Що таке паралелепіпед визначення. Прямокутний паралелепіпед

На цьому уроці всі охочі зможуть вивчити тему Прямокутний паралелепіпед». На початку уроку ми повторимо, що таке довільний та прямий паралелепіпеди, пригадаємо властивості їх протилежних граней та діагоналей паралелепіпеда. Потім розглянемо, що таке прямокутний паралелепіпед, та обговоримо його основні властивості.

Тема: Перпендикулярність прямих та площин

Урок: Прямокутний паралелепіпед

Поверхня, складена з двох рівних паралелограмів АВСD і А 1 В 1 С 1 D 1 і чотирьох паралелограмів АВВ 1 А 1 , ВСС 1 В 1 , СDD 1 С 1 , DАА 1 D 1 називається паралелепіпедом(Рис. 1).

Мал. 1 Паралелепіпед

Тобто: маємо два рівні паралелограми АВСD і А 1 В 1 С 1 D 1 (підстави), вони лежать у паралельних площинах так, що бічні ребраАА 1, ВВ 1, DD 1, СС 1 паралельні. Таким чином, складена з паралелограмів поверхня називається паралелепіпедом.

Таким чином, поверхня паралелепіпеда - це сума всіх паралелограмів, з яких складено паралелепіпед.

1. Протилежні грані паралелепіпеда паралельні та рівні.

(Фігури рівні, тобто їх можна поєднати накладенням)

Наприклад:

АВСD = А 1 В 1 З 1 D 1 ( рівні паралелограмиза визначенням),

АА 1 В 1 В = DD 1 С 1 С (оскільки АА 1 В 1 В і DD 1 С 1 С - протилежні грані паралелепіпеда),

АА 1 D 1 D = ВВ 1 З 1 З (оскільки АА 1 D 1 D і ВВ 1 З 1 З - протилежні грані паралелепіпеда).

2. Діагоналі паралелепіпеда перетинаються в одній точці і діляться цією точкою навпіл.

Діагоналі паралелепіпеда АС 1 , В 1 D, А 1 С, D 1 перетинаються в одній точці О, і кожна діагональ ділиться цією точкою навпіл (рис. 2).

Мал. 2 Діагоналі паралелепіпеда перетинаються і ділитися точкою перетину навпіл.

3. Є три четвірки рівних і паралельних ребер паралелепіпеда: 1 - АВ, А 1 В 1 , D 1 C 1 , DC, 2 - AD, A 1 D 1 , B 1 C 1 , BC, 3 - АА 1 , ВВ 1 , СС 1 , DD 1 .

Визначення. Паралелепіпед називається прямим, якщо його бічні ребра перпендикулярні до основ.

Нехай бічне ребро АА 1 перпендикулярне до основи (рис. 3). Це означає, що пряма АА 1 перпендикулярна до прямих АD і АВ, які лежать у площині основи. Отже, в бічних гранях лежать прямокутники. А в основах лежать довільні паралелограми. Позначимо, ∠BAD = φ, кут φ може бути будь-яким.

Мал. 3 Прямий паралелепіпед

Отже, прямий паралелепіпед - це паралелепіпед, в якому бічні ребра перпендикулярні основ паралелепіпеда.

Визначення. Паралелепіпед називається прямокутним,якщо його бічні ребра перпендикулярні до основи. Основи є прямокутниками.

Паралелепіпед АВСDА 1 В 1 С 1 D 1 - прямокутний (рис. 4), якщо:

1. АА 1 ⊥ АВСD (бічне ребро перпендикулярно площині основи, тобто паралелепіпед прямої).

2. ∠ВАD = 90°, тобто в основі лежить прямокутник.

Мал. 4 Прямокутний паралелепіпед

Прямокутний паралелепіпед має всі властивості довільного паралелепіпеда.Але є додаткові властивості, які виводяться з визначення прямокутного паралелепіпеда

Отже, прямокутний паралелепіпед- це паралелепіпед, у якого бічні ребра перпендикулярні до основи. Основа прямокутного паралелепіпеда - прямокутник.

1. У прямокутному паралелепіпеді всі шість граней прямокутники.

АВСD і А1В1С1D1 - прямокутники за визначенням.

2. Бічні ребра перпендикулярні до основи. Отже, всі бічні грані прямокутного паралелепіпеда – прямокутники.

3. Усе двогранні кутипрямокутного паралелепіпеда прямі.

Розглянемо, наприклад, двогранний кут прямокутного паралелепіпеда з ребром АВ, тобто двогранний кут між площинами АВВ 1 та АВС.

АВ - ребро, точка А 1 лежить в одній площині - у площині АВВ 1, а точка D в іншій - у площині А 1 В 1 З 1 D 1 . Тоді розглянутий двогранний кут можна позначити так: ∠А 1 АВD.

Візьмемо точку А на ребері АВ. АА 1 - перпендикуляр до ребра АВ у площині АВВ-1, AD перпендикуляр до ребра АВ у площині АВС. Отже, ∠А 1 АD - лінійний кутданого двогранного кута. ∠А 1 АD = 90°, отже, двогранний кут при ребері АВ дорівнює 90°.

∠(АВВ 1 , АВС) = ∠(АВ) = ∠А 1 АВD= ∠А 1 АD = 90°.

Аналогічно доводиться, що будь-які двогранні кути прямокутного паралелепіпеда прямі.

Квадрат діагоналі прямокутного паралелепіпеда дорівнює суміквадратів трьох його вимірів.

Примітка. Довжини трьох ребер, що виходять з однієї вершини прямокутного паралелепіпеда, є вимірами прямокутного паралелепіпеда. Їх іноді називають довжина, ширина, висота.

Дано: АВСDА 1 В 1 З 1 D 1 - прямокутний паралелепіпед (рис. 5).

Довести: .

Мал. 5 Прямокутний паралелепіпед

Доведення:

Пряма СС 1 перпендикулярна площині АВС, отже, і прямий АС. Отже, трикутник СС 1 А – прямокутний. За теоремою Піфагора:

Розглянемо прямокутний трикутник АВС. За теоремою Піфагора:

Але ВС та AD - протилежні сторонипрямокутника. Значить, НД = AD. Тоді:

Так як , а , те. Оскільки СС 1 = АА 1 , те що потрібно було довести.

Діагоналі прямокутного паралелепіпеда рівні.

Позначимо виміри паралелепіпеда АВС як a, b, c (див. рис. 6), тоді АС 1 = СА 1 = В 1 D = DВ 1 =

Розрізняється кілька типів паралелепіпедів:

· Прямокутний паралелепіпед- це паралелепіпед, у якого всі грані - прямокутники;

· Прямий паралелепіпед - це паралелепіпед, у якого 4 бічні грані - паралелограми;

· Похилий паралелепіпед - це паралелепіпед, бічні грані якого не перпендикулярні основам.

Основні елементи

Дві грані паралелепіпеда, які мають спільного ребра, називаються протилежними, а мають спільне ребро - суміжними. Дві вершини паралелепіпеда, що не належать до однієї грані, називаються протилежними. Відрізок,що з'єднує протилежні вершини, називається діагоналлюпаралелепіпеда. Довжини трьох ребер прямокутного паралелепіпеда, що мають загальну вершину, називають його вимірами.

Властивості

· Паралелепіпед симетричний щодо середини його діагоналі.

· Будь-який відрізок з кінцями, що належать поверхні паралелепіпеда і проходить через середину його діагоналі, ділиться нею навпіл; зокрема, всі діагоналі паралелепіпеда перетинаються в одній точці і діляться нею навпіл.

· Протилежні грані паралелепіпеда паралельні та рівні.

· Квадрат довжини діагоналі прямокутного паралелепіпеда дорівнює сумі квадратів трьох його вимірів

Основні формули

Прямий паралелепіпед

· Площа бічної поверхні S б =Р про *h, де Р про - периметр основи, h - висота

· Площа повної поверхні S п = S б +2S про, де S про - площа основи

· Об `єм V=S про *h

Прямокутний паралелепіпед

· Площа бічної поверхні S б =2c(a+b), де a, b - сторони основи, c - бічне ребро прямокутного паралелепіпеда

· Площа повної поверхні S п =2(ab+bc+ac)

· Об `єм V=abc, де a, b, c - виміри прямокутного паралелепіпеда.

· Площа бічної поверхні S = 6 * h 2 де h - висота ребра куба

34. Тетраедр - правильний багатогранник, має 4 грані, які є правильними трикутниками. Вершин біля тетраедра 4 до кожної вершини сходиться 3 ребра, а всього ребер 6 . Також тетраедр є пірамідою.

Трикутники, з яких складається тетраедр, називаються гранями (АОС, ОСВ, ACB, AOB), їхні сторони --- ребрами (AO, OC, OB), а вершини --- вершинами (A, B, C, O)тетраедра. Два ребра тетраедра, що не мають спільних вершин, називаються протилежними... Іноді виділяють одну з граней тетраедра та називають її основою, а три інші --- бічними гранями.

Тетраедр називається правильнимякщо всі його грані - рівносторонні трикутники. При цьому правильний тетраедр та правильна трикутна піраміда- Це не одне і те ж.

У правильного тетраедра всі двогранні кути при ребрах і всі тригранні кутипри вершинах рівні.

35. Правильна призма

Призмою називається багатогранник, у якого дві грані (основи) лежать у паралельних площинах, а всі ребра поза цими гранями паралельні між собою. Грані, відмінні від основ, називаються бічними гранями, які ребра називаються бічними ребрами. Усі бічні ребра рівні між собою як паралельні відрізкиобмежені двома паралельними площинами. Усі бічні грані призми є паралелограмами. Відповідні сторони підстав призми рівні та паралельні. Прямою називається призма, у якої бічне ребро перпендикулярне площині основи, інші призми називаються похилими. В основі правильної призмилежить правильний багатокутник. У такої призми усі грані – рівні прямокутники.

Поверхня призми складається з двох основ та бічної поверхні. Висотою призми називається відрізок, що є загальним перпендикуляром площин, у яких лежать основи призми. Висота призми є відстань Hміж площинами основ.

Площею бічної поверхні Sб призми називається сума площ її бічних граней. Площею повної поверхні Sп призми називається сума площ усіх її граней. Sп = Sб + 2 Sде S– площа основи призми, Sб - площа бічної поверхні.

36. Багатогранник, у якого одна грань, звана основою, - багатокутник,
а інші грані – трикутники із загальною вершиною, називається пірамідою .

Грані, відмінні від основи, називаються бічними.
Загальна вершина бічних граней називається вершиною піраміди.
Ребра, що з'єднують вершину піраміди з вершинами основи, називаються бічними.
Висотою піраміди називається перпендикуляр, проведений з вершини піраміди на її основу.

Піраміда називається правильною, якщо її основа – правильний багатокутник, а висота проходить через центр основи.

Апофема бічний грані правильної пірамідиназивається висота цієї грані, проведена з вершини піраміди.

Площина, паралельна основипіраміди, відсікає її на подібну піраміду і зрізану піраміду.

Властивості правильних пірамід

• Бічні ребра правильної піраміди – рівні.
• Бічні грані правильної піраміди рівні другдругові рівнобедрені трикутники.

Якщо всі бічні ребра рівні, то

В· висота проектується в центр описаного кола;

В· бічні ребра утворюють з площиною основи рівні кути.

Якщо бічні грані нахилені до площини основи під одним кутом, то

В· висота проектується в центр вписаного кола;

· Висоти бічних граней рівні;

·Площа бічної поверхні дорівнює половині добутку периметра основи на висоту бічної грані

37. Функцію y=f(x), де x належить множині натуральних чиселназивають функцією натурального аргументуабо числовою послідовністю. Позначають її y=f(n), або (y n)

Послідовності можна задавати у різний спосіб, словесно, так задається послідовність простих чисел:

2, 3, 5, 7, 11 і т.д

Вважають, що послідовність задана аналітично, якщо вказано формулу її n-го члена:

1, 4, 9, 16, …, n 2 …

2) y n = C. Таку послідовність називають постійною чи стаціонарною. Наприклад:

2, 2, 2, 2, …, 2, …

3) y n = 2 n . Наприклад,

2, 2 2 , 2 3 , 2 4 , …, 2 n , …

Послідовність називають обмеженою зверху, якщо всі її члени не більші за деяке число. Іншими словами, послідовність можна назвати обмеженою, якщо є таке число М, що виконується нерівність y n менше або дорівнює M. Число М називають верхнім кордономпослідовності. Наприклад послідовність: -1, -4, -9, -16, …, - n 2; обмежена зверху.

Аналогічно, послідовність можна назвати обмеженою знизу, якщо всі її члени більші за деяке число. Якщо послідовність обмежена і зверху та знизу вона називається обмеженою.

Послідовність називають зростаючою, якщо кожен її наступний член більший за попередній.

Послідовність називають спадною, якщо кожен її наступний член менший за попередній. Зростаючі та спадні послідовності визначають одним терміном – монотонні послідовності.

Розглянемо дві послідовності:

1) y n: 1, 3, 5, 7, 9, …, 2n-1, …

2) x n: 1, ½, 1/3, 1/4, …, 1/n, …

Якщо ми зобразимо члени цієї послідовності на числовій прямій, то зауважимо, що, у другому випадку члени послідовності згущуються навколо однієї точки, а першому випадку такого немає. У таких випадках говорять, що послідовність y n розходиться, а послідовність x n сходиться.

Число b називають межею послідовності y n якщо в будь-якій заздалегідь обраної околиці точки b містяться всі члени послідовності, починаючи з деякого номера.

