Що таке логічний зв'язок. Висловлювання

ЛОГІЧНІ ЗВ'ЯЗКИ

ЛОГІЧНІ ЗВ'ЯЗКИ

ЛОГІЧНІ ЗВ'ЯЗКИ - символи логічних мов, що використовуються для утворення складних висловлювань (формул) з елементарних. Логічними зв'язками називають також союзи природної мови, що відповідають цим символам. Зазвичай використовуються такі логічні зв'язки, як (союз "і", символічні позначення: &, л і точка у вигляді знака множення, які часто опускають, записуючи кон'юнкцію А і В як AB), (нестрога спілка "або", позначається як "v ”), (“якщо..., то”, позначається за допомогою знака заперечення (“невірно, що...”, позначається: -ι, ЛОГІЧНІ ЗВ'ЯЗКИ або рисою над заперечним виразом). З перелічених заперечення є одномісною (унарною) Інші є двомісними (бінарними) У принципі логічні зв'язки можуть бути як завгодно місцевими, але на практиці більш, ніж бінарні, використовуються дуже рідко. дає використання тернарної логічної зв'язки, званої умовною диз'юнкцією, що зв'язує три висловлювання А, В і С і означає, що "А у випадку В, і С у разі нв-?" або формально: (В з А)&(-, В е О (Сидоренко Є. А. Пропозиційне з ус ловною диз'юнкцією.- У кн.: Методи логічного аналізу. М., 1977).

Класична розглядає логічні зв'язки екстенсіонально (ігноруючи змістовний зміст висловлювань, що ними зв'язуються) як функції істинності, що визначаються істиннісними значеннями зв'язуваних ними висловлювань. При двох істиннісних значних, що мають у цій логіці

нях 1 (істинно) і 0 (хибно) висловлювання А і В можуть мати чотири можливі набори впорядкованих істиннісних значень: , . Пропозиціональна істинна ставить у відповідність кожному перерахованому набору одне зі значень істинності - 1 або 0. Усгго таких функцій 16. Кон'юнкція приписує виразу А&.В 1 тільки у разі, коли як Л, так і В істинні, тобто обидва мають значення 1 , В інших випадках значення А&.В дорівнює 0. Диз'юнкція Α ν В, навпаки, хибна тільки в одному випадку, коли хибні як А, так і В. Імплікація А е В є хибною тільки при істинному (антецеденті) А і хибному (консеквенті ) У. В інших випадках А => В приймає значення 1. З чотирьох одномісних функцій представляє лише заперечення, що змінює значення висловлювання на протилежне: коли А - істинно, -А - хибно, і навпаки. Всі інші унарні та бінарні класичні функції можуть бути виражені через представлені. Коли прийнята у відповідній семантиці логічних зв'язок дозволяє дати решту, її називають функціонально повною. До повних систем у класичній логіці відносяться, зокрема, кон'юнкція та заперечення; диз'юнкція та заперечення; імплікація та заперечення. Кон'юнкція та диз'юнкція визначаються один через одного за рахунок еквівалентностей (А&В) = -i(-i/4v-i.ß) та (A v В) a -,(-Α&-ιΒ), іменованих законами де Моргана, а також: (A^B)s(-iA^ B), (A&B) s -,(A e -ιΒ), (A ν B) = ((A => B) зA). Будь-яка видуЛ = має силу лише тоді, коли загальнозначуща (завжди істинна) кон'юнкція (А =) В)&(В е А).

Функції антидиз'юнкції та антикон'юнкції, визначальні відповідно як -ι(Α ν В) і -(А&.В), також представляють кожна окремо функціонально повну системузв'язок. Ця остання обставина була відома вже Ч. Пірсу (неопублікована за його життя робота 1880) і було перевідкрито X. Шеффером (H. M. Shefier). Використовуючи антидиз'юнкцію як єдину логічну зв'язку, Шеффер у 1913 р. побудував повне . Антидиз'юнкцію позначають АВ і називають штрихом Ше4)фера, читаючи вираз, як "не-Д і не-В". Ж. Ніко (J. G. P. Nicod) вжив те саме позначення для антикон'юнкції (“Невірно, що одночасно А і В”) і за допомогою тільки цієї зв'язки у 1917 сформулював повне обчислення висловлювань з однією (всього!) аксіомою та одним правилом виведення. Т. о., штрихом Шеффера називають по суті саму вертикальну межу, яка у різних авторівможе позначати як антидиз'юнкцію, і антикон'юнкцію.

