Частки та звичайні дроби. Частини та дроби в курсі математики початкових класу


Ця стаття про звичайні дроби. Тут ми познайомимося з поняттям частки цілого, яке приведе нас до визначення звичайного дробу. Далі зупинимося на прийнятих позначенняхдля звичайних дробів і наведемо приклади дробів, скажімо про чисельник та знаменник дробу. Після цього дамо визначення правильних і неправильних, позитивних і негативних дробів, а також розглянемо положення дробових чисел на координатному промені. На закінчення перерахуємо основні події з дробами.

Навігація на сторінці.

Частки цілого

Спочатку введемо поняття частки.

Припустимо, що ми маємо певний предмет, складений із кількох абсолютно однакових (тобто, рівних) частин. Для наочності можна, наприклад, яблуко, розрізане на кілька рівних частин, або апельсин, що складається з кількох рівних часточок. Кожну з цих рівних частин, що становлять цілий предмет, називають часткою цілогоабо просто часткою.

Зауважимо, що частки бувають різні. Пояснимо це. Нехай у нас є два яблука. Розріжемо перше яблуко на дві рівні частини, а друге – на шість рівних частин. Зрозуміло, частка першого яблука відрізнятиметься від частки другого яблука.

Залежно від кількості часток, що становлять цілий предмет, ці частки мають свої назви. Розберемо назви часток. Якщо предмет становлять дві частки, кожна їх називається одна друга частка цілого предмета; якщо предмет становлять три частки, то кожна з них називається одна третя частка, і таке інше.

Одна друга частка має спеціальну назву – половина. Одна третя частка називається третю, а одна четверна частка – чвертю.

Для стислості запису було введено такі позначення часток. Одну другу частку позначають як або 1/2, одну третю частку – як або 1/3; одну четверту частку - як або 1/4 і так далі. Зазначимо, що запис із горизонтальною характеристикою використовується частіше. Для закріплення матеріалу наведемо ще один приклад: запис означає одну сто шістдесят сьому частку цілого.

Поняття частки природним чиномпоширюється із предметів на величини. Наприклад, одним із заходів вимірювання довжини є метр. Для вимірювання довжин менших за метр можна використовувати частки метра. Так можна скористатися, наприклад, половиною метра або десятою або тисячною часткою метра. Аналогічно застосовуються частки інших величин.

Звичайні дроби, визначення та приклади дробів

Для опису кількості часток використовуються звичайні дроби. Наведемо приклад, який дозволить нам підійти до визначення звичайних дробів.

Нехай апельсин складається з 12 часток. Кожна частка у разі представляє одну дванадцяту частку цілого апельсина, тобто, . Дві частки позначимо як , три частки - як , і так далі, 12 часток позначимо як . Кожен із наведених записів називають звичайним дробом.

Тепер дамо спільне визначення звичайних дробів.

Озвучене визначення звичайних дробів дозволяє навести приклади звичайних дробів: 5/10 , , 21/1 , 9/4 , . А ось записи не підходять під озвучене визначення звичайних дробів, тобто не є звичайними дробами.

Чисельник і знаменник

Для зручності у звичайному дробі розрізняють чисельник та знаменник.

Визначення.

Чисельникзвичайного дробу (m/n) – це натуральне число m.

Визначення.

Знаменникзвичайного дробу (m/n ) – це натуральне число n .

Отже, чисельник розташований зверху над межею дробу (ліворуч від похилої межі), а знаменник – знизу під межею дробу (праворуч від похилої межі). Для прикладу наведемо звичайний дріб 17/29, чисельником цього дробу є число 17, а знаменником - число 29.

Залишилося обговорити зміст, укладений у чисельнику і знаменнику звичайного дробу. Знаменник дробу показує, з скільки частин складається один предмет, чисельник у свою чергу вказує кількість таких часток. Наприклад, знаменник 5 дробу 12/5 означає, що один предмет складається з п'яти часток, а чисельник 12 означає, що взято 12 таких часток.

Натуральне число як дріб із знаменником 1

Знаменник звичайного дробу може бути дорівнює одиниці. У цьому випадку можна вважати, що предмет неподільний, іншими словами, є чимось цілим. Чисельник такого дробу вказує, скільки цілих предметів взято. Таким чином, звичайний дрібвиду m/1 має сенс натурального числа m. Так ми довели справедливість рівності m/1=m .

Перепишемо останню рівність так: m=m/1. Ця рівність дає нам можливість будь-яке натуральне число m представляти у вигляді звичайного дробу. Наприклад, число 4 – це дріб 4/1, а число 103498 дорівнює дробу 103498/1.

Отже, будь-яке натуральне число m можна подати у вигляді звичайного дробу зі знаменником 1 як m/1 , а будь-який звичайний дріб виду m/1 можна замінити натуральним числом m.

Чорта дробу як знак розподілу

Уявлення вихідного предмета як n часток є нічим іншим як поділ на n рівних частин. Після того, як предмет розділений на n частиною, ми можемо розділити порівну між n людьми – кожен отримає по одній частці.

Якщо ж у нас є спочатку m однакових предметів, Кожен з яких розділений на n частиною, то ці m предметів ми можемо порівну поділити між n людьми, роздавши кожній людині по одній частці від кожного з m предметів. При цьому у кожної людини буде m часткою 1/n, а m часткою 1/n дає звичайний дріб m/n. Таким чином, звичайний дріб m/n можна застосовувати для позначення розподілу предметів m між n людьми.

