Раціональні функції – приклади з рішеннями. Інтегрування раціональних функцій та метод невизначених коефіцієнтів

«Математик так само, як художник чи поет, створює візерунки. І якщо його візерунки більш стійкі, лише тому, що вони складені з ідей... Візерунки математика так само, як візерунки художника або поета, повинні бути прекрасні; ідеї так само, як кольори або слова повинні відповідати один одному. Краса є першою вимогою: у світі немає місця для некрасивої математики».

Г.Х.Харді

У першому розділі зазначалося, що існують первісні досить простих функцій, які вже не можна виразити через елементарні функції. У зв'язку з цим, велике практичне значення набувають ті класи функцій, про які можна точно сказати, що їх первісні - елементарні функції. До такого класу функцій відносяться раціональні функції, що являють собою відношення двох алгебраїчних багаточленів. До інтегрування раціональних дробівнаводять багато завдань. Тому дуже важливо вміти інтегрувати такі функції.

2.1.1. Дробно-раціональні функції

Раціональним дробом(або дробово-раціональною функцією)називається відношення двох алгебраїчних багаточленів:

де і – багаточлени.

Нагадаємо, що багаточленом (поліномом, цілою раціональною функцією) n-го ступеняназивається функція виду

де – дійсні числа. Наприклад,

- багаточлен першого ступеня;

- багаточлен четвертого ступеня і т.д.

Раціональний дріб (2.1.1) називається правильноюякщо ступінь нижче ступеня, тобто. n<m, в іншому випадку дріб називається неправильною.

Будь-яку не правильний дрібможна у вигляді суми многочлена (цілої частини) і правильної дробу (дрібної частини).Виділення цілої та дробової частин неправильного дробуможна проводити за правилом поділу багаточленів «куточком».

Приклад 2.1.1.Виділити цілу та дробову частини наступних неправильних раціональних дробів:

а) , б) .

Рішення . а) Використовуючи алгоритм розподілу «куточком», отримуємо

Таким чином, отримуємо

.

б) Тут також використовуємо алгоритм поділу «куточком»:

В результаті, отримуємо

.

Підведемо підсумки. Невизначений інтеграл від раціонального дробу в загальному випадку можна уявити сумою інтегралів від багаточлена та від правильного раціонального дробу. Знаходження первісних від многочленів не становить труднощів. Тому надалі розглядатимемо переважно правильні раціональні дроби.

2.1.2. Найпростіші раціональні дроби та їх інтегрування

Серед правильних раціональних дробів виділяють чотири типи, які відносять до найпростішим (елементарним) раціональним дробам:

де - ціле число, , тобто. квадратний тричлен не має дійсних коренів.

Інтегрування найпростіших дробів 1-го та 2-го типу не становить великих труднощів:

, (2.1.3)

. (2.1.4)

Розглянемо тепер інтегрування найпростіших дробів 3-го типу, а дроби 4-го типу не розглядатимемо.

Почнемо з інтегралів виду

.

Цей інтеграл зазвичай обчислюють шляхом виділення повного квадрата в знаменнику. В результаті виходить табличний інтеграл наступного виду

або .

Приклад 2.1.2.Знайти інтеграли:

а) , б) .

Рішення . а) Виділимо із квадратного тричлена повний квадрат:

Звідси знаходимо

б) Виділивши із квадратного тричлена повний квадрат, отримуємо:

Таким чином,

.

Для знаходження інтегралу

можна виділити в чисельнику похідну знаменника і розкласти інтеграл у сумі двох інтегралів: перший їх підстановкою зводиться до вигляду

,

а другий - до розглянутого вище.

Приклад 2.1.3.Знайти інтеграли:

.

Рішення . Зауважимо, що . Виділимо в чисельнику похідну знаменника:

Перший інтеграл обчислюється за допомогою підстановки :

У другому інтегралі виділимо повний квадрат у знаменнику

Остаточно, отримуємо

2.1.3. Розкладання правильного раціонального дробу
на суму найпростіших дробів

Будь-який правильний раціональний дріб можна уявити єдиним чином у вигляді суми найпростіших дробів. Для цього знаменник слід розкласти на множники. З вищої алгебри відомо, що кожен багаточлен із дійсними коефіцієнтами

2., 5.
,

3.
, 6.
.

В інтегралах 1-3 якості u приймають . Тоді, після n-кратного застосування формули (19) прийдемо до одного з табличних інтегралів

,
,
.

В інтегралах 4-6 при диференціюванні спроститися трансцендентний множник
,
або
, який слід прийняти за u.

Обчислити такі інтеграли.

Приклад 7.

Приклад 8.

Приведення інтегралів до себе

Якщо підінтегральна функція
має вигляд:

,
,
і так далі,

то після дворазового інтегрування частинами отримаємо вираз, що містить вихідний інтеграл :

,

де
- Деяка постійна.

