Sin ставлення протилежного катета до гіпотенузи. Cинус, косинус, тангенс та котангенс - все, що потрібно знати на ОГЕ та ЄДІ! Ну що, спробуємо ці формули на смак, повправляючись у знаходженні крапок на колі

Що таке синус, косинус, тангенс, котангенс кута допоможе зрозуміти прямокутний трикутник.

Як називаються сторони прямокутного трикутника? Все вірно, гіпотенуза і катети: гіпотенуза - це сторона, що лежить навпроти прямого кута(У нашому прикладі це сторона \ (AC \)); катети - це дві сторони, що залишилися \(AB \) і \(BC \) (ті, що прилягають до прямого кута), причому, якщо розглядати катети щодо кута \(BC \) , то катет \(AB \) - це прилеглий катет, а катет (BC) - протилежний. Отже, тепер дамо відповідь на запитання: що таке синус, косинус, тангенс і котангенс кута?

Синус кута- Це ставлення протилежного (далекого) катета до гіпотенузи.

У нашому трикутнику:

\[ \sin \beta =\dfrac(BC)(AC) \]

Косинус кута- Це ставлення прилеглого (близького) катета до гіпотенузи.

У нашому трикутнику:

\[ \cos \beta =\dfrac(AB)(AC) \]

Тангенс кута- Це ставлення протилежного (далекого) катета до прилеглого (близького).

У нашому трикутнику:

\[ tg\beta = dfrac(BC)(AB) \]

Котангенс кута- Це ставлення прилеглого (близького) катета до протилежного (дальнього).

У нашому трикутнику:

\[ ctg\beta = dfrac(AB)(BC) \]

Ці визначення необхідні запам'ятати! Щоб було простіше запам'ятати який катет на що ділити, необхідно чітко усвідомити, що в тангенсеі котангенсісидять тільки катети, а гіпотенуза з'являється тільки в синусіі косинус. А далі можна придумати ланцюжок асоціацій. Наприклад, ось таку:

Косинус→торкатися→доторкнутися→прилежний;

Котангенс→торкатися→доторкнутися→прилежний.

Насамперед, необхідно запам'ятати, що синус, косинус, тангенс і котангенс як відносини сторін трикутника не залежить від довжин цих сторін (при одному вугіллі). Не віриш? Тоді переконайся, подивившись на малюнок:

Розглянемо, наприклад, косинус кута (beta). За визначенням, із трикутника \(ABC \) : \(\cos \beta =\dfrac(AB)(AC)=\dfrac(4)(6)=\dfrac(2)(3) \), але ми можемо обчислити косинус кута \(\beta \) і з трикутника \(AHI \) : \(\cos \beta =\dfrac(AH)(AI)=\dfrac(6)(9)=\dfrac(2)(3) \). Бачиш, довжини у сторін різні, а значення косинуса одного кута одне й те саме. Таким чином, значення синуса, косинуса, тангенсу та котангенсу залежать виключно від величини кута.

Якщо розібрався у визначеннях, то вперед закріплюйте їх!

Для трикутника \(ABC \), зображеного нижче на малюнку, знайдемо \(\sin \ \alpha ,\ \cos \ \alpha ,\ tg\ \alpha ,\ ctg\ \alpha \).

\(\begin(array)(l)\sin \ \alpha =\dfrac(4)(5)=0,8\\cos \ \alpha =\dfrac(3)(5)=0,6\\ tg \ \ alpha = \ dfrac (4) (3) \ \ ctg \ \ alpha = \ dfrac (3) (4) = 0,75 \ end (array) \)

Ну що, вловив? Тоді пробуй сам: порахуй те саме для кута (beta).

Відповіді: \(\sin \ \beta =0,6;\ \cos \ \beta =0,8;\ tg\ \beta =0,75;\ ctg\ \beta =\dfrac(4)(3) \).

Одиничне (тригонометричне) коло

Розбираючись у поняттях градуса і радіана, ми розглядали коло з радіусом, рівним (1). Таке коло називається одиничною. Вона дуже знадобиться щодо тригонометрії. Тому зупинимося на ній трохи докладніше.

Як можна помітити, дане колопобудована в декартовій системікоординат. Радіус кола дорівнює одиниці, при цьому центр кола лежить на початку координат, початкове положення радіус-вектора зафіксовано вздовж позитивного напрямку осі (x) (у нашому прикладі, це радіус (AB)).

Кожній точці кола відповідають два числа: координата по осі (x) і координата по осі (y). А що це за числа-координати? І взагалі, яке відношення вони мають до цієї теми? Для цього треба згадати розглянутий прямокутний трикутник. На малюнку, наведеному вище, можна помітити цілих два прямокутні трикутники. Розглянемо трикутник (ACG). Він прямокутний, оскільки \(CG\) є перпендикуляром до осі \(x\).

Чому дорівнює \(\cos \ \alpha\) з трикутника \(ACG\)? Все вірно \(\cos \ \alpha =\dfrac(AG)(AC) \). Крім того, нам відомо, що \ (AC \) - це радіус одиничного кола, отже, \(AC=1 \) . Підставимо це значення на нашу формулу для косинуса. Ось що виходить:

\(\cos \ \alpha =\dfrac(AG)(AC)=\dfrac(AG)(1)=AG \).

А чому дорівнює \(\sin \ \alpha\) з трикутника \(ACG\)? Ну звичайно, \(\sin \alpha =\dfrac(CG)(AC) \)! Підставимо значення радіусу \(AC \) в цю формулу і отримаємо:

\(\sin \alpha =\dfrac(CG)(AC)=\dfrac(CG)(1)=CG \)

Так, а можеш сказати, які координати має точка (C), що належить колу? Ну що, аж ніяк? А якщо збагнути, що \(\cos\alpha\) і \(\sin\alpha\) - це просто числа? Який координаті відповідає \(\cos\alpha\)? Ну, звичайно, координаті (x)! А якій координаті відповідає \(\sin \alpha\)? Все правильно, координаті \ (y \)! Таким чином, точка \(C(x;y)=C(\cos \alpha ;\sin \alpha) \).

