Алгоритм розв'язання нерівностей за допомогою графіків функцій. Графічне розв'язання нерівностей, системи сукупностей нерівностей із двома змінними

Тип уроку:

Вигляд уроку:Лекція, урок розв'язання задач.

Тривалість: 2 години.

Цілі:1)Вивчити графічний метод.

2) Показати застосування програми Maple під час вирішення систем нерівностей графічним методом.

3) Розвинути сприйняття та мислення з цієї теми.

План заняття:

Хід заняття.

1 етап: Графічний метод полягає у побудові безлічі допустимих рішень ЗЛП, і знаходженні в даній множині точки, що відповідає max/min цільової функції.

У зв'язку з обмеженими можливостяминаочного графічного уявлення даний методзастосовується лише для систем лінійних нерівностейз двома невідомими та систем, які можуть бути приведені до цього виду.

Для того, щоб наочно продемонструвати графічний метод, вирішимо наступне завдання:

1. На першому етапі треба побудувати сферу допустимих рішень. Для даного прикладуНайзручніше вибрати X2 за абсцису, а X1 за ординату і записати нерівності в наступному вигляді:

Так як і графіки та область допустимих рішенні знаходяться у першій чверті. Для того щоб знайти граничні точки розв'язуємо рівняння (1) = (2), (1) = (3) та (2) = (3).

Як видно з ілюстрації, багатогранник ABCDE утворює область допустимих рішень.

Якщо область допустимих рішень не замкнута, то або max(f)=+ ?, або min(f)= -?.

2. Тепер можна перейти до безпосереднього знаходження максимуму функції f.

По черзі підставляючи координати вершин багатогранника у функцію f і порівнювати значення, знаходимо, що f(C)=f(4;1)=19 - максимум функції.

Такий підхід цілком вигідний за малої кількості вершин. Але дана процедура може затягтися, якщо вершин досить багато.

У такому разі зручніше розглянути лінію рівня виду f=a. За монотонного збільшення числа a від -? до +? прямі f=a зміщуються по вектору нормалі Вектор нормалі має координати (С1;С2), де C1 і C2 коефіцієнти при невідомих цільовій функції f=C1?X1+C2?X2+C0.. Якщо при такому переміщенні лінії рівня існує деяка точка X - перша загальна точка області допустимих рішень (багатогранник ABCDE) і лінії рівня, то f(X) - мінімум f на множині ABCDE. Якщо X- остання точка перетину лінії рівня та безлічі ABCDEто f (X) - максимум на безлічі допустимих рішень. Якщо при а>-? Пряма f=a перетинає безліч допустимих рішень, то min(f)= -?. Якщо це відбувається за а>+?, то max(f)=+ ?.

У прикладі пряма f=a пересіює область ABCDE у точці З(4;1). Оскільки це остання точка перетину, max(f)=f(C)=f(4;1)=19.

Вирішити графічно систему нерівностей. Знайти кутові рішення.

x1>=0, x2>=0

> with(plots);

> with(plottools);

> S1:=solve((f1x = X6, f2x = X6), );

Відповідь: Усі точки Si де i=1..10 для яких x та y позитивна.

Область, обмежена даними точками: (54/11,2/11) (5/7,60/7) (0,5) (10/3, 10/3)

3 етап. Кожному учневі дається одне із 20 варіантів, у якому учневі пропонується самостійно вирішити нерівність графічним шляхом, інші приклади як домашнього завдання.

Заняття №4 Графічне рішеннязавдання лінійного програмування

Тип уроку:урок вивчення нового матеріалу

Вигляд уроку:Лекція + урок розв'язання задач.

Тривалість: 2 години.

Цілі: 1) Вивчити графічне рішення задачі лінійного програмування.

2) Навчити користуватися програмою Maple під час вирішення завдання лінійного програмування.

2) Розвинути сприйняття, мислення.

План заняття: 1 етап: вивчення нового матеріалу.

2 етап: Відпрацювання нового матеріалу в математичному пакеті Maple.

3 етап: перевірка вивченого матеріалу та домашнє завдання.

Хід заняття.

Графічний метод досить простий і наочний вирішення завдань лінійного програмування з двома змінними. Він заснований на геометричномуподанні допустимих рішень та ЦФ завдання.

Кожна з нерівностей задачі лінійного програмування (1.2) визначає на координатної площинидеяку напівплощину (рис.2.1), а система нерівностей загалом - перетин відповідних площин. Безліч точок перетину даних напівплощин називається областю допустимих рішень(ОДР). ОДР завжди є опуклуфігуру, тобто. що має наступну властивість: якщо дві точки А і В належать цій фігурі, то і весь відрізок АВ належить їй. ОДР графічно може бути представлена опуклим багатокутником, необмеженою опуклою багатокутною областю, відрізком, променем, однією точкою У разі несумісності системи обмежень задачі (1.2) ОДР є пустою множиною.

Все вищесказане стосується і випадку, коли система обмежень (1.2) включає рівності, оскільки будь-яка рівність

можна у вигляді системи двох нерівностей (див. рис.2.1)

ЦФ при фіксованому значенні визначає на площині пряму лінію. Змінюючи значення L, ми отримаємо сімейство паралельних прямих, званих лініями рівня.

Це з тим, що зміна значення L спричинить зміна лише довжини відрізка, отсекаемого лінією рівня осі (початкова ордината), а кутовий коефіцієнтпрямий залишиться постійним (див. рис.2.1). Тому для вирішення достатньо побудувати одну з ліній рівня, довільно вибравши значення L.

Вектор з координатами з коефіцієнтів ЦФ при перпендикулярний до кожної з ліній рівня (див. рис.2.1). Напрямок вектора збігається з напрямком зростанняЦФ, що є важливим моментомдля вирішення завдань. Напрям спаданняЦФ протилежно напрямку вектора.

Суть графічного методу ось у чому. У напрямку (проти напрямку) вектора в ОДР проводиться пошук оптимальної точки. Оптимальною вважається точка, якою проходить лінія рівня, що відповідає найбільшому (найменшому) значенню функції. Оптимальне рішення завжди знаходиться на межі ОДР, наприклад, в останній вершині багатокутника ОДР, якою пройде цільова пряма, або на всій його стороні.

При пошуку оптимального вирішення задач лінійного програмування можливі такі ситуації: єдине рішеннязавдання; існує нескінченна безлічрішень (альтернативний оптиум); ЦФ не обмежена; область допустимих рішень – єдина точка; Завдання немає рішень.

Малюнок 2.1 Геометрична інтерпретаціяобмежень та ЦФ завдання.

Методика вирішення завдань ЛП графічним методом

I. В обмеженнях задачі (1.2) замінити знаки нерівностей знаками точних рівностей та побудувати відповідні прямі.

ІІ. Знайти та заштрихувати напівплощини, дозволені кожним з обмежень-нерівностей задачі (1.2). Для цього потрібно підставити в конкретну нерівність координати будь-якої точки [наприклад, (0; 0)] і перевірити істинність отриманої нерівності.

Якщонерівність істинна,

тотреба заштрихувати напівплощину, що містить дану точку;

інакше(Нерівність хибне) треба заштрихувати напівплощину, що не містить дану точку.

