Знайти значення функції комплексного числа. Модуль та аргумент комплексного числа

Основи теорії комплексних чисел.

Числові множини. Необхідність розширення поняття числа.

Одним із основних понять математики є поняття числа. Це поняття пройшло тривалий шлях розвитку, збагачуючись новим змістом.

Історично першими виникли у практиці та були введені в науку натуральні числа, які є інструментом для рахунку кількості окремих предметів. Вони утворюють нескінченна безліч, що позначається N.

Потім виникла необхідність запровадження негативних чисел у ході практичної діяльностілюдини (поняття обов'язку). Цілі негативні числа разом з натуральними і числом 0 утворюють безліч Z.

Потреба практики, і навіть внутрішні потреби самої математики, її логічного розвитку, показали недостатність безлічі раціональних чиселдля вирішення різних завдань.

Наприклад,

Такі числа отримали назву ірраціональних.

Тому виникла потреба створити нове розширене безліч чисел, у якому кожної точки числової прямої перебувало б числове значенняі в якому вирішувалося б будь-яке рівняння виду x n = a. Така множина отримала назву дійсних або дійсних чисел R.

Кожна попередня множина міститься в наступному:

Розвиток науки і практики показало недостатність введеної множини R. На цій множині нерозв'язно найпростіше рівняння

Щоб позбутися цього, було введено позначення

Отримане число i було названо уявною одиницею.

Історична довідка.

1545 р. – італійський математикДжироламо Карданопри вирішенні кубічних рівняньвперше випадково отримав уявні числа

1748 р. – російський математикЛеонард Ейлер знайшов співвідношенняе ix = cos x + i∙sin x

1803 р. – французький математикЛазар Нікола Карнозапровадив поняття комплексного числа.

1835 р. – німецький математикКарл Фрідріх Гаусобґрунтував існування комплексного числа.

Визначення. Уявною одиницею i називається число, квадрат якого дорівнює -1.

Визначення. Комплексним числомназивається число виду а + i∙b, де а та b – дійсні числа. Число а називаєтьсядійсною частиною комплексного числа, b - уявною частиною комплексного числа. (АЛЕ НЕ i∙b !!!)

Існують два окремі випадки:

Визначення. Запис числа у виглядіа + i∙b називаєтьсяалгебраїчною формою запису комплексного числа.

Визначення . Два комплексні числа називаютьсярівними , якщо рівні їх уявні та дійсні частини.

Визначення . Комплексне число а - i∙b називаєтьсякомплексно пов'язанимдо комплексного числа а + i?b.

Визначення . Комплексні числаа + i∙b та - а - i∙b називаютьсяпротилежними.

Операції над комплексними числами

в формі алгебри записи.

1. Додавання.

Правило . Щоб скласти два комплексні числа в формі алгебри записи потрібно скласти їх уявні і дійсні частини.

(a 1 + ib 1) + (a 2 + ib 2) =

(3 + 5i) + (-2 + 7i) =

2. Віднімання.

Правило . Щоб відняти два комплексних числа в формі алгебри записи потрібно відняти відповідно їх уявні і дійсні частини.

(a 1 + ib 1) - (a 2 + ib 2) =

(3 + 5i) - (-2 + 7i) =

3. Множення.

Правило . Щоб помножити два комплексні числа в формі алгебри записи потрібно помножити їх почленно і привести до форми алгебри записи.

(a 1 + ib 1 ) ∙ (a 2 + ib 2 ) =

(3 + 5i) ∙ (-2 + 7i) =

4. Розподіл.

Правило . Щоб розділити одне комплексне число на інше, потрібно обидва числа помножити на комплексно пов'язане до дільника і виконати дії.

Завдання.

1. Які з таких чисел рівні?

0,3+0,2i

0,3 - 0,2i

0,6+0,4i

1. Які з таких чисел є дійсними? Чисто уявними?

2+0i

0 + 2i

3 – 5i

4+2i

1. Знайти всі сполучені та протилежні до даних комплексних чисел.

Нагадаємо необхідні відомостіпро комплексні числа.

Комплексне число- це вираз виду a + bi, де a, b- дійсні числа, а i- так звана уявна одиниця, символ, квадрат якого дорівнює –1, тобто i 2 = -1. Число aназивається дійсною частиною, а число b - уявною частиноюкомплексного числа z = a + bi. Якщо b= 0, то замість a + 0iпишуть просто a. Видно, що дійсні числа – це окремий випадоккомплексних чисел.

