Основні логічні зв'язки. Матриці та дії над ними

Сформулюємо основні правила утворення нових пропозицій з вихідних за допомогою основних зв'язок та спілок звичайного розмовної мови. Одних лише правил російської буває недостатньо, тому що іноді в одну і ту ж пропозицію, сформульовану російською мовою, ми вкладаємо різний зміст. Наприклад розглянемо мовний зворот «Якщо, то», за допомогою якого сформулюємо дві пропозиції:

• 1) «Якщо Мишко здасть іспит на добре, то піде на дискотеку».
• 2) «Якщо Мишко не здасть іспит на добре, то на дискотеку не піде».

Питання: у цих пропозиціях йдеться про одне й те саме чи існує ситуація, коли одна із пропозицій є вірною, а інша помилковою? Іншими словами, питається, чи ці пропозиції є рівносильними.

До тих пір, поки ми чітко не визначимо правила побудови подібних фраз, на запитання відповісти однозначно не можна. З одного боку, формулюючи першу пропозицію, ми часто маємо на увазі і другу пропозицію. Проте подивимося ці пропозиції з іншого боку.

Спочатку запишемо схеми речень. Для цього пропозицію «Миша здасть іспит на відмінно» позначимо буквою А, а пропозиція «Миша піде на дискотеку» - буквою Ст.Тоді дані пропозиції схематично можна записати так:

I) «Якщо А, то В», 2) «Якщо не А, то не В».

Тепер підставимо замість Аі Уінші упередження. Замість Авізьмемо: «Стіл зроблений із дуба», замість У"Стіл є дерев'яним". Тоді отримаємо іншу пару пропозицій:

• 1) «Якщо дубовий стіл, то він дерев'яний»,
• 2) «Якщо стіл не дубовий, він не дерев'яний».

Так як ці пропозиції побудовані за тими ж схемами, що перші два, отже, рівносильність першої пари речень має означати рівносильність другої пари. Однак перша пропозиція в повсякденній мові, очевидно, є вірним висловлюванням, оскільки дуб - це дерево, а друга пропозиція за загальноприйнятим змістом хибна, оскільки стіл може бути зроблений з іншого дерева, наприклад, з сосни.

Таким чином, у загальному випадкупропозиції, побудовані за схемами «Якщо А, то В»і «Якщо не А,то не У», не можна вважати логічно однаковими.

Отже, щоб виключити двозначність при конструкції речень, потрібні чіткі правила, дозволяють визначати істинність чи хибність одержуваного пропозиції залежно від істинності чи хибності вихідних пропозицій Аі Ст.

Надамо спілкам «і», «або», а також схемам «якщо, то», «тоді й тільки тоді», «невірно, що» — однозначний логічний зміст.

Нехай літери А і Впозначають довільні речення. Почнемо із простих ситуацій.

1. Знак заперечення~| (-i) або. Вираз ~li(-Л, А) читається: "не А"або "невірно, що А".

Значення речення ~Авизначимо таблицею, з якої видно, що пропозиція ~лістинно точно тоді, коли вихідна пропозиція Ахибно:

При формулюванні простих структурою пропозицій частинку «не» іноді можна «проносити всередину» пропозиції. Наприклад, пропозиція

"Невірно, що число V6 ціле" можна сформулювати так: "Кількість л/6 не ціле". Також пропозиція «Невірно, що прямі аі bперетинаються» формулюють: «Прямі аі bнс псрссскаются».

Часто об'єкт, який не має якоїсь властивості, називають терміном з часткою «не». Наприклад, ціле число, яке не є парним, називається непарним. Тому однаково правильно говорити «Ціле число непарне» та «Ціле число не є парним». Але без застереження, що число ціле, ми маємо різні за змістом речення. Наприклад, «Кількість 0,2 не є парним» – істина, а пропозиція «Кількість 0,2 непарне» – брехня.

Розглянемо словосполучення « непарна функція». Тут ми маємо самостійний термін і слово "непарна" не можна писати і вимовляти окремо, тобто пропозиція "Функція є непарною" не є запереченням пропозиції "Функція є парною". Справді, є приклад функції, у якому обидві пропозиції помилкові. Наприклад, функція ) т = х +не є парною і не є непарною (старайтеся пояснити це).

2. Знак кон'юнкціїл. Вираз ЛЛВчитається: "А і В".Іноді кон'юнкція позначається знаком.

Значення речення АлВзалежно від складових його пропозицій А і Ввизначено таблицею:

Таким чином, пропозиція АлВістинно тільки в одному випадку, коли обидві пропозиції Аі Уістинні. В інших випадках ця пропозиція хибна. При формулюванні речення АлВзамість союзу «і» можна використовувати інші союзи, які мають той самий логічний сенс одночасного виконання кожної із пропозицій: «а», «але».

приклад 1.3.1.Пропозиція «Число 111 нс ділиться на 2, але ділиться на 3» - символічно можна записати 1 АлВ,де А= "111 ділиться на 2", В = « 111 ділиться на 3».

3. Знак диз'юнкції v. Вирази AvBчитається: "А або В".

Значення речення AvBвизначено таблицею:

З таблиці видно, що пропозиція «Аабо В»істинно в тих випадках, коли хоча б одна із пропозицій Аабо Уістинно, а у випадку, коли обидві пропозиції Аі Ухибні, пропозиція AvBнабуває хибного значення.