Оскільки і повинні бути невід'ємними, то їх допустимі значення завжди будуть перебувати вище за осі та правіше за осю, тобто. у першому квадранті.

Обмеження-рівності дозволяють лише ті точки, які лежать на відповідній прямій. Тому необхідно виділити на графіку такі прямі.

ІІІ. Визначити ОДР як частину площини, що належить одночасно всім дозволеним областям, та виділити її. За відсутності ОДР завдання немає рішень.

IV. Якщо ОДР - не порожня безліч, потрібно побудувати цільову пряму, тобто. будь-яку з ліній рівня (де L - довільне число, Наприклад, кратне і, тобто. зручне щодо розрахунків). Спосіб побудови аналогічний до побудови прямих обмежень.

V. Побудувати вектор, який починається у точці (0; 0) і закінчується у точці. Якщо цільова пряма та вектор побудовані правильно, то вони будуть перпендикулярні.

VI. При пошуку максимуму ЦФ необхідно пересувати цільову пряму в напрямкувектора, при пошуку мінімуму ЦФ - проти напрямкувектор. Остання під час руху вершина ОДР буде точкою максимуму чи мінімуму ЦФ. Якщо такої точки (точок) не існує, то можна зробити висновок необмеженості ЦФ на безлічі планівзверху (при пошуку максимуму) або знизу (при пошуку мінімум).

VII. Визначити координати точки max (min) ЦФ та обчислити значення ЦФ. Для обчислення координат оптимальної точки необхідно вирішити систему рівнянь прямих на перетині яких знаходиться.

Розв'язати задачу лінійного програмування

1. f(x)=2x1+x2 ->extr

x1>=0, x2>=0

> plots((a+b<=3,a+3*b<=5,5*a-b<=5,a+b>=0,a>=0,b>=0), a=-2..5, b=-2..5, optionsfeasible=(color=red),

optionsopen=(color=blue, thickness=2),

optionsclosed=(color=green, thickness=3),

optionsexcluded=(color=yellow));

> with(simplex):

> C:=( x+y<=3, x+3*y <=5, 5*x-y <=5,x+y >=0};

> dp:=setup(( x+y<=3, x+3*y <=5, 5*x-y <=5,x+y >=0});

> n:=basis(dp);

Ш display(C,);

> L:=cterm(C);

Ш X: = dual (f, C, p);

Ш f_max:=subs(R,f);

Ш R1:=minimize(f,C,NONNEGATIVE);

f_min: = subs (R1, f);

ВІДПОВІДЬ: x 1 =5/4 x 2 =5/4 f_max=15/4; При x 1 =0 x 2 =0 f_min=0;

Урок № 5.Рішення матричних ігор, використовуючи методи лінійного програмування та симплекс метод

Тип уроку:контроль + урок вивчення нового матеріалу. Вигляд уроку: Лекція.

Тривалість: 2 години.

Цілі:1)Перевірити та закріпити знання з минулого матеріалу на минулих уроках.

2) Вивчити новий спосіб розв'язання матричних ігор.

3) розвинути пам'ять, математичне мислення та увагу.

1 етап: перевірити домашнє завдання як самостійної роботи.

2 етап:дати короткий опис методу зигзагу

3 етап:закріпити новий матеріал та дати домашнє завдання.

Хід заняття.

Методи лінійного програмування - чисельні методи вирішення оптимізаційних завдань, що зводяться до формальних моделей лінійного програмування.

Як відомо, будь-яка задача лінійного програмування може бути приведена до канонічної моделі мінімізації лінійної цільової функції з лінійними обмеженнями типу рівностей. Оскільки число змінних у задачі лінійного програмування більше кількості обмежень (n > m), можна отримати рішення, прирівнявши нулю (n - m) змінних, званих вільними. Ті, що залишилися m змінних, званих базисними, можна легко визначити із системи обмежень-рівностей звичайними методами лінійної алгебри. Якщо рішення існує, воно називається базисним. Якщо базисне рішення допустиме, воно називається базисним допустимим. Геометрично, базисні допустимі рішення відповідають вершинам (крайнім точкам) опуклого багатогранника, який обмежує безліч допустимих рішень. Якщо завдання лінійного програмування має оптимальні рішення, то, принаймні, одне з них є базисним.

Наведені міркування означають, що з пошуку оптимального рішення задачі лінійного програмування досить обмежитися перебором базисних допустимих рішень. Число базисних рішень дорівнює числу поєднань з n змінних m:

З = m n! / n m! * (n - m)!

і може бути досить велике для їх перерахування прямим перебором за реальний час. Те, що не всі базисні рішення є допустимими, істота проблеми не змінює, оскільки, щоб оцінити допустимість базисного рішення, її необхідно отримати.

Проблема раціонального перебору базисних рішень задачі лінійного програмування було вирішено Дж. Данцигом. Запропонований ним симплекс-метод дотепер є найпоширенішим загальним методомлінійного програмування. Симплекс-метод реалізує спрямований перебір допустимих базисних рішень по відповідним їм крайнім точкам опуклого багатогранника допустимих рішень як ітеративного процесу, де кожному етапі значення цільової функції суворо зменшуються. Перехід між крайніми точками здійснюється по ребрах опуклого багатогранника допустимих рішень відповідно до простих лінійно-алгебраїчних перетворень системи обмежень. Оскільки число крайніх точокзвичайно, а цільова функція лінійна, то перебираючи крайні точки в напрямку зменшення цільової функції, симплекс-метод за кінцеве числокроків сходить до глобального мінімуму.

Практика показала, що більшість прикладних завданьлінійного програмування симплекс-метод дозволяє знайти оптимальне рішенняза відносно невелику кількість кроків порівняно з загальним числомкрайніх точок допустимого багатогранника. У той же час відомо, що для деяких завдань лінійного програмування зі спеціально підібраною формою допустимої області застосування симплекс-метода призводить до повного перебору крайніх точок. Цей факт певною мірою стимулював пошук нових ефективних методіврозв'язання задачі лінійного програмування, побудованих на інших, ніж симплекс-метод, ідеях, що дозволяють вирішувати будь-яке завдання лінійного програмування за кінцеве число кроків, істотно менше числа крайніх точок.

Серед поліноміальних методівлінійного програмування, інваріантних до конфігурації області допустимих значень, Найбільш поширеним є метод Л.Г. Хачіяна. Однак, хоча цей метод і має поліноміальну оцінку складності залежно від розмірності завдання, проте він виявляється неконкурентним у порівнянні з симплекс-методом. Причина цього в тому, що залежність числа ітерацій симплекс-методу від розмірності задачі виражається поліномом 3-го порядку для більшості практичних завдань, в той час як у методі Хачіяна, ця залежність завжди має порядок, не нижчий за четвертий. Вказаний факт має вирішальне значеннядля практики, де складні для симплекс-метод прикладні завдання зустрічаються вкрай рідко.

Слід зазначити, що з важливих у практичному сенсі прикладних завдань лінійного програмування розроблено спеціальні методи, що враховують конкретний характер обмежень завдання. Зокрема, для однорідної транспортної задачі застосовуються спеціальні алгоритми вибору початкового базису, найбільш відомими з яких є метод північно-західного кута та наближений метод Фогеля, а сама алгоритмічна реалізація симплекс-методу наближена до специфіки задачі. Для вирішення задачі лінійного призначення (завдання вибору) замість симплекс-метода зазвичай застосовується або угорський алгоритм, заснований на інтерпретації задачі в термінах теорії графів як задачі пошуку максимального за вагою досконалого паросполучення у дводольному графі, або метод Мака.

