Похідна функції y x 10. Похідна функції

Визначення первісної.

Первоподібною функцією f(x) на проміжку (a; b) називається така функція F(x) , що виконується рівність для будь-якого х із заданого проміжку.

Якщо взяти до уваги той факт, що похідна від константи С дорівнює нулю, то справедлива рівність . Таким чином, функція f(x) має безліч первісних F(x)+C для довільної константи З, причому ці первісні відрізняються один від одного на довільну постійну величину.

Визначення невизначеного інтегралу.

Все безліч первісних функцій f(x) називається невизначеним інтегралом цієї функції і позначається .

Вираз називають підінтегральним виразом, а f(x) - підінтегральною функцією. Подинтегральное вираз є диференціал функції f(x) .

Дія знаходження невідомої функції за заданим її диференціалом називається невизначенимінтегруванням, тому що результатом інтегрування є не одна функція F(x), а безліч її первісних F(x)+C.

На основі властивостей похідної можна сформулювати та довести властивості невизначеного інтегралу(Властивості первісної).

Проміжні рівності першої та другої властивостей невизначеного інтеграла наведені для пояснення.

Для доказу третього та четвертого властивостейдостатньо визначити похідні від правих частин рівностей:

Ці похідні рівні підінтегральним функцій, що є доказом з першої якості. Воно ж використовується в останніх переходах.

Таким чином, завдання інтегрування є зворотним завданням диференціювання, причому між цими завданнями дуже тісний зв'язок:

• перше властивість дозволяє проводити перевірку інтегрування. Щоб перевірити правильність виконаного інтегрування, достатньо обчислити похідну отриманого результату. Якщо отримана результаті диференціювання функція виявиться рівної підінтегральної функції, це означатиме, що інтегрування проведено правильно;
• друга властивість невизначеного інтеграла дозволяє за відомим диференціалом функції знайти її первісну. На цій властивості засновано безпосереднє обчисленняневизначених інтегралів.

Розглянемо приклад.

приклад.

Знайти первісну функцію , значення якої дорівнює одиниці при х = 1 .

Рішення.

Ми знаємо з диференціального обчислення, що (Достатньо заглянути в таблицю похідних основних елементарних функцій). Таким чином, . За другою властивістю . Тобто, маємо безліч первісних. При х = 1 отримаємо значення. За умовою, це значення має дорівнювати одиниці, отже, С = 1 . Шукана первісна набуде вигляду.

приклад.

Знайти невизначений інтеграл та результат перевірити диференціюванням.

Рішення.

За формулою синуса подвійного кутаіз тригонометрії тому

Невизначений інтеграл

Основним завданням диференціального обчислення було обчислення похідної чи диференціала заданої функції. Інтегральне числення, до вивчення якого ми переходимо, вирішує зворотне завдання, А саме, відшукання самої функції по її похідній або диференціалу. Тобто, маючи dF(х)= f(х)d (7.1) або F '(х) = f(х),

де f(х) - відома функціяпотрібно знайти функцію F(х).

Визначення:Функція F(х) називається первісноїфункції f(х) на відрізку, якщо у всіх точках цього відрізка виконується рівність: F′(х) = f(х)або dF(х)= f(х)d.

Наприклад, однією з першорядних функцій для функції f(х)=3х 2буде F(х)= х 3, т.к. ( х 3) '=3х 2. Але першоподібною для функції f(х)=3х 2буде також функції і , т.к. .

Отже, дана функція f(х)=3х 2має безліч першоподібних, кожна з яких відрізняється лише на постійне доданок. Покажемо, що це результат має місце й у випадку.

Теорема Дві різні первісні однієї і тієї ж функції, визначеної в деякому проміжку, відрізняються одна від одної на цьому проміжку на постійне доданок.

Доведення

Нехай функція f(х) визначено на проміжку (a b)і F 1 (х) і F 2 (х) - Первинні, тобто. F 1 '(х)= f(х) і F 2 '(х)= f(х).

Тоді F 1 '(х) = F 2 '(х) Þ F 1 '(х) - F 2 '(х) = (F 1 '(х) - F 2 (х))'= 0. Þ F 1 (х) - F 2 (х) = С

Звідси, F 2 (x) = F 1 (x) + C

де З - Константа (тут використано слідство з теореми Лагранжа).

Теорема, в такий спосіб, доведена.

Геометрична ілюстрація. Якщо у = F 1 (х) і у = F 2 (х) - Первинні однієї і тієї ж функції f(х), то щодо їх графіків у точках із загальною абсцисою хпаралельні між собою (рис. 7.1).

У такому разі відстань між цими кривими вздовж осі Оузалишається постійним F 2 (х) - F 1 (х) = С , тобто ці криві в деякому розумінні"паралельні" одна одною.

Слідство .

Отже, вираз F(х)+С де , а F(х) - Деяка первісна функція f(х)включає всі можливі первісні для f(х).

приклад 1.Перевірити, чи є функції первісними для функції

Рішення:

Відповідь: первісними для функції будуть функції і

Визначення: Якщо функція F(х) є деякою первісною для функції f(х), то множину всіх первісних F(х)+ З називають невизначеним інтегралом від f(х) і позначають:

∫f(х)dх.

За визначенням:

f(х) - підінтегральна функція,

f(х)dх - підінтегральний вираз

З цього випливає, що невизначений інтеграл є функцією загального виду, диференціал якої дорівнює підінтегральному виразу, а похідна від якої за змінною хдорівнює підінтегральної функції у всіх точках.

З геометричної точкизоруневизначений інтеграл є сімейством кривих, кожна з яких виходить шляхом зсуву однієї з кривих паралельно самій собі вгору або вниз, тобто вздовж осі Оу(Мал. 7.2).

Операція обчислення невизначеного інтеграла від певної функції називається інтегруванням цієї функції.

Зазначимо, що якщо похідна від елементарної функції завжди є елементарною функцією, то першоподібна від елементарної функції може не представлятися за допомогою кінцевого числаелементарні функції.

Розглянемо тепер властивості невизначеного інтегралу.