Іноді зі змісту пропозицій Аі Увипливає, що пропозиції не можуть бути одночасно істинними. І тут пропозицію формулюють з допомогою союзу «чи». Наприклад, пропозиція «Число або позитивне, або негативне» також має вигляд «Аабо У», але водночас має такий підтекст, що водночас і позитивний, і негативним числобути не може.

Сформульовані вище правила, мабуть, питань не викликають. Перейдемо до розглянутої на початку пункту схеми «Якщо А,то В».

4. Знак імплікації-Вираз А->Вчитається: "Якщо А, то В".Іноді позначення цієї зв'язки використовується інше позначення стрілки =>, і навіть знак z>. Поряд із фразою «Якщо А, то В»використовують інші, аналогічні їй: «У тоді, коли А», "А тільки тоді, коли В".

Мотивуємо визначення значень речення А->В.Основна складність, яка тут виникає, полягає у присвоєнні значення пропозиції Л-»# для тих випадків, коли Апомилково. Щоб розумно визначити значення, згадаємо розглянуту вище правильну пропозицію: «Якщо дубовий стіл, то він дерев'яний». Тут А= «Стіл дубовий», В ="Стіл дерев'яний". Нехай стіл зроблений із сосни. Тоді Ахибно, Уістинно. Нехай стіл буде залізним. Тоді Ахибно і Упомилково. В обох випадках пропозиція Ахибно, а пропозиція, що отримується «Якщо А, то В»істинно. При цьому обидва ці випадки реально можливі. Звичайно, можлива нагода, коли ми маємо дубовий стіл, тоді Aw Водночасно правдиві. А ось приклад справжньої пропозиції А->В,коли А=і> В=л, не існує.

Таким чином, випадки, коли А=і, В=і,або А = л у В = і, або А = л, В=л,повинні визначати справжню пропозицію І лише один випадок, при

якому А=і, В-л,означає, що пропозиція А->Впомилково.

Отже, у математичної логікизначення пропозиції Т-задаються наведеною таблицею:

Надалі всюди фраза «Якщо А, то В»розумітиметься саме так. Тут пропозиція Аназивається посилкою, або умовою, а В – висновком.

Приклад 13.2. Батьки пообіцяли своєму синові Пете: якщо він успішно закінчить університет, вони куплять йому машину. Відомо, що син університет не закінчив, а машину йому батьки таки купили. Чи можна стверджувати, що слова батьків були брехнею?

Щоб відповісти на запитання, розглянемо пропозиції: А= «Син закінчує університет», В ="Йому купують машину". При цьому А = л, В = і.Обіцянка батьків має вигляд А^>В.За визначенням ця пропозиція при заданих значеннях Аі УПравильно (третій рядок таблиці). Тому з погляду логіки слова батьків вірні. А от якби їхній син закінчив інститут, а машину йому не купили, у цьому випадку (і в жодному іншому) обіцянку було б не виконано.

Тепер розглянемо ще одну логічну зв'язку, яку часто мають на увазі, коли кажуть слова «якщо, то». Наприклад, якщо в умовах прикладу 1.3.2 батьки припускали, що у випадку, якщо їх син Петя не закінчить інститут, вони не куплять йому машину, правильно було б сказати: «Машина буде куплена в тому і тільки в тому випадку, якщо Петро закінчить інститут».

5. Знак еквівалентностіабо. Вираз А читається: "А тоді і тільки тоді, коли В".Можливі інші формулювання: «А в тому і лише в тому випадку, якщо В», «А точно тоді, коли В»і т.п.

Значення речення АВзадаються таблицею:

У випадках, коли Аі Уприймають однакові значення, пропозиція, запрошення, речення АВПравильно, в інших випадках пропозиція хибна.

Неважко помітити, що фраза «Атоді і лише тоді, коли В»складається з двох фраз: «Атоді коли В»і «Атільки тоді, коли В».Перша пропозиція записується В->А,а друге А^>В.Ці дві пропозиції одночасно дійсні у двох випадках: А=і, В=і, а також А = л, В = л.

Отже, ми визначили п'ять знаків: л (кон'юнкція), v (диз'юнкція), -> (імплікація), (еквіваленція), 1 (заперечення), які називають

логічними сівалками.Ці знаки дозволяють із даних пропозицій Аі Уотримувати нові пропозиції. При цьому значення (істини чи брехні) нової пропозиції однозначно визначається значеннями речень Аі Ст.Правило отримання нової пропозиції із вихідних пропозицій називається логічною операцією.Таким чином, кожна з логічних зв'язок визначає логічну операцію, яка має таку ж назву, що і відповідна їй зв'язка.

Розглянуті операції можна використовувати і для висловлювань, і предикатів. Наприклад, поєднавши два одномісних предикати Число,т більше 3» та «Число хнегативне» знаком диз'юнкції, отримаємо одномісний предикат: «Число хбільше 3 або огрі тельне». Єдине, щоб з'єднати два предиката логічним зв'язкою, потрібно, щоб було задано деяка загальна область Dдопустимих об'єктів, які можна підставляти в ці предикати замість змінних.

Визначимо ще дві логічні зв'язки, звані кваітора.ми,які дозволяють із одномісних предикатів отримувати висловлювання. Термін «квантор» у перекладі з латинської мовиозначає "скільки". Тому ці знаки використовуються для відповіді на питання про те, скільки об'єктів задовольняють пропозиції А у- все чи хоча б один.