Вирішити матричну гру розміру 3х3

f(x)=x 1 +x 2 +x 3

x1>=0, x2>=0, x3>=0

> with(simplex):

> C:=( 0*x+3*y+2*z<=1, 2*x+0*y+1*z <=1, 3*x+0*y+0*z <=1};

Ш display(C,);

> feasible(C, NONNEGATIVE, "NewC", "Transform");

> S:=dual(f,C,p);

Ш R:=maximize(f,C ,NONNEGATIVE);

Ш f_max:=subs(R,f);

Ш R1:=minimize(S ,NONNEGATIVE);

> G: = p1 + p2 + p3;

> f_min:=subs(R1,G);

Знайдемо ціну гри

> V:=1/f_max;

Знайдемо оптимальну стратегію першого гравця > X:=V*R1;

Знайдемо оптимальну стратегію другого гравця

ВІДПОВІДЬ: При X=(3/7, 3/7,1/7) V=9/7; При Y=(3/7,1/7,3/7) V=9/7;

Кожному учневі дається один із 20 варіантів, у якому учневі пропонується самостійно вирішити матричну гру 2x2, а інші приклади як домашнє завдання.

Один із найзручніших методів розв'язання квадратних нерівностей – це графічний метод. У цій статті ми розберемо, як вирішуються квадратні нерівності у графічний спосіб. Спочатку обговоримо, у чому суть цього способу. А далі наведемо алгоритм та розглянемо приклади розв'язання квадратних нерівностей графічним способом.

Навігація на сторінці.

Суть графічного методу

Взагалі графічний спосіб розв'язання нерівностейз однією змінною застосовується як вирішення квадратних нерівностей, а й нерівностей інших видів. Суть графічного способурозв'язання нерівностейнаступна: розглядають функції y=f(x) та y=g(x) , які відповідають лівій та правою частинаминерівності, будують їх графіки в одній прямокутної системикоординат і з'ясовують, яких проміжках графік однієї з них розташовується нижче чи вище іншого. Ті проміжки, на яких

• графік функції f вище графіка функції g є розв'язками нерівності f(x)>g(x);
• графік функції f не нижче графіка функції g є розв'язками нерівності f(x)≥g(x);
• графік функції f нижче графіка функції g є розв'язками нерівності f(x)
• графік функції f не вище графіка функції g є розв'язками нерівності f(x)≤g(x) .

Також скажемо, що абсциси точок перетину графіків функцій f і g є рішеннями рівняння f(x) = g(x).

Перенесемо ці результати на наш випадок – для розв'язання квадратної нерівності a x 2 + b x + c<0 (≤, >, ≥).

Вводимо дві функції: перша y = a x 2 + b x x c (при цьому f (x) = a x 2 + b x + c) відповідає лівій частині квадратної нерівності, друга y = 0 (при цьому g (x) = 0) відповідає правій частині нерівності. Графіком квадратичні функції f є парабола, а графіком постійної функції g - пряма, що збігається з віссю абсцис Ox.

Далі згідно з графічним способом розв'язання нерівностей треба проаналізувати, на яких проміжках графік однієї функції розташований вище або нижче за інший, що дозволить записати шукане розв'язання квадратної нерівності. У нашому випадку потрібно проаналізувати положення параболи щодо осі Ox.

Залежно від значень коефіцієнтів a, b і c можливі наступні шість варіантів (для наших потреб досить схематичного зображення, і можна не зображати вісь Oy, оскільки її положення не впливає на розв'язання нерівності):

На цьому кресленні ми бачимо параболу, гілки якої спрямовані нагору, і яка перетинає вісь Ox у двох точках, абсциси яких є x1 і x2. Цей креслення відповідає варіанту, коли коефіцієнт a - позитивний (він відповідає за спрямованість вгору гілок параболи), і коли позитивно значення дискримінанта квадратного тричлена a x 2 + b x x c (при цьому тричлен має два корені, які ми позначили як x 1 і x 2 , причому прийняли, що x 1 0 , D=b 2 −4·a·c=(−1) 2 −4·1·(−6)=25>0, x 1 = -2 x 2 = 3 .

Давайте для наочності зобразимо червоним кольором частини параболи, розташовані вище за осі абсцис, а синім кольором – розташовані нижче за осі абсцис.


Наразі з'ясуємо, які проміжки цим частинам відповідають. Визначити їх допоможе наступне креслення (надалі подібні виділення у формі прямокутників будемо проводити подумки):


Так на осі абсцис виявилися підсвічені червоним кольором два проміжки (−∞, x 1) і (x 2 , +∞) , на них парабола вище за осі Ox , вони становлять розв'язання квадратної нерівності a·x 2 +b·x+c>0 , а синім кольором підсвічений проміжок (x 1 , x 2) , на ньому парабола нижче осі Ox , він є рішенням нерівності a x 2 + b x + c<0 . Решениями нестрогих квадратных неравенств a·x 2 +b·x+c≥0 и a·x 2 +b·x+c≤0 будут те же промежутки, но в них следует включить числа x 1 и x 2 , отвечающие равенству a·x 2 +b·x+c=0 .

А тепер коротко: при a>0 та D=b 2 −4·a·c>0 (або D"=D/4>0 при парному коефіцієнті b)

• розв'язанням квадратної нерівності a·x 2 +b·x+c>0 є (−∞, x 1)∪(x 2 , +∞) або в іншому записі x x 2;
• розв'язанням квадратної нерівності a·x 2 +b·x+c≥0 є (−∞, x 1 ]∪ або в іншому записі x 1 ≤x≤x 2 ,

де x 1 і x 2 – коріння квадратного тричлена a x 2 + b x + c , причому x 1


Тут ми бачимо параболу, гілки якої спрямовані вгору, і яка стосується осі абсцис, тобто має з нею одну загальну точку, позначимо абсцис цієї точки як x0. Представленому випадку відповідає a>0 (гілки направлені вгору) і D=0 ( квадратний тричленмає один корінь x 0). Для прикладу можна взяти квадратичну функцію y=x 2 −4·x+4 , тут a=1>0 , D=(−4) 2 −4·1·4=0 і x 0 =2 .

По кресленню чітко видно, що парабола розташована вище за осі Ox всюди, крім точки дотику, тобто, на проміжках (−∞, x 0) , (x 0 , ∞) . Для наочності виділимо на кресленні області за аналогією з попереднім пунктом.


Робимо висновки: при a>0 та D=0

• розв'язанням квадратної нерівності a·x 2 +b·x+c>0 є (−∞, x 0)∪(x 0 , +∞) або в іншому записі x≠x 0 ;
• розв'язанням квадратної нерівності a·x 2 +b·x+c≥0 є (−∞, +∞) або в іншому записі x∈R ;
• квадратна нерівність a x 2 + b x + c<0 не имеет решений (нет интервалов, на которых парабола расположена ниже оси Ox );
• квадратна нерівність a·x 2 +b·x+c≤0 має єдине рішення x=x 0 (його дає точка дотику),

де x 0 - корінь квадратного тричлена a x 2 + b x + c .