З визначення 2 випливає:

1. Похідна від невизначеного інтеграла дорівнює підінтегральної функції, тобто якщо F′(х) = f(х) , то

2. Диференціал від невизначеного інтеграла дорівнює підінтегральному виразу

. (7.4)

З визначення диференціалу та властивості (7.3)

3. Невизначений інтеграл від диференціалу певної функції дорівнює цій функції з точністю до постійного доданку, тобто (7.5)

Першообразна. Гарне слово.) Для початку трохи російської мови. Вимовляється це слово саме так, а не "первообразна" як може здатися. Первісна - базове поняттявсього інтегрального обчислення. Будь-які інтеграли - невизначені, певні (з ними ви познайомитеся вже в цьому семестрі), а також подвійні, потрійні, криволінійні, поверхневі (а це вже головні герої другого курсу) - будуються на цьому ключовому понятті. Має повний сенс освоїти. Поїхали.)

Перш ніж знайомитися з поняттям первообразною, давайте в самих загальних рисахпригадаємо звичайнісіньку похідну. Не заглиблюючись у занудну теорію меж, прирощень аргументу та іншого можна сказати, що перебування похідної (або диференціювання) - це просто математична операціянад функцією. І все. Береться будь-яка функція (припустимо, f(x) = x 2) та по певним правилам перетворюється, перетворюючись на нову функцію. І ось ця сама нова функція і називається похідний.

У нашому випадку до диференціювання була функція f(x) = x 2, а після диференціювання стала вже інша функція f'(x) = 2x.

Похідна– тому, що наша нова функція f'(x) = 2x відбуласявід функції f(x) = x 2. Внаслідок операції диференціювання. І до того ж саме від неї, а не від якоїсь іншої функції ( x 3наприклад).

Грубо кажучи, f(x) = x 2– це мама, а f'(x) = 2x– її кохана дочка.) Це зрозуміло. Йдемо далі.

Математики – народ невгамовний. На кожну свою дію прагнуть знайти протидію. :) Є додавання - є і віднімання. Є множення – є поділ. Зведення у ступінь – вилучення кореня. Синус – арксинус. Так само є диференціювання– значить, є і… інтегрування.)

А тепер поставимо таку цікаве завдання. Є у нас, скажімо, така простенька функція f(x) = 1. І нам треба відповісти на таке запитання:

Похідна ЯКИЙ функції дає нам функціюf(x) = 1?

Інакше кажучи, бачачи дочку, з допомогою аналізу ДНК, обчислити, хто її матуся. :) Так від якої ж вихіднийфункції (назвемо її F(x)) відбулася наша похіднафункція f(x) = 1? Або в математичної форми, для якоїфункції F(x) виконується рівність:

F'(x) = f(x) = 1?

Приклад елементарний. Я намагався.) Просто підбираємо функцію F(x) так, щоб рівність спрацювала. :) Ну як, підібрали? Так звичайно! F(x) = x. Тому що:

F'(x) = x' = 1 = f(x).

Зрозуміло, знайдену матусю F(x) = xтреба якось назвати, так.) Знайомтеся!

Первинною для функціїf(x) називається така функціяF(x), похідна якої дорівнюєf(x), тобто. для якої справедлива рівністьF’(x) = f(x).

От і все. Більше жодних наукових хитрощів. У строгому визначеннідодається ще додаткова фраза "на проміжку Х". Але ми поки що в ці тонкощі заглиблюватися не будемо, бо наше першочергове завдання – навчитися знаходити ці першорядні.

У нашому випадку таки виходить, що функція F(x) = xє первісноїдля функції f(x) = 1.

Чому? Тому що F'(x) = f(x) = 1. Похідна ікса є одиниця. Заперечень немає.)

Термін "первоподібна" по-обивательно означає "родоначальниця", "батько", "предок". Відразу ж згадуємо найріднішого і близької людини.) А сам пошук первісної – це відновлення вихідної функції за відомою її похідною. Іншими словами, це дія, зворотне диференціювання. І все! Сам цей захоплюючий процес теж називається цілком науково – інтегрування. Але про інтегралах- Пізніше. Терпіння, друзі!)

Запам'ятовуємо:

Інтегрування – це математична операція над функцією (як і диференціювання).

Інтегрування – операція, зворотна диференціювання.

Первісна - результат інтегрування.

А тепер ускладнимо завдання. Знайдемо тепер первісну для функції f(x) = x. Тобто, знайдемо таку функцію F(x) , щоб її похіднадорівнювала б іксу:

F'(x) = x

Хто дружить з похідними, тому, можливо, на думку спаде щось на кшталт:

(x 2) '= 2x.

Що ж, респект і поважа тим, хто пам'ятає таблицю похідних!) Правильно. Але є одна проблема. Наша вихідна функція f(x) = x, а (x 2)’ = 2 x. Дваікс. А у нас після диференціювання має вийти просто ікс. Чи не котить. Але...

Ми з вами вчений народ. Атестати отримали.) І зі школи знаємо, що обидві частини будь-якої рівності можна множити і ділити на те саме число (крім нуля, зрозуміло)! Так вже влаштовані. Ось і реалізуємо цю можливість собі на благо.)

Адже ми хочемо, щоб праворуч залишився чистий ікс, вірно? А двійка заважає ... Ось і беремо співвідношення для похідної (x 2) = 2x і ділимо обидві його частинина цю двійку:

Так, уже дечого прояснюється. Йдемо далі. Ми знаємо, що будь-яку константу можна винести за знак похідної.Ось так:

Усі формули в математиці працюють як зліва направо, і навпаки – справа наліво. Це означає, що з тим самим успіхом будь-яку константу можна і внести під знак похідної:

У нашому випадку сховаємо двійку в знаменнику (або, що те саме, коефіцієнт 1/2) під знак похідної:

А зараз уважнопридивимося до нашого запису. Що ми бачимо? Ми бачимо рівність, що каже, що похідна від чогось(це щось- у дужках) дорівнює іксу.

Отримана рівність таки означає, що шуканої первісної функції f(x) = x служить функція F(x) = x 2 /2 . Та, що стоїть у дужках під штрихом. Що ж, перевіримо результат. Знайдемо похідну:

Чудово! Отримано вихідну функцію f(x) = x. Від чого танцювали, до того й повернулися. Це означає, що наша первісна знайдена правильно.)

