Як знаходити найменше значення функції відрізку. Застосування похідної знаходження найбільшого і найменшого значень безперервної функції на проміжку

З практичного погляду найбільший інтереспредставляє використання похідної для знаходження найбільшого та найменшого значенняфункції. З чим це пов'язано? Максимізація прибутку, мінімізація витрат, визначення оптимального завантаження устаткування... Інакше кажучи, у багатьох сферах життя доводиться вирішувати завдання оптимізації будь-яких параметрів. А це і є завдання на знаходження найбільшого та найменшого значення функції.

Слід зазначити, що найбільше і найменше значення функції зазвичай шукається на деякому інтервалі X , який є всією областю визначення функції або частиною області визначення. Сам інтервал X може бути відрізком, відкритим інтервалом , нескінченним проміжком.

У цій статті ми говоритимемо про знаходження найбільшого та найменшого значень явно заданої функціїоднієї змінної y = f (x).

Навігація на сторінці.

Найбільше та найменше значення функції – визначення, ілюстрації.

Стисло зупинимося на основних визначеннях.

Найбільшим значенням функції , що для будь-кого справедлива нерівність.

Найменшим значенням функції y=f(x) на проміжку X називають таке значення , що для будь-кого справедлива нерівність.

Ці визначення інтуїтивно зрозумілі: найбільше (найменше) значення функції - це найбільше (маленьке) значення, що приймається на аналізованому інтервалі при абсцисі.

Стаціонарні точки– це значення аргументу, у яких похідна функції перетворюється на нуль.

Для чого нам стаціонарні точки при знаходженні найбільшого та найменшого значень? Відповідь це питання дає теорема Ферма. З цієї теореми випливає, що якщо функція, що диференціюється, має екстремум (локальний мінімум або локальний максимум) у певній точці, то ця точка є стаціонарною. Таким чином, функція часто приймає своє найбільше (найменше) значення на проміжку X в одній зі стаціонарних точок цього проміжку.

Також часто найбільше та найменше значення функція може приймати в точках, в яких не існує перша похідна цієї функції, а функція визначена.

Відразу відповімо на одне з найпоширеніших питань на цю тему: "Чи завжди можна визначити найбільше (найменше) значення функції"? Ні не завжди. Іноді межі проміжку X збігаються з межами області визначення функції або інтервал X нескінченний. А деякі функції на нескінченності та на межах області визначення можуть набувати як нескінченно великих так і нескінченно малих значень. У цих випадках нічого не можна сказати про найбільше та найменше значення функції.

Для наочності дамо графічну ілюстрацію. Подивіться малюнки – і багато проясниться.

На відрізку

На першому малюнку функція приймає найбільше (max y) та найменше (min y) значення в стаціонарних точках, що знаходяться всередині відрізка [-6;6].

Розглянемо випадок, зображений другого малюнку. Змінимо відрізок на . У цьому прикладі найменше значення функції досягається в стаціонарній точці, а найбільше - у точці з абсцисою, що відповідає правій межі інтервалу.

На малюнку №3 граничні точки відрізка [-3;2] є абсцисами точок, що відповідають найбільшому та найменшому значенню функції.

На відкритому інтервалі

На четвертому малюнку функція приймає найбільше (max y) і найменше (min y) значення в стаціонарних точках, що знаходяться всередині відкритого інтервалу (-6; 6).

На інтервалі про найбільше значення ніяких висновків зробити не можна.

На нескінченності

У прикладі, представленому на сьомому малюнку, функція приймає найбільше значення(max y) у стаціонарній точці з абсцисою x=1, а найменше значення (min y) досягається на правій межі інтервалу. На мінус нескінченності значення функції асимптотично наближаються до y=3.

На інтервалі функція не досягає найменшого, ні найбільшого значення. При прагненні до x=2 праворуч значення функції прагнуть мінус нескінченності (пряма x=2 є вертикальною асимптотою), а при прагненні абсциси до плюс нескінченності, значення функції асимптотично наближаються до y=3 . Графічна ілюстрація цього прикладу наведено малюнку №8.

Алгоритм знаходження найбільшого та найменшого значення безперервної функції на відрізку.