Арифметичні дії над комплексними числами самі, як і дійсними: їх можна складати, віднімати, множити і ділити друг на друга. Додавання та віднімання відбуваються за правилом ( a + bi) ± ( c + di) = (a ± c) + (b ± d)i, а множення - за правилом ( a + bi) · ( c + di) = (ac – bd) + (ad + bc)i(тут використовується, що i 2 = -1). Число = a – biназивається комплексно-сполученимдо z = a + bi. Рівність z · = a 2 + b 2 дозволяє зрозуміти, як ділити одне комплексне число на інше (ненульове) комплексне число:

(Наприклад, .)

У комплексних чисел є зручне та наочне геометричне уявлення: число z = a + biможна зображати вектором з координатами ( a; b) на декартовій площині (або, що майже те саме, точкою - кінцем вектора з цими координатами). При цьому сума двох комплексних чисел зображується як сума відповідних векторів (яку можна знайти за правилом паралелограма). За теоремою Піфагора довжина вектора з координатами ( a; b) дорівнює. Ця величина називається модулемкомплексного числа z = a + biта позначається | z|. Кут, який цей вектор утворює з позитивним напрямом осі абсцис (відрахований проти годинникової стрілки), називається аргументомкомплексного числа zі позначається Arg z. Аргумент визначено не однозначно, а лише з точністю до збільшення величини, кратної 2 π радіан (або 360 °, якщо рахувати в градусах) - адже ясно, що поворот на такий кут навколо початку координат не змінить вектор. Але якщо вектор довжини rутворює кут φ з позитивним напрямом осі абсцис, його координати рівні ( r· cos φ ; r· sin φ ). Звідси виходить тригонометрична форма записукомплексного числа: z = |z| · (cos (Arg z) + i sin(Arg z)). Часто буває зручно записувати комплексні числа саме в такій формі, тому що це спрощує викладки. Множення комплексних чисел у тригонометричній формі виглядає дуже просто: z 1 · z 2 = |z 1 | · | z 2 | · (cos (Arg z 1 + Arg z 2) + i sin(Arg z 1 + Arg z 2)) (при множенні двох комплексних чисел їх модулі перемножуються, а аргументи складаються). Звідси випливають формули Муавра: z n = |z|n· (cos ( n· (Arg z)) + i sin( n· (Arg z))). За допомогою цих формул легко навчитися видобувати коріння будь-якого ступеня з комплексних чисел. Корінь n-го ступеняз числа z- це таке комплексне число w, що w n = z. Видно що , а де kможе приймати будь-яке значення з множини (0, 1, ..., n- 1). Це означає, що завжди є рівно nкоріння n-й ступеня з комплексного числа (на площині вони розташовуються у вершинах правильного n-кутника).

Так називають числа виду , де - дійсні числа, а - число особливого роду, квадрат якого дорівнює , тобто. . Дії над комплексними числами виконуються за такими ж правилами, що і над багаточленами, при цьому замінюють на . Наприклад:

;

;

.

Рівність означає, що і .

Давньогрецькі математики вважали «справжніми» лише натуральні числа, але у практичних розрахунках за два тисячоліття е. в Стародавньому Єгиптіі Стародавньому Вавилонівже застосовувалися дроби. Наступним важливим етапому розвитку поняття про число було запровадження негативних чисел – це було зроблено китайськими математиками за століття до н.е. Негативні числа застосовував у ІІІ ст. н.е. давньогрецький математик Діофант, який уже знав правила дій з них, а VII в. н.е. ці числа докладно вивчили індійські вчені, які порівнювали такі числа із боргом. З допомогою негативних чисел можна було як описувати зміни величин. Вже у VIII ст. н.е. було встановлено, що квадратний корінь з позитивного числамає два значення – позитивне і негативне, та якщо з негативних чисел квадратні коріння витягти не можна: немає такого числа , щоб .

У XVI ст. у зв'язку з вивченням кубічних рівнянь виявилося необхідним витягувати квадратне коріння з негативних чисел. У формулі для розв'язання кубічних рівнянь (див. Алгебраїчне рівняння) містяться кубічні та квадратні корені. Ця формула безвідмовно діє у разі, коли рівняння має один дійсний корінь (наприклад, для рівняння ), а якщо воно мало три дійсні корені (наприклад, ), то під знаком квадратного коренявиявлялося від'ємне число. Виходило, що шлях до цих трьох коренів рівняння веде через неможливу операцію отримання квадратного кореня з негативного числа.