Дозволяючи отримане рівняння щодо , Отримаємо формулу для обчислення вихідного інтеграла:

.

Цей випадок застосування методу інтегрування частинами називається « приведення інтеграла до себе».

Приклад 9.Обчислити інтеграл
.

У правій частині стоїть вихідний інтеграл . Перенісши його в ліву частину, отримаємо:

.

приклад 10.Обчислити інтеграл
.

4.5. Інтегрування найпростіших правильних раціональних дробів

Визначення.Найпростішими правильними дробами I , II і III типів називаються такі дроби:

I. ;

II.
; (
- ціле позитивне число);

III.
; (коріння знаменника комплексне, тобто:
.

Розглянемо інтеграли від найпростіших дробів.

I.
; (20)

II. ; (21)

III.
;

Перетворимо чисельник дробу таким чином, щоб виділити в чисельнику доданок
, що дорівнює похідній знаменника.

Розглянемо перший із двох отриманих інтегралів і зробимо в ньому заміну:

У другому інтегралі доповнимо знаменник до повного квадрата:

Остаточно, інтеграл від дробу третього типу дорівнює:

=
+
. (22)

Таким чином, інтеграл від найпростіших дробів I типу виражається через логарифми, II типу – через раціональні функції, III типу через логарифми та арктангенси.

4.6.Інтегрування дробово-раціональних функцій

Одним з класів функцій, які мають інтеграл, виражений через елементарні функції, є алгебраїчний клас раціональних функцій, тобто функцій, що виходять в результаті кінцевого числа операцій алгебри над аргументом.

Будь-яка раціональна функція
може бути представлена ​​у вигляді відношення двох багаточленів
і
:

. (23)

Припускатимемо, що багаточлени не мають спільних коренів.

Дроб виду (23) називається правильною, якщо ступінь чисельника менший від ступеня знаменника, тобто, m< n. В іншому випадку - неправильною.

Якщо дріб неправильний, то, розділивши чисельник на знаменник (за правилом поділу багаточленів), представимо дріб у вигляді суми багаточлена та правильного дробу:

, (24)

де
- багаточлен, - правильний дріб, причому ступінь багаточлена
- не вище ступеня ( n-1).

приклад.

Так як інтегрування многочлена зводиться до суми табличних інтегралів від статечної функції, то основна складність при інтегруванні раціональних дробів полягає в інтегруванні правильних раціональних дробів.

В алгебрі доведено, що всякий правильний дріб розкладається на суму розглянутих вище найпростішихдробів, вид яких визначається корінням знаменника
.

Розглянемо три окремі випадки. Тут і далі вважатимемо, що коефіцієнт при старшому ступені знаменника
дорівнює одиниці =1, тобтобагаточлен наведений .

Випадок 1.Коріння знаменника, тобто коріння
рівняння
=0, дійсні та різні. Тоді знаменник представимо у вигляді твору лінійних множників:

а правильний дріб розкладається на найпростіші дроби I-готипу:

, (26)

де
- Деякі постійні числа, які знаходяться методом невизначених коефіцієнтів.

Для цього необхідно:

1. Привести праву частину розкладання (26) до спільному знаменнику.

2. Прирівняти коефіцієнти при однакових ступенях тотожних багаточленів, що стоять у чисельнику лівої та правої частин. Отримаємо систему лінійних рівнянь для визначення
.

3. Вирішити отриману систему та знайти невизначені коефіцієнти
.

Тоді інтеграл дробово-раціональної функції (26) буде дорівнювати сумі інтегралів від найпростіших дробів I-готипу, що обчислюються за формулою (20).

приклад.Обчислити інтеграл
.

Рішення.Розкладемо знаменник на множники, використовуючи теорему Вієта:

Тоді підінтегральна функція розкладається на суму найпростіших дробів:

.

х:

Запишемо систему трьох рівнянь для знаходження
ху лівій та правій частинах:

.

Вкажемо простіший спосіб знаходження невизначених коефіцієнтів, званий методом приватних значень.

Вважаючи в рівності (27)
отримаємо
, звідки
. Вважаючи
отримаємо
. Нарешті, вважаючи
отримаємо
.

.

Випадок 2Коріння знаменника
дійсні, але серед них є кратні (рівні) корені. Тоді знаменник представимо у вигляді твору лінійних множників, що входять у твір тією мірою, якою є кратність відповідного кореня:

де
.

Правильний дріб буде розкладатися суму дробів I-го та II-го типів. Нехай, наприклад, - корінь знаменника кратності k, а решта ( n- k) Коріння різні.

Тоді розкладання матиме вигляд:

Аналогічно, якщо існує інше кратне коріння. Для некратного коріння в розкладання (28) входять найпростіші дроби першого типу.

приклад.Обчислити інтеграл
.

Рішення.Представимо дріб у вигляді суми найпростіших дробів першого та другого роду з невизначеними коефіцієнтами:

.