Так ми отримали явний зв'язок між звичайними дробами та поділом (дивіться загальне уявлення про розподіл натуральних чисел). Цей зв'язок виражається в наступному: рису дробу можна розуміти як знак розподілу, тобто m/n=m:n.

За допомогою звичайного дробу можна записати результат поділу двох натуральних чисел, Для яких не виконується поділ націло. Наприклад, результат розподілу 5 яблук на 8 чоловік можна записати як 5/8, тобто, кожному дістанеться п'ять восьмих часток яблука: 5:8 = 5/8.

Рівні та нерівні звичайні дроби, порівняння дробів

Достатньо природною дієює порівняння звичайних дробів, адже зрозуміло, що 1/12 апельсина відрізняється від 5/12, а 1/6 частка яблука така сама, як інша 1/6 частка цього яблука.

В результаті порівняння двох звичайних дробів виходить один із результатів: дроби або рівні, або не рівні. У першому випадку ми маємо рівні звичайні дроби, а у другому – нерівні звичайні дроби. Дамо визначення рівних та нерівних звичайних дробів.

Визначення.

рівні, якщо справедлива рівність a d = b c .

Визначення.

Два звичайні дроби a/b та c/d не рівні, якщо рівність a d = b c не виконується.

Наведемо кілька прикладів рівних дробів. Наприклад, звичайний дріб 1/2 дорівнює дробу 2/4, так як 1 · 4 = 2 · 2 (при необхідності дивіться правила та приклади множення натуральних чисел). Для наочності можна уявити два однакових яблука, перше розрізане навпіл, а друге – на 4 частки. При цьому очевидно, що дві четверті частки яблука становлять 1/2 частку. Іншими прикладами рівних звичайних дробів є дроби 4/7 і 36/63, а також пара дробів 81/50 та 1620/1000.

А прості дроби 4/13 і 5/14 не рівні, оскільки 4·14=56 , а 13·5=65 , тобто, 4·14≠13·5 . Іншим прикладом нерівних звичайних дробів є дроби 17/7 та 6/4.

Якщо при порівнянні двох звичайних дробів з'ясувалося, що вони не рівні, то можливо знадобиться дізнатися, який із цих звичайних дробів меншеінший, а яка – більше. Щоб це з'ясувати, використовується правило порівняння звичайних дробів, суть якого зводиться до приведення порівнюваних дробів до спільному знаменникуі наступного порівняння чисельників. Детальна інформаціяна цю тему зібрано у статті порівняння дробів: правила, приклади, рішення .

Дробові числа

Кожен дріб є записом дробового числа. Тобто, дріб – це лише «оболонка» дробового числа, його зовнішній вигляд, а вся сенсове навантаженняміститься саме у дробовому числі. Однак для стислості та зручності поняття дробу та дробового числа поєднують і говорять просто дріб. Тут доречно перефразувати відомий вислів: ми говоримо дріб – маємо на увазі дробове число, ми говоримо дробове число - маємо на увазі дріб.

Дроби на координатному промені

Всі дробові числа, що відповідають звичайним дробам, мають своє унікальне місце на тобто існує взаємно однозначна відповідність між дробами і точками координатного променя.

Щоб на координатному промені потрапити в точку, що відповідає дробу m/n, потрібно від початку координат у позитивному напрямку відкласти m відрізків, довжина яких становить 1/n. одиничного відрізка. Такі відрізки можна отримати, розділивши одиничний відрізок на n рівних частин, що можна зробити з допомогою циркуля і лінійки.

Наприклад покажемо точку М на координатному промені, відповідну дробу 14/10 . Довжина відрізка з кінцями в точці O і найближчої до неї точці, позначеної маленьким штрихом, становить 1/10 частку одиничного відрізка. Крапка з координатою 14/10 віддалена від початку координат на відстань 14 таких відрізків.

Рівним дробам відповідає те саме дробове число, тобто, рівні дроби є координатами однієї й тієї ж точки на координатному промені. Наприклад, координатам 1/2, 2/4, 16/32, 55/110 на координатному промені відповідає одна точка, оскільки всі записані дроби рівні (вона розташована на відстані половини одиничного відрізка, відкладеного від початку відліку в позитивному напрямку).

На горизонтальному і спрямованому праворуч координатному промені точка, координатою якої є великий дріб, розташовується правіше точки, координатою якої є менший дріб. Аналогічно, точка з меншою координатою лежить лівіше від точки з більшою координатою.

Правильні та неправильні дроби, визначення, приклади

Серед звичайних дробів розрізняють правильні та неправильні дроби . Цей поділ у своїй основі має порівняння чисельника та знаменника.

Дамо визначення правильних і неправильних звичайних дробів.

Визначення.

Правильний дріб – це звичайний дріб, чисельник якого менше знаменника, тобто, якщо m

Визначення.

Неправильний дріб– це звичайний дріб, у якому чисельник більший або дорівнює знаменнику, тобто якщо m≥n , то звичайний дріб є неправильним.

Наведемо кілька прикладів правильних дробів: 1/4 , 32 765/909 003 . Дійсно, у кожному із записаних звичайних дробів чисельник менший за знаменник (за потреби дивіться статтю порівняння натуральних чисел), тому вони правильні за визначенням.

А ось приклади неправильних дробів: 9/9, 23/4,. Справді, чисельник першою із записаних звичайних дробів дорівнює знаменнику, а інших дробах чисельник більше знаменника.

Також мають місце визначення правильних та неправильних дробів, що базуються на порівнянні дробів з одиницею.