Екстенсіональність логічних зв'язок надає їм однозначність, спрощує проблему побудови логічних обчислень, дає вирішувати останнім метатеоретичні проблеми несуперечності, розв'язності, повноти (див. Металологіка). Проте в деяких випадках істинно-функціональне трактування зв'язок призводить до значної невідповідності з тим, як вони розуміються на природною мовою. Так, зазначена істинна імплікація змушує визнавати вірними реченнявиду "Якщо А, то В" навіть у тому випадку, коли між висловлюваннями А і В (і, відповідно, подіями, про які в них йде ) немає ніякої реального зв'язку. Достатньо, щоб А було хибним або В – істинним. Тому з двох пропозицій: "Якщо А, то В" і "Якщо В, то А", принаймні одне доводиться визнавати вірним, що погано узгоджується зі звичайним вживанням умовної зв'язки. Імплікацію у даному випадкуспеціально називають "матеріальною", відрізняючи її тим самим від умовного союзу, який передбачає, що між антецедентом і консеквентом істинного умовного висловлювання є дійсна . При цьому матеріальна імплікація може чудово використовуватися в багатьох контекстах, напр., математичних, коли при цьому не забувають про неї специфічних особливостях. У деяких випадках, однак, саме не дозволяє трактувати умовну спілку як матеріальну імплікацію, припускаючи висловлювань. Для аналізу таких контекстів доводиться будувати спеціальні , напр., релевантні (див. Релевантна логіка), в яких замість матеріальної імплікації (або поряд з нею) вводяться інші імплікації, які розуміються інтенсійно (змістовно) і вірність яких не може бути обґрунтована істинно-функціонально . Інтенсійно можуть трактуватися інші логічні зв'язки.

Чорч Л. Введення в математичну логіку, т. 1. M., 1960; КарріХ. Підстави математичної логіки. М., 1969.

Ε. О. Сидоренко

Нова філософська енциклопедія: У 4 тт. М.: Думка. За редакцією В. С. Стьопіна. 2001 .

Дивитися що таке "ЛОГІЧНІ ЗВ'ЯЗКИ" в інших словниках:

логічні зв'язки- - [Л.Г.Суменко. Англо-російський словник з інформаційних технологій. М.: ДП ЦНДІС, 2003.] Тематики інформаційні технологіїзагалом EN structural constants … Довідник технічного перекладача

Логічні зв'язки, логічні оператори, функції, що перетворюють висловлювання або пропозиційні форми (тобто висловлювання логіки предикатів), що містять змінні і звертаються у висловлювання при… Велика Радянська Енциклопедія

У логіці логічними операціями називають дії, внаслідок яких породжуються нові поняття, можливо з використанням існуючих. У більш вузькому, формалізованому значенні, поняття логічної операції використовується в математичній логіці і освіті.

Логіч. оператори, логіч. зв'язки, функції, що перетворюють вирази логіч. обчислень (формальних логічних систем); поділяються на пропозиціональні (сен тенціональні) зв'язки, за допомогою яких утворюються вирази логіки висловлювань, і… … Філософська енциклопедія

Формалізації змістовних логіч. теорій; виведені об'єкти Л. п. інтерпретуються як судження, складені з найпростіших (що мають, взагалі кажучи, суб'єктно-предикатну структуру) за допомогою зв'язок і кванторів. Найчастіше… … Математична енциклопедія

Розділ логіки, в якому вивчаються істинні взаємозв'язки між висловлюваннями. У рамках даного розділувисловлювання (пропозиції, пропозиції) розглядаються лише з т.зр. їх істинності чи хибності, безвідносно до їх внутрішньої суб'єктності. Філософська енциклопедія

