Чому дорівнює один радіан. Градусний захід кута

Тригонометричні функціїє елементарними функціями, аргументом яких є кут. За допомогою тригонометричних функційописуються співвідношення між сторонами та гострими кутами у прямокутному трикутнику. Області застосування тригонометричних функцій надзвичайно різноманітні. Так, наприклад, будь-які періодичні процеси можна подати у вигляді суми тригонометричних функцій (ряду Фур'є). Дані функції часто з'являються при вирішенні диференціальних і функціональних рівнянь.

До тригонометричних функцій відносяться такі 6 функцій: синус, косинус, тангенс, котангенс, секансі косеканс. Для кожної з зазначених функційІснує зворотна тригонометрична функція.

Геометричне визначення тригонометричних функцій зручно ввести за допомогою одиничного кола. На наведеному нижче малюнку зображено коло радіусом r= 1. На колі позначено точку M(x,y). Кут між радіус-вектором OMта позитивним напрямком осі Oxдорівнює α .

Синусомкута α yкрапки M(x,y) до радіусу r: sin α = y/r. Оскільки r= 1, то синус дорівнює ординаті точки M(x,y).

Косинусомкута α xкрапки M(x,y) до радіусу r: cos α = x/r = x

Тангенсомкута α називається відношення ординати yкрапки M(x,y) до її абсцисі x: tan α = y/x, x ≠ 0

Котангенсомкута α називається ставлення абсциси xкрапки M(x,y) до її ординати y: cot α = x/y, y ≠ 0

Секанскута α − це відношення радіуса rдо абсциси xкрапки M(x,y): sec α = r/x = 1/x, x ≠ 0

Косеканскута α − це відношення радіуса rдо ординати yкрапки M(x,y): cosec α = r/y = 1/y, y ≠ 0

У одиничному колі проекції x, yкрапки M(x,y) та радіус rутворюють прямокутний трикутник, у якому x, yє катетами, а r− гіпотенузою. Тому наведені вище визначення тригонометричних функцій у додатку до прямокутного трикутника формулюються таким чином: Синусомкута α називається відношення протилежного катета до гіпотенузи. Косинусомкута α називається відношення прилеглого катета до гіпотенузи. Тангенсомкута α називається протилежного катетадо прилеглого. Котангенсомкута α називається прилеглого катетадо протилежного.

Графік функції синус y= sin x, область визначення: x ∈ ℜ , область значень: −1 ≤ sin x ≤ 1

Графік функції косинус y= cos x, область визначення: x ∈ ℜ , область значень: −1 ≤ cos x ≤ 1

Графік функції тангенс y= ttg x, область визначення: x ∈ ℜ , x ≠ (2k + 1)π /2, область значень: −∞< tg x < ∞

Графік функції котангенс y= ctg x, область визначення: x ∈ ℜ , x ≠ kπ, область значень: −∞< ctg x < ∞