А якщо f(x) = x 2? Чому дорівнює її первісна? Не питання! Ми з вами знаємо (знову ж таки, з правил диференціювання), що:

3x 2 = (x 3)’

І, стало бути,

Вловили? Тепер ми, непомітно для себе, навчилися вважати первісні для будь-якої степеневої функції f(x)=x n. В умі.) Беремо вихідний показник n, збільшуємо його на одиницю, а як компенсацію ділимо всю конструкцію на n+1:

Отримана формулка, між іншим, справедлива не тільки для натурального показника ступеня n, але й будь-якого іншого – негативного, дробового. Це дозволяє легко знаходити первісні від простеньких дробіві коріння.

Наприклад:

Звичайно, n ≠ -1 , інакше в знаменнику формули виходить нуль, і формула втрачає сенс. особливий випадок n = -1трохи пізніше.)

Що таке невизначений інтеграл? Таблиця інтегралів.

Скажімо, чому дорівнює похідна для функції F(x) = x?Ну, одиниця, одиниця – чую невдоволені відповіді… Все правильно. Одиниця. Але… Для функції G(x) = x+1похідна теж дорівнюватиме одиниці:

Також похідна дорівнюватиме одиниці і для функції x+1234 , і для функції x-10 , і для будь-якої іншої функції виду x+C , де З - Будь-яка константа. Бо похідна будь-якої константи дорівнює нулю, а від додавання/віднімання нуля нікому ні холодно ні спекотно.)

Виходить неоднозначність. Виходить, що для функції f(x) = 1первісної служить не тільки функція F(x) = x , а й функція F 1 (x) = x+1234 та функція F 2 (x) = x-10 і так далі!

Так. Саме так.) У всякої ( безперервний на проміжку) функції існує не якась одна первісна, а нескінченно багато - ціла родина! Не одна мама чи тато, а цілий родовід, ага.)

Але! Усіх наших родичів-первоподібних поєднує одне важлива властивість. На те вони й родичі.) Властивість настільки важлива, що в процесі аналізу прийомів інтегрування ми про нього ще не раз згадаємо. І згадуватимемо ще довго.)

Ось воно, це властивість:

Будь-які дві первісні F 1 (x) таF 2 (x) від однієї і тієї ж функціїf(x) відрізняються на константу:

F 1 (x) - F 2 (x) = З.

Кому цікавий доказ – штудируйте літературу чи конспекти лекцій.) Гаразд, так і бути, доведу. Благо підтвердження тут елементарне, на одну дію. Беремо рівність

F 1 (x) - F 2 (x) = С

і диференціюємо обидві його частини.Тобто просто тупо ставимо штрихи:

От і все. Як кажуть, ЧТД. :)

Про що свідчить ця властивість? А про те, що дві різні первісні від однієї і тієї ж функції f(x)не можуть відрізнятися на якийсь вираз із іксом . Лише суворо на константу! Іншими словами, якщо у нас є графік якийсь однією з первісних(Нехай це буде F(x)), то графіки рештинаших первісних будуються паралельним перенесеннямграфіка F(x) уздовж осі ігреків.

Подивимося, як це виглядає на прикладі функції f(x) = x. Усі її первісні, як нам відомо, мають загальний вигляд F(x) = x 2 /2+C . На малюнку це виглядає як безліч парабол, одержуваних з "основної" параболи y = x 2 /2 зсувом вздовж осі OY вгору або вниз залежно від значення константи З.

Пам'ятайте шкільну побудову графіка функції y=f(x)+aзрушенням графіка y=f(x)на "а" одиниць уздовж осі ігреків?) Ось і тут те саме.)

Причому зверніть увагу: наші параболи ніде не перетинаються!Воно й природно. Адже дві різні функції y 1 (x) та y 2 (x) неминуче відповідатимуть двом різним значеннямконстанти – З 1і З 2.

Тому рівняння y1(x) = y2(x) ніколи не має рішень:

З 1 = З 2

x ∊ ∅ , так як З 1 ≠ С2

А тепер ми плавно підходимо до другого наріжного поняття інтегрального числення. Як ми тільки що встановили, у будь-якій функції f(x) існує безліч первісних F(x) + C, що відрізняються один від одного на константу. Це сама нескінченна безліч теж має свою спеціальну назву.) Що ж, прошу любити і шанувати!

Що таке невизначений інтеграл?

Безліч всіх первісних для функції f(x) називається невизначеним інтеграломвід функціїf(x).

Ось і все визначення.)

"Невизначений" - тому, що безліч всіх первісних для однієї і тієї ж функції нескінченно. Занадто багато різних варіантів.)

"Інтеграл" – з докладним розшифруванням цього звірячого слова ми познайомимося у наступному великому розділі, присвяченому певним інтегралам . А поки що, у грубій формі, вважатимемо інтегралом щось загальне, єдине, ціле. А інтегруванням – об'єднання, узагальнення, в даному випадкуперехід від приватного (похідної) до загального (первоподібного). От якось так.

Позначається невизначений інтеграл так:

Читається так само, як і пишеться: інтеграл еф від ікс де ікс. Або інтеграл відеф від ікс де ікс.Ну ви зрозуміли.)

Тепер розберемося із позначеннями.

∫ - інтеграл значок.Сенс той самий, що й штрих для похідної.)

d - значокдиференціалу. Не лякаємось! Навіщо він там потрібен трохи нижче.

f(x) - підінтегральна функція(через "и").

f(x)dx - підінтегральний вираз.Або, власне кажучи, "начинка" інтеграла.

Відповідно до змісту невизначеного інтеграла,

Тут F(x)- та сама первіснадля функції f(x), яку ми так чи інакше знайшли самі.Як саме знайшли – не суть. Наприклад, ми встановили, що F(x) = x 2 /2для f(x)=x.

"С" - довільна стала.Або, більш науково, інтегральна константа. Або константа інтегрування.Все одно.)

А тепер повернемося до наших перших прикладів на пошук первісної. У термінах невизначеного інтеграла можна тепер сміливо записати:

Що таке інтегральна константа і навіщо вона потрібна?

Питання дуже цікаве. І дуже (ДУЖЕ!) важливий. Інтегральна константа з усього нескінченної множинипервісних виділяє ту лінію, яка проходить через задану точку.