- (Від грец. logos слово, поняття, міркування, розум), або Формальна логіка, наука про закони та операції правильного мислення. Відповідно до основного принципу Л., правильність міркування (висновку) визначається лише його логічною формою, або… Філософська енциклопедія

ЛОГІКА ВИКАЗІВ, або ПРОПОЗИЦІЙНА ЛОГІКА- розділ дедуктивної логіки, в якому питання про істинність (або хибність) висловлювань (тобто суджень, що розглядаються без їх суб'єктно-предикатної структури) у висновках розглядається на основі вивчення наступного засобу їх вираження. Сучасний філософський словник

Список специфічних символів, що використовуються в математиці, можна побачити в статті Таблиця математичних символів Математичні позначення(«мова математики») складна графічна системапозначень, що служить для викладу абстрактних ... Вікіпедія

Складним називають судження, що містить логічні зв'язки і складається з кількох простих суджень.

Надалі прості судження ми розглядатимемо як деякі неподільні атоми, як елементи, з'єднання яких виникають складні структури. Прості судження позначатимемо окремими латинськими літерами: a, b, c, d, … Кожна така буква представляє деяке просте судження. Звідки видно? Відволікаючись від складної внутрішньої структури простого судження, від кількості і якості, забувши у тому, що він є суб'єкт і предикат, ми утримуємо лише одне властивість судження – те, що може бути істинним чи хибним. Решта нас тут не цікавить. І коли ми говоримо, що літера «a» представляє судження, а не поняття, не число, не функцію, ми маємо на увазі лише одне: це «a» є істиною чи брехнею. Якщо під "a" ми маємо на увазі судження "Кенгуру живуть в Австралії", ми маємо на увазі істину; якщо ж під «а» ми маємо на увазі судження «Кенгуру живуть у Сибіру», ми маємо на увазі брехню. Таким чином, наші літери "a", "b", "c" і т.д. – це змінні, замість яких можуть підставлятися істина чи брехня.

Логічні зв'язки є формальними аналогами спілок нашої рідної природної мови. Як складні пропозиції будуються з простих за допомогою спілок «проте», «оскільки», «або» тощо, так і складні судження утворюються з простих за допомогою логічних зв'язок. Тут відчувається набагато більший зв'язок думки з мовою, тому надалі ми замість слова «судження», що означає чисту думку, часто використовуватимемо слово «висловлювання», що означає її думку мовному вираженні. Отже, познайомимося з найбільш уживаними логічними зв'язками.

Заперечення. У природній мові відповідає вираз «Невірно, що…». Заперечення зазвичай позначається знаком "¬", що стоїть перед літерою, що представляє деяке судження: "¬а" читається "Невірно, що а". Приклад: "Невірно, що Земля - ​​куля".

Слід звернути увагу на одну тонку обставину. Вище ми говорили про прості негативні судження. Як їх відрізнити від складних суджень із запереченням? Логіка розрізняє два види заперечення – внутрішнє та зовнішнє. Коли заперечення стоїть усередині простого судження перед зв'язкою «є», то цьому випадку ми маємо справу з простим негативним судженням, наприклад: «Земля не куля». Якщо ж заперечення зовнішнім чином приєднується до судження, наприклад: «Невірно, що Земля – куля», таке заперечення розглядається як логічна зв'язка, що перетворює просте судження на складне.

Кон'юнкція. У природній мові цій зв'язці відповідають спілки «і», «а», «але», «проте» тощо. Найчастіше кон'юнкція позначається значком "&". Нині цей значок часто зустрічається у назвах різних фірм та підприємств. Судження з такою зв'язкою називається кон'юнктивним, або просто кон'юнкцією, і виглядає так:

a & b. Приклад: «У кошику у діда лежали підберезники та маслюки». Це складне судження є кон'юнкцією двох простих суджень: – «У кошику у діда лежали підберезники» і «У кошику у діда лежали маслюки».

Диз'юнкція. У природній мові цій зв'язці відповідає спілка «або». Зазвичай вона позначається знаком "v". Судження з такою зв'язкою називається диз'юнктивним, або просто диз'юнкцією, і виглядає так: a v b.