Візьмемо довільний предикат, у якого виділимо змінну, від якої його значення. Позначимо його А(х).

6. Квантор спільності V. Цей знакпоходить від англійського слова АНі є скороченням наступних слів: «вага», «кожен», «кожний», «будь-який».

Вираз Vj&4(y) означає, що предикат А(х)виконується для всіх допустимих об'єктів х.Читається: «Для всіх ікса від ікс».

7. Квантор існування 3.Цей знак походить від англійського слова Existі є скороченням наступних слів: "існує", "знайдеться", "хоча б один", "деякий".

Вираз Зх4(*) означає, що предикат А(х)виконується хоча б одного з допустимих объектов.v. Читається: «Існує ікса від ікс».

приклад 1.3.3. Нехай змінна хпозначає студента вишу. Розглянемо пропозицію А(х)= "Студент л: має машину". Тоді VxA(x)означає, що всі студенти вишів мають машину. Це хибне висловлювання. Пропозиція, запрошення, речення ЕхА(х)означає, що деякі студенти мають машину, яка є вірним твердженням.

Таким чином, спочатку ми мали предикат, значення якого залежало від змінної дг. Після виконання операцій було отримано саме висловлювання, значення яких вже нс залежать від змінної х.

Нехай є формула Л(х),що містить вільну змінну х.Тоді твердження про те, що формула А(х)є тотожно істинною, коротко запишеться Vj&4(jc).

Операція отримання пропозиції за допомогою кванторів називається Квантифікація.При використанні виразів УхА(х)та 3 хА(х)також кажуть: «На змінну х навісили квантор»або «Змінну х пов'язали квантором».

Зауважимо, що кванторні операції застосовуються не тільки до одномісних предикатів. Якщо буде дано двомісний предикат А(ху),то можна зв'язати змінну л - квантором та утворити пропозицію /хА(ху),істинність якого залежатиме вже від однієї змінної у,і ми матимемо одномісний предикат. У цьому записі змінна хназивається пов'язаною квантором, а змінна у – вільної.У загальному випадку, застосувавши кванторну операцію до будь-якої зі змінних /7-місцевого предикату, в результаті отримаємо (н-1)-місцевий предикат.

Кванторами можна пов'язати будь-яку кількість змінних. Якщо маємо двомісний предикат А(ху),то формально можна отримати 8 висловлювань.

зв'язавши кожну змінну якимось квантором: Vjc fyA(xy), VyVxA(xy), Vx3уА(ху), 3yVxA(ху), 3xVyA(xy), /уЕхА(ху), ЗхЗуА(ху), ЗуЗхА(ху).Деякі пропозиції мають один і той же зміст, наприклад, перше і друге (предикат Аповинен приймати справжнє значеннядля будь-яких значень * і у), а також сьоме та восьме. Інші висловлювання у випадку дають різні за істинністю висловлювання.

Приклад 1.3.4.Нехай у класі всього два хлопчики - Петя та Коля. Для самостійного рішеннябули задані три завдання, позначимо їх числами 1, 2, 3. Петро вирішив задачі 1 і 2, а Коля - одне завдання з номером 3. Введемо предикат А(ху),який означає, що хлопчик вирішив завдання у.Тут змінна хпозначає ім'я хлопчика, а змінна у- Номер завдання. Розглянемо такі висловлювання.

Vx3yA(xy)= «Кожен хлопчик вирішив хоча б одне завдання» - справжнє висловлювання, Так як і Петя вирішив дві задачі, і Коля вирішив принаймні одне завдання.

• 3_yVx4(.*,y) = «Знайдеться завдання, яке вирішили всі хлопчики класу» - брехня, оскільки такого завдання немає (і 1-го і 2-го завдання вирішив тільки Петя, а 3-ю - тільки Коля).
• 3xVyA(x,y) = "Хоч би один хлопчик вирішив усі завдання" - хибне твердження.

V_yEx,4(;c,y) = «Кожна задача вирішена хоча б одним учнем» - істина, так задача з номером 1 вирішена Петею, задача з номером 2 також вирішена Петею, а задача 3 вирішена Колею.

З розглянутого прикладу можна дійти невтішного висновку: порядок запису кванторов впливає логічний сенс пропозиції. Тому чітке формулювання пропозиції має однозначно припускати, в якому порядку йдуть квантори спільності та існування.

Вправа.Самостійно проаналізуйте значення висловлювань із прикладу 1.3.4 у припущенні, що Петя вирішив завдання з номерами 2 та 3.

У загальному випадку з предикату А(х)можна отримати два висловлювання - /хА(х)та 3x4(x). Проте дуже часто записана формула А(х)розуміється саме як висловлювання Vx4(.x), хоча квантор спільності під час запису чи формулюванні опускають. Наприклад, записавши д- 2 >0, мають на увазі, що квадрат будь-якого дійсного числанегативний. Повна запис висловлювання така: Улг(дг?0). Запис (4х + 6у): 2,де*, у -Цілі числа припускає, що зазначена сума завжди ділиться на 2, тобто парна. Щоб підкреслити, слід записати V*Vy((4.x + 6jy):2).

Визначені у двох останніх пунктах математичні знакита знаки логічних зв'язок становлять алфавіт математичної мови.

Складним називають судження, що містить логічні зв'язки і складається з кількох простих суджень.