А чому тоді рівні \(tg \alpha\) і \(ctg \alpha\)? Все вірно, скористаємося відповідними визначеннями тангенсу та котангенсу і отримаємо, що \(tg \alpha =\dfrac(\sin \alpha )(\cos \alpha )=\dfrac(y)(x) \), а \(ctg \alpha =\dfrac(\cos \alpha )(\sin \alpha )=\dfrac(x)(y) \).

А що, якщо кут буде більшим? Ось, наприклад, як у цьому рисунку:

Що ж змінилося в даному прикладі? Давай розбиратись. Для цього знову звернемося до прямокутного трикутника. Розглянемо прямокутний трикутник \(((A)_(1))((C)_(1))G \) : кут (як прилеглий до кута \(\beta \) ). Чому дорівнює значення синуса, косинуса, тангенсу та котангенсу для кута \(((C)_(1))((A)_(1))G=180()^\circ -\beta \ \)? Все вірно, дотримуємося відповідних визначень тригонометричних функцій:

\(\begin(array)(l)\sin \angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(( (A)_(1))((C)_(1)))=\dfrac(((C)_(1))G)(1)=((C)_(1))G=y; \\\cos \angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)(((A)_(1)) ((C)_(1)))=\dfrac(((A)_(1))G)(1)=((A)_(1))G=x;\\tg\angle ((C )_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(((A)_(1))G)=\dfrac(y)( x);\ctg\angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)(((C)_(1) ))G)=\dfrac(x)(y)\end(array) \)

Ну от, як бачиш, значення синуса кута так само відповідає координаті \ (y \) ; значення косинуса кута - координаті (x); а значення тангенсу та котангенсу відповідним співвідношенням. Таким чином, ці співвідношення можна застосовувати до будь-яких поворотів радіус-вектора.

Вже згадувалося, що початкове положення радіус-вектора - вздовж позитивного напрямку осі (x). Досі ми обертали цей вектор проти годинникової стрілки, а що буде, якщо повернути його за годинниковою стрілкою? Нічого екстраординарного, вийде так само кут певної величини, але він буде негативним. Таким чином, при обертанні радіус-вектора проти годинникової стрілки виходять позитивні кути, а при обертанні за годинниковою стрілкою - негативні.

Отже, ми знаємо, що цілий оборот радіус-вектора по колу складає \(360()^\circ \) або \(2\pi \). А чи можна повернути радіус-вектор на \(390()^\circ \) або на \(-1140()^\circ \) ? Ну звісно, ​​можна! В першому випадку, \(390()^\circ =360()^\circ +30()^\circ \), таким чином, радіус-вектор зробить один повний оборот і зупиниться в положенні \(30()^\circ \) або \(\dfrac(\pi)(6) \) .

У другому випадку, \(-1140()^\circ =-360()^\circ \cdot 3-60()^\circ \), тобто радіус-вектор здійснить три повних оборотуі зупиниться в положенні \(-60()^\circ \) або \(-\dfrac(\pi)(3) \).

Таким чином, з наведених прикладів можемо зробити висновок, що кути, що відрізняються на \(360()^\circ \cdot m \) або \(2\pi \cdot m \) (де \(m \) - будь-яке ціле число ), відповідають тому самому положенню радіус-вектора.

Нижче малюнку зображений кут \(\beta =-60()^\circ \) . Це ж зображення відповідає куту \(-420()^\circ ,-780()^\circ ,\ 300()^\circ ,660()^\circ \)і т.д. Цей список можна продовжити до безкінечності. Усі ці кути можна записати загальною формулою \(\beta +360()^\circ \cdot m \)або \(\beta +2\pi \cdot m \) (де \(m \) – будь-яке ціле число)

\(\begin(array)(l)-420()^\circ =-60+360\cdot (-1);\-780()^\circ =-60+360\cdot (-2); \\300()^\circ =-60+360\cdot 1;\\660()^\circ =-60+360\cdot 2.\end(array) \)

Тепер, знаючи визначення основних тригонометричних функцій та використовуючи одиничне коло, спробуй відповісти, чому рівні значення:

\(\begin(array)(l)\sin \ 90()^\circ =?\\\cos \ 90()^\circ =?\\\text(tg)\ 90()^\circ =? \\text(ctg)\ 90()^\circ =?\\\sin \ 180()^\circ =\sin \ \pi =?\\cos \ 180()^\circ =\cos \ \pi =?\\\text(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =?\\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =?\\\sin \ 270()^\circ =?\\\cos \ 270()^\circ =?\\\text(tg)\ 270()^\circ =?\\\text (ctg)\ 270()^\circ =?\\\sin \ 360()^\circ =?\\\cos \ 360()^\circ =? \circ =?\\\text(ctg)\ 360()^\circ =?\\\sin \ 450()^\circ =?\\\cos \ 450()^\circ =?\\\text (tg)\ 450()^\circ =?\\\text(ctg)\ 450()^\circ =?\end(array) \)

Ось тобі на допомогу одиничне коло:

Виникли проблеми? Тоді давай розбиратись. Отже, ми знаємо, що:

\(\begin(array)(l)\sin \alpha =y;\\cos\alpha =x;\tg\alpha =\dfrac(y)(x);\ctg\alpha =\dfrac(x )(y).\end(array) \)

Звідси ми визначаємо координати точок, що відповідають певним заходам кута. Ну що ж, почнемо по порядку: кутку в \(90()^\circ =\dfrac(\pi )(2) \)відповідає точка з координатами \(\left(0;1 \right) \) , отже:

\(\sin 90()^\circ =y=1 \);

\(\cos 90()^\circ =x=0 \);

\(\text(tg)\ 90()^\circ =\dfrac(y)(x)=\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(tg)\ 90()^\circ \)- не існує;

\(\text(ctg)\ 90()^\circ =\dfrac(x)(y)=\dfrac(0)(1)=0 \).