Союз «або» у природній мові вживається у двох різних сенсах: Нестрогі «або» - коли члени диз'юнкції не виключають один одного, тобто. можуть бути одночасно істинними, і суворе «чи» (часто замінюється парою спілок «або…, чи…») – коли члени диз'юнкції виключають одне одного. Відповідно до цього розрізняють і два види диз'юнкції – сувору та нестрогу.

Імплікація. У природній мові їй відповідає спілка «якщо… то». Вона позначається знаком "->". Судження з такою зв'язкою називається імплікативним, або просто імплікацією, і виглядає так: a -> b. Приклад: «Якщо провідником проходить електричний струм, То провідник нагрівається». Перший член імплікації називається антецедентом, чи основою; другий – консеквентом, чи наслідком. У повсякденній мовісоюз «якщо… то» зазвичай поєднує пропозиції, які виражають причинно-наслідковий зв'язок явищ, причому перша пропозиція фіксує причину, а друга – слідство. Звідси й назви членів імплікації.

Подання висловлювань природної мови у символічному вигляді за допомогою зазначених вище позначень означає їхню формалізацію, яка у багатьох випадках виявляється корисною.

4) Прекрасний острів лежав у теплому океані. І все б добре, та понадилися на цьому острові влаштовуватися на проживання чужинці. Їдуть і їдуть з усіх куточків світу, вже корінних жителів стискувати стали. Щоб перешкодити нашестю чужинців, імператор острова видав указ: «Кожен приїжджий, бажаючий оселитися на нашому благословенному острові, повинен висловити якесь судження. Якщо судження виявиться істинним, чужинця слід розстріляти; якщо ж судження виявиться хибним, його слід повісити». Боїшся - тоді мовчи і повертай додому!

Постає питання: яке треба висловити судження, щоб залишитися в живих і все-таки оселитися на острові?

У мисленні ми оперуємо як простими, а й складними судженнями, утвореними з простих у вигляді логічних зв'язок (чи операцій) - кон'юнкції, диз'юнкції, імплікації, еквіваленції, заперечення, які також називаються логічними константами, чи логічними постійними. Проаналізуємо, яким чином перелічені логічні зв'язки виражаються у природній (російській) мові.

Кон'юнкція (знак "^") виражається спілками: "і", "а", "але", "так", "хоча", "який", "зате", "проте", "не тільки ..., але та” та ін. У логіці висловлювань знак “Ù” з'єднує прості висловлювання, утворюючи їх складні. У природній мові союз “та” та інші слова, відповідні кон'юнкції, можуть поєднувати іменники, дієслова, прислівники, прикметники та інші слова. Наприклад: “Діти співали та сміялися” (а^b);“Цікава та красиво оформлена книга лежить на столі”. Останній вислів не можна розбити на два простих, з'єднаних кон'юнкцією:

“Цікава книгалежить на столі” і “Гарно оформлена книга лежить на столі”, оскільки складається враження, що у столі лежать дві книжки, а чи не одна.

У логіці висловлювань діє закон комутативності кон'юнкції (а ^ b) = (b^а).У природній російській такого закону немає, оскільки діє чинник часу. Там, де враховується послідовність у часі, вживання спілки “і” некомутативно. Тому не будуть еквівалентними, наприклад, такі два висловлювання: 1) "Джейн вийшла заміж, і у неї народилася дитина" і 2) "У Джейн народилася дитина, і вона вийшла заміж".

У природній мові кон'юнкція може бути виражена не тільки словами, а й розділовими знаками: комою, точкою з комою, тире. Наприклад: "Виблиснула блискавка, загримів грім, пішов дощ".

Про вираз кон'юнкції засобами природної мови пише С. Кліні у книзі "Математична логіка". У розділі "Аналіз міркувань" він наводить (не вичерпний) список виразів природної мови, які можуть бути замінені

символами "^" (або "&"). Формула А^Ву природній мові може виражатися так:

“Не тільки А, а й як А, так і В.

В, хоч і А.А разом з В .

В, незважаючи на А А, тоді як В”.

Вигадати приклади на всі ці структури надаємо читачеві.