Запишемо алгоритм, що дозволяє знаходити найбільше та найменше значення функції на відрізку.

1. Знаходимо область визначення функції та перевіряємо, чи міститься у ній весь відрізок .
2. Знаходимо всі точки, в яких не існує перша похідна і які містяться у відрізку (зазвичай такі точки збігаються у функцій з аргументом під знаком модуля і у статечних функційз дрібно-раціональним показником). Якщо таких точок немає, переходимо до наступного пункту.
3. Визначаємо всі стаціонарні точки, що потрапляють у відрізок. Для цього, прирівнюємо її до нуля, вирішуємо отримане рівняння і вибираємо відповідне коріння. Якщо стаціонарних точок немає або жодна з них не потрапляє у відрізок, переходимо до наступного пункту.
4. Обчислюємо значення функції у відібраних стаціонарних точках (якщо такі є), у точках, у яких не існує перша похідна (якщо такі є), а також при x=a та x=b .
5. З отриманих значень функції вибираємо найбільше та найменше - вони і будуть шуканими найбільшим та найменшим значеннями функції відповідно.

Розберемо алгоритм при вирішенні прикладу на знаходження найбільшого та найменшого значення функції на відрізку.

приклад.

Знайти найбільше та найменше значення функції

• на відрізку;
• на відрізку [-4;-1].

Рішення.

Областю визначення функції є все безліч дійсних чисел, За винятком нуля, тобто . Обидва відрізки потрапляють у область визначення.

Знаходимо похідну функції по:

Очевидно, похідна функції існує у всіх точках відрізків та [-4;-1] .

Стаціонарні точки визначимо з рівняння. Єдиним дійсним коренемє x=2. Ця стаціонарна точка потрапляє у перший відрізок.

Для першого випадку обчислюємо значення функції на кінцях відрізка і в стаціонарній точці, тобто при x = 1 x = 2 і x = 4 :

Отже, найбільше значення функції досягається при x=1 , а найменше значення - При x = 2 .

Для другого випадку обчислюємо значення функції лише на кінцях відрізка [-4;-1] (оскільки він не містить жодної стаціонарної точки):

Нехай функція у =f(х)безперервна на відрізку [ a, b]. Як відомо, така функція на цьому відрізку досягає найбільшого та найменшого значень. Ці значення функція може прийняти або в внутрішньої точкивідрізка [ a, b], або межі відрізка.

Для знаходження найбільшого та найменшого значень функції на відрізку [ a, b] необхідно:

1)знайти критичні точкифункції в інтервалі ( a, b);

2) обчислити значення функції у знайдених критичних точках;

3) обчислити значення функції на кінцях відрізка, тобто при x=аі х = b;

4) з усіх обчислених значень функції вибрати найбільше та найменше.

приклад.Знайти найбільше та найменше значення функції

на відрізку.

Знаходимо критичні точки:

Ці точки лежать усередині відрізка; y(1) = ‒ 3; y(2) = ‒ 4; y(0) = ‒ 8; y(3) = 1;

у точці x= 3 і в точці x= 0.

Дослідження функції на опуклість та точку перегину.

Функція y = f (x) називається опуклою вгоруна проміжку (a, b) , якщо її графік лежить під дотичною, проведеною в будь-якій точці цього проміжку, і називається опуклою вниз (увігнутою)якщо її графік лежить над дотичною.

Точка, при переході через яку опуклість змінюється увігнутістю чи навпаки, називається точкою перегину.

Алгоритм дослідження на опуклість та точку перегину:

1. Знайди критичні точки другого роду, тобто точки в яких друга похідна дорівнює нулю чи немає.

2. Завдати критичні точки на числову пряму, розбиваючи її на проміжки. Знайти знак другої похідної кожному проміжку; якщо , то функція опукла вгору, якщо функція опукла вниз.

3. Якщо при переході через критичну точку другого роду поміняє знак і в цій точці друга похідна дорівнює нулю, то ця точка абсцесу точки перегину. Знайти її ординату.

Асимптоти графіка функції. Дослідження функції асимптоти.

Визначення.Асимптотою графіка функції називається пряма, Що володіє тим властивістю, що відстань від будь-якої точки графіка до цієї прямої прагне нуля при необмеженому видаленні точки графіка від початку координат.