«Крім і навіть проти волі того чи іншого математика, уявні числа знову і знову з'являються на викладках, і лише поступово, у міру того, як виявляється користь від їх вживання, вони отримують все більше і більше широке розповсюдження». Ф. Клейн

Щоб пояснити парадокс, італійський алгебраїст Дж. Кардано в 1545 р. запропонував ввести числа нової природи. Він показав, що система рівнянь , що не має рішень у множині дійсних чисел, має рішення виду , , потрібно лише умовитися діяти над такими висловлюваннями за правилами звичайної алгебри і вважати, що . Кардано називав такі величини "чисто негативними" і навіть "софістично негативними", вважав їх марними і прагнув не застосовувати їх. Справді, з допомогою таких чисел не можна висловити ні результат виміру якоїсь величини, ні зміна цієї величини. Але вже в 1572 р. вийшла книга італійського алгебраїста Р. Бомбеллі, в якій були встановлені перші правила арифметичних операцій над такими числами, аж до вилучення з них кубічних коренів. Назва «уявні числа» ввів у 1637 р. французький математик і філософ Р. Декарт, а в 1777 р. один із найбільших математиків XVIII ст. – Л. Ейлер запропонував використати першу літеру французького слова imaginaire (уявний) для позначення числа («уявної» одиниці); цей символ увійшов у загальне вживання завдяки К. Гаусс (1831).

Протягом XVII ст. продовжувалося обговорення арифметичної природи уявності, можливості дати їм геометричне тлумачення.

Поступово розвивалася техніка операцій над комплексними числами. на рубежі XVIIта XVIII ст. була збудована загальна теоріякоріння -й ступеня спочатку з негативних, а потім з будь-яких комплексних чисел, заснована на наступній формулі англійського математика А. Муавра (1707)

За допомогою цієї формули можна вивести рівності для косінусів і синусів кратних дуг. Л. Ейлер вивів у 1748 р. чудову формулу

,

яка пов'язувала воєдино показову функціюз тригонометричними. За допомогою формули Ейлера можна зводити число у будь-який комплексний ступінь. Цікаво, наприклад, що . Можна шукати синуси і косинуси від комплексних чисел, обчислювати логарифми таких чисел, тобто. будувати теорію функцій комплексного змінного.

«Адже ніхто не сумнівається в точності результатів, одержуваних при обчисленнях з уявними кількостями, хоча вони являють собою тільки алгебраїчні формиі ієрогліфи безглуздих кількостей». П. Карно

Наприкінці XVIII ст. французький математик Ж. Лагранж зміг сказати, що математичний аналіз не ускладнюють уявні величини. За допомогою комплексних чисел навчилися висловлювати рішення лінійних диференціальних рівняньіз постійними коефіцієнтами. Такі рівняння зустрічаються, наприклад, у теорії коливань матеріальної точкив опірному середовищі. Ще раніше швейцарський математик Я. Бернуллі застосував комплексні числа для обчислення інтегралів.

Хоча в протягом XVIIIв. за допомогою комплексних чисел було вирішено багато питань, у тому числі і прикладні завдання, пов'язані з картографією, гідродинамікою тощо, проте ще було суворо логічного обгрунтування теорії цих чисел. Тому французький вчений П. Лаплас вважав, що результати, одержувані за допомогою уявних чисел, - лише наведення, що набувають характеру справжніх істин лише після підтвердження прямими доказами.

В кінці XVIII-початку XIXв. було отримано геометричне тлумачення комплексних чисел. Данець Г. Вессель, француз Ж. Арган і німець К. Гаус незалежно один від одного запропонували зображати комплексне число крапкою на координатній площині. Пізніше виявилося, що зручніше зображати число не самої точкою , а вектором , що у цю точку початку координат. При такому тлумаченні додавання та віднімання комплексних чисел відповідають ці ж операції над векторами. Вектор можна задавати не тільки його координатами і , але й довжиною і кутом , який він утворює з позитивним напрямом осі абсцис. При цьому, і число набуває вигляду , що називається тригонометричною формою комплексного числа. Число називають модулем комплексного числа та позначають . Число називають аргументом і позначають. Зауважимо, що якщо значення не визначено, а при воно визначено з точністю до кратного . Згадана раніше формула Ейлера дозволяє записати число як (показова форма комплексного числа).

Дуже зручно виконувати множення комплексних чисел у показовій формі. Воно проводиться за формулою тобто. при множенні модулі перемножуються, а аргументи складаються.

Геометричне тлумачення комплексних чисел дозволило визначити багато понять, пов'язані з функціями комплексного змінного, розширило сферу їх застосування. Стало ясно, що комплексні числа корисні у багатьох питаннях, де мають справу з величинами, які зображуються векторами на площині: щодо течії рідини, завдань теорії пружності.

Великий внесок у розвиток теорії функцій комплексного змінного зробили російські та радянські вчені. Н. І. Мусхелішвілі займався її додатками до теорії пружності, М. В. Келдиш та М. А. Лаврентьєв – до аеро- та гідродинаміки, Н. Н. Боголюбов та B. C. Володимиров – до проблем квантової теоріїполя.