Надалі прості судження ми розглядатимемо як деякі неподільні атоми, як елементи, з'єднання яких виникають складні структури. Прості судження позначатимемо окремими латинськими літерами: a, b, c, d, … Кожна така буква представляє деяке просте судження. Звідки видно? Відволікаючись від складної внутрішньої структури простого судження, від кількості і якості, забувши у тому, що він є суб'єкт і предикат, ми утримуємо лише одне властивість судження – те, що може бути істинним чи хибним. Решта нас тут не цікавить. І коли ми говоримо, що літера «a» представляє судження, а не поняття, не число, не функцію, ми маємо на увазі лише одне: це «a» є істиною чи брехнею. Якщо під "a" ми маємо на увазі судження "Кенгуру живуть в Австралії", ми маємо на увазі істину; якщо ж під «а» ми маємо на увазі судження «Кенгуру живуть у Сибіру», ми маємо на увазі брехню. Таким чином, наші літери "a", "b", "c" і т.д. – це змінні, замість яких можуть підставлятися істина чи брехня.

Логічні зв'язки є формальними аналогами спілок нашої рідної природної мови. Як складні пропозиції будуються з простих за допомогою спілок «проте», «оскільки», «або» тощо, так і складні судження утворюються з простих за допомогою логічних зв'язок. Тут відчувається набагато більший зв'язок думки з мовою, тому надалі ми замість слова «судження», що означає чисту думку, часто використовуватимемо слово «висловлювання», що означає її думку мовному вираженні. Отже, познайомимося з найбільш уживаними логічними зв'язками.

Заперечення. У природною мовоюйому відповідає вислів "Невірно, що ...". Заперечення зазвичай позначається знаком "", що стоїть перед літерою, що представляє деяке судження: "а" читається "Невірно, що а". Приклад: "Невірно, що Земля - ​​куля".

Слід звернути увагу на одну тонку обставину. Вище ми говорили про прості негативні судження. Як їх відрізнити від складних суджень із запереченням? Логіка розрізняє два види заперечення – внутрішнє та зовнішнє. Коли заперечення стоїть усередині простого судження перед зв'язкою «є», то цьому випадку ми маємо справу з простим негативним судженням, наприклад: «Земля не куля». Якщо ж заперечення зовнішнім чином приєднується до судження, наприклад: «Невірно, що Земля – куля», то заперечення розглядається як логічна зв'язка, що перетворює просте судження на складне.

Кон'юнкція. У природній мові цій зв'язці відповідають спілки «і», «а», «але», «проте» тощо. Найчастіше кон'юнкція позначається значком "&". Нині цей значок часто зустрічається у назвах різних фірм та підприємств. Судження з такою зв'язкою називається кон'юнктивним, або просто кон'юнкцією, і виглядає так:

a & b. Приклад: «У кошику у діда лежали підберезники та маслюки». Це складне судження є кон'юнкцією двох простих суджень: – «У кошику у діда лежали підберезники» і «У кошику у діда лежали маслюки».

Диз'юнкція. У природній мові цій зв'язці відповідає спілка «або». Зазвичай вона позначається знаком "v". Судження з такою зв'язкою називається диз'юнктивним, або просто диз'юнкцією, і виглядає так: a v b.

Союз «або» у природній мові вживається у двох різних сенсах: Нестрогі «або» - коли члени диз'юнкції не виключають один одного, тобто. можуть бути одночасно істинними, і суворе «чи» (часто замінюється парою спілок «або…, чи…») – коли члени диз'юнкції виключають одне одного. Відповідно до цього розрізняють і два види диз'юнкції – сувору та нестрогу.

Імплікація. У природній мові їй відповідає спілка «якщо… то». Вона позначається знаком "->". Судження з такою зв'язкою називається імплікативним, або просто імплікацією, і виглядає так: a -> b. Приклад: «Якщо провідником проходить електричний струм, То провідник нагрівається». Перший член імплікації називається антецедентом, чи основою; другий – консеквентом, чи наслідком. У повсякденній мовісоюз «якщо… то» зазвичай поєднує пропозиції, які виражають причинно-наслідковий зв'язок явищ, причому перша пропозиція фіксує причину, а друга – слідство. Звідси й назви членів імплікації.

Подання висловлювань природної мови у символічному вигляді за допомогою зазначених вище позначень означає їхню формалізацію, яка у багатьох випадках виявляється корисною.

4) Прекрасний острів лежав у теплому океані. І все б добре, та понадилися на цьому острові влаштовуватися на проживання чужинці. Їдуть і їдуть з усіх куточків світу, вже корінних жителів стискувати стали. Щоб перешкодити нашестю чужинців, імператор острова видав указ: «Кожен приїжджий, бажаючий оселитися на нашому благословенному острові, повинен висловити якесь судження. Якщо судження виявиться істинним, чужинця слід розстріляти; якщо ж судження виявиться хибним, його слід повісити». Боїшся - тоді мовчи і повертай додому!

Постає питання: яке треба висловити судження, щоб залишитися в живих і все-таки оселитися на острові?

Таблиці істинності

Тепер ми підійшли до дуже важливого та важкому питанню. Складне судження - це теж думка, яка щось стверджує або заперечує і тому виявляється істинною або помилковою. Питання про істинність простих суджень лежить поза сферою логіки – на нього відповідають конкретні науки, повсякденна практика чи спостереження. Істинно чи хибно судження «Всі кити – ссавці»? Потрібно запитати біолога, і він скаже нам, що це судження є істинним. Істинно чи хибно судження «Залізо тоне у воді»? Потрібно звернутися до практики: кинемо у воду якусь залізницю і переконаємося, що це судження істинне.

