Математична логіка кон'юнкції. Основи математичної логіки
МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ РОСІЙСЬКОЇ ФЕДЕРАЦІЇ
Федеральне державне бюджетне освітня установавищої професійної освіти
«ЛИПЕЦЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ ПЕДАГОГІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ»
Факультет фізико-математичних та комп'ютерних наук
Кафедра математики
Контрольна роботана тему:
"Історія розвитку математичної логіки"
Виконала:
Студентка 2 курсу
групи МФ-2
Понамарьова Вікторія Сергіївна
Науковий керівник:
к. ф.-м. н., доцент
Єршова Олександра Олексіївна
Липецьк, 2014
Вступ
§1. Історія виникнення математичної логіки
§2. Застосування математичної логіки
§3. Математична логіка у техніці
§4. Математична логіка у криптографії
§5. Математична логіка у програмуванні
Висновок
Список використаної літератури
математичне позначеннякриптографія логіка програмування
Вступ
Логіка<#"center">§1. Історія виникнення математичної логіки
Математична логіка тісно пов'язана з логікою та завдячує їй своїм виникненням. Основи логіки, науки про закони та форми людського мислення (звідси одна з її назв - формальна логіка), були закладені найбільшим давньогрецьким філософом Аристотелем (384-322 рр. до н. е.), який у своїх трактатах досліджував докладно термінологію логіки. розібрав теорію умовиводів і доказів, описав ряд логічних операцій, сформулював основні закони мислення, зокрема закони протиріччя та виключення третього. Внесок Арістотеля в логіку дуже великий, недарма інша її назва - Арістотельова логіка. Ще сам Аристотель зауважив, що між створеною ним наукою та математикою (тоді вона називалася арифметикою) багато спільного. Він намагався поєднати ці дві науки, а саме звести міркування, або, вірніше, висновок, до обчислення на підставі вихідних положень. В одному зі своїх трактатів Арістотель впритул наблизився до одного з розділів математичної логіки – теорії доказів.
Надалі багато філософів і математиків розвивали окремі положення логіки і іноді навіть намічали контури сучасного обчислення висловлювань, але найближче до створення математичної логіки підійшов вже в другій половині XVII століття видатний німецький вчений Готфрід Вільгельм Лейбніц (1646 - 1716), що вказав шляхи «Зі словесного царства, повного невизначеностей, в царство математики, де відносини між об'єктами або висловлюваннями визначаються точно» . Лейбніц сподівався навіть, що в майбутньому філософи, замість безплідно сперечатися, братимуть папір і обчислюватимуть, хто з них правий. При цьому у своїх роботах Лейбніц торкався і двійкової системи числення.
Слід зазначити, що ідея використання двох символів для кодування інформації дуже стара. Австралійські аборигени вважали двійками, деякі племена мисливців-збирачів Нової Гвінеї та Південної Америкитеж користувалися двійковою системою рахунку. У деяких африканських племенах передають повідомлення з допомогою барабанів як комбінацій дзвінких і глухих ударів. Знайомий всім приклад двосимвольного кодування - абетка Морзе, де літери алфавіту представлені певними поєднаннями точок та тире.
Після Лейбніца дослідження в цій галузі вели багато видатних учених, проте справжній успіх прийшов тут до англійського математика-самоучки Джорджа Буля (1815-1864), цілеспрямованість якого не знала кордонів. Матеріальне становище батьків Джорджа (батько якого був шевським майстром) дозволило йому закінчити лише початкову школу для бідняків. Згодом Буль, змінивши кілька професій, відкрив маленьку школу, де сам викладав. Він багато часу приділяв самоосвіті і незабаром захопився ідеями символічної логіки. В 1847 Буль опублікував статтю « Математичний аналізлогіки, або Досвід обчислення дедуктивних висновків», а в 1854 з'явився головний його працю «Дослідження законів мислення, на яких засновані математичні теорії логіки та ймовірностей».
Буль винайшов своєрідну алгебру - систему позначень і правил, що застосовується до різноманітних об'єктів, від чисел та букв до речень. Користуючись цією системою, він міг закодувати висловлювання (ствердження, істинність чи хибність яких потрібно довести) за допомогою символів своєї мови, а потім маніпулювати ними, подібно до того, як у математиці маніпулюють числами. Основними операціями булевої алгебриє кон'юнкція (І), диз'юнкція (АБО) та заперечення (НЕ).
Через деякий час стало зрозуміло, що система Буля добре підходить для опису електричних схем перемикання. Струм у ланцюгу може або протікати, або бути відсутнім, подібно до того, як твердження може бути або істинним, або помилковим. А ще через кілька десятиліть, уже в XX столітті, вчені об'єднали створений Джорджем Булем математичний апарат із двійковою системою числення, заклавши тим самим основи для розробки цифрового електронного комп'ютера.
Окремі положення робіт Буля тією чи іншою мірою торкалися і до, і після нього іншими математиками та логіками. Однак сьогодні в цій галузі саме праці Джорджа Буля зараховуються до математичної класики, а сам він по праву вважається засновником математичної логіки і тим більше найважливіших її розділів – алгебри логіки (бульової алгебри) та алгебри висловлювань.
Великий внесок у розвиток логіки зробили і російські вчені П.С. Порецький (1846-1907), І.І. Жегалкін (1869-1947).
У XX столітті величезну роль розвитку математичної логіки зіграв Д. Гільберт (1862-1943), який запропонував програму формалізації математики, пов'язану з розробкою підстав самої математики. Нарешті, в останні десятиліття XX століття бурхливий розвиток математичної логіки було зумовлено розвитком теорії алгоритмів та алгоритмічних мов, теорії автоматів, теорії графів (С.К. Кліні, А. Черч, А.А Марков, П.С. Новіков, Гегель та багато інших).
Гегель (1770-1831) дуже іронічно відгукувався закон протиріччя і закон виключеного третього. Останній він представляв, зокрема, у такій формі: "Дух є зеленим або не є зеленим", і ставив "підступне" питання: яке з цих двох тверджень істинно? Відповідь це питання не становить, проте, труднощів. Жоден із двох тверджень: "Дух зелений" і "Дух не зелений" не є істинним, оскільки обидва вони безглузді. Закон виключеного третього докладемо лише до осмислених висловлювань. Тільки вони можуть бути істинними чи хибними. Безглузде ж не істинно і хибно. Гегелівська критика логічних законів спиралася, як це нерідко буває, на надання їм того сенсу, якого вони не мають, і приписування їм тих функцій, яких вони не мають відношення. Випадок із критикою закону виключеного третього – один із прикладів такого підходу. Критика закону виключеного третього (Л.Бауер) призвела до створення нового напряму у логіці – інтуїціоністської логіки. В останній не приймається цей закон і відкидаються всі способи міркування, які з ним пов'язані. Серед відкинутих, наприклад, виявляється доказ шляхом приведення до суперечності чи абсурду.
Звертаю увагу на суть будь-якої критики законів формальної логіки: всі прихильники концепції "розширення" формальної логіки зрушують центр тяжкості логічних досліджень із вивчення правильних способів міркування на розробку будь-яких конкретних проблем: теорії пізнання, причинності, індукції тощо. У логіку вводяться теми, цікаві й важливі власними силами, але мають стосунки до власне формальної логіки, як до набору прийомів правильного мислення. Закон виключеного третього, не розглядаючи самих протиріч, забороняє визнавати одночасно істинним або водночас хибним два суперечать другдругий судження. У цьому полягає його сенс.
Висновок: не можна ухилятися від визнання істинним одного з двох, що суперечать один одному, висловлюй і шукати щось третє між ними.
Результат застосування: досягається однозначність логічного мислення.
Четвертий закон - закон достатньої підстави
Формулювання: всяка справжня думка має достатню основу.
Коментар: Цей закон фактично заявляє те, що всі думки, які можна пояснити, вважаються істинними, а ті які пояснити не можна - хибними. У логіці висловлювань цей закон формули немає, оскільки він має змістовний характер. На цьому варто зупинитися докладніше:
Достатньою, тобто дійсною, невигаданою основою наших думок може бути індивідуальна практика. Справді, істинність деяких суджень підтверджується шляхом їхнього безпосереднього зіставлення з фактами дійсності (Приклад: "[Істинно, що] йде дощ", "[Є брехнею те, що]Я був у Акапулько"). Але особистий досвід обмежений. Тож у реальної діяльності завжди доводиться спиратися досвід інших людей. Завдяки розвитку наукових знань суб'єкт використовує як підстави своїх думок досвід попередників, закріплений у законах і аксіомах науки, у принципах і положеннях, що існують у будь-якій галузі людської діяльності. Для підтвердження будь-якого окремого випадку немає необхідності звертатися до його практичної перевірки, доводити його за допомогою особистого досвіду. Якщо, наприклад, мені відомий закон Архімеда, то зовсім не обов'язково шукати ванну з водою, щоб, помістивши туди предмет, з'ясувати, скільки він втратив у вазі. Закон Архімеда буде достатньою підставою для підтвердження цього окремого випадку.
Метою науки не лише здобування знання, а й його передача. Саме тому неприпустимі жодні логічні огріхи у формальному поданні вже здобутого знання. Таким чином – знання має бути логічно контрольованим. Саме це оптимально для його збереження, передачі та розвитку. І саме тому наукове знання, як сукупність вже доведених логічних речень, може бути основою наступних доказових міркувань.
Закон достатньої підстави фактично зводиться до наступної вимоги: "будь-яке судження, перш ніж бути прийнятим за істину, має бути обґрунтовано". Таким чином, із цього закону випливає, що при правильному міркуванні ніщо не повинно прийматися просто так, на віру. У кожному разі кожного твердження слід зазначати підстави, з яких воно вважається істинним. Як бачимо - закон достатньої підстави спочатку виступає, як методологічний принцип, Що забезпечує здатність мислення постачати підстави для подальших міркувань. Адже все, що вже доведено коректно, можна покласти в основу наступним доказам.