В чому суть. З вихідної нескінченної множини первісних (тобто. невизначеного інтегралу) треба виділити ту криву, яка проходитиме через задану точку. З якимись конкретними координатами.Таке завдання завжди скрізь зустрічається при початковому знайомстві з інтегралами. Як у школі, так і у ВНЗ.

Типове завдання:

Серед множини всіх первісних функцій f=x виділити ту, яка проходить через точку (2;2).

Починаємо думати головою ... Багато всіх першоподібних - це значить, спочатку треба проінтегрувати нашу вихідну функцію.Тобто ікс(х). Цим ми займалися трохи вище і отримали таку відповідь:

А тепер знаємо, що саме ми отримали. Ми отримали не одну функцію, а ціле сімейство функцій.Яких саме? Вида y=x 2 /2+C . Залежне від значення константи С. І ось це значення константи нам і належить тепер "відловити".) Ну що, займемося ловом?

Вудка наша - сімейство кривих (парабол) y=x2/2+C.

Константи - це рибини. Багато багато. Але на кожну знайдеться свій гачок та приманка.)

А що ж є приманкою? Правильно! Наша точка (-2; 2).

Ось і підставляємо координати нашої точки у загальний вигляд первісних! Отримаємо:

y(2) = 2

Звідси вже легко шукається C = 0.

Що це означає? Це означає, що з усієї нескінченної множини парабол видуy=x 2 /2+Cтільки парабола з константою С=0нам підходить! А саме:y=x2/2. І лише вона. Тільки ця парабола проходитиме через потрібну нам точку (-2; 2). А ввсі інші параболи з нашого сімейства проходять через цю точку вже не будуть.Через якісь інші точки площини – так, а ось через точку (2; 2) – вже немає. Вловили?

Для наочності ось вам дві картинки - вся родина парабол (тобто невизначений інтеграл) і якась конкретна парабола, відповідна конкретного значенняконстантиі проходить через конкретну точку:

Бачите, наскільки важливо враховувати константу Зпри інтегруванні! Так що не нехтуємо цією літерою "С" і не забуваємо приписувати до остаточної відповіді.

А тепер розберемося, навіщо ж усередині інтегралів скрізь тусується символ dx . Забувають про нього студенти частенько ... А це, між іншим, теж помилка! І досить брутальна. Справа в тому, що інтегрування - операція, зворотна диференціювання. А що саме є результатом диференціювання? Похідна? Правильно, але не зовсім. Диференціал!

У нашому випадку для функції f(x)диференціал її первісної F(x), буде:

Кому незрозумілий цей ланцюжок – терміново повторити визначення і сенс диференціала і те, як саме він розкривається! Інакше в інтегралах гальмуватимете нещадно….

Нагадаю, у грубій обивательській формі, що диференціал будь-якої функції f(x) - це просто твір f'(x)dx. І все! Взяти похідну та помножити її на диференціал аргументу(тобто dx). Тобто будь-який диференціал, по суті, зводиться до обчислення звичайної похідний.

Тому, строго кажучи, інтеграл "береться" не від функції f(x), як прийнято вважати, а від диференціала f(x)dx!Але, в спрощений варіант, прийнято говорити, що "інтеграл береться від функції". Або: "Інтегрується функція f(x)". Це одне і теж.І ми говоритимемо так само. Але про значок dxпри цьому забувати не будемо! :)

І зараз я підкажу, як його не забути під час запису. Уявіть собі спочатку, що ви обчислюєте звичайну похідну змінної ікс. Як ви зазвичай пишете?

Ось так: f'(x), y'(x), у'x. Або більш солідно через відношення диференціалів: dy/dx. Всі ці записи показують, що похідна береться саме з ікса. А не за "гравцем", "те" або якоюсь там іншою змінною.)

Так само і в інтегралах. Запис ∫ f(x)dxнам також як бипоказує, що інтегрування проводиться саме за змінною ікс. Звичайно, це все дуже спрощено і грубо, але зрозуміло, я сподіваюся. І шанси забутиприписати всюдисуще dxрізко знижуються.)

Отже, що таке невизначений інтеграл – розібралися. Прекрасно.) Тепер добре б навчитися ці невизначені інтеграли обчислювати. Або, простіше кажучи, "брати". :) І ось тут на студентів чекає дві новини – хороша і не дуже. Поки почнемо з гарної.)

Новина хороша. Для інтегралів, як і для похідних, існує своя табличка. І всі інтеграли, які нам зустрічатимуться по дорозі, навіть найстрашніші та наворочені, ми за певними правиламибудемо так чи інакше зводити до цих табличних.)

Отже, ось вона, таблиця інтегралів!

Ось така ось красива табличка інтегралів від найпопулярніших функцій. Рекомендую звернути окрема увагана групу формул 1-2 (константа та статечна функція). Це найуживаніші формули в інтегралах!

Третя група формул (тригонометрія), як можна здогадатися, отримана простим зверненнямвідповідних формул для похідних.

Наприклад:

З четвертою групою формул ( показова функція) – все аналогічно.

А ось чотири останні групиформул (5-8) для нас нові.Звідки ж вони взялися і за які такі заслуги саме ці екзотичні функції раптом увійшли до таблиці основних інтегралів? Чим ці групи функцій так виділяються на тлі інших функцій?

Так вже склалося історично у процесі розвитку методів інтегрування . Коли ми будемо тренуватися брати найрізноманітніші інтеграли, ви зрозумієте, що інтеграли від перелічених у таблиці функцій зустрічаються дуже часто. Так часто, що математики віднесли їх до табличних.) Через них виражаються дуже багато інших інтегралів, від складніших конструкцій.

Заради інтересу можна взяти якусь із цих страшних формул і продиференціювати. :) Наприклад, саму звірячу 7-му формулу.

Все нормально. Чи не обдурили математики. :)

Таблицю інтегралів, як і таблицю похідних, бажано знати напам'ять. Принаймні перші чотири групи формул. Це не так важко, як здається на перший погляд. Заучувати напам'ять останні чотири групи (з дробами та корінням) Бувайне варто. Все одно спочатку плутатиметеся, де логарифм писати, де арктангенс, де арксинус, де 1/а, де 1/2а… Вихід тут один – вирішувати більше прикладів. Тоді таблиця сама собою поступово і запам'ятається, а сумніви перестануть.