Наведемо праву частину до спільного знаменника і прирівняємо багаточлени, що стоять у чисельниках лівої та правої частини:

У правій частині наведемо подібні за однакових ступенів х:

Запишемо систему чотирьох рівнянь для знаходження
і . Для цього прирівняємо коефіцієнти при однакових ступенях ху лівій та правій частині

.

Випадок 3.Серед коренів знаменника
є комплексне одноразове коріння. Тобто, до розкладання знаменника входять множники другого ступеня
, що не розкладаються на дійсні лінійні множники, причому вони не повторюються.

Тоді в розкладанні дробу кожному такому множнику буде відповідати найпростіший дріб III типу. Лінійним множникам відповідають найпростіші дроби I-го та II-го типів.

приклад.Обчислити інтеграл
.

Рішення.
.

.

.

Інтегрування раціональних функцій Дробно – раціональна функція Найпростіші раціональні дроби Розкладання раціонального дробу на найпростіші дроби Інтегрування найпростіших дробів Загальне правило інтегрування раціональних дробів

багаточлен ступеня n. Дробно – раціональна функція Дробно – раціональною функцією називається функція, що дорівнює відношенню двох багаточленів: Раціональний дріб називається правильним, якщо ступінь чисельника менший за ступінь знаменника, тобто m< n , в противном случае дробь называется неправильной. многочлен степени m Всякую неправильную рациональную дробь можно, путем деления числителя на знаменатель, представить в виде суммы многочлена L(x) и правильной рациональной дроби:)()()(x. Q x. P xf n m)()()(x. Q x. R x. L x. Q x. P

Дробно – раціональна функція Привести неправильний дріб до правильного вигляду: 2 95 4 x xx 95 4 xx 2 x 3 x 34 2 xx 952 3 xx 2 2 x 23 42 xx 954 2 xx x 4 xx 84 2 93 x 95 4 x xx 342 23 xxx 2 15 x

Найпростіші раціональні дроби Правильні раціональні дроби виду: Називаються найпростішими раціональними дробами типів. ax A); 2(Nkk ax A k)04(2 2 qp qpxx NMx); 2; 04(2 2 Nkkqp qpxx NMx k V V,

Розкладання раціонального дробу на найпростіші дроби Теорема: Будь-який правильний раціональний дріб, знаменник якого розкладений на множники: можна уявити, притому єдиним чином у вигляді суми найпростіших дробів: s k qxpxxxxxx. Q)()()(22 2 11 2 21)()(x. Q x. P 1 xx Ak k x x B)()(2 2 2 1 11 2 qxpx DCx 2 22 22 2 11)(qxpx Nx. M s ss qxpx Nx.

Розкладання раціонального дробу на найпростіші дроби Пояснимо формулювання теореми на таких прикладах: Для знаходження невизначених коефіцієнтів A, B, C, D … застосовують два методи: метод порівнювання коефіцієнтів та метод приватних значень змінної. Перший метод розглянемо з прикладу. 3 2)3)(2(4 xx x 2 x A 3 3 2 21)3()3(3 x B x B 1 2 x DCx 22 22 2 11)1(1 xx Nx. M)1(3 22 3 xx x 2 21 x A 22 2)1)(4(987 xxx xx 4 x

Розкладання раціонального дробу на найпростіші дроби Представити дроб у вигляді суми найпростіших дробів: Приведемо найпростіші дроби до спільного знаменника Прирівняємо чисельники вихідного дробу, що вийшов Прирівняємо коефіцієнти при однакових ступенях х)52)(1(332 2 2 xxx xx 1 x A 1 )52)(1()1)(()52(2 2 xxx x. CBxxx. A 33252 222 xx. CBx. Cx. Bx. AAx. Ax 35 32 2 0 1 2 CAx BAx 2 3 1 C B A 52 23 1 1 2 xx x x

Інтегрування найпростіших дробів Знайдемо інтеграли від найпростіших раціональних дробів: Інтегрування дробу 3 типу розглянемо на прикладі. dx ax A k dx qpxx NMx 2 ax axd A) (Cax. Aln) (axdax. A k C k ax. Ak

Інтегрування найпростіших дробівdx xx x 102 13 2 dx xx x 9)12(13 2 dx x x 9)1(13 2 dtdx tx tx 1 1 dt t t 9 1)1(3 2 dt t t 9 23 2 9 3 2 3 2 2 t td 33 2 t arctg 33 2 9 ln 2 32

Інтегрування найпростіших дробів Інтеграл цього типу за допомогою підстановки: наводиться до суми двох інтегралів: Перший інтеграл обчислюється методом внесення t під знак диференціала. Другий інтеграл обчислюється за допомогою рекурентної формули: 1(222 321 kkkk atk t k k aat dt

Інтегрування найпростіших дробів a = 1; k = 3 323)1(t dt tarctg t dt 1 21)1)(12(2222 322 1 21222 t t t dt)1(22 1 2 t t tarctg 2223)1)(13(2232 332 t 2 (4)1(

Загальне правило інтегрування раціональних дробів Якщо дріб неправильний, то подати його у вигляді суми багаточлена та правильного дробу. Розклавши знаменник правильного раціонального дробу на множники, уявити його як суми найпростіших дробів з невизначеними коефіцієнтами Знайти невизначені коефіцієнти методом порівняння коефіцієнтів чи методом приватних значень змінної. Проінтегрувати багаточлен та отриману суму найпростіших дробів.