Висновок: достатньою підставою будь-якої думки може бути будь-яка інша, вже перевірена і визнана істинною думка, з якої випливає істинність цієї думки.
Результат застосування: Закон забезпечує обґрунтованість мислення. В усіх випадках, коли ми стверджуємо щось, ми маємо довести свою правоту, тобто. навести достатні підстави, що підтверджують істинність наших думок.
§2. Застосування математичної логіки
Об'єднання математико-логічної установки з іншими математичними підходами, передусім з вероятностно-статистическими ідеями і методами - і натомість глибокого інтересу до обчислювальних приладів, - багато в чому визначальним у формуванні задуму кібернетики, як комплексного наукового напрями, має своїм предметом процеси.
У ряді випадків використовують технічний апарат математичної логіки (синтез релейно-контактних схем); Понад те, що особливо важливо, ідеї математичної логіки це, звичайно ж, в теорії алгоритмів, але також і всієї науки в цілому і властивий їй стиль мислення надали і продовжують дуже великий впливна ті своєрідні сфери діяльності, змістом яких є автоматична переробка інформації (інформатика), використання в криптографії та автоматизація процесів управління (кібернетика).
Інформатика – це наука, яка вивчає комп'ютер, а також взаємодію комп'ютера з людиною.
Будівництво логічних машин – цікава глава історії логіки та кібернетики. У ній відображені перші проекти створення штучного розуму та перші суперечки щодо можливості цього. Ідея логічних машин з'явилася в 13 столітті в іспанського схоластика Раймунда Луллія, розглядалася потім Лейбніцем і набула нового розвитку в 19 столітті, після виникнення математичної логіки. У 1870 році англійський філософ та економіст Вільям Стенлі Джевонс побудував у Манчестері логічне піаніно , яке витягало з записів алгебри посилок слідства, виділяючи допустимі комбінації термінів. Це називають також розкладанням висловлювань конституанти. Важливо відзначити можливість практичного застосуваннялогічної машини для вирішення складних логічних завдань.
Сучасні універсальні обчислювальні машини є водночас логічними машинами. Саме запровадження логічних операцій зробило їх такими гнучкими; воно ж дозволяє їм моделювати міркування. Таким чином, арифметична гілка розумних автоматів поєдналися з логічною. У 20-ті роки, однак, формальна логіка здавалася надто абстрактною про метафізичну для додатку до життя. Тим часом, вже тоді можна було передбачити впровадження логічних обчислень у техніку.
Математична логіка полегшує механізацію розумової праці. Нинішні машини виконують набагато складніші логічні операції, ніж скромні прототипи початку століття.
Проблема штучного розуму складна та багатогранна. Ймовірно, не помилимося, якщо скажемо, що остаточні межі механізації думки можна встановити лише експериментальним шляхом. Зауважимо ще, що у сучасної кібернетики обговорюється можливість моделювання як формальних, а й змістовних розумових процесів.
§3.Математичналогікавтехніці
Роль логічної обробки бінарних даних на сучасному етапірозвитку обчислювальної технікизначно зросла. Це пов'язано, насамперед, зі створенням технічних систем. реалізують у тому чи іншому вигляді технології отримання та накопичення знань, моделювання окремих інтелектуальних функцій людини. Ядром таких систем є потужні ЕОМ та обчислювальні комплекси. Крім того, існує великий класприкладних завдань, які можна звести до розв'язання логічних задач, наприклад, обробка та синтез зображень, транспортні задачі. Необхідна продуктивність обчислювальних засобів досягається шляхом розпаралелювання та конвеєризації обчислювальних процесів. Це реалізується, як правило, на основі надвеликих інтегральних схем (НВІС). Однак технологія НВІС та їх структура пред'являє низку специфічних вимог до алгоритмів, а саме: регулярність, паралельно - потокова організація обчислень, надлінійна операційна складність (багаторазове використання кожного елемента вхідних даних), локальність зв'язків обчислень, двомірність простору реалізації обчислень. Ці вимоги зумовлюють необхідність вирішення проблеми ефективного занурення алгоритму в обчислювальне середовище, або, як заведено говорити, - відображення алгоритму в архітектуру обчислювальних засобів. Нині доведено помилковість раніше поширених поглядів, які у тому, що перехід на паралельно-конвеєрні архітектури ЕОМ вимагатимуть лише невеликий модифікації відомих алгоритмів. Виявилося, що паралелізм і конвеєризація обчислювальних процесів потребує розробки нових алгоритмів навіть для тих завдань, для яких існували добре вивчені та апробовані методи та алгоритми вирішення, але орієнтовані на послідовний принцип реалізації. За прогнозами фахівців, найближчим десятиліттям слід очікувати появи нових концепцій побудови обчислювальних засобів. Підставою для прогнозів є результати проведених нині перспективних досліджень, зокрема, в галузі біочипів та органічних перемикаючих елементів. Деякі напрями ставлять за мету створення схем у вигляді шарів органічних молекул і плівок з високорозвиненою структурою. Це дозволить, на думку дослідників, вирощувати комп'ютери на основі генної інженеріїта посилити аналогію між елементами технічних системта клітинами мозку. Тим самим реальні обриси набувають нейрокомп'ютерів, які імітують інтелектуальні функції біологічних об'єктів, у тому числі людини. Очевидно, молекулярна електроніка стане основою створення ЕОМ шостого покоління. Все це об'єктивно зумовлює інтенсивні роботи з методів синтезів алгоритмів обробки логічних даних та їх ефективного занурення в операційне середовище бінарних елементів. Очевидно, що бінарні елементи та бінарні дані найбільш повно відповідають один одному в плані представлення та обробки останніх на таких елементах, якщо їх розглядати окремо. Справді, наприклад, алгебра логіки над числами (0,1) реалізується на бінарному елементі повному використаннійого операційний ресурс. Іншими словами, порушується питання про ефективність, а іноді взагалі можливості реалізації даного алгоритму на такій мережі (структурі). У цьому полягає суть занурення алгоритму структуру.
§4. Математична логіка у криптографії
Криптографія вивчає методи пересилання повідомлень у замаскованому вигляді, за яких лише намічені відправником одержувачі можуть видалити маскування та прочитати повідомлення. Загальна схемазахисту інформації представлена на малюнку 2. Етап кодування від помилок заснований на внесенні до повідомлення, що передаєтьсянадлишку інформації, достатньої подолання перешкод лінії зв'язку. Наприклад, припустимо, передається послідовність символів типу 0і 1. При цьому в мережі зв'язку з певною ймовірністю можуть відбуватися помилки прийому сигналу 0 замість сигналу 1або навпаки, тоді кодер на кожен символ ai повідомлення передає п'ятьма імпульсами 00000 якщо ai -0 і навпаки. На приймальному кінці послідовність імпульсів, що приймається, розбивається по п'ять імпульсів, звана блоками. Якщо прийнятому блоці міститься 2 і менше імпульсу 0, то приймається рішення про те, що передавався символ ai-1. Таким чином, вихідна ймовірність помилки буде значно знижена. Елегантніші методи кодування, які при достатньої надійності дозволяють вносити не такий великий надлишок інформації. Для вираження інформації потрібно ввести деякий алфавіт, з якого складатиметься повідомлення (кінцеві впорядковані множини з цих символів). Позначимо через A – потужність обраного алфавіту. Будемо також вважати, що всі множини інформації або, що те саме, безліч всіляких повідомлень звичайно. Як міра інформації в повідомленні даної довжини можна взяти log 2від числа всіляких повідомлень звісно. Тоді обсяг інформації, що падає на символ алфавіту X=log 2a. Далі маємо справу зі словами довгою S, тоді всього таких слів буде N=AS (декартова S- ступінь алфавіту), а отже, кількість інформації в слові Y=Log 2N=Log 2As = SX. Левову частку криптоаналізу становлять методи, побудовані на ймовірнісному аналізі криптограми та пропонованої вихідної мови. Оскільки будь-яка звичайна мова має надлишок інформації, причому нерівномірно розміщених у словах, то літери алфавіту цієї мови можуть мати стійкі приватні характеристики. Наприклад, в англійській мові- це літера, що часто повторює e Крім того, частотними характеристиками можуть бути буквосполучення та їх комбінації. Загальна схема криптосистеми з секретним ключем зображена малюнку 3. Тут Х - відкритий текст, Y- шифр тексту, K - ключ шифру, R - рандомизирующая послідовність.
§5.Математичналогікавпрограмування
Функція одного аргументу - це правило, що ставить відповідність будь-якому значенню, що лежить в області зміни цього аргументу (яка буде і областю визначення цієї функції), іншу величину, що лежить в області значень функції.
Поняття функції було перенесено до мов програмування. У мові програмування, зазвичай, передбачено ряд вбудованих функцій, наприклад sin, cos, sqrt тощо. Крім того, програміст має можливість визначати свої власні функції. Вони можуть працювати не тільки з речовими числами, Але й з різними типами даних, що включають зазвичай integer (ціле), real (речове), boolean (булевское), character (рядкове). Вони можуть працювати зі структурами. У мовах Паскаль, Алгол=68 і ПЛ/1 є, наприклад, типи records (записи), arrays (масиви), lists (списки), files of records (файли, що з записів), а значеннями функцій може бути покажчики цих структур . Усе це узгоджено з поняттям області визначення, поза якою функцію не визначено. У мовах програмування ця область задана зазвичай вказівкою типу даних, що є деяким безліччю величин. Так, у Паскалі компілятор повинен стежити за тим, щоб жодна функція не застосовувалася до величини невідповідного типу, яка могла б вийти за межі області визначення функції.