Коротше кажучи, питання про істинність чи хибність простих суджень у результаті завжди вирішується через звернення до тієї реальності, до якої вони ставляться.

Але як встановити істинність чи хибність складного судження? Нехай ми маємо деяку кон'юнкцію «a & b» і нам відомо, що судження «a» істинне, а судження «b» хибне. Що можна сказати про це складне висловлювання загалом? Якби насправді існував об'єкт, якого відноситься зв'язка «&», то труднощі не виникло б: виявивши цей об'єкт, ми могли б сказати: «Є! Кон'юнкція істинна!»; обнишпоривши все навколо і не виявивши відповідного об'єкта, ми б констатували: «Кон'юнкція хибна». Але річ у тому, що логічним зв'язкам – як, втім, і спілкам природної мови – насправді нічого не відповідає! Це винайдені нами засоби зв'язку думок чи пропозицій, це знаряддя мислення, які мають аналогів насправді. Тому питання про істинність чи хибність висловлювань з логічними зв'язками – не питання конкретних наукчи матеріальної практики, а чисто логічне питання. І його вирішує логіка.

Ми домовляємося чи приймаємо угоди щодо того, коли висловлювання з тим чи іншим логічним зв'язком вважати істинними, а коли – хибними. Звичайно, в основі цих угод лежать деякі раціональні міркування, проте важливо пам'ятати, що це – наші довільні угоди, прийняті з метою зручності, простоти, плідності, але не нав'язані нам реальністю. Тому ми вільні змінювати ці угоди і робимо це, коли вважаємо за потрібне.

Угоди, про які йдеться, Виражаються таблицями істинності для логічних зв'язок, що показують, у яких висловлювання з тією чи іншою зв'язкою вважається істинним, а в яких - хибним. При цьому ми спираємося на істинність чи хибність простих суджень, які є складовими складного судження. "Істина" ("і") і "брехня" ("л") називаються "істиннісними значеннями" судження: якщо змінна представляє справжнє судження, вона набуває значення "істина"; якщо ж – хибне, вона набуває значення «брехня». Кожна змінна може представляти як істину, і брехню.

Заперечення застосовується одного судження. Ця думка може бути істинною або помилковою, тому таблиця для заперечення виглядає наступним чином:

Якщо вихідне судження істинне, його заперечення ми домовляємося вважати помилковим; якщо ж вихідне судження хибне, його заперечення ми вважаємо істинним. Здається, така угода відповідає нашій інтуїції. Справді, судження «Байрон був англійським поетом» істинно, тому його заперечення «Невірно, що Байрон був англійським поетом» природно вважати хибним. Судження «Афіни перебувають у Італії» хибно, тому його заперечення «Невірно, що Афіни перебувають у Італії» природно вважати справжнім.

Таблиці істинності для інших логічних зв'язок ми для зручності наводимо всі разом:

Всі наведені тут зв'язки поєднують два судження. Для двох суджень є чотири можливості: обидва можуть бути істинними; одне істинно, інше – хибно; одне хибно, інше – істинно; обидва помилкові. Усі ці можливості враховані як випадки 1-4.

Кон'юнкція істинна лише одному випадку – коли обидва її члена істинні. У решті випадків ми вважаємо її хибною. Загалом це здається досить природним. Допустимо, ви кажете своєму обранцю: «Я вийду за тебе заміж і буду тобі вірна». Ви дійсно вийшли заміж за цю людину і зберігаєте їй вірність. Він задоволений: ви його не обдурили, кон'юнкція загалом істинна. Другий випадок: ви вийшли заміж, але не бережете вірності своєму чоловікові. Він обурюється, вважає, що ви його обдурили, – кон'юнкція хибна. Третій випадок: ви не вийшли заміж за того, кому обіцяли, хоч і зберігайте йому вірність, плекаючи спогади про перше і, на жаль, єдине кохання. Знову ж таки він у засмучених почуттях: ви його обдурили – кон'юнкція хибна. Нарешті, четвертий варіант: ви заміж за нього не вийшли і, звичайно, вірності йому не зберігаєте. Ваш шанувальник у сказі: ви його нахабно обдурили – кон'юнкція хибна.

Аналогічні міркування виправдовують і таблицю істинності диз'юнкції. Дещо складніше ситуація з імплікацією. Розглянемо судження «Якщо сонце зійшло, надворі стало ясно». Тут імплікація поєднує два простих судження «Сонце зійшло» та «На вулиці стало світло». Коли обидва вони є істинними, то імплікацію в цілому ми вважаємо істинною. Тепер другий випадок: сонце зійшло, але на вулиці ясно не стало. Якщо таке раптом сталося, ми визнаємо нашу імплікацію хибною: мабуть, чогось ми не врахували, коли формулювали такий зв'язок між двома судженнями. Третій випадок: сонце не зійшло, але на вулиці стало ясно. Чи спростує це нашу імплікацію? Зовсім ні, таке цілком можливо: на вулиці запалилися ліхтарі, стало ясно, але це не суперечить зв'язку між сходом сонця та настанням світлого часу доби. Імплікацію можна вважати справжньою. Зрештою, четвертий випадок: сонце не зійшло і світло не стало. Це цілком природно, що наша імплікація залишається істинною.