Наведемо дріб до правильного вигляду. dx xxx 23 35 2 442 35 xxxxxx 23 2 2 x 345 2 xxx 442 34 xxx x 2 234 242 xxx 4425 23 xxx xxx 23 35 2 442 xxx xx xx 23 2 2

Приклад Розкладемо знаменник правильного дробу на множники Представимо дріб у вигляді суми найпростіших дробів Знайдемо невизначені коефіцієнти методом приватних значень змінної xxx xx 23 2 2 48 2 2)1(48 xx xx 2)1(1 x C x B x A 2 2)1 ()1(xx Cxx. Bxx. A 48)1()1(22 xx. Cxx. Bxx. A 5241 31 40 CBAx Cx Ax 3 12 4 C B A xxx xx 23 2 2 48 2)1(3 1 124 xxx

Приклад dx xx 2 2)1(3 1 124 52 2 2)1(3 1 12452 x dx dxxdxdxx C x xxxx x 1 3 1 ln 12 ln

Раніше йшлося про загальні прийоми інтегрування. У цьому й наступних параграфах ми говоритимемо про інтегрування конкретних класів функцій з допомогою розглянутих прийомів.

Інтегрування найпростіших раціональних функцій

Розглянемо інтеграл виду \textstyle(\int R(x)\,dx), Де y = R (x) - раціональна функція. Будь-який раціональний вираз R(x) можна подати у вигляді \frac(P(x))(Q(x))де P(x) і Q(x) - багаточлени. Якщо цей дріб неправильний, тобто якщо ступінь чисельника більший або дорівнює ступеню знаменника, то його можна подати у вигляді суми багаточлена (ціла частина) і правильного дробу. Тому достатньо розглянути інтегрування правильних дробів.

Покажемо, що інтегрування таких дробів зводиться до інтегрування найпростіших дробів, Т. е. Виразів виду:

\mathsf(1))~\frac(A)(x-a);\quad \mathsf(2))~\frac(A)((x-a)^n);\quad \mathsf(3))~ \frac( Ax+B)(x^2+px+q); \quad \mathsf(4))~\frac(Ax+B)((x^2+px+q)^n).

де A,\,B,\,a,\,p,\,q- дійсні числа, а квадратний тричлен x^2+px+q не має дійсних коренів. Вирази виду 1) і 2) називають дробами 1-го роду, а вирази виду 3) та 4) - дробами 2-го роду.

Інтеграли від дробів 1-го роду обчислюються безпосередньо

\begin(aligned)\mathsf(1))&~\int\frac(A)(x-a)\,dx= A\ln|x-a|+C;\\ \mathsf(2))&~ \int\frac (A)((x-a)^n)\,dx= A\int(x-a)^(-n)\,dx= A\,\frac((x-a)^(-n+1))(-n+ 1) + C ~ (n = 2,3,4, \ ldots). \end(aligned)

Розглянемо обчислення інтегралів від дробів 2-го роду: \mathsf(3))~ \int\frac(Ax+B)(x^2+px+q)\,dx\,.

Спочатку зауважимо, що

\int\frac(dt)(t^2+a^2)= \frac(1)(a)\operatorname(arctg)\frac(t)(a)+C,qquad \int\frac(t\) ,dt)(t^2+a^2)= \frac(1)(2)\ln(t^2+a^2)+C.

Щоб звести обчислення інтеграла 3) до цих двох інтегралів, перетворимо квадратний тричлен x^2+px+q, виділивши з нього повний квадрат:

x^2+px+q= (\left(x+\frac(p)(2)\right)\^2+ \left(q-\frac{p^2}{4}\right)\!. !}

Оскільки за припущенням цей тричлен немає дійсних коренів, то q-\frac(p^2)(4)>0і ми можемо покласти q-\frac(p^2)(4)=a^2. Підстановка x+\frac(p)(2)=t,~ dx=dtперетворює інтеграл 3) до лінійної комбінації зазначених двох інтегралів:

\begin(aligned)\int\frac(Ax+B)(x^2+px+q)\,dx&= \int\frac(A\!\left(t-frac(p)(2)\right )+B)(t^2+a^2)\,dt= A\int\frac(t\,dt)(t^2+a^2)+ \left(B-\frac(Ap)(2 )\right)\!\int\frac(dt)(t^2+a^2)=\\ &=\frac(A)(2)\ln(t^2+a^2)+ \frac( 1)(a)\!\left(B-\frac(Ap)(2)\right)\!\ \operatorname(arctg)\frac(t)(a)+C. \end(aligned)