У цьому випадку гілки параболи спрямовані вгору, і вона не має загальних точокз віссю абсцис. Тут ми маємо умови a>0 (гілки спрямовані вгору) та D<0 (квадратный трехчлен не имеет действительных корней). Для примера можно построить график функции y=2·x 2 +1 , здесь a=2>0 , D=0 2 −4·2·1=−8<0 .

Очевидно, парабола розташована вище осі Ox на всьому її протязі (немає інтервалів, на яких вона нижче осі Ox немає точки дотику).


Таким чином, при a>0 та D<0 решением квадратных неравенств a·x 2 +b·x+c>0 і a x 2 +b x + c≥0 є безліч всіх дійсних чисел, а нерівності a x 2 + b x + c<0 и a·x 2 +b·x+c≤0 не имеют решений.

І залишаються три варіанти розташування параболи з спрямованими вниз, а не вгору, гілками щодо осі Ox. У принципі їх можна і не розглядати, оскільки множення обох частин нерівності на −1 дозволяє перейти до рівносильної нерівності з позитивним коефіцієнтом при х 2 . Але все ж таки не завадить отримати уявлення і про ці випадки. Міркування тут аналогічні, тому запишемо лише головні результати.

Алгоритм рішення

Підсумком усіх попередніх викладок виступає алгоритм розв'язання квадратних нерівностей графічним способом:

На координатній площині виконується схематичний креслення, на якому зображується вісь Ox (вісь Oy зображати не обов'язково) і ескіз параболи, що відповідає квадратичній функції y = a x 2 + b x + c . Для побудови ескізу параболи достатньо з'ясувати два моменти:

• По-перше, за значенням коефіцієнта a з'ясовується, куди спрямовані її гілки (при a>0 – вгору, при a<0 – вниз).
• А по-друге, за значенням дискримінанта квадратного тричлена a x 2 + b x + c з'ясовується, чи перетинає парабола вісь абсцис у двох точках (при D>0 ), стосується її в одній точці (при D=0 ), або не має спільних точок з віссю Ox (при D<0 ). Для удобства на чертеже указываются координаты точек пересечения или координата точки касания (при наличии этих точек), а сами точки изображаются выколотыми при решении строгих неравенств, или обычными при решении нестрогих неравенств.

• Коли креслення готове, по ньому на другому кроці алгоритму

  • при розв'язанні квадратної нерівності a x 2 + b x x c> 0 визначаються проміжки, на яких парабола розташовується вище осі абсцис;
  • при розв'язанні нерівності a x 2 + b x + c≥0 визначаються проміжки, на яких парабола розташовується вище осі абсцис і до них додаються абсциси точок перетину (або абсцису точки дотику);
  • при розв'язанні нерівності a x 2 + b x + c<0 находятся промежутки, на которых парабола ниже оси Ox ;
  • нарешті, при розв'язанні квадратної нерівності виду a x 2 + b x + c≤0 знаходяться проміжки, на яких парабола нижче осі Ox і до них додаються абсциси точок перетину (або абсцису точки дотику);

  вони і становлять шукане розв'язання квадратної нерівності, а якщо таких проміжків немає і немає точок торкання, то вихідна квадратна нерівність не має розв'язків.

Залишається лише вирішити кілька квадратних нерівностей із застосуванням цього алгоритму.

Приклади із рішеннями

приклад.

Розв'яжіть нерівність .

Рішення.

Нам потрібно вирішити квадратну нерівність, скористаємося алгоритмом із попереднього пункту. На першому кроці нам потрібно зобразити ескіз графіка квадратичної функції . Коефіцієнт при x 2 дорівнює 2 він позитивний, отже, гілки параболи спрямовані вгору. З'ясуємо ще, чи парабола з віссю абсцис загальні точки, для цього обчислимо дискримінант квадратного тричлена . Маємо . Дискримінант виявився більшим за нуль, отже, тричлен має два дійсні корені: і тобто x 1 =−3 і x 2 =1/3 .

Звідси зрозуміло, що парабола перетинає вісь Ox двох точках з абсцисами −3 і 1/3 . Ці точки зобразимо на кресленні звичайними точками, оскільки розв'язуємо сувору нерівність. За з'ясованими даними отримуємо наступне креслення (він підходить під перший шаблон з першого пункту статті):

Переходимо до другого кроку алгоритму. Оскільки ми вирішуємо нестрогу квадратну нерівність зі знаком ≤, то нам потрібно визначити проміжки, на яких парабола розташована нижче за осі абсцис і додати до них абсциси точок перетину.

З креслення видно, що парабола нижче осі абсцис на інтервалі (-3, 1/3) і до нього додаємо абсциси точок перетину, тобто числа -3 і 1/3. В результаті приходимо до числового відрізка [−3, 1/3]. Це і є потрібне рішення. Його можна записати у вигляді подвійної нерівності −3≤x≤1/3.

Відповідь:

[−3, 1/3] або −3≤x≤1/3 .

приклад.

Знайдіть розв'язок квадратної нерівності −x 2 +16·x−63<0 .

Рішення.

Зазвичай починаємо з креслення. Числовий коефіцієнт при змінній квадраті негативний, −1 , тому, гілки параболи спрямовані вниз. Обчислимо дискримінант, а краще його четверту частину: D"=8 2 −(−1)·(−63)=64−63=1. Його значення позитивно, обчислимо коріння квадратного тричлена: і , x 1 = 7 та x 2 = 9 . Так парабола перетинає вісь Ox у двох точках з абсцисами 7 і 9 (вихідна нерівність суворе, тому ці точки зображатимемо з порожнім центром). Тепер можна зробити схематичний малюнок:

Тому що ми вирішуємо строгу квадратну нерівність зі знаком<, то нас интересуют промежутки, на которых парабола расположена ниже оси абсцисс:

За кресленням видно, що рішеннями вихідної квадратної нерівності є два проміжки (−∞, 7) , (9, +∞) .

Відповідь:

(−∞, 7)∪(9, +∞) або в іншому записі x<7 , x>9 .

При розв'язанні квадратних нерівностей, коли дискримінант квадратного тричлена в його лівій частині дорівнює нулю, потрібно бути уважним із включенням або винятком з відповіді абсцис точки дотику. Це залежить від знаку нерівності: якщо нерівність сувора, то вона не є розв'язком нерівності, а якщо несувора – то є.

приклад.

Чи має квадратну нерівність 10·x 2 −14·x+4,9≤0 хоча б одне рішення?

Рішення.

Побудуємо графік функції y = 10 x 2 -14 x +4,9. Її гілки спрямовані вгору, так як коефіцієнт при x 2 позитивний, і вона стосується осі абсцис у точці з абсцисою 0,7 так як D"=(-7) 2 −10·4,9=0 , звідки або 0,7 у вигляді десяткового дробу Схематично це виглядає так:

Оскільки ми розв'язуємо квадратну нерівність зі знаком ≤, то її вирішенням будуть проміжки, на яких парабола нижче за осі Ox , а також абсцис точки торкання. З креслення видно, що немає жодного проміжку, де парабола була нижче осі Ox , тому його рішенням буде лише абсцис точки дотику, тобто, 0,7 .

