Що таке раціональний дріб приклади. Раціональний дріб

Запиши у зошит тему уроку

"Раціональні дроби".

Що це таке?
Це вирази алгебри, які містять розподіл на вираз зі змінними.

Ціле, оскільки воно одно , т. е. цілому вираженню з раціональними коефіцієнтами.

Цілі та дробові вирази називаються раціональними виразами.

Ось з ними нам і доведеться працювати надалі!

Ціле вираз має сенс при будь-яких значеннях змінних, а ось дрібне... ділити на 0 не можна!

Наприклад:
визначено при всіх значеннях змінної і при всіх значеннях b, крім b=3.

При яких значеннях змінної вираз
?

Запам'ятай:
Для будь-яких значень а, b і с, де і , вірна рівність

Якщо ми домножимо дріб на число (тобто помножимо чисельник і знаменник дробу на одне і те ж число), то отримуємо рівний дрібале вже з іншим знаменником.

Якщо ділимо чисельник і знаменник на одне й те саме число, то скорочуємо дріб.
Наприклад:
1) Наведемо дріб до дробу зі знаменником 35у3.
Спочатку поділимо новий знаменник 35у3 на старий 7у та отримаємо додатковий множник 5у2.
А потім помножимо чисельник і знаменник на цей додатковий множник:
.

2) Зменшимо дріб.
Рішення:

Запам'ятай:
Щоб скоротити дріб, треба чисельник і знаменник розкласти на множники і потім поділити їх на рівний множник, тобто. скоротити.

Для розкладання виразу на множники є кілька методів.
Нам з тобою поки що знайомі два з них:
1 метод
Винесення за дужку загального множника.
2 метод
Застосування формул скороченого множення.

Перший і найпростіший спосіб розкладання на множники
винесення загального множника за дужку.

Ac + bc = (a + b) c

Приклад 1: 5ab2c3 - 10a2b3c + 15a3bc2 = 5abc (bc2 - 2ab2 + 3a2c)

Правило:

Якщо всі члени многочлена мають спільний множник (чи кілька спільних множників), то цей множник (ці множники) можна винести за дужку,
при цьому кожен доданок ділимо на вираз, який виносимо за дужку: 5ab2c3: 5abc = bc2 , - 10a2b3c: 5abc = - 2ab2 і, нарешті, 15a3bc2: 5abc = 3a2c (стежте за знаками!)

І треба пам'ятати - за дужку виноситься ступінь із меншим показником.

Самостійно:
Винесіть спільний множник за дужку

Перевір:

Іноді всі члени алгебраїчного виразуне маю спільного множника, але в окремих групах доданків він є, наприклад,

ах+ay+bx+by.

Цей многочлен можна розкласти на множники, з'єднуючи його члени окремі групи

(ax + bx) + (ay + by) = x (a + b) + y (a + b) = (x + y) (a + b).

Приклад:

Застосовуючи метод угруповання доданків розкладіть вираз на множники
3x + xy2 - x2y - 3y

Рішення:
3x + xy2 - x2y - 3y = 3 (x - y) + xy (y -x) = 3 (x - y) - xy (x - y) = (3 - xy) (x - y).

Потренуємося ще:
1) a3 - ab - a2b + a2 ,
2) ab2 - b2y - ax + xy + b2 - x.

Рішення:
1) a3 - ab - a2b + a2 = a3 - a2b - ab + a2 = a2(a - b) + a(a - b) = (a2+ a)(a - b) = a(a +1)(a - b),
2) ab2 - b2y - ax + xy + b2 - x = b2 (a - y + 1) - x (a - y + 1) = (b2 - x) (a - y + 1).

А тепер про 2-й метод.
Якщо складові алгебраїчного виразу немає повторюваних множників, можна спробувати застосувати формули скороченого множення...

Приклади
а) Різниця квадратів:
0,49х4 - 121y2 = (0,7x2)2 - (11y)2 = (0,7x2 - 11y)(0,7x2 + 11y),

Б) Різниця кубів:
1 - 27с3 = 13 - (3с)3 = (1 - 3с) (1 + 3с + 9с2),

В) Квадрат різниці:
4a2 - 12ab + 9b2 = (2a)2 - 22a 3b + (3b)2 = (2a - 3b)2 або (2a - 3b)(2a - 3b),

Г) Куб різниці:
27x6 - 27x4y + 9x2y2 - y3 = (3x2)3 - 3(3x2)2y + 3(3x2)y2 - y3 = (3x2 - y)3 або (3x2 - y)(3x2 - y)(3x2 - y) т .е. три рівні множники!

Алгоритм:
- спочатку "підганяємо зовнішній виглядвирази" під можливу для застосування формулу...
- якщо вийшло - діємо далі як вона (формула) того вимагає...
- якщо не вийшло, то починаємо "приміряти" іншу формулу...
- І так поки не вдасться розкласти вираз на твір множників!