Функція багатьох аргументів. Тепер потрібно узагальнити визначення, щоб охопити функції багатьох аргументів. Для цього зберемо n аргументів упорядкований набір, який розглядатимемо як один аргумент. Візьмемо функцію віднімання diff(x.y). Трактується її як відображення пар<х,у>у цілі числа. У вигляді безлічі впорядкованих пар її можна записати так: diff = (<<5,3>, 2>. <<6,3>, 3>, <<4,5>, -1>...) Якби натомість у нас була функція чотирьох аргументів h(x,y,z,w), то використали б відображення, визначене на четвірках
Висновок
Математична логіка чимало сприяла бурхливому розвитку інформаційні технологіїу XX столітті, але з її поля зору випало поняття "судження", яке з'явилося у логіці ще за часів Аристотеля і на якому, як на фундаменті, тримається логічна основа природної мови. Таке недогляд аж ніяк не сприяло розвитку логічної культури суспільства і в багатьох навіть породило ілюзію, що комп'ютери здатні мислити не гірше за саму людину. Багатьох навіть не бентежить та обставина, що на тлі загальної комп'ютеризації напередодні третього тисячоліття логічні безглуздості в межах самої науки (я вже не говорю про політику, законотворчу діяльність і про псевдонауку) зустрічаються навіть частіше, ніж у наприкінці XIXстоліття. І для того, щоб зрозуміти суть цих безглуздостей, немає необхідності звертатися до складних математичних структур з багатомісними відносинами та рекурсивними функціями, що застосовуються у математичній логіці. Виявляється, для розуміння та аналізу цих безглуздостей цілком достатньо застосувати набагато простішу. математичну структурусудження, яка не тільки не суперечить математичним основам сучасної логіки, але в чомусь доповнює та розширює їх.
Список використаної літератури
1. Ігошин, В.І. Математична логіка та теорія алгоритмів [Текст]/В.І. Ігошин. – М.: Академія, 2008. – 448 с.; з іл.
Стяжкін, Н.І. Формування математичної логіки [Текст]/Н.І. Стяжкін. – М.: Наука, 1967. – 508 с.; з іл.
Марков, А.А. Елементи математичної логіки [Текст]/А.А. Марків. – М.: МДУ, 2004. – 310 с.; з іл.
Каррі, Х.Б. Підстави математичної логіки [Текст] / Х.Б. Каррі. - М: Мир, 1969. - 568 с.; з іл.
Репетиторство
Потрібна допомога з вивчення якоїсь теми?
Наші фахівці проконсультують або нададуть репетиторські послуги з цікавої для вас тематики.
Надішліть заявкуіз зазначенням теми прямо зараз, щоб дізнатися про можливість отримання консультації.
Математична логіка, як і класична логіка, досліджує процеси висновків і дозволяє з істинності одних суджень робити висновки про істинність чи хибність інших, незалежно від їх конкретного змісту. Використання в логіці математичних методів (алгебраїзація логіки та побудова логічних обчислень) дало початок розвитку нової галузі математики, яка називається «Математичною логікою». Основне завдання математичної логіки - формалізація знань та міркувань. Математика є наукою, в якій всі твердження доводяться за допомогою висновків, тому математична логіка по суті – наука про математику.
Математична логіка дала кошти на побудови логічних теорій і обчислювальний апарат на вирішення завдань. Математична логіка і теорія алгоритмів знайшли широке застосування різних областяхнаукових досліджень та техніки (наприклад, у теорії автоматів, у лінгвістиці, у теорії релейно-контактних схем, в економічних дослідженнях, у обчислювальній техніці, в інформаційних системах та ін.). Основні поняття математичної логіки лежать в основі таких її програм, як бази даних, експертні системи, системи логічного програмування Ці ж поняття стають методологічною основою опису аналізу та моделювання автоматизованих інтегрованих виробництв.
Питання, що досліджуються математичною логікою, можуть розглядатися як засобами семантичної (смислової) теорії, в основі якої лежить поняття алгебри, так і формально-аксіоматичної (синтаксичної) теорії, що базується на понятті логічного обчислення. В даному курсі розглядаються обидва ці підходи, почавши з алгебри висловлювань, яка потім узагальнюється алгеброю предикатів, і обидві вони служать розумінню побудови логічних обчислень та їх окремих випадків: обчислення висловлювань і обчислення предикатів.
Розділ I. Алгебра висловлювань
Алгебру висловлювань можна розглядати як переклад на іншу (алгебраїчну) мову результатів, вивчених у розділі «Булеві функції», що використовує функціональну мову. При функціональному підході кожної з логічних операцій та формул зіставляється певна двозначна функція. При алгебраїчному підході логічні операції інтерпретують як алгебраїчні, що діють на множині двох елементів.
1. Висловлювання та операції з них. Формули
Висловлюванням називається всяке твердження, про яке можна цілком виразно і об'єктивно сказати істинно воно чи хибно.
Наприклад, твердження "2> 0" є висловлюванням і воно істинне, а твердження "2< 0" - ложно, утверждение "x 2 + y 2 = z 2 " высказыванием не является, так как оно может быть, как истинным, так и ложным при различных значениях переменных x, y, z. Высказывание полностью определяется своим истинностным значением. Условимся, значение истинности высказывания обозначать 1, если высказывание истинно, и 0, если высказывание ложно, что в точности соответствует значениям переменных булевых функций.
Розрізняють висловлювання прості та складні, висловлювання називається простим, якщо ніяка його частина не є висловлюванням. Прості висловлювання будемо позначати початковими великими літерами латинського алфавіту A, B, C або A1, A2,. . .. Складні висловлювання характеризуються тим, що утворені з кількох простих висловлювань з допомогою логічних операцій, тобто. є формулами алгебри висловлювань.
Нагадаємо, що структурою алгебри або алгеброю називається структура, утворена деяким безліччю разом з введеними на ньому операціями. Визначимо алгебру висловлювань.
Позначимо через B = (0, 1) – безліч висловлювань. Визначимо операції на множині B .
Запереченням висловлювання A називається висловлювання, яке набуває значення істина, якщо A хибно, і навпаки. Заперечення позначається (А) і є унарною операцією.
Нехай А і В – деякі висловлювання, введемо бінарні операції з них.
Кон'юнкцією
висловлювань A і B називається висловлювання, яке набуває значення істина тоді і тільки тоді, коли істинні обидва висловлювання A і B. Позначається кон'юнкція - A 
B (АВ).
диз'юнкцією
висловлювань A і B називається висловлювання, яке набуває значення істина, якщо істинно хоча б одне з висловлювань A або B. Позначається диз'юнкція - A 
B.
Імплікацією висловлювань A і B називається висловлювання, яке набуває значення брехня тоді і лише тоді, коли A істинно, а B хибно. Позначається АВ.
Еквіваленцією висловлювань A і B називається висловлювання, яке набуває значення істина тоді і лише тоді, коли висловлювання A та B мають однакові значення. Позначення операції - АВ (АВ).
Логічні операції визначаються також за допомогою таблиць, званих таблицями істинності . Наведемо зведену таблицю істинності всім введених логічних операцій.
Пропозиційної (висловної) змінної називається змінна, значеннями якої є прості висловлювання. Позначимо висловні змінні через X 1 , X 2 , . . . , X n .
Поняття формули алгебри висловлювань запроваджується по індукції. Формулами алгебри висловлювань є:
1) логічні константи 0 та 1;
2) пропозиційні змінні;
3) якщо Аі В –формули, то кожен із виразів ( а), (а) (У), (а) (У), (а) (У), (А) ~ (У) є формула;
4) інших формул, крім побудованих за пп. 1) – 3), ні.
Позначимо через M - безліч всіх формул алгебри висловлювань, M є замкнутим щодо логічних операцій.
Для формули, побудованої за п. 3 формули Aі Bназиваються підформули. Число дужок у формулі можна скоротити, порядок виконання операцій у формулі визначається їх пріоритетом. Список логічних операцій у порядку зменшення пріоритету: 
~. Зміна порядку виконання операцій, як і в операціях алгебри, проводиться за допомогою круглих дужок.
Нехай U - Формула над висловлювальними змінними X 1 , X 2 , . . . , X n, позначається U(X 1 , X 2 , . . . , X n). Набір конкретних значень виразних змінних X 1 , X 2 , . . . , X nназивається інтерпретацією формули Uі позначається I(U).
Формула називається здійсненною якщо існує такий набір значень змінних, при яких ця формула набуває значення 1 (існує інтерпретація I(U), де формула істинна).
Формула називається спростованою якщо існує такий набір значень змінних, при яких ця формула набуває значення 0 (існує інтерпретація I(U), на якій формула хибна).
Формула називається тотожно істинною (ТІ-формулою) або тавтологією , якщо ця формула набуває значення 1 при всіх наборах змінних змін (формула істинна на всіх інтерпретаціях).
Формула називається тотожно хибний (ТЛ-формулою) або протиріччям , якщо ця формула набуває значення 0 при всіх наборах змінних значень (формула помилкова на всіх інтерпретаціях).
Формули Аі Уназиваються еквівалентними (позначається А У), якщо при будь-яких значеннях висловних змінних значення формули Азбігається зі значенням формули У.
Завдання визначення еквівалентності, здійсненності, спростуваності, тотожної істинності та хибності формул можуть вирішуватися за допомогою побудови таблиць істинності, проте існують менш громіздкі способи вирішення цих завдань.
Інші розділи
МАТЕМАТИЧНА ЛОГІКА,
дедуктивна логіка, що включає математичні методи дослідження способів міркувань (висновків); математична теорія дедуктивних методів міркувань. Математичною логікою називають також логіку, якою користуються в математиці.
Важливу роль математичної логіці грають поняття дедуктивної теорії та обчислення.Обчисленням
називається сукупність правил виведення, що дозволяють вважати деякі формули, що виводяться. Правила виведення поділяються на два класи. Одні їх безпосередньо кваліфікують деякі формули як виведені. Такі правила висновку прийнято називатиаксіомами . Інші дозволяють вважати виведеними формули, синтаксично пов'язані деяким заздалегідь визначеним способом з кінцевими наборами формул, що виводяться. Широко застосовуваним правилом другого типу є правило modus ponens: якщо виводиться формула і, то виводиться і формула.
Ставлення обчислень до семантики виражається поняттями семантичної придатності та семантичної повноти обчислення. Обчислення І називається семантично придатним для мови Я, якщо будь-яка виводиться в І формула мови Я є вірною. Аналогічно, обчислення І називається семантично повним у мові Я, якщо будь-яка вірна формула мови Я виводиться в І.