Відповідь:

дана нерівність має єдине рішення 0,7.

приклад.

Розв'яжіть квадратну нерівність –x 2 +8·x−16<0 .

Рішення.

Діємо за алгоритмом розв'язання квадратних нерівностей та починаємо з побудови графіка. Гілки параболи спрямовані вниз, оскільки коефіцієнт при x 2 негативний -1. Знайдемо дискримінант квадратного тричлена –x 2 +8·x−16 , маємо D'=4 2 −(−1)·(−16)=16−16=0і далі x 0 = -4 / (-1), x 0 = 4. Отже, парабола стосується осі Ox у точці з абсцисою 4 . Виконаємо креслення:

Дивимося на знак вихідної нерівності, він є<. Согласно алгоритму, решение неравенства в этом случае составляют все промежутки, на которых парабола расположена строго ниже оси абсцисс.

У нашому випадку це відкриті промені (−∞, 4), (4, +∞). Окремо зауважимо, що 4 - абсцис точки дотику - не є рішенням, так як у точці дотику парабола не нижче осі Ox.

Відповідь:

(−∞, 4)∪(4, +∞) або в іншому записі x≠4 .

Зверніть особливу увагу на випадки, коли дискримінант квадратного тричлена, що знаходиться в лівій частині квадратної нерівності, менший за нуль. Тут не треба поспішати і говорити, що нерівність рішень не має (ми ж звикли робити такий висновок для квадратних рівнянь із негативним дискримінантом). Справа в тому, що квадратна нерівність при D<0 может иметь решение, которым является множество всех действительных чисел.

приклад.

Знайдіть розв'язок квадратної нерівності 3·x 2 +1>0 .

Рішення.

Як завжди починаємо з креслення. Коефіцієнт a дорівнює 3 він позитивний, отже, гілки параболи спрямовані вгору. Обчислюємо дискримінант: D=0 2 −4·3·1=−12 . Оскільки дискримінант негативний, парабола немає з віссю Ox загальних точок. Отриманих відомостей достатньо схематичного графіка:

Ми вирішуємо строгу квадратну нерівність зі знаком >. Його рішенням будуть всі проміжки, на яких парабола знаходиться вище за осі Ox . У нашому випадку парабола вище за осю абсцис на всьому її протязі, тому шуканим рішенням буде безліч усіх дійсних чисел.

Ox , а також до них потрібно додати абсцис точок перетину або абсцис точки торкання. Але за кресленням добре видно, що таких проміжків немає (оскільки парабола всюди нижче осі абсцис), як немає і точок перетину, як немає і точки дотику. Отже, вихідна квадратна нерівність немає рішень.

Відповідь:

немає рішень або в іншому записі ∅.

Список літератури.

• Алгебра:навч. для 8 кл. загальноосвіт. установ/[Ю. Н. Макарічев, Н. Г. Міндюк, К. І. Нешков, С. Б. Суворова]; за ред. С. А. Теляковського. - 16-те вид. – М.: Просвітництво, 2008. – 271 с. : іл. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Алгебра: 9 клас: навч. для загальноосвіт. установ/[Ю. Н. Макарічев, Н. Г. Міндюк, К. І. Нешков, С. Б. Суворова]; за ред. С. А. Теляковського. - 16-те вид. – М.: Просвітництво, 2009. – 271 с. : іл. - ISBN 978-5-09-021134-5.
• Мордковіч А. Г.Алгебра. 8 клас. У 2 ч. ч. 1. Підручник для учнів загальноосвітніх установ / А. Г. Мордкович. - 11-те вид., стер. – К.: Мнемозіна, 2009. – 215 с.: іл. ISBN 978-5-346-01155-2.
• Мордковіч А. Г.Алгебра. 9 клас. У 2 ч. ч. 1. Підручник для учнів загальноосвітніх установ / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. - 13-те вид., стер. – К.: Мнемозіна, 2011. – 222 с.: іл. ISBN 978-5-346-01752-3.
• Мордковіч А. Г.Алгебра та початку математичного аналізу. 11 клас. У 2 ч. ч. 1. Підручник для учнів загальноосвітніх установ (профільний рівень) / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. - 2-ге вид., стер. – М.: Мнемозіна, 2008. – 287 с.: іл. ISBN 978-5-346-01027-2.

Початковий рівень

Вирішення рівнянь, нерівностей, систем за допомогою графіків функцій. Візуальний гід (2019)

Багато завдань, які ми звикли обчислювати суто алгебраїчно, можна набагато легше і швидше вирішити, у цьому нам допоможе використання графіків функцій. Ти скажеш "як так?" креслити щось, та й що креслити? Повір мені, іноді це зручніше та простіше. Почнемо? Почнемо з рівнянь!

Графічне вирішення рівнянь

Графічне вирішення лінійних рівнянь

Як ти вже знаєш, графіком лінійного рівнянняє пряма лінія, звідси і назва цього виду. Лінійні рівняння досить легко вирішувати шляхом алгебри - всі невідомі переносимо в один бік рівняння, все, що нам відомо - в іншу і вуаля! Ми знайшли корінь. Зараз я покажу тобі, як це зробити графічним способом.

Отже, у тебе є рівняння:

Як його вирішити?
Варіант 1, і найпоширеніший - перенести невідомі в один бік, а відомі в інший, отримуємо:

А тепер будуємо. Що в тебе вийшло?

Як ти вважаєш, що є коренем нашого рівняння? Правильно, координата точки перетину графіків:

Наша відповідь -

Ось і вся премудрість графічного рішення. Як ти з легкістю можеш перевірити, що коренем нашого рівняння є число!

Як я говорила вище, це найпоширеніший варіант, наближений до рішення алгебри, але можна вирішувати і по-іншому. Для розгляду альтернативного рішення повернемося до нашого рівняння:

На цей раз не будемо нічого переносити з боку в бік, а побудуємо графіки безпосередньо, тому що вони зараз є:

Збудував? Дивимося!

Що рішення цього разу? Все вірно. Те саме - координата точки перетину графіків:

І знову наша відповідь - .

Як ти бачиш, з лінійними рівняннями все дуже просто. Настав час розглянути щось складніше... Наприклад, графічне розв'язання квадратних рівнянь.

Графічне розв'язання квадратних рівнянь

Отже, тепер приступимо до розв'язання квадратного рівняння. Допустимо, тобі потрібно знайти коріння цього рівняння:

Звичайно, ти можеш зараз почати рахувати через дискримінант, або за теоремою Вієта, але багато хто на нервах помиляється при перемноженні або в зведенні в квадрат, особливо якщо приклад з великими числами, а калькулятора, як ти знаєш, у тебе на іспиті не буде… Тому, давай спробуємо трохи розслабитися та помалювати, вирішуючи це рівняння.

Графічно знайти рішення даного рівняння можна у різний спосіб. Розглянемо різні варіанти, а вже ти сам обереш, який найбільше тобі сподобається.