З курсу алгебри шкільної програмипереходимо до конкретики. У цій статті ми докладно вивчимо особливий виглядраціональних виразів – раціональні дроби, а також розберемо, які характерні тотожні перетворення раціональних дробівмають місце.

Відразу відзначимо, що раціональні дроби в тому сенсі, в якому ми їх визначимо нижче, у деяких підручниках алгебри називають дробами алгебри. Тобто, у цій статті ми під раціональними та алгебраїчними дробами розумітимемо одне й те саме.

Зазвичай почнемо з визначення та прикладів. Далі поговоримо про приведення раціонального дробу до нового знаменника та про зміну знаків у членів дробу. Після цього розберемо, як скорочення дробів. Нарешті, зупинимося на поданні раціонального дробу як суми кількох дробів. Всю інформацію постачатимемо прикладами з докладними описамирішень.

Навігація на сторінці.

Визначення та приклади раціональних дробів

Раціональні дроби вивчаються під час уроків алгебри у 8 класі. Ми будемо використовувати визначення раціонального дробу, яке дається у підручнику алгебри для 8 класів Ю. Н. Макарічева та ін.

У даному визначенніне уточнюється, чи мають багаточлени в чисельнику та знаменнику раціонального дробу бути багаточленами стандартного виглядучи ні. Тому, вважатимемо, що у записах раціональних дробів можуть міститися як багаточлени стандартного виду, і не стандартного.

Наведемо кілька прикладів раціональних дробів. Так, x/8 і - Раціональні дроби. А дроби і не підходять під озвучене визначення раціонального дробу, тому що в першій з них у чисельнику стоїть не багаточлен, а в другій і в чисельнику та в знаменнику знаходяться вирази, що не є багаточленами.

Перетворення чисельника та знаменника раціонального дробу

Чисельник і знаменник будь-якого дробу є самодостатніми математичними виразами, у разі раціональних дробів – це багаточлени, в окремому випадку – одночлени та числа. Тому, з чисельником та знаменником раціонального дробу, як і з будь-яким виразом, можна проводити тотожні перетворення. Іншими словами, вираз у чисельнику раціонального дробу можна замінювати тотожно рівним йому виразом, як і знаменник.

У чисельнику та знаменнику раціонального дробу можна виконувати тотожні перетворення. Наприклад, у чисельнику можна провести угруповання та приведення подібних доданків, а знаменнику – добуток кількох чисел замінити його значенням. Оскільки чисельник і знаменник раціонального дробу є багаточлени, то з ними можна виконувати і характерні для багаточленів перетворення, наприклад, приведення до стандартного вигляду або подання у вигляді твору.

Для наочності розглянемо рішення кількох прикладів.

приклад.

Перетворіть раціональний дріб так, щоб у чисельнику виявився багаточлен стандартного вигляду, а в знаменнику – добуток багаточленів.

Рішення.

Приведення раціональних дробів до нового знаменника в основному застосовується при складанні та відніманні раціональних дробів.

Зміна знаків перед дробом, а також у його чисельнику та знаменнику

Основну властивість дробу можна використовувати для зміни знаків у членів дробу. Справді, множення чисельника і знаменника раціонального дробу на -1 рівносильне зміні їх знаків, а результаті вийде дріб, тотожно рівна даної. До такого перетворення доводиться досить часто звертатися під час роботи з раціональними дробами.

Таким чином, якщо одночасно змінити знаки у чисельника і знаменника дробу, то вийде дріб, що дорівнює вихідному. Цьому твердженню відповідає рівність.

Наведемо приклад. Раціональний дріб можна замінити тотожно рівним їй дробом зі зміненими знаками чисельника і знаменника виду.

З дробами можна провести ще одне тотожне перетворення, у якому змінюється знак або чисельнику, чи знаменнику. Озвучимо відповідне правило. Якщо замінити знак дробу разом із знаком чисельника чи знаменника, то вийде дріб, що тотожно дорівнює вихідному. Записаному твердженню відповідають рівності та .

Довести ці рівності нескладно. В основі доказу лежать властивості множення чисел. Доведемо перше їх: . За допомогою аналогічних перетворень доводиться і рівність.

Наприклад, дріб можна замінити виразом або .

На закінчення цього пункту наведемо ще дві корисні рівності. Тобто, якщо змінити знак лише у чисельника чи тільки знаменника, то дріб змінить свій знак. Наприклад, і .

Розглянуті перетворення, що дозволяють змінювати знак у членів дробу, часто застосовуються під час перетворення дробово раціональних виразів.

Скорочення раціональних дробів

В основі наступного перетворення раціональних дробів, що має назву скорочення раціональних дробів, лежить все також основна властивість дробу. Цьому перетворенню відповідає рівність , де a, b та c – деякі багаточлени, причому b та c – ненульові.