Математична логіка вивчає логічні зв'язки та відносини, що лежать в основі логічного (дедуктивного) висновку, з використанням мови математики.
Багато з мов, що розглядаються в математичній логіці, мають семантично повні і семантично придатні обчислення. Зокрема, відомий результат К. Геделя про те, що так зване класичне літочислення предикатів є семантично повним та семантично придатним для мови класичної логіки предикатів першого порядку. З іншого боку, є чимало мов, для яких побудова семантично повного та семантично придатного обчислення неможлива. У цій галузі класичним результатом є теорема Геделя про неповноту, що стверджує неможливість семантично повного та семантично придатного обчислення для мови формальної арифметики.
На практиці безліч елементарних логічних операцій є обов'язковою частиною набору інструкцій всіх сучасних мікропроцесорів і відповідно входить до мов програмування. Це є одним із найважливіших практичних додатків методів математичної логіки, що вивчаються у сучасних підручниках інформатики.
Розділи математичної логіки
Алгебра логіки
Логіка висловлювань
Теорія доказів
Теорія моделей
Логіка висловлювань
(чи пропозиційна логіка від англ. propositional logic, чи обчислення висловлювань) - це формальна теорія, основним об'єктом якої є поняття логічного висловлювання. З погляду виразності, її можна охарактеризувати як класичну логіку нульового порядку.
Незважаючи на свою важливість і широку сферузастосування, логіка висловлювань є найпростішою логікоюта має дуже обмежені засоби для дослідження суджень
Алгебра логіки (алгебра висловлювань) - Розділ математичної логіки, в якому вивчаються логічні операції над висловлюваннями. Найчастіше передбачається, що висловлювання може бути лише істинними чи хибними.
Базовими елементами, якими оперує алгебра логіки, є висловлювання. Висловлювання будуються над безліччю , над елементами якого визначено три операції:
Заперечення (унарна операція),
Кон'юнкція (бінарна),
Диз'юнкція (бінарна),
а також константи - логічний нуль 0 та логічна одиниця 1.
Теорія ймовірності - розділ математики, що вивчає випадкові події їх властивості та операції з них.
У теорії ймовірностей вивчаються, ті випадкові події, які можуть бути відтворені в одних і тих же умовах і такі властивості: в результаті експерименту, за умови S подія A може статися з певною ймовірність p.
Основними поняттями теорії ймовірності є: подія, ймовірність, випадкова подія, випадкове явище, математичне очікування, дисперсія, функція розподілу, імовірнісний простір.
Як наука теорія ймовірностей виникає у середині 17 століття. Перші роботи з'являються у зв'язку з підрахунком ймовірностей в азартних іграх. Досліджуючи прогнозування виграшу при киданні кісток,Блез Паскаль та П'єр ФермаУ своєму листуванні 1654 року відкрили перші ймовірні закономірності. Зокрема в цьому листуванні вони дійшли до поняття математичного очікування і теорем множення та складання ймовірностей. В 1657 ці результати були наведені в книзі Х. Гюйгенса «Про розрахунки в азартних іграх», яка є першим трактатом з теорії ймовірностей.
Великих успіхів у теорії ймовірностей досягнувЯків Бернуллі : він встановив закон великих чисел у найпростішому випадку, сформулював багато понять сучасної теоріїймовірностей. Їм була написана монографія з теорії ймовірностей, яка була видана посмертно в 1713, під назвою «Мистецтво припущень».
У першій половині 19 століття теорія ймовірностей починає застосовуватися теорії помилок спостережень. В цей час були доведенітеорема Муавра - Лапласа (1812) та теорема Пуассона(1837), є першими граничними теоремами. Лаплас розширив та систематизував математичні основи теорії ймовірностей. Гаус і Лежандр розробили метод найменших квадратів.
У другій половині 19 століття більшість відкриттів у теорії ймовірності було зроблено російськими вченимиП. Л. Чебишевимта його учням та А. М. Ляпуновим та А.А Марковим.У 1867 році Чебишев сформулював і досить просто довів закон великих чисел за дуже загальних умовах. У 1887 він же вперше сформулював та запропонував метод вирішення центральної граничної теореми для сум незалежних випадкових величин. У 1901 році ця теорема була доведена Ляпуновим за більш загальних умов. Марков в 1907 році вперше розглянув схему випробувань пов'язаних у ціп, тим самим поклавши основу теорії Марківських ланцюгів. Також він зробив великий внесок у дослідження, що стосуються теорії великих чисел і центральної граничної теореми.
На початку 20 століття відбувається розширення кола застосування теорії ймовірностей, створюються системи строго математичного обґрунтування та нові методи теорії ймовірностей. У цей період завдяки працямАндрія Миколайовича Колмогороватеорії ймовірностей набуває сучасного вигляду.
У 1926 році, будучи аспірантом, Колмогоров отримує необхідні та достатні умови, у яких має місце закон великих чисел. У 1933 у своїй роботі «Основні поняття теорії ймовірностей» Колмогоров запроваджує аксіоматику теорії ймовірностей, яка загальновизнана найкращою.
Математичний апарат теорії ймовірності широко використовується в науці та техніці. Зокрема в астрономії до розрахунку орбіт комет використовується метод найменших квадратів. У медицині в оцінці ефективності методів лікування як і використовується теорія ймовірності.
/
БДЕ Математика /
Дедукція
Пам'ятаєте, Шерлок Холмс постійно стверджував про свої дедуктивні здібності? То що таке дедукція?
Дедукція (лат. deductio - виведення)-
така форма мислення, коли нова думкавиводиться суто логічним шляхомз попередніх думок. Така послідовність думок називається висновком, а кожен компонент цього висновку є раніше доведеною думкою, або аксіомою, або гіпотезою. Остання думка цього висновку називається укладанням.
Дедуктивний висновок, що є предметом традиційної логіки, застосовується нами кожного разу, коли потрібно розглянути якесь явище на підставі вже відомого нам загального стану і вивести щодо цього явища необхідний висновок. Нам відомий, наприклад, такий конкретний факт - “ дана площинаперетинає кулю” і загальне правило щодо всіх площин, що перетинають кулю, - “будь-який переріз кулі площиною є коло”. Застосовуючи це загальне правило до конкретного факту, кожен правильно мисляча людина необхідно дійти одного й тому висновку: “значить дана площина є коло”.
Структура дедуктивного висновку та примусовий характер його правилвідобразили найпоширеніші відносини між предметами матеріального світу: відносини роду, виду та особини, тобто загального, приватного та одиничного: те, що притаманне всім видам даного роду, то властиво і будь-якому виду; те, що притаманне всім особинам роду, то притаманне і кожній особині.
Вперше теорія дедукції була розроблена Аристотелем. Він з'ясував вимоги, яким мають відповідати окремі думки, що входять до складу дедуктивного висновку, визначив значення термінів та розкрив правила деяких видів дедуктивних висновків. Позитивною стороною арістотелівського вчення про дедукцію є те, що в ньому відобразились реальні закономірності об'єктивного світу.
Під терміном “дедукція” у вузькому значенні слова розуміють таке:
1) Метод дослідження, який полягає в наступному: для того, щоб отримати нове знання про предмет або групу однорідних предметів, треба, по-перше знайти найближчий рід, до якого входять ці предмети, і, по-друге, застосувати до них відповідний закон, властивий всьому даному роду предметів.
Дедуктивний методграє величезну роль математиці. Відомо, що всі теореми виводяться логічним шляхом за допомогою дедукції з невеликої кінцевої кількості вихідних початків, званих аксіомами.
2) Форма викладу матеріалу в книзі, лекції, доповіді, бесіді, коли від загальних положень, правил, законів йдуть до менш загальних положень, правил, законів.
Цей спосіб дозволяє ставити формальні аксіоматичні теорії.
2.Завдання тільки аксіом
У цьому випадку правила виведення вважаються загальновідомими, тому задаються лише аксіоми. Тому при такій побудові теорем кажуть, що напівформальна аксіоматична теорія.
3.Завдання лише правил виведення
Даний спосіб побудови теорем ґрунтується на завданні лише правил виведення, оскільки безліч аксіом порожня. Виходячи з цього, теорія, задана таким чином, є окремий випадокформальної теорії Пізніше цей різновид став називатися теорією природного висновку.
До основних властивостей дедуктивних теорій відносяться:
1. Суперечливість
Суперечливою називається теорія, в якій безліч теорем покриває безліч формул.
2. Повнота
Повною називається теорія, в якій для будь-якої формули F виводиться або сама F, або її заперечення -F.
3. Незалежність аксіом
Коли окрему аксіому теорії не можна вивести з інших аксіом, її називають незалежною. Система аксіом називається незалежною лише тому випадку, якщо кожна аксіома у ній незалежна.
4. Дозвілість
Коли теоретично існує ефективний алгоритм, що дозволяє визначити кількість кроків, що доводять теорему, теорія називається розв'язною.
Наприклад, логіка висловлювань, логіка першого порядку (обчислення предикатів), формальна арифметика (теорія S).
У сучасному світіми все частіше використовуємо різноманітні машини та гаджети. І не тільки тоді, коли необхідно застосувати буквально нелюдську силу: перемістити вантаж, підняти його на висоту, вирити довгу і глибоку траншею і т.д. Все частіше ми чуємо вираз «бульова алгебра». Мабуть, настав час розібратися в ролі людини у створенні роботів та вмінні машин вирішувати не лише математичні, а й
Логіка
У перекладі з грецької логіка - це впорядкована система мислення, яка створює взаємозв'язки між заданими умовамиі дозволяє робити висновки, ґрунтуючись на передумовах та припущеннях. Досить часто ми питаємо один одного: Логічно? Отримана відповідь підтверджує наші припущення чи критикує перебіг думки. Але процес не зупиняється: ми продовжуємо розмірковувати.