Далі, дотримуючись тієї ж логіки, з'ясовуємо, що кутам у \(180()^\circ ,\ 270()^\circ ,\ 360()^\circ ,\ 450()^\circ (=360()^\circ +90()^\circ)\ \ )відповідають точки з координатами \(\left(-1;0 \right),\text( )\left(0;-1 \right),\text( )\left(1;0 \right),\text( )\left(0 ;1 \right) \)відповідно. Знаючи це, легко визначити значення тригонометричних функцій у відповідних точках. Спочатку спробуй сам, а потім звіряйся з відповідями.

Відповіді:

\(\displaystyle \sin \ 180()^\circ =\sin \ \pi =0 \)

\(\displaystyle \cos \ 180()^\circ =\cos \ \pi =-1 \)

\(\text(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =\dfrac(0)(-1)=0 \)

\(\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =\dfrac(-1)(0)\Rightarrow \text(ctg)\ \pi \)- не існує

\(\sin \ 270()^\circ =-1 \)

\(\cos \ 270()^\circ =0 \)

\(\text(tg)\ 270()^\circ =\dfrac(-1)(0)\Rightarrow \text(tg)\ 270()^\circ \)- не існує

\(\text(ctg)\ 270()^\circ =\dfrac(0)(-1)=0 \)

\(\sin \ 360()^\circ =0 \)

\(\cos \ 360()^\circ =1 \)

\(\text(tg)\ 360()^\circ =\dfrac(0)(1)=0 \)

\(\text(ctg)\ 360()^\circ =\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(ctg)\ 2\pi \)- не існує

\(\sin \ 450()^\circ =\sin \ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\sin \ 90()^\circ =1 \)

\(\cos \ 450()^\circ =\cos \ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\cos \ 90()^\circ =0 \)

\(\text(tg)\ 450()^\circ =\text(tg)\ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(tg)\ 90() ^\circ =\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(tg)\ 450()^\circ \)- не існує

\(\text(ctg)\ 450()^\circ =\text(ctg)\left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(ctg)\ 90()^ \circ =\dfrac(0)(1)=0 \).

Таким чином, ми можемо скласти таку табличку:

Немає потреби пам'ятати всі ці значення. Достатньо пам'ятати відповідність координат точок на одиничному колі та значень тригонометричних функцій:

\(\left. \begin(array)(l)\sin \alpha =y;\\cos \alpha =x;\\tg \alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg \alpha =\ dfrac(x)(y).\end(array) \right\)\text(Треба запам'ятати або вміти виводити!! \) !}

А ось значення тригонометричних функцій кутів в і \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4) \), наведених нижче у таблиці, необхідно запам'ятати:

Не треба лякатися, зараз покажемо один із прикладів досить простого запам'ятовування відповідних значень:

Для користування цим методом життєво необхідно запам'ятати значення синуса для всіх трьох заходів кута ( \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4),\ 60()^\circ =\dfrac(\pi )(3) \)), а також значення тангенса кута \(30()^\circ \) . Знаючи ці \ (4 \) значення, досить просто відновити всю таблицю цілком - значення косинуса переносяться відповідно до стрілок, тобто:

\(\begin(array)(l)\sin 30()^\circ =\cos \ 60()^\circ =\dfrac(1)(2)\ \\\sin 45()^\circ = \cos \ 45()^\circ =\dfrac(\sqrt(2))(2)\\\sin 60()^\circ =\cos \ 30()^\circ =\dfrac(\sqrt(3) ))(2)\ \end(array) \)

\(\text(tg)\ 30()^\circ \ =\dfrac(1)(\sqrt(3)) \)знаючи це можна відновити значення для \(\text(tg)\ 45()^\circ , \text(tg)\ 60()^\circ \). Чисельник "\(1 \)" буде відповідати \(\text(tg)\ 45()^\circ \ \) , а знаменник "\(\sqrt(\text(3)) \)" відповідає \(\text (tg) \ 60 () ^ \ circ \ \) . Значення котангенсу переносяться відповідно до стрілок, вказаних на малюнку. Якщо це усвідомити та запам'ятати схему зі стрілочками, то буде достатньо пам'ятати всього \(4\) значення з таблиці.

Координати точки на колі

А чи можна знайти точку (її координати) на колі, знаючи координати центру кола, його радіус та кут повороту? Ну, звісно, ​​можна! Давай виведемо загальну формулудля знаходження координат точки. Ось, наприклад, перед нами таке коло:

Нам дано, що точка \(K(((x)_(0));((y)_(0)))=K(3;2) \)- Центр кола. Радіус кола дорівнює \ (1,5 \). Необхідно знайти координати точки \(P \), отриманої поворотом точки \(O \) на \(\delta \) градусів.

Як видно з малюнка, координаті (x) точки (P) відповідає довжина відрізка (TP = UQ = UK + KQ). Довжина відрізка \ (UK \) відповідає координаті \ (x \) центру кола, тобто дорівнює \ (3 \). Довжину відрізка (KQ) можна виразити, використовуючи визначення косинуса:

\(\cos \ \delta =\dfrac(KQ)(KP)=\dfrac(KQ)(r)\Rightarrow KQ=r\cdot \cos \ \delta \).

Тоді маємо, що для точки \(P \) координата \(x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta =3+1,5\cdot \cos \ \delta \).

За тією ж логікою знаходимо значення координати для точки \(P \) . Таким чином,

\(y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta =2+1,5\cdot \sin \delta \).

Отже, у загальному виглядікоординати точок визначаються за формулами:

\(\begin(array)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta \\y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta \end(array) \), де

\(((x)_(0)),((y)_(0)) \) - координати центру кола,

\ (r \) - радіус кола,

\(\delta \) - Кут повороту радіуса вектора.