Існують три види асимптоту: вертикальні, горизонтальні та похилі.

Визначення.Пряма називається вертикальною асимптотоюграфіка функції у = f(х)якщо хоча б одна з односторонніх меж функції в цій точці дорівнює нескінченності, тобто

де - точка розриву функції, тобтоне належить області визначення.

приклад.

D ( y) = (‒ ∞; 2) (2; + ∞)

x= 2 – точка розриву.

Визначення.Пряма у =Aназивається горизонтальною асимптотоюграфіка функції у = f(х)при , якщо

приклад.

Визначення.Пряма у =kх +b (k≠ 0) називається похилою асимптотоюграфіка функції у = f(х)при , де

Загальна схема дослідження функцій та побудови графіків.

Алгоритм дослідження функціїу = f(х) :

1. Знайти область визначення функції D (y).

2. Знайти (якщо це можна) точки перетину графіка з осями координат (при x= 0 і при y = 0).

3. Дослідити на парність та непарність функції( y (‒ x) = y (x) ‒ парність; y(‒ x) = ‒ y (x) ‒ непарність).

4. Знайти асимптоти графіка функції.

5. Знайти інтервали монотонності функції.

6. Знайти екстремуми функції.

7. Знайти інтервали опуклості (увігнутості) та точки перегину графіка функції.

8. З проведених досліджень побудувати графік функції.

приклад.Дослідити функцію та побудувати її графік.

1) D (y) =

x= 4 ‒ точка розриву.

2) При x = 0,

(0; ‒ 5) ‒ точка перетину з oy.

При y = 0,

3) y(‒ x)= функція загального вигляду(ні парна, ні непарна).

4) Досліджуємо на асимптоти.

а) вертикальні

б) горизонтальні

в) знайдемо похилі асимптоти де

‒рівняння похилої асимптоти

5) У даному рівнянніне потрібно знайти інтервали монотонності функції.

6)

Ці критичні точки розбивають всю область визначення функції на інтервалі (˗∞; ˗2), (˗2; 4), (4; 10)і (10; +∞). Отримані результати зручно подати у вигляді наступної таблиці.

Як знайти найбільше та найменше значення функції на відрізку?

Для цього ми слідуємо відомому алгоритму:

1 . Знаходимо ОДЗ функції.

2 . Знаходимо похідну функції

3 . Прирівнюємо похідну до нуля

4 . Знаходимо проміжки, на яких похідна зберігає знак, і за ними визначаємо проміжки зростання та зменшення функції:

Якщо на проміжку I похідна функції 0" title="(!LANG:f^(prime)(x)>0">, то функция !} зростає у цьому проміжку.

Якщо на проміжку I похідна функції, то функція зменшується у цьому проміжку.

5 . Знаходимо точки максимуму та мінімуму функції.

У точці максимуму функції похідна змінює знак з "+" на "-".

У точці мінімуму функціїпохідна змінює знак з "-" на "+".

6 . Знаходимо значення функції в кінцях відрізка,

• потім порівнюємо значення функції в кінцях відрізка і в точках максимуму, і вибираємо з них найбільше, якщо потрібно знайти найбільше значення функції
• або порівнюємо значення функції в кінцях відрізка і в точках мінімуму, та вибираємо з них найменше, якщо потрібно знайти найменше значення функції

Однак, залежно від того, як поводиться функція на відрізку, це алгоритм можна значно скоротити.

Розглянемо функцію . Графік цієї функції виглядає так:

Розглянемо кілька прикладів розв'язання задач з Відкритого банкузавдань для

1 . Завдання B15 (№ 26695)

На відрізку.

1. Функція визначена за всіх дійсних значенняхх

Вочевидь, що це рівнянь немає рішень, і похідна за всіх значеннях х позитивна. Отже, функція зростає і набуває найбільшого значення правому кінці проміжку, тобто при х=0.

Відповідь: 5.

2 . Завдання B15 (№ 26702)

Знайдіть найбільше значення функції на відрізку.