Часом кількість умов (вступних) настільки велика, а взаємозв'язки між ними настільки заплутані та складні, що людський мозок не в змозі «перетравити» все одразу. Може знадобитися не один місяць (тиждень, рік) для розуміння того, що відбувається. Але сучасне життяне дає нам таких тимчасових інтервалів прийняття рішень. І ми вдається до допомоги комп'ютерів. І ось тут і з'являється алгебра логіки, зі своїми законами та властивостями. Завантаживши всі вихідні дані, ми дозволяємо комп'ютеру розпізнати всі взаємозв'язки, виключити суперечності та знайти задовільне рішення.
Математика та логіка
Найвідоміший Готфрід Вільгельм Лейбніц сформулював поняття «математична логіка», завдання якої були доступні для розуміння лише вузькому колу вчених. Особливого інтересуцей напрямок не викликав, і до середини XIXстоліття про математичну логіку знали мало хто.
Великий інтерес у наукових спільнотахвикликав суперечку, в якій англієць Джордж Буль заявив про свій намір створити розділ математики, який не має жодного практичного застосування. Як ми пам'ятаємо з історії, у цей час активно розвивалося промислове виробництво, розроблялися всілякі допоміжні машини та верстати, тобто всі наукові відкриття мали практичну спрямованість.
Забігаючи вперед, скажемо, що булева алгебра - найчастіше використовується в сучасному світі частина математики. Тож суперечка свій Буль програв.
Джордж Буль
Сама особистість автора заслуговує окремої уваги. Навіть з огляду на те, що в минулому люди дорослішали раніше за нас, все одно не можна не відзначити, що у 16 років Дж. Буль викладав у сільській школі, а до 20 років відкрив власну школу в Лінкольні. Математик відмінно володів п'ятьма іноземними мовами, а в вільний часзачитувався роботами Ньютона та Лагранжа. І все це – про сина простого робітника!
В 1839 Буль вперше послав свої наукові роботи в Кембриджський математичний журнал. Вченому виповнилося 24 роки. Роботи Буля настільки зацікавили членів Королівського наукового товариства, Що в 1844 році він отримав медаль за внесок у розвиток ще кілька опублікованих робіт, в яких були описані елементи математичної логіки, дозволили молодому математику зайняти посаду професора в коледжі графства Корк. Нагадаємо, що сам Буль освіти не мав.
Ідея
У принципі, булева алгебра дуже проста. Існують вирази), які, з погляду математики, можна визначити лише двома словами: «істина» чи «брехня». Наприклад, навесні дерева розквітають – істина, влітку йде сніг – брехня. Вся краса цієї математики полягає в тому, що немає суворої необхідності використовувати лише числа. Для алгебри думок цілком підходять будь-які висловлювання з однозначним змістом.
Таким чином, алгебра логіки може бути використана буквально скрізь: у складанні розкладів та написанні інструкцій, аналізі суперечливої інформаціїпро події та визначення послідовності дій. Найголовніше - зрозуміти, що зовсім неважливо, як ми визначили істинність чи хибність висловлювання. Від цих «як» та «чому» треба абстрагуватися. Значення має лише констатація факту: істина-брехня.
Безумовно, для програмування важливі функції логіки алгебри, які записуються відповідними знаками і символами. І вивчити їх – це означає освоїти новий іноземна мова. Немає нічого неможливого.
Основні поняття та визначення
Не вдаючись до глибин, розберемося з термінологією. Отже, булева алгебра передбачає наявність:
- висловлювань;
- логічних операцій;
- функцій та законів.
Висловлювання - будь-які ствердні вирази, які можуть бути витлумачені двозначно. Вони записуються у вигляді чисел (5 > 3) або формулюються звичними словами (слон - найбільше ссавець). При цьому фраза "у жирафа немає шиї" також має право на існування, тільки булева алгебра визначить її як "брехня".
Всі висловлювання повинні мати однозначний характер, але вони можуть бути елементарними та складовими. Останні використовують логічні зв'язки. Т. е. в алгебрі суджень складові висловлювання утворюються додаванням елементарних за допомогою логічних операцій.
Операції булевої алгебри
Ми вже пам'ятаємо, що операції в алгебрі суджень – логічні. Подібно до того, як алгебра чисел використовує арифметичні операції для складання, віднімання чи порівняння чисел, елементи математичної логіки дозволяють скласти складні висловлювання, дати заперечення чи обчислити кінцевий результат.
Логічні операції для формалізації та простоти записуються формулами, звичними для нас в арифметиці. Властивості булевої алгебри дають можливість записувати рівняння та обчислювати невідомі. зазвичай записують з допомогою таблиці істинності. Її стовпці визначають елементи обчислень та операцію, яка над ними проводиться, а рядки показують результат обчислень.
Основні логічні дії
Найпоширенішими в булевій алгебрі операціями є заперечення (НЕ) та логічні І та АБО. Так можна описати практично всі дії в алгебрі суджень. Досліджуємо докладніше кожну з трьох операцій.
Заперечення (не) застосовується лише до одного елементу (операнду). Тому операцію заперечення називають унарною. Для запису поняття «не А» використовують такі символи: ¬A, A¯¯¯ або!A. У табличній форміце виглядає так:
Для функції заперечення характерне таке твердження: якщо істинно, то Б - хибно. Наприклад, Місяць обертається навколо Землі – істина; Земля обертається навколо Місяця – брехня.
Логічні множення та додавання
Логічне І називають операцією кон'юнкції. Що це означає? По-перше, що застосувати її можна до двох операндів, тобто І - бінарна операція. По-друге, що тільки у разі істинності обох операндів (і А, і Б) істинно і вираз. Прислів'я «Терпіння і праця все перетруть» передбачає, що лише обидва фактори допоможуть людині впоратися зі складнощами.
Для запису використовуються символи: A∧Б, A⋅Б або A&&Б.
Кон'юнкція аналогічна до множення в арифметиці. Іноді так і кажуть – логічне множення. Якщо перемножити елементи таблиці рядками, ми отримаємо результат, аналогічний логічного роздуму.
Диз'юнкцією називають операцію логічного АБО. Вона приймає значення істинності тоді, коли хоча б одне (або А, або Б). Записується це: A∨Б, A+Б чи A||Б. Таблиці істинності цих операцій такі:
Диз'юнкція подібна арифметичному додаванню. Операція логічного складання має лише одне обмеження: 1+1=1. Але ми пам'ятаємо, що у цифровому форматі математична логіка обмежена 0 і 1 (де 1 - істина, 0 - брехня). Наприклад, твердження «у музеї можна побачити шедевр чи зустріти цікавого співрозмовника» означає, що можна подивитися витвори мистецтва, а можна познайомитися з цікавою людиною. У той же час, не виключено варіант одночасного здійснення обох подій.
Функції та закони
Отже, ми знаємо, які логічні операції використовує булева алгебра. Функції описують всі властивості елементів математичної логіки та дозволяють спрощувати складні складові умови завдань. Найзрозумілішим і найпростішим здається властивість відмовитися від похідних операцій. Під похідними розуміються виключне АБО, імплікація та еквівалентність. Оскільки ми ознайомилися лише з основними операціями, то й властивості розглянемо лише їх.
Асоціативністьозначає, що у висловлюваннях типу "і А, і Б, і В" послідовність перерахування операндів не відіграє ролі. Формулою це запишеться так:
(A∧Б)∧В=A∧(Б∧В)=A∧Б∧В,
(A∨Б)∨В=A∨(Б∨В)=A∨Б∨В.
Як бачимо, це властиво як кон'юнкції, а й диз'юнкції.
Комутативністьстверджує, що результат кон'юнкції чи диз'юнкції залежить від цього, який елемент розглядався спочатку:
A∧Б=Б∧A; A∨Б=Б∨A.
Дистрибутивністьдозволяє розкривати дужки у складних логічних виразах. Правила схожі з розкриттям дужок при множенні та складання в алгебрі:
A∧(Б∨В)=A∧Б∨A∧В; A∨Б∧В=(A∨Б)∧(A∨В).
Властивості одиниці та нуля, які можуть бути одним з операндів, також аналогічні алгебраїчному множеннюна нуль або одиницю та додавання з одиницею:
A∧0=0,A∧1=A; A∨0=A,A∨1=1.
Ідемопотентністьговорить нам про те, що якщо щодо двох рівних операндів результат операції виявляється аналогічним, то можна «викинути» зайві ускладнюючі перебіг міркувань операнди. І кон'юнкція і диз'юнкція є ідемпотентними операціями.
Б∧Б=Б; Б∨Б=Б.
Поглинаннятакож дозволяє нам спрощувати рівняння. Поглинання стверджує, що коли до виразу з одним операндом застосовується інша операція з тим самим елементом, результатом виявляється операнд з поглинаючої операції.
A∧Б∨Б=Б; (A∨Б)∧Б=Б.
Послідовність операцій
Послідовність операцій має важливе значення. Власне, як і для алгебри, існує пріоритетність функцій, які використовує алгебра булева. Формули можуть спрощуватися лише за умови дотримання значимості операцій. Ранжуючи від найзначніших до незначних, отримаємо таку послідовність:
1. Заперечення.
2. Кон'юнкція.
3. Диз'юнкція, що виключає АБО.
4. Імплікація, еквівалентність.
Як бачимо, лише заперечення та кон'юнкція не мають рівних пріоритетів. А пріоритет диз'юнкції та виключає АБО рівні, так само як і пріоритети імплікації та еквівалентності.
Функції імплікації та еквівалентності
Як ми вже говорили, окрім основних логічних операцій математична логіка та теорія алгоритмів використовує похідні. Найчастіше застосовуються імплікація та еквівалентність.
Імплікація, чи логічне слідування - це висловлювання, у якому одна дія є умовою, інше - наслідком його виконання. Іншими словами, ця пропозиція із приводами «якщо... то». «Любиш кататися, кохай і саночки возити». Т. е. для катання необхідно затягнути санки на гірку. Якщо ж немає бажання з'їхати з гори, то й санчата тягати не доводиться. Це записується так: A→Б або A⇒Б.