В остаточній відповіді потрібно лише замінити (t) x+\frac(p)(2) , а (a) на x \sqrt(q-\frac(p^2)(4)). Оскільки t^2+a^2=x^2+px+q , то

\int\frac(Ax+B)(x^2+px+q)\,dx= \frac(A)(2)\ln(x^2+px+q)+ \frac(B-\dfrac( Ap)(2))(\sqrt(q-\dfrac(p^2)(4))) \operatorname(arctg)\frac(x+\dfrac(p)(2))(\sqrt(q-\dfrac (p^2)(4)))+C.

Розглянемо випадок \mathsf(4))~ \int\frac(Ax+B)((x^2+px+q)^n)\,dx.

Як і попередньому випадку, покладемо x+\frac(p)(2)=t . Отримаємо:

\int\frac(Ax+B)((x^2+px+q)^n)\,dx= A\int\frac(t\,dt)((t^2+a^2)^n) + \left(B-\frac(Ap)(2)\right)\! \int\frac(dt)((t^2+a^2)^n)\,.

Перший доданок обчислюється так:

A\int\frac(t\,dt)((t^2+a^2)^n)= \frac(A)(2)\int(t^2+a^2)^(-n)\ ,d(t^2+a^2)= \frac(A)(2)\frac((t^2+a^2)^(-n+1))(-n+1)= \frac( A)(2(1-n)(t^2+a^2)^(n-1))\,.

Другий інтеграл обчислюється за допомогою рекурентної формули.

приклад 1.Обчислимо \int\frac(3x+2)(x^2+2x+3)\,dx.

Рішення.Маємо: x^2+2x+3=(x+1)^2+2. Покладемо x+1=t. Тоді dx=dt та 3x+2=3(t-1)+2=3t-1і, отже,

\begin(aligned)\int\frac(3x+2)(x^2+2x+3)\,dx&= \int\frac(3t-1)(t^2+2)\,dt= \frac( 3)(2)\int\frac(2t\,dt)(t^2+2)- \int\frac(dt)(t^2+(\sqrt(2))^2)=\ &= \frac(3)(2)\ln(t^2+2)- \frac(1)(\sqrt(2))\operatorname(arctg)\frac(t)(\sqrt(2))+C= \\ &=\frac(3)(2)\ln(x^2+2x+3)- \frac(1)(\sqrt(2))\operatorname(arctg)\frac(x+1)(\ sqrt(2))+C. \end(aligned)

приклад 2.Обчислимо \int\frac(x+2)((x^2+6x+10)^2)\,dx.

Рішення.Маємо: x^2+6x+10=(x+3)^2+1. Введемо нову змінну, поклавши x+3=t. Тоді dt=dx та x+2=t-1 . Замінивши змінну під знаком інтеграла, отримаємо:

\begin(aligned)\int\frac(x+2)((x^2+6x+10)^2)\,dx&= \int\frac(t-1)((t^2+1)^2 )\,dt= \frac(1)(2)\int\frac(2t\,dt)((t^2+1)^2)-\int\frac(dt)((t^2+1) ^2)=\\ &=-\frac(1)(2(t^2+1))- \int\frac(dt)((t^2+1)^2)\,. \end(aligned))

Покладемо I_2=\int\frac(dt)((t^2+1)^2). Маємо:

I_2=\frac(1)(2)I_1+\frac(1)(2)\frac(t)(t^2+1), але I_1=\int\frac(dt)(t^2+1)= \operatorname(arctg)tТаким чином, I_2= \frac(1)(2)\operatorname(arctg)t+ \frac(t)(2(t^2+1)).

Остаточно отримуємо:

\begin(aligned)\int\frac(x+2)((x^2+6x+10)^2)\,dx&=-\frac(1)(2(t^2+1))-\frac (1)(2)\operatorname(arctg)t-\frac(t)(2(t^2+1))=\\ &=-\frac(1)(2(x^2+6x+10) )- \frac(1)(2)\operatorname(arctg)(x+3)- \frac(x+3)(2(x^2+6x+10))+C=\\ &=\frac( -x-4)(2(x^2+6x+10))-\frac(1)(2)\operatorname(arctg)(x+3)+C \end(aligned)

Інтегрування правильних дробів

Розглянемо правильний дріб R(x)=\frac(P(x))(Q(x)), де Q(x) - багаточлен ступеня n. Не втрачаючи спільності, можна вважати, що старший коефіцієнт Q(x) дорівнює 1. У курсі алгебри доводиться, що такий многочлен з дійсними коефіцієнтами може бути розкладений на множники першого і другого ступеня з дійсними коефіцієнтами:

Q(x)= (x-x_1)^(\alpha)\ldots (x-x_k)^(\beta) (x^2+p\,x+q)^(\gamma)\ldots (x^2 +r\,x+s)^(\delta).