Пояснюючи таблиці істинності для логічних зв'язок, ми намагалися показати, що ці таблиці певною мірою відповідають нашій мовній інтуїції, розумінню сенсу спілок природної мови. Однак не слід переоцінювати ступінь такої відповідності. Спілки природної мови набагато багатші і тонші за змістовим змістом, ніж логічні зв'язки. Останні схоплюють лише ту частину цього змісту, яка відноситься до співвідношень істинності чи хибності простих висловлювань. Більш тонких смислових зв'язків логічні зв'язки не враховують. Тому іноді можлива досить велика розбіжність між логічними зв'язками та спілками природної мови. За допомогою цих зв'язок створюють програми для комп'ютерів, і тепер ви можете зрозуміти яку частину нашого мислення здатний засвоїти і використовувати комп'ютер.

5) Як поділити 7 яблук порівну між 12 хлопчиками, не розрізаючи при цьому жодного яблука на 12 частин? (Накладена умова покликана виключити найпростіше рішення: розрізати кожне яблуко на 12 частин і дати кожному хлопчику по одній часточці від кожного яблука або 6 яблук розрізати навпіл, а 7 яблуко розрізати на 12 частин.)

6) На одному острові живуть два племені - молодці, які завжди говорять правду, і брехуни, які завжди брешуть. На острів приїжджає мандрівник, який знає про це, і зустрівши місцевого жителя, Запитує його: «Хто ти, з якого роду-племені?» "Я молодець!" – гордо відповідає абориген. «От добре, – зрадів мандрівник, – будеш моїм провідником!» Гуляють вони островом і раптом бачать далеко ще одного аборигена. «Піди спитай у нього, – каже мандрівник своєму провіднику, – з якого він племені?» Провідник збігав, повернувся і доповів. "Він сказав, що він - молодець!" "Ага, - подумав мандрівник, - тепер я точно знаю, з якого племені ти сам!"

Як мандрівник здогадався, ким був його провідник?

символи логічних мов, що використовуються для утворення складних висловлювань (формул) з елементарних. Логічними зв'язками називають також союзи природної мови, що відповідають цим символам. Зазвичай використовуються такі логічні зв'язки, як кон'юнкція (союз "і", символічні позначення: &, л і точка у вигляді знака множення, які часто опускають, записуючи кон'юнкцію А і В як AB), диз'юнкція (нестрога спілка "або", позначається як «v»), імплікація («якщо..., то», позначається за допомогою знака, .пропозиціональна істинна функція ставить у відповідність кожному перерахованому набору одне зі значень істинності - 1 або 0. Всгго таких функцій 16. Кон'юнкція приписує виразу А &. У значення 1 тільки у випадку, коли як Л, так і В істинні, тобто обидва мають значення 1, в інших випадках значення А&.В дорівнює 0. , так і В. Імплікація А е В є хибною тільки при істинному (антецеденті) А і хибному (консеквенті) В. В інших випадках А => В приймає значення 1. З чотирьох одномісних функцій інтерес представляє лише заперечення, що змінює значення висловлювання на протилежне : коли А - істинно, -А - Помилково, і навпаки. Всі інші унарні та бінарні класичні функції можуть бути виражені через представлені. Коли прийнята у відповідній семантиці система логічних зв'язок дозволяє дати визначення решти, її називають функціонально повною. До повних систем у класичній логіці відносяться, зокрема, кон'юнкція та заперечення; диз'юнкція та заперечення; імплікація та заперечення. Кон'юнкція та диз'юнкція визначні один через одного за рахунок еквівалентностей (А&В) = -i(-i/4v-i.) та (A v В) a -,(-&-), іменованих законами де Моргана, а також: (A ^B)s(-iA^ В), (А&В) s -,(А е -), (В) = ((А => В) зА). Будь-яка еквівалентність виду Л = В має силу тільки тоді, коли загальнозначуща (завжди істинна) кон'юнкція (А =) В) & (Ве А).

Функції антидиз'юнкції та антикон'юнкції, визначальні відповідно як -(В) і -(А&.В), також представляють кожна окремо функціонально повну системузв'язок. Ця остання обставина була відома вже Ч. Пірсу (неопублікована за його життя робота 1880) і було перевідкрито X. Шеффером (H. M. Shefier). Використовуючи антидиз'юнкцію як єдину логічну зв'язку, Шеффер у 1913 р. побудував повне обчислення висловлювань. Антидиз'юнкцію позначають АВ і називають штрихом Ше4)фера, читаючи даний вираз, як «не-Д і не-В». Ж. Ніко (J. G. P. Nicod) вжив те саме позначення для антикон'юнкції («Невірно, що одночасно А і В») і за допомогою тільки цієї зв'язки в 1917 сформулював повне обчислення висловлювань з однією (всього!) аксіомою та одним правилом виведення. Т. о., штрихом Шеффера називають по суті саму вертикальну межу, яка у різних авторівможе позначати як антидиз'юнкцію, і антикон'юнкцію.