Еквівалентність передбачає, що результуюча дія настає лише в тому випадку, коли істиною є обидва операнда. Наприклад, ніч змінюється вдень тоді (і лише тоді), коли сонце встає через обрій. Мовою математичної логіки це твердження записується так: A≡Б, A⇔Б, A==Б.
Інші закони булевої алгебри
Алгебра суджень розвивається, і багато вчених, що зацікавилися, сформулювали нові закони. Найбільш відомими вважаються постулати шотландського математика О. де Моргана. Він помітив і дав визначення таким властивостям, як тісне заперечення, доповнення та подвійне заперечення.
Тісне запереченняпередбачає, що перед дужкою немає жодного заперечення: не (А чи Б)= не А чи НЕ Б.
Коли операнд заперечується, незалежно від свого значення, говорять про доповненні:
Б∧¬Б=0; Б∨¬Б=1.
І наостанок, подвійне запереченнясаме себе компенсує. Тобто. перед операндом або зникає заперечення, або залишається лише одне.
Як вирішувати тести
Математична логіка має на увазі спрощення заданих рівнянь. Так само, як і в алгебрі, необхідно спочатку максимально полегшити умову (позбутися складних вступних та операцій з ними), а потім приступити до пошуку правильної відповіді.
Що зробити для спрощення? Перетворити всі похідні операції на прості. Потім розкрити всі дужки (або навпаки, винести за дужки, щоб скоротити цей елемент). Наступною дією має стати застосування властивостей булевої алгебри на практиці (поглинання, властивості нуля та одиниці тощо).
Зрештою, рівняння має складатися з мінімальної кількості невідомих, об'єднаних простими операціями. Найлегше шукати рішення, якщо досягти великої кількостітісних заперечень. Тоді відповідь спливе як би сама собою.
МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ РОСІЙСЬКОЇ ФЕДЕРАЦІЇ
МОСКІВСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ УНІВЕРСИТЕТ
ПРИЛАДОБУДУВАННЯ ТА ІНФОРМАТИКИ
Кафедра: «ФІЛОСОФІЯ»
За дисципліною: «ЛОГІКА»
Тема № 31: «Математична логіка: предмет, структура та основні засади операцій»
Виконав:
студент 1 курсу
денного факультету ІТ-7
шифр заліковки 120177ІТ
Прітков Юрій Сергійович
Перевірив:
доцент, к.ф.н.
Блажко Микола Ілліч
Москва – 2012 р.
Вступ
Математична логіка
Предмет математичної логіки
Основні засади операцій
Заперечення
Кон'юнкція
Диз'юнкція
Імплікація
Еквівалентність
Кванторний вислів
Кванторне з квантором загальності
Кванторне з квантором існування
Аксіоматичний метод
Висновок
Вступ
Логіка виникла у культурі Стародавню Грецію. Перше твір, що дійшов до нас, за логікою - «Аналітики» Аристотеля (384-322 рр. до н.е.). Формальна логікапроіснувала без серйозних змін понад двадцять століть. Буль або Бул, а також Буул, Джордж (1815-1864) - англійський математик, який вважається основоположником математичної логіки.
Розвиток математики виявило недостатність Аристотелевої логіки і вимагало її подальшого розвитку. Незалежно розвивалася буддистська логіка, але надбанням європейської науки вона стала нещодавно, тому математична логіка бере початок із логіки Аристотеля. Математична логіка є наукою про закони математичного мислення. Предметом математичної логіки є математичні теорії загалом, які вивчаються за допомогою математичних мов. При цьому насамперед цікавляться питаннями несуперечності математичних теорій, їхньої розв'язності та повноти.
Математична логіка відрізняється тим, що користується мовою математичних та логічних символів, виходячи з того, що в принципі вони можуть зовсім замінити слова звичайної мови та прийняті у звичайних живих мовах способи об'єднання слів у речення. Особливості математичного мислення пояснюються особливостями математичних абстракцій та різноманіттям їх взаємозв'язків. Вони відбиваються у логічній систематизації математики, у доказі математичних теорем. У зв'язку з цим сучасну математичну логіку визначають як розділ математики, присвячений вивченню математичних доказів та питань основ математики.
Математична логіка
В аксіоматичній побудові математичної теоріїпопередньо вибирається деяка система невизначених понять та відносини з-поміж них. Ці поняття та відносини називаються основними. Далі без доказу приймаються основні положення теорії - аксіоми. Весь подальший зміст теорії виводиться логічно з аксіом. Вперше аксіоматичне побудова математичної теорії було здійснено Евклідом у побудові геометрії. Виклад цієї теорії в Початках не бездоганно. Евклід тут намагається дати визначення вихідних понять(Точки, прямий, площині). У доказі теорем використовуються ніде явно не сформульовані положення, які вважаються очевидними. Таким чином, у цій побудові відсутня необхідна логічна строгість, хоча істинність усіх положень теорії не викликає сумнівів.
Зазначимо, що такий підхід до аксіоматичної побудови теорії залишався єдиним до XIX ст. Велику роль зміні такого підходу зіграли роботи М. І. Лобачевського (1792-1856). Лобачевський вперше у явному вигляді висловив переконання у неможливості доказу п'ятого постулату Евкліда та підкріпив це переконання створенням нової геометрії. Пізніше німецький математик Ф. Клейн (1849-1925) довів несуперечність геометрії Лобачевського, чим фактично було доведено і неможливість доказу п'ятого постулату Евкліда. Так виникли і були вирішені в роботах М. І. Лобачевського та Ф. Клейна вперше в історії математики проблеми неможливості доказу та несуперечності в аксіоматичній теорії. Несуперечність аксіоматичної теорії одна із основних вимог, що висуваються до системи аксіом цієї теорії. Вона означає, що з цієї системи аксіом не можна логічним шляхом вивести два суперечливі один одному твердження.
Доказ несуперечності аксіоматичних теорій можна здійснити різними методами. Одним із них є МЕТОД МОДЕЛЮВАННЯ або ІНТЕРПРЕТАЦІЙ. Тут як основні поняття і відносини вибираються елементи деякої множини і відносини між ними, а потім перевіряється, чи будуть виконуватися для обраних понять і відносин аксіоми даної теорії, тобто будується модель для даної теорії. Так, аналітична геометріяє арифметичною інтерпретацією геометрії Евкліда. Ясно, що метод моделювання зводить питання про несуперечність однієї теорії до проблеми несуперечності іншої теорії. Більшість інтерпретацій для математичних теорій (і, зокрема, для арифметики) будується з урахуванням теорії множин. Однак наприкінці XIX століття в теорії множин було виявлено протиріччя (парадокси теорії множин). Яскравим прикладомтакого феномена є феномен Б. Рассела. Розіб'ємо всі мислимі множини на два класи. Назвемо безліч нормальним , якщо воно не містить себе як свій елемент і ненормальним в іншому випадку. Наприклад, безліч усіх книг - нормальне безліч, а безліч усіх мислимих речей - ненормальне безліч. Нехай L - безліч всіх нормальних множин. До якого класу належить множина L? Якщо L - нормальне безліч, то L Î L, тобто. міститься у класі нормальних множин, але тоді воно містить себе як свій елемент, і тому ненормально . Якщо L - ненормальне безліч, то L Ï L, тобто. не міститься серед нормальних множин, але тоді L не містить себе як свій елемент, і тому воно нормально . Таким чином, поняття нормального множини призводить до протиріччя.
Спроби усунути протиріччя теорії множин призвели ЦЕРМЕЛО до необхідності побудувати аксіоматичну теорію множин. Наступні видозміни та вдосконалення цієї теорії призвели до створення сучасної теорії множин. Однак засоби цієї аксіоматичної теорії не дозволяють довести її несуперечність. Інші методи обґрунтування математики були розвинені Д. Гілбертом (1862-1943) та його школою. Вони ґрунтуються на побудові математичних теорій як синтаксичних теорій, у яких все аксіоми записуються формулами у певному алфавіті і вказуються правила виведення одних формул з інших, тобто. у теорію як складова частина входить математична логіка.
Таким чином, математична теорія, несуперечність якої потрібно довести, стала предметом іншої математичної теорії, яку Гілберт назвав МЕТАМАТЕМАТИКОЮ, або ТЕОРІЄЮ ДОКАЗІВ. У зв'язку з цим постає завдання побудови синтаксичної, тобто. формалізованої аксіоматичної теорії самої математичної логіки Вибираючи по-різному системи аксіом та правила виведення одних формул з інших, одержують різні синтаксичні логічні теорії. Кожну з них називають ЛОГІЧНИМ ЗЛІЧЕННЯМ.
Предмет математичної логіки
Основна ідея математичної логіки – формалізація знань та міркувань. Відомо, що знання, що найбільш легко формалізуються, - математичні. Таким чином, математична логіка по суті - наука про математику, або метаматематика. Центральним поняттям математичної логіки є "математичний доказ"". Дійсно, "доказові" (інакше кажучи, дедуктивні) міркування - єдиний вид міркувань, що визнані в математиці. Міркування у математичній логіці вивчаються з погляду форми, а чи не сенсу. По-суті, міркування моделюються суто "механічним" процесом переписування тексту (формул). Такий процес називають висновком. Кажуть ще, що математична логіка оперує лише синтаксичними поняттями. Однак зазвичай все ж таки важливо, як співвідносяться міркування з дійсністю (або нашими уявленнями). Тому, треба все ж таки мати на увазі деякий зміст формул і висновку. При цьому використовують термін семантика (синоном слова "смисл") і чітко поділяють синтаксис та семантику. Коли ж дійсно цікавляться тільки синтаксисом, часто використовують термін "формальна система". Ми будемо використовувати синонім цього терміну - "обчислення"" (використовуються ще терміни "формальна теорія"" і "аксіоматика""). Об'єктом формальних систем є рядки тексту (послідовності символів), з допомогою яких записуються формули.
Формальну систему визначено, якщо:
Задано алфавіт (безліч символів, що використовуються для побудови формул).