1. ОДЗ функції title="(!LANG:x(pi)/2+(pi)k, k(in)(bbZ)">!}

Похідна дорівнює нулю при , однак, у цих точках вона не змінює знак:

Отже, title="(!LANG:3/(cos^2(x))>=3">, значит, title="3/(cos^2(x))-3>=0">, то есть производная при всех допустимых значених х неотрицательна, следовательно, функция !} зростає та приймає найбільше значення у правому кінці проміжку, при .

Щоб стало очевидно, чому похідна не змінює знак, перетворюємо вираз для похідної так:

Title="(!LANG:y^(prime)=3/(cos^2(x))-3=(3-3cos^2(x))/(cos^2(x))=(3sin^2 (x))/(cos^2(x))=3tg^2(x)>=0">!}

Відповідь: 5.

3 . Завдання B15 (№ 26708)

Знайдіть найменше значення функції на відрізку.

1. ОДЗ функції: title="(!LANG:x(pi)/2+(pi)k, k(in)(bbZ)">!}

Розташуємо коріння цього рівняння на тригонометричному колі.

Проміжку належать два числа: і

Розставимо знаки. Для цього визначимо знак похідної у точці х=0: . При переході через крапки і похідна змінює знак.

Зобразимо зміну знаків похідної функції координатної прямої:

Очевидно, що точка є точкою мінімуму (у ній похідна змінює знак з "-" на "+"), і щоб знайти найменше значення функції на відрізку, потрібно порівняти значення функції в точці мінімуму і в лівому кінці відрізка, .

На уроці на тему «Застосування похідної для знаходження найбільшого та найменшого значень безперервної функції на проміжку» будуть розглянуті відносно прості завдання на знаходження найбільшого та найменшого значень функції на заданому проміжку за допомогою похідної.

Тема: Похідна

Урок: Застосування похідної знаходження найбільшого і найменшого значень безперервної функції на проміжку

На цьому занятті розглянемо більше просте завдання, А саме, буде заданий проміжок, буде задана безперервна функціяна цьому проміжку. Потрібно дізнатися найбільше та найменше значення заданої функціїна заданому проміжку.

№32.1 (б). Дано: , . Намалюємо графік функції (див. рис.1).

Рис. 1. Графік функції.

Відомо, що ця функція зростає на проміжку, отже, вона зростає і на відрізку. Отже, якщо визначити значення функції в точках і , то будуть відомі межі зміни цієї функції, її найбільше і найменше значення.

Коли аргумент збільшується від до 8, функція збільшується від до .

Відповідь: ; .

№ 32.2 (а) Дано: Знайти найбільше та найменше значення функції на заданому проміжку.

Побудуємо графік цієї функції (див. рис.2).

Якщо аргумент змінюється на проміжку , то функція збільшується від -2 до 2. Якщо аргумент збільшується від , то функція зменшується від 2 до 0.

Рис. 2. Графік функції.

Знайдемо похідну.

, . Якщо , то це значення належить заданому відрізку . Якщо то . Легко перевірити, якщо набуває інших значень, відповідні стаціонарні точки виходять за межі заданого відрізка. Порівняємо значення функції на кінцях відрізка та у відібраних точках, у яких похідна дорівнює нулю. Знайдемо

;

Відповідь: ;.

Отже, відповідь отримано. Похідну в даному випадкуможна використовувати, можна не використовувати, застосувати властивості функції, які були вивчені раніше. Так буває не завжди, іноді застосування похідної – це єдиний метод, який дозволяє вирішувати подібні завдання.

Дано: , . Знайти найбільше та найменше значення функції на даному відрізку.

Якщо в попередньому випадку можна було обійтися без похідної - ми знали, як поводиться функція, то в даному випадку функція досить складна. Тому ту методику, яку ми згадали на попередньому завданні, застосуємо в повному обсязі.

1. Знайдемо похідну. Знайдемо критичні точки, звідси - критичні точки. З них вибираємо ті, що належать даному відрізку: . Порівняємо значення функції у точках , , . Для цього знайдемо

Проілюструємо результат малюнку (див. рис.3).

Рис. 3. Межі зміни значень функції

Бачимо, якщо аргумент змінюється від 0 до 2, функція змінюється не більше від -3 до 4. Функція змінюється не монотонно: вона або зростає, або зменшується.

Відповідь: ;.

Отже, на трьох прикладах було продемонстровано загальна методиказнаходження найбільшого та найменшого значення функції на проміжку, в даному випадку – на відрізку.

Алгоритм розв'язання задачі на знаходження найбільшого та найменшого значень функції:

1. Знайти похідну функцію.

2. Знайти критичні точки функції та відібрати ті точки, що знаходяться на заданому відрізку.

3. Знайти значення функції на кінцях відрізка та у відібраних точках.

4. Порівняти ці значення, і вибрати найбільше та найменше.

Розглянемо ще один приклад.

Знайти найбільше та найменше значення функції , .

Раніше було розглянуто графік цієї функції (див. рис.4).

Рис. 4. Графік функції.

На проміжку область значення цієї функції . Крапка - точка максимуму. При – функція зростає, при – функція зменшується. З креслення видно, що - не існує.

Отже, на уроці розглянули завдання про найбільше та найменше значення функції, коли заданим проміжком є ​​відрізок; сформулювали алгоритм розв'язання таких завдань.

1. Алгебра та початку аналізу, 10 клас (у двох частинах). Підручник для загальноосвітніх установ (профільний рівень) за ред. А. Г. Мордковіча. -М: Менімозіна, 2009.

2. Алгебра та початку аналізу, 10 клас (у двох частинах). Задачник для загальноосвітніх установ (профільний рівень) за ред. А. Г. Мордковіча. -М: Менімозіна, 2007.

3. Віленкін Н.Я., Івашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.І. Алгебра та математичний аналіздля 10 класу ( навчальний посібникдля учнів шкіл та класів з поглибленим вивченнямматематики).-М.: Просвітництво, 1996.

4. Галицький М.Л., Мошкович М.М., Шварцбурд С.І. Поглиблене вивчення алгебри та математичного анализа.-М.: Просвітництво, 1997.

5. Збірник завдань з математики для вступників до ВТУЗи (під ред. М.І.Сканаві).-М.: Вища школа, 1992.

6. Мерзляк А.Г., Полонський В.Б., Якір М.С. Алгебраїчний тренажер.-К.: А.С.К., 1997.

7. ЗвавичЛ.І., Капелюшник Л.Я., Чинкіна Алгебра та початку аналізу. 8-11 кл.: Посібник для шкіл та класів з поглибленим вивченням математики (дидактичні матеріали).-М.: Дрофа, 2002.

8. Саакян С.М., Гольдман А.М., Денисов Д.В. Завдання з алгебри та початку аналізу (посібник учнів 10-11 класів общеобразов. установ).-М.: Просвітництво, 2003.

9. Карп А.П. Збірник завдань з алгебри та початків аналізу: навч. посібник для 10-11 кл. з поглибл. вивч. математики.-М.: Просвітництво, 2006.

10. Глейзер Г.І. Історія математики у школі. 9-10 класи (посібник для вчителів).-М.: Просвітництво, 1983

Додаткові веб-ресурси

2. Портал Природних наук ().

Зроби вдома

№ 46.16, 46.17 (в) (Алгебра та початки аналізу, 10 клас (у двох частинах). Задачник для загальноосвітніх установ (профільний рівень) під ред. А. Г. Мордковича. -М.: Мнемозіна, 2007.)

Доброго дня! У цій статті йтиметься про завдання, які можна вирішувати без знаходження похідної. У цій рубриці ми вже розглянули деякі приклади.Сенс завдань той самий – потрібно знайти або точку максимуму (мінімуму) функції, або визначити максимальне (мінімальне) значення функції.

У чому суть і який «стандартний» алгоритм рішення можна подивитися в . Але для всіх завдань застосування цього алгоритму буде раціонально. Якщо слідувати йому у наведених нижче прикладах, то процес рішення буде «перевантажений» обчисленнями. А втрата часу на іспиті вам не потрібна.Тож які завдання маються на увазі?

В умові дана ірраціональна, логарифмічна або показова функція:

причому під коренем, під знаком логарифму чи показнику знаходиться квадратична функція виду:

Розглянемо підхід без знаходження похідної. Ви побачите, що завдання можна вирішувати усно.

Що потрібно знати?Властивість параболи, нагадаємо його:

Якщо а > 0, її гілки спрямовані вгору.

Якщо а< 0, то её ветви направлены вниз.

Тобто це точка екстремуму квадратичні функції- У ній функція змінює свою поведінку з зростання на спадання або навпаки.

Наступний важливий факт(ключовий для цих завдань):

Якщо вихідна функція монотонна (безперервно зростає або зменшується), для неї вказана точка «х» також буде точкою екстремуму.

Чому? Розгляньмо окремо функції докладніше.

Квадратична функція у показнику ступеня (при чому n>1):

Дивіться!

Виходить, що значення z змінюється наступним чином.

Варіант коли a>0 (гілки параболи спрямовані вгору) – при x від мінус нескінченності до –b/2a z зменшується, у точці –b/2a значення буде мінімальним, далі при x від –b/2a до нескінченності z збільшується.

Це означає, що і сама функція у = n f (x) буде мати мінімальне значенняу точці х=-b/2a, тому що при мінімумі в показнику вийде мінімум в результаті.

Варіант коли a<0 (ветви параболы направлены вниз) – при х от минус бесконечности до –b/2a z увеличивается, в точке –b/2a значение будет максимальным, далее при х от –b/2a до бесконечности z уменьшается.

Це означає, що і сама функція у = n f (x) матиме максимальне значення в точці х = b/2a, так як при максимумі в показнику вийде максимум в результаті.

Квадратична функція під знаком логарифму (при чому n>1):

Припустимо, що ax 2 +bx+c=z. Можемо записати:

Виходить, що значення z змінюється наступним чином:

Варіант коли a>0 (гілки параболи спрямовані вгору) – при х від мінус нескінченності до –b/2a z зменшується, у точці –b/2a значення буде мінімальним, далі при х від –b/2a до нескінченності z збільшується.

Це означає, що й сама функція log n z матиме мінімальне значення у точці х=–b/2a. Так як логарифмічна функціязменшується при зменшенні аргументу (відомо за графіком).

Варіант коли a<0 (ветви параболы направлены вниз) – при х от минус бесконечности до –b/2a z увеличивается, в точке –b/2a значение будет максимальным, далее при х от –b/2a до бесконечности z уменьшается.

Це означає, що й сама функція log n z має максимальне значення у точці х=–b/2a. Оскільки логарифмічна функція збільшується зі збільшенням аргументу (видно за графіком).

Квадратична функція під знаком кореня:

Припустимо, що ax 2 +bx+c=z. Можемо записати:

Виходить що:

При a>0 значення z мінімально у точці х=–b/2a, отже, і сама функція матиме мінімальне значення. *Корінь із найменшого значення в результаті дасть найменше число.

При a<0 значение z максимально в точке х=–b/2a, а значит и сама функция будет иметь максимальное значение.

Таким чином, сформулюємо ключове правило:

УВАГА! Звичайно, якщо глибше піти в тему, то можливі варіанти коли складна функція має негативний знак, коли логарифм знаходиться в знаменнику дробу, коли основа логарифму або основа ступеня знаходиться в межах від 0 до 1. Зрозуміло, важливо розуміти як поводиться дана в умові функція (Зростає або зменшується). Але для вирішення типових завдань іспиту зазначеного висновку вам буде достатньо.

І звичайно, не втрачайте на увазі область допустимих значень заданої функції:

- Вираз, що стоїть під знаком кореня, більше або дорівнює нулю (число невід'ємне).

- Вираз, що стоїть під знаком логарифму, є позитивне число.

— вираз, що стоїть у знаменнику дробу, не дорівнює нулю.

У подібних завданнях на знаходження найбільшого та найменшого значення функції, я б порадив знаходити область визначення у будь-якому випадку (навіть не дивлячись на те, що у наведених нижче прикладах це нічого важливого нам не дає і не впливає на відповідь).

Розглянемо приклади:

*Контент (більше шести вирішених завдань) доступний лише для зареєстрованих користувачів! Вкладка реєстрації (входу) знаходиться у ГОЛОВНОМУ МЕНЮ сайту. Після проходження реєстрації увійдіть на сайт та оновіть цю сторінку.

З повагою, Олександр

PS: Буду вдячний Вам, якщо розкажіть про сайт у соціальних мережах.