Визначення.

правильноюякщо вона менше одиниці.

Визначення.

Звичайний дріб називається неправильною, Якщо вона або дорівнює одиниці, або більше 1 .

Так звичайний дріб 7/11 – правильний, оскільки 7/11<1 , а обыкновенные дроби 14/3 и 27/27 – неправильные, так как 14/3>1, а 27/27=1.

Давайте поміркуємо, чим звичайні дроби з чисельником, вищим або рівним знаменнику, заслужили таку назву - «неправильні».

Для прикладу візьмемо неправильний дріб 9/9. Цей дріб означає, що взято дев'ять часток предмета, що складається з дев'яти часток. Тобто з наявних дев'яти часток ми можемо скласти цілий предмет. Тобто, неправильний дріб 9/9 насправді дає цілий предмет, тобто, 9/9=1 . Взагалі, неправильні дроби з чисельником рівним знаменнику позначають один цілий предмет, і такий дріб може замінити натуральне число 1 .

Тепер розглянемо неправильні дроби 7/3 та 12/4. Досить очевидно, що з цих семи третіх часток ми можемо скласти два цілих предмети (один цілий предмет складають 3 частки, тоді для складання двох цілих предметів нам знадобиться 3+3=6 часток) і залишиться ще одна третя частка. Тобто неправильний дріб 7/3 по суті означає 2 предмети та ще 1/3 частку такого предмета. А з дванадцяти четвертих часток ми можемо скласти три цілих предмети (три предмети по чотири частки в кожному). Тобто, дріб 12/4 насправді означає 3 цілих предмета.

Розглянуті приклади приводять нас до наступного висновку: неправильні дроби, можуть бути замінені або натуральними числами, коли чисельник ділиться націло на знаменник (наприклад, 9/9=1 і 12/4=3 ), або сумою натурального числа та правильного дробу, коли чисельник не ділиться націло на знаменник (наприклад, 7/3=2+1/3). Можливо, саме цим і заслужили неправильні дроби таку назву - "неправильні".

Окремий інтерес викликає подання неправильного дробу у вигляді суми натурального числа та правильного дробу (7/3=2+1/3). Цей процес називається виділенням цілої частини з неправильного дробу, і заслуговує на окремий і більш уважний розгляд.

Також варто зауважити, що існує дуже тісний зв'язок між неправильними дробами та змішаними числами.

Позитивні та негативні дроби

Кожен звичайний дріб відповідає позитивному дробовому числу (дивіться статтю позитивні та негативні числа). Тобто, звичайні дроби є позитивними дробами. Наприклад, прості дроби 1/5 , 56/18 , 35/144 – позитивні дроби. Коли потрібно особливо виділити позитивність дробу, перед нею ставиться знак плюс, наприклад, +3/4 , +72/34 .

Якщо перед звичайним дробом поставити знак мінус, то цей запис відповідатиме негативному дробовому числу. У цьому випадку можна говорити про негативних дробах. Наведемо кілька прикладів негативних дробів: −6/10 , −65/13 , −1/18 .

Позитивний і негативний дроби m/n і −m/n є протилежними числами . Наприклад, дроби 5/7 та −5/7 – протилежні дроби.

Позитивні дроби, як і позитивні числа загалом, позначають додаток, дохід, зміна будь-якої величини у бік збільшення тощо. Негативні дроби відповідають витратам, боргу, зміні будь-якої величини у бік зменшення. Наприклад, негативний дріб −3/4 можна трактувати як борг, величина якого дорівнює 3/4 .

На горизонтальній і спрямованій праворуч негативні дроби розташовуються лівіше початку відліку. Точки координатної прямої, координатами яких є позитивний дріб m/n і негативний дріб m/n розташовані на однаковій відстані від початку координат, але по різні сторони від точки O .

Тут варто сказати про дроби виду 0/n . Ці дроби дорівнюють числу нуль, тобто, 0/n=0 .

Позитивні дроби, негативні дроби, і навіть дроби 0/n об'єднуються у раціональні числа .

Дії з дробами

Одна дія зі звичайними дробами – порівняння дробів – ми вже розглянули вище. Визначено ще чотири арифметичні дії з дробами– додавання, віднімання, множення та поділ дробів. Зупинимося кожному з них.

Загальна суть дій із дробами аналогічна суті відповідних дій із натуральними числами. Проведемо аналогію.

Розмноження дробівможна розглядати як дію, при якій знаходиться дріб від дробу. Для пояснення наведемо приклад. Нехай ми маємо 1/6 частину яблука і нам потрібно взяти 2/3 частини від неї. Потрібна нам частина є результатом множення дробів 1/6 та 2/3. Результатом множення двох звичайних дробів є звичайний дріб (який окремо дорівнює натуральному числу). Далі рекомендуємо до вивчення інформацію статті множення дробів – правила, приклади та рішення.

Список літератури.

  • Віленкін Н.Я., Жохов В.І., Чесноков А.С., Шварцбурд С.І. Математика: підручник для 5 кл. загальноосвітніх установ.
  • Віленкін Н.Я. та ін Математика. 6 клас: підручник для загальноосвітніх закладів.
  • Гусєв В.А., Мордкович А.Г. Математика (посібник для вступників до технікумів).