Конвертер довжини та відстані Конвертер маси Конвертер мір об'єму сипучих продуктів та продуктів харчування Конвертер площі Конвертер об'єму та одиниць вимірювання кулінарних рецептахКонвертер температури Конвертер тиску, механічного напруження, модуля Юнга Конвертер енергії та роботи Конвертер потужності Конвертер сили Конвертер часу Конвертер лінійної швидкості Плоский кутКонвертер теплової ефективності та паливної економічності Конвертер чисел в різних системахобчислення Конвертер одиниць вимірювання кількості інформації Курси валют Розміри жіночого одягу та взуття Розміри чоловічий одягта взуття Конвертер кутовий швидкостіі частоти обертання Конвертер прискорення Конвертер кутового прискорення Конвертер щільності Конвертер питомого об'єму Конвертер моменту інерції Конвертер моменту сили Конвертер крутного моменту Конвертер питомої теплотизгоряння (за масою) Конвертер щільності енергії та питомої теплоти згоряння палива (за об'ємом) Конвертер різниці температур Конвертер коефіцієнта теплового розширенняКонвертер термічного опору Конвертер питомої теплопровідності Конвертер питомої теплоємностіКонвертер енергетичної експозиції та потужності теплового випромінюванняКонвертер щільності теплового потоку Конвертер коефіцієнта тепловіддачі Конвертер об'ємної витрати Конвертер масової витрати Конвертер молярної витрати Конвертер щільності потоку маси Конвертер молярної концентраціїКонвертер масової концентрації в розчині Конвертер динамічної (абсолютної) в'язкості Конвертер кінематичної в'язкості Конвертер поверхневого натягу Конвертер паропроникності Конвертер паропроникності та швидкості переносу пари Конвертер рівня звуку Конвертер чутливості мікрофонів Конвертер рівня звукового тиску Конвертер рівня звукового тиску (SPL) Конвертер рівня звукового тиску (SPL) сили світла Конвертер освітленості Конвертер дозволу в комп'ютерної графікиКонвертер частоти та довжини хвилі Оптична силау діоптріях та фокусна відстань Оптична сила у діоптріях та збільшення лінзи (×) Конвертер електричного зарядуКонвертер лінійної щільності заряду Конвертер поверхневої щільностізаряду Конвертер об'ємної щільностізаряду Конвертер електричного струмуКонвертер лінійної щільності струму Конвертер поверхневої щільності струму Конвертер напруженості електричного поляКонвертер електростатичного потенціалута напруги Конвертер електричного опоруКонвертер питомого електричного опору Конвертер електричної провідностіКонвертер питомої електричної провідності Електрична ємність Конвертер індуктивності Конвертер Американського калібру проводів Рівні в dBm (дБм або дБмВт), dBV (дБВ), ватах та ін одиницях Конвертер магніторушійної сили магнітного поляКонвертер магнітного потокуКонвертер магнітної індукції Радіація. Конвертер потужності поглиненої дози іонізуючого випромінюванняРадіоактивність. Конвертер радіоактивного розпадуРадіація. Конвертер експозиційної дози. Конвертер поглиненої дози Конвертер десяткових приставок Передача даних Конвертер одиниць типографіки та обробки зображень Конвертер одиниць вимірювання об'єму лісоматеріалів Обчислення молярної маси Періодична система хімічних елементівД. І. Менделєєва

1 радіан [рад] = 57,2957795130823 градусів [°]

Вихідна величина

Перетворена величина

градус радіан град гін хвилина секунда зодіакальний сектор тисячна оборот коло оборот квадрант прямий кут секстант

Детальніше про кути

Загальні відомості

Плоский кут - геометрична фігура утворена двома лініями, що перетинаються. Плоский кут складається з двох променів з загальним початком, і ця точка називається вершиною променя. Промені називаються сторонами кута. У кутів багато цікавих властивостейнаприклад, сума всіх кутів у паралелограмі - 360 °, а в трикутнику - 180 °.

Види кутів

Прямікути дорівнюють 90°, гострі- менше 90°, а тупі- Навпаки, більше 90 °. Кути, рівні 180° називаються розгорнутими, кути в 360° називаються повними, а кути більше розгорнутих але менше повних називаються невипуклими. Коли сума двох кутів дорівнює 90 °, тобто один кут доповнює інший до 90 °, вони називаються додатковими суміжними, а якщо до 360° - то пов'язаними

Коли сума двох кутів дорівнює 90 °, тобто один кут доповнює інший до 90 °, вони називаються додатковими. Якщо вони доповнюють один одного до 180°, вони називаються суміжними, а якщо до 360° - то пов'язаними. У багатокутниках кути всередині багатокутника називаються внутрішніми, а пов'язані із нею - зовнішніми.

Два кути, утворені при перетині двох прямих і не суміжних, називаються вертикальними. Вони рівні.