Особливо цікаві особи, придивившись до таблиці, можуть запитати: а де ж у таблиці інтеграли від інших елементарних "шкільних" функцій - тангенса, логарифму, "арків"? Скажімо, чому в таблиці Є інтеграл від синуса, але при цьому НЕМАЄ, скажімо, інтеграла від тангенсу tg x? Або немає інтеграла від логарифму ln x? Від арксинусу arcsin x? Чим вони гірші? Але повно якихось "лівих" функцій - з корінням, дробами, квадратами…

Відповідь. Нічим не гірше.) Просто вищеназвані інтеграли (від тангенсу, логарифму, арксинусу тощо) не є табличними . І зустрічаються практично значно рідше, ніж ті, що представлені в таблиці. Тому знати напам'ять, Чому вони рівні, зовсім не обов'язково. Достатньо лише знати, як вони обчислюються.)

Що, комусь таки терпеливість? Так і бути, спеціально для вас!

Ну як, заучуватимете? :) Не будете? І не треба.) Але не хвилюйтеся, всі подібні інтеграли ми обов'язково знайдемо. У відповідних уроках. :)

Тепер переходимо до властивостей невизначеного інтеграла. Так-так, нічого не вдієш! Вводиться нове поняття – одразу й якісь його властивості розглядаються.

Властивості невизначеного інтегралу.

Тепер не дуже гарна новина.

На відміну від диференціювання, загальних стандартних правилінтегрування, справедливих На всі випадки життя, у математиці немає. Це фантастика!

Наприклад, ви всі чудово знаєте (сподіваюся!), що будь-якетвір будь-якихдвох функцій f(x)·g(x) диференціюється ось так:

(f(x)·g(x))' = f'(x)·g(x) + f(x)·g'(x).

Будь-якеприватне диференціюється так:

А будь-яка складна функція, хоч би якою накрученою вона була, диференціюється ось так:

І які б функції не ховалися під літерами f і g, загальні правила все одно спрацюють і похідна так чи інакше буде знайдена.

А ось з інтегралами такий номер уже не пройде: для твору, приватного (дробу), а також складної функції загальних формул інтегрування не існує! Немає жодних стандартних правил!Точніше, вони є. Це я даремно математику образив.) Але, по-перше, їх набагато менше, ніж загальних правилдля диференціювання. А по-друге, більшість методів інтегрування, про які ми говоритимемо в наступних уроках, дуже й дуже специфічні. І справедливі лише певного, дуже обмеженого класу функцій. Скажімо, тільки для дробово-раціональних функцій. Або якихось ще.

А якісь інтеграли, хоч і існують у природі, але взагалі ніяк не виражаються через елементарні "шкільні" функції! Так-так, і таких інтегралів повно! :)

Саме тому інтегрування – набагато більш трудомістке та копітке заняття, ніж диференціювання. Але в цьому є і своя особливість. Заняття це творче і дуже захоплююче.) І, якщо ви добре засвоїте таблицю інтегралів і освоїте хоча б два базові прийоми, про які ми поговоримо далі (і), то інтегрування вам дуже сподобається. :)

А тепер познайомимося з властивостями невизначеного інтеграла. Їх лише нічого. Ось вони.

Перші дві властивості повністю аналогічні таким самим властивостям для похідних і називаються властивостями лінійності невизначеного інтегралу . Тут все просто і логічно: інтеграл від суми/різниці дорівнює сумі/ Різниці інтегралів, а постійний множникможна винести за знак інтегралу.

А ось наступні три якості для нас принципово нові. Розберемо їх детальніше. Звучать російською вони так.

Третя властивість

Похідна від інтеграла дорівнює підінтегральній функції

Все просто, як у казці. Якщо проінтегрувати функцію, а потім назад знайти похідну від результату, то вийде вихідна підінтегральна функція. :) Цією властивістю завжди можна (і потрібно) користуватись для перевірки остаточного результату інтегрування. Обчислили інтеграл – продиференціюйте відповідь! Набули підінтегральну функцію – ОК. Не отримали – отже, десь накосячили. Шукайте помилку.)

Звичайно ж, у відповіді можуть виходити настільки звірячі та громіздкі функції, що і назад диференціювати їх небажання, так. Але краще, наскільки можна, намагатися себе перевіряти. Хоча б у тих прикладах, де це нескладно.)

Четверта властивість

Диференціал від інтеграла дорівнює підінтегральному виразу .

Тут нічого особливого. Суть та сама, тільки dx на кінці з'являється. Відповідно до попередньої властивості та правил розкриття диференціала.

П'ята властивість

Інтеграл від диференціалу деякої функції дорівнює сумі цієї функції та довільної постійної .

Теж дуже проста властивість. Ним ми теж регулярно користуватимемося в процесі вирішення інтегралів. Особливо – в і.

Ось такі корисні властивості. Занудити з їхніми суворими доказами я не збираюся тут. Бажаючим пропоную це зробити самостійно. Прямо за змістом похідної та диференціала. Доведу лише остання, п'ята властивість, бо вона менш очевидна.

Отже, ми маємо твердження:

Витягуємо "начинку" нашого інтегралу та розкриваємо, згідно з визначенням диференціала:

Про всяк випадок, нагадую, що, згідно з нашими позначеннями похідною та первісною, F’(x) = f(x) .

Вставляємо тепер наш результат назад усередину інтеграла:

Отримано точно визначення невизначеного інтегралу (Нехай простить мене російська мова)! :)

От і все.)

Що ж. На цьому наше початкове знайомствоз таємничим світомінтегралів вважаю таким, що відбувся. На сьогодні пропоную закруглитись. Ми вже достатньо озброєні, щоб іти у розвідку. Якщо не кулеметом, то хоча б водяним пістолетом базовими властивостями та таблицею. :) У наступному уроціНа нас уже чекають найпростіші невинні приклади інтегралів на пряме застосуваннятаблиці та виписаних властивостей.

До зустрічі!