У даному випадкуми можемо написати:

Якщо приватне прогресії по модулю менше одиниці, то межа цієї послідовності, при х, що прагнуть нескінченності дорівнює нулю.

Якщо послідовність сходиться, то лише до однієї межі

Якщо послідовність сходиться, вона обмежена.

Теорема Вейерштрасса: Якщо послідовність монотонно сходиться, вона обмежена.

Межа стаціонарної послідовностідорівнює будь-якому члену послідовності.

Властивості:

1) Межа суми дорівнює сумі меж

2) Межа твору дорівнює творумеж

3) Межа приватного дорівнює приватній межі

4) Постійний множникможна винести за знак межі

Запитання 38
сума нескінченної геометричної прогресії

Геометрична прогресія- послідовність чисел b 1 , b 2 , b 3 .. (членів прогресії), у якій кожне наступне число, починаючи з другого, виходить з попереднього множенням його на певне число q (знаменник прогресії), де b 1 ≠0 , q ≠0.

Сума нескінченної геометричної прогресії– це граничне число, якого сходиться послідовність прогресії.

Інакше кажучи, якою б довгою не була геометрична прогресія, сума її членів не більша за якийсь певної кількостіі практично дорівнює цьому числу. Воно називається сумою геометричної прогресії.

Не будь-яка геометрична прогресія має таку граничну суму. Вона може бути тільки у такої прогресії, знаменник якої – дробове числоменше 1.

Або (рівносильно) багатогранник, у якого шість граней та кожна з них - паралелограм.

Типи паралелепіпеда

Розрізняється кілька типів паралелепіпедів:

• Прямокутний паралелепіпед - це паралелепіпед, у якого всі грані - прямокутники.
• Прямий паралелепіпед - це паралелепіпед, у якого 4 бічні грані прямокутники.
• Похилий паралелепіпед - це паралелепіпед, бічні грані якого не перпендикулярні основам.

Основні елементи

Дві грані паралелепіпеда, які мають спільного ребра, називаються протилежними, а мають спільне ребро - суміжними. Дві вершини паралелепіпеда, що не належать до однієї грані, називаються протилежними. Відрізок, що з'єднує протилежні вершини, називається діагоналлю паралелепіпеда. Довжини трьох ребер прямокутного паралелепіпеда, що мають загальну вершину, називають його вимірами.

Властивості

• Паралелепіпед симетричний щодо середини його діагоналі.
• Будь-який відрізок з кінцями, що належать поверхні паралелепіпеда і проходить через середину діагоналі, ділиться нею навпіл; зокрема, всі діагоналі паралелепіпеда перетинаються в одній точці і діляться нею навпіл.
• Протилежні грані паралелепіпеда паралельні та рівні.
• Квадрат довжини діагоналі прямокутного паралелепіпеда дорівнює сумі квадратів трьох його вимірів.

Основні формули

Прямий паралелепіпед

Площа бічної поверхні S б =Р про *h, де Р про - периметр основи, h - висота

Площа повної поверхні S п = S б +2S про, де S про - площа основи

Об `єм V=S про *h

Прямокутний паралелепіпед

Площа бічної поверхні S б =2c(a+b), де a, b - сторони основи, c - бічне ребро прямокутного паралелепіпеда

Площа повної поверхні S п =2(ab+bc+ac)

Об `єм V=abc, де a, b, c - виміри прямокутного паралелепіпеда.

Куб

Площа поверхні: $S=6a^2$
Об `єм: $V=a^3$, де $a$- Ребро куба.

Довільний паралелепіпед

Обсяг та співвідношення в похилому паралелепіпедічасто визначаються за допомогою векторної алгебри. Об'єм паралелепіпеда дорівнює абсолютній величині змішаного твору трьох векторів, що визначаються трьома сторонами паралелепіпеда, що виходять з однієї вершини. Співвідношення між довжинами сторін паралелепіпеда та кутами між ними дає твердження, що визначник Грама зазначених трьох векторів дорівнює квадратуїх змішаного твору :215 .

У математичному аналізі

У математичний аналізпід n-мірним прямокутним паралелепіпедом $B$розуміють безліч точок $x\; =\; (x\_1,\; \backslash \; ldots,\; x\_n)$виду $B\; =\; \backslash (x|a\_1\backslash leqslant\; x\_1\backslash leqslant\; b\_1,\backslash ldots,a\_n\backslash leqslant\; x\_n\backslash leqslant\; b\_n\backslash )$

Напишіть відгук про статтю "Паралелепіпед"

Примітки

Посилання

Уривок, що характеризує Паралелепіпед