У природній (російській) мові диз'юнкція (позначена а bі а ύ b)виражається спілками: "або", "або", "чи..., чи то" та ін. Наприклад: "Ввечері я піду в кіно або в бібліотеку"; "Це тварина належить або до хребетних, або до безхребетних"; "Твір буде чи то за творами Л. Н. Толстого, чи то за творами Ф. М. Достоєвського".

У логіці висловлювань відрізняється нестрога диз'юнкція, наприклад: “Я подарую їй квіти чи книжки” (а b)і сувора диз'юнкція, наприклад: "Даний студент знаходиться в інституті або вдома" ( а ύ b).У суворої диз'юнкції члени диз'юнкції не виключають один одного, а в суворій - виключають. Для обох видів диз'юнкції діє закон комутативності.

Визначення. Під висловлюваннямприйнято розуміти мовну пропозицію, про яку має сенс говорити, що вона істинна чи хибна в даний моментчасу.

Висловлювання найчастіше позначають маленькими латинськими літерами a, b, c, х1, х2, …

У логіці висловлювань цікавляться не змістом, а істинністю чи хибністю висловлювань. Істиннісні значення - істина і брехня - будемо позначати І і Л відповідно. Безліч (І, Л) називається безліччю істиннісних значень.

Визначення. Висловлювання називають простим(Елементарним), якщо воно розглядається як якесь неподільне ціле (аналогічно елементу множини). Складним(Складним) називається висловлювання, складене з простих за допомогою логічних зв'язок.

У природній мові роль зв'язок при складанні складних пропозиційз простих грають такі граматичні засоби: Спілки «і», «або», «ні»; слова «якщо …, те», «чи … чи», «і тоді, коли» та інших. У логіці висловлювань логічні зв'язки, використовувані упорядкування складних висловлювань, би мало бути визначено точно. Розглянемо логічні зв'язки (операції) над висловлюваннями, у яких істиннісні значення складових висловлювань визначаються лише істинними значеннями складових висловлювань, а чи не їх змістом.

Надалі значенням «істина» ставитимемо у відповідність 1 , А «брехня» - 0 . Кожній логічній операції ставиться у відповідність таблиця істинності . Таблиця істинності висловлює значення істинності висловлювань залежно від значень елементарних висловлювань. Надалі буде використовувати таблицю істинності для встановлення істиннісних значень складних висловлювань при даних значеннях елементарних висловлювань, що входять до нього.

Визначення. Запереченнямвисловлювання є нове висловлювання, істинне лише тоді, коли вихідне висловлювання хибне (табл. 2.13).

Таблиця 2.1 Таблиця істинності для заперечення

Заперечення позначається через і читається як «не а», «Невірно, що а».

приклад 15.

А- "Степан любить танцювати".

Тоді — «Не так, що Степан любить танцювати».

Визначення. Кон'юнкцієюдвох висловлювань є нове висловлювання, яке істинне лише тоді, коли обидва вихідні висловлювання істинні (табл. 2.2).

Кон'юнкція позначається або a&bі читається як « aі b», « a, але b», « a, а b».

Таблиця 2.2 Таблиця істинності для кон'юнкції

Приклад 16

а –«Степан любить танцювати», b– «Степан любить співати».

Тоді – «Степан любить танцювати та співати».

Визначення. диз'юнкцієюдвох висловлювань є нове висловлювання, яке хибне тільки тоді, коли обидва вихідні висловлювання хибні (табл. 2.3).

Диз'юнкція позначається через і читається як « aабо b».

Таблиця 2.3 Таблиця істинності для диз'юнкції

Приклад 17

а –«Степан любить танцювати», b– «Степан любить співати».

Тоді – «Степан любить танцювати чи співати».

Визначення. Імплікацієюдвох висловлювань є нове висловлювання, яке є хибним лише тоді, коли перше істинно, а друге – хибне (табл. 2.4).

Імплікація позначається a® bі читається як «якщо a, то b»; « з а випливаєb». При цьому aназивається посилкою або умовою, b- Наслідком або висновком.

Таблиця 2.4 Таблиця істинності для імплікації

приклад 18.

а –«Степан любить танцювати», b– «Степан любить співати».