Вимірювання кутів

Кути вимірюють за допомогою транспортира або обчислюють за формулою, вимірявши сторони кута від вершини до дуги, і довжину дуги, яка ці сторони обмежує. Кути зазвичай вимірюють у радіанах та градусах, хоча існують і інші одиниці.

Можна вимірювати як кути, утворені між двома прямими, і між кривими лініями. Для вимірювання між кривими використовують дотичні у точці перетину кривих, тобто у вершині кута.

Транспортир

Транспортир – інструмент для вимірювання кутів. Більшість транспортірів мають форму півкола або кола і дозволяють виміряти кути до 180 ° і до 360 ° відповідно. У деяких транспортирах вбудована додаткова лінійка, що обертається для зручності у вимірі. Шкали на транспортирах наносять частіше в градусах, хоч іноді вони бувають і в радіанах. Транспортири найчастіше використовують у школі на уроках геометрії, але їх також застосовують в архітектурі та техніці, зокрема в інструментальному виробництві.

Використання кутів в архітектурі та мистецтві

Художники, дизайнери, майстри та архітектори здавна використовують кути для створення ілюзій, акцентів та інших ефектів. Чергування гострих і тупих кутів або геометричні візерунки з гострих кутівчасто використовуються в архітектурі, мозаїці та вітражах, наприклад у будові готичних соборів та в ісламській мозаїці.

Одна з відомих формісламського образотворчого мистецтва – прикраса за допомогою геометричного орнаменту гиріх. Цей малюнок застосовують у мозаїці, різьбленні по металу та дереву, на папері та на тканині. Малюнок створюється за допомогою чергування геометричних фігур. Традиційно використовують п'ять фігур зі строго певними кутами з комбінацій 72°, 108°, 144° та 216°. Всі ці кути поділяються на 36 °. Кожна фігура розділена лініями на кілька маленьких симетричних фігурстворити більш тонкий малюнок. Спочатку гиріхом називалися самі ці фігури або шматочки для мозаїки, звідси й почалася назва всього стилю. У Марокко існує схожий геометричний стиль мозаїки, зулляйдж чи зілідж. Форма теракотових кахлів, з яких складають цю мозаїку, не дотримується так строго, як у гиріху, і кахлі часто більш химерної форми, ніж суворі геометричні фігуриу гірихі. Незважаючи на це, майстри зулляйджу також використовують кути для створення контрастних та химерних візерунків.

В ісламському образотворчому мистецтвіта архітектурі часто використовується руб аль-хізб - символ у формі одного квадрата, накладеного на інший під кутом 45°, як на ілюстраціях. Він може бути зображений як суцільна фігура або у вигляді ліній - у цьому випадку цей символ називається зіркою Al-Quds (аль кудс). Руб аль-хізб іноді прикрашають невеликими колами на перетині квадратів. Цей символ використовують у гербах та на прапорах мусульманських країн, наприклад, на гербі Узбекистану і на прапорі Азербайджану. Підстави найвищих у світі на момент написання (весна 2013) веж близнюків, веж Петронас побудовані у формі руб аль-хізба. Ці вежі знаходяться в Куала-Лумпурі в Малайзії і в їхньому проектуванні взяв участь прем'єр-міністр країни.

Гострі кути часто використовують у архітектурі як декоративні елементи. Вони надають будівлі строгу елегантність. Тупі кути, навпаки, надають будинкам затишний вигляд. Так, наприклад, ми захоплюємося готичними соборами та замками, але вони виглядають трохи сумно і навіть жахливо. А ось будинок собі ми швидше за все виберемо з дахом з тупими кутамиміж схилами. Кути в архітектурі також використовують для зміцнення різних частинбудівлі. Архітектори проектують форму, розмір і кут нахилу в залежності від навантаження на стіни, що потребують зміцнення. Цей принцип зміцнення за допомогою нахилу використовували ще з давніх часів. Наприклад, античні будівельники навчилися будувати арки без цементу та інших сполучних матеріалів, укладаючи каміння під певним кутом.