Як можна помітити, для одиничного кола, що розглядається нами, ці формули значно скорочуються, оскільки координати центру дорівнюють нулю, а радіус дорівнює одиниці:

\(\begin(array)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta =0+1\cdot \cos \ \delta =\cos \ \delta \\y =((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta =0+1\cdot \sin \ \delta =\sin \ \delta \end(array) \)

Сінус гострого кутаα прямокутного трикутника – це відношення протилежногокатета до гіпотенузи.
Позначається так: sin α.

Косінусгострого кута α прямокутного трикутника – це відношення прилеглого катета до гіпотенузи.
Позначається так: cos α.

Тангенсгострого кута α – це відношення протилежного катетадо прилеглого катета.
Позначається так: tg.

Котангенсгострого кута α – це відношення прилеглого катета до протилежного.
Позначається так: ctg?

Синус, косинус, тангенс та котангенс кута залежать тільки від величини кута.

Правила:

Основні тригонометричні тотожностіу прямокутному трикутнику:

(α – гострий кут, що протилежить катету b і прилеглий до катета a . Сторона з - Гіпотенуза. β - Другий гострий кут).

При зростанні гострого кутаsin α іtg α зростають, аcos α зменшується.

Для будь-якого гострого кута:

sin (90° - α) = cos α

cos (90° - α) = sin α

Приклад-пояснення:

Нехай у прямокутному трикутнику АВС
АВ = 6,
НД = 3,
кут А = 30 º.

З'ясуємо синус кута А та косинус кута В.

Рішення .

1) Спочатку знаходимо величину кута В. Тут все просто: так як у прямокутному трикутнику сума гострих кутів дорівнює 90 º, то кут В = 60 º:

В = 90 º - 30 º = 60 º.

2) Обчислимо sin A. Ми знаємо, що синус дорівнює відношеннюпротилежного катета до гіпотенузи. Для кута А протилежним катетом є сторона ЗС. Отже:

BC 3 1
sin A = - = - = -
AB 6 2

3) Тепер обчислимо cos B. Ми знаємо, що косинус дорівнює відношенню прилеглого катета до гіпотенузи. Для кута В ​​прилеглим катетом є та сама сторона ВС. Це означає, що знову треба розділити ВС на АВ – тобто здійснити самі дії, як і під час обчислення синуса кута А:

BC 3 1
cos B = - = - = -
AB 6 2

У результаті виходить:
sin A = cos B = 1/2.

sin 30º = cos 60º = 1/2.

З цього випливає, що у прямокутному трикутнику синус одного гострого кута дорівнює косинусу іншого гострого кута – і навпаки. Саме це і означають наші дві формули:
sin (90° - α) = cos α
cos (90° - α) = sin α

Переконаємося в цьому ще раз:

1) Нехай α = 60º. Підставивши значення в формулу синуса, отримаємо:
sin (90º – 60º) = cos 60º.
sin 30 º = cos 60 º.

2) Нехай α = 30 º. Підставивши значення в формулу косинуса, отримаємо:
cos (90 ° - 30 º) = sin 30 º.
cos 60 ° = sin 30 º.

(Докладніше про тригонометрію - див. розділ Алгебра)

У цій статті ми покажемо, як даються визначення синуса, косинуса, тангенсу та котангенсу кута та числа в тригонометрії. Тут ми поговоримо про позначення, наведемо приклади записів, дамо графічні ілюстрації. На закінчення проведемо паралель між визначеннями синуса, косинуса, тангенсу та котангенсу в тригонометрії та геометрії.

Навігація на сторінці.

Визначення синуса, косинуса, тангенсу та котангенсу

Простежимо за тим, як формуються уявлення про синус, косинус, тангенс і котангенс в шкільному курсіматематики. На уроках геометрії дається визначення синуса, косинуса, тангенсу та котангенсу гострого кута у прямокутному трикутнику. А пізніше вивчається тригонометрія, де йдеться про синус, косинус, тангенс і котангенс кута повороту і числа. Наведемо всі ці визначення, наведемо приклади та дамо необхідні коментарі.

гострого кута в прямокутному трикутнику

З курсу геометрії відомі визначення синуса, косинуса, тангенсу та котангенсу гострого кута у прямокутному трикутнику. Вони даються як відношення сторін прямокутного трикутника. Наведемо їх формулювання.

Визначення.

Синус гострого кута у прямокутному трикутнику- Це ставлення протилежного катета до гіпотенузи.

Визначення.

Косинус гострого кута у прямокутному трикутнику- Це ставлення прилеглого катета до гіпотенузи.

Визначення.

Тангенс гострого кута у прямокутному трикутнику- Це ставлення протилежного катета до прилеглого.

Визначення.

Котангенс гострого кута у прямокутному трикутнику- Це ставлення прилеглого катета до протилежного.

Там же вводяться позначення синуса, косинуса, тангенсу та котангенсу – sin, cos, tg і ctg відповідно.

Наприклад, якщо АВС – прямокутний трикутник із прямим кутом З , то синус гострого кута A дорівнює відношенню протилежного катета BC до гіпотенузи AB , тобто, sin∠A=BC/AB .

Ці визначення дозволяють обчислювати значення синуса, косинуса, тангенсу та котангенсу гострого кута за відомими довжинами сторін прямокутного трикутника, а також по відомим значеннямсинуса, косинуса, тангенсу, котангенсу та довжині однієї зі сторін знаходити довжини інших сторін. Наприклад, якби знали, що у прямокутному трикутнику катет AC дорівнює 3 , а гіпотенуза AB дорівнює 7 , ми могли б обчислити значення косинуса гострого кута A за визначенням: cos∠A=AC/AB=3/7 .

Кута повороту

У тригонометрії на кут починають дивитися ширше - вводять поняття кута повороту. Величина кута повороту, на відміну від гострого кута, не обмежена рамками від 0 до 90 градусів, кут повороту в градусах (і в радіанах) може виражатися будь-яким дійсним числом від −∞ до +∞ .