Для кожного математичної діїІснує зворотна йому дія. Для дії диференціювання (знаходження похідних функцій) також існує зворотна дія- Інтегрування. За допомогою інтегрування знаходять (відновлюють) функцію за заданою похідною або диференціалу. Знайдену функцію називають первісної.

Визначення.Диференційована функція F(x)називається первісною для функції f(x)на заданому проміжку, якщо для всіх хз цього проміжку справедлива рівність: F′(x)=f(x).

приклади. Знайти первісні для функцій: 1) f(x) = 2x; 2) f(x) = 3cos3x.

1) Оскільки (х²)′=2х, то, за визначенням, функція F(x)=x² буде першорядною для функції f(x)=2x.

2) (sin3x)′=3cos3x. Якщо позначити f(x)=3cos3x і F(x)=sin3x, то, за визначенням первісної, маємо: F′(x)=f(x), і, отже, F(x)=sin3x є первісною для f( x) = 3cos3x.

Зауважимо, що і (sin3x +5 )′= 3cos3xі (sin3x -8,2 )′= 3cos3x, ... у загальному вигляді можна записати: (sin3x +С)′= 3cos3x, де З- Деяка постійна величина. Ці приклади говорять про неоднозначність дії інтегрування, на відміну від дії диференціювання, коли в будь-якій функції, що диференціюється, існує єдина похідна.

Визначення.Якщо функція F(x)є первісною для функції f(x)на деякому проміжку, то безліч всіх первісних цієї функції має вигляд:

F(x)+Cде С - будь-яке дійсне число.

Сукупність всіх первісних F (x) + C функції f (x) на проміжку, що розглядається, називається невизначеним інтегралом і позначається символом ∫ (Знак інтеграла). Записують: ∫f(x) dx=F(x)+C.

Вираз ∫f (x) dxчитають: «інтеграл еф від ікс до де ікс».

f(x) dx- Підінтегральний вираз,

f(x)- Підінтегральна функція,

х- Змінна інтегрування.

F(x)- Первісна для функції f(x),

З- Деяка постійна величина.

Тепер розглянуті приклади можна записати так:

1) ∫ 2хdx=x²+C. 2) ∫ 3cos3xdx=sin3x+C.

Що означає знак d?

d -знак диференціала - має подвійне призначення: по-перше, цей знак відокремлює підінтегральну функцію від змінної інтегрування; по-друге, все, що стоїть після цього знака, диференціюється за умовчанням і множиться на підінтегральну функцію.

приклади. Знайти інтеграли: 3) ∫ 2pxdx; 4) ∫ 2pxdp.

3) Після піктограми диференціалу dстоїть хх, а р

∫ 2хрdx=рх²+С. Порівняйте з прикладом 1).

Зробимо перевірку. F′(x)=(px²+C)′=p·(x²)′+C′=p·2x=2px=f (x).

4) Після піктограми диференціалу dстоїть р. Отже, змінна інтеграція р, а множник хслід вважати деякою постійною величиною.

∫ 2хрdр=р²х+С. Порівняйте з прикладами 1) і 3).

Зробимо перевірку. F′(p)=(p²x+C)′=x·(p²)′+C′=x·2p=2px=f (p).

Цей урок – перший із серії відео, присвячених інтегруванню. У ньому ми розберемо, що таке первісна функція, а також вивчимо елементарні прийоми обчислення цих самих первісних.

Насправді тут немає нічого складного: по суті, все зводиться до поняття похідної, з яким ви вже повинні знайомі.

Відразу зазначу, що, оскільки це найперший урок у нашій новій темі, сьогодні не буде жодних складних обчисленьі формул, але те, що ми вивчимо сьогодні, ляже в основу набагато складніших викладок та конструкцій при обчисленні складних інтегралів та площ.

Крім того, приступаючи до вивчення інтегрування та інтегралів зокрема, ми неявно припускаємо, що учень уже, як мінімум, знайомий до понять похідної та має хоча б елементарні навички їх обчислення. Без чіткого розумінняцього робити в інтегруванні зовсім нічого.

Однак тут криється одна з найчастіших і підступних проблем. Справа в тому, що, починаючи обчислювати свої перші первообразні, багато учнів плутають їх із похідними. В результаті на іспитах та самостійних роботахдопускаються дурні та образливі помилки.

Тому зараз я не даватиму чіткого визначення первісної. А натомість пропоную вам подивитися, як вона вважається на простому конкретному прикладі.

Що таке первісна і як вона вважається

Ми знаємо таку формулу:

\[((\left(((x)^(n)) \right))^(\prime ))=n\cdot ((x)^(n-1))\]

Вважається ця похідна елементарно:

\[(f)"\left(x \right)=((\left(((x)^(3)) \right))^(\prime ))=3((x)^(2))\ ]

Подивимося уважно на отриманий вираз і виразимо $((x)^(2))$:

\[((x)^(2))=\frac(((\left(((x)^(3)) \right))^(\prime )))(3)\]

Але ми можемо записати і так, згідно з визначенням похідної:

\[((x)^(2))=((\left(\frac(((x)^(3)))(3) \right))^(\prime ))\]

А тепер увага: те, що ми тільки-но записали і є визначенням першорядної. Але щоб записати її правильно, потрібно написати таке:

Аналогічно запишемо і такий вираз:

Якщо ми узагальним це правило, то зможемо вивести таку формулу:

\[((x)^(n))\to \frac(((x)^(n+1)))(n+1)\]

Наразі ми можемо сформулювати чітке визначення.

Первоподібною функцією називається така функція, похідна якої дорівнює вихідній функції.

Питання про первинну функцію

Здавалося б, досить просте та зрозуміле визначення. Однак, почувши його, у уважного учня одразу виникне кілька запитань:

1. Допустимо, добре, ця формула вірна. Однак у цьому випадку при $n=1$ у нас виникають проблеми: у знаменнику з'являється нуль, а на нуль ділити не можна.
2. Формула обмежується лише ступенями. Як вважати первісну, наприклад, синуса, косинуса та будь-якої іншої тригонометрії, а також констант.
3. Екзистенційне питання: а чи взагалі можна знайти первісну? Якщо так, то як бути з первісної суми, різниці, твори тощо?