Дроби ми постійно використовуємо у житті. Наприклад, коли їмо торт із друзями. Торт можна розділити на 8 рівних частин або 8 часткою. Частка- Це рівна частина від чогось цілого. Чотири друзі з'їли по шматочку торта. Чотири взяли з восьми шматочків можна записати математично у вигляді звичайного дробу\(\frac(4)(8)\), читається дріб "чотири восьмих" або "чотири ділене на вісім". Звичайний дріб ще називають простим дробом.

Дробова характеристика замінює поділ:
\(4 \div 8 = \frac(4)(8)\)
Це ми записали частки у дробах. У буквеному вигляді буде так:
\(\bf m \div n = \frac(m)(n)\)

4 – чисельникабо ділене, знаходиться вгорі над дробовою рисою і показує скільки частин або часток із загального було взято.
8 – знаменникабо дільник, що знаходиться внизу під дробовою рисою і показує загальну кількість частин або часток.

Якщо ми придивимося уважно, побачимо, що друзі з'їли половину торта або одну частину з двох. Запишемо у вигляді звичайного дробу \(\frac(1)(2)\), читається "одна друга".

Розглянемо ще приклад:
Є квадрат. Квадрат розділили на 5 рівних частин. Дві частини зафарбували. Запишіть дріб для зафарбованих частин? Запишіть дріб для незафарбованих частин?

Дві частини зафарбували, а всього частин п'ять, тому дріб матиме вигляд \(\frac(2)(5)\), читається дріб "дві п'ятих".
Три частини не зафарбували, всього частин п'ять, тому дріб запишемо так \(\frac(3)(5)\), читається дріб "три п'ятих".

Розділимо квадрат на дрібніші квадрати і запишемо дроби, для зафарбованих і незафарбованих частин.

Зафарбованих 6 частин, а лише 25 частин. Отримуємо дріб \(\frac(6)(25)\), читається дріб "шість двадцять п'ятих".
Чи не зафарбованих 19 частин, а всього 25 частин. Отримуємо дріб \(\frac(19)(25)\), читається дріб "дев'ятнадцять двадцять п'ятих".

Зафарбовані 4 частини, а всього 25 частин. Отримуємо дріб \(\frac(4)(25)\), читається дріб "чотири двадцять п'ятих".
Чи не зафарбованих 21 частин, а всього 25 частин. Отримуємо дріб \(\frac(21)(25)\), читається дріб "двадцять один двадцять п'ятих".

Будь-яке натуральне число можна подати у вигляді дробу. Наприклад:

\(5 = \frac(5)(1)\)
\(\bf m = \frac(m)(1)\)

Будь-яке число ділитися на одиницю, тому це число можна подати у вигляді дробу.

Питання на тему “звичайні дроби”:
Що таке?
Відповідь: частка- Це рівна частина від чогось цілого.

Що вказує знаменник?
Відповідь: знаменник показує на скільки частин або часток поділено.

Що вказує чисельник?
Відповідь: чисельник показує скільки частин чи часток було взято.

Дорога складала 100м. Мишко пройшов 31м. Запишіть дробом вираз скільки пройшов Мишко?
Відповідь:\(\frac(31)(100)\)

Що таке звичайний дріб?
Відповідь: звичайний дріб – це відношення чисельника до знаменника, де чисельник менший за знаменник. Приклад, звичайних дробів \(\frac(1)(4), \frac(3)(7), \frac(5)(13), \frac(9)(11)…\)

Як перевести натуральне число у звичайний дріб?
Відповідь: будь-яке число можна записати у вигляді дробу, наприклад, \(5 = \frac(5)(1)\)

Завдання №1:
Купили 2кг 700г дині. Миші відрізали \(\frac(2)(9)\) дині. Чому дорівнює маса відрізаного шматочка? Скільки грамів дині лишилося?

Рішення:
Переведемо кілограми у грами.
2кг = 2000г
2000г + 700г = 2700г всього важить диня.

Миші відрізали \(\frac(2)(9)\) дині. У знаменнику стоїть число 9, отже, на 9 частин розділили диню.
2700: 9 = 300г маса одного шматочка.
У чисельники стоїть число 2, отже треба Мишкові дати два шматочки.
300 + 300 = 600г або 300 ⋅ 2 = 600г стільки дині з'їв Мишко.

Щоб знайти яка маса дині залишилася потрібно відняти від загальної маси дині з'їдену масу.
2700 - 600 = 2100г залишилося дині.

Лекція 18. Система вивчення дробів у початковій школі

1. Поняття дробу.

2. Дроби (частки) у 3 класі.

3. Дроби у 4 класі.

4. Дроби величин.

Поняття дробу

Теми «Долі» та «Дроби» традиційно були присутні у всіх підручниках з математики для початкових класів. У колишніх випадках підручників тема «Долі» розглядалася у 2 класі системи 1-3 та у 3 класі системи 1-4. Діти знайомилися з поняттям частки (дробі виду х/к) та дробу (правильного дробу, в якому чисельник менший за знаменник), вчилися порівнювати дроби з опорою на предметну модель та вирішувати два види завдань з дробами: знаходження дробу від числа та знаходження числа за його дроби.

