конструкції ще є бічні грані, бічні ребраі ребра основи. Ще раз намалюємо піраміду разом із усіма цими назвами:

Деякі піраміди можуть виглядати дуже дивно, але все одно це – піраміди.

Ось, наприклад, зовсім «коса» піраміда.

І ще трохи про назви: якщо в основі піраміди лежить трикутник, то піраміда називається трикутною, якщо чотирикутник, то чотирикутною, а якщо стокутник, то... здогадайся сам.

При цьому крапка, куди опустилася висота, називається основою висоти. Зверніть увагу, що в «кривих» пірамідах висотаможе взагалі опинитися поза пірамідою. Ось так:

І нічого в цьому страшного нема. Схоже на тупокутний трикутник.

Правильна піраміда.

Багато складний слів? Давай розшифруємо: «У підставі – правильний» – це зрозуміло. А тепер пригадаємо, що у правильного багатокутника є центр - точка, що є центром і , і .

Ну ось, а слова «вершина проектується в центр основи» означають, що основа висоти потрапляє саме в центр основи. Дивись, як рівненько і симпатично виглядає правильна піраміда.

Шестикутна: в основі - правильний шестикутник, вершина проектується в центр основи.

Чотирикутна: в основі - квадрат, вершина проектується в точку перетину діагоналей цього квадрата.

Трикутна: в основі - правильний трикутник, вершина проектується в точку перетину висот (вони ж і медіани, і бісектриси) цього трикутника.

Дуже важливі властивостіправильної піраміди:

У правильній піраміді

• всі бічні ребра рівні.
• всі бічні грані – рівнобедрені трикутники і всі ці трикутники рівні.

Об'єм піраміди

Головна формула обсягу піраміди:

Звідки взялася саме? Це не так просто, і спочатку потрібно просто запам'ятати, що у піраміди і конуса у формулі об'єму є, а у циліндра - ні.

Тепер давай порахуємо обсяг найпопулярніших пірамід.

Нехай сторона основи дорівнює, а бічне ребро рівне. Потрібно знайти в.

Це площа правильного трикутника.

Згадаймо, як шукати цю площу. Використовуємо формулу площі:

У нас "" - це, а "" - це теж, а.

Тепер знайдемо.

За теоремою Піфагора для

Чому ж одно? Це радіус описаного кола в, тому що пірамідаправильнаі, отже, – центр.

Так як - точка перетину та медіан теж.

(теорема Піфагора для)

Підставимо у формулу для.

І підставимо все у формулу обсягу:

Увага:якщо у тебе правильний тетраедр(тобто), то формула виходить такою:

Нехай сторона основи дорівнює, а бічне ребро рівне.

Тут і шукати не треба; адже в основі - квадрат, і тому.

Знайдемо. За теоремою Піфагора для

Чи відомо нам? Ну майже. Дивись:

(Це ми побачили, розглянувши).

Підставляємо у формулу для:

А тепер і підставляємо у формулу обсягу.

Нехай сторона основи дорівнює, а бічне ребро.

Як знайти? Дивись, шестикутник складається з шести однакових правильних трикутників. Площу правильного трикутника ми вже шукали при підрахунку об'єму правильної трикутної пірамідитут використовуємо знайдену формулу.

Тепер знайдемо (це).

За теоремою Піфагора для

Але чому ж одно? Це просто, тому що (і всі інші теж) правильний.

Підставляємо:

\displaystyle V=\frac(\sqrt(3))(2)((a)^(2))\sqrt(((b)^(2))-((a)^(2)))

ПІРАМІДА. КОРОТКО ПРО ГОЛОВНЕ

Піраміда - це багатогранник, який складається з будь-якого плоского багатокутника (), точки, що не лежить у площині основи (вершина піраміди) і всіх відрізків, що з'єднують вершину піраміди з точками основи (бічні ребра).

Перпендикуляр, опущений із вершини піраміди на площину основи.

Правильна піраміда- піраміда, біля якої в основі лежить правильний багатокутник, а вершина піраміди проектується в центр основи.

Властивість правильної піраміди:

• У правильній піраміді всі бічні ребра рівні.
• Усі бічні грані – рівнобедрені трикутники і всі ці трикутники рівні.

Об'єм піраміди:

Ну ось, тема закінчена. Якщо ти читаєш ці рядки, значить ти дуже крутий.

Тому що лише 5% людей здатні освоїти щось самостійно. І якщо ти дочитав до кінця, то ти потрапив у ці 5%!

Тепер найголовніше.

Ти розібрався з теорією на цю тему. І, повторюся, це… це просто супер! Ти вже краще, ніж абсолютна більшість твоїх однолітків.

Проблема в тому, що цього не вистачить.

Для чого?

Для успішної здачі ЄДІ, для вступу до інституту на бюджет і, найголовніше, для життя.

Я не буду тебе ні в чому переконувати, просто скажу одну річ…

Люди, які отримали гарна освіта, заробляють набагато більше, ніж ті, хто не отримав. Це – статистика.

Але й це – не головне.

Головне те, що вони БІЛЬШЕ ЩАСЛИВІ (є такі дослідження). Можливо тому, що перед ними відкривається набагато більше можливостейі життя стає яскравішим? Не знаю...

Але, думай сам...

Що потрібно, щоб бути, напевно, кращим за інших на ЄДІ і бути зрештою… більш щасливим?

Набити руку, вирішуючи завдання за цією темою.

На іспиті в тебе не питатимуть теорію.

Тобі треба буде вирішувати завдання на якийсь час.

І, якщо ти не вирішував їх (Багато!), ти обов'язково десь безглуздо помилишся або просто не встигнеш.

Це як у спорті – потрібно багато разів повторити, щоби виграти напевно.

Знайди де хочеш збірку, обов'язково з рішеннями, докладним розбором і вирішуй, вирішуй, вирішуй!

Можна скористатися нашими завданнями (не обов'язково), і ми їх, звичайно, рекомендуємо.

Для того, щоб набити руку за допомогою наших завдань, потрібно допомогти продовжити життя підручнику YouClever, який ти зараз читаєш.

Як? Є два варіанта:

1. Відкрий доступ до всіх прихованих завдань у цій статті
2. Відкрий доступ до всіх прихованих завдань у всіх 99 статтях підручника. Купити підручник - 499 руб

Так, у нас у підручнику 99 таких статей та доступ для всіх завдань та всіх прихованих текстіву них можна відкрити одразу.

Доступ до всіх прихованих завдань надається на весь час існування сайту.

І на закінчення...

Якщо наші завдання тобі не подобаються, то знайди інші. Тільки не зупиняйся на теорії.

"Зрозумів" і "Вмію вирішувати" - це зовсім різні навички. Тобі потрібні обидва.

Знайди завдання та вирішуй!