З наведеної рівності стає зрозуміло, що скорочення раціонального дробу передбачає порятунок від загального множника в його чисельнику та знаменнику.

приклад.

Скоротіть раціональний дріб.

Рішення.

Відразу видно загальний множник 2 виконаємо скорочення на нього (при записі загальні множники, на які скорочують, зручно закреслювати). Маємо . Так як x 2 = x x і y 7 = y 3 y 4 (при необхідності дивіться ), то зрозуміло, що x є загальним множником чисельника і знаменника отриманого дробу, як і y 3 . Проведемо скорочення на ці множники: . На цьому скорочення завершено.

Вище ми виконували скорочення раціонального дробу послідовно. А можна було виконати скорочення в один крок, відразу скоротивши дріб на 2 x y 3 . У цьому випадку рішення виглядало б так: .

Відповідь:

При скороченні раціональних дробів основна проблема у тому, що загальний множник чисельника і знаменника які завжди видно. Більше того, вона не завжди існує. Для того, щоб знайти загальний множник або переконатися в його відсутності, чисельник і знаменник раціонального дробу розкласти на множники. Якщо загального множника немає, то вихідний раціональний дріб не потребує скорочення, інакше – проводиться скорочення.

У процесі скорочення раціональних дробів можуть бути різні нюанси. Основні тонкощі на прикладах і деталях розібрані у статті скорочення алгебраїчних дробів.

Завершуючи розмову про скорочення раціональних дробів, відзначимо, що це перетворення є тотожним, а основна складність у його проведенні полягає у розкладанні на множники багаточленів у чисельнику та знаменнику.

Подання раціонального дробу у вигляді суми дробів

Досить специфічним, але в деяких випадках дуже корисним, виявляється перетворення раціонального дробу, що полягає в його поданні у вигляді суми кількох дробів, або суми виразу і дробу.

Раціональний дріб, у чисельнику якого знаходиться багаточлен, що є сумою кількох одночленів, завжди можна записати як суму дробів з однаковими знаменниками, у чисельниках яких є відповідні одночлени. Наприклад, . Таке уявлення пояснюється правилом складання та віднімання алгебраїчних дробів з однаковими знаменниками.

Взагалі, будь-який раціональний дріб можна подати у вигляді суми дробів безліччю різних способів. Наприклад, дріб a/b можна як суму двох дробів – довільної дробу c/d і дробу, рівної різницідробів a/b та c/d . Це твердження справедливе, оскільки має місце рівність . Наприклад, раціональний дріб можна подати у вигляді суми дробів у різний спосіб: Подаємо вихідний дріб у вигляді суми цілого виразу та дробу. Виконавши розподіл чисельника на знаменник стовпчиком, ми отримаємо рівність . Значення вираз n 3 +4 за будь-якого цілому n є цілим числом. А значення дробу є цілим числом тоді й лише тоді, коли його знаменник дорівнює 1 −1 3 або −3 . Цим значенням відповідають значення n=3 n=1 n=5 і n=−1 відповідно.

Відповідь:

−1 , 1 , 3 , 5 .

Список літератури.

Алгебра:навч. для 8 кл. загальноосвіт. установ/[Ю. Н. Макарічев, Н. Г. Міндюк, К. І. Нешков, С. Б. Суворова]; за ред. С. А. Теляковського. - 16-те вид. – М.: Просвітництво, 2008. – 271 с. : іл. - ISBN 978-5-09-019243-9.
Мордковіч А. Г.Алгебра. 7 клас. У 2 год. Ч. 1. Підручник для учнів загальноосвітніх установ/ А. Г. Мордкович. - 13-те вид., Випр. – К.: Мнемозіна, 2009. – 160 с.: іл. ISBN 978-5-346-01198-9.
Мордковіч А. Г.Алгебра. 8 клас. У 2 ч. ч. 1. Підручник для учнів загальноосвітніх установ / А. Г. Мордкович. - 11-те вид., стер. – К.: Мнемозіна, 2009. – 215 с.: іл. ISBN 978-5-346-01155-2.
Гусєв В. А., Мордкович А. Г.Математика (посібник для вступників до технікумів): Навч. посібник.- М.; Вищ. шк., 1984.-351 с., іл.

Будь-який дробовий вираз (п. 48) можна записати у вигляді , де Р і Q - раціональні вирази, причому Q обов'язково містить змінні. Такий дріб - називають раціональним дробом.

Приклади раціональних дробів:

Основна властивість дробу виражається тотожністю справедливою за умов тут - ціле раціональний вираз. Це означає, що чисельник і знаменник раціонального дробу можна помножити чи розділити одне й те відмінне від нуля число, одночлен чи многочлен.