Спосіб 1. Безпосередньо

Просто будуємо параболу за цим рівнянням:

Щоб зробити це швидко, дам тобі одну маленьку підказку: зручно розпочати побудову з визначення вершини параболи.Визначити координати вершини параболи допоможуть такі формули:

Ти скажеш «Стоп! Формула дуже схожа на формулу знаходження дискримінанта» так, так воно і є, і це є величезним мінусом «прямої» побудови параболи, щоб знайти її коріння. Тим не менш, давай дорахуємо до кінця, а потім я покажу, як це зробити набагато (набагато!) Простіше!

Порахував? Які координати вершини параболи в тебе вийшли? Давай розбиратися разом:

Така сама відповідь? Молодець! І ось ми знаємо вже координати вершини, а для побудови параболи нам потрібно ще… крапок. Як ти вважаєш, скільки мінімум точок нам необхідно? Правильно, .

Ти знаєш, що парабола симетрична щодо своєї вершини, наприклад:

Відповідно, нам необхідно ще дві точки по лівій або правій гілки параболи, а надалі ми ці точки симетрично відобразимо на протилежний бік:

Повертаємося до нашої параболи. Для нашого випадку крапка. Нам потрібно ще дві точки, відповідно, можна взяти позитивні, а можна взяти негативні? Які точки тобі зручніші? Мені зручніше працювати з позитивними, тому я розрахую за в.

Тепер у нас є три точки, і ми спокійно можемо побудувати нашу параболу, відобразивши дві останні точки щодо її вершини:

Як ти вважаєш, що є рішенням рівняння? Правильно точки, в яких, тобто і. Тому що.

І якщо ми говоримо, що, то значить, що теж має бути рівним, або.

Просто? Це ми закінчили з тобою рішення рівняння складним графічним способом, чи ще буде!

Звичайно, ти можеш перевірити нашу відповідь алгебраїчним шляхом - порахуєш коріння через теорему Вієта чи Дискримінант. Що в тебе вийшло? Теж саме? От бачиш! Тепер подивимося просте графічне рішення, впевнена, воно тобі дуже сподобається!

Спосіб 2. З розбивкою на кілька функцій

Візьмемо все теж наше рівняння: але запишемо його дещо по-іншому, а саме:

Чи можемо ми так записати? Можемо, оскільки перетворення рівносильне. Дивимося далі.

Побудуємо окремо дві функції:

1. - Графіком є ​​проста парабола, яку ти з легкістю побудуєш навіть без визначення вершини за допомогою формул та складання таблиці для визначення інших точок.
2. - Графіком є ​​пряма, яку ти так само легко побудуєш, прикинувши значення і в голові навіть не вдаючись до калькулятора.

Збудував? Порівняємо з тим, що вийшло у мене:

Як ти вважаєш, що в даному випадку є корінням рівняння? Правильно! Координати, які вийшли при перетині двох графіків і, тобто:

Відповідно, рішенням цього рівняння є:

Що скажеш? Погодься, цей спосіб вирішення набагато легший, ніж попередній і навіть легший, ніж шукати коріння через дискримінант! А якщо так, спробуй цим способом вирішити наступне рівняння:

Що в тебе вийшло? Порівняємо наші графіки:

За графіками видно, що відповідями є:

Впорався? Молодець! Тепер подивимося рівняння трохи складніше, а саме, рішення змішаних рівнянь, тобто рівнянь, що містять функції різного виду.

Графічне вирішення змішаних рівнянь

Тепер спробуємо вирішити таке:

Звичайно, можна привести все до спільного знаменника, знайти коріння рівняння, що вийшло, не забувши при цьому врахувати ОДЗ, але ми знову ж таки, спробуємо вирішити графічно, як робили у всіх попередніх випадках.

На цей раз давай побудуємо 2 наступні графіки:

1. - графіком є ​​гіпербола
2. - Графіком є ​​пряма, яку ти легко побудуєш, прикинувши значення і в голові навіть не вдаючись до калькулятора.

Зрозумів? Тепер займися шикуванням.

Ось що вийшло у мене:

Дивлячись на цей малюнок, скажи, що є корінням нашого рівняння?

Правильно, в. Ось і підтвердження:

Спробуй підставити наше коріння у рівняння. Вийшло?

Все вірно! Погодься, графічно вирішувати подібні рівняння одне задоволення!

Спробуй самостійно графічним способом вирішити рівняння:

Даю підказку: перенеси частину рівняння у правий бік, щоб з обох боків виявились найпростіші для побудови функції. Натяк зрозумів? Дій!

Тепер подивимося, що в тебе вийшло:

Відповідно:

1. - кубічна парабола.
2. - Звичайна пряма.

Ну і будуємо:

Як ти вже давно у себе записав, коренем даного рівняння є .

Вирішивши таку велику кількість прикладів, впевнена, ти усвідомив якомога легко і швидко вирішувати рівняння графічним шляхом. Настав час розібратися, як вирішувати таким способом системи.

Графічне вирішення систем

Графічне рішення систем насправді нічим не відрізняється від графічного рішення рівнянь. Ми також будуватимемо два графіки, і їх точки перетину і будуть корінням даної системи. Один графік – одне рівняння, другий графік – інше рівняння. Все дуже просто!

Почнемо з найпростішого – вирішення систем лінійних рівнянь.

Вирішення систем лінійних рівнянь

Припустимо, у нас є така система:

Для початку перетворимо її таким чином, щоб зліва було все, що пов'язано з, а праворуч - що пов'язано з. Іншими словами, запишемо дані рівняння як функцію у звичному для нас вигляді:

А тепер просто будуємо дві прямі. Що у нашому випадку є рішенням? Правильно! Крапка їхнього перетину! І тут необхідно бути дуже уважним! Подумай чому? Натякну: ми маємо справу із системою: у системі є і, і… Натяк зрозумів?

Все вірно! Вирішуючи систему, ми повинні дивитися обидві координати, а не тільки як при розв'язанні рівнянь! Ще один важливий момент – правильно їх записати і не переплутати, де в нас значення, а де значення! Записав? Тепер давай усе порівняємо по порядку:

І відповіді: і. Зроби перевірку - підставь знайдене коріння в систему і переконайся, чи правильно ми її вирішили графічним способом?

Вирішення систем нелінійних рівнянь

А якщо замість однієї прямої, у нас буде квадратне рівняння? Та нічого страшного! Просто ти замість прямої збудуєш параболу! Не віриш? Спробуй вирішити таку систему:

Який наступний наш крок? Правильно, записати так, щоб нам було зручно будувати графіки:

А тепер так взагалі справа за малим – збудував швиденько і ось тобі рішення! Будуємо:

Графіки вийшли такими самими? Тепер відзнач на малюнку рішення системи та грамотно запиши виявлені відповіді!

Все зробив? Порівняй із моїми записами:

Все вірно? Молодець! Ти вже клацаєш подібні завдання, як горішки! А якщо так, дамо тобі систему складніше:

Що ми робимо? Правильно! Записуємо систему так, щоб було зручно будувати:

Трохи тобі підкажу, тому що система виглядає дуже не простою! Будуючи графіки, будуй їх «більше», а головне, не дивуйся кількості точок перетину.

Тож поїхали! Видихнув? Тепер починай будувати!