Тоді – «Якщо Степан любить танцювати, то він любить співати».

Визначення.

Еквівалентністю (або еквівалентністю)двох висловлювань є нове висловлювання, яке вважається істинним, коли обидва висловлювання або одночасно істинні, або одночасно помилкові, і помилковим у всіх інших випадках (табл. 2.5).

Таблиця 2.5 Таблиця істинності для еквівалентності

Еквівалентність позначається a» bі читається як « a еквівалентноb».

Приклад 19.

а –«Степан любить танцювати», b– «Степан любить співати».

Тоді — «Щоб Степан любив танцювати, необхідно й достатньо, щоб він любив співати».

Зведемо все сказане вище в єдину таблицю і введемо до розгляду ще три операції: сума за модулем два, штрих Шеффера, стрілка Пірса (табл. 2.6).

Таблиця 2.6 Короткі відомостіпро логічні операції

Складні судження – це судження, утворені із простих за допомогою логічних зв'язок.

Зв'язок між елементами складного судження здійснюється за допомогою логічних спілок (логічних зв'язок).

Логічні зв'язки:

Головна їхня особливість у тому, що логічні спілки однозначні, тоді як граматичні спілки мають безліч смислів та відтінків.

1. КОН'ЮНКЦІЯ(Від лат. сonjunctio - союз, зв'язок).

Знак: ˄ або &

і», « а», « але», « так», « хоча», « Котрий», « зате», « однак», « при цьому" і т.п.

Судження « Вона любить яблучний сік та зелений чайє кон'юнкцією (зв'язком) двох простих суджень: « вона любить яблучний сік» та « вона любить зелений чай».

а ˄bабо а& b

2. ДИЗ'ЮНКЦІЯ(Від лат. Disjunctio - роз'єднання).

Знак: ˅

У російській кон'юнкції відповідають спілки: « або», « або», « чи то… чи».

Судження « Ми підемо в кіно чи парк» є диз'юнкцією двох простих суджень: « ми підемо в кіно» або «ми підемо в парк». Ця зв'язка не є суворою, тобто не передбачає лише один вибір, тому що ми можемо піти і в кіно, і погуляти у парку.

Запис цього судження за допомогою логічних зв'язок виглядатиме: а ˅b

3.Строгаядиз'юнкція

Знак: .

Союз "або" може вживатися в строгому сенсі - коли члени диз'юнкції виключають один одного.

Запис цього судження за допомогою логічних зв'язок виглядатиме:

4. ІМПЛІКАЦІЯ(від лат.implico-тісно пов'язую)

Знак: → .

У мові аналоги цієї зв'язки спілки: « якщо то»; « коли…, тоді»; « якщо ..., то" і т.п.

Зазвичай з допомогою імплікації виражаються причинно-наслідкові відносини типу: « Якщо вигляне Сонце, то стане тепло». a → b. Перший елемент імплікації називається основою(антецедентом), другий – наслідком(Консеквентом).

5. ЕКВІВАЛЕНЦІЯ(від позднелат.aequivalens-рівнозначний; рівноцінний)

Знак: ↔ або ≡ .

У мові аналоги цієї зв'язки спілки: « якщо і тільки якщо»; « тоді і лише тоді, коли…»; « лише за умови, що…, то».

Судження: « Тільки тоді дитина отримає цукерку, коли доїсть увесь супє еквіваленцією.

Запис цього судження за допомогою логічного зв'язку виглядатиме: a↔ bабо a≡ b

6 .ЗАМИКАННЯ

Знак: ~ або ¬ . ставляться перед судженням~а або¬а ; або риса, що ставиться над судженням

У мові заперечення виражається спілками і словами: « не», « неправильно" і т.п.

Судження: « Не заводиться машина» записується як ~а

Судження: « Любить чи не любить» містить строгу диз'юнкцію та заперечення.

Вправи: Запишіть судження у вигляді логічної формиза допомогою логічних зв'язок.

Самоперевірка: Запишіть судження у вигляді логічної форми за допомогою логічних зв'язок

Для самоперевірки виділіть стовпець «формула» та змініть колір шрифту