Розділити десятковий дріб на натуральне. Розподіл десяткового дробу на натуральне число

Правило розподілу десяткових дробів на натуральні числа.

Чотири однакові іграшки в сумі коштують 921 рубль 20 копійок. Скільки коштує одна іграшка (див. рис. 1)?

Рис. 1. Ілюстрація до завдання

Рішення

Для знаходження вартості однієї іграшки необхідно поділити цю сумуна чотири. Переведемо суму в копійки:

Відповідь: вартість однієї іграшки 23 030 копійок, тобто 230 рублів 30 копійок, або 230,3 рубля.

Можна вирішити дане завданняне переводячи рублі в копійки, тобто розділити десятковий дріб на натуральне число: .

Щоб розділити десятковий дріб на натуральне число, потрібно ділити дріб на це число, як ділять натуральні числа, і поставити в приватному ком тоді, коли закінчиться розподіл цілої частини.

Ділимо в стовпчик так, як ділять натуральні числа. Після того як зносимо цифру 2 (число десятих - перша цифра після коми в записі поділеного 921,20), у приватному ставимо кому і продовжуємо поділ:

Відповідь: 230,3 рубля.

Ділимо в стовпчик так, як ділять натуральні числа. Після того як зносимо цифру 6 (число десятих - цифра після коми в записі ділимого 437,6), у приватному ставимо кому і продовжуємо поділ:

Якщо ділене менше дільника, то приватне починатиметься з нуля.

1 на 19 не ділиться, тому у приватному ставимо нуль. Розподіл цілої частини закінчено, в приватному ставимо кому. Зносимо 7. 17 на 19 не ділиться, у приватному пишемо нуль. Зносимо 6 і продовжуємо поділ:

Ділимо так, як ділять натуральні числа. У приватному поставимо кому відразу, як знесемо 8 - першу цифру після коми в ділимому 74,8. Продовжуємо поділ далі. При відніманні отримуємо 8, але поділ не закінчено. Ми знаємо, що наприкінці десяткового дробуможна приписувати нулі – від цього значення дробу не зміниться. Приписуємо нуль і ділимо 80 на 10. Отримуємо 8 - поділ закінчено.

Щоб розділити десятковий дріб на 10, 100, 1000 і т.д., треба перенести ком у цьому дробі на стільки цифр вліво, скільки нулів коштує після одиниці в дільнику.

на даному уроціми навчилися ділити десятковий дріб на натуральне число. Ми розглянули варіант із звичайним натуральним числом, і навіть варіант, у якому відбувається розподіл на розрядну одиницю (10, 100, 1000 тощо. буд.).

Розв'яжіть рівняння:

Щоб знайти невідомий дільник, необхідно поділити розділити на приватне. Тобто .

Ділимо в стовпчик. Після того як зносимо цифру 4 (число десятих - перша цифра після коми в записі діленого 134,4), у приватному ставимо кому і продовжуємо поділ:

Дроб - це одна або більше часток цілого, за яке зазвичай приймається одиниця (1). Як і з натуральними числами, з дробами можна виконувати всі основні арифметичні дії (додавання, віднімання, розподіл, множення), для цього потрібно знати особливості роботи з дробами та розрізняти їх види. Існує кілька видів дробів: десяткові та звичайні, або прості. Своя специфіка є у кожного виду дробів, але, докладно розібравшись один раз, як з ними поводитися, ви зможете вирішувати будь-які приклади з дробами, оскільки знатимете основні принципи виконання арифметичних обчислень з дробами. Розглянемо на прикладах як розділити дріб на ціле число, використовуючи різні видидробів.

Як поділити десятковий дріб на ціле число?
Десятковий дріб - це такий дріб, який виходить внаслідок розподілу одиниці на десять, тисячу і так далі частин. Арифметичні діїз десятковими дробами виконуються досить легко.

Розглянемо з прикладу як розділити дріб на ціле число. Допустимо, нам потрібно поділити десятковий дріб 0,925 на натуральне число 5.

• для поділу десяткового дробу на натуральне число застосовують розподіл у стовпчик;
  
• кома ставиться у приватному тоді, коли закінчено поділ цілої частини поділеного.
  

Розглянемо приклади поділу десяткових дробів у цьому світлі.

приклад.

Виконайте розподіл десяткового дробу 1,2 на десятковий дріб 0,48.

Рішення.

Відповідь:

1,2:0,48=2,5 .

приклад.

Розділіть періодичний десятковий дріб 0,(504) на десятковий дріб 0,56 .

Рішення.

Переведемо періодичну десятковий дріб у звичайну: . Також переведемо кінцевий десятковий дріб 0,56 у звичайний, маємо 0,56 = 56/100. Тепер ми можемо перейти від поділу вихідних десяткових дробів до поділу звичайних дробів і закінчити обчислення: .

Перекладемо отриману звичайний дрібу десятковий дріб, виконавши розподіл чисельника на знаменник стовпчиком:

Відповідь:

0,(504):0,56=0,(900) .

Принцип поділу нескінченних неперіодичних десяткових дробіввідрізняється від принципу поділу кінцевих і періодичних десяткових дробів, тому що неперіодичні десяткові дроби не можуть бути переведені у звичайні дроби. Розподіл нескінченних неперіодичних десяткових дробів зводиться до поділу кінцевих десяткових дробів, для чого проводиться округлення чиселдо деякого розряду. Причому, якщо одним із чисел, з якими проводиться розподіл, є кінцевий або періодичний десятковий дріб, то він теж округляється до того ж розряду, що і неперіодичний десятковий дріб.

приклад.

Розділіть нескінченний неперіодичний десятковий дріб 0,779… на кінцевий десятковий дріб 1,5602 .

Рішення.

Спочатку потрібно округлити десяткові дроби, щоб від поділу нескінченного неперіодичного десяткового дробу перейти до поділу кінцевих десяткових дробів. Ми можемо провести округлення до сотих: 0,779 ... 0,78 і 1,5602 ≈ 1,56. Таким чином, 0,779…:1,5602≈0,78:1,56= 78/100: 156/100 = 78 / 100 · 100 / 156 = 78/156=1/2=0,5 .

Відповідь:

0,779…:1,5602≈0,5 .

Поділ натурального числа на десятковий дріб і навпаки

Суть підходу до поділу натурального числа на десятковий дріб і до поділу десяткового дробу на натуральне число нічим не відрізняється від суті поділу десяткових дробів. Тобто, кінцеві та періодичні дроби замінюються звичайними дробами, а нескінченні неперіодичні дробиокругляються.

Для ілюстрації розглянемо приклад поділу десяткового дробу на натуральне число.

приклад.

Виконайте розподіл десяткового дробу 25,5 на натуральне число 45 .

Рішення.

Замінивши десятковий дріб 25,5 звичайним дробом 255/10=51/2, розподіл зводиться до поділу звичайного дробу на натуральне число: . Отриманий дріб у десяткового записумає вигляд 0,5 (6).

Відповідь:

25,5:45=0,5(6) .

Розподіл десяткового дробу на натуральне число стовпчиком

Розподіл кінцевих десяткових дробів на натуральні числа зручно проводити стовпчиком за аналогією з розподілом стовпчиком натуральних чисел. Наведемо правило розподілу.

Щоб розділити десятковий дріб на натуральне число стовпчиком, Треба:

• дописати праворуч у поділеному десятковому дробі кілька цифр 0 , (у процесі поділу за необхідності можна дописати ще будь-яку кількість нулів, але ці нулі можуть і не знадобитися);
• виконати розподіл стовпчиком десяткового дробу на натуральне число за всіма правилами розподілу стовпчиком натуральних чисел, але коли закінчиться розподіл цілої частини десяткового дробу, то в приватному потрібно поставити кому і продовжити розподіл.

Відразу скажемо, що в результаті розподілу кінцевого десяткового дробу на натуральне число може вийти або кінцевий десятковий дріб або нескінченний періодичний десятковий дріб. Справді, після того, як закінчиться розподіл усіх відмінних від 0 десяткових знаків ділимого дробу, може вийти або залишок 0 і ми отримаємо кінцевий десятковий дріб, або залишки почнуть періодично повторюватися, і ми отримаємо періодичний десятковий дріб.

Розберемося з усіма тонкощами поділу десяткових дробів на натуральні числа стовпчиком під час вирішення прикладів.

приклад.

Розділіть десятковий дріб 65,14 на 4 .

Рішення.

Виконаємо поділ десяткового дробу на натуральне число стовпчиком. Допишемо пару нулів праворуч у записі дробу 65,14, при цьому отримаємо рівний їй десятковий дріб 65,1400 (дивіться рівні та нерівні десяткові дроби). Тепер можна приступати до поділу стовпчиком цілої частини десяткового дробу 65,1400 на натуральне число 4:

На цьому розподіл цілої частини десяткового дробу закінчено. Тут у приватному потрібно поставити десяткову комуі продовжити поділ:

Ми прийшли до залишку 0, на цьому етапі поділ стовпчиком закінчується. У результаті маємо 65,14:4 = 16,285.

Відповідь:

65,14:4=16,285 .

приклад.

Виконайте поділ 164,5 на 27 .

Рішення.

Проведемо розподіл десяткового дробу на натуральне число стовпчиком. Після поділу цілої частини отримуємо наступну картину:

Тепер ставимо в приватному кому і продовжуємо поділ стовпчиком:

Зараз добре видно, що почали повторюватися залишки 25 7 і 16 при цьому в приватному повторюються цифри 9 2 і 5 . Таким чином, розподіл десяткового дробу 164,5 на 27 призводить до періодичного десяткового дробу 6,0(925) .

Відповідь:

164,5:27=6,0(925) .

Розподіл десяткових дробів стовпчиком

До поділу десяткового дробу на натуральне число стовпчиком можна звести розподіл десяткового дробу на десятковий дріб. Для цього ділимо і дільник потрібно помножити на таке число 10 або 100 або 1000 і т.д., щоб дільник став натуральним числом, після чого виконати розподіл на натуральне число стовпчиком. Це ми можемо робити з властивостей розподілу і множення, оскільки a:b=(a·10):(b·10) , a:b=(a·100):(b·100) тощо.

Іншими словами, щоб розділити кінцевий десятковий дріб на кінцевий десятковий дріб, потрібно:

• у ділимому та дільнику перенести кому вправо на стільки знаків, скільки їх після коми у дільнику, якщо при цьому у ділимому не вистачає знаків для перенесення коми, то потрібно дописати необхідна кількістьнулів праворуч;
• після цього провести розподіл стовпчиком десяткового дробу на натуральне число.

Розглянемо при рішенні приклад застосування цього правила розподілу на десятковий дріб.

приклад.

Виконайте поділ стовпчиком 7,287 на 2,1.

Рішення.

Перенесемо ком у даних десяткових дробах на одну цифру вправо, це нам дозволить від розподілу десяткового дробу 7,287 на десятковий дріб 2,1 перейти до поділу десяткового дробу 72,87 на натуральне число 21 . Виконаємо поділ стовпчиком:

Відповідь:

7,287:2,1=3,47 .

приклад.

Виконайте розподіл десяткового дробу 16,3 на десятковий дріб 0,021.

Рішення.

Перенесемо вправо на 3 знаки кому в діленому та дільнику. Очевидно, у дільнику не вистачає цифр для перенесення коми, тому допишемо необхідну кількість нулів праворуч. Тепер виконаємо поділ стовпчиком дробу 16300,0 на натуральне число 21:

З цього моменту починають повторюватися залишки 4, 19, 1, 10, 16 і 13, а значить, повторюватимуться і цифри 1, 9, 0, 4, 7 та 6 у приватному. В результаті ми отримуємо періодичний десятковий дріб 776 (190476).

Відповідь:

16,3:0,021=776,(190476) .

Зауважимо, що озвучене правило дозволяє ділити стовпчиком натуральне число на кінцевий десятковий дріб.

приклад.

Розділіть натуральне число 3 на десятковий дріб 5,4.

Рішення.

Після перенесення коми на 1 цифру вправо, приходимо до поділу числа 30,0 на 54 . Виконаємо поділ стовпчиком:
.

Це правило можна застосовувати і при розподілі нескінченних десяткових дробів на 10, 100, …. Наприклад, 3,(56):1 000=0,003(56) і 593,374…:100=5,93374… .

Розподіл десяткових дробів на 0,1, 0,01, 0,001 і т.д.

Так як 0,1 = 1/10, 0,01 = 1/100 і т.д., то з правила поділу на звичайний дріб слід, що розділити десятковий дріб на 0,1, 0,01, 0,001 і т.д. . це все одно, що помножити цей десятковий дріб на 10, 100, 1000 і т.д. відповідно.

Іншими словами, щоб розділити десятковий дріб на 0,1, 0,01, … потрібно перенести кому вправо на 1, 2, 3, … цифр, при цьому якщо цифр у записі десяткового дробу недостатньо для перенесення коми, то праворуч потрібно дописати необхідну кількість нулів.

Наприклад, 5,739:0,1=57,39 та 0,21:0,00001=21 000 .

Це правило можна застосовувати при розподілі нескінченних десяткових дробів на 0,1 , 0,01 , 0,001 і т.д. При цьому слід бути дуже уважним із поділом періодичних дробівщоб не помилитися з періодом дробу, що виходить в результаті розподілу. Наприклад, 7,5(716):0,01=757,(167) , оскільки після перенесення коми в записі десяткового дробу 7,5716716716… на два знаки праворуч, маємо запис 757,167167… . З нескінченними неперіодичними десятковими дробами все простіше: 394,38283…:0,001=394382,83… .

Розподіл звичайного дробу чи змішаного числа на десятковий дріб і навпаки

Розподіл звичайного дробу або змішаного числа на кінцевий або періодичний десятковий дріб, а також поділ кінцевого або періодичного десяткового дробу на звичайний дріб або змішане числозводиться до поділу звичайних дробів. Для цього десяткові дроби замінюються відповідними звичайними дробами, а змішане число подається у вигляді неправильного дробу.

При розподілі нескінченного неперіодичного десяткового дробу на звичайний дріб або змішане число і навпаки слід перейти до поділу десяткових дробів, замінивши звичайний дріб або змішане число відповідним десятковим дробом.

Список літератури.

• Математика: навч. для 5 кл. загальноосвіт. установ / Н. Я. Віленкін, В. І. Жохов, А. С. Чесноков, С. І. Шварцбурд. - 21-е вид., Стер. – М.: Мнемозіна, 2007. – 280 с.: іл. ISBN 5-346-00699-0.
• Математика. 6 клас: навч. для загальноосвіт. установ/[Н. Я. Віленкін та ін.]. - 22-ге вид., Випр. – К.: Мнемозіна, 2008. – 288 с.: іл. ISBN 978-5-346-00897-2.
• Алгебра:навч. для 8 кл. загальноосвіт. установ/[Ю. Н. Макарічев, Н. Г. Міндюк, К. І. Нешков, С. Б. Суворова]; за ред. С. А. Теляковського. - 16-те вид. – М.: Просвітництво, 2008. – 271 с. : іл. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Гусєв В. А., Мордкович А. Г.Математика (посібник для вступників до технікумів): Навч. посібник.- М.; Вищ. шк., 1984.-351 с., іл.

Запишемо правило та розглянемо його застосування на прикладах.

При розподілі десяткового дробу на натуральне число:

1) ділимо, не звертаючи уваги на кому;

2) коли закінчується розподіл цілої частини, у приватному ставимо кому.

Якщо ціла частинаменше дільника, то ціла частина рівна нулю.

Приклади розподілу десяткових дробів на натуральні числа.

Ділимо, не звертаючи уваги на кому, тобто 348 ділимо на 6. При розподілі 34 на 6 беремо по 5. 5 ∙ 6 = 30, 34-30 = 4, тобто залишок дорівнює 4.

Відмінність розподілу десяткового дробу на натуральне число від розподілу цілих чисел лише тому, що, коли розподіл цілої частини закінчилося, у приватному ставимо кому. Тобто при переході через кому, перш ніж знести до залишку від розподілу цілої частини, 4, число 8 з дробової частини, в приватному пишемо кому.

Зносимо 8. 48: 6 = 8. У приватне пишемо 8.

Отже, 34,8: 6 = 5,8.

Так як 5 на 12 не ділиться, у приватному пишемо нуль. Розподіл цілої частини закінчено, в приватному ставимо кому.

Зносимо 1. При розподілі 51 на 12 беремо по 4. У залишку - 3.

Зносимо 6. 36: 12 = 3.

Таким чином, 5,16:12 = 0,43.

3) 0,646:38=?

У цілій частині діленого стоїть нуль. Так як нуль на 38 не ділиться, в приватному ставимо 0. Розподіл цілої частини закінчено, в приватному пишемо кому.

Зносимо 6. Так як 6 на 38 не ділиться, у приватному пишемо ще один нуль.

Зносимо 4. При розподілі 64 на 38 беремо по 1. У залишку - 26.

Зносимо 6. 266: 38 = 7.

Отже, 0,646: 38 = 0,017.

4) 14917,5:325=?

При розподілі 1491 на 325 беремо по 4. У залишку отримуємо 191. Зносимо 7. При розподілі 1917 на 325 беремо по 5. Залишок - 292.

Оскільки розподіл цілої частини закінчено, у приватному пишемо кому.

Ви знаєте, що поділити натуральне число a на натуральне число b – знайти таке натуральне число c, яке при множенні на b дає число a. Це твердження залишається вірним, якщо хоча б одне із чисел a, b, c є десятковим дробом.

Розглянемо кілька прикладів, де дільником є ​​натуральне число.

1,2: 4 = 0,3, оскільки 0,3 * 4 = 1,2;

2,5: 5 = 0,5, оскільки 0,5 * 5 = 2,5;

1 : 2 = 0,5, оскільки 0,5 * 2 = 1 .

А як бути у тих випадках, коли поділ не вдається виконати усно?

Наприклад, як розділити 43,52 на 17?

Збільшивши ділене 43,52 у 100 разів, отримаємо число 4352 . Тоді значення виразу 4352 : 17 у 100 разів більше значеннявирази 43,52 : 17 . Виконавши розподіл куточком, ви легко встановите, що 4352 : 17 = 256 . Тут ділене збільшено у 100 разів. Значить, 43,52: 17 = 2,56. Зауважимо, що 2,56 * 17 = 43,52, що підтверджує правильність виконання поділу.

Приватне 2,56 можна одержати інакше. Ділитимемо 4352 на 17 куточком, не звертаючи уваги на кому. При цьому кому в приватному слід поставити безпосередньо перед тим, як буде використана перша цифра після коми в ділимому:

Якщо ділене менше дільника, то ціла частина рівна нулю. Наприклад:

Розглянемо ще один приклад. Знайдемо приватне 3,1:5. Маємо:

Ми зупинили процес розподілу, тому що цифри діленого закінчилися, а в решті нуль не отримали. Ви знаєте, що десятковий дріб не зміниться, якщо до нього праворуч приписати будь-яку кількість нулів. Тоді стає зрозумілим, що цифри поділеного закінчитися не можуть. Маємо:

Тепер ми можемо знаходити приватне двох натуральних чисел, коли ділене не ділиться націло на дільник. Наприклад, знайдемо приватне 31 : 5 . Очевидно, що число 31 не ділиться націло на 5:

Ми зупинили процес розподілу, тому що цифри діленого закінчилися. Однак якщо уявити ділене у вигляді десяткового дробу, то поділ можна продовжити.

Маємо: 31:5 = 31,0:5. Далі виконаємо поділ куточком:

Отже, 31: 5 = 6,2.

У попередньому параграфі ми з'ясували, що кому перенести вправо на 1, 2, 3 і т.д. цифри, то дріб збільшиться відповідно в 10, 100, 1 000 і т.д. т. д. раз.

Тому у випадках, коли дільник дорівнює 10, 100, 1 000 тощо. буд., користуються наступним правилом.

Щоб розділити десятковий дріб на 10, 100, 1000 і т.д., треба в цьому дробі перенести кому вліво на 1, 2, 3 і т.д..

Наприклад: 4,23: 10 = 0,423; 2: 100 = 0,02; 58,63: 1000 = 0,05863.

Отже, ми навчилися ділити десятковий дріб на натуральне число.

Покажемо, як розподіл на десятковий дріб можна звести до поділу на натуральне число.

$\frac(2)(5) км = 400 м$

$ \ frac (20) (50) км = 400 м $

$\frac(200)(500) км = 400 м$

Отримуємо, що

$\frac(2)(5) = \frac(20)(50) = \frac(200)(500)$

Тобто. 2:5 = 20:50 = 200:500.

Цей приклад ілюструє таке: якщо ділене і дільник збільшити одночасно 10, 100, 1 000 і т.д. раз, то приватне не зміниться .

Знайдемо приватне 43,52:1,7.

Збільшимо одночасно ділене та дільник у 10 разів. Маємо:

43,52 : 1,7 = 435,2 : 17 .

Збільшимо одночасно ділене та дільник у 10 разів. Маємо: 43,52: 1,7 = 25,6.

Щоб розділити десятковий дріб на десятковий треба:

1) перенести в ділимому та в дільнику коми вправо на стільки цифр, скільки їх міститься після коми у дільнику;

2) виконати розподіл на натуральне число.

приклад 1 . Ваня зібрав 140 кг яблук та груш, з них 0,24 складали груші. Скільки кілограмів груш зібрав Ваня?

Рішення. Маємо:

$0,24=\frac(24)(100)$

1 ) 140 : 100 = 1,4 (кг) − складає

Яблука та груш.

2) 1,4*24 = 33,6 (кг) − груш було зібрано.

Відповідь: 33,6 кг.

приклад 2 . На сніданок Вінні-Пух з'їв 0,7 барила меду. Скільки кілограмів меду було в барило, якщо Вінні-Пух з'їв 4,2 кг?

Рішення. Маємо:

$0,7=\frac(7)(10)$

1 ) 4,2 : 7 = 0,6 (кг) − складає

Усього меду.

2) 0,6 * 10 = 6 (кг) - меду було в барильці.

Відповідь: 6 кг.