де x_1, \ ldots, x_k -дійсне коріння многочлена Q (x), а квадратні тричленине мають дійсних коренів. Можна довести, що тоді R(x) представляється як суми найпростіших дробів виду 1) -4):

\begin(aligned)R(x)=&\frac(P(x))(Q(x))= \frac(A_1)((x-x_1)^(\alpha))+ \frac(A_2)( (x-x_1)^(\alpha-1))+\ldots+ \frac(A_(\alpha))(x-x_1)\,+\\ &+\,\ldots+ \frac(B_1)((x- x_k)^(\beta))+ \frac(B_2)((x-x_k)^(\beta-1))+ \ldots+ \frac(B_(\beta))(x-x_k)+ \frac(M_1x+ N_1)((x^2+p\,x+q)^(\gamma))\,+\\ &+\,\ldots+ \frac(M_(\gamma)+ N_(\gamma))(x^ 2+ p\,x+s)+ \frac(E_1x+F_1)((x^2+rx+s)^(\delta))+\ldots+ \frac(E_(\delta)x+F_(\delta) ))(x^2+rx+s)\, \end(aligned)

де показники у знаменників послідовно зменшуються від \alpha до 1, ..., від \beta до 1, від \gamma до 1, ..., від \delta до 1, а A_1, \ldots,F_(\delta)- Невизначені коефіцієнти. Щоб знайти ці коефіцієнти, необхідно звільнитися від знаменників і, отримавши рівність двох многочленів, скористатися методом невизначених коефіцієнтів.

Інший спосіб визначення коефіцієнтів A_1, \ldots, A_(\alpha), \ldots, F_(\delta)заснований на підстановці значень змінної x. Підставляючи у рівність, отриману з рівності (1) після звільнення від знаменників, замість x будь-яке число, прийдемо до лінійному рівняннющодо шуканих коефіцієнтів. Шляхом підстановки необхідної кількостітаких приватних значень змінної отримаємо систему рівнянь знаходження коефіцієнтів. В якості приватних значень змінної найзручніше вибирати коріння знаменника (як дійсне, так і комплексне). При цьому майже всі члени в правій частині рівності (мається на увазі рівність двох багаточленів) звертаються в нуль, що дозволяє легко знаходити коефіцієнти, що залишилися. При підстановці комплексних значеньслід на увазі, що два комплексних числа рівні тоді і тільки тоді, коли рівні відповідно їх дійсні і уявні частини. Тому з кожної рівності, що містить комплексні числа, Виходять два рівняння.

Після знаходження невизначених коефіцієнтів залишається обчислити інтеграли отриманих найпростіших дробів. Так як при інтегруванні найпростіших дробів виходять, як ми бачили, лише раціональні функції, арктангенси та логарифми, то інтеграл від будь-якої раціональної функції виражається через раціональну функцію, арктангенси та логарифми.

приклад 3.Обчислимо інтеграл від правильного раціонального дробу \int\frac(6x+1)(x^2+2x-3)\,dx.

Рішення.Розкладемо знаменник підінтегральної функції на множники:

x^2+2x-3=(x-1)(x+3).

Випишемо підінтегральну функцію і подаємо її у вигляді суми найпростіших дробів:

\frac(6x+1)(x^2+2x-3)= \frac(A)(x-1)+\frac(B)(B+3)\,.

6x+1=Acdot (x+3)+Bcdot (x-1)\,.

Для пошуку коефіцієнтів скористаємося шляхом підстановки приватних значень. Для знаходження коефіцієнта A покладемо x=1. Тоді з рівності (2) отримаємо 7 = 4A, звідки A = 7/4. Для пошуку коефіцієнта B покладемо x=-3 . Тоді з рівності (2) отримаємо -17 = -4B, звідки B = 17/4.

Отже, \frac(6x+1)(x^2+2x-3)= \frac(7)(4)\cdot\frac(1)(x-1)+ \frac(17)(4)\cdot\frac (1)(x+3). Значить,

\int\frac(6x+1)(x^2+2x-3)\,dx= \frac(7)(4)\int\frac(dx)(x-1)+ \frac(17)(4 )\int\frac(dx)(x+3)= \frac(7)(4)\ln|x-1|+ \frac(17)(4)\ln|x+3|+C.

приклад 4.Обчислимо \int\frac(x^4+2x^2+8x+5)((x^2+2)(x-1)^2(x+2))\,dx.