У цьому вся світлі дають визначення синуса, косинуса, тангенса і котангенса не гострого кута, а кута довільної величини - кута повороту. Вони даються через координати x і y точки A 1 , яку переходить так звана початкова точка A(1, 0) після її повороту на кут α навколо точки O - початку прямокутної декартової системи координат і центру одиничного кола .

Визначення.

Синус кута поворотуα - це ордината точки A 1 тобто sinα = y .

Визначення.

Косинусом кута поворотуα називають абсцис точки A 1 , тобто, cosα = x .

Визначення.

Тангенс кута поворотуα - це відношення ординати точки A 1 до її абсциси, тобто tgα=y/x.

Визначення.

Котангенсом кута поворотуα називають відношення абсциси точки A 1 до її ординати, тобто ctgα=x/y .

Синус і косинус визначені для будь-якого кута α, тому що ми завжди можемо визначити абсцису та ординату точки, яка виходить в результаті повороту початкової точки на кут α. А тангенс та котангенс визначені не для будь-якого кута. Тангенс не визначений для таких кутів α , при яких початкова точка перетворюється на точку з нульовою абсцисою (0, 1) або (0, −1) , а це має місце при кутах 90°+180°·k , k∈Z (π /2+π·k радий). Справді, за таких кутах повороту вираз tgα=y/x немає сенсу, оскільки у ньому присутній розподіл на нуль. Що ж до котангенсу, то він не визначений для таких кутів α , при яких початкова точка переходить до точки з нульовою ординатою (1, 0) або (-1, 0) , а це має місце для кутів 180°k, k ∈Z (π·k радий).

Отже, синус і косинус визначені для будь-яких кутів повороту, тангенс визначений для всіх кутів, крім 90°+180°k, k∈Z (π/2+πk радий), а котангенс – для всіх кутів, крім 180° ·k, k∈Z (π·k радий).

У визначеннях фігурують вже відомі нам позначення sin, cos, tg і ctg, вони використовуються і для позначення синуса, косинуса, тангенсу та котангенсу кута повороту (іноді можна зустріти позначення tan і cot, що відповідають тангенсу та котангенсу). Так синус кута повороту 30 градусів можна записати як sin30° записам tg(−24°17′) і ctgα відповідають тангенс кута повороту −24 градуси 17 хвилин і котангенс кута повороту α . Нагадаємо, що при записі радіанної міри кута позначення "рад" часто опускають. Наприклад, косинус кута повороту в три піради зазвичай позначають cos3·π.

На закінчення цього пункту варто зауважити, що в розмові про синус, косинус, тангенс і котангенс кута повороту часто опускають словосполучення кут повороту або слово повороту. Тобто замість фрази "синус кута повороту альфа" зазвичай використовують фразу "синус кута альфа" або ще коротше - "синус альфа". Це саме стосується і косинуса, і тангенсу, і котангенсу.

Також скажемо, що визначення синуса, косинуса, тангенса і котангенса гострого кута в прямокутному трикутнику узгоджуються з щойно даними визначеннями синуса, косинуса, тангенса і котангенса кута повороту величиною від 0 до 90 градусів. Це ми обґрунтуємо.

Числа

Визначення.

Синусом, косинусом, тангенсом і котангенсом числа t називають число, рівне синусу, косинусу, тангенсу та котангенсу кута повороту в t радіанів відповідно.

Наприклад, косинус числа 8 π за визначенням є число, що дорівнює косинусу кута в 8 π рад. А косинус кута в 8 π рад дорівнює одиниці, тому, косинус числа 8 π дорівнює 1 .

Існує й інший підхід до визначення синуса, косинуса, тангенсу та котангенсу числа. Він у тому, що кожному дійсному числу t ставиться у відповідність точка одиничного кола з центром на початку прямокутної системикоординат і синус, косинус, тангенс і котангенс визначаються через координати цієї точки. Зупинимося на цьому детальніше.

Покажемо, як встановлюється відповідність між дійсними числами та точками кола:

• числу 0 ставиться у відповідність початкова точка A(1, 0);
• позитивному числу t ставиться у відповідність точка одиничного кола, в яке ми потрапимо, якщо будемо рухатися по колу з початкової точки в напрямку проти годинникової стрілки та пройдемо шляхдовжиною t;
• негативному числу t ставиться у відповідність точка одиничного кола, в яку ми потрапимо, якщо рухатимемося по колу з початкової точки в напрямку за годинниковою стрілкою і пройдемо шлях завдовжки |t| .

Тепер переходимо до визначення синусу, косинуса, тангенсу і котангенсу числа t . Припустимо, що t відповідає точка кола A 1 (x, y) (наприклад, числу &pi/2; відповідає точка A 1 (0, 1) ).

Визначення.

Синусом числа t називають ординату точки одиничного кола, що відповідає числу t, тобто, sint = y.

Визначення.

Косинусом числа t називають абсцису точки одиничного кола, що відповідає числу t, тобто, cost = x.

Визначення.

Тангенсом числа t називають відношення ординати до абсцисі точки одиничного кола, що відповідає числу t, тобто, tgt=y/x. В іншому рівносильному формулюванні тангенс числа t - це відношення синуса цього числа до косинусу, тобто tgt = sint / cost.

Визначення.

Котангенсом числа t називають відношення абсциси до ординати точки одиничного кола, що відповідає числу t, тобто ctgt=x/y . Інше формулювання така: тангенс числа t - це відношення косинуса числа t до синуса числа t: ctgt = cost / sint.

Тут зазначимо, що дані визначення узгоджуються з визначенням, даним на початку цього пункту. Дійсно, точка одиничного кола, відповідна числу t збігається з точкою, отриманої в результаті повороту початкової точки на кут в t радіанів.

Ще варто з'ясувати такий момент. Допустимо, перед нами запис sin3 . Як зрозуміти, про синус числа 3 або про синус кута повороту 3 радіана йдеться? Зазвичай це з контексту, інакше це швидше за все не має принципового значення.