Ну як? Красиво? Скільки точок перетину в тебе вийшло? У мене три! Давай порівнювати наші графіки:

Так само? Тепер акуратно запиши всі рішення нашої системи:

А тепер ще раз подивися на систему:

Уявляєш, що ти вирішив це за якихось 15 хвилин? Погодься, математика - це все-таки просто, особливо коли дивлячись на вираз, не боїшся помилитися, а береш і вирішуєш! Ти великий молодець!

Графічне розв'язання нерівностей

Графічне вирішення лінійних нерівностей

Після останнього прикладу тобі все під силу! Зараз видихни - в порівнянні з попередніми розділами цей буде дуже легким!

Почнемо ми, як завжди з графічного рішення лінійної нерівності. Наприклад, ось цього:

Для початку проведемо найпростіші перетворення - розкриємо дужки повних квадратів і наведемо такі складові:

Нерівність несувора, тому - не включається в проміжок, і рішенням будуть всі точки, які знаходяться правіше, тому що більше, більше і так далі:

Відповідь:

От і все! Чи легко? Давай вирішимо просту нерівність із двома змінними:

Намалюємо у системі координат функцію.

Такий графік у тебе вийшов? А тепер уважно дивимося, що там у нас у нерівності? Менше? Значить, зафарбовуємо все, що знаходиться ліворуч від нашої прямої. А якби було більше? Правильно, тоді зафарбовували б усе, що знаходиться правіше за нашу пряму. Все просто.

Всі рішення цієї нерівності «затушовані» помаранчевим кольором. Ось і все, нерівність із двома змінними вирішена. Це означає, що координати будь-якої точки із зафарбованої області - і є рішення.

Графічне розв'язання квадратних нерівностей

Тепер розбиратимемося з тим, як графічно вирішувати квадратні нерівності.

Але перш, ніж перейти безпосередньо до справи, давай повторимо деякий матеріал, що стосується квадратної функції.

А за що у нас відповідає дискримінант? Правильно, за положення графіка щодо осі (якщо не пам'ятаєш цього, то тоді точно прочитай теорію про квадратичні функції).

У будь-якому випадку, ось тобі невелика табличка-нагадувачка:

Тепер, коли ми освіжили у пам'яті весь матеріал, перейдемо до справи – вирішимо графічно нерівність.

Відразу тобі скажу, що є два варіанти його вирішення.

Варіант 1

Записуємо нашу параболу як функцію:

За формулами визначаємо координати вершини параболи (так само, як і при розв'язанні квадратних рівнянь):

Порахував? Що в тебе вийшло?

Тепер візьмемо ще дві різні точки і порахуємо для них:

Починаємо будувати одну гілку параболи:

Симетрично відбиваємо наші точки на іншу галузь параболи:

А тепер повертаємось до нашої нерівності.

Нам необхідно, щоб було менше нуля, відповідно:

Так як у нашій нерівності стоїть знак строго менший, то кінцеві точки ми виключаємо - «виколюємо».

Відповідь:

Довгий спосіб, правда? Зараз я покажу тобі простіший варіант графічного рішення на прикладі тієї самої нерівності:

Варіант 2

Повертаємося до нашої нерівності та відзначаємо потрібні нам проміжки:

Погодься, це набагато швидше.

Запишемо тепер відповідь:

Розглянемо ще один спосіб рішення, який спрощує і алгебраїчну частину, але головне не заплутатися.

Помножимо ліву та праву частини на:

Спробуй самостійно вирішити наступну квадратну нерівність будь-яким способом, що сподобався тобі: .

Впорався?

Дивись, як графік вийшов у мене:

Відповідь: .

Графічне вирішення змішаних нерівностей

Тепер перейдемо до складніших нерівностей!

Як тобі таке:

Жах, правда? Чесно кажучи, я гадки не маю, як вирішити таке алгебраїчно… Але, воно і не треба. Графічно нічого складного у цьому немає! Очі бояться, а руки роблять!

Перше, з чого ми почнемо, це з побудови двох графіків:

Я не розписуватиму для кожного таблицю - впевнена, ти чудово впораєшся з цим самостійно (ще б пак, стільки прорішати прикладів!).

Розписав? Тепер будуй два графіки.

Порівняємо наші малюнки?

У тебе так само? Чудово! Тепер розставимо точки перетину і кольором визначимо, який графік у нас за ідеєю має бути більшим, тобто. Дивись, що вийшло в результаті:

А тепер просто дивимося, де у нас виділений графік знаходиться вище, ніж графік? Сміливо бери олівець і зафарбовуй цю область! Вона і буде розв'язанням нашої складної нерівності!

На яких проміжках по осі у нас вище, ніж? Правильно, . Це і є відповідь!

Ну ось, тепер тобі під силу і будь-яке рівняння, і будь-яка система, і тим більше будь-яка нерівність!

КОРОТКО ПРО ГОЛОВНЕ

Алгоритм розв'язання рівнянь із використанням графіків функцій:

1. Виразимо через
2. Визначимо тип функції
3. Побудуємо графіки функцій, що вийшли
4. Знайдемо точки перетину графіків
5. Коректно запишемо відповідь (з урахуванням ОДЗ та знаків нерівностей)
6. Перевіримо відповідь (підставимо коріння у рівняння чи систему)

Докладніше про побудову графіків функцій дивись у темі « ».

Графік лінійної чи квадратної нерівності будується так само, як будується графік будь-якої функції (рівняння). Різниця полягає в тому, що нерівність має на увазі наявність безлічі рішень, тому графік нерівності являє собою не просто точку на числовій прямій або лінію на координатній площині. За допомогою математичних операцій та знаку нерівності можна визначити безліч розв'язків нерівності.

Кроки

Графічне зображення лінійної нерівності на числовій прямій

1. Розв'яжіть нерівність.Для цього ізолюйте змінну за допомогою тих же прийомів алгебри, якими користуєтеся при вирішенні будь-якого рівняння. Пам'ятайте, що з множенні чи розподілі нерівності на негативне число (чи член), поміняйте знак нерівності на протилежний.

   • Наприклад, дано нерівність 3 y + 9 > 12 (\displaystyle 3y+9>12). Щоб ізолювати змінну, з обох сторін нерівності відніміть 9, а потім обидві сторони розділіть на 3:
     3 y + 9 > 12 (\displaystyle 3y+9>12)
     3 y + 9 − 9 > 12 − 9 (\displaystyle 3y+9-9>12-9)
     3 y > 3 (\displaystyle 3y>3)
     3 y 3 > 3 3 (\displaystyle (\frac (3y)(3))>(\frac (3)(3)))
     y > 1 (\displaystyle y>1)
   • Нерівність повинна мати лише одну змінну. Якщо нерівність має дві змінні, графік краще будувати на координатній площині.

2. Намалюйте числову пряму.На числовій прямій позначте знайдене значення (змінна може бути меншою, більшою або дорівнює цьому значенню). Числову пряму малюйте відповідної довжини (довгу чи коротку).

   • Наприклад, якщо ви обчислили, що y > 1 (\displaystyle y>1), на числовій прямій позначте значення 1.