Рішення.Випишемо підінтегральну функцію і подаємо її у вигляді суми найпростіших дробів. У знаменнику міститься множник x^2+2, що не має дійсних коренів, йому відповідає дріб 2-го роду: \frac(Ax+B)(x^2+2)множнику (x-1)^2 відповідає сума двох дробів 1-го роду: \frac(C)((x-1)^2)+ \frac(D)(x-1); нарешті, множнику x+2 відповідає один дріб 1-го роду frac(E)(x+2) . Таким чином, підінтегральну функцію ми подаємо у вигляді суми чотирьох дробів:

\frac(x^4+2x^2+8x+5)((x^2+2)(x-1)^2(x+2))= \frac(Ax+B)(x^2+2 )+ \frac(C)((x-1)^2)+ \frac(D)(x-1)+ \frac(E)(x+2)\,.

\begin(aligned) x^4+2x^2+8x+5&= (Ax+B)(x-1)^2(x+2)+ C(x^2+2)(x+2)\, +\\ &\phantom(=)+ D(x^2+2)(x-1)(x+2)+ E(x^2+2)(x-1)^2.\end(aligned)

Знаменник підінтегральної функції має два дійсних кореня: x = 1 і x = -2. При підстановці в рівність (4) значення x = 1 отримуємо 16 = 9C, звідки знаходимо C = 16/9. При підстановці x = -2 отримуємо 13 = 54E і відповідно визначаємо E = 13/54. Підстановка значення x=i\,\sqrt(2) (кореня многочлена x^2+2) дозволяє перейти до рівності

4-4+8\,i\,\sqrt(2)+5= (A\,i\,\sqrt(2)+B)\cdot (i\,\sqrt(2)-1)^2\ cdot (i \, \ sqrt (2) +2).

Воно перетворюється на вигляд:

(10A+2B)+(2A-5B)\sqrt(2)\,i= 5+8\sqrt(2)\,iзвідки 10A+2B=5 , а (2A-5B) \ sqrt (2) = 8 \ sqrt (2).

Розв'язавши систему двох рівнянь із двома змінними \begin(cases)10A+2B=5,\\ 2A-5B=8,\end(cases)знаходимо: A=\frac(41)(54),~ B=-\frac(35)(27).

Залишилося визначити значення коефіцієнта D. Для цього в рівності (4) розкриємо дужки, наведемо такі члени, а потім порівняємо коефіцієнти при x^4 . Отримаємо:

A+D+E=1 , тобто D=0 .

Підставимо знайдені значення коефіцієнтів у рівність (3):

\frac(x^4+2x^2+8x+5)((x^2+2)(x-1)^2(x+2))= \frac(\drac(41)(54)\, x- \dfrac(35)(27))(x^2+2)+ \frac(16)(9)\frac(1)((x-1)^2)+ \frac(13)(54) \frac(1)(x+2)\,

\begin(aligned)\int\frac(x^4+2x^2+8x+5)((x^2+2)(x-1)^2(x+2))\,dx&= \frac( 41)(54)\int\frac(x\,dx)(x^2+2)- \frac(35)(27)\int\frac(dx)(x^2+2)+ \frac(16) )(9) \int\frac(dx)((x-1)^2)+ \frac(13)(54)\int\frac(dx)(x+2)=\\ &=\frac(41 )(108)\ln(x^2+2)- \frac(35)(27\sqrt(2))\operatorname(arctg)\frac(x)(\sqrt(2))- \frac(16) (9(x-1))+ \frac(13)(54) \ln|x+2|+C.\end(aligned)

Інтегрування неправильних дробів

Нехай потрібно проінтегрувати функцію y=\frac(f(x))(g(x)), де f(x) і g(x) - багаточлени, причому ступінь многочлена f(x) більший або дорівнює ступеню многочлена g(x) . У цьому випадку насамперед необхідно виділити цілу частину неправильного дробу \frac(f(x))(g(x)), тобто уявити її у вигляді

\frac(f(x))(g(x))=s(x)+ \frac(r(x))(g(x))\,

де s(x) - багаточлен ступеня, рівної різниціступенів багаточленів f(x) і g(x) , а \frac(r(x))(g(x))- правильний дріб.

Тоді маємо \int\frac(f(x))(g(x))\,dx= \int s(x)\,dx+ \int\frac(r(x))(g(x))\,dx\, ..

Приклад 5.Обчислимо інтеграл від неправильного дробу \int\frac(x^4-4x^3+x^2+16x-11)((x-1)(x+2)(x-3))\,dx.

Рішення.Маємо:

\begin(aligned)g(x)&=(x-1)(x+2)(x-3)= x^3-2x^2-5x+6,\\f(x)&=x^4 -4x^3+x^2+16x-11. \end(aligned)

Для виділення цілої частини розділимо f(x) на g(x): \frac(f(x))(g(x))= x-2+\frac(2x^2+1)(x^3-2x^2-5x+6)\,.

Значить, \int\frac(x^4-4x^3+x^2+16x-11)((x-1)(x+2)(x-3))\,dx= \int(x-2)dx+ \int\frac(2x^2+1)((x-1)(x+2)(x-3))\,dx

Маємо: \int(x-2)dx=\frac(x^2)(2)-2x+C.