Виділено безліч формул, які називаються аксіомами. Це – стартові точки у висновках.
Задано безліч правил виведення, які дозволяють із деякої формули (або безлічі формул) отримувати нову формулу.
Основні засади операцій
Заперечення
Заперечення логічного висловлювання - логічне висловлювання, Що приймає значення "істинно", якщо вихідне висловлювання хибне, і навпаки. Це спеціальна логічна операція. Залежно від розташування розрізняють зовнішнє і внутрішнє заперечення, властивості та ролі яких істотно різняться.
Зовнішнє заперечення (пропозиціональне) служить утворенню складного висловлювання з іншого (не обов'язково простого) висловлювання. У ньому стверджується відсутність стану справ, що описується у заперечуваному висловлюванні. Традиційно негативне висловлювання вважається істинним, якщо, і тільки якщо, заперечення висловлювання хибне. У природній мові заперечення зазвичай виражається оборотом «невірно, що», за яким слідує заперечення висловлювання.
У мовах формальних теорій заперечення називається особлива унарна пропозиційна зв'язка, що використовується для освіти з однієї формули іншої, складнішої. Для позначень заперечення зазвичай використовуються символи "заперечення", "-" або "- 1". У класичній логіці висловлювань формула А істинна тоді і тільки тоді, коли формула А помилкова.
Однак у некласичній логіці заперечення може не мати всі властивості класичного заперечення. У зв'язку з цим постає цілком закономірне питання про мінімальний набір властивостей, якому має задовольняти деяка унарна операція, щоб її можна було вважати запереченням, а також про принципи класифікації різних заперечень у некласичних формальних теоріях (див.: Dunn J.M. і Hardegree G.M.Algebraic Methods Logic.Oxford, 2001).
Фактично вказане вище традиційне розуміннязовнішнього (пропозиціонального) заперечення може бути виражено через систему наступних вимог: (I) Якщо А – істинно (хибно), то не-А – хибно (істинно); (II) Якщо не-А – істинно (хибно), то А – хибно (істинно). Формально вимоги (I) і (II) можуть бути виражені через умову (1) А р-iB=>B (= -, А, зване «конструктивна контрапозиція»). виявляється, що умова (1) можна розкласти на дві слабші умови: (2) А (= В=>-,В р-Аі(3)А(= - 1 - А), відомих, відповідно, як «контрапозиція» і «Введення подвійного заперечення».В результаті з'являється можливість виявити підмінімальне заперечення, що задовольняє умові (2), але не задовольняє умові (3). - А = А. Мінімальне заперечення (тобто задовольняє умові (1) або умовам (2) і (3) разом), для якого виконується умова (4), називається заперечення де Моргана. додаткової якості(5): Якщо А - В, то для будь-якого С вірно, що А р С («властивість абсурдності»), - називається інтуїціоністським запереченням. Можна сформулювати принцип (6), двоїстий принципу абсурдності: Якщо В |=Аі-S р А, то для будь-якого С вірно, що С р А. Задовольняє цьому принципу заперечення. є різновидом заперечення в паранесуперечливій логіці. Нарешті, заперечення де Моргана (властивості (2), (3), (4)), для якого виконується (5) або (6), називається орто-заперечення Якщо у відповідному обчисленні приймається аксіома дистрибутивності для кон'юнкції та диз'юнкції, то орто- заперечення називається заперечення Буля, чи класичним запереченням.
Внутрішнє заперечення входить до складу простого висловлювання. Розрізняють заперечення у складі зв'язки (негативна зв'язка) та термінове заперечення.
Заперечення у складі зв'язки виражається з допомогою частки «не», що стоїть перед дієсловом-зв'язкою (якщо він є) чи смисловим дієсловом. Воно служить висловлювання суджень про відсутність якихось відносин («Іван знає Петра»), чи освіти негативної предицирующей зв'язки у складі категоричних атрибутивних суджень.
Термінове заперечення використовується для утворення негативних термінів. Воно виражається через приставку «не» чи близькі їй за змістом («Всі незрілі яблука – зелені»).
Кон'юнкція
Кон'юнкція двох логічних висловлювань - логічне висловлювання, істинне лише тоді, коли вони одночасно істинні (від латів. conjunctio - спілка, зв'язок), у широкому значенні - складне висловлювання, утворене за допомогою спілки «і». У принципі можна говорити про кон'юнкцію нескінченного числа висловлювань (наприклад, про кон'юнкцію всіх дійсних речень математики). У логіці кон'юнкцією називають логічну зв'язку (операцію, функцію; позначають: &,); освічене з її допомогою складне висловлювання істинно лише за умови однакової істинності його складових. У класичній логіці висловлювань кон'юнкція разом із запереченням складають функціонально-повну систему пропозиційних зв'язок. Це означає, що через них можна визначити будь-яку іншу зв'язку. Однією з властивостей кон'юнкції є комутативність (тобто еквівалентність А&В та В&А). Однак, іноді, говорять про некомутативну, тобто впорядковану кон'юнкцію (прикладом висловлювання з такої кон'юнкції може служити: «Смітник свиснув, і коні поскакали»).
Диз'юнкція
Диз'юнкція двох логічних висловлювань - логічне висловлювання, дійсне лише тоді, коли хоча б одне з них істинно
(від латів. disjunctio - роз'єднання, відокремлення), у сенсі - складне висловлювання, утворене з двох чи більше пропозицій з допомогою союзу «або», що виражає альтернативність, чи вибір.
У символічній логіці диз'юнкцією називають логічну зв'язку (операцію, функцію), що утворює з пропозицій А і складне висловлювання, що позначається зазвичай як А V В, яке є істинним при істинності принаймні одного з двох диз'юнктивних членів: <#"justify">Імплікація
Імплікація двох логічних висловлювань A і B - логічне висловлювання, хибне тільки тоді, коли B хибно, а A істинно (від лат. implicatio - сплетення, від implico - тісно пов'язую) - логічна зв'язка, що відповідає граматичній конструкції «якщо.., то...», за допомогою якої з двох простих висловлювань утворюється складне висловлювання. В імплікативному висловлюванні розрізняють антецедент (підстава) - висловлювання, що йде після слова "якщо", і консеквент (наслідок) - висловлювання, що йде за словом "то". Імплікативний вислів представляє в мові логіки умовне висловлювання звичайної мови. Останнє грає особливу роль, як у повсякденних, і у наукових міркуваннях, основний його функцією є обгрунтування одного шляхом посилання щось інше.
Висловлювану умовним висловлюванням зв'язок обосновывающего і обгрунтовуваного важко охарактеризувати у вигляді, і іноді природа її щодо зрозуміла. Цей зв'язок може бути, зокрема, зв'язком логічного слідування, що має місце між посилками та укладанням правильного висновку («Якщо всі живі багатоклітинні істоти смертні і медуза є такою істотою, то вона смертна»). Зв'язок може являти собою закон природи («Якщо тіло піддати тертю, воно почне нагріватися») або причинний зв'язок(«Якщо Місяць у молодик знаходиться у вузлі своєї орбіти, настає сонячне затемнення»). Розглядається може мати також характер соціальної закономірності, правила, традиції тощо. («Якщо змінюється економіка, змінюється і політика», «Якщо обіцянка дана, вона має бути виконана»).
Зв'язок, що виражається умовним висловом, передбачає, що консеквент з певною необхідністю «випливає» з антецедента і є певний загальний закон, зумівши сформулювати який ми можемо логічно вивести консеквент з антецедента. Наприклад, умовний вислів «Якщо вісмут-метал, він пластичний» передбачає загальний закон «Всі метали пластичні», що робить консеквент даного висловлювання логічним наслідкомйого антецедента.
І в звичайній мові, і в мові науки умовне висловлювання, крім функції обґрунтування, може виконувати також цілий рядінших завдань. Воно може формулювати умову, яка не пов'язана з к.-л. мається на увазі загальним закономабо правилом («Якщо захочу, розріжу свій плащ»), фіксувати якусь послідовність («Якщо минуле літо було сухим, то цього року воно дощове»), висловлювати у своєрідній формі зневіру («Якщо ви вирішите завдання, я доведу велику теорему Ферма»), протиставлення («Якщо у городі росте капуста, то саду росте яблуня») тощо. Численність та різнорідність функцій умовного висловлювання істотно ускладнює його аналіз.
У логічних системахабстрагуються від особливостей простого вживання умовного висловлювання, що веде до різних імплікацій. Найбільш відомі з них імплікація матеріальна, сувора імплікація та релевантна (доречна) імплікація.
Матеріальна імплікація – одна з основних зв'язок класичної логіки. Визначається вона в такий спосіб: імплікація хибна лише у разі істинності антецедента і хибності консеквента і істинна в інших випадках. Умовне висловлювання «Якщо А, то В» передбачає деякий реальний зв'язок між тим, про що йдеться в А та В; вираз «А матеріально імплікує» такого зв'язку не передбачає.
Сувора імплікація визначається через модальне поняття (логічної) неможливості: «А суворо імплікує» означає «Неможливо, щоб А було істинно, а помилково».
У релевантній логіці імплікація сприймається як умовний союз у його звичному значенні. У разі релевантної імплікації не можна сказати, що справжнє висловлюванняможе бути обґрунтовано шляхом посилання на будь-яке висловлювання і що за допомогою хибного висловлювання можна обґрунтувати будь-яке висловлювання.
Еквівалентність
Еквівалентність двох логічних висловлювань - логічне висловлювання, істинне лише тоді, що вони одночасно істинні чи хибні (від позднелат. equivalens - рівноцінний) - родове найменування різноманітних відносин типу рівності, тобто. рефлексивних, симетричних та транзитивних бінарних відносин. Приклади: еквіполентність (збіг за змістом, значенням, змістом, виразними та (або) дедуктивними можливостями між поняттями, концепціями, наук. теоріями або формальними їх формальними системами) конгруентність або подоба геометрія, фігур; ізоморфізм; рівносильність множин та інші еквівалентність будь-яких об'єктів означає їх рівність (тотожність) у будь-якому відношенні
(наприклад, ізоморфні множини невиразні за своєю "структурою", якщо під "структурою" розуміти сукупність тих їх властивостей, щодо яких ці множини ізоморфні). Будь-яке відношення еквівалентності породжує розбиття множини, на якому воно визначено, на "класи еквівалентності", що попарно не перетинаються, в один клас відносять при цьому еквівалентні один одному елементи даної множини.