Наприклад, властивість дробу може бути використана для зміни знаків членів дробу. Якщо чисельник та знаменник дробу - помножити на -1, отримаємо Таким чином, значення дробу не зміниться, якщо одночасно змінити знаки у чисельника та знаменника. Якщо ж змінити знак лише у чисельника чи тільки у знаменника, то й дріб змінить свої знак:

Наприклад,

60. Скорочення раціональних дробів.

Скоротити дріб - це означає розділити чисельник та знаменник дробу на загальний множник. Можливість такого скорочення обумовлена основною властивістю дробу.

Щоб скоротити раціональну дріб, потрібно чисельник і знаменник розкласти на множники. Якщо виявиться, що чисельник та знаменник мають спільні множники, то дріб можна скоротити. Якщо загальних множників немає, перетворення дробу у вигляді скорочення неможливо.

приклад. Скоротити дріб

Рішення. Маємо

Скорочення дробу виконано за умови.

61. Приведення раціональних дробів до спільного знаменника.

Спільним знаменником кількох раціональних дробів називається цілий раціональний вираз, який поділяється на знаменник кожного дробу (див. п. 54).

Наприклад, загальним знаменником дробів і служить многочлен оскільки він ділиться і на і багаточлен і многочлен і многочлен тощо. буд. Зазвичай беруть такий спільний знаменник, що будь-який інший спільний знаменник ділиться на Еібранний. Такий найпростіший знаменникназивають іноді найменшим загальним знаменником.

У розглянутому вище прикладі загальний знаменник дорівнює Маємо

Приведення даних дробів до спільного знаменника досягнуто шляхом множення чисельника та знаменника першого дробу на 2. а чисельника та знаменника другого дробу на Багаточлени називаються додатковими множниками відповідно для першого та другого дробу. Додатковий множник для даного дробу дорівнює частці від поділу спільного знаменника на знаменник даного дробу.

Щоб кілька раціональних дробів привести до спільного знаменника, потрібно:

1) розкласти знаменник кожного дробу на множники;

2) скласти спільний знаменник, включивши в нього як співмножники всі множники отриманих у п. 1) розкладів; якщо деякий множник є у кількох розкладаннях, він береться з показником ступеня, рівним найбільшому з наявних;

3) знайде додаткові множники для кожного з дробів (для цього спільний знаменник ділять на знаменник дробу);

4) домноживши чисельник і знаменник кожного дробу на додатковий множник, привести дроб до загального знаменника.

приклад. Привести до спільного знаменника дробу

Рішення. Розкладемо знаменники на множники:

До загального знаменника треба включити такі множники: і найменше загальне кратне чисел 12, 18, 24, тобто . Отже, спільний знаменник має вигляд

Додаткові множники: для першого дробу для другого для третього Значить отримуємо:

62. Додавання та віднімання раціональних дробів.

Сума двох (і взагалі будь-якого кінцевого числа) раціональних дробів з однаковими знаменниками тотожно дорівнює дробу з тим самим знаменником і з чисельником, рівним сумічисельників дробів, що складаються:

Аналогічно справа у разі віднімання дробів з однаковими знаменниками:

Приклад 1. Спростити вираз

Рішення.

Для складання або віднімання раціональних дробів з різними знаменникамипотрібно насамперед привести дроби до спільного знаменника, та був виконати операції над отриманими дробами з однаковими знаменниками.

Приклад 2. Спростити вираз

Рішення. Маємо

63. Множення та розподіл раціональних дробів.

Добуток двох (і взагалі будь-якого кінцевого числа) раціональних дробів тотожно дорівнює дробу, чисельник якого дорівнює творучисельників, а знаменник - твору знаменників дробів, що перемножуються:

Приватне від поділу двох раціональних дробів тотожно дорівнює дробу, чисельник якого дорівнює добутку чисельника першого дробу на знаменник другого дробу, а знаменник - добутку внаменника першого дробу на чисельник другого дробу:

Сформульовані правила множення та поділу поширюються і на випадок множення або поділу на багаточлен: достатньо записати цей багаточлен у вигляді дробу зі знаменником 1.

Враховуючи можливість скорочення раціонального дробу, отриманого в результаті множення або поділу раціональних дробів, зазвичай прагнуть до виконання цих операцій розкласти на множники чисельники та знаменники вихідних дробів.

Приклад 1. Виконати множення

Рішення. Маємо

Використовуючи правило множення дробів, отримуємо:

Приклад 2. Виконати поділ

Рішення. Маємо

Використовуючи правило розподілу, отримуємо:

64. Зведення раціонального дробу на цілий ступінь.

Щоб звести раціональний дріб - натуральний ступінь, потрібно звести в цей ступінь окремий чисельник і знаменник дробу; перший вираз – чисельник, а другий вираз – знаменник результату:

Приклад 1. Перетворити на дріб ступінь 3.

Рішення Рішення.

