У правильній трикутній піраміді s. Знаходження сторони правильної трикутної піраміди
У правильній трикутній піраміді SABC N середина ребра BC, S вершина. Відомо, що SN=6, а площа бічної поверхні дорівнює 72. Знайдіть довжину відрізка AB.
Рішення завдання
У даному уроцідемонструється геометричне завдання, рішення якої ґрунтується на визначенні та властивостях правильної трикутної піраміди. Стверджується, що все бічні граніправильної піраміди є рівнобедреними трикутниками. Значить, площу бічної поверхні цієї піраміди можна визначити як бік. пов. =. Далі в ході рішення розглядається трикутник, площа якого дорівнює половині добутку довжини сторони на довжину проведеної до цієї сторони висоти. За якістю рівнобедреного трикутникавідрізок - це одночасно медіана і висота, отже, вірно така рівність: . Виконавши відповідну заміну у формулі площі бічної поверхні піраміди, підставляються відомі за умовою значення. Так як за визначенням правильної трикутної піраміди в її основі знаходиться правильний трикутник, то знайдене значення дорівнює довжині відрізка .
Це завданняаналогічна завданням виду В13, тому її з успіхом можна використовувати як підготовку до ЄДІ з математики.
Продовжуємо розглядати завдання, що входять до ЄДІ з математики. Ми вже досліджували завдання, де в умові дано і потрібно визначити відстань між двома даними точками чи кут.
Піраміда - це багатогранник, основа якого є багатокутником, інші грані - трикутники, причому вони мають загальну вершину.
Правильна піраміда - це піраміда в основі якої лежить правильний багатокутник, а його вершина проектується до центру основи.
Правильна чотирикутна піраміда — знову є квадрат.Вершина піраміди проектується в точку перетину діагоналей основи (квадрату).
ML - апофема
∠MLO - двогранний кутпри основі піраміди
∠MCO - кут між бічним ребром і площиною основи піраміди
У цій статті ми з вами розглянемо завдання на вирішення правильної піраміди. Потрібно знайти якийсь елемент, площу бічної поверхні, об'єм, висоту. Зрозуміло, необхідно знати теорему Піфагора, формулу площі бічної поверхні піраміди, формулу знаходження обсягу піраміди.
у статті « » представлені формули, які необхідні для вирішення задач зі стереометрії. Отже, завдання:
SABCDкрапка O- центр основи,Sвершина, SO = 51, AC= 136. Знайдіть бічне ребро SC.
У даному випадкув основі лежить квадрат. Це означає, що діагоналі AC і BD рівні, вони перетинаються і точкою перетину діляться навпіл. Зазначимо, що в правильної пірамідівисота опущена з її вершини проходить через центр основи піраміди. Таким чином, SO є висотою, а трикутникSOCпрямокутний. Тоді за теоремою Піфагора:
Як видобувати корінь з великої кількості.
Відповідь: 85
Вирішіть самостійно:
У правильній чотирикутної піраміди SABCDкрапка O- центр основи, Sвершина, SO = 4, AC= 6. Знайдіть бічне ребро SC.
У правильній чотирикутній піраміді SABCDкрапка O- центр основи, Sвершина, SC = 5, AC= 6. Знайдіть довжину відрізка SO.
У правильній чотирикутній піраміді SABCDкрапка O- центр основи, Sвершина, SO = 4, SC= 5. Знайдіть довжину відрізка AC.
SABC R- середина ребра BC, S- Вершина. Відомо що AB= 7, а SR= 16. Знайдіть площу бічної поверхні.
Площа бічної поверхні правильної трикутної піраміди дорівнює половині добутку периметра основи апофему (апофема це висота бічної грані правильної піраміди, проведена з її вершини):
Або можна сказати так: площа бічної поверхні піраміди дорівнює сумі площ трьохбічних граней. Боковими гранями у правильній трикутній піраміді є рівні за площею трикутники. В даному випадку:
Відповідь: 168
Вирішіть самостійно:
У правильній трикутній піраміді SABC R- середина ребра BC, S- Вершина. Відомо що AB= 1, а SR= 2. Знайдіть площу бічної поверхні.
У правильній трикутній піраміді SABC R- середина ребра BC, S- Вершина. Відомо що AB= 1, а площа бічної поверхні дорівнює 3. Знайдіть довжину відрізка SR.
У правильній трикутній піраміді SABC L- середина ребра BC, S- Вершина. Відомо що SL= 2, а площа бічної поверхні дорівнює 3. Знайдіть довжину відрізка AB.
У правильній трикутній піраміді SABC M. Площа трикутника ABCдорівнює 25, об'єм піраміди дорівнює 100. Знайдіть довжину відрізка MS.
Основа піраміди – рівносторонній трикутник. Тому Mє центром основи, аMS- Висотою правильної пірамідиSABC. Об'єм піраміди SABCдорівнює: оглянути рішення
У правильній трикутній піраміді SABCмедіани основи перетинаються у точці M. Площа трикутника ABCдорівнює 3, MS= 1. Знайдіть обсяг піраміди.
У правильній трикутній піраміді SABCмедіани основи перетинаються у точці M. Об'єм піраміди дорівнює 1, MS= 1. Знайдіть площу трикутника ABC.
На цьому закінчимо. Як бачите, завдання вирішуються в одну-дві дії. У майбутньому розглянемо з вами інші завдання з цієї частини, де дано тіла обертання, не пропустіть!
Успіхів вам!
З повагою Олександр Крутицьких.
PS: Буду вдячний Вам, якщо розповісте про сайт у соціальних мережах.
Завдання.
У правильній трикутній піраміді SABC з основою АВС усі ребра дорівнюють 6.
а) Побудуйте переріз піраміди площиною, що проходить через вершину S і перпендикулярною до відрізка, що з'єднує середини ребер АВ і ВС.
б) Знайдіть відстань від площини цього перерізу до центру SAB.
Рішення:
а) Побудуйте перетин піраміди площиною, що проходить через вершинуSі перпендикулярному відрізку, що з'єднує середини ребер АВ та ВС.
Нехай точка M – середина ребра НД, а точка N – середина ребра АВ, тоді MN – середня лініятрикутника ∆АВС. Отже, MN паралельна АС. Так як піраміда SABCправильна, то основу лежить правильний трикутник ∆АВС, отже, BD – медіана і висота трикутника ∆АВС, т. е. BD перпендикулярна АС і BD перпендикулярна MN. З'єднаємо послідовно точки B, D і S. Отримаємо шуканий переріз SBD, що проходить через вершину S і перпендикулярне відрізку, що з'єднує середини ребер АВ та ВС.
б) Знайдіть відстань від площини цього перерізу до центру граніSAB.
Відстанню від точки до площини називається перпендикуляр, проведений з цієї точки до площини. Побудуємо центр грані SAB, для цього знайдемо точку перетину медіан трикутника ∆SAB. Оскільки трикутник ∆SAB правильний, точка перетину медіан F є центром грані SAB.
Проведемо FE паралельно до MN. Так як MN перпендикулярна до площини перерізу SBD, то FE перпендикулярна до площини перерізу SBD. Отже, FE – відстань від площини перерізу SBD до центру SAB.
Оскільки точки M і N – середини ребер АВ та ВС, то MN – середня лінія трикутника ∆АВС.
Оскільки BD – медіана та висота трикутника ∆АВС, то BP – медіана та висота трикутника ∆BMN. Отже, NP = MP = 1,5.
У правильній піраміді апофеми SN і SM рівні, отже, трикутник ∆SMN – рівнобедрений, SP – висота трикутника ∆SMN.