3. Намалюйте кухоль, що позначає знайдене значення.Якщо змінна менша ( < {\displaystyle <} ) або більше ( > (\displaystyle >)) цього значення, гурток не зафарбовується, тому що безліч рішень не включає це значення. Якщо змінна менша або дорівнює ( ≤ (\displaystyle \leq )) або більше або дорівнює ( ≥ (\displaystyle \geq )) цього значення, гурток зафарбовується, тому що безліч рішень включає це значення.

   • y > 1 (\displaystyle y>1), на числовий прямий намалюйте незафарбований кружок у точці 1, тому що 1 не входить до множини рішень.

4. На числовій прямій заштрихуйте область, що визначає безліч рішень.Якщо змінна більша за знайдене значення, заштрихуйте область праворуч від нього, тому що безліч рішень включає всі значення, які більше знайденого. Якщо змінна менша від знайденого значення, заштрихуйте область ліворуч від нього, тому що безліч рішень включає всі значення, які менше знайденого.

   • Наприклад, якщо дано нерівність y > 1 (\displaystyle y>1), на числовій прямій заштрихуйте область праворуч від 1, тому що безліч рішень включає всі значення більше 1.

   Графічне зображення лінійної нерівності на координатній площині

   1. Розв'яжіть нерівність (знайдіть значення y (\displaystyle y)). Щоб отримати лінійне рівняння, ізолюйте змінну на лівій стороні за допомогою відомих методів алгебри. У правій частині має залишитися змінна x (\displaystyle x)і, можливо, певна стала.

      • Наприклад, дано нерівність 3 y + 9 > 9 x (\displaystyle 3y+9>9x). Щоб ізолювати змінну y (\displaystyle y), з обох сторін нерівності відніміть 9, а потім обидві сторони розділіть на 3:
        3 y + 9 > 9 x (\displaystyle 3y+9>9x)
        3 y + 9 − 9 > 9 x − 9 (\displaystyle 3y+9-9>9x-9)
        3 y > 9 x − 9 (\displaystyle 3y>9x-9)
        3 y 3 > 9 x − 9 3 (\displaystyle (\frac (3y)(3))>(\frac (9x-9)(3)))
        y > 3 x − 3 (\displaystyle y>3x-3)

   2. На координатній площині побудуйте графік лінійного рівняння.побудуйте графік, як будуєте графік будь-якого лінійного рівняння. Нанесіть точку перетину з віссю Y, а потім за допомогою кутового коефіцієнта нанесіть інші точки.

      • y > 3 x − 3 (\displaystyle y>3x-3)побудуйте графік рівняння y = 3 x − 3 (\displaystyle y=3x-3). Точка перетину з віссю Y має координати , а кутовий коефіцієнт дорівнює 3 (або 3 1 (\displaystyle (\frac (3)(1)))). Таким чином, спочатку нанесіть крапку з координатами (0 , − 3) (\displaystyle (0,-3)); точка над точкою перетину з віссю Y має координати (1 , 0) (\displaystyle (1,0)); точка під точкою перетину з віссю Y має координати (− 1 , − 6) (\displaystyle (-1,-6))

   3. Проведіть пряму.Якщо нерівність сувора (включає знак < {\displaystyle <} або > (\displaystyle >)), проведіть пунктирну пряму, тому що безліч рішень не включає значення, що лежать на прямій. Якщо нерівність несувора (включає знак ≤ (\displaystyle \leq )або ≥ (\displaystyle \geq )), проведіть суцільну пряму, тому що безліч рішень включає значення, що лежать на прямій.

      • Наприклад, у разі нерівності y > 3 x − 3 (\displaystyle y>3x-3)проведіть пунктирну пряму, тому що безліч рішень не включає значення, що лежать на прямій.

   4. Заштрихуйте відповідну область.Якщо нерівність має вигляд y > m x + b (\displaystyle y>mx+b), заштрихуйте область над прямою. Якщо нерівність має вигляд y< m x + b {\displaystyle y, заштрихуйте область під прямою.

      • Наприклад, у разі нерівності y > 3 x − 3 (\displaystyle y>3x-3)заштрихуйте область над прямою.

   Графічне зображення квадратної нерівності на координатній площині

   1. Визначте, що ця нерівність є квадратною.Квадратна нерівність має вигляд a x 2 + b x + c (\displaystyle ax^(2)+bx+c). Іноді нерівність не містить змінну першогопорядку ( x (\displaystyle x)) та/або вільний член (постійну), але обов'язково включає змінну другого порядку ( x 2 (\displaystyle x^(2))). Змінні x (\displaystyle x)і y (\displaystyle y)повинні бути ізольовані на різних сторонахнерівності.

      • Наприклад, потрібно побудувати графік нерівності y< x 2 − 10 x + 16 {\displaystyle y.

   2. На координатній площині збудуйте графік.Для цього перетворіть нерівність на рівняння та побудуйте графік , як будуєте графік будь-якого квадратного рівняння. Пам'ятайте, що графік квадратного рівняння є параболою.

      • Наприклад, у разі нерівності y< x 2 − 10 x + 16 {\displaystyle yпобудуйте графік квадратного рівняння y = x 2 − 10 x + 16 (\displaystyle y=x^(2)-10x+16). Вершина параболи знаходиться в точці (5 , − 9) (\displaystyle (5,-9)), і парабола перетинає вісь Х у точках (2 , 0) (\displaystyle (2,0))і (8, 0) (\displaystyle (8,0)).

Графічний метод полягає в побудові безлічі допустимих рішень ЗЛП і знаходженні в даній множині точки, що відповідає max/min цільової функції.

У зв'язку з обмеженими можливостями наочного графічного подання даний метод застосовується лише для систем лінійних нерівностей з двома невідомими та систем, які можуть бути приведені до цього виду.

Для того, щоб наочно продемонструвати графічний метод, вирішимо наступне завдання:

1. На першому етапі треба побудувати сферу допустимих рішень. Для даного прикладу найзручніше вибрати X2 за абсцису, а X1 за ординату і записати нерівності в наступному вигляді:

Так як і графіки та область допустимих рішенні знаходяться у першій чверті. Для того щоб знайти граничні точки розв'язуємо рівняння (1) = (2), (1) = (3) та (2) = (3).

Як видно з ілюстрації, багатогранник ABCDE утворює область допустимих рішень.

Якщо область допустимих рішень не замкнута, то або max(f)=+ ?, або min(f)= -?.

2. Тепер можна перейти до безпосереднього знаходження максимуму функції f.

По черзі підставляючи координати вершин багатогранника у функцію f і порівнювати значення, знаходимо, що f(C)=f (4; 1)=19 - максимум функції.

Такий підхід цілком вигідний за малої кількості вершин. Але дана процедура може затягтися, якщо вершин досить багато.

У такому разі зручніше розглянути лінію рівня виду f=a. За монотонного збільшення числа a від -? до +? прямі f=a зміщуються за вектором нормалі. Якщо за такому переміщенні лінії рівня існує деяка точка X - перша загальна точка області допустимих рішень (багатогранник ABCDE) і рівня, то f(X) - мінімум f на безлічі ABCDE. Якщо X - остання точка перетину лінії рівня і множини ABCDE, то f(X) - максимум на безлічі допустимих рішень. Якщо при а>-? Пряма f=a перетинає безліч допустимих рішень, то min(f)= -?. Якщо це відбувається за а>+?, то max(f)=+ ?.