Зазвичай будинки будують вертикально, але іноді бувають винятки. Деякі будівлі спеціально будують із нахилом, а деякі нахиляються через помилки. Один із прикладів похилих будівель - Тадж-Махал в Індії. Чотири мінарети, які оточують головну будову, збудовані з нахилом від центру, щоб у разі землетрусу вони впали не всередину, на мавзолей, а в інший бік, і не пошкодили основну будівлю. Іноді будинки будують під кутом до землі в декоративних цілях. Наприклад, Падаюча вежа Абу-Дабі або Capital Gate нахилена на 18° на захід. А одна з будівель у Світі Головоломок Стюарта Лендсборо у місті Ванка у Новій Зеландії нахиляється до землі на 53°. Ця будівля так і називається «Падає вежа».

Іноді нахил будівлі - результат помилки в проектуванні, наприклад нахил Пізанської вежі. Будівельники не врахували структуру та якість ґрунту, на якому його зводили. Вежа мала стояти прямо, але поганий фундамент не зміг підтримувати її вагу і будівля осіла, покосившись на один бік. Башту багато разів реставрували; остання реставрація в 20-му столітті зупинила її поступове осідання і збільшується нахил. Її вдалося вирівняти з 5.5 ° до 4 °. Башта церкви СуурХусен у Німеччині також нахилена через те, що її дерев'яний фундамент прогнив з одного боку після осушення болотистого ґрунту, на якому він збудований. на Наразіця вежа нахилена більше, ніж Пізанська – приблизно на 5°.

Ви вагаєтесь у перекладі одиниці виміру з однієї мови на іншу? Колеги готові допомогти вам. Опублікуйте питання у TCTermsі протягом кількох хвилин ви отримаєте відповідь.

Давай подивимося малюнку. Вектор (AB) «повернувся» щодо точки (A) на якусь величину. Так ось мірою цього повороту щодо початкового положення і виступатиме кут \(\alpha\).

Що ще необхідно знати про поняття кута? Ну, звичайно ж, одиниці виміру кута!

Кут, як і геометрії, і у тригонометрії, може вимірюватися у градусах і радіанах.

Кутом в \(1()^\circ \) (один градус) називають центральний кутв колі, що спирається на кругову дугу, рівну \(\dfrac(1)(360) \) частини кола.

Таким чином, все коло складається з \ (360 \) "шматочків" кругових дуг, або кут, що описується колом, дорівнює \ (360 () ^ \ circ \) .

Тобто на малюнку вище зображено кут \(\beta \) , рівний \(50()^\circ \) , тобто цей кут спирається на кругову дугу розміром \(\dfrac(50)(360) \) довжини кола.

Кутом в \(1 \) радіан називають центральний кут в колі, що спирається на кругову дугу, довжина якої дорівнює радіусу кола.

Отже, на малюнку зображено кут \(\gamma \) , рівний \(1 \) радіану, тобто цей кут спирається на кругову дугу, довжина якої дорівнює радіусу кола (довжина \(AB \) дорівнює довжині \(BB" \) або радіус (r) дорівнює довжинідуги (l)). Таким чином, довжина дуги обчислюється за такою формулою:

\ (l = \ theta \ cdot r \), де \ ( \ theta \) - Центральний кут в радіанах.

Ну що, можеш, знаючи це, відповісти, скільки радіан містить кут, який описує коло? Так, для цього треба згадати формулу довжини кола. Ось вона:

\(L=2\pi \cdot r \)

Ну ось, тепер співвіднесемо ці дві формули і отримаємо, що кут, що описується колом дорівнює \(2\pi\). Тобто, співвіднісши величину в градусах і радіанах, отримуємо, що \ (2 \ pi = 360 () ^ \ circ \). Відповідно, \(\pi =180()^\circ \) . Як можна побачити, на відміну «градусів», слово «радіан» опускається, оскільки одиниця виміру зазвичай зрозуміла з контексту.