Розгляд класів еквівалентності як нових об'єктів є одним із основних способів породження (введення) абстрактних понять у логіко-математичних (і взагалі природничо-наукових) теоріях. Так, вважаючи еквівалентними дроби a/b та c/d з цілими чисельниками та знаменниками, якщо ad=bc, вводять у розгляд раціональні числа як класи еквівалентних дробів; вважаючи еквівалентними множини, між якими можна встановити взаємно-однозначну відповідність, вводять поняття потужності (кардинального числа) множини (як клас еквівалентних між собою множин); вважаючи еквівалентними два шматки речовини, що вступають у рівних умовах в однакові хімічні реакції, приходять до абстрактного поняття хімічного складу і т.п.
Термін "еквівалентність" вживають часто не (тільки) як родовий, а як синонім деяких з його приватних значень ("еквівалентність теорій" замість "еквівалентність", "еквівалентність множин" замість "рівнопотужність", "еквівалентність слів" в абстрактній алгебрі " і т.п.).
Кванторний вислів
Кванторне з квантором загальності.
Кванторне логічне висловлювання з квантором загальності ("xA(x)) - логічне висловлювання, дійсне лише тоді, коли кожного об'єкта x із заданої сукупності висловлювання A(x) істинно.
Кванторне із квантором існування.
Кванторне логічне висловлювання з квантором існування ($xA(x)) - логічне висловлювання, істинне лише тоді, як у заданої сукупності існує об'єкт x, такий, що висловлювання A(x) істинно.
Структура математичної логіки
Розділ «математична логіка» складається з трьох частин: за неформальним аксіоматичний метод, за логікою висловлювань і за логікою предикатів (першого порядку). Аксіоматичний метод побудови – перший крок на шляху до формалізації теорії. Більшість завдань, що розглядаються в математичній логіці, полягає у доказі деяких тверджень. Математична логіка має багато розгалужень. Вона застосовує табличну побудову логіки висловлювань, використовує спеціальна мовасимволів та формули логіки висловлювань.
Неформальний аксіоматичний метод
Аксіоматичний метод, що не фіксує жорстко застосовуваної мови і тим самим не фіксує межі змістовного розуміння предмета, але вимагає аксіоматичного визначення всіх спеціальних даного предметадослідження понять. Цей термін немає загальноприйнятого тлумачення.
Історія розвитку аксіоматичного методу характеризується все більшим ступенем формалізації. Неформальний аксіоматичний метод – певний ступінь у цьому процесі.
Початкова, дана Евклідом, аксіоматична побудова геометрії відрізнялася дедуктивним характером викладу, при якому в основу клалися визначення (пояснення) та аксіоми (очевидні твердження). З них, спираючись на здоровий глузд і очевидність, виводилися слідства. При цьому у висновку неявно іноді використовувалися не зафіксовані в аксіомах припущення геометрія, характеру, що особливо відносяться до руху в просторі взаємному розташуваннюпрямих та точок. Згодом було виявлено геометрію, поняття та їх вживання аксіоми, що неявно використовуються Евклідом та його послідовниками. При цьому виникало питання: чи справді виявлено усі аксіоми. Керівний принцип для вирішення цього питання сформулював Д. Гільберт (D. Hilbert): "Слід домогтися того, щоб з рівним успіхом можна було говорити замість точок, прямих і площин про столи, стільці та пивні кружки". Якщо доказ не втрачає доказової сили після такої заміни, то всі спеціальні припущення, що використовуються в цьому доказі, зафіксовані в аксіомах. Ступінь формалізації, що досягається при такому підході, являє собою рівень формалізації, характерний для неформального аксіоматичного методу. Еталоном тут може бути класична праця Д. Гільберта "Підстави геометрії".
Неформальний аксіоматичний метод застосовується як надання певної завершеності аксіоматично викладеної конкретної теорії. Він є дієвою зброєю математичного дослідження. Оскільки щодо системи об'єктів з цього методу немає їх специфіка, чи " природа " , то доведені твердження переносяться будь-яку систему об'єктів, задовольняє аналізованим аксіомам. Відповідно до неформального аксіоматичного методу, аксіоми - це неявні визначення початкових понять (а чи не очевидні істини). Що являють собою об'єкти, що вивчаються - неважливо. Все, що потрібно про них знати, сформульовано в аксіомах. Предметом вивчення аксіоматичної теорії є будь-яка її інтерпретація.
Неформальний аксіоматичний метод, окрім неодмінного аксіоматичного визначення всіх спеціальних понять, має й іншу характерну особливість. Це вільне, неконтрольоване аксіомами, засноване на змістовному розумінні використання ідей та понять, які можна застосувати до будь-якої мислимої інтерпретації, незалежно від її змісту. Зокрема, широко використовуються теоретико-множинні і логічного поняття та принципи, а також поняття, пов'язані з ідеєю рахунку, та ін. на якому формулюються та доводяться властивості аксіоматично заданої системи об'єктів. Фіксування мови веде до поняття формальної аксіоматичної системи та створює матеріальну основу для виявлення та чіткого опису допустимих логічних принципів, для контрольованого вживання теоретико-множинних та інших загальних чи не спеціальних для досліджуваної галузі понять. Якщо в мові немає засобів (слів) для передачі теоретико-множинних понять, то цим відсіваються всі докази, що ґрунтуються на використанні таких засобів. Якщо в мові є засоби для вираження деяких теоретико-множинних понять, їх застосування в доказах можна обмежити певними правилами або аксіомами.
Фіксуючи по-різному мову, отримують різні теоріїосновний об'єкт розгляду. Наприклад, розглядаючи мову вузького обчислення предикатів для теорії груп, одержують елементарну теорію груп, у якій не можна сформулювати будь-якого твердження про підгрупи. Якщо перейти до мови обчислення предикатів другого ступеня, з'являється можливість розглядати властивості, у яких фігурує поняття підгрупи. Формалізацією неформального аксіоматичного методу в теорії груп служить перехід до мови системи Цермело - Френкеля з її аксіоматикою.
Аксіоматичний метод
Аксіоматичний метод - спосіб побудови наукової теорії, при якому в її основу кладуться деякі вихідні положення (судження) - аксіоми, або постулати, з яких всі інші твердження цієї теорії повинні виводитися суто логічним шляхом за допомогою доказів. Побудова науки на основі аксіоматичного методу зазвичай називається дедуктивним. Усі поняття дедуктивної теорії (крім фіксованого числа початкових) запроваджуються у вигляді визначень, що виражають їх через раніше введені поняття. У тій чи іншій мірі дедуктивні докази, характерні для аксіоматичного методу, застосовуються в багатьох науках, проте головна сфера його застосування - математика, логіка, а також деякі розділи фізики.
Ідея аксіоматичного методу вперше була висловлена у зв'язку з побудовою геометрії в Стародавній Греції (Піфагор, Платон, Аристотель, Евклід). Для сучасної стадії розвитку аксіоматичний метод характерна висунута Гільбертом концепція формального аксіоматичного методу, яка ставить завдання точного описулогічних засобів виведення теорем із аксіом. Основна ідея Гільберта - повна формалізація мови науки, коли її судження розглядаються як послідовності знаків (формули), які набувають сенсу лише за певної конкретної інтерпретації. Для виведення теорем із аксіом(і взагалі одних формул з інших) формулюються спец. правила виведення. Доказ у такій теорії (обчисленні, чи формальної системі) - це деяка послідовність формул, кожна з яких або є аксіома, або виходить із попередніх формул послідовності за яким-небудь правилом виведення. На відміну від таких формальних доказів, властивості самої формальної системи загалом вивчаються. засобами метатеорії. Основні вимоги до аксіоматичних формальних систем - несуперечність, повнота, незалежність аксіом. Гільбертівська програма, яка передбачала можливість довести несуперечність і повноту всієї класичної математики, загалом виявилася нездійсненною. У 1931 Гёдел довів неможливість повної аксіоматизації досить розвинених наукових теорій (напр., арифметики натуральних чисел), що свідчило про обмеженість аксіоматичного методу. Основні принципи аксіоматичні методибули піддані критиці прихильниками інтуїціонізму та конструктивного спрямування.
Висновок
Математична логіка є наукою про закони математичного мислення. Застосування математики до логіки дозволило уявити логічні теорії в новій зручній формі та застосувати обчислювальний апарат до вирішення задач, малодоступних людському мисленню, і це, звичайно, розширило сферу логічних досліджень. Сфера застосування математичної логіки дуже широка. З кожним роком зростає глибоке проникнення ідей та методів математичної логіки в інформатику, обчислювальну математику, лінгвістику, філософію. Потужним імпульсом для розвитку та розширення галузі застосування математичної логіки стала поява електронно-обчислювальних машин. Виявилося, що в рамках математичної логіки вже готовий апарат для проектування обчислювальної техніки. Методи та поняття математичної логіки є основою, ядром інтелектуальних інформаційних систем. Засоби математичної логіки стали ефективним робочим інструментом для фахівців з багатьох галузей науки і техніки. Математичну логіку необхідно знати всім фахівцям, незалежно в якому середовищі він працює (будь то інженер, викладач, юрист чи просто лікар).
Список використаної літератури
математична логіка висловлювання кон'юнкція
Інтернет-ресурс: # "justify">1.
Репетиторство
Потрібна допомога з вивчення якоїсь теми?
Наші фахівці проконсультують або нададуть репетиторські послуги з цікавої для вас тематики.
Надішліть заявкуіз зазначенням теми прямо зараз, щоб дізнатися про можливість отримання консультації.