Тригонометричні функції кутового та числового аргументу

Згідно з даними у попередньому пункті визначенням, кожному куту повороту α відповідають цілком певне значення sinα, як і значення cosα. Крім того, всім кутам повороту, відмінним від 90°+180°·k , k∈Z (π/2+π·k рад) відповідають значення tgα , а відмінним від 180°·k , k∈Z (π·k рад ) – значення ctgα. Тому sinα, cosα, tgα та ctgα - це функції кута α. Інакше кажучи – це функції кутового аргумента.

Аналогічно можна говорити і про функції синус, косинус, тангенс та котангенс числового аргументу. Дійсно, кожному дійсному числу t відповідає цілком певне значення sint, як і cost. Крім того, всім числам, відмінним від π/2+π·k , k∈Z відповідають значення tgt , а числам π·k , k∈Z - значення ctgt .

Функції синус, косинус, тангенс та котангенс називають основними тригонометричними функціями.

З контексту зазвичай зрозуміло, з тригонометричними функціями кутового аргументу чи числового аргументу ми маємо справу. В іншому випадку ми можемо вважати незалежну змінну як мірою кута ( кутовим аргументом), і числовим аргументом.

Проте, у школі переважно вивчаються числові функціїтобто функції, аргументи яких, як і відповідні їм значення функції, є числами. Тому, якщо мова йдесаме про функції, то доцільно вважати тригонометричні функціїфункціями числових аргументів.

Зв'язок визначень з геометрії та тригонометрії

Якщо розглядати кут повороту величиною від 0 до 90 градусів, то дані в контексті тригонометрії визначення синуса, косинуса, тангенса і котангенса кута повороту повністю узгоджуються з визначеннями синуса, косинуса, тангенса і котангенса гострого кута в прямокутному трикутнику, які даються в курсі геометрії. Обґрунтуємо це.

Зобразимо у прямокутній декартовій системі координат Oxy одиничне коло. Зазначимо початкову точку A(1, 0) . Повернемо її на кут величиною від 0 до 90 градусів, отримаємо точку A 1 (x, y) . Опустимо з точки А1 на вісь Ox перпендикуляр A1H.

Легко бачити, що у прямокутному трикутнику кут A 1 OH дорівнює кутуповороту α довжина прилеглого до цього кута катета OH дорівнює абсцисі точки A 1 тобто | а довжина гіпотенузи OA 1 дорівнює одиниці, оскільки вона є радіусом одиничного кола. Тоді за визначенням з геометрії синус гострого кута у прямокутному трикутнику A 1 OH дорівнює відношенню протилежного катета до гіпотенузи, тобто, sinα=|A 1 H|/|OA 1 |=y/1=y . А за визначенням з тригонометрії синус кута повороту дорівнює ординаті точки A 1 , тобто, sinα = y . Звідси видно, що визначення синуса гострого кута в прямокутному трикутнику еквівалентне визначенню синуса кута повороту при α від 0 до 90 градусів.

Аналогічно можна показати, що і визначення косинуса, тангенсу та котангенсу гострого кута узгоджуються з визначеннями косинуса, тангенсу та котангенсу кута повороту α .

Список літератури.

1. Геометрія. 7-9 класи: навч. для загальноосвіт. установ/[Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев та ін]. - 20-те вид. М.: Просвітництво, 2010. – 384 с.: іл. - ISBN 978-5-09-023915-8.
2. Погорєлов А. В.Геометрія: Навч. для 7-9 кл. загальноосвіт. установ/А. В. Погорелов. - 2-ге вид - М.: Просвітництво, 2001. - 224 с.: іл. - ISBN 5-09-010803-X.
3. Алгебра та елементарні функції : Навчальний посібникдля учнів 9 класу середньої школи/ Є. С. Кочетков, Є. С. Кочеткова; За редакцією доктора фізико-математичних наук О. Н. Головіна. - 4-те вид. М: Просвітництво, 1969.
4. Алгебра:Навч. для 9 кл. середовищ. шк./Ю. Н. Макарічев, Н. Г. Міндюк, К. І. Нешков, С. Б. Суворова; За ред. С. А. Теляковського.- М.: Просвітництво, 1990.- 272 с.: Іл.- ISBN 5-09-002727-7
5. Алгебрата початку аналізу: Навч. для 10-11 кл. загальноосвіт. установ / А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудніцин та ін; За ред. А. Н. Колмогорова. - 14-те вид. - М.: Просвітництво, 2004. - 384 с.: Іл. - ISBN 5-09-013651-3.
6. Мордковіч А. Г.Алгебра та початку аналізу. 10 клас. О 2 год. Ч. 1: підручник для загальноосвітніх установ (профільний рівень) / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. - 4-те вид., Дод. – М.: Мнемозіна, 2007. – 424 с.: іл. ISBN 978-5-346-00792-0.
7. Алгебраі почала математичного аналізу. 10 клас: навч. для загальноосвіт. установ: базовий та профіл. рівні/[Ю. М. Колягін, М. В. Ткачова, Н. Є. Федорова, М. І. Шабунін]; за ред. А. Б. Жижченко. - 3-тє вид. – І.: Просвітництво, 2010. – 368 с.: Іл. – ISBN 978-5-09-022771-1.
8. Башмаков М. І.Алгебра та початку аналізу: Навч. для 10-11 кл. середовищ. шк. - 3-тє вид. - М: Просвітництво, 1993. - 351 с.: іл. - ISBN 5-09-004617-4.
9. Гусєв В. А., Мордкович А. Г.Математика (посібник для вступників до технікумів): Навч. посібник.- М.; Вищ. шк., 1984.-351 с., іл.

Ставлення протилежного катета до гіпотенузи називають синусом гострого кутапрямокутний трикутник.

\sin \alpha = \frac(a)(c)

Косинус гострого кута прямокутного трикутника

Відношення прилеглого катета до гіпотенузи називають косинус гострого кутапрямокутний трикутник.