На сьогодні відповідно до Обов'язкового мінімуму вимог до рівня підготовки випускників початкової школи обсяг вивчення даної теми значно скоротився у підручниках традиційної змістовної орієнтації (підручники М.І. Моро та ін., підручники Н.Б. Істоміної). У той самий час цю тему значно розширено альтернативних підручниках системи Л.В. Занкова, системи В.В. Давидова та «Школи 2100». У цих методичних школах розширення обсягу знайомства з дробами обумовлено прагненням авторів сформувати у дитини більше загальне уявленняпро число. Оскільки сформувати хоч певною мірою узагальнене уявлення про об'єкт можливе лише у процесі твори розумових операцій над даним об'єктом (порівняння його з об'єктами іншого роду, виділення подібності та відмінності, проведення аналогій та ін.), необхідно мати для організації даної розумової діяльності хоча б два види об'єктів. Знайомство молодших школярів лише з натуральними числами не дає змоги проводити таку роботу. Дроби є натуральними числами (оскільки є цілими) - це числа раціональні. Не вводячи в словник дитини ці терміни, можна організувати роботу зі зіставлення цих двох видів чисел і знайомству з деякими подібними операціями з цими числами (співвіднесення з предметною моделлю, запис, порівняння, додавання і віднімання дробів з однаковими знаменниками і т.п. .).



В останній редакції традиційного підручника математики поняття «частка цілого» розглядається у 4 класі (частина 1) і деякі відомості про дроби даються на останніх сторінках підручника для 4 класу (частина 2). Завдання на знаходження дробу величин і величини його дробу зустрічаються у тексті навчальних посібників кілька разів. Ми вважаємо, що ця редакція підручника не є останньою, тому в цьому навчальному посібнику даємо матеріал з цієї теми відповідно до традиційного обсягу її вивчення у початкових класах і навіть трохи ширше – для того, щоб підготувати студентів для роботи за альтернативними програмами.

Поняття дробу пов'язане з розширенням множини цілих чисел до безлічі раціональних чисел. Теоретично вважається, що знайомство молодших школярів з частками і дробами має на меті розширення їх уявлень про число, проте, практично цього не відбувається, оскільки поняття дробу у тому вигляді, в якому воно завжди розглядалося в початковій школі, з безліччю чисел фактично не пов'язується.

Дріб у класичному методичному трактуванні курсу математики для початкових класів - це скоріше спосіб отримання частини об'єкта, при цьому необхідна частина необхідно задовольняє ряду спеціальних вимог.

У математиці розглядається два підходи до визначення поняття дробу – аксіоматичний (через словесне визначення та опис властивостей) та практичний – на основі вимірювання довжин відрізків.

За визначенням дріб - це число виду , де тип - цілі числа, причому п не дорівнює 0.

Далі визначається ряд операцій для чисел цього виду (що розуміти під складанням і відніманням дробів, що розуміти під множенням і розподілом дробів, який дріб вважати більшим, а який - меншим) і ряд властивостей, якими мають дроби (наприклад, основна властивість дробу: чисельник і знаменник можна помножити або розділити на те саме число, при цьому значення дробу не зміниться).

Такий підхід відображено у підручниках для 5-6 класів, що дозволяє говорити про можливість формування поняття дробу як числа.

У підручниках математики початкових класів відбито інший підхід до визначення поняття раціонального числа (дробі) - через вимір довжини отрезка. Для опису результату цього процесу використовують дріб.

Суть процесу полягає в наступному: якщо вдається розділити деякий об'єкт А (наприклад, відрізок) на b рівних частин (тобто взяту мірку b укласти по довжині відрізка без залишку) і взяти з таких частин, то результат цієї операції можна виразити так :

Отримана частина об'єкта А. У цьому не сприймається як самостійне число, лише як « - ая частина об'єкта А».

Наприклад, для учня початкових класів фактично немає сенсу символ сам собою, оскільки незрозуміло, що саме розділено на 4 рівні частини. У той самий час словосполучення « частина яблука» має сенс: з неї дитині зрозуміло, що яблуко було розділено на 4 рівні частини і взято 1 часть.

Таким чином, програмою початкових класів не передбачено формування поняття дробу як числа. Відомості про дроби дитина отримує лише через практичні дії над реальними об'єктами, величинами, множинами та опис цих дій мовою спеціальних символів (дрібниць). Всі ці дії вважаються підготовкою до знайомства з дробами у 5-6 класі. Даний підхід до формування уявлень про частки та дроби реалізований у всіх альтернативних підручниках математики для початкових класів.

Методична проблема знайомства дитини з дробами полягає у виборі вчителем доцільної множини вихідних об'єктів та практичних операцій, які учень виконуватиме над ними. Поняття дробу ототожнюватиметься з результатом цієї операції. Термін «доцільна множина» передбачає, що безліч обраних об'єктів має ділитися націло, інакше не можна втілити вимогу «рівні частини», при цьому у випадку геометричної фігури можна мати на увазі і рівновеликі частини, наприклад:

Сформованість уявлень про дроби відбивається в умінні виконувати такі операції:

1) записувати дріб, орієнтуючись на об'єкт чи рисунок;

2) порівнювати дроби з опорою на об'єкт чи рисунок;

3) знаходити «дроб від числа» (розподілом об'єкта чи множини на рівні частини);

4) відновлювати число за відомим його дробом (зворотна операція).

Всі ці вміння формуються на основі принципу наочності та невідривності від предметного змісту.

Дроби (частки) у 3 класі

Словом «частка» у 3 класі називають дріб виду. Частку отримують розподілом об'єкта кілька рівних частин.

Запис виду має на увазі, що об'єкт розділили на дві або чотири рівні частини і взяли одну з них. Запис такого виду в останній редакції підручника математики для 3 класу (2001) не розглядається.

Дітям повідомляється словесна назва отриманої частини: одна дванадцята частка, одна шоста частка...

Використовуючи малюнок кола, розділеного кілька рівних частин діти порівнюють частки, позначаючи результат порівняння словом (а чи не знаком).