Екстенсіональність логічних зв'язок надає їм однозначність, полегшує проблему побудови логічних обчислень, дає можливість вирішувати для останніх метатеоретичні проблеми несуперечності, розв'язності, повноти (див. «Металогіка»). Проте в деяких випадках істинно-функціональне трактування зв'язок призводить до значної невідповідності з тим, як вони розуміються на природній мові. Так, зазначена істинна інтерпретація імплікації змушує визнавати вірними реченнявиду «Якщо А, то В» навіть у тому випадку, коли між висловлюваннями А та В (і, відповідно, подіями, про які в них йдеться) немає жодної реального зв'язку. Достатньо, щоб А було хибним або В – істинним. Тому з двох пропозицій: «Якщо А, то В» і «Якщо В, то А», принаймні одне доводиться визнавати вірним, що погано узгоджується зі звичайним вживанням умовної зв'язки. Імплікацію у даному випадкуспеціально називають «матеріальною», відрізняючи її тим самим від умовного союзу, який передбачає, що між антецедентом і консеквентом справжнього умовного висловлювання є дійсний зв'язок. При цьому матеріальна імплікація може чудово використовуватися в багатьох контекстах, напр., математичних, коли при цьому не забувають про неї специфічних особливостях. У деяких випадках саме контекст не дозволяє трактувати умовний союз як матеріальну імплікацію, припускаючи взаємозв'язок висловлювань. Для аналізу таких контекстів доводиться будувати спеціальні некласичні логіки, напр., релевантні (див. Релевантна логіка), в мову яких замість матеріальної імплікації (або поряд з нею) вводяться інші імплікації, які розуміються інтенсивно (змістовно) і вірність яких не може бути обґрунтована істинно-функціонально. Інтенсійно можуть трактуватися інші логічні зв'язки.

Визначення. Під висловлюваннямприйнято розуміти мовну пропозицію, про яку має сенс говорити, що вона істинна чи хибна в Наразічасу.

Висловлювання найчастіше позначають маленькими латинськими літерами a, b, c, х1, х2, …

У логіці висловлювань цікавляться не змістом, а істинністю чи хибністю висловлювань. Істиннісні значення - істина і брехня - будемо позначати І і Л відповідно. Безліч (І, Л) називається безліччю істиннісних значень.

Визначення. Висловлювання називають простим(Елементарним), якщо воно розглядається як якесь неподільне ціле (аналогічно елементу множини). Складним(Складним) називається висловлювання, складене з простих за допомогою логічних зв'язок.

У природній мові роль зв'язок при складанні складних пропозиційз простих грають такі граматичні засоби: Спілки «і», «або», «ні»; слова «якщо …, те», «чи … чи», «і тоді, коли» та інших. У логіці висловлювань логічні зв'язки, використовувані упорядкування складних висловлювань, би мало бути визначено точно. Розглянемо логічні зв'язки (операції) над висловлюваннями, у яких істиннісні значення складових висловлювань визначаються лише істинними значеннями складових висловлювань, а чи не їх змістом.

Надалі значенням «істина» ставитимемо у відповідність 1 , А «брехня» - 0 . Кожен логічної операціїставиться у відповідність таблиця істинності . Таблиця істинності висловлює значення істинності висловлювань залежно від значень елементарних висловлювань. Надалі буде використовувати таблицю істинності для встановлення істиннісних значень складних висловлювань при даних значеннях елементарних висловлювань, що входять до нього.

Визначення. Запереченнямвисловлювання є нове висловлювання, істинне лише тоді, коли вихідне висловлювання хибне (табл. 2.13).

Таблиця 2.1 Таблиця істинності для заперечення

Заперечення позначається через і читається як «не а», «Невірно, що а».

приклад 15.

А- "Степан любить танцювати".

Тоді — «Не так, що Степан любить танцювати».

Визначення. Кон'юнкцієюдвох висловлювань є нове висловлювання, яке істинне лише тоді, коли обидва вихідні висловлювання істинні (табл. 2.2).

Кон'юнкція позначається або a&bі читається як « aі b», « a, але b», « a, а b».

Таблиця 2.2 Таблиця істинності для кон'юнкції

Приклад 16

а –«Степан любить танцювати», b– «Степан любить співати».

Тоді – «Степан любить танцювати та співати».

Визначення. диз'юнкцієюдвох висловлювань є нове висловлювання, яке хибне тільки тоді, коли обидва вихідні висловлювання хибні (табл. 2.3).

Диз'юнкція позначається через і читається як « aабо b».

Таблиця 2.3 Таблиця істинності для диз'юнкції

Приклад 17

а –«Степан любить танцювати», b– «Степан любить співати».

Тоді – «Степан любить танцювати чи співати».

Визначення. Імплікацієюдвох висловлювань є нове висловлювання, яке є хибним лише тоді, коли перше істинно, а друге – хибне (табл. 2.4).

Імплікація позначається a® bі читається як «якщо a, то b»; « з а випливаєb». При цьому aназивається посилкою або умовою, b- Наслідком або висновком.

Таблиця 2.4 Таблиця істинності для імплікації

приклад 18.

а –«Степан любить танцювати», b– «Степан любить співати».

Тоді – «Якщо Степан любить танцювати, то він любить співати».

Визначення.

Еквівалентністю (або еквівалентністю)двох висловлювань є нове висловлювання, яке вважається істинним, коли обидва висловлювання або одночасно істинні, або одночасно помилкові, і помилковим у всіх інших випадках (табл. 2.5).

Таблиця 2.5 Таблиця істинності для еквівалентності

Еквівалентність позначається a» bі читається як « a еквівалентноb».

Приклад 19.

а –«Степан любить танцювати», b– «Степан любить співати».

Тоді — «Щоб Степан любив танцювати, необхідно й достатньо, щоб він любив співати».