Для обчислення інтегралу \int\frac(2x^2+1)((x-1)(x+2)(x-3))\,dxзастосовується, як і вище, метод невизначених коефіцієнтів. Після обчислень, які ми залишаємо читачеві, отримуємо.

Раціональна функція - це дріб виду, чисельник і знаменник якого - багаточлени або твори багаточленів.

приклад 1. Крок 2

.

Помножуємо невизначені коефіцієнти на багаточлени, яких немає в даному окремому дробі, але які є в інших отриманих дробах:

Розкриваємо дужки та прирівнюємо отриманий до отриманого виразу чисельник вихідного підінтегрального дробу:

В обох частинах рівності знаходимо доданки з однаковими ступенямиікс і складаємо з них систему рівнянь:

.

Скорочуємо всі ікси та отримуємо еквівалентну систему рівнянь:

.

Таким чином, остаточне розкладання підінтегрального дробу на суму простих дробів:

.

приклад 2. Крок 2На кроці 1 отримали наступне розкладання вихідного дробу на суму простих дробів з невизначеними коефіцієнтами в чисельниках:

.

Тепер починаємо шукати невизначені коефіцієнти. Для цього чисельник вихідного дробу у виразі функції прирівнюємо до чисельника виразу, отриманого після приведення суми дробів до спільного знаменника:

Тепер потрібно скласти та вирішити систему рівнянь. Для цього прирівнюємо коефіцієнти при змінній у відповідному ступені в чисельнику вихідного виразу функції та аналогічні коефіцієнти в отриманому на попередній кроквирази:

Вирішуємо отриману систему:

Отже, , звідси

.

приклад 3. Крок 2На кроці 1 отримали наступне розкладання вихідного дробу на суму простих дробів з невизначеними коефіцієнтами в чисельниках:

Починаємо шукати невизначені коефіцієнти. Для цього чисельник вихідного дробу у виразі функції прирівнюємо до чисельника виразу, отриманого після приведення суми дробів до спільного знаменника:

Як і в попередніх прикладах, складаємо систему рівнянь:

Скорочуємо ікси та отримуємо еквівалентну систему рівнянь:

Вирішуючи систему, отримуємо наступні значення невизначених коефіцієнтів:

Отримуємо остаточне розкладання подінтегрального дробу на суму простих дробів:

.

приклад 4. Крок 2На кроці 1 отримали наступне розкладання вихідного дробу на суму простих дробів з невизначеними коефіцієнтами в чисельниках:

.

Як прирівнювати чисельник вихідного дробу до виразу в чисельнику, отриманому після розкладання дробу на суму простих дробів та приведення цієї суми до спільного знаменника, ми вже знаємо з попередніх прикладів. Тому лише для контролю наведемо систему рівнянь, що вийшла:

Вирішуючи систему, отримуємо такі значення невизначених коефіцієнтів:

Отримуємо остаточне розкладання подінтегрального дробу на суму простих дробів:

Приклад 5. Крок 2На кроці 1 отримали наступне розкладання вихідного дробу на суму простих дробів з невизначеними коефіцієнтами в чисельниках:

.

Самостійно приводимо до спільного знаменника цю суму, прирівнювати чисельник цього виразу до чисельника вихідного дробу. В результаті має вийти наступна система рівнянь:

Вирішуючи систему, отримуємо такі значення невизначених коефіцієнтів:

.

Отримуємо остаточне розкладання подінтегрального дробу на суму простих дробів:

.

Приклад 6. Крок 2На кроці 1 отримали наступне розкладання вихідного дробу на суму простих дробів з невизначеними коефіцієнтами в чисельниках:

Проводимо з цією сумою ті ж дії, що й у попередніх прикладах. В результаті має вийти наступна система рівнянь:

Вирішуючи систему, отримуємо такі значення невизначених коефіцієнтів:

.

Отримуємо остаточне розкладання подінтегрального дробу на суму простих дробів:

.

Приклад 7. Крок 2На кроці 1 отримали наступне розкладання вихідного дробу на суму простих дробів з невизначеними коефіцієнтами в чисельниках:

.

Після відомих дій з отриманою сумою має вийти наступна система рівнянь:

Вирішуючи систему, отримуємо такі значення невизначених коефіцієнтів:

Отримуємо остаточне розкладання подінтегрального дробу на суму простих дробів:

.

Приклад 8. Крок 2На кроці 1 отримали наступне розкладання вихідного дробу на суму простих дробів з невизначеними коефіцієнтами в чисельниках:

.

Внесемо деякі зміни до вже доведених до автоматизму дій для отримання системи рівнянь. Є штучний прийом, що у деяких випадках допомагає уникнути зайвих обчислень. Наводячи суму дробів до спільного знаменника отримуємо і прирівнюючи чисельник цього виразу до чисельника вихідного дробу, отримуємо.