Наприклад:

Назви, які частки кола вийшли кожному кресленні. Порівняй, яка частка більша: одна восьма чи одна четверта; одна третя чи одна шоста.

Наведемо приклад завдання перебування частки величины:

Довжина стрічки 9 дм. Відрізали одну третину цієї стрічки. Скільки про дециметрів стрічки відрізали?

Виконання:

Дане завдання є типовим завданням перебування частки величини. Сенс завдання відповідає процесу знаходження частки об'єкта. Для ілюстрації цього сенсу діти малюють у зошити відрізок довжиною 9 дм (модель заданого завдання об'єкта). Повторюють спосіб дії для отримання однієї третьої частини (частки) об'єкта: розділимо відрізок на три рівні частини. Запис 9 дм: 3 = 3 дм. Потім виконують операцію поділу на відрізку та вимірюють отриману третину (перевірка).

Наведемо приклад завдання (завдання) на перебування числа за його часткою:

Довжина однієї третьої частини відрізка дорівнює 4 см. Дізнайся довжину всього відрізка.

Виконання:

Дане завдання є зворотним по відношенню до наведеної вище.

Для побудови моделі ситуації цього завдання слід міркувати так. Намалюємо довільний відрізок. Його довжину ми не знаємо. Позначимо її знаком питання:

У задачі дана довжина однієї третини відрізка - розділимо його на три рівні частини (приблизно, оскільки це лише робочий малюнок до завдання) і підпишемо над однією частиною її довжину:

Оскільки всі три частини відрізка рівні, то кожна з них повинна мати довжину 4 см. Тоді довжина всього відрізка 4 см 3 = 12 см.

Наприклад:

Квадратний аркуш паперу зі стороною 2 дм розрізали п'ять рівних частин прямокутної форми. Знайди площу однієї частини.

Завдання вирішують практичним способом, оскільки способи обчислення площі за формулою діти дізнаються у 4 класі.

У початкових класах школи навчається 210 осіб. Одну третину всіх учнів складають третьокласники. Скільки дітей навчається у перших та других класах цієї школи?

Завдання вирішують, супроводжуючи її наочним зображенням ситуації. Міркують так. Щоб знайти одну третину від усієї кількості дітей, розділимо його на 3:

210: 3 = 70 (чол.) – це третьокласники

На решту дітей припадає дві частини, отже 70 2 = - 140 (чол.).

Або інакше: решта дітей навчаються в 1 і 2 класі, отже, 210- 70= 140 (чол).

За півроку до районної бібліотеки надійшло 200 книг для дітей. Це становить четверту частину всіх книг, що надійшли. Скільки всього книжок надійшло до бібліотеки за ці півроку?

Завдання вирішують, супроводжуючи її наочним зображенням ситуації. Міркують так:

Позначимо довільним відрізком всі книги, що надійшли - ми не знаємо скільки їх:

Відома четверта частина всіх книг – розділимо відрізок на 4 рівні частини (приблизно) та позначимо відому частину.

Оскільки всі чотири частини рівні, отже, на кожну з них має припадати по 200 книг, отже, 200 4 = 800 (кн.) надійшло до бібліотеки.

Дроби у 4 класі

У 4 класі ставиться завдання знаходження кількох часток цілого. Наприклад:

Довжина відрізка 10 см. Він поділений на 5 рівних частин. Скільки сантиметрів у чотирьох п'ятих частках цього відрізку? Розглянь креслення та рішення:

1) Знайдемо, скільки сантиметрів в одній п'ятій частці відрізка: 10 см: 5 = 2 см.

2) Знайдемо, скільки сантиметрів у чотирьох п'ятих частках відрізка:

2 см 4 = 8 см. Відповідь: 8 см.

Робота над цим поняттям йде виключно у словесних позначеннях: дітям повідомляється термін та дається його практична ілюстрація. Символьне позначення дробу цьому етапі не розглядається.

Наприклад:

Накреслити відрізок завдовжки 60 мм. Розділили його на 6 рівних частин. Скільки міліметрів у п'яти шостих частках цього відрізку?

В даному випадку йдеться тільки про п'ять частин з шести наявних, але не про дроб 5/6 .

Знайомство із символікою та операція порівняння дробів розглядається на останніх сторінках підручника математики для 4 класу (частина 2).

Розглядається спосіб запису дробу: ; 5/6; 3/5.

Правильний спосіб читання цього запису та зміст кожного її елемента: число, записане під межею, показує, на скільки рівних частин поділено ціле число; число, записане над межею, показує, скільки взято таких елементів.

Слова «числитель» та «знаменник» дітям не повідомляються.

Порівняння дробів проводиться із опорою на малюнок. Слід звертати увагу на те, що необхідно порівнювати сумірні частини одного об'єкта, оскільки для учня початкової школи дробу – це лише частини об'єкта чи множини.

Наприклад:

Що більше: чи ? або? або? або?

Відповідаючи питання, учні порівнюють відповідні частини рівних смужок (для наочності їх можна зафарбувати різними кольорами).

Міркування:

Порівнюю одну восьму частку смужки та одну четверту частку такої ж смужки. Одна четверта частка більша, ніж одна восьма частка однієї і тієї ж смужки.

Дроби величин

Завдання, що вимагають знаходження дробів (часток) величин і величин за заданими частками використовуються для вироблення вміння знаходити частки від числа та число по частці не тільки з опорою на наочну модель, але і з використанням сенсу поняття частка.

Частка - це з кількох рівних частин величини.

Наприклад:

6 аркушів становлять половину зошита. Скільки всього листів у зошиті?

Завдання можна вирішити з опорою на міркування: половин у зошити може лише дві. Якщо в кожному по 6 аркушів, то весь зошит містить 6 2 = 12 (аркушів).

Невелика зміна триває 5 хвилин, що становить четверту частину великої зміни. Скільки хвилин триває велика зміна?

Міркування:

Четвертих частин може бути лише 4. Якщо в кожній з них по 5 хвилин, то вся зміна 54 = 20 (хв).

Чому дорівнює третина доби? Половина доби? Чверть години? Три чверті року?

Для відповіді всі питання використовують сенс поняття частка (кілька часток) величини і знання співвідношення одиниць часу. Доба – це 24 години.

Третина доба 24: 3 = 8 (год). Половина доби 24: 2 = 12 (год). Година – це 60 хв. Чверть години 60: 4 = 15 хв. Рік – це 12 місяців. Чверть року 12: 4 = 3 (міс). Три чверті року 3-3 = 9 (міс).

Накресліть відрізок, довжина якого 48 мм. Чому дорівнює довжина третьої частини відрізка?

Міркування:

Треті частини у відрізку може бути лише три. 48 мм: 3 = 16 мм – довжина однієї третьої частини.

Накресли відрізок, п'ята частина якого дорівнює 17 мм.

Міркування:

П'ятих частин у відрізку може лише 5. Якщо кожна їх дорівнює 17 мм, весь відрізок 17 мм 5 - 85 мм.

У цьому контексті слід розглядати і дії з дробами, що вивчаються в початкових класах за деякими альтернативними програмами (підручник І.І. Аргінської, підручник Л.Г. Петерсон). Завдання «на дії з дробами» побудовані на тому ж принципі розуміння дитиною дробу як частки (або кількох часток) предмета або множини, вони не припускають добутку дій з дробами як такими за принципами, визначеними аксіоматикою раціональних чисел (т. е. немає в виду специфічні перетворення знаменників та чисельників тощо, за спеціальними правилами, як це робиться в 5-6 класах середньої школи).

Результати дій із дробами дитина формує як результати операцій над об'єктами, даними у предметній моделі чи малюнку.

Наприклад:

+ = + =

Міркування:

Одна четверта частка смужки та ще одна така ж частка смужки – разом дві четверті частки смужки.

Одна четверта частка смужки і ще дві таких же частки, разом виходить три четверті частини смужки.

Слід зазначити, що з точки зору введеного визначення дробу як частини об'єкта, числа, множини є некоректною робота з неправильними дробами.

Неправильний дріб - це дріб, у якого чисельник більше, ніж знаменник, наприклад:

; ; і т.п.

У низці альтернативних підручників (І.І. Аргінська, Л.Г. Петерсон) практикуються завдання, у яких діти мають діяти з неправильними дробами: порівнювати їх, розставляти за зростанням чи спаданням тощо.

Щоб подібні завдання були коректними, слід використовувати інше визначення дробу (як раціонального числа, заданого відповідним визначенням; див. вище), як і зроблено у підручниках середньої школи.

З погляду використовуваного у початковій школі визначення вираз виду немає сенсу, оскільки він має розумітися так: якийсь предмет (яблуко, смужку) розділили на 4 рівні частини, та був взяли 7 таких частин. Йдеться про один предмет, тому взяти 7 частин ні звідки!

Навіть якщо йдеться про безліч: «у класі 36 дітей», то одна четверта частка цієї кількості дорівнює 9 дітям, а часткою повинні відповідати кількості 64 осіб – при тому, що їх спочатку було 32!

Таким чином, за бажання знайомити учнів початкової школи з неправильними дробами слід по-іншому побудувати методику їхнього знайомства з поняттям «Дроби» (зробити це на основі аксіоматичного визначення) та не використовувати поняття «Долі» взагалі.

Поняття часток і звичайного дробу – дуже важливі. У повсякденному житті та навчальних заняттях людині частіше доводиться стикатися саме з дрібними частинами, а не з цілими числами. Яскравим прикладом є похід у магазин. Рідко продавець відважує точно один кілограм сиру чи ковбаси. Зазвичай – трохи менше чи більше. Ціна на продукти дуже часто не є цілим числом, а складається з великих та дрібних одиниць обчислення.

Відеоурок «Долі. Звичайні дроби» починається з простого та доступного прикладу поділу кавуна на шість рівних частин. Такі частини у геометрії прийнято називати частками. Кожен член сім'ї отримав по одній частці кавуна. У результаті кожному дісталася одна шоста частина ягоди. Математичне позначення цієї дії пропонується до вивчення наприкінці першої частини Відеоуроку.

Друга частина уроку показує це визначення, але вже з допомогою геометричного малюнка. Учням пропонується розбити відрізок, довжина якого дорівнює п'ятьом сантиметрам, на однакові частини по одному сантиметру. У результаті кожна частка виходить дорівнює одній п'ятій усієї довжини заданого відрізка. У геометрії є такі поняття як половина, третина та чверть. Їхнє математичне позначення пропонується до вивчення в кінці другої частини Відеоуроку.

Наступна частина уроку починається прикладом із пирогом, а також появі значення у верхній частині дробу числа, яке більше одиниці. Після пояснення цієї дії учням пропонується поняття звичайного дробу. Разом з визначенням вводяться поняття чисельника та знаменника. Чисельник – число, розташоване у верхній частині дробу, знаменник – у нижній. Якщо за простим, то чисельник показує скільки частин числа чи фігури було взято, а знаменник - скільки частів було розділено ціле число чи фігура.

Четверта частина відеоуроку зачіпає основні одиниці обчислення і можливість записування їх за допомогою звичайних дробів. Зрозуміти важливість чисельника можна за допомогою променя координат, що відображається в наступному слайді. На малюнку зображено відрізок, розділений на шість рівних частин, кожній з яких відповідає своє значення чисельника за однакового знаменника.

Наприкінці Відеоуроку за традицією розташовано низку питань, що сприяють кращому розумінню теми учнями середньоосвітніх шкіл.

У подальшому курсі геометрії учні отримають знання про можливість застосування математичних дій до звичайних дробів, тому освоїти основні поняття – перший крок до подальшого успішного навчання.

Ефективності відеоуроку сприяє унікальна система подачі інформації, з якою не зрівняється жоден підручник. Дані демонструються прикладами зі звичайного життя, математичними формулами та геометричними кресленнями. Весь цей процес супроводжується голосом диктора, який виразно дублює інформацію мовленнєвим поданням.

Вся інформація розбита на зручні вивчення блоки, а чи не як у підручнику - подається одним суцільним потоком. Такий метод сприяє кращій учності, особливо для дітей зі зниженою концентрацією уваги. Найбільш важливі відомості виділяються різними кольорами, а малюнки прості та зрозумілі – на них немає непотрібних позначень та зайвих креслень.

Розвиток електронних технологій здешевив обладнання, призначене для відтворення відеофайлів. Тому відеоурок легко можна використовувати в шкільних умовах на штатному обладнанні, а також під час самостійного повторення або вивчення матеріалу будинку. Мінімальний розмір, популярний формат - все це дозволяє відтворити урок на відео програвачах, комп'ютерах, планшетах, проекторах і мобільних телефонах, навіть якщо вони не відносяться до останнього покоління побутової техніки.

§ 1 Частки та дроби

У цьому уроці ми познайомимося з поняттями «частки» та «дроби».

Давайте розглянемо ситуацію:

Колі виповнилося 8 років. На честь цього спекли іменинний пиріг та розрізали на 8 рівних частин. 2 шматочки іменинного пирога Коля віддав мамі та татові, 2 шматочки - братові з сестричкою, а один узяв собі. Після того, як усі отримали по шматочку іменинного пирога, на тарілці залишилося ще кілька шматків. Скільки часток іменинного пирога з'їли, а скільки лишилося?

Щоб відповісти на поставлене запитання, насамперед необхідно з'ясувати, що означає таке поняття як «частка».

Якщо цілу одиницю рахунку або виміру розділити на 2 рівні частини, то кожна з цих

таку частину.

Тепер ми можемо сказати, що весь пиріг – це ціле, яке розділили на 8 часток. Порахувавши кількість з'їдених шматків пирога 2 + 2 + 1 = 5, дізнаємося, що всього з'їли 5 часток з 8, а залишилося 8 - 5 = 3 частки.

Покажемо це малюнку:

Жовтим кольором зафарбовані 5 часток пирога, які з'їли, це

Дробами називають одну або кілька рівних часток цілого. Записують дроби двома

Число m, записане над межею, називається чисельником. Чисельник показує, скільки частин цілого взяли.

Число n, записане під межею, називається знаменником. Знаменник показує, скільки рівних частин розділили ціле.

число 3 - чисельник даного дробу - показує, що взяли 3 частини цілого; Число 7 - знаменник даного дробу - показує, що ціле розділили на 7 рівних частин.

Слід зазначити, що при читанні дробів треба пам'ятати: чисельник - кількісне числівник жіночого роду, а знаменник - порядкове числівник

§ 2 Короткі підсумки на тему уроку

Частки – це рівні частини одного цілого.

Список використаної литературы:

  1. Петерсон Л.Г. Математика. 4 клас. Частина 1./Л.Г. Петерсон. - М.: Ювента, 2014. - 96 с.: Іл.
  2. Математика. 4 клас. Методичні рекомендації до підручника математики «Навчаюся вчитися» для 4 класу. / Л.Г. Петерсон. - М.: Ювента, 2014. - 280 с.: Іл.
  3. Зак С.М. Усі завдання до підручника математики для 4 класу Л.Г. Петерсон та комплекту самостійних та контрольних робіт. ФГЗС. - М.: ЮНВЕС, 2014.
  4. CD-ROM. Математика. 4 клас. Сценарії уроків до підручника до 1 частини Петерсон Л.Г. - М.: Ювент, 2013.


Останні матеріали розділу:

Перше ополчення у смутні часи презентація
Перше ополчення у смутні часи презентація

Слайд 1Смутний час Слайд 2На початку XVII століття Російська держава була охоплена пожежею громадянської війни та глибокою кризою. Сучасники...

Слова паразити у дитячій мові
Слова паразити у дитячій мові

Однією з найважливіших проблем сучасного суспільства є проблема мови. Ні для кого не секрет, що останнім часом наша мова зазнала...

Презентація для уроків літературного читання у початковій школі про Е
Презентація для уроків літературного читання у початковій школі про Е

Слайд 2 04.11.2009р. Н.С. Папулова 2 Олена Олександрівна Благініна. (1903-1989) – російський поет, перекладач. Слайд 3 Дочка багажного касира на...