При зведенні дробу в цілу негативний ступіньвикористовується тотожність справедливе за всіх значеннях змінних, у яких .

Приклад 2. Перетворити на дріб вираз

65. Перетворення раціональних виразів.

Перетворення будь-якого раціонального виразу зводиться до додавання, віднімання, множення та поділу раціональних дробів, а також до зведення дробу в натуральний ступінь. Будь-який раціональний вираз можна перетворити на дріб, чисельник і знаменник якої - цілі раціональні вирази; в цьому, як правило, полягає мета тотожних перетвореньраціональних виразів.

приклад. Спростити вираз

66. Найпростіші перетворення арифметичних коренів (радикалів).

При перетворенні арифметичних корій використовуються їх властивості (див. п. 35).

Розглянемо кілька прикладів застосування властивостей арифметичних коренівдля найпростіших перетворень радикалів. При цьому всі змінні вважатимемо такими, що приймають тільки невід'ємні значення.

Приклад 1. Вийняти корінь із твору

Рішення. Застосувавши властивість 1°, отримаємо:

Приклад 2. Винести множник із-під знака кореня

Рішення.

Таке перетворення називається винесенням множника з-під знаку кореня. Мета перетворення - спростити підкорене вираз.

Приклад 3. Спростити.

Рішення. За якістю 3° маємо Зазвичай намагаються підкорене вираз спростити, навіщо виносять множники за знак корію. Маємо

Приклад 4. Спростити

Рішення. Перетворимо вираз, внісши множник під знак кореня: За властивістю 4° маємо

Приклад 5. Спростити

Рішення. За якістю 5° ми маємо право показник кореня та показник ступеня підкореного виразурозділити на те саме натуральне число. Якщо в аналізованому прикладі розділити зазначені показники на 3, то отримаємо .

Приклад 6. Спростити вирази:

Рішення, а) За властивістю 1° отримуємо, що для перемноження коренів однієї й тієї ж ступеня достатньо перемножити підкорені вирази та з отриманого результату витягти корінь того ж ступеня. Значить,

б) Насамперед ми маємо привести радикали до одного показника. Відповідно до властивості 5° ми можемо показник кореня показник ступеня підкореного виразу помножити на те саме натуральне число. Тому Далі маємо тепер в отриманому результаті розділивши показники кореня і ступеня підкореного виразу На 3 отримаємо .

Вона має вигляд

де P(x) і Q(x) деякі багаточлени.

Розрізняють правильні та неправильні раціональні дроби, за аналогією зі звичайними числовими дробами. Раціональний дріб називається правильним, якщо порядок знаменника більше порядку чисельника, і неправильним, якщо навпаки.

Будь-який неправильний раціональний дріб можна перетворити на суму деякого багаточлена і правильного раціонального дробу

Будь-який раціональний дріб багаточленів з речовими коефіцієнтами можна подати як суму раціональних дробів, знаменниками яких є вирази (x − a) k (a - речовий корінь Q(x)) або (x 2 + px + q) k (де x 2 + px + q не має дійсних коренів), причому ступеня k не більше кратності відповідного коріння в многочлен Q (x). На підставі цього твердження заснована теорема про інтегрованість раціонального дробу. Згідно з нею, будь-який раціональний дріб може бути інтегрований у елементарних функціяхщо робить клас раціональних дробів дуже важливим у математичному аналізі.

Див. також

Wikimedia Foundation. 2010 .

Дивитись що таке "Раціональний дріб" в інших словниках:

Раціональна функція це дріб, чисельником і знаменником якого є багаточлени. Вона має вигляд де, багаточлени від будь-якої кількості змінних. Приватним випадком є раціональні функції одного змінного: , Де ... ... Вікіпедія

Цей термін має й інші значення, див. 8 / 13 чисельник чисельник знаменник знаменник Два записи одного дробу Дріб у математиці число, що складається з однієї або кількох частин… … Вікіпедія

У Вікисловарі є стаття «дроб» Найменування символу «⁄» (інше, поширене здебільшого в англійською, назва символу солідус (англ.), або слеш), наприклад, у номерах будинків. Так номер будинку «5/17» читається «п'ять… Вікіпедія

1) Р. ф. функція w=R(z), де R(z) раціональний вираз від z, тобто вираз, отриманий з незалежного змінного z і деякого кінцевого набору чисел (дійсних або комплексних) за допомогою кінцевого числа арифметич. дій. Р. ф. ... ... Математична енциклопедія

Чверть Раціональне число(лат. ratio відношення, поділ, дріб) число, що подається звичайним дробомде m ціле число, а n натуральне число. У цьому число m називається чисельником, а число n знаменником дробу. Таку … Вікіпедія

Четверті Раціональне число (лат. ratio відношення, розподіл, дріб) число, що представляється звичайним дробом, де m ціле число, а n натуральне число. У цьому число m називається чисельником, а число n знаменником дробу. Таку … Вікіпедія

Цей термін має й інші значення, див. Найпростішим дробомого ступеня називається раціональна функціявиду де набуває натуральних значень, а точки, що є полюсами функції, не обов'язково геометрично різні.

Число, що виражається раціональним дробом. Формальна теорія Р. ч. будується за допомогою пар цілих чисел. Р а ц і о н а л ь н о й д о б ю зв. упорядкована пара (а, b)цілих чисел а і b, у якої b№0. Два раціональні дроби та зв. е к в і в а л е н … Математична енциклопедія

Почнемо з певних визначень. Багаточленом n-го ступеня(або n-го порядку) будемо називати вираз виду $P_n(x)=\sum\limits_(i=0)^(n)a_(i)x^(n-i)=a_(0)x^(n)+ a_(1)x^(n-1)+a_(2)x^(n-2)+\ldots+a_(n-1)x+a_n$. Наприклад, вираз $4x^(14)+87x^2+4x-11$ є багаточлен, ступінь якого дорівнює $14$. Його можна позначити так: $P_(14)(x)=4x^(14)+87x^2+4x-11$.

Відношення двох багаточленів $\frac(P_n(x))(Q_m(x))$ називається раціональною функцієюабо раціональним дробом. Якщо точніше, це раціональна функція однієї змінної (тобто. змінної $x$).

Раціональний дріб називається правильноюякщо $n< m$, т.е. если степень многочлена, стоящего в числителе, менше ступенябагаточлена, що стоїть у знаменнику. Інакше (якщо $n ≥ m$) дріб називається неправильною.

Приклад №1

Вказати, які з наведених нижче дробів є раціональними. Якщо дріб є раціональним, то з'ясувати, правильний він чи ні.

$\frac(3x^2+5\sin x-4)(2x+5)$;
$\frac(5x^2+3x-8)(11x^9+25x^2-4)$;
$\frac((2x^3+8x+4)(8x^4+5x^3+x+145)^9(5x^7+x^6+9x^5+3))((5x+4) (3x^2+9)^(15)(15x^(10)+9x-1))$;
$\frac(3)((5x^6+4x+19)^4)$.

1) Цей дріб не є раціональним, оскільки містить $\sin x$. Раціональний дріб цього не допускає.

2) Ми маємо відношення двох багаточленів: $5x^2+3x-8$ і $11x^9+25x^2-4$. Отже, згідно з визначенням, вираз $\frac(5x^2+3x-8)(11x^9+25x^2-4)$ є раціональний дріб. Оскільки ступінь багаточлена в чисельнику дорівнює $2$, а ступінь багаточлена в знаменнику дорівнює $9$, то цей дрібє правильною (бо $2< 9$).

3) І в чисельнику, і в знаменнику даного дробу розташовані багаточлени (розкладені на множники). Нам зовсім неважливо, в якій формі представлені багаточлени чисельника та знаменника: розкладено вони на множники чи ні. Оскільки ми маємо відношення двох багаточленів, то згідно з визначенням вираз $\frac((2x^3+8x+4)(8x^4+5x^3+x+145)^9(5x^7+x^6+9x) ^5+3))((5x+4)(3x^2+9)^(15)(15x^(10)+9x-1))$ є раціональний дріб.

Щоб відповісти на питання про те, чи є цей дріб правильним, слід визначити ступені багаточленів у чисельнику та знаменнику. Почнемо з чисельника, тобто. з виразу $(2x^3+8x+4)(8x^4+5x^3+x+145)^9(5x^7+x^6+9x^5+3)$. Для визначення ступеня цього многочлена можна, звісно, розкрити дужки. Однак розумно вчинити набагато простіше, бо нас цікавить лише найбільший ступіньзмінною $x$. Виберемо з кожної дужки змінну $x$ найбільшою мірою. З дужки $(2x^3+8x+4)$ візьмемо $x^3$, зі дужки $(8x^4+5x^3+x+9)^9$ візьмемо $(x^4)^9=x ^(4\cdot9)=x^(36)$, та якщо з дужки $(5x^7+x^6+9x^5+3)$ виберемо $x^7$. Тоді після розкриття дужок найбільший ступінь змінної $x$ буде таким:

$$ x^3\cdot x^(36)\cdot x^7=x^(3+36+7)=x^(46). $$

Ступінь багаточлена, розташованого в чисельнику, дорівнює $46$. Тепер звернемося до знаменника, тобто. до виразу $(5x+4)(3x^2+9)^(15)(15x^(10)+9x-1)$. Ступінь цього многочлена визначається як і, як й для чисельника, тобто.

$$ x\cdot (x^2)^(15)\cdot x^(10)=x^(1+30+10)=x^(41). $$

У знаменнику розташований багаточлен 41-го ступеня. Так як ступінь многочлена в чисельнику (тобто 46) не менше ступеня багаточлена в знаменнику (тобто 41), то раціональний дріб $\frac((2x^3+8x+4)(8x^4+5x^ 3+x+145)^9(5x^7+x^6+9x^5+3))((5x+4)(3x^2+9)^(15)(15x^(10)+9x- 1))$ є неправильною.