Зведемо все сказане вище в єдину таблицю і введемо до розгляду ще три операції: сума за модулем два, штрих Шеффера, стрілка Пірса (табл. 2.6).

Таблиця 2.6 Короткі відомостіпро логічні операції

Щоб закласти основу для нечіткої логіки, необхідно розширити зміст таких логічних операцій, як заперечення, диз'юнкція, кон'юнкція та імплікація стосовно висловлювань, які мають не числові, а лінгвістичні значення істинності. Інакше кажучи, ми маємо вміти обчислювати значення істинності висловлювання ізнаючи лінгвістичні значенняістинності висловлювань та . При розгляді цієї проблеми корисно мати на увазі, що якщо - нечітке підмножина універсальної множини і два наступних твердження еквівалентні:

Таким чином, питання «Що є значенням істинності висловлювання і, якщо задані лінгвістичні значення істинності та?» аналогічний до питання, яке ми поставили в § 3: «Який ступінь приналежності елемента множині, якщо задані ступеня приналежності елемента множин і ?»

Щоб відповісти на останнє запитання, ми використали принцип узагальнення. Дотримуватимемося тієї ж процедури для узагальнення сенсу заперечення не, а також зв'язок і, абоі тягнестосовно лінгвістичних значень істинності.

Зокрема, якщо - точка в , що представляє значення істинності висловлювання «» (або просто ), де - елемент універсальної множини , то значення істинності висловлювання не(або) визначається виразом

. (6.7)

Припустимо тепер, що - не точка в , а нечітке підмножина інтервалу, подане у вигляді

де - точки в , а - їх ступеня приналежності до множини . Тоді, застосовуючи принцип узагальнення (3.80) до (6.7), отримаємо висловлювання як нечіткого підмножини інтервалу , тобто.

Зокрема, якщо значення істинності є істинно, тобто.

, (6.10)

то значення істинності хибноможна записати у вигляді

. (6.11)

Наприклад, якщо

то значення істинності висловлювання немає вид

Зауваження 6.1. Слід зазначити, що якщо

то згідно (3.33), маємо

Однак якщо

Те саме стосується і лінгвістичних невизначеностей. Наприклад, згідно з визначенням невизначеності дуже(див. (5.38)),

З іншого боку, значення істинності висловлювання дужеодно

Перейдемо до бінарних зв'язків. Нехай і – лінгвістичні значення істинності висловлювань і відповідно. Для простоти будемо користуватися тими ж позначеннями, що і у випадку, коли і точки в:

маючи при цьому на увазі, що у випадку, коли і - точки в , операції , і зводяться до операцій min (кон'юнкція), max (диз'юнкція) та віднімання з одиниці відповідно.

де і - точки в , а і - відповідні їм ступеня належності множин і , то, застосовуючи принцип узагальнення до , отримаємо

Таким чином, значення істинності висловлювання іє нечітке підмножина інтервалу, носій якого складається з точок виду

з відповідними ступенями приналежності. Зазначимо, що вираз (6.25) еквівалентний виразу (3.107) для функції приналежності перетину нечітких множин, що мають нечіткі функціїприладдя.

Приклад 6.2.Припустимо, що

Тоді, використовуючи (6.25), отримуємо

(6.28)

Аналогічно для значення істинності висловлювання абоотримаємо

(6.29)

Значення істинності висловлювання залежить від цього, як визначено зв'язка для числових значень істинності. Так, якщо для випадку, коли і - точки в , ми покладемо (див. (8.24))

то, застосувавши принцип узагальнення, отримаємо (див. зауваження 3.20)

(6.31)

для випадку, коли і - нечіткі підмножини інтервалу .

Зауваження 6.3. Важливо чітко розуміти різницю між зв'язкою іу термі, скажімо, істиннийі не дуже істиннийта символом у висловленні істинний не істинний. У першому випадку нас цікавить сенс терму істинний і неправдивий, і зв'язка івизначається ставленням

(6.32)

де – сенс терму (див. визначення 5.1). Навпаки, у разі терму істинний не істиннийнас переважно цікавить значення істинності висловлювання істинний не істинний, що виходить з рівності (див. (6.19))

Таким чином, у (6.32) символ позначає операцію перетину нечітких множин, а (6.33) символ позначає операцію кон'юнкції. Проілюструємо цю відмінність на простому прикладі. Нехай , а і - нечіткі підмножини множини , що визначаються таким чином:

в той час як

Зазначимо, що така ж відмінність має місце і у разі заперечення нета операції, як зазначалося у зауваженні 6.1.

Зауваження 6.4. Слід зазначити, що, застосовуючи принцип узагальнення (3.96) до обчислення значень , і ми мовчазно припускали, що і - невзаємодіючі нечіткі змінні у сенсі зауваження 3.20. Якщо і - взаємодіючі змінні, необхідно застосовувати принцип узагальнення над формі (3.96), а формі (3.97). Цікаво зауважити, що питання про можливу взаємодію між і виникає навіть у тому випадку, коли і - точки в , а не нечіткі змінні.

Зауваження 6.5. Застосовуючи принцип узагальнення з метою визначення операцій , і стосовно лінгвістичних значень істинності, ми по суті розглядаємо нечітку логіку як узагальнення багатозначної логіки. У такому ж сенсі можна розглядати класичну тризначну логіку як узагальнення двозначної логіки (див. (6.64))., від 0 до 1. хибний, можна зробити висновок, що

що узгоджується з (6.25).