\cos \alpha = \frac(b)(c)

Тангенс гострого кута прямокутного трикутника

Ставлення протилежного катета до прилеглого катета називають тангенсом гострого кутапрямокутний трикутник.

tg \alpha = \frac(a)(b)

Котангенс гострого кута прямокутного трикутника

Відношення прилеглого катета до протилежного катета називають котангенсом гострого кутапрямокутний трикутник.

ctg \alpha = \frac(b)(a)

Синус довільного кута

Ордината точки на одиничному колі , якому відповідає кут \alpha називають синусом довільного кута повороту \ alpha .

\sin \alpha=y

Косинус довільного кута

Абсцис точки на одиничному колі, якому відповідає кут \alpha називають косинус довільного кутаповороту \ alpha .

\cos \alpha=x

Тангенс довільного кута

Ставлення синуса довільного кута повороту \alpha до його косинусу називають тангенсом довільного кутаповороту \ alpha .

tg \alpha = y_(A)

tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)

Котангенс довільного кута

Відношення косинуса довільного кута повороту \alpha до його синусу називають котангенсом довільного кутаповороту \ alpha .

ctg \alpha =x_(A)

ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)

Приклад знаходження довільного кута

Якщо \alpha - деякий кут AOM , де M - точка одиничного кола, то

\sin \alpha=y_(M) , \cos \alpha=x_(M) , tg \alpha=\frac(y_(M))(x_(M)), ctg \alpha=\frac(x_(M))(y_(M)).

Наприклад, якщо \angle AOM = -\frac(\pi)(4), то: ордината точки M дорівнює -\frac(\sqrt(2))(2), абсцису дорівнює \frac(\sqrt(2))(2)і тому

\sin \left (-\frac(\pi)(4) \right)=-\frac(\sqrt(2))(2);

\cos \left (\frac(\pi)(4) \right)=\frac(\sqrt(2))(2);

tg;

ctg \left (-\frac(\pi)(4) \right)=-1.

Таблиця значень синусів косінусів тангенсів котангенсів

Значення основних кутів, що часто зустрічаються, наведені в таблиці:

Середній рівень

Прямокутний трикутник. Повний ілюстрований гід (2019)

ПРЯМОКУТНИЙ ТРИКУТНИК. ПОЧАТКОВИЙ РІВЕНЬ.

У задачах прямий кут зовсім не обов'язково - лівий нижній, так що тобі потрібно навчитися впізнавати прямокутний трикутник і в такому вигляді,

і в такому,

і в такому

Що ж хорошого є у прямокутному трикутнику? Ну..., по-перше, є спеціальні красиві назвидля його сторін.

Увага на малюнок!

Запам'ятай і не плутай: катетів – два, а гіпотенуза – всього одна(Єдина, неповторна і найдовша)!

Ну ось назви обговорили, тепер найважливіше: Теорема Піфагора.

Теорема Піфагора.

Ця теорема - ключик до вирішення багатьох завдань за участю прямокутного трикутника. Її довів Піфагор в абсолютно незапам'ятні часи, І з того часу вона принесла багато користі тим, хто її знає. А найкраще в ній те, що вона проста.

Отже, Теорема Піфагора:

Пам'ятаєш жарт: «Піфагорові штани на всі боки рівні!»?

Давай намалюємо ці самі піфагорові штаниі подивимось на них.

Щоправда, схоже на якісь шорти? Ну і на які сторони, і де вона рівні? Чому і звідки виник жарт? А жарт цей пов'язаний саме з теоремою Піфагора, точніше з тим, як сам Піфагор формулював свою теорему. А формулював він її так:

«Сума площ квадратів, побудованих на катетах, дорівнює площі квадрата, побудованого на гіпотенузі»

Щоправда, трохи по-іншому звучить? І ось, коли Піфагор намалював твердження своєї теореми, якраз і вийшла така картинка.

На цій картинці сума площ маленьких квадратів дорівнює площі великого квадрата. А щоб діти краще запам'ятовували, що сума квадратів катетів дорівнює квадрату гіпотенузи, хтось дотепний і вигадав цей жарт про Піфагорові штани.

Чому ж ми зараз формулюємо теорему Піфагора

А Піфагор мучився і міркував про майдани?

Розумієш, у давнину не було… алгебри! Не було жодних позначень і таке інше. Не було написів. Уявляєш, як бідним древнім учням було жахливо запам'ятовувати все словами??! А ми можемо радіти, що маємо просте формулюваннятеореми Піфагора. Давай її ще раз повторимо, щоб краще запам'ятати:

Тепер уже має бути легко:

Ну ось, найголовнішу теорему про прямокутний трикутник обговорили. Якщо тобі цікаво, як вона доводиться, читай такі рівні теорії, а зараз підемо далі… темний ліс… тригонометрії! До жахливих слів синус, косинус, тангенс та котангенс.

Синус, косинус, тангенс, котангенс у прямокутному трикутнику.

Насправді все зовсім не таке страшно. Звичайно, «справжнє» визначення синуса, косинуса, тангенсу та котангенсу потрібно дивитися у статті. Але дуже не хочеться, правда? Можемо порадувати: для вирішення задач прямокутного трикутника можна просто заповнити наступні прості речі:

А чому все тільки про кут? Де ж кут? Щоб у цьому розібратися, треба зазначити, як твердження 1 - 4 записуються словами. Дивись, розумій та запам'ятай!

1.
Взагалі звучить це так:

А що ж кут? Чи є катет, який знаходиться навпроти кута, тобто катет, що протилежить (для кута)? Звичайно є! Це катет!

А як же кут? Подивись уважно. Який катет прилягає до кутка? Звісно ж, катет. Значить, для кута катет – прилеглий, та

А тепер, увага! Подивися, що в нас вийшло:

Бачиш, як чудово:

Тепер перейдемо до тангенсу та котангенсу.

Як це тепер записати словами? Катет яким є по відношенню до кута? Протилежним, звісно – він «лежать» навпроти кута. А катет? Прилягає до кутку. Виходить, що в нас вийшло?

