Крапки а кругової траси одночасно починають. З однієї точки кругової траси

Продовжуємо розглядати завдання рух. Є група завдань, яка відрізняється від звичайних задач на рух - це завдання на круговий рух(кругова траса, рух стрілок годинника). У цій статті ми з вами такі завдання розглянемо. Принципи рішення ті самі, та ж (формула закону прямолінійного руху). Але є невеликі нюанси у підходах до вирішення.

Розглянемо завдання:

Два мотоциклісти стартують одночасно в одному напрямку з двох діаметрально протилежних точок. кругової траси, Довжина якої дорівнює 22 км. Через скільки хвилин мотоциклісти порівняються вперше, якщо швидкість одного з них на 20 км/год. більше швидкостііншого?

На перший погляд, комусь завдання на круговий рух можуть здатися складними та якимись заплутаними у порівнянні зі звичайними завданнями на прямолінійний рух. Але це лише на перший погляд. Це завдання легко перетворюється на завдання на прямолінійний рух. Як?

Подумки розгорнемо кругову трасу в пряму. На ній стоять два мотоциклісти. Один з них відстає від іншого на 11 км, тому що сказано за умови, що довжина траси 22 кілометри.

Швидкість відстаючого на 20 кілометрів на годину більша (він наздоганяє того, хто попереду). Ось вам і завдання на прямолінійний рух.

Отже, шукану величину (час, через який вони зрівняються) приймемо за х годин. Швидкість першого (перебуває попереду) позначимо у км/год, тоді швидкість другого (наздоганяючого) буде у + 20.

Занесемо швидкість та час у таблицю.

Заповнюємо графу «відстань»:

Другий проїжджає відстань (до зустрічі) на 11 км більше, отже

11/20 години це те саме, що й 33/60 години. Тобто, до їхньої зустрічі пройшло 33 хвилини. Як переводити години на хвилини, і навпаки, можете переглянути у статті « ».

Як бачимо, сама швидкість мотоциклістів у даному випадкуне має значення.

Відповідь: 33

Вирішіть самостійно:

Два мотоциклісти стартують одночасно в одному напрямку з двох діаметрально протилежних точок кругової траси, довжина якої дорівнює 14 км. Через скільки хвилин мотоциклісти порівняються вперше, якщо швидкість одного з них на 21 км/год більша за швидкість іншого?

З однієї точки кругової траси, довжина якої дорівнює 25 км, одночасно в одному напрямку стартували два автомобілі. Швидкість першого автомобіля дорівнює 112 км/год, і через 25 хвилин після старту він випереджав другий автомобіль на одне коло. Знайдіть швидкість другого автомобіля. Відповідь дайте у км/год.

Це завдання також можна інтерпретувати, тобто уявити її, як завдання на прямолінійний рух. Як? Просто …

Два автомобілі одночасно починають рух в одному напрямку. Швидкість першого дорівнює 112 км/год. Через 25 хвилин він випереджає другого на 25 км (бо сказано, що на одне коло). Знайти швидкість другого. Дуже важливо у завданнях на рух уявити сам процес цього руху.

Порівняння зробимо на відстані, тому що нам відомо, що один випередив іншого на 25 кілометрів.

За х приймаємо шукану величину – швидкість другого. Час руху 25 хвилин (25/60 годин) для обох.

Заповнимо графу «відстань»:

Відстань, пройдена першим, більше відстані, що пройшов другий на 25 км. Тобто:

Швидкість другого автомобіля 52 (км/год).

Відповідь: 52

Вирішіть самостійно:

З однієї точки кругової траси, довжина якої дорівнює 14 км, одночасно в одному напрямку стартували два автомобілі. Швидкість першого автомобіля дорівнює 80 км/год, і через 40 хвилин після старту він випереджав другий автомобіль на одне коло. Знайдіть швидкість другого автомобіля. Відповідь дайте у км/год.

З пункту A кругової траси виїхав велосипедист, а за 40 хвилин слідом за ним вирушив мотоцикліст. Через 8 хвилин після відправлення він наздогнав велосипедиста вперше, а ще через 36 хвилин після цього наздогнав його вдруге. Знайдіть швидкість мотоцикліста, якщо довжина траси дорівнює 30 км. Відповідь дайте у км/год.

Це завдання становить відносну складність. Що одразу варто відзначити? Це те, що мотоцикліст проходить з велосипедистом однакову відстань, наздоганяючи його вперше. Потім він знову наздоганяє його вдруге, причому різниця пройдених відстаней після першої зустрічі становить 30 кілометрів (довжина кола). Таким чином, можна буде скласти два рівняння та вирішити їхню систему. Нам не дано швидкості учасників руху, тому можна буде запровадити дві змінні. Система із двох рівнянь із двома змінними вирішується.

Отже, переведемо хвилини на годину, оскільки швидкість треба знайти в км/год.

Сорок хвилин це 2/3 години, 8 хвилин це 8/60 години, 36 хвилин це 36/60 години.

Швидкості учасників позначимо за х км/год (у велосипедиста) та у км/год (у мотоцикліста).

Вперше мотоцикліст випередив велосипедиста через 8 хвилин, тобто через 8/60 години після старту.

До цього моменту велосипедист був у дорозі вже 40+8=48 хвилин, тобто 48/60 годин.

Запишемо ці дані до таблиці:

Обидва проїхали однакові відстані, тобто

Потім мотоцикліст вдруге наздогнав велосипедиста. Сталося це через 36 хвилин, тобто через 36/60 годин після першого обгону.

Складемо другу таблицю, заповнимо графу «відстань»:

Бо сказано, що через 36 хвилин мотоцикліст знову наздогнав велосипедиста. Значить, він (мотоцикліст) проїхав відстань 30 кілометрів (одне коло) плюс відстань, яку за цей час проїхав велосипедист. Це ключовий моментдля складання другого рівняння.

Одне коло - це довжина траси, вона дорівнює 30 км.

Отримуємо друге рівняння:

Вирішуємо систему їх двох рівнянь:

Отже у = 6 ∙10 = 60.

Тобто швидкість мотоцикліста дорівнює 60 км/год.

Відповідь: 60

Вирішіть самостійно:

З пункту A кругової траси виїхав велосипедист, а за 30 хвилин слідом за ним вирушив мотоцикліст. Через 10 хвилин після відправлення він наздогнав велосипедиста вперше, а ще через 30 хвилин після цього наздогнав його вдруге. Знайдіть швидкість мотоцикліста, якщо довжина траси дорівнює 30 км. Відповідь дайте у км/год.

Наступний тип завдань на круговий рух, можна сказати, «унікальний». Є завдання, які вирішуються усно. І є такі, які без розуміння та уважності при міркуваннях вирішити дуже складно. Йдеться про завдання про стрілки годинника.

Ось приклад найпростішого завдання:

Годинник зі стрілками показує 11 годин 20 хвилин. Через скільки хвилин хвилинна стрілка вперше зрівняється з годинниковою?

Відповідь очевидна через 40 хвилин, коли буде рівно дванадцять. Навіть якщо одразу не змогли зрозуміти, то намалювавши циферблат(зробивши ескіз) на листку, ви легко визначите відповідь.

Приклади інших завдань (непростих):

Годинник зі стрілками показує 6 годин 35 хвилин. Через скільки хвилин хвилинна стрілка вп'яте порівняється з годинниковою? Відповідь: 325

Годинник зі стрілками показує 2 години рівно. Через скільки хвилин хвилинна стрілка вдесяте порівняється з годинниковою? Відповідь: 600

Вирішити самостійно:

Годинник зі стрілками показує 8 годин 00 хвилин. Через скільки хвилин хвилинна стрілка вчетверте порівняється з годинниковою?

Ви переконалися, що дуже легко заплутатися?

Взагалі, я не прихильник давати подібні поради, але тут він потрібен, тому що на ЄДІ з таким завданням можна легко заплутатися, вирахувати невірно чи просто втратити багато часу на рішення.

Ви можете вирішити дане завданняза хвилину. Як? Просто!

*Дальша інформація у статті закрита та доступна лише для зареєстрованих користувачів! Вкладка реєстрації (входу) знаходиться у ГОЛОВНОМУ МЕНЮ сайту. Після проходження реєстрації увійдіть на сайт та оновіть цю сторінку.

На цьому все. Успіхів вам!

З повагою, Олександр.

PS: Буду вдячний Вам, якщо розповісте про сайт у соціальних мережах.

Рух по колу

З пункту А кругової траси виїхав велосипедист, а за 30 хвилин

слідом за ним вирушив мотоцикліст. Через 10 хвилин після відправлення він наздогнав велосипедиста вперше, а ще через 30 хвилин після цього наздогнав його вдруге.

Знайдіть швидкість мотоцикліста, якщо довжина траси дорівнює 30 км. Відповідь дайте у км/

Рішення. Нехай х – швидкість велосипедиста. Т.к. до першої зустрічі велосипедист їхав 30+10=40 хв, а мотоцикліст 10 хв, то швидкість мотоцикліста буде вчетверо більше, тобто. 4х.

0,5х – це відстань, яку проїхав велосипедист після першої зустрічі до другої зустрічі за півгодини. 30+0,5х – проїхав мотоцикліст після першої зустрічі до другої зустрічі. Ця ж відстань дорівнює 4х * 0,5 км. Рівняння: 30 + 0,5 x = 4x * 0,5

30+0,5x=2x1,5x=30

x = 20 км/год – швидкість велосипедиста 4·20 = 80 км/год – швидкість мотоцикліста.

Відповідь: 20 та 80.

Два тіла, рухаючись по колу в одному напрямку, зустрічаються через кожні 112 хв, а рухаючись у протилежних напрямках- через кожні 16хв. У другому випадку відстань між тілами зменшилась із 40 м до 26 м за 12 с. Скільки метрів за хвилину проходить кожне тіло і яка довжина кола?

Рішення. Нехай швидкість першого тіла х м/хв, а другого у м/хв, і нехай довжина кола дорівнює L. Тіла починають рухатися одночасно з однієї точки.

За 112 хв перше тіло пройдедугу 112х, а друге 112у.

Причому друге проходить коло + дугу 112х. Рівняння 112у - 112х = L(1)

При русі у протилежних напрямках: 16у + 16х = L (2)

40 - 26 = 14 метрів тіла пройшли назустріч один одному за 12сек = 1/5 хв: 12 (х + у) = 14 (3)

Віднімемо з (1) - (2). Отримаємо 96у -128х = 0 - 3у = 4х - х = 3у/4.

Підставимо в (3): 1 / 5 * (3у / 4 + у) = 14 у = 40, х = 30 - швидкості тел.

З (2) знайдемо L: 16(у+х) = 16(40 + 30) = 1120 - Довжина кола.

Лижні змагання відбуваються на круговій лижні. Перший лижник проходить одне коло на 2 хвилини швидше за другеі за годину випереджає другого на одне коло. За скільки хвилин другий лижник проходить одне коло.

Нехай довжина кола дорівнює S метрів (у цьому завданні та спорті її називають круговою лижнею та колом). Нехай перший лижник проходить 1 коло за х хвилин, тоді другий - за х+2 хвилини. Швидкість першого лижника S/x м/хв, а другого S/(x+2) м/хв.

За годину перший проходить 60*S/x метрів, а другий 60*S/(x+2) метрів. А т.к. перший проходить на коло більше, тобто. на S метрів, то отримуємо рівняння:

60·S/x - 60·S/(x+2) = S, розділимо обидві частини на S.

60/x - 60(x+2) =1 - x2 + 2x - 120 = 0 - x=10 (х=-12 не удовл. ум.)

Перший проходить коло за 10 хвилин, а другий за 12. Відповідь: 12.

Два тіла рухаються по колу в один бік. Перше проходить коло на 3 хвилини швидше за друге і наздоганяє друге кожні півтори години. За скільки хвилин перше тіло проходить одне коло?

Рішення. Нехай довжина кола S.

Нехай перше тіло проходить 1 коло за t хвилин, тоді за 1 хвилину тіло проходить шлях S/t, аналогічно друге - за хвилину S/(t+3) за 90 хвилин перше - 90*S/t, друге 90*S/( t+3).

складемо рівняння: 90S/t = 90S/(t+3) + S

90/t - 90/(t+3) = 1

t2 +3t - 270 = 0

t = 15, t = -18 (не підходить) Відповідь: 15.

Два мотоциклісти стартують одночасно в одному напрямку з двох діаметрально протилежних точок кругової траси, довжина якої дорівнює 20 км. Через скільки хвилин мотоцикли порівняються вперше, якщо швидкість одного з них на 12 км/год більша за швидкість іншого?

Рішення. Спочатку відстань між мотоциклістами дорівнює 20:2 = 10 км.

Нехай другий наздожене першого через t годин (перший раз). У першого швидкість х км/год, а другого х+12 км/ч.

Різниця пройденої колії 10 км. t(x+12) - tx = 10 tx +12t - tx = 10

12t = 10; t=10/12 години = 10*60/12 хвилин = 50 хвилин.

З точки А кругової траси одночасно починають рівномірний руху протилежних напрямках два тіла. Перше тіло на момент їхньої зустрічі проходить на 100 метрів більше, ніж друге, і повертається до точки А через 9 хвилин після зустрічі. Знайдіть довжину траси в метрах, якщо друге тіло повертається до точки А через 16 хвилин після зустрічі.

Рішення. Нехай друге тіло проходить до зустрічі х км, тоді перше проходить х 100 км. Після зустрічі перше за 9 хвилин пройде х метрів зі швидкістю v1=x/9, а друге за 16 хвилин пройде х+100 метрів зі швидкістю v2=(х+100)/16.

До зустрічі час першого (х+100)/v1 = 9(x+100)/x, другий час до зустрічі х/v2= 16x/(x+100).

Прирівняємо 9(х+100)/х = 16х/(х+100)

9 (х +100) 2 = 16х2

3х +300 = 4х х = 300

Весь шлях дорівнює х + х + 100 = 700 Відповідь: 700.

Вирішуємо 238 Варіант Ларіна ЄДІ 2018. Детальний розбірзавдань 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15 із сайту alexlarin.net. Алекс Ларін 238 таймінги: 7-12) 5:34 13) 15:15 14) 18:05 15) 26:51 twitter: https://twitter.com/mrMathlesson
група ВК: https://vk.com/mr.mathlesson
сайт:
Приклади завдань: 1) Басейн має форму прямокутного паралелепіпеда. Його довжина, ширина і глибина рівні відповідно 25 м, 12 м і 2 м. Для облицювання дна та стін басейну вирішено придбати плитку за ціною 500 грн. за квадратний метр. Скільки рублів коштуватиме покупка, якщо по периметру басейну додатково планується викласти прямокутну доріжку завширшки 1 м із тієї ж плитки? 2) На графіці показано зміну тиску в парової турбіні після запуску. На осі абсцис відкладається час у хвилинах, на осі ординат – тиск у атмосферах. Визначте за графіком, скільки хвилин пройшло від запуску турбіни до моменту, коли тиск уперше досяг найбільшого значення. 3) Знайдіть площу трикутника ABCякщо сторона клітини дорівнює 4. 4)На прилавку лежать 8 однакових паррукавичок, але одна пара має непомітний зовні шлюб всередині обох рукавичок. У ході примірок усі рукавички перемішалися. Продавець розділив всі рукавички випадково на 4 групи по 4 штуки. Якою є ймовірність того, що обидві браковані рукавички знаходяться в одній групі? 5) Розв'яжіть рівняння. Якщо рівняння має більше одного кореня, у відповіді вкажіть менший з коренів. 6) Знайдіть гострий кут між бісектрисами гострих кутів прямокутного трикутника. Відповідь дайте у градусах. 7) На малюнку зображено графік y=f"(x) - похідної функції f(x) , визначеної на інтервалі (-4;10). Знайдіть кількість точок, у яких дотична до графіка y=f(x) паралельна до прямої y= x або збігається з нею 8) Висота правильної трикутної піраміди втричі менша від сторони основи Знайдіть кут між боковим ребром і площиною основи піраміди Відповідь дайте в градусах 10) Після дощу рівень води в колодязі може підвищитися Хлопчик визначає його, вимірюючи час падіння t невеликих камінчиків у колодязь і розраховуючи за формулою h = 5t.До дощу час падіння камінчиків становив 1,4 с. точки А кругової траси одночасно починають рівномірний рух у протилежних напрямках два тіла.На момент їх зустрічі перше тіло проходить на 200 м більше, ніж друге, і повертається в точку А через 25 хв після зустрічі.Знайдіть довжину траси в метрах, якщо друге тіло повертається у точку А через 36 хв після зустрічі. 14) трикутної піраміди ABCD довжини всіх ребер рівні. Точка Р рівновіддалена від вершин А і D, причому відомо, що PB = PC і пряма РВ перпендикулярна до висоті трикутника АСD, опущеної з вершини D. а) Доведіть, що точка Р лежить на перетині висот піраміди ABCD . б) Обчисліть обсяг піраміди ABCD, якщо відомо, що Посилання на першоджерело варіанта:
#mrMathlesson #Ларін #ЄДЕ #профіль #математика