4) У чисельнику дробу $\frac(3)((5x^6+4x+19)^4)$ коштує число $3$, тобто. багаточлен нульового ступеня. Формально чисельник можна записати так: $3x^0=3\cdot1=3$. У знаменнику маємо багаточлен, ступінь якого дорівнює $6 cdot 4 = 24 $. Відношення двох багаточленів є раціональним дробом. Оскільки $0< 24$, то данная дробь является правильной.

Відповідь: 1) дріб не є раціональним; 2) раціональний дріб (правильний); 3) раціональний дріб (неправильний); 4) раціональний дріб (правильний).

Тепер перейдемо до поняття елементарних дробів (їх ще називають найпростішими раціональними дробами). Існують чотири типи елементарних раціональних дробів:

$\frac(A)(x-a)$;
$\frac(A)((x-a)^n)$ ($n=2,3,4,\ldots$);
$\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$ ($p^2-4q< 0$);
$\frac(Mx+N)((x^2+px+q)^n)$ ($p^2-4q< 0$; $n=2,3,4,\ldots$).

Примітка (бажане для більш повного розуміння тексту): показати

Навіщо потрібна умова $p^2-4q< 0$ в дробях третьего и четвертого типов? Рассмотрим квадратне рівняння$x^2+px+q=0$. Дискримінант цього рівняння $D=p^2-4q$. Власне, умова $p^2-4q< 0$ означает, что $D < 0$. Если $D < 0$, то уравнение $x^2+px+q=0$ не имеет действительных корней. Т.е. выражение $x^2+px+q$ неразложимо на множители. Именно эта неразложимость нас и интересует.

Наприклад, для вираження $x^2+5x+10$ отримаємо: $p^2-4q=5^2-4\cdot 10=-15$. Оскільки $p^2-4q=-15< 0$, то выражение $x^2+5x+10$ нельзя разложить на множители.

До речі, для цієї перевірки зовсім не обов'язково, щоб коефіцієнт перед $x^2$ дорівнював 1. Наприклад, для $5x^2+7x-3=0$ отримаємо: $D=7^2-4\cdot 5 \cdot (-3) = 109 $. Оскільки $D > 0$, то вираз $5x^2+7x-3$ розкладемо на множники.

Завдання полягає в наступному: задану правильнураціональний дріб подати у вигляді суми елементарних раціональних дробів. Вирішенню цієї задачі і присвячено матеріал, викладений на цій сторінці. Для початку потрібно переконатися, що виконано таку умову: багаточлен у знаменнику правильного раціонального дробу розкладений на множники таким чином, що розкладання містить лише дужки виду $(x-a)^n$ або $(x^2+px+q)^n$ ($ p ^ 2-4q< 0$).Грубо говоря, это требование означает необходимость максимального разложения многочлена в знаменателе, т.е. чтобы дальнейшее разложение было невозможно. Только если это условие выполнено, то можно применять такую схему:

Кожній дужці виду $(x-a)$, розташованій у знаменнику, відповідає дріб $\frac(A)(x-a)$.
Кожній дужці виду $(x-a)^n$ ($n=2,3,4,\ldots$), розташованої в знаменнику, відповідає сума з $n$ дробів: $\frac(A_1)(x-a)+\frac( A_2)((x-a)^2)+\frac(A_3)((x-a)^3)+\ldots+\frac(A_n)((x-a)^n)$.
Кожній дужці виду $(x^2+px+q)$ ($p^2-4q< 0$), расположенной в знаменателе, соответствует дробь $\frac{Cx+D}{x^2+px+q}$.
Кожній дужці виду $(x^2+px+q)^n$ ($p^2-4q< 0$; $n=2,3,4,\ldots$), расположенной в знаменателе, соответствует сумма из $n$ дробей: $\frac{C_1x+D_1}{x^2+px+q}+\frac{C_2x+D_2}{(x^2+px+q)^2}+\frac{C_3x+D_3}{(x^2+px+q)^3}+\ldots+\frac{C_nx+D_n}{(x^2+px+q)^n}$.

Якщо ж дріб неправильна, перед застосуванням вищевикладеної схеми слід розбити її у сумі цілої частини (багаточлен) і правильної раціональної дробу. Як це робиться, розберемо далі (див. приклад №2 пункт 3). Пару слів щодо літерних позначеньу чисельниках (тобто $A$, $A_1$, $C_2$ тощо). Літери можна використовувати будь-які – на свій смак. Важливо лише, щоб ці літери були різнимиу всіх елементарних дробах. Щоб знайти значення цих параметрів застосовують метод невизначених коефіцієнтівабо метод підстановки приватних значень (див. приклади №3, №4 та №5).