Бачиш, чисельник та знаменник помінялися місцями?

І тепер знову кути і здійснили обмін:

Резюме

Давайте коротко запишемо все, що ми дізналися.

Теорема Піфагора:

Головна теорема про прямокутний трикутник - теорема Піфагора.

теорема Піфагора

До речі, чи добре ти пам'ятаєш, що таке катети та гіпотенуза? Якщо не дуже, то дивись на малюнок – освіжай знання

Цілком можливо, що ти вже багато разів використовував теорему Піфагора, а ось чи ти замислювався, чому ж вірна така теорема. Як би її довести? А давай вчинимо, як давні греки. Намалюємо квадрат зі стороною.

Бачиш, як хитро ми поділили його сторони на відрізки довжин і!

А тепер з'єднаємо зазначені точки

Тут ми, щоправда, ще дещо відзначили, але ти сам подивися на малюнок і подумай, чому так.

Чому ж дорівнює площа більшого квадрата? Правильно, . А площа меншого? Звичайно, . Залишилася сумарна площа чотирьох куточків. Уяви, що ми взяли їх по два і притулили один до одного гіпотенузами. Що вийшло? Два прямокутники. Отже, площа «обрізків» дорівнює.

Давай тепер зберемо все разом.

Перетворюємо:

Ось і побували ми Піфагором – довели його теорему давнім способом.

Прямокутний трикутник та тригонометрія

Для прямокутного трикутника виконуються такі співвідношення:

Синус гострого кута дорівнює відношенню протилежного катета до гіпотенузи

Косинус гострого кута дорівнює відношенню прилеглого катета до гіпотенузи.

Тангенс гострого кута дорівнює відношенню протилежного катета до прилеглого катета.

Котангенс гострого кута дорівнює відношенню прилеглого катета до протилежного катета.

І ще раз все це у вигляді таблички:

Це дуже зручно!

Ознаки рівності прямокутних трикутників

I. За двома катетами

ІІ. По катету та гіпотенузі

ІІІ. По гіпотенузі та гострому куту

IV. По катету та гострому куту

a)

b)

Увага! Тут дуже важливо, щоб катети були «відповідні». Наприклад, якщо буде так:

То ТРИКУТНИКИ НЕ РІВНІ, незважаючи на те, що мають один однаковий гострий кут.

Потрібно, щоб в обох трикутниках катет був прилеглим, або в обох - протилежним.

Ти помітив чим відрізняються ознаки рівності прямокутних трикутників від звичайних ознак рівності трикутників? Заглянь у тему « і зверни увагу те що, що з рівності « рядових » трикутників потрібна рівність трьох їх елементів: дві сторони і кут з-поміж них, два кута і сторона з-поміж них чи три стороны. А ось для рівності прямокутних трикутників достатньо лише двох відповідних елементів. Здорово, правда?

Приблизно така сама ситуація і з ознаками подоби прямокутних трикутників.

Ознаки подоби прямокутних трикутників

I. По гострому кутку

ІІ. За двома катетами

ІІІ. По катету та гіпотенузі

Медіана у прямокутному трикутнику

Чому це так?

Розглянемо замість прямокутного трикутника цілий прямокутник.

Проведемо діагональ і розглянемо точку – точку перетину діагоналей. Що відомо про діагоналі прямокутника?

І що з цього випливає?

Ось і вийшло, що

1. - медіана:

Запам'ятай цей факт! Дуже допомагає!

А що ще дивовижніше, так це те, що вірне і зворотне твердження.

Що ж хорошого можна отримати з того, що медіана, проведена до гіпотенузи, дорівнює половині гіпотенузи? А давай подивимося на картинку

Подивись уважно. У нас є: , тобто відстань від точки до всіх трьох вершинтрикутника виявилися рівними. Але в трикутнику є всього одна точка, відстані від якої про всі три вершини трикутника рівні, і це - ЦЕНТР ОПИСАНОГО ОКРУЖЕННЯ. Виходить, що вийшло?

Ось давай ми почнемо з цього «крім того...».

Подивимося на в.

Але у подібних трикутниківвсі кути рівні!

Те саме можна сказати і про і

А тепер намалюємо це разом:

Яку ж користь можна отримати з цієї «троїстої» подоби.

Ну наприклад - дві формули для висоти прямокутного трикутника.

Запишемо відносини відповідних сторін:

Для знаходження висоти вирішуємо пропорцію та отримуємо першу формулу "Висота у прямокутному трикутнику":

Отже, застосуємо подібність: .

Що тепер вийде?

Знову вирішуємо пропорцію і отримуємо другу формулу:

Обидві ці формули потрібно дуже добре пам'ятати та застосовувати ту, яку зручніше. Запишемо їх ще раз

Теорема Піфагора:

У прямокутному трикутнику квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів: .

Ознаки рівності прямокутних трикутників:

• по двох катетах:
• по катету та гіпотенузі: або
• по катету та прилеглому гострому кутку: або
• по катету та протилежному гострому куту: або
• з гіпотенузи та гострого кута: або.

Ознаки подоби прямокутних трикутників:

• одному гострому кутку: або
• із пропорційності двох катетів:
• з пропорційності катета та гіпотенузи: або.

Синус, косинус, тангенс, котангенс у прямокутному трикутнику

• Синусом гострого кута прямокутного трикутника називається відношення протилежного катета до гіпотенузи:
• Косинусом гострого кута прямокутного трикутника називається відношення прилеглого катета до гіпотенузи:
• Тангенсом гострого кута прямокутного трикутника називається відношення протилежного катета до прилеглого:
• Котангенсом гострого кута прямокутного трикутника називається відношення прилеглого катета до протилежного: .

Висота прямокутного трикутника: або.

У прямокутному трикутнику медіана, проведена з вершини прямого кута, дорівнює половині гіпотенузи: .

Площа прямокутного трикутника:

• через катети: