Щоб помножити два негативні числа потрібно. Розмноження дробів з різними знаками

Завдання 1.Крапка рухається по прямій зліва направо зі швидкістю 4 дм. в секунду та в теперішній моментпроходить через точку A. Де буде перебувати точка, що рухається, через 5 секунд?

Неважко збагнути, що точка перебуватиме на 20 дм. вправо від A. Запишемо розв'язання цього завдання відносними числами. Для цього умовимося в наступних положеннях:

1) швидкість вправо будемо позначати знаком +, а вліво знаком -, 2) відстань точки, що рухається від A вправо будемо позначати знаком + і вліво знаком -, 3) проміжок часу після теперішнього моменту знаком + і до теперішнього моменту знаком -. У нашій задачі дано, слід., такі числа: швидкість = + 4 дм. в секунду, час = + 5 секунд і вийшло, як зрозуміли арифметично, число + 20 дм., що виражає відстань точки, що рухається від A через 5 секунд. За змістом завдання бачимо, що вона належить до множення. Тому розв'язання задачі зручно записати:

(+ 4) ∙ (+ 5) = + 20.

Завдання 2.Крапка рухається по прямій зліва направо зі швидкістю по 4 дм. в секунду та зараз проходить через точку A. Де знаходилася ця точка 5 секунд тому?

Відповідь зрозуміла: точка знаходилася вліво від A на відстані 20 дм.

Рішення зручне, згідно умов щодо знаків, і, маючи на увазі, що сенс завдання не змінився, записати так:

(+ 4) ∙ (– 5) = – 20.

Завдання 3.Крапка рухається по прямій праворуч наліво зі швидкістю 4 дм. в секунду і зараз проходить через точку A. Де буде точка, що рухається через 5 секунд?

Відповідь ясна: на 20 дм. ліворуч від A. Тому, відповідно до тих самих умов щодо знаків, ми можемо записати вирішення цього завдання так:

(– 4) ∙ (+ 5) = – 20.

Завдання 4.Крапка рухається по прямій праворуч наліво зі швидкістю по 4 дм. в секунду і зараз проходить через точку A. Де знаходилася точка, що рухається 5 секунд тому?

Відповідь ясна: на відстані 20 дм. праворуч від A. Тому вирішення цього завдання слід записати так:

(– 4) ∙ (– 5) = + 20.

Розглянуті завдання вказують, як слід поширити дію множення на відносні числа. Ми маємо в задачах 4 випадки множення чисел із всілякими комбінаціями знаків:

1) (+ 4) ∙ (+ 5) = + 20;
2) (+ 4) ∙ (– 5) = – 20;
3) (– 4) ∙ (+ 5) = – 20;
4) (– 4) ∙ (– 5) = + 20.

У всіх чотирьох випадках абсолютні величини даних чисел слід перемножити, у твору доводиться ставити знак тоді, коли у множників однакові знаки (1-й та 4-й випадки) і знак – коли у множників різні знаки(Випадки 2-й і 3-й).

Звідси бачимо, що з перестановки множника і множника твір не змінюється.

Вправи.

Виконаємо один приклад на обчислення, де входять і додавання та віднімання та множення.

Щоб не сплутати порядок дій, звернемо увагу на формулу

Тут написана сума творів двох пар чисел: треба, отже, спочатку число a помножити число b, потім число c помножити число d і потім отримані твори скласти. Також у формулі

треба спочатку число b помножити на c і потім отриманий твір відняти від a.

Якби потрібно добуток чисел a і b скласти з c і отриману суму помножити на d, слід було б написати: (ab + c)d (порівняти з формулою ab + cd).

Якби треба було різницю чисел a і b помножити на c, написали б (a – b)c (порівняти з формулою a – bc).

Тому встановимо взагалі, що й порядок дій не позначений дужками, треба спочатку виконати множення, та був вже складання чи віднімання.

Приступаємо до обчислення нашого виразу: виконаємо спочатку додавання, написані всередині всіх маленьких дужок, отримаємо:

Тепер треба виконати множення всередині квадратних дужок і потім віднімемо отриманий твір:

Тепер виконаємо дії всередині кручених дужок: спочатку множення і потім віднімання:

Тепер залишиться виконати множення та віднімання:

16. Добуток кількох множників.Нехай потрібно знайти

(–5) ∙ (+4) ∙ (–2) ∙ (–3) ∙ (+7) ∙ (–1) ∙ (+5).

Тут треба перше число помножити на другий, отриманий твір на 3-тє і т. д. Не важко на підставі попереднього встановити, що абсолютні величини всіх чисел треба перемножити між собою.

Якби всі множники були позитивними, то на підставі попереднього знайдемо, що й у твору треба написати знак +. Якби якийсь один множник був від'ємний

напр., (+2) ∙ (+3) ∙ (+4) ∙ (–1) ∙ (+5) ∙ (+6),

той добуток всіх попередніх йому множників дало б знак + (у нашому прикладі (+2) ∙ (+3) ∙ (+4) = +24, від множення отриманого твору на негативне число (у нашому прикладі +24 помножити на –1) отримали б у нового твору знак - помноживши його на наступний позитивний множник (у нашому прикладі -24 на +5), отримаємо знову негативне число, оскільки всі інші множники передбачаються позитивними, то знак у твору більше змінюватися не може.

Якби було два негативні множники, то, розмірковуючи, як вище, знайшли б, що спочатку, поки не дошив до першого негативного множника, твір було б позитивно, від множення його на перший негативний множник новий твір вийшов би негативним і таким він і залишалося доти, доки не дійдемо до другого негативного множника; тоді від множення негативного числа на негативно новий твір вийшло б позитивним, яке залишиться таким і надалі, якщо інші множники позитивні.

Якби був ще третій негативний множник, то отриманий позитивний добуток від множення його на цей третій негативний множник став би негативним; воно таким і залишилося, якщо інші множники були всі позитивні. Але якщо є ще четвертий негативний множник, то від множення на нього твір стане позитивним. Розмірковуючи так само, знайдемо, що взагалі:

Щоб дізнатися знак твору кількох множників, треба подивитися, скільки серед цих множників негативних: якщо їх зовсім немає, або якщо їх парне число, то твір позитивно: якщо ж негативних множників непарне число, Твір твір негативно.

Отже, тепер ми легко дізнаємось, що

(–5) ∙ (+4) ∙ (–2) ∙ (–3) ∙ (+7) ∙ (–1) ∙ (+5) = +4200.

(+3) ∙ (–2) ∙ (+7) ∙ (+3) ∙ (–5) ∙ (–1) = –630.

Тепер неважко бачити, що знак твору, а також його абсолютна величина, не залежить від порядку множників.

Зручно, коли маємо справу з дрібними числами, знаходити твір відразу:

Зручно це тому, що не доводиться робити марних множень, тому що попередньо отримане дробовий виразскорочується, скільки можливо.

У цій статті ми розберемося з множенням чисел із різними знаками. Тут ми спочатку сформулюємо правило множення позитивного та негативного числа, обґрунтуємо його, а після цього розглянемо застосування цього правила під час вирішення прикладів.

Навігація на сторінці.

Правило множення чисел із різними знаками

Примноження позитивного числа на негативне, а також негативного на позитивне проводиться за наступним правилу множення чисел з різними знаками Щоб помножити числа з різними знаками, треба помножити, і перед отриманим твором поставити знак мінус.

Запишемо це правило в буквеному вигляді. Для будь-якого позитивного дійсного числа a і дійсного негативного числа −b справедлива рівність a·(−b)=−(|a|·|b|) , а також для негативного числа −a та позитивного числа b справедлива рівність (−a)·b=−(|a|·|b|) .

Правило множення чисел з різними знаками повністю узгоджується з властивостями дій із дійсними числами. Справді, з їхньої основі нескладно показати, що з дійсних і позитивних чисел a і b справедлива ланцюжок рівностей виду a·(−b)+a·b=a·((−b)+b)=a·0=0, яка доводить, що a·(−b) і a·b – протилежні числа, звідки слідує рівність a·(−b)=−(a·b) . А з нього випливає справедливість розглянутого правила множення.

Слід зазначити, що озвучене правило множення чисел з різними знаками є справедливим як для дійсних чисел, так і для раціональних чиселі цілих чисел. Це випливає з того, що дії з раціональними і цілими числами мають ті самі властивості, які використовувалися за доказом вище.

Зрозуміло, що множення чисел із різними знаками за отриманим правилом зводиться до множення позитивних чисел.

Залишилося розглянути приклади застосування розібраного правила множення при множенні чисел з різними знаками.

Приклади множення чисел із різними знаками

Розберемо рішення кількох прикладів множення чисел із різними знаками. Почнемо з простого випадку, щоб зосередитись на кроках правила, а не на обчислювальних складностях.

Виконайте множення від'ємного числа −4 на позитивне число 5 .

За правилом множення чисел з різними знаками спочатку потрібно перемножити модулі вихідних множників. Модуль −4 дорівнює 4 , а модуль 5 дорівнює 5 , а множення натуральних чисел 4 та 5 дає 20 . Нарешті залишилося поставити знак мінус перед отриманим числом, маємо −20 . У цьому множення завершено.

Коротко рішення можна записати так: (−4) · 5 = - (4 · 5) = -20 .

(−4)·5=−20 .

При множенні дробових чиселз різними знаками потрібно вміти виконувати множення звичайних дробів, множення десяткових дробів та їх комбінацій з натуральними та змішаними числами

Проведіть множення чисел із різними знаками 0,(2) і.

Виконавши переклад періодичної десяткового дробуу звичайний дріб, а також виконавши перехід від змішаного числа до неправильного дробу, Від вихідного твору ми прийдемо до твору звичайних дробів із різними знаками виду. Цей твір за правилом множення чисел з різними знаками дорівнює. Залишилося лише перемножити прості дроби в дужках, маємо .

Окремо варто сказати про множення чисел з різними знаками, коли один або обидва множники є

Тепер давайте розберемося з множенням та поділом.

Припустимо, що нам потрібно помножити +3 на -4. Як це зробити?

Давайте розглянемо такий випадок. Три людини залізли у борги, і у кожного по 4 долари боргу. Чому дорівнює загальний обов'язок? Для того, щоб його знайти, треба скласти всі три борги: 4 долари + 4 долари + 4 долари = 12 доларів. Ми з вами вирішили, що додавання трьох чисел 4 позначається як 3×4. Оскільки в даному випадкуми говоримо про обов'язок, перед 4 стоїть знак «-». Ми знаємо, що загальний борг дорівнює 12 доларам, тому тепер наше завдання має вигляд 3х(-4)=-12.

Ми отримаємо той самий результат, якщо за умовою завдання кожна з чотирьох осіб має борг по 3 долари. Інакше кажучи, (+4)х(-3)=-12. А оскільки порядок співмножників значення не має, отримуємо (-4)х(+3)=-12 та (+4)х(-3)=-12.

Давайте узагальнюємо результати. При перемноженні одного позитивного та одного негативного числа результат завжди буде негативним числом. Чисельна величинавідповіді буде такою самою, як і у разі позитивних чисел. Твір (+4) х (+3) = +12. Присутність знака "-" впливає лише на знак, але не впливає на чисельну величину.

А як перемножити два негативні числа?

На жаль, на цю тему дуже важко придумати відповідний приклад із життя. Легко собі уявити борг у сумі 3 або 4 долари, але неможливо уявити -4 або -3 людини, які залізли в борги.

Мабуть, ми підемо іншим шляхом. У множенні за зміни знака одного з множників змінюється знак твору. Якщо ми змінюємо знаки в обох множників, ми маємо двічі змінити знак твору, Спершу з позитивного на негативний, а потім навпаки, з негативного на позитивний, тобто у твору буде початковий знак.

Отже, цілком логічно, хоча трохи дивно, що (-3) х (-4) = +12.

Положення знакапри множенні змінюється таким чином:

додатне числох позитивне число = позитивне число;
від'ємне число х позитивне число = від'ємне число;
позитивне число х від'ємне число = від'ємне число;
від'ємне число х від'ємне число = позитивне число.

Інакше кажучи, перемножуючи два числа з однаковими знаками, ми отримуємо позитивне число. Перемножуючи два числа з різними знаками, ми маємо негативне число.

Таке ж правило справедливе і для дії протилежного множення – для.

Ви легко можете в цьому переконатись, провівши зворотні операціїмноження. Якщо в кожному з прикладів, наведених вище, ви помножите приватне на дільник, то отримаєте ділене, і переконайтеся, що воно має той самий знак, наприклад (-3) х (-4) = (+12).

Оскільки незабаром зима, то пора вже подумати про те, у що перевзути свого залізного коня, щоб не ковзати по льоду і почуватися впевнено на зимових дорогах. Можна, наприклад, взяти шини йокогама на сайті: mvo.ru або якісь інші, головне, щоб якісний, більше інформації і ціни ви можете дізнатися на сайті Mvo.ru.

У цій статті дається докладний огляд поділу чисел з різними знаками. Спочатку наведено правило розподілу чисел із різними знаками. Нижче розібрано приклади поділу позитивних чисел на негативні та негативних чисел на позитивні.

Навігація на сторінці.

Правило розподілу чисел із різними знаками

У статті розподіл цілих чисел було отримано правило розподілу цілих чисел із різними знаками. Його можна поширити і на раціональні числа, і на дійсні числа, повторивши всі міркування із зазначеної статті.

Отже, правило поділу чисел з різними знакамимає таке формулювання: щоб розділити позитивне число на негативне або негативне число на позитивне, треба розділити розподіленого на модуль дільника, і перед отриманим числом поставити знак мінус.

Запишемо це правило поділу за допомогою букв. Якщо числа a та b мають різні знаки, то справедлива формула a:b=−|a|:|b| .

З озвученого правила зрозуміло, що результатом розподілу чисел із різними знаками є негативне число. Дійсно, оскільки модуль діленого і модуль дільника є позитивнішим за число, то їх приватне є позитивним числом, а знак мінус робить це число негативним.

Зазначимо, що розглянуте правило зводить розподіл чисел із різними знаками до поділу позитивних чисел.

Можна навести інше формулювання правила поділу чисел з різними знаками: щоб розділити число a на число b потрібно число a помножити на число b −1 , зворотне числу b . Тобто, a:b=a·b −1 .

Це правило можна використовувати, коли є можливість виходити за межі множини цілих чисел (оскільки далеко не кожне ціле число має зворотне). Іншими словами, воно застосовується на безлічі раціональних, а також на множині дійсних чисел.

Зрозуміло, це правило поділу чисел із різними знаками дозволяє від поділу перейти до множення.

Це правило використовується при розподілі негативних чисел .

Залишилося розглянути, як це правило поділу чисел з різними знаками застосовується під час вирішення прикладів.

Приклади поділу чисел із різними знаками

Розглянемо рішення кількох характерних прикладів поділу чисел із різними знаками, щоб засвоїти принцип застосування правил попереднього пункту.

Розділіть від'ємне число −35 на позитивне число 7 .

Правило поділу чисел з різними знаками наказує спочатку знайти модулі діленого та дільника. Модуль числа −35 дорівнює 35 а модуль числа 7 дорівнює 7 . Тепер нам потрібно розділити модуль діленого на модуль дільника, тобто треба розділити 35 на 7 . Згадавши, як виконується розподіл натуральних чисел, отримуємо 35:7=5. Залишився останній крок правила розподілу чисел з різними знаками – поставити мінус перед отриманим числом, маємо −5.

Ось усі рішення: .

Можна було виходити з іншого формулювання правила розподілу чисел із різними знаками. І тут спочатку знаходимо число, зворотне дільнику 7 . Цим числом є звичайний дріб 1/7. Таким чином, . Залишилося виконати множення чисел із різними знаками: . Очевидно, ми дійшли такого самого результату.

(−35):7=−5 .

Обчисліть частки 8:(−60) .

За правилом поділу чисел з різними знаками маємо 8:(−60)=−(|8|:|−60|)=−(8:60) . Отриманому виразу відповідає негативний звичайний дріб (дивіться знак поділу як риса дробу), можна провести скорочення дробу на 4 .

Запишемо рішення коротко: .

При розподілі дробових раціональних чисел з різними знаками їх зазвичай поділяється і дільник представляють у вигляді звичайних дробів. Це пов'язано з тим, що з числами в іншому записі (наприклад, у десятковому) не завжди зручно виконувати поділ.

Модуль діленого дорівнює, а модуль дільника дорівнює 0(23) . Щоб провести розподіл модуля поділеного на модуль дільника, перейдемо до звичайних дробів.

У цій статті сформулюємо правило множення негативних чиселі дамо йому пояснення. Докладно буде розглянуто процес множення негативних чисел. На прикладах показано усі можливі випадки.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Примноження негативних чисел

Визначення 1

Правило множення негативних чиселполягає в тому, що для того, щоб помножити два негативні числа, необхідно перемножити їх модулі. Це правилозаписується так: для будь-яких негативних чисел - a, - b ця рівність вважається вірною.

(- а) · (- b) = a · b .

Вище наведено правило множення двох негативних чисел. Виходячи з нього, доведемо вираз: (-а) · (- b) = a · b. Стаття множення чисел з різними знаками розповідає про те, що рівність а · (- b) = - a · b справедлива, як і (- а) · b = - a · b . Це випливає з якості протилежних чисел, завдяки якому рівності запишуться наступним чином:

(- a) · (- b) = - (- a · (- b)) = - (- (a · b)) = a · b .

Тут очевидно видно підтвердження правила множення негативних чисел. З прикладів очевидно, що добуток двох негативних чисел – позитивне число. При перемноженні модулів чисел результат завжди є позитивним числом.

Це правило застосовується для множення дійсних чисел, раціональних чисел, цілих чисел.

Тепер докладно розглянемо приклади множення двох негативних чисел. При обчисленні необхідно скористатися правилом, написаним вище.

Приклад 1

Здійснити множення чисел - 3 і - 5 .

Рішення.

За модулем множені дані два числа дорівнюють позитивним числам 3 і 5 . Їхній твір дає в результаті 15 . Звідси випливає, що твір заданих чиселодно 15

Запишемо коротко саме множення негативних чисел:

(-3) · (-5) = 3 · 5 = 15

Відповідь: (-3) · (-5) = 15 .

При множенні негативних раціональних чисел, застосувавши розібране правило, можна мобілізуватися до множення дробів, множення змішаних чисел, множення десяткових дробів

Приклад 2

Обчислити твір (-0, 125) · (-6).

Рішення.

Використовуючи правило множення негативних чисел, отримаємо, що (− 0 , 125) · (− 6) = 0 , 125 · 6 . Для отримання результату необхідно виконати множення десяткового дробу на натуральне числостовпчиків. Це виглядає так:

Отримали, що вираз набуде вигляду (− 0 , 125) · (− 6) = 0 , 125 · 6 = 0 , 75 .

Відповідь: (− 0 , 125) · (− 6) = 0 , 75 .

У випадку, коли множники – ірраціональні числа, тоді їх твір може бути записаний у вигляді числового виразу. Значення обчислюється лише за потребою.

Приклад 3

Необхідно зробити множення негативного - 2 на невід'ємний log 5 1 3 .

Рішення

Знаходимо модулі заданих чисел:

2 = 2 та log 5 1 3 = - log 5 3 = log 5 3 .

Дотримуючись правил множення негативних чисел, отримаємо результат - 2 · log 5 1 3 = - 2 · log 5 3 = 2 · log 5 3 . Це вираз і є відповіддю.

Відповідь: - 2 · log 5 1 3 = - 2 · log 5 3 = 2 · log 5 3 .

Для продовження вивчення теми необхідно повторити розділ множення дійсних чисел.

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter

У цій статті ми розберемося із процесом множення негативних чисел. Спочатку сформулюємо правило множення негативних чисел та обґрунтуємо його. Після цього перейдемо до вирішення характерних прикладів.

Навігація на сторінці.

Відразу озвучимо правило множення негативних чисел: щоб помножити два негативні числа, треба перемножити їх модулі

Запишемо це правило за допомогою літер: для будь-яких негативних дійсних чисел −a та −b (при цьому числа a та b – позитивні) справедлива рівність (−a)·(−b)=a·b .

Доведемо правило множення негативних чисел, тобто доведемо рівність (−a)·(−b)=a·b .

У статті множення чисел з різними знаками ми обґрунтували справедливість рівності a·(−b)=−a·b , аналогічно показується, що (−a)·b=−a·b . Ці результати та властивості протилежних чисел дозволяють записати наступні рівності (−a)·(−b)=−(a·(−b))=−(−(a·b))=a·b . Це доводить правило множення негативних чисел.

З наведеного правила множення відомо, що добуток двох негативних чисел є позитивним числом. Справді, оскільки модуль будь-якого числа є позитивним, твір модулів також є позитивним числом.

На закінчення цього пункту зазначимо, що розглянуте правило можна використовуватиме множення дійсних чисел, раціональних чисел і цілих чисел.

Настав час розібрати приклади множення двох негативних чиселПри вирішенні будемо користуватися правилом, отриманим у попередньому пункті.

Перемножте два негативні числа −3 та −5 .

Модулі чисел, що множаться, рівні 3 і 5 відповідно. Добуток цих чисел дорівнює 15 (при необхідності дивіться множення натуральних чисел), таким чином, добуток вихідних чисел дорівнює 15 .

Весь процес множення вихідних негативних чисел коротко записується так: (-3) · (-5) = 3 · 5 = 15 .

Збільшення негативних раціональних чисел за допомогою розібраного правила можна звести до множення звичайних дробів, множення змішаних чисел або множення десяткових дробів.

Обчисліть добуток (−0,125)·(−6) .

За правилом множення негативних чисел маємо (-0,125) · (-6) = 0,125 · 6 . Залишилося лише закінчити обчислення, виконаємо множення десяткового дробу на натуральне число стовпчиком:

Нарешті, зауважимо, що й один чи обидва множника є ірраціональними числами, заданими як коренів, логарифмів, ступенів тощо., їх добуток часто доводиться записувати як числове вираз. Значення отриманого виразу обчислюється лише за необхідності.

Проведіть множення від'ємного числа на від'ємне число.

Знайдемо спочатку модулі чисел, що множаться: і (Дивіться властивості логарифму). Тоді за правилом множення негативних чисел маємо. Отриманий твір є відповіддю.

Продовжити вивчення теми можна, звернувшись до розділу множення дійсних чисел.

З деякою натяжкою те саме пояснення годиться і для твору 1-5, якщо вважати, що сума з одного-єдиного

доданку дорівнює цьому доданку. Але твір 0 5 або (-3) 5 так не поясниш: що означає сума з нуля чи мінус трьох доданків?

Можна, однак, переставити співмножники

Якщо ми хочемо, щоб твір не змінювався при перестановці співмножників - як це було для позитивних чисел - то маємо вважати, що

Тепер перейдемо до твору (-3) (-5). Чому воно рівне: -15 або +15? Обидва варіанти мають сенс. З одного боку, мінус в одному співмножнику вже робить твір негативним - тим більше воно має бути негативним, якщо негативні обидва співмножники. З іншого боку, у табл. 7 вже є два мінуси, але тільки один плюс, і «за справедливістю» (-3)-(-5) має бути рівним +15. То що ж віддати перевагу?

Вас, звичайно, такими розмовами не заплутаєш: із шкільного курсуВи твердо засвоїли, що мінус на мінус дає плюс. Але уявіть, що Ваш молодший брат чи сестра запитує Вас: а чому? Що це – примха вчительки, вказівка вищого начальства чи теорема, яку можна довести?

Зазвичай правило множення негативних чисел пояснюють на прикладах на кшталт представленого табл. 8.

Можна пояснювати інакше. Напишемо поспіль числа

Додавання негативних чисел Додавання позитивних і негативних чисел можна розібрати за допомогою числової осі. Складання чисел за допомогою координатної прямої Складання невеликих за модулем чисел зручно виконувати на […]
Поясніть значення слів: закон, лихвар, раб-боржник. поясніть значення слів: закон, лихвар, раб-боржник. Запитання по темі 1.На які 3 типи можна розділити […]
Ставка єдиного податку - 2018 Ставка єдиного податку - 2018 для підприємців-фізособ першої та другої груп розраховується у відсотках від розміру прожиткового мінімуму та мінімальної зарплати, встановлених на 01 січня […]
на рацію в машині дозвіл потрібен? де б прочитати? Вам необхідно зареєструвати вашу радіостанцію у будь-якому випадку. Рації, які працюють на частоті 462MHz, якщо Ви не є представником МВС, на Вас немає […]
Екзаменаційні квитки ПДРкатегорії СД 2018 року Екзаменаційні квитки CD ДІБДР 2018 Офіційні екзаменаційні квиткикатегорії ЦД 2018 року. Квитки та коментарі складені на основі ПДДот 18 липня 2018 року […]
Курси іноземних мову Києві «Європейська Освіта» англійська італійська нідерландська норвезька ісландська в'єтнамська бірманська бенгальська сингальська тагальська непальська малагасійська Де б Ви не […]

Тепер напишемо ті самі числа, помножені на 3:

Легко помітити, що кожне число більше за попереднє на 3. Тепер напишемо ті ж числа в зворотному порядку(почавши, наприклад, з 5 та 15):

У цьому під числом -5 виявилося число -15, отже 3 (-5) = -15: плюс мінус дає мінус.

Тепер повторимо ту ж процедуру, множачи числа 1,2,3,4,5. на -3 (ми вже знаємо, що плюс на мінус дає мінус):

Кожне наступне число нижнього ряду менше попереднього на 3. Запишемо числа у зворотному порядку

Під числом -5 виявилося 15, отже (-3) (-5) = 15.

Можливо, ці пояснення й задовольнили б Вашого молодшого братачи сестру. Але Ви маєте право запитати, як же справи насправді і чи можна довести, що (-3) (-5) = 15?

Відповідь тут така: можна довести, що (-3) (-5) має дорівнювати 15, якщо тільки ми хочемо, щоб звичайні властивостідодавання, віднімання та множення залишалися вірними для всіх чисел, включаючи негативні. Схема цього підтвердження така.

Доведемо спочатку, що 3(-5) = -15. Що таке -15? Це число, протилежне 15, тобто число, яке в сумі з 15 дає 0. Отже, нам треба довести, що

(Виносячи 3 за дужку, ми скористалися законом дистрибутивності ab + ас = а(b + с) при - адже ми припускаємо, що він залишається вірним для всіх чисел, включаючи негативні.) Отже, (Допитливий читач запитає нас, чому . : доказ цього факту - як і взагалі обговорення того, що таке нуль - ми пропускаємо.)

Доведемо тепер, що (-3) (-5) = 15. Для цього запишемо

і помножимо обидві частини рівності на -5:

Розкриємо дужки у лівій частині:

т. е. (-3) (-5) + (-15) = 0. Таким чином, число протилежне числу -15, тобто дорівнює 15. (У такому міркуванні також є прогалини: слід було б довести, що і що існує лише одне число, протилежне числу -15.)

Правила множення негативних чисел

Чи правильно ми розуміємо множення?

- А і Б сиділи на трубі. А впало, Б пропало, що лишилося на трубі?
— Залишилась ваша буква І».

(З к/ф «Отроки у Всесвіті»)

Чому при множенні числа на нуль виходить нуль?

Чому при перемноженні двох від'ємних чисел виходить позитивне число?

Що тільки не вигадують педагоги, щоби дати відповіді на ці два питання.

Але нікому не вистачає сміливості визнати, що у формулюванні множення три смислові помилки!

Чи можливі помилки в основі арифметики? Адже математика позиціонує себе точною наукою.

Шкільні підручники математики не дають відповіді на ці питання, замінюючи пояснення набором правил, які слід запам'ятати. Можливо, вважають цю тему важкою для пояснення в середніх класах школи? Спробуємо розібратися у цих питаннях.

7 - множинне. 3 - множник. 21-твір.

За офіційним формулюванням:

помножити число на інше число - значить скласти стільки множин, скільки наказує множник.

За прийнятим формулюванням множник 3 говорить нам про те, що в правій частині рівності має бути три сімки.

7 * 3 = 7 + 7 + 7 = 21

Але це формулювання множення не може пояснити поставлені вище питання.

Виправимо формулювання множення

Зазвичай у математиці багато мають на увазі, але про це не говорять і не записують.

Мається на увазі знак плюс перед першою сімкою у правій частині рівності. Запишемо цей плюс.

7 * 3 = + 7 + 7 + 7 = 21

Але до чого додається перша сімка. Мається на увазі, що до нуля, очевидно. Запишемо і нуль.

7 * 3 = 0 + 7 + 7 + 7 = 21

А якщо ми множитимемо на три мінус сім?

— 7 * 3 = 0 + (-7) + (-7) + (-7) = — 21

Ми записуємо додавання множини -7, насправді ми проводимо багаторазове віднімання з нуля. Розкриємо дужки.

— 7 * 3 = 0 — 7 — 7 — 7 = — 21

Тепер можна дати уточнене формулювання множення.

Множення - це багаторазове додавання до нуля (або віднімання з нуля) множини (-7) стільки разів, скільки вказує множник. Множник (3) та його знак (+ або -) вказує кількість операцій додавання до нуля або віднімання з нуля.

За цим уточненим і дещо зміненим формулюванням множення легко пояснюються «правила знаків» при множенні, коли множник негативний.

7 * (-3) - має бути після нуля три знаки "мінус" = 0 - (+7) - (+7) - (+7) = - 21

- 7 * (-3) - знову має бути після нуля три знаки "мінус" =

0 — (-7) — (-7) — (-7) = 0 + 7 + 7 + 7 = + 21

Множення на нуль

7 * 0 = 0 +. немає операцій поповнення до нуля.

Якщо множення це додаток до нуля, а множник показує кількість операцій додавання до нуля, то множник нуль показує, що до нуля нічого не додається. Тому залишається нуль.

Отже, у існуючому формулюванні множення ми знайшли три смислові помилки, які блокують розуміння двох «правил знаків» (коли множник негативний) та множення числа на нуль.

Потрібно не складати множинне, а додавати його до нуля.
Множення це не тільки додаток до нуля, але й віднімання з нуля.
Множник і його знак показують не кількість доданків, а кількість знаків плюс або мінус при розкладанні множення на доданки (або віднімаються).

Дещо уточнивши формулювання, нам вдалося пояснити правила знаків при множенні та множенні числа на нуль без допомоги переміщувального законумноження, без розподільчого закону, без залучення аналогій із числовою прямою, без рівнянь, без доказів від зворотного тощо.

Правила знаків уточненого формулювання множення виводяться дуже просто.

7 * (+3) = 0 + (-7) + (-7) + (-7) = 0 — 7 — 7 — 7 = -21 (- + = -)

7 * (-3) = 0 — (+7) — (+7) — (+7) = 0 — 7 — 7 — 7 = -21 (+ — = -)

7 * (-3) = 0 — (-7) — (-7) — (-7) = 0 + 7 + 7 + 7 = +21 (- — = +)

Множник та його знак (+3 або -3) вказує на кількість знаків "+" або "-" у правій частині рівності.

Змінена формулювання множення відповідає операції зведення числа у ступінь.

2^0 = 1 (одиниця ні на що не множиться і не ділиться, тому залишається одиницею)

2^-2 = 1: 2: 2 = 1/4

2^-3 = 1: 2: 2: 2 = 1/8

Математики згодні, що зведення числа в позитивний ступінь- Це багаторазове множення одиниці. А зведення числа в негативний ступінь- це багаторазовий поділодиниці.

Операція множення має бути аналогічною операції зведення в ступінь.

2*3 = 0 + 2 + 2 + 2 = 6

2 * 0 = 0 (до нуля нічого не додається і з нуля нічого не віднімається)

2*-3 = 0 — 2 — 2 — 2 = -6

Змінена формулювання множення нічого не змінює в математиці, але повертає первісний зміст операції множення, пояснює «правила знаків», множення числа на нуль, узгоджує множення зі зведенням у ступінь.

Перевіримо, чи узгоджується наше формулювання множення з операцією поділу.

15: 5 = 3 (зворотна операція множення 5*3 = 15)

Частка (3) відповідає кількості операцій додавання до нуля (+3) при множенні.

Розділити число 15 на 5 означає знайти, скільки разів потрібно відняти 5 з 15-ти. Робиться це послідовним відніманням до отримання нульового результату.

Щоб знайти результат поділу, слід підрахувати кількість знаків «мінус». Їх три.

15: 5 = 3 операції віднімання п'ятірки з 15 до отримання нуля.

15 - 5 - 5 - 5 = 0 (поділ 15: 5)

0 + 5 + 5 + 5 = 15 (множення 5*3)

Поділ із залишком.

17 — 5 — 5 — 5 — 2 = 0

17: 5 = 3 і 2 залишок

Якщо є поділ із залишком, чому немає множення із придатком?

2 + 5 * 3 = 0 + 2 + 5 + 5 + 5 = 17

Дивимося різницю формулювань на калькуляторі

Існуюче формулювання множення (три доданків).

10 + 10 + 10 = 30

Виправлене формулювання множення (три операції додавання до нуля).

0 + 10 = = = 30

(Три рази натискаємо «рівняється».)

10 * 3 = 0 + 10 + 10 + 10 = 30

Множник 3 вказує, що до нуля потрібно додати множину 10 тричі.

Спробуйте виконати множення (-10) * (-3) шляхом додавання доданку (-10) мінус три рази!

(-10) * (-3) = (-10) + (-10) + (-10) = -10 — 10 — 10 = -30 ?

Що означає мінус у трійки? Може так?

(-10) * (-3) = (-10) — (-10) — (-10) = — 10 + 10 + 10 = 10?

Опс. Не виходить розкласти твір на суму (або різницю) доданків (-10).

За допомогою зміненого формулювання це виконується правильно.

0 — (-10) = = = +30

(-10) * (-3) = 0 — (-10) — (-10) — (-10) = 0 + 10 + 10 + 10 = 30

Множник (-3) вказує, що з нуля потрібно відняти множину (-10) три рази.

Правила знаків при додаванні та відніманні

Вище було показано простий спосіб виведення правил знаків при множенні шляхом зміни змісту формулювання множення.

Але для виведення ми використовували правила знаків при складанні та відніманні. Вони майже такі самі, як і для множення. Створимо візуалізацію правил знаків для складання та віднімання, щоб і першокласнику було зрозуміло.

Що таке мінус, негативний?

Нічого негативного у природі немає. Немає негативної температури, немає негативного спрямування, немає негативної масині негативних зарядів. Навіть синус за своєю природою може бути лише позитивним.

Але математики вигадали негативні числа. Для чого? Що означає мінус?

Мінус означає протилежний напрямок. Лівий правий. Верх низ. За годинниковою стрілкою проти годинникової стрілки. Вперед назад. Холодно – гаряче. Легкий – важкий. Повільно швидко. Якщо подумати, можна навести багато інших прикладів, де зручно використовувати від'ємні значеннявеличин.

У відомому нам світі нескінченність починається з нуля і йде в плюс нескінченність.

«Мінус нескінченності» в реальному світіне існує. Це така сама математична умовність, як і поняття «мінус».

Отже, «мінус» означає протилежний напрямок: руху, обертання, процесу, множення, складання. Проаналізуємо різні напрямипри складанні та відніманні позитивних і негативних (що збільшуються в іншому напрямку) чисел.

Складність розуміння правил знаків при додаванні та відніманні пов'язана з тим, що зазвичай ці правила намагаються пояснити на числовій прямій. На числовій прямій поєднуються три різні складові, з яких виводяться правила. І через змішування, через звалювання різних понятьв одну купу, створюються проблеми розуміння.

Для розуміння правил нам потрібно розділити:

перше доданок і суму (вони будуть на горизонтальної осі);
другий доданок (воно буде на вертикальній осі);
напрямок операцій складання та віднімання.

Такий поділ наочно показано малюнку. Подумки уявіть, що вертикальна вісь може обертатися, накладаючись на горизонтальну вісь.

Операція докладання завжди виконується обертанням вертикальної осі за годинниковою стрілкою (знак «плюс»). Операція віднімання завжди виконується шляхом обертання вертикальної осі проти годинникової стрілки (знак "мінус").

приклад. Схема у нижньому правому кутку.

Видно, що два поряд стоять знакмінуса (знак операції віднімання та знак числа 3) мають різний сенс. Перший мінус показує напрямок віднімання. Другий мінус – знак числа на вертикальній осі.

Знаходимо перший доданок (-2) на горизонтальній осі. Знаходимо другий доданок (-3) на вертикальній осі. Подумки обертаємо вертикальну вісьпроти годинникової стрілки до суміщення (-3) із числом (+1) на горизонтальній осі. Число (+1) є результатом додавання.

дає такий самий результат, як операція додавання на схемі у верхньому правому кутку.

Тому два знаки, що стоять поряд, «мінус» можна замінити одним знаком «плюс».

Ми всі звикли користуватися готовими правилами арифметики, не замислюючись про їхній зміст. Тому ми часто навіть не помічаємо, чим правила знаків при складанні (відніманні) відрізняються від правил знаків при множенні (розподілі). Здається, вони однакові? Майже. Незначна різниця видно на наступній ілюстрації.

Тепер ми маємо все необхідне, щоб вивести правила знаків для множення. Послідовність виводу така.

Наочно показуємо, як виходять правила знаків для складання та віднімання.
Вносимо смислові зміни до існуючого формулювання множення.
На основі зміненого формулювання множення та правил знаків для складання виводимо правила знаків для множення.

Нижче написані п равила знаків при додаванні та відніманніотримані з візуалізації. І червоним кольором, для порівняння, ті ж правила знаки з підручника математики. Сірий плюс у дужках – це плюс-невидимка, який не записується у позитивного числа.

Між доданками завжди два знаки: знак операції та знак числа (плюс ми не записуємо, але маємо на увазі). Правила знаків наказують заміну однієї пари знаків іншу пару без зміни результату складання (віднімання). Фактично, правил лише два.

Правила 1 і 3 (по візуалізації) - дублюють правила 4 і 2. Правила 1 і 3 у шкільній інтерпретації не збігаються з візуальною схемою, отже, вони не належать до правил знаків при додаванні. Це якісь інші правила.

Шкільне правило 1. (червоний колір) дозволяє заміняти два плюси поспіль одним плюсом. Правило не відноситься до заміни знаків при складанні та відніманні.

Шкільне правило 3. (червоний колір) дозволяє не записувати знак плюс у позитивного числа після операції віднімання. Правило не відноситься до заміни знаків при складанні та відніманні.

Сенс правил знаків при додаванні-заміна однієї ПАРИ знаків іншою ПАРОЮ знаків без зміни результату складання.

Шкільні методисти змішали в одному правилі два правила:

— два правила знаків при додаванні та відніманні позитивних і негативних чисел (заміна однієї пари знаків іншою парою знаків);

— два правила, за якими можна не писати знак плюс у позитивного числа.

Два різних правил, змішаних в одне, схожі на правила знаків при множенні, де з двох символів випливає третій. Схожі один на один.

Здорово заплутали! Ще раз те саме, для кращого розплутування. Виділимо червоним кольором символи операцій, щоб відрізняти їх від символів чисел.

1. Додавання та віднімання. Два правила знаків, якими взаємозамінюються пари знаків між доданками. Операція знак і знак числа.

2. Два правила, якими знак плюс у позитивного числа дозволяється не писати. Це правила форми запису. До складання не належать. Для позитивного числа записується лише символ операції.

3. Чотири правила символів при множенні. Коли із двох знаків множників випливає третій знак твору. У правилах знаків для множення лише знаки чисел.

Тепер, коли ми відокремили правила форми запису, має бути добре видно, що правила знаків для складання та віднімання зовсім не схожі на правила знаків при множенні.

"Правило множення негативних чисел і чисел з різними знаками". 6-й клас

Презентація до уроку

Завантажити презентацію (622,1 кБ)

Увага! Попередній перегляд слайдів використовується виключно для ознайомлення та може не давати уявлення про всі можливості презентації. Якщо вас зацікавила дана робота, будь ласка, завантажте повну версію.

Цілі уроку.

Предметні:

сформулювати правило множення негативних чисел та чисел з різними знаками,
навчити учнів застосовувати це правило.

Метапредметні:

формувати вміння працювати відповідно до запропонованого алгоритму, складати план-схему своїх дій,
розвивати навички самоконтролю.

Особистісні:

розвивати комунікативні навички,
формувати пізнавальний інтересучнів.

Обладнання:комп'ютер, екран, мультимедійний проектор, презентація PowerPoint, роздатковий матеріал: таблиці для запису правил, тестів.

(Підручник Н.Я. Віленкіна "Математика. 6 клас", М: "Мнемозіна", 2013.)

Хід уроку

I. Організаційний момент.

Повідомлення теми уроку та запис теми у зошитах учнями.

ІІ. Мотивація.

Слайд №2. (Мета уроку. План уроку).

Сьогодні ми продовжимо вивчення важливого арифметичної властивості- Множення.

Ви вже вмієте виконувати множення натуральних чисел – усно і в стовпчик,

Навчилися множити десяткові та звичайні дроби. Сьогодні ви повинні сформулювати правило множення для негативних чисел і чисел з різними знаками. І не лише сформулювати, а й навчитися застосовувати його.

ІІІ. Актуалізація знань.

Розв'язати рівняння: а) х: 1,8 = 0,15; б) у: = . (Учень біля дошки)

Висновок: для розв'язання таких рівнянь потрібно вміти виконувати множення різних чисел.

2) Перевірка домашньої самостійної роботи. Повторення правил множення десяткових дробів, звичайних дробів та змішаних чисел. (Слайди №4 та №5).

IV. Формулювання правила.

Розглянути задачу 1 (слайд №6).

Розглянути задачу 2 (слайд №7).

У процесі вирішення завдань нам доводилося виконувати множення чисел із різними знаками та негативних чисел. Розглянемо докладніше це множення та його результати.

Виконавши множення чисел із різними знаками, ми отримали від'ємне число.

Розглянемо інший приклад. Знайдіть добуток (–2) * 3, замінюючи множення сумою однакових доданків. Аналогічно знайдіть добуток 3* (–2). (Перевірка - слайд № 8).

Запитання:

1) Який знак результату при множенні чисел із різними знаками?

2) Яко отримано модуль результату? Формулюємо правило множення чисел з різними знаками та записуємо правило у лівий стовпчик таблиці. (Слайд № 9 та Додаток 1).

Правило множення негативних чисел та чисел з різними знаками.

Повернемося до другого завдання, у якому ми виконували множення двох негативних чисел. Пояснити інакше таке множення досить складно.

Скористаємося поясненням, яке дав ще у 18 столітті великий російський вчений (уродженець Швейцарії), математик та механік Леонард Ейлер. (Леонард Ейлер залишив по собі не тільки наукові праці, але й написав ряд підручників з математики, які призначалися вихованцям академічної гімназії).

Отже, Ейлер пояснював результат приблизно в такий спосіб. (Слайд №10).

Зрозуміло, що –2 · 3 = – 6. Тому добуток (–2) · (–3) не може бути –6. Однак воно має бути якось пов'язане з числом 6. Залишається одна можливість: (–2) · (–3) = 6. .

Запитання:

1) Який знак твору?

2) Яко отримано модуль твору?

Формулюємо правило множення негативних чисел, заповнюємо правий стовпчик таблиці. (Слайд №11).

Щоб легко запам'ятати правило знаків при множенні, можна скористатися його формулюванням у віршах. (Слайд №12).

Плюс на мінус, помножуючи,
Ставимо мінус, не позіхаючи.
Помножимо мінус з мінусом
У відповідь поставимо плюс!

V. Формування навичок.

Навчимося застосовувати це правило для обчислень. Сьогодні на уроці будемо проводити обчислення тільки з цілими числами та з десятковими дробами.

1) Упорядкування схеми действий.

Складається схема застосування правила. Робляться записи на дошці. Зразкова схемана слайді №13.

2) Виконання дій за схемою.

Вирішуємо з підручника № 1121 (б, в, і, до, п, р). Рішення виконуємо відповідно до складеної схеми. Кожен приклад пояснює один із учнів. Одночасно рішення демонструється на слайді №14.

3) Робота у парах.

Завдання на слайді №15.

Учні працюють за варіантами. Спочатку учень 1 варіанта вирішує і пояснює рішення 2 варіанті, учень з 2 варіанти уважно слухає, за необхідності допомагає і поправляє, а потім учні змінюються ролями.

Додаткове завдання для пар, які раніше закінчать роботу: № 1125.

Після закінчення роботи проводиться перевірка за готовим рішенням, розміщеним на слайді № 15 (використовується анімація).

Якщо багато хто встиг вирішити № 1125, то робиться висновок про зміну знака числа при множенні на (?1).

4) Психологічна розвантаження.

5) Самостійна робота.

Самостійна робота – текст на слайді № 17. Після виконання роботи – самоперевірка за готовим рішенням (слайд № 17 – анімація, гіперпосилання на слайд № 18).

VI. Перевіряє рівень засвоєння вивченого матеріалу. Рефлексія.

Учні виконують тест. На цьому ж листку оцінюють свою роботу на уроці, заповнюючи таблицю.

Тест "Правило множення". Варіант 1.

Примноження негативних чисел: правило, приклади

У цій статті сформулюємо правило множення негативних чисел і дамо пояснення. Докладно буде розглянуто процес множення негативних чисел. На прикладах показано усі можливі випадки.

Примноження негативних чисел

Правило множення негативних чиселполягає в тому, що для того, щоб помножити два негативні числа, необхідно перемножити їх модулі. Це правило записується так: для будь-яких негативних чисел – a , b дана рівність вважається вірною.

Вище наведено правило множення двох негативних чисел. Виходячи з нього, доведемо вираз: (- а) · (- b) = a · b . Стаття множення чисел з різними знаками розповідає про те, що рівність а · (- b) = - a · b справедлива, як і (- а) · b = - a · b . Це випливає із властивості протилежних чисел, завдяки якому рівності запишуться наступним чином:

(- a) · (- b) = - (- a · (- b)) = - (- (a · b)) = a · b .

Це правило застосовується для множення дійсних чисел, раціональних чисел, цілих чисел.

Приклади множення негативних чисел

Здійснити множення чисел - 3 і - 5 .

Рішення.

За модулем множені дані два числа дорівнюють позитивним числам 3 і 5 . Їхній твір дає в результаті 15 . Звідси випливає, що добуток чисел дорівнює 15

Запишемо коротко саме множення негативних чисел:

(-3) · (-5) = 3 · 5 = 15

Відповідь: (-3) · (-5) = 15 .

Обчислити твір (-0, 125) · (-6).

Використовуючи правило множення негативних чисел, отримаємо, що (− 0 , 125) · (− 6) = 0 , 125 · 6 . Для отримання результату необхідно виконати множення десяткового дробу на число стовпчиків. Це виглядає так:

Отримали, що вираз набуде вигляду (− 0 , 125) · (− 6) = 0 , 125 · 6 = 0 , 75 .

Відповідь: (− 0 , 125) · (− 6) = 0 , 75 .

У разі коли множники – ірраціональні числа, тоді їх твір може бути записаний у вигляді числового виразу. Значення обчислюється лише за потребою.

Необхідно зробити множення негативного - 2 на невід'ємний log 5 1 3 .

Знаходимо модулі заданих чисел:

- 2 = 2 і log 5 1 3 = - log 5 3 = log 5 3 .

Відповідь: - 2 · log 5 1 3 = - 2 · log 5 3 = 2 · log 5 3 .

Для продовження вивчення теми необхідно повторити розділ множення дійсних чисел.

Тепер давайте розберемося з множенням та поділом.

Припустимо, що нам потрібно помножити +3 на -4. Як це зробити?

Давайте розглянемо такий випадок. Три людини залізли у борги, і у кожного по 4 долари боргу. Чому дорівнює загальний обов'язок? Для того, щоб його знайти, треба скласти всі три борги: 4 долари + 4 долари + 4 долари = 12 доларів. Ми з вами вирішили, що додавання трьох чисел 4 позначається як 3×4. Оскільки в даному випадку ми говоримо про обов'язок, перед 4 стоїть знак «-». Ми знаємо, що загальний борг дорівнює 12 доларам, тому тепер наше завдання має вигляд 3х(-4)=-12.

Давайте узагальнюємо результати. При перемноженні одного позитивного та одного негативного числа результат завжди буде негативним числом. Чисельна величина відповіді буде такою самою, як і у разі позитивних чисел. Твір (+4) х (+3) = +12. Присутність знака "-" впливає лише на знак, але не впливає на чисельну величину.

А як перемножити два негативні числа?

Отже, цілком логічно, хоча трохи дивно, що (-3) х (-4) = +12.

Положення знакапри множенні змінюється таким чином:

позитивне число х позитивне число = позитивне число;
від'ємне число х позитивне число = від'ємне число;
позитивне число х від'ємне число = від'ємне число;
від'ємне число х від'ємне число = позитивне число.

Таке саме правило справедливе й у дії протилежного множенню – для .

Ви легко можете в цьому переконатись, провівши зворотні операції множення. Якщо в кожному з прикладів, наведених вище, ви помножите приватне на дільник, то отримаєте ділене, і переконайтеся, що воно має той самий знак, наприклад (-3) х (-4) = (+12).

Оскільки скоро зима, то пора вже подумати про те, у що перевзути свого залізного коня, щоб не ковзати по льоду і почуватися впевнено на зимових дорогах. Можна, наприклад, взяти шини йокогама на сайті: mvo.ru або якісь інші, головне, щоб якісний, більше інформації і ціни ви можете дізнатися на сайті Mvo.ru.