Приклад №2

Розкласти задані раціональні дроби на елементарні (без знаходження параметрів):

$\frac(5x^4-10x^3+x^2-9)((x-5)(x+2)^4 (x^2+3x+10)(x^2+11)^5) $;
$\frac(x^2+10)((x-2)^3(x^3-8)(3x+5)(3x^2-x-10))$;
$\frac(3x^5-5x^4+10x^3-16x^2-7x+22)(x^3-2x^2+4x-8)$.

1) Маємо раціональний дріб. У чисельнику цього дробу розташований многочлен 4-го ступеня, а знаменнику многочлен, ступінь якого дорівнює $17$ (як визначити цей ступінь детально пояснено у пункті №3 прикладу №1). Оскільки ступінь багаточлена в чисельнику менший від ступеня багаточлена в знаменнику, то цей дріб є правильним. Звернемося до найменувача цього дробу. Почнемо з дужок $(x-5)$ і $(x+2)^4$, які повністю підпадають під вигляд $(x-a)^n$. Крім того, є ще й дужки $(x^2+3x+10)$ та $(x^2+11)^5$. Вираз $(x^2+3x+10)$ має вигляд $(x^2+px+q)^n$, де $p=3$; $q=10$, $n=1$. Оскільки $p^2-4q=9-40=-31< 0$, то цю дужкубільше не можна розкласти на множники. Звернемося до другої дужки, тобто. $(x^2+11)^5$. Це теж дужка виду $(x^2+px+q)^n$, але цього разу $p=0$, $q=11$, $n=5$. Оскільки $p^2-4q=0-121=-121< 0$, то данную скобку больше нельзя разложить на множители. Итак, мы имеем следующий вывод: многочлен в знаменателе разложен на множители таким образом, что оное разложение содержит лишь скобки вида $(x-a)^n$ или $(x^2+px+q)^n$ ($p^2-4q < 0$). Теперь можно переходить и к элементарным дробям. Мы будем применять правила , изложенные выше. Согласно правилу скобке $(x-5)$ будет соответствовать дробь $\frac{A}{x-5}$. Это можно записать так:

$$ \frac(5x^4-10x^3+x^2-9)((x-5)(x+2)^4 (x^2+3x+10)(x^2+11)^5 )=\frac(A)(x-5)+\ldots $$

Отриманий результат можна записати так:

$$ 3x^5-5x^4+10x^3-16x^2-7x+22=(x^3-2x^2+4x-8)(3x^2+x)+4x^2+x+22 . $$

Тоді дріб $\frac(3x^5-5x^4+10x^3-16x^2-7x+22)(x^3-2x^2+4x-8)$ представима в іншій формі:

$$ \frac(3x^5-5x^4+10x^3-16x^2-7x+22)(x^3-2x^2+4x-8)=\frac((x^3-2x^2 +4x-8)(3x^2+x)+4x^2+x+22)(x^3-2x^2+4x-8)=\==frac((x^3-2x^2+ 4x-8)(3x^2+x))(x^3-2x^2+4x-8)+\frac(4x^2+x+22)(x^3-2x^2+4x-8) =\=3x^2+x+\frac(4x^2+x+22)(x^3-2x^2+4x-8). $$

Дроб $\frac(4x^2+x+22)(x^3-2x^2+4x-8)$ є правильним раціональним дробом, бо ступінь многочлена в чисельнику (тобто 2) менше ступеня многочлена в знаменнику ( тобто 3). Тепер звернемося до знаменника даного дробу. У знаменнику розташований багаточлен, який потрібно розкласти на множники. Іноді для розкладання на множники корисна схема Горнера, але в нашому випадку простіше обійтися стандартним "шкільним" методом угруповання доданків:

$$ x^3-2x^2+4x-8=x^2\cdot(x-2)+4\cdot(x-2)=(x-2)\cdot(x^2+4);\ \ 3x^2+x+\frac(4x^2+x+22)(x^3-2x^2+4x-8)=3x^2+x+\frac(4x^2+x+22)((x -2)\cdot(x^2+4)) $$

Застосовуючи ті ж методи, що й у попередніх пунктах, отримаємо:

$$ \frac(4x^2+x+22)((x-2)\cdot(x^2+4))=\frac(A)(x-2)+\frac(Cx+D)(x ^2+4) $$

Отже, маємо:

$$ \frac(3x^5-5x^4+10x^3-16x^2-7x+22)(x^3-2x^2+4x-8)=3x^2+x+\frac(A)( x-2)+\frac(Cx+D)(x^2+4) $$

Продовження цієї теми буде розглянуто у другій частині.