На останнє запитання я відповім одразу. На жаль, первісна, на відміну похідної, вважається який завжди. Нема такої універсальної формули, за якою з будь-якої вихідної конструкції ми отримаємо функцію, яка дорівнюватиме цій подібній конструкції. А щодо ступенів і констант — зараз ми про це поговоримо.

Розв'язання задач зі статечними функціями

\[((x)^(-1))\to \frac(((x)^(-1+1)))(-1+1)=\frac(1)(0)\]

Як бачимо, дана формуладля $((x)^(-1))$ не працює. Постає питання: а що тоді працює? Невже ми можемо порахувати $((x)^(-1))$? Звичайно можемо. Тільки давайте спершу згадаємо таке:

\[((x)^(-1))=\frac(1)(x)\]

Тепер подумаємо: похідна якої функції дорівнює $ frac (1) (x) $. Очевидно, що будь-який учень, який хоч трохи займався цією темою, згадає, що до цього виразу дорівнює похідна натурального логарифму:

\[((\left(\ln x \right))^(\prime ))=\frac(1)(x)\]

Тому ми впевнено можемо записати наступне:

\[\frac(1)(x)=((x)^(-1))\to \ln x\]

Цю формулу потрібно знати, так само, як і похідну статечної функції.

Отже, що нам відомо на даний момент:

• Для статечної функції $((x)^(n))\to \frac(((x)^(n+1)))(n+1)$
• Для константи - $ = const \ to \ cdot x $
• Частковий випадок статечної функції - $\frac(1)(x)\to \ln x$

А якщо найпростіші функції ми почнемо множити і ділити, як тоді порахувати первісну твори чи приватного. На жаль, аналогії із похідною твору чи приватного тут не працюють. Якийсь стандартної формулине існує. Для деяких випадків існують хитрі спеціальні формули – з ними ми познайомимося на майбутніх відеоуроках.

Однак запам'ятайте: загальної формули, аналогічною формулою для обчислення похідної частки та твору, не існує.

Розв'язання реальних завдань

Завдання №1

Давайте кожну з статечних функційпорахуємо окремо:

\[((x)^(2))\to \frac(((x)^(3)))(3)\]

Повертаючись до нашого висловлювання, ми запишемо загальну конструкцію:

Завдання № 2

Як я вже казав, первісні твори та приватного «напролом» не вважаються. Однак тут можна вчинити так:

Ми розтрощили дріб на суму двох дробів.

Порахуємо:

Хороша новина полягає в тому, що знаючи формули обчислення первісних, ви вже здатні вважати більше складні конструкції. Однак давайте підемо далі і розширимо наші знання ще трохи. Справа в тому, що багато конструкцій і виразів, які, на перший погляд, не мають жодного відношення до $((x)^(n))$, можуть бути представлені у вигляді ступеня з раціональним показником, а саме:

\[\sqrt(x)=((x)^(\frac(1)(2)))\]

\[\sqrt[n](x)=((x)^(\frac(1)(n)))\]

\[\frac(1)(((x)^(n)))=((x)^(-n))\]

Всі ці прийоми можна комбінувати. Ступінні виразиможна, можливо

• множити (ступеня складаються);
• ділити (ступеня віднімаються);
• множити на константу;
• і т.д.

Рішення виразів зі ступенем із раціональним показником

Приклад №1

Порахуємо кожен корінь окремо:

\[\sqrt(x)=((x)^(\frac(1)(2)))\to \frac(((x)^(\frac(1)(2)+1)))(\ frac(1)(2)+1)=\frac(((x)^(\frac(3)(2))))(\frac(3)(2))=\frac(2\cdot (( x)^(\frac(3)(2))))(3)\]

\[\sqrt(x)=((x)^(\frac(1)(4)))\to \frac(((x)^(\frac(1)(4))))(\frac( 1)(4)+1)=\frac(((x)^(\frac(5)(4))))(\frac(5)(4))=\frac(4\cdot ((x) ^(\frac(5)(4))))(5)\]

Всього всю нашу конструкцію можна записати так:

Приклад №2

\[\frac(1)(\sqrt(x))=((\left(\sqrt(x) \right))^(-1))=((\left(((x)^(\frac()) 1)(2))) \right))^(-1))=((x)^(-\frac(1)(2)))\]

Отже, ми отримаємо:

\[\frac(1)(((x)^(3)))=((x)^(-3))\to \frac(((x)^(-3+1)))(-3 +1)=\frac(((x)^(-2)))(-2)=-\frac(1)(2((x)^(2)))\]

Отже, збираючи все в один вираз, можна записати:

Приклад №3

Для початку зауважимо, що $sqrt(x)$ ми вже вважали:

\[\sqrt(x)\to \frac(4((x)^(\frac(5)(4))))(5)\]

\[((x)^(\frac(3)(2)))\to \frac(((x)^(\frac(3)(2)+1)))(\frac(3)(2 )+1)=\frac(2\cdot ((x)^(\frac(5)(2))))(5)\]

Перепишемо:

Сподіваюся, я нікого не здивую, якщо скажу, що те, що ми щойно вивчали, — це самі. прості обчисленняпервісні, найпростіші конструкції. Давайте зараз розглянемо трохи більше складні приклади, в яких крім табличних первісних ще потрібно згадати шкільну програму, А саме, формули скороченого множення.

Рішення складніших прикладів

Завдання №1

Згадаймо формулу квадрата різниці:

\[((\left(a-b \right))^(2))=((a)^(2))-ab+((b)^(2))\]

Давайте перепишемо нашу функцію:

Першорядну таку функцію нам зараз належить знайти:

\[((x)^(\frac(2)(3)))\to \frac(3\cdot ((x)^(\frac(5)(3))))(5)\]

\[((x)^(\frac(1)(3)))\to \frac(3\cdot ((x)^(\frac(4)(3))))(4)\]

Збираємо все у загальну конструкцію:

Завдання № 2

В цьому випадку нам потрібно розкрити куб різниці. Згадаймо:

\[((\left(a-b \right))^(3))=((a)^(3))-3((a)^(2))\cdot b+3a\cdot ((b)^ (2))-((b)^(3))\]

З огляду на цей факт можна записати так:

Давайте трохи перетворимо нашу функцію:

Вважаємо як завжди - по кожному доданку окремо:

\[((x)^(-3))\to \frac(((x)^(-2)))(-2)\]

\[((x)^(-2))\to \frac(((x)^(-1)))(-1)\]

\[((x)^(-1))\to \ln x\]

Запишемо отриману конструкцію:

Завдання №3

Зверху у нас коштує квадрат суми, давайте його розкриємо:

\[\frac(((\left(x+\sqrt(x) \right))^(2)))(x)=\frac(((x)^(2))+2x\cdot \sqrt(x )+((\left(\sqrt(x) \right))^(2)))(x)=\]

\[=\frac(((x)^(2)))(x)+\frac(2x\sqrt(x))(x)+\frac(x)(x)=x+2((x) ^(\frac(1)(2)))+1\]

\[((x)^(\frac(1)(2)))\to \frac(2\cdot ((x)^(\frac(3)(2))))(3)\]

Давайте напишемо підсумкове рішення:

А тепер увага! Дуже важлива річ, з якою пов'язана левова часткапомилок та непорозуміння. Справа в тому, що досі вважаючи першорядні за допомогою похідних, наводячи перетворення, ми не замислювалися про те, чому дорівнює похідна константи. Адже похідна константи дорівнює «нулю». А це означає, що можна записати такі варіанти:

1. $((x)^(2))\to \frac(((x)^(3)))(3)$
2. $((x)^(2))\to \frac(((x)^(3)))(3)+1$
3. $((x)^(2))\to \frac(((x)^(3)))(3)+C$

Ось це дуже важливо розуміти: якщо похідна функції завжди одна й та сама, то першорядних в одній і тій же функції нескінченно багато. Просто до наших первісних ми можемо дописувати будь-які числа-константи та отримувати нові.

Невипадково, у поясненні до завдань, які ми щойно вирішували, було написано «Запишіть загальний вигляд первісних». Тобто. вже заздалегідь передбачається, що їх не одна, а безліч. Але, насправді, вони відрізняються лише константою $C$ наприкінці. Тому в наших завданнях ми виправимо те, чого ми не дописали.

Ще раз переписуємо наші конструкції:

У разі слід дописувати, що $C$ — константа — $C=const$.

У другій нашій функції ми отримаємо таку конструкцію:

І остання:

І ось тепер ми справді отримали те, що від нас вимагалося у вихідній умові завдання.

Розв'язання задач на знаходження первісних із заданою точкою

Зараз, коли ми знаємо про константів і особливості запису першоподібних, цілком логічно виникає наступний типзадач, коли з безлічі всіх первісних потрібно знайти одну-єдину таку, яка проходила через задану точку. У чому полягає це завдання?

Справа в тому, що всі первісні цієї функції відрізняються лише тим, що вони зрушені по вертикалі на якесь число. А це означає, що яку б точку на координатної площиними не взяли, обов'язково пройде одна первісна, і, до того ж, тільки одна.

Отже, завдання, які зараз ми вирішуватимемо, сформульовані в такий спосіб: не просто знайти первісну, знаючи формулу вихідної функції, а вибрати саме таку з них, яка проходить через задану точку, координати якої будуть дані за умови завдання.

Приклад №1

Для початку просто порахуємо кожне доданок:

\[((x)^(4))\to \frac(((x)^(5)))(5)\]

\[((x)^(3))\to \frac(((x)^(4)))(4)\]

Тепер підставляємо ці висловлювання до нашої конструкції:

Ця функція повинна проходити через точку $M\left(-1;4\right)$. Що означає, що вона проходить через точку? Це означає, що якщо замість $x$ поставити скрізь $-1$, а замість $F\left(x \right)$ - $-4$, то ми повинні отримати правильне числова рівність. Давайте так і зробимо:

Ми бачимо, що у нас вийшло рівняння щодо $C$, тому давайте спробуємо його вирішити:

Давайте запишемо те саме рішення, яке ми шукали:

Приклад №2

Насамперед необхідно розкрити квадрат різниці за формулою скороченого множення:

\[((x)^(2))\to \frac(((x)^(3)))(3)\]

Вихідна конструкція запишеться так:

Тепер давайте знайдемо $C$: підставимо координати точки $M$:

\[-1=\frac(8)(3)-12+18+C\]

Висловлюємо $C$:

Залишилося відобразити підсумковий вираз:

Розв'язання тригонометричних завдань

В якості фінального акордудо того, що ми щойно розібрали, пропоную розглянути дві більш складні завдання, В яких міститься тригонометрія. У них точно так само потрібно знайти першорядні для всіх функцій, потім вибрати з цієї множини одну-єдину, яка проходить через точку $M$ на координатній площині.

Забігаючи наперед, хотів би зазначити, що той прийом, який ми зараз будемо використовувати для знаходження первісних від тригонометричних функцій, насправді, є універсальним прийомомдля самоперевірки.

Завдання №1

Згадаймо таку формулу:

\[((\left(\text(tg)x \right))^(\prime ))=\frac(1)(((\cos )^(2))x)\]

Виходячи з цього, ми можемо записати:

Давайте підставимо координати точки $M$ у наш вираз:

\[-1=\text(tg)\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(\text(4))+C\]

Перепишемо вираз з урахуванням цього факту:

Завдання № 2

Тут буде трохи складніше. Зараз побачите чому.

Згадаймо таку формулу:

\[((\left(\text(ctg)x \right))^(\prime ))=-\frac(1)(((\sin )^(2))x)\]

Щоб позбутися «мінусу», необхідно зробити наступне:

\[((\left(-\text(ctg)x \right))^(\prime ))=\frac(1)(((\sin )^(2))x)\]

Ось наша конструкція

Підставимо координати точки $M$:

Разом запишемо остаточну конструкцію:

Ось і все, про що я сьогодні хотів вам розповісти. Ми вивчили сам термін первісних, як рахувати їх від елементарних функцій, а також як знаходити первісну, яка проходить через конкретну точку на координатній площині.

Сподіваюся, цей урок хоч трохи допоможе вам розібратися у цій складній темі. У будь-якому випадку, саме на первісних будуються невизначені та невизначені інтегралитому вважати їх абсолютно необхідно. На цьому